ÁLGEBRA LINEAL
1.1 SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES
Resuelve los siguientes sistemas lineales por el método de eliminación de Gauss
1,2, 3
4 3 4 5
1 2 2 3
10 2 2
]
1
z y x
z y x
z y x
a con
a a a z
y x
z y x
z y x
, 2 2 , 2 14 2 3 4
2 4 2
6 3 2 ]
2
1, 3, 2
16 3
5
5 2 2 3
5 3 2
]
3
z y x
z y x
z y x
0,0,0
0 2 2 3
0 4
2
0 ]
4
z y x
z y x
z y x
ninguna z
y x
z y x
z y x
1 4 4
2 3 2
5 2 3 2 ] 5
2 3 2 2 6] 2 5 8 6 5
3 4 5 2 4 . 2 ,1 2 2 , ,
x y z w
x y z w
x y z w
sol a b a b a b
2,1, 1
0 6 4
4 3 5 2
5 2
3
2 2
]
7
z y x
z y x
z y x
z y x
3,2,0,1
1 4 2
3
0 5 2
3 ] 8
t y
t z y x
t y x
z y x
5 2 , 5 3 , 5 2 , 5 3 0
2 1 2
0 2
1 2
] 9
w z y x
w z y x
w z y x
w z y x
10] , , ,
2 2 2 2
x y z w a
x y z w b d a c d b c a b x y z w c
x y z w d
1, 1, 1,1
0 1 2 4
1 2
3 2 4 5
]
11
t z y x
z y x
t z y x
t z x
4,2,10
4 8 2 2 4
2 2
3 ]
12
z y x
z y x
z y x
2, 1, 2
8 5 4 3
15 4 3 2
12 6 4 2 ]
13
z y x
z y x
z y x
, ,
1 3
2
4 2
1 2
4 4
] 14
z y x
z x
z y x
y x
, ,
40 7 14 9
9 2 4 5
11 2 3
9 4
2
] 15
z y x
z y x
z y x
z y x
0,1, 2,
3 2
5 6 7 2
7 4
1 2 3
]
16
z y
z y x
z y
z y x
1,2, 3,0
44 13 5 17 5
3 8 4 8
44 14 2 2
10 3 4
]
17
w z y x
w z y x
z y x
c c cc
w z y x
w z y x
w z y x
w z y x
, 5 1 , 21 2 , 53 6
3 3 7
8 4 20 3 3
2 28 6 10 4
1 4 3 2 ]
18
1.1.1 SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES POR GAUSS JORDAN
Ejercicios: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss-Jordan.
1.
, ,
4 4
0 2
9 3 2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
2.
, , ,
2 4
3
1 3
0 3
2
4 3 2 1
4 2
1
4 3 2 1
x x x x
x x
x
x x x x
3.
, , ,
2 8 4 3
3 2 6
2
0 4 2 3
w z y x
w z y x
w z y x
4.
, , ,
2 1
0 1 2
z x w
y x
z y x w
z y x w
5.
, ,
20 5 10 15
8 2 4 6
4 2
3
z y x
z y x
z y x
6.
, , ,
58 14 36 4 9
10 2
4
46 8 12 2 3
6 3 12 3 3
w z y x
w z x
w z y x
w z y x
7.
, , ,
6 8 7 2
6 10 7 3 3
0 2 4 2
1 3 2
w z y x
w z y x
w z y x
w z y x
8.
, , ,
44 13
5 17 5
3 8 4 8
44 14 2
2
10 3 4
w z y x
w z y x
z y
x
w z y x
9.
, , , 3
3 7
8 4 20 3 3
2 28 6 10 4
1 4 3 2
w z y x
w z y x
w z y x
w z y x
10.
, ,
5 25 15
40
3 15
9 24
1 5 3 8
3 2
1
3 2
1
3 2 1
x x
x
x x
x
x x x
1.2 OPERACIONES DE MATRICES
1] Si
4 3
2 1
A y
1 1
0 1
B resuelva la ecuación para X.
2 3 0 2
2 2 3 2 3
a X A B b X A B
c A B X d A B X X A
2] Sean;
0 1 1
1 1 1
1 2 1
A
1 2 1
1 1 1
0 1 1
B
1 1 2
1 1 1
1 2 1
C
1 1 2
3 1 3
1 2 1
A
Encuentre una matriz E que satisfágala ecuación dada.
a EA B b EC A c EA C
d EB A e EC D f ED C
3] Si
0 1 2
1 2 3
1 1 1
A y
3 2 1
6 4 2
3 2 1
B
4] Dadas las matrices:
1 3 4
3 1 2
2 3 1
A
2 1 2 1
1 1 1 2
0 1 4 1
B
0 1 5 2
1 1 2 3
2 1 1 2
C Demostrar que:
AB = AC pero B C. 5] Dadas las matrices:
2 1 3
5 4 1
5 3 2
A
5 3 1
5 3 1
5 3 1 B
3 2 1
4 3 1
4 2 2
C Demostrar:
2 2
2 2 2
0
a AB BA b A B A B A B
c A B A B d AC A e AC A
6] Sean
4 3
2 1
A ,
2 5
1 0
B y
4 6
2 8
C determine la matriz X que satisfaga las siguientes ecuaciones:
1 3
2 3 2
2 2
2 0
a X B A C b A X B C
c X B C
7] SI.
2 1
1 1
A
2 1
1 0
B
1 1
2 1
C
encontrar;
12 7 10 13
16 11
1
5 2 2
2 3
a A b C c B d A
e A f C
8] Efectué los siguientes productos de matrices utilizando subdivisión en bloques;
a) si;
6 0 0 0 0 0
0 5 0 0 0 0
0 0 4 0 0 0
0 0 0 3 0 0
0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 1
A
3 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0
0 0 3 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
B
18 0 0 0 0 0
0 10 0 0 0 0
0 0 12 0 0 0
0 0 0 3 0 0
0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 1
AB
b) si ;
1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
0 1 2 1 0 0
0 2 1 3 0 0
0 0 0 0 1 2
0 0 0 0 1 1
A
1 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
9 8 7 6 5 4
8 7 6 5 4 3
7 6 5 4 3 2
6 5 4 3 2 1
B
1 4 5 9 7 8
13 13 13 13 13 13
30 28 26 24 22 20
41 39 37 35 33 31
19 16 13 10 7 4
13 11 9 7 5 3
AB
c) si ;
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0
A
1 1 0
1 1 2
1 1
0 1
b a B
a b
a b AB
1 1 3
1 0
1
1 1 1
1 2
1
d) si;
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0
A
1 1 0
1 1 2
1 1
0 1
b a
B
a b a
b
AB
1 1 3
1 0
1
1 1 1
1 2 1
e) Si;
0 0 1 1 2
1 1 0 0 1
1 2 1 1 1
2 1 0 0 1
A
1 3 0 1
1 0 1 2
0 1 0 0
0 1 2 1
2 1 0 0
B
f) si;
7 5 3 1 2
6 4 2 1 3
6 2 3 1 5
4 1 2 3 2
4 1 3 2 1
2 4 3 1 2
A
1 6 4 2 3
7 5 3 1 2
3 2 4 5 1
1 2 3 1 2
1 4 3 2 1
B
g) Efectué el producto BA de las matrices anteriores.
Ejercicios:
1] Si
1 2 3
1 1 2 A
1 2
2 3
2 1 B
2 3 1
3 1 2
3 1 2
C
5 3
1 2
D
2 3 2
1 1 1
3 1 1
E
3 2
0 1
F
De ser posible encuentre lo siguiente;
t t
B
3
5
3
2
t t t
t t t
a
AB
b
BB
c
A
d
E A
e
C
E B
f
A D F
g
B
A C
2] Si A es una matriz de orden n x n, muestre que; a) AAt essimétrica
b) AAt esatisimétrica
3] Sean A y B dos matrices simétricas demuestre que: a) AB es simétrica
b) AB essimétrica si sólo si ABBA
4] Si
c b a A
2 0
1 1
2 1
1 0 1
0 2 2
2 1 1 B
0 2 0
2 1 1
1 0 1
C encuentre;
a) Una matriz simétrica con la matriz A b) Una matriz simétrica con la matriz BC c) Una matriz simétrica con la matriz
A
B
d) Una matriz simétrica con la matriz ACt1.3 MATRIZ INVERSA
Ejercicios: Encuentra la matriz inversa de la matriz dada, utilizando sistemas de ecuaciones;
1]
2 1
3 3 9 1 3
1 3
2 1
A A
2]
2 3
7 1 23
1 1
3 7
2 1
A A
3]
2 0
1 4 8 1 4
0 1
2 1
B B
4]
3 2
4 5 7 1 5
2 4
3 1
B B
5]
5 6 8
6 7 10
3 4 5
5 2 4
0 1 2
3 2 1
6] 4 1 10 2 1 5 3 1 8 3 2 5 1 2 0 1 1 2 1 B B 7] 1 2 1 3 2 1 2 4 2 4 1 0 2 1 1 1 1 2 0 1 1 A A 8] 5 9 3 3 3 1 1 1 1 4 1 1 3 0 1 2 1 0 1 3 1 A A 9]
6 1 6 1 3 1 3 1 3 1 3 1 8 1 8 1 4 1 13
0
4
1
2
4
2
1
0
A
A
10] 13 3 3 1 3 4 26 1 26 9 26 3 26 9 26 3 26 1 1 0 1 3 1 3 1 3 0 2 B B1.3.1 MATRIZ INVERSA POR
GAUSS JORDAN
Ejercicios: Utilizando el método de Gauss-Jordan encuentra la inversa de la matriz.
1]
1 2 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 B B 2] 4 5 3 1 1 0 4 5 2 2 5 3 2 4 3 1 0 1 1 A A 3] 0 1 2 1 3 3 2 3 1 6 5 3 5 4 2 3 2 1 1 A A 4] 6 1 5 14 4 15 9 4 10 5 1 4 2 1 1 3 4 4 3 2 1 A A 5] 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 0 2 1 0 1 1 A 6] 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 1 1 2 2 1 0 A 2 3 2 2 3 5 4 3 2 4 4 3 2 3 3 3 1 A 7] 3 4 2 9 2 2 1 5 2 2 1 4 4 5 2 11 1 1 1 0 0 3 1 1 2 0 1 2 0 1 1 0 1 A A8]
a a a a a a B a a a B 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 2 3 2 19]
11 3 2 2 1 3 2 1 1
notiene A
A
10] 1
0 0 0 0 0
notiene A
d c b a A 11] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 A A
12] 1
2
0 2 0
2 0 2 2 0 2
4 2 2 0 0 2
2 2 8 0
2
0 0 1 0
0 0 1 0
0 0 3 1
0 0 3 1
A A
15] ad cb abd ad cb abd ad cb cda ad cb acb B d c b a B 1 1 1 1 1
16]
12 3 0 2 3 3
1 2 1 1 2 2
2 0 1 4 6 7
A A
17] d d c d b d a A d c b a A 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1
18]
1 1 1 1 1 1 2 1 a a a A a a A 19]
4 1 1
3 3 3
1 1 1
3 3 3
1 4 5 2
3 3 3
1 2 2
3 3 3
0 2 0 1 0 2 1
1 1 0 0 1 0 0
0 0 1 1 1 1 1
1 1 0 1 2 0 0
0 1 1 2 1 1 1 0 1 0
A A
20] 1
3 2 6 5 5 3 4 3
notiene A
A
21]
a b b a b a A a b b a
A 1 21 2
22] 1
1 1 1 1 2 16 6 4
1 2 3 4 1 22 41 30 1
2 3 5 5 18 10 44 30 2
3 4 5 8 4 13 6 1
A A
23]
13 4 2 7 1 11 7 26
2 3 3 2 1 1 7 3 16
5 7 3 9 2 1 1 1 0
2 3 2 3 1 1 1 2
A A
24]
3 5 1 1 3 5 5 1 3 14 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 A A 25] 6 1 5 14 4 15 9 4 10 5 1 4 2 1 1 3 4 4 3 2 1 A A 26] 0 1 2 1 3 3 2 3 1 6 5 3 5 4 2 3 2 1 1 A A 27] 3 1 6 1 2 1 3 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 3 0 0 0 2 1 A A28] 1
1 2 1 2 1 1 1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 5 1
2 1 1 2 1 1 1 1
A A
29] 2 3 2 2 3 5 4 3 2 4 4 3 2 3 3 3 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 1 1 2 2 1 0 1 A A
1.4 DETERMINANTES
Ejercicios: Calcular El Determinante De Cada Matriz.
1] 11
1 6 0 1 5 2 4 2 3 A A
2] 131
2 0 3 4 2 1 1 3 0 2 0 1 3 2 2 1 A A
3] 55
1 1 2 2 3 4 1 1 2 1 0 3 2 3 1 2 A A
Hallar el valor de t si el determinante de
A
0
4] 3,4, 2
4 0 0 2 1 1 3 4 2 t t t t A
5] 4, 2
4 6 6 3 5 3 3 3 1 t t t t A
6] 4, 2
7] 118
2 2 2 2 3
5 2 3 4 1
1 1 2 1 1
2 3 1 1 2
2 2 3 2 1
8] 2
1 1 2 2 1
2 1 1 0 0
0 0 0 1 1
1 1 1 0 0
1 2 1 2 1
9] 304
6 5 4 3
5 4 3 2
3 4 1 2
4 3 2 1
10] xyz
z x y y
x z y x
z z y x
4
11] 3abc a3 b3 c3
c b a
a c c b b a
b a a c a b
12] 0
1 1 1 1
3 8 7 5
1 0 1 3
2 4 3 1
13] 1
cos cos
sen
sen
14] 36
0 0 1 0 1
3 0 1 1 0
3 1 2 1 0
0 1 1 1 1
3 1 1 0 2
15] 13
2 1 2 0 1
2 1 1 0 1
2 2 1 2 3
1 1 2 1 0
3 0 2 0 1
16] 40
0 2 1 0 1
1 4 2 3 2
1 0 2 1 0
2 1 0 1 2
5 5 4 3 1
17] 14
1 3 2 1
0 0 1 0
3 1 2 1
0 1 1 2
18] 0
5 5 6 5 23 4
0 9 8 9 2 1
8 11 10 4 2 8
4 3 9 8 4 5
0 9 8 9 2 1
5 6 7 2 6 2
19] 120
0 1 1 0 2 1
1 3 1 1 2 1
0 0 1 0 1 0
1 1 1 0 1 2
2 1 2 1 0 1
1 1 0 1 1 2
20] bca
a c
a b
b c
2 0
0 0
21] abc
b a c c
b a c b
a a c b
4
22] 2a3 2b3
b a b a
a b a b
b a b a
23] 5
5 2 1 4
1 1 1 1
4 2 1 4
3 2 1 3
24] 80
2 4 6 9 3
0 4 3 45 6
0 0 5 34 4
0 0 0 1 23
0 0 0 0 2
25]
36
1 1 2 2 1
1 1 2 1 2
2 0 1 1 0
1 1 1 2 0
2 1 0 1 2
26]
0
6 0 6 4 0
5 0 0 6 9
4 0 9 7 3
3 0 8 6 2
2 0 2 5 3
27]
7
3 0 1 2 1
2 1 1 1 0
1 0 2 2 1
0 2 1 1 2
1 0 1 1 0
28]
23
2 0 0 0 3
1 1 0 2 1
0 3 1 3 0
2 2 1 0 1
1 1 2 1 2
29]
144
0 3 1 0 1
1 0 3 0 2
2 1 1 0 1
1 0 3 1 0
0 1 0 2 3
30] ac c ab cb
b a c
b a b
c b a
2
1 1 1
31] 0
y c y b y a
x c x b x a
c b
a
Use reducción por operación de filas para demostrar las siguientes identidades.
32]
b a
c b
c a
cb a
c b
a
2 2 2
1 1 1
33]
1
1
1 1 1
3 3
2
2
b a a b ab b a
b a
b a
34]
b a
c b
c a
a b c
c b a
c b
a
3 3 3
1 1 1
35]
1
1
1
1 1 1
4 4
2
2
b a b a a b ab b a
b a
b a
1.4.1 Utilizando el método del adjunto,
encontrar la inversa de las siguientes matrices.
36]
2 3 2 1
1 3 1 1
0 3 1 0
1 1 1
0 0 3
1 2 0
1
A A
37]
5 7 1
1 5 1
5 1 1 6 1 1
1 2
1 0 1
4 5 3
1
A A
38]
2 1 2 3 6 1
0 1 3 1
0 0 3 1
2 3 2
0 1 1
0 0 3
1
A A
39]
6 3 2
5 0 0
7 3 1 5 1 0
1 0
1 2 2
3 1 1
1
A A
40]
6 3 4
3 2 2
8 3 5
0 1 0
1 2 0
7 6 3
1
A A
41]
0 1 1
1 1 1
1 1 0
1 1 0
1 1 1
0 1 1
1
42]
1 1 1
1 1 1
1 1 1
2 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
1
A A
1.4.2 Utiliza la regla de Cramer para
resolver los siguientes sistemas de
ecuaciones.
43]
1 1 1
z y x
z y x
z y x
44]
1 4
5
2 2 4
3 2 3 3
z y x
z y x
z y x
45]
1 1 2 0
w z y x
w z y x
w z y x
w z y x
46]
5 3
2
0 2
2 6 4 2
z y x
z x
z y x
47]
4 5 2 2
4 3 2
4 2
w y x
w z y x
w z y
w z y x
48]
4 2
6 2 2 3
6 2
z y x
z y x
z y x
49]
0 4 2
0 4 2
2 7 3 2
z y x
z x
z y x
2.1 ESPACIOS VECTORIALES
1] ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de 3son subespacios de 3?
a)
a
,
b
,
2
.
nob)
a
,
b
,
c
donde
c
a
b
si c)
a
,
b
,
c
donde
c
a
0
d)
a
,
b
,
c
donde
a
c
e)
a
,
b
,
c
donde
b
2
a
1
f)
a
,
b
,
c
donde
a
2
b
si g)
a
,
b
,
c
donde
a
b
c
no h)
a
,
b
,
c
donde
ab
0
no i)
a
,
b
,
c
donde
a
b
c
sij)
a,b,c
dondeab2 no2] ¿ Cuáles de los siguientes subconjuntos de 4 son subespacios de
4 ?a)
a
,
b
,
c
,
d
donde
a
b
2
no b)
a
,
b
,
c
,
d
donde
c
a
+2by d a3b si
c)
a
,
b
,
c
,
d
donde
a
0
y bdd)
a
,
b
,
c
,
d
donde
a
b
0
3] ¿ Cuáles de los siguientes subconjuntos de los polinomios de segundo grado P2 son subespacios ?
a) 2 1 0, 0 0
2t ata dondea
a si
b) a2t2 a1ta0, dondea0 2 no c) a2t2 a1ta0, dondea2 a1 a0 si 4] En los siguientes ejercicios determine si el subconjunto dado de las matrices 2 x 2 M22 , es un
subespacio de M22 .
a) El conjunto de matrices de la forma
0 0
a a
b) El conjunto de matrices de la forma
a
b
b
a
c) Todas las matrices
d
c
b
a
tales que a + d = 0
d) El conjunto de matrices
d
c
b
a
5] Sea A
xy,xy,0
3
Mostrar que A es un subespacio.6] Sea s
x,2x, x1
/ x
Mostrar que A no es un subespacio.7] Sea
s
x
,
2
y
,
3
z
/
x
,
y
,
z
Mostrar si es subespacio de 3.8] ¿ Cuál de los siguientes conjuntos son subespacios de 3 ?
a)
s
x
,
y
,
z
/
x
,
y
,
z
Q
b)
s
x
,
0
,
z
/
x
,
z
c)
s
x
,
y
,
2
/
x
,
y
d)
s
x
2
y
,
x
3
z
,
2
x
y
z
/
x
,
y
,
z
2.2 COMBINACIÓN LINEAL
Ejercicios:
1] Escribir el vector
v
1
,
2
,
5
3 como una combinación lineal de los vectores;
1
,
1
,
1
1
u
,u
2
1
,
2
,
3
,u
1
2
,
1
,
1
Res. v6u1 3u2 2u32] Escribir el vector
v
2
,
5
,
3
3 como una combinación lineal de los vectores;
1
,
3
,
2
1
u
,u
2
2
,
4
,
1
,u
1
1
,
5
,
7
Res. V no puede escribirse como combinación lineal porque el sistema no tiene solución
3] Para que valor de k el vector
k
u
1
,
2
,
3. Será combinación lineal de los vectores;
3
,
0
,
2
v
,w
2
,
1
,
5
Res. k 84] Mostrar que el plano xy,
w
a,b,0
3 es generado por u,v si; a) u
1,2,0
yv
0
,
1
,
0
b)
u
2
,
1
,
0
yv
1
,
3
,
0
Res. a) u,v si generan a w5] Consideremos los vectores;
u
1
,
3
,
2
,v
2
,
1
,
1
3a) Escribir
w
1
,
7
,
4
como combinación lineal de u,vb) Escribir
w
2
,
5
,
4
como combinación lineal de u,vc) Para que valor de k es
k
1
,
k
,
5
una combinación lineal deu
,
v
Res. a) w3u2v b) no c) 8 6] Escribir u 3t2 8t5 como combinación lineal de; v 2t23t4 y
w
t
2
2
t
3
Res. u 2vw7] Escribir u 4t26t1 como combinación lineal de; v 2t23t4 y
w
t
2
2
t
3
Res. Imposible8] Escribir la matriz
2 1
1 3
E como una combinación lineal de las matrices;
1 0
1 1
A ,
0 1
1 1
B ,
0 0
1 1
C
Res. E2AB2C
9] Escribir la matriz
2 1
1 2
E como una
combinación lineal de las matrices;
1 0
1 1
A ,
0 1
1 1
B ,
0 0
1 1
C
Res. Imposible
10] Mostrar que
1
,
1
,
1
,
0
,
1
,
1
,
0
,
1
,
1
generan
311] ¿Cuáles de los siguientes vectores generan
4?a)
1
,
0
,
0
,
1
,
0
,
1
,
0
,
0
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
0
b)
1
,
2
,
1
,
0
,
1
,
1
,
1
,
0
,
0
,
0
,
0
,
1
12] Determine cual de los siguientes conjuntos dados generan P2
a)
1tt2,12tt2,t
b)
1t,1t,2tt2
c)
1tt2,1tt2,1tt2
Res. a) no b) si c) si13] Determine cual de los siguientes conjuntos dados generan M22
a)
5 0
5 0 , 0 4
0 4 , 3 0
3 0 , 1 1
1 1
b)
5 4
3 2 , 4 4
0 0 , 3 3
3 0 , 2 2
2 2
c)
1 1
0 3 , 0 0
1 2 , 0 1
1 1 , 0 0
0 1
Res. a) no b) c) si
2.3 BASES Y DIMENSIONES
1] Determina si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes. a)
1
,
2
,
1
,
3
,
1
,
2
li b)
1
,
3
,
2
,
2
,
1
,
0
,
0
,
5
,
4
ld c)
2
,
1
,
1
,
1
,
2
,
3
,
0
,
1
,
2
li d)
1
,
0
,
0
,
0
,
1
,
0
,
0
,
0
,
1
li e)
1
,
2
,
1
,
0
,
1
,
2
,
1
,
1
,
1
li f)
1
,
0
,
1
,
2
,
1
,
3
,
1
,
0
,
0
,
1
,
0
,
1
g)
1
,
3
,
7
,
2
,
0
,
6
,
3
,
1
,
1
,
2
,
4
,
5
h)
1
,
2
,
3
,
1
,
3
,
2
,
2
,
1
,
5
li i)
1
,
3
,
1
,
4
,
3
,
8
,
5
,
7
,
2
,
9
,
4
,
23
ld j)
1
,
2
,
4
,
1
,
2
,
1
,
0
,
3
,
3
,
6
,
1
,
4
li 2] Determinar si las siguientes matrices sonlinealmente independientes o dependientes.
a)
0 0
1 1 , 1 0
0 1 , 1 1
1 1
C B
A li
b)
0 4
5 1 ,
2 2
1 3 , 1 3
2 1
C B
A
c)
2 0 6
8 4 2 ,
1 0 3
4 2 1
v
u ld
d)
3 2 1
4 5 6 ,
4 5 6
3 2 1
v
u li
e)
1 10 2
7 8 3
2 5 4
4 1 1 ,
1 4 2
3 2 1
w
v u
ld
f)
3 2 1
2 1 4
5 0 2
3 1 1 ,
4 2 3
1 1 2
w
v u
li
g)
2 1
0 1 2 ,
1 0
2 4
v
u ld
h)
0 1
1 0 ,
1 0
0 1
v
u li
3] Sea V el espacio vectorial de los
polinomios de grado 3 sobre , determine si los polinomios son linealmente independientes o dependientes.
a)
5 3 2
1 4 2
3 2 4
2 3
2 3
2 3
t t t
t t t
t t t
li
b)
9 7 7 2
4 3 4
3 2 5
2 3
2 3
2 3
t t t
t t t
t t t
ld
c)
7 8 8 3
4 6
3 2 4
2 3
2 3
2 3
t t t
t t t
t t t
d)
5 9 4 2
2 8
1 5 3
2 3
2 3
2 3
t t t
t t t
t t t
li
e)
8
4
1
2
1
16
2
1
2 3
2 3
t
t
t
t
ld
f)
3 4
4 3
3 3
t t
t t
li
4] Determine si cada conjunto de los siguientes vectores forman una base de 3.
a)
2
,
4
,
3
,
0
,
1
,
1
,
0
,
1
,
1
si b)
1
,
3
,
4
,
1
,
4
,
3
,
2
,
3
,
11
no c)
1
,
2
,
1
,
0
,
3
,
1
,
no d)
3
,
2
,
2
,
1
,
2
,
1
,
0
,
1
,
0
5] Exprese el vector
2
,
1
,
3
como una combinación lineal de los vectores en cada subconjunto que sea una base de 3. a)
1
,
1
,
1
,
1
,
2
,
3
,
0
,
1
,
0
c)
1
,
2
,
3
,
2
,
1
,
3
,
0
,
0
,
0
d)
1
,
1
,
2
,
2
,
2
,
0
,
3
,
4
,
1
6] ¿ Cuáles de los siguientes vectores son base para 2 ?
a)
1
,
3
,
,
1
,
1
,
b)
1
,
3
,
,
2
,
6
,
c)
1
,
2
,
,
2
,
3
,
3
,
2
d)
1
,
1
,
,
3
,
1
,
7] Hallar una base y la dimensión del subespacio W de 4 generado por los vectores. a)
1
,
4
,
1
,
3
,
2
,
1
,
3
,
1
,
0
,
2
,
1
,
5
b)
1
,
4
,
2
,
1
,
1
,
3
,
1
,
2
,
3
,
8
,
2
,
7
c)
1
,
1
,
0
,
2
,
3
,
1
,
2
,
1
,
1
,
0
,
0
,
1
d)
1
,
0
,
0
,
1
,
0
,
1
,
0
,
0
,
1
,
1
,
1
,
1
,
0
,
1
,
1
,
1
e)
0
,
0
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
2
,
1
,
1
,
0
,
0
,
2
,
1
,
2
,
1
8] Sea W el espacio generado por los polinomios. Hallar una base y la dimensión de W.
a)
7 7 2
4 3
1 2 2
2 3
2 3
2 3
t t t
t t t
t t t
b)
1 2
4 6 8 6
1 3 2
2 3
2 3
2 3
t t t
t t t
t t t
c)
t t t t
t t
2 3 3
2 3
1 1
9] Sea V el espacio de matrices 2 x 2 sobre .
Y sea W el subespacio generado por el siguiente conjunto de matrices. Hallar una base y la dimensión de W
a)
,
2 2
1 1 , 2 1
2 1
W
b)
,
3 3
3 3 , 1 1
1 1 W
c)
6 5
6 5 , 4 3
4 3 , 2 1
2 1 W
d)
1 1
1 1 , 0 1
1 0 , 1 0
0 1 W
e)
4 3
3 3 , 4 3
2 2 , 4 3
2 1 W
f)
6 5
6 5 , 4 3
4 3 , 2 1
2 1
W
2.3.1 Ejercicios:
Determine una base y la
dimensión del espacio solución del sistema
homogéneo dado
.1 2
1] 2 4 3 0
2 2 2 0
2 4 2 3 4 0
3
( 2,1, 0, 0, 0), ( 1, 0, ,1, 0), ( 3, 0, 1, 0,1)
x y z r s
x y z r s
x y z r s
Dim Base
2] 2 2 3 0
2 3 0
3 6 8 5 0 3
( 2,1, 0, 0, 0), (5, 0, 2,1, 0), ( 7, 0, 2, 0,1)
x y z s t
x y z s t
x y z s t
Dim Base