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ÁLGEBRA LINEAL 1.1 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

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Academic year: 2018

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(1)

ÁLGEBRA LINEAL

1.1 SISTEMA DE ECUACIONES

LINEALES

Resuelve los siguientes sistemas lineales por el método de eliminación de Gauss

1,2, 3

4 3 4 5

1 2 2 3

10 2 2

]

1 

  

  

  

z y x

z y x

z y x

 

  

 

  

  

a con

a a a z

y x

z y x

z y x

, 2 2 , 2 14 2 3 4

2 4 2

6 3 2 ]

2

1, 3, 2

16 3

5

5 2 2 3

5 3 2

]

3  

  

  

  

z y x

z y x

z y x

0,0,0

0 2 2 3

0 4

2

0 ]

4

  

  

  

z y x

z y x

z y x

ninguna z

y x

z y x

z y x

1 4 4

2 3 2

5 2 3 2 ] 5

  

  

  

2 3 2 2 6] 2 5 8 6 5

3 4 5 2 4 . 2 ,1 2 2 , ,

x y z w

x y z w

x y z w

sol a b a b a b

   

   

   

   

2,1, 1

0 6 4

4 3 5 2

5 2

3

2 2

]

7 

  

   

  

  

z y x

z y x

z y x

z y x

3,2,0,1

1 4 2

3

0 5 2

3 ] 8

 

   

  

  

t y

t z y x

t y x

z y x

   

   

   

   

   

5 2 , 5 3 , 5 2 , 5 3 0

2 1 2

0 2

1 2

] 9

w z y x

w z y x

w z y x

w z y x

10] , , ,

2 2 2 2

x y z w a

x y z w b d a c d b c a b x y z w c

x y z w d    

         

 

     

   

1, 1, 1,1

0 1 2 4

1 2

3 2 4 5

]

11  

   

  

   

  

t z y x

z y x

t z y x

t z x

4,2,10

4 8 2 2 4

2 2

3 ]

12 

  

  

  

z y x

z y x

z y x

2, 1, 2

8 5 4 3

15 4 3 2

12 6 4 2 ]

13  

   

  

   

z y x

z y x

z y x

, ,

1 3

2

4 2

1 2

4 4

] 14

  

 

  

 

z y x

z x

z y x

y x

, ,

40 7 14 9

9 2 4 5

11 2 3

9 4

2

] 15

  

  

  

  

z y x

z y x

z y x

z y x

0,1, 2,

3 2

5 6 7 2

7 4

1 2 3

]

16 

  

   

  

   

z y

z y x

z y

z y x

1,2, 3,0

44 13 5 17 5

3 8 4 8

44 14 2 2

10 3 4

]

17  

   

   

  

   

w z y x

w z y x

z y x

(2)

c c cc

w z y x

w z y x

w z y x

w z y x

, 5 1 , 21 2 , 53 6

3 3 7

8 4 20 3 3

2 28 6 10 4

1 4 3 2 ]

18

    

   

  

   

   

1.1.1 SISTEMA DE ECUACIONES

LINEALES POR GAUSS JORDAN

Ejercicios: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss-Jordan.

1.

, ,

4 4

0 2

9 3 2

3 2 1

3 2 1

3 2 1

   

  

  

x x x

x x x

x x x

2.

, , ,

2 4

3

1 3

0 3

2

4 3 2 1

4 2

1

4 3 2 1

    

  

   

x x x x

x x

x

x x x x

3.

, , ,

2 8 4 3

3 2 6

2

0 4 2 3

    

    

    

w z y x

w z y x

w z y x

4.

, , ,

2 1

0 1 2

  

  

   

   

z x w

y x

z y x w

z y x w

5.

, ,

20 5 10 15

8 2 4 6

4 2

3

     

  

  

z y x

z y x

z y x

6.

, , ,

58 14 36 4 9

10 2

4

46 8 12 2 3

6 3 12 3 3

   

  

   

   

w z y x

w z x

w z y x

w z y x

7.

, , ,

6 8 7 2

6 10 7 3 3

0 2 4 2

1 3 2

   

   

    

   

w z y x

w z y x

w z y x

w z y x

8.

, , ,

44 13

5 17 5

3 8 4 8

44 14 2

2

10 3 4

 

 

   

 

   

w z y x

w z y x

z y

x

w z y x

9.

, , , 3

3 7

8 4 20 3 3

2 28 6 10 4

1 4 3 2

 

  

   

   

   

w z y x

w z y x

w z y x

w z y x

10.

, ,

5 25 15

40

3 15

9 24

1 5 3 8

3 2

1

3 2

1

3 2 1

 

 

  

 

  

x x

x

x x

x

x x x

1.2 OPERACIONES DE MATRICES

1] Si

     

4 3

2 1

A y

  

  

1 1

0 1

B resuelva la ecuación para X.

 

2 3 0 2

2 2 3 2 3

a X A B b X A B

c A B X d A B X X A

    

     

2] Sean;

     

   

  

0 1 1

1 1 1

1 2 1

A

  

 

  

 

  

1 2 1

1 1 1

0 1 1

B

     

   

  

1 1 2

1 1 1

1 2 1

C

     

   

  

 

1 1 2

3 1 3

1 2 1

A

Encuentre una matriz E que satisfágala ecuación dada.

a EA B b EC A c EA C

d EB A e EC D f ED C

  

  

3] Si

     

    

 

 

0 1 2

1 2 3

1 1 1

A y

  

 

  

  

3 2 1

6 4 2

3 2 1

B

(3)

4] Dadas las matrices:

     

   

 

  

1 3 4

3 1 2

2 3 1

A

     

   

 

2 1 2 1

1 1 1 2

0 1 4 1

B

     

   

 

  

  

0 1 5 2

1 1 2 3

2 1 1 2

C Demostrar que:

AB = AC pero B  C. 5] Dadas las matrices:

     

   

 

  

2 1 3

5 4 1

5 3 2

A

     

    

   

5 3 1

5 3 1

5 3 1 B

  

 

  

 

  

  

3 2 1

4 3 1

4 2 2

C Demostrar:



2 2

2 2 2

0

a AB BA b A B A B A B

c A B A B d AC A e AC A

     

    

6] Sean

  

  

 

4 3

2 1

A ,

  

 

 

2 5

1 0

B y

   

  

 

4 6

2 8

C determine la matriz X que satisfaga las siguientes ecuaciones:

1 3

2 3 2

2 2

2 0

a X B A C b A X B C

c X B C

      

  

7] SI.

      

2 1

1 1

A

  

 

  

2 1

1 0

B

  

 

 

 

1 1

2 1

C

encontrar;

12 7 10 13

16 11

1

5 2 2

2 3

a A b C c B d A

e A f C

8] Efectué los siguientes productos de matrices utilizando subdivisión en bloques;

a) si;

       

 

       

 

6 0 0 0 0 0

0 5 0 0 0 0

0 0 4 0 0 0

0 0 0 3 0 0

0 0 0 0 2 0

0 0 0 0 0 1

A

       

 

       

 

3 0 0 0 0 0

0 2 0 0 0 0

0 0 3 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

B

       

 

       

 

18 0 0 0 0 0

0 10 0 0 0 0

0 0 12 0 0 0

0 0 0 3 0 0

0 0 0 0 2 0

0 0 0 0 0 1

AB

b) si ;

       

 

       

 

1 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

0 1 2 1 0 0

0 2 1 3 0 0

0 0 0 0 1 2

0 0 0 0 1 1

A

       

 

       

 

1 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

9 8 7 6 5 4

8 7 6 5 4 3

7 6 5 4 3 2

6 5 4 3 2 1

B

       

 

       

 

1 4 5 9 7 8

13 13 13 13 13 13

30 28 26 24 22 20

41 39 37 35 33 31

19 16 13 10 7 4

13 11 9 7 5 3

AB

c) si ;

   

 

   

 

  

0 1 0 1

1 0 1 0

0 1 0 1

1 0 1 0

A

   

 

   

 

   

1 1 0

1 1 2

1 1

0 1

b a B

   

 

   

 

 

 

 

 

a b

a b AB

1 1 3

1 0

1

1 1 1

1 2

1

(4)

d) si;

   

 

   

 

  

0 1 0 1

1 0 1 0

0 1 0 1

1 0 1 0

A

   

 

   

 

   

1 1 0

1 1 2

1 1

0 1

b a

B

   

 

   

 

 

 

 

 

a b a

b

AB

1 1 3

1 0

1

1 1 1

1 2 1

e) Si;

   

 

   

 

 

0 0 1 1 2

1 1 0 0 1

1 2 1 1 1

2 1 0 0 1

A

     

 

     

 

 

   

1 3 0 1

1 0 1 2

0 1 0 0

0 1 2 1

2 1 0 0

B

f) si;

       

 

       

 

 

7 5 3 1 2

6 4 2 1 3

6 2 3 1 5

4 1 2 3 2

4 1 3 2 1

2 4 3 1 2

A

     

 

     

 

 

1 6 4 2 3

7 5 3 1 2

3 2 4 5 1

1 2 3 1 2

1 4 3 2 1

B

g) Efectué el producto BA de las matrices anteriores.

Ejercicios:

1] Si

  

 

  

1 2 3

1 1 2 A

  

 

  

 

  

1 2

2 3

2 1 B

     

   

 

 

2 3 1

3 1 2

3 1 2

C

  

 

5 3

1 2

D

     

   

 

   

2 3 2

1 1 1

3 1 1

E

      

3 2

0 1

F

De ser posible encuentre lo siguiente;

 

 

t t

B

3

5

3

2

t t t

t t t

a

AB

b

BB

c

A

d

E A

e

C

E B

f

A D F

g

B

A C

2] Si A es una matriz de orden n x n, muestre que; a) AAt essimétrica

b) AAt esatisimétrica

3] Sean A y B dos matrices simétricas demuestre que: a) AB es simétrica

b) AB essimétrica si sólo si ABBA

4] Si

  

 

  

 

  

c b a A

2 0

1 1

2 1

     

   

 

  

1 0 1

0 2 2

2 1 1 B

  

 

  

 

   

0 2 0

2 1 1

1 0 1

C encuentre;

a) Una matriz simétrica con la matriz A b) Una matriz simétrica con la matriz BC c) Una matriz simétrica con la matriz

A

B

d) Una matriz simétrica con la matriz ACt

1.3 MATRIZ INVERSA

Ejercicios: Encuentra la matriz inversa de la matriz dada, utilizando sistemas de ecuaciones;

1]

  

    

   

 

 

2 1

3 3 9 1 3

1 3

2 1

A A

2]

  

 

 

   

  

 

2 3

7 1 23

1 1

3 7

2 1

A A

3]

  

   

   

 

 

2 0

1 4 8 1 4

0 1

2 1

B B

4]

  

     

   

   

 

3 2

4 5 7 1 5

2 4

3 1

B B

5]

     

   

 

 

      

   

  

 

5 6 8

6 7 10

3 4 5

5 2 4

0 1 2

3 2 1

(5)

6]                               4 1 10 2 1 5 3 1 8 3 2 5 1 2 0 1 1 2 1 B B 7]                              1 2 1 3 2 1 2 4 2 4 1 0 2 1 1 1 1 2 0 1 1 A A 8]                                 5 9 3 3 3 1 1 1 1 4 1 1 3 0 1 2 1 0 1 3 1 A A 9]

 6 1 6 1 3 1 3 1 3 1 3 1 8 1 8 1 4 1 1

3

0

4

1

2

4

2

1

0

A

A

10]                             13 3 3 1 3 4 26 1 26 9 26 3 26 9 26 3 26 1 1 0 1 3 1 3 1 3 0 2 B B

1.3.1 MATRIZ INVERSA POR

GAUSS JORDAN

Ejercicios: Utilizando el método de Gauss-Jordan encuentra la inversa de la matriz.

1]

                               1 2 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 B B 2]                                4 5 3 1 1 0 4 5 2 2 5 3 2 4 3 1 0 1 1 A A 3]                            0 1 2 1 3 3 2 3 1 6 5 3 5 4 2 3 2 1 1 A A 4]                            6 1 5 14 4 15 9 4 10 5 1 4 2 1 1 3 4 4 3 2 1 A A 5]                   1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 A                  1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 0 2 1 0 1 1 A 6]              3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 1 1 2 2 1 0 A                       2 3 2 2 3 5 4 3 2 4 4 3 2 3 3 3 1 A 7]                                     3 4 2 9 2 2 1 5 2 2 1 4 4 5 2 11 1 1 1 0 0 3 1 1 2 0 1 2 0 1 1 0 1 A A

8]

                               a a a a a a B a a a B 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 2 3 2 1

9]

1

1 3 2 2 1 3 2 1 1             

notiene A

A

10] 1

0 0 0 0 0           

notiene A

d c b a A 11]                           1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 A A

12] 1

2

0 2 0

2 0 2 2 0 2

4 2 2 0 0 2

2 2 8 0

2

0 0 1 0

0 0 1 0

0 0 3 1

0 0 3 1

A A

(6)

15]                              ad cb abd ad cb abd ad cb cda ad cb acb B d c b a B 1 1 1 1 1

16]

1

2 3 0 2 3 3

1 2 1 1 2 2

2 0 1 4 6 7

A A

                        17]                                 d d c d b d a A d c b a A 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1

18]

                 1 1 1 1 1 1 2 1 a a a A a a A 19]

4 1 1

3 3 3

1 1 1

3 3 3

1 4 5 2

3 3 3

1 2 2

3 3 3

0 2 0 1 0 2 1

1 1 0 0 1 0 0

0 0 1 1 1 1 1

1 1 0 1 2 0 0

0 1 1 2 1 1 1 0 1 0

A A

                                     

20] 1

3 2 6 5 5 3 4 3           

notiene A

A

21]

                 a b b a b a A a b b a

A 1 21 2

22] 1

1 1 1 1 2 16 6 4

1 2 3 4 1 22 41 30 1

2 3 5 5 18 10 44 30 2

3 4 5 8 4 13 6 1

A A

                             

23]

1

3 4 2 7 1 11 7 26

2 3 3 2 1 1 7 3 16

5 7 3 9 2 1 1 1 0

2 3 2 3 1 1 1 2

A A

                             

24]

                             3 5 1 1 3 5 5 1 3 14 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 A A 25]                            6 1 5 14 4 15 9 4 10 5 1 4 2 1 1 3 4 4 3 2 1 A A 26]                            0 1 2 1 3 3 2 3 1 6 5 3 5 4 2 3 2 1 1 A A 27]                                3 1 6 1 2 1 3 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 3 0 0 0 2 1 A A

28] 1

1 2 1 2 1 1 1 1

2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 5 1

2 1 1 2 1 1 1 1

A A

                                   29]                                    2 3 2 2 3 5 4 3 2 4 4 3 2 3 3 3 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 1 1 2 2 1 0 1 A A

1.4 DETERMINANTES

Ejercicios: Calcular El Determinante De Cada Matriz.

1] 11

1 6 0 1 5 2 4 2 3                  A A

2] 131

2 0 3 4 2 1 1 3 0 2 0 1 3 2 2 1                     A A

3] 55

1 1 2 2 3 4 1 1 2 1 0 3 2 3 1 2                    A A

Hallar el valor de t si el determinante de

A

0

4] 3,4, 2

4 0 0 2 1 1 3 4 2                   t t t t A

5] 4, 2

4 6 6 3 5 3 3 3 1                      t t t t A

6] 4, 2

(7)

7] 118

2 2 2 2 3

5 2 3 4 1

1 1 2 1 1

2 3 1 1 2

2 2 3 2 1

  

    

  

8] 2

1 1 2 2 1

2 1 1 0 0

0 0 0 1 1

1 1 1 0 0

1 2 1 2 1

9] 304

6 5 4 3

5 4 3 2

3 4 1 2

4 3 2 1

  

 

 

 

10] xyz

z x y y

x z y x

z z y x

4    

11] 3abc a3 b3 c3

c b a

a c c b b a

b a a c a b

      

  

12] 0

1 1 1 1

3 8 7 5

1 0 1 3

2 4 3 1

  

13] 1

cos cos

 

sen

sen

14] 36

0 0 1 0 1

3 0 1 1 0

3 1 2 1 0

0 1 1 1 1

3 1 1 0 2

 

  

 

15] 13

2 1 2 0 1

2 1 1 0 1

2 2 1 2 3

1 1 2 1 0

3 0 2 0 1

 

  

16] 40

0 2 1 0 1

1 4 2 3 2

1 0 2 1 0

2 1 0 1 2

5 5 4 3 1

  

 

 

 

17] 14

1 3 2 1

0 0 1 0

3 1 2 1

0 1 1 2

  

 

18] 0

5 5 6 5 23 4

0 9 8 9 2 1

8 11 10 4 2 8

4 3 9 8 4 5

0 9 8 9 2 1

5 6 7 2 6 2

 

 

 

 

 

19] 120

0 1 1 0 2 1

1 3 1 1 2 1

0 0 1 0 1 0

1 1 1 0 1 2

2 1 2 1 0 1

1 1 0 1 1 2

 

 

 

 

 

 

20] bca

a c

a b

b c

2 0

0 0

 

21] abc

b a c c

b a c b

a a c b

4    

22] 2a3 2b3

b a b a

a b a b

b a b a

   

 

23] 5

5 2 1 4

1 1 1 1

4 2 1 4

3 2 1 3

  

(8)

24] 80

2 4 6 9 3

0 4 3 45 6

0 0 5 34 4

0 0 0 1 23

0 0 0 0 2

  

  

 

25]

36

1 1 2 2 1

1 1 2 1 2

2 0 1 1 0

1 1 1 2 0

2 1 0 1 2

 

  

 

 

26]

0

6 0 6 4 0

5 0 0 6 9

4 0 9 7 3

3 0 8 6 2

2 0 2 5 3

 

 

27]

7

3 0 1 2 1

2 1 1 1 0

1 0 2 2 1

0 2 1 1 2

1 0 1 1 0

 

 

28]

23

2 0 0 0 3

1 1 0 2 1

0 3 1 3 0

2 2 1 0 1

1 1 2 1 2

 

 

 

  

29]

144

0 3 1 0 1

1 0 3 0 2

2 1 1 0 1

1 0 3 1 0

0 1 0 2 3

 

  

30] ac c ab cb

b a c

b a b

c b a

       

2

1 1 1

31] 0

 

 

y c y b y a

x c x b x a

c b

a

Use reducción por operación de filas para demostrar las siguientes identidades.

32]

b a



c b



c a

c

b a

c b

a    

2 2 2

1 1 1

33]



1



1

1 1 1

3 3

2

2    

b a a b ab b a

b a

b a

34]

b a



c b



c a



a b c

c b a

c b

a      

3 3 3

1 1 1

35]



1



1



1

1 1 1

4 4

2

2

b a b a a b ab b a

b a

b a

1.4.1 Utilizando el método del adjunto,

encontrar la inversa de las siguientes matrices.

36]

     

 

     

 

         

    

 

 

2 3 2 1

1 3 1 1

0 3 1 0

1 1 1

0 0 3

1 2 0

1

A A

37]

     

   

          

   

 

5 7 1

1 5 1

5 1 1 6 1 1

1 2

1 0 1

4 5 3

1

A A

38]

     

 

     

 

        

     

 

2 1 2 3 6 1

0 1 3 1

0 0 3 1

2 3 2

0 1 1

0 0 3

1

A A

39]

     

   

         

   

 

6 3 2

5 0 0

7 3 1 5 1 0

1 0

1 2 2

3 1 1

1

A A

40]

     

   

          

   

 

6 3 4

3 2 2

8 3 5

0 1 0

1 2 0

7 6 3

1

A A

41]

     

    

  

     

   

 

0 1 1

1 1 1

1 1 0

1 1 0

1 1 1

0 1 1

1

(9)

42]

  

 

  

 

      

 

  

 

 

1 1 1

1 1 1

1 1 1

2 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

1

A A

1.4.2 Utiliza la regla de Cramer para

resolver los siguientes sistemas de

ecuaciones.

43]

1 1 1

  

  

  

z y x

z y x

z y x

44]

1 4

5

2 2 4

3 2 3 3

  

   

  

z y x

z y x

z y x

45]

1 1 2 0

   

   

    

   

w z y x

w z y x

w z y x

w z y x

46]

5 3

2

0 2

2 6 4 2

   

 

  

z y x

z x

z y x

47]

4 5 2 2

4 3 2

4 2

  

   

  

    

w y x

w z y x

w z y

w z y x

48]

4 2

6 2 2 3

6 2

  

   

  

z y x

z y x

z y x

49]

0 4 2

0 4 2

2 7 3 2

  

  

  

z y x

z x

z y x

2.1 ESPACIOS VECTORIALES

1] ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de 3son subespacios de 3?

a)

a

,

b

,

2

.

no

b)

a

,

b

,

c

donde

c

a

b

si c)

a

,

b

,

c

donde

c

a

0

d)

a

,

b

,

c

donde

a

c

e)

a

,

b

,

c

donde

b

2

a

1

f)

a

,

b

,

c

donde

a

2

b

si g)

a

,

b

,

c

donde

a

b

c

no h)

a

,

b

,

c

donde

ab

0

no i)

a

,

b

,

c

donde

a

b

c

si

j)

a,b,c

dondeab2 no

2] ¿ Cuáles de los siguientes subconjuntos de 4 son subespacios de

4 ?

a)

a

,

b

,

c

,

d

donde

a

b

2

no b)

a

,

b

,

c

,

d

donde

c

a

+2b

y da3b si

c)

a

,

b

,

c

,

d

donde

a

0

y bd

d)

a

,

b

,

c

,

d

donde

a

b

0

3] ¿ Cuáles de los siguientes subconjuntos de los polinomios de segundo grado P2 son subespacios ?

a) 2 1 0, 0 0

2tata dondea

a si

b) a2t2 a1ta0, dondea0 2 no c) a2t2 a1ta0, dondea2a1a0 si 4] En los siguientes ejercicios determine si el subconjunto dado de las matrices 2 x 2 M22 , es un

subespacio de M22 .

a) El conjunto de matrices de la forma

  

 

0 0

a a

b) El conjunto de matrices de la forma

a

b

b

a

c) Todas las matrices

d

c

b

a

tales que a + d = 0

d) El conjunto de matrices

d

c

b

a

(10)

5] Sea A

xy,xy,0

 3

Mostrar que A es un subespacio.

6] Sea s

x,2x, x1

/ x 

Mostrar que A no es un subespacio.

7] Sea

s

x

,

2

y

,

3

z

/

x

,

y

,

z

Mostrar si es subespacio de 3.

8] ¿ Cuál de los siguientes conjuntos son subespacios de 3 ?

a)

s

x

,

y

,

z

/

x

,

y

,

z

Q

b)

s

x

,

0

,

z

/

x

,

z

c)

s

x

,

y

,

2

/

x

,

y

d)

s

x

2

y

,

x

3

z

,

2

x

y

z

/

x

,

y

,

z

2.2 COMBINACIÓN LINEAL

Ejercicios:

1] Escribir el vector

v

1

,

2

,

5

3 como una combinación lineal de los vectores;

1

,

1

,

1

1

u

,

u

2

1

,

2

,

3

,

u

1

2

,

1

,

1

Res. v6u1 3u2 2u3

2] Escribir el vector

v

2

,

5

,

3

3 como una combinación lineal de los vectores;

1

,

3

,

2

1

u

,

u

2

2

,

4

,

1

,

u

1

1

,

5

,

7

Res. V no puede escribirse como combinación lineal porque el sistema no tiene solución

3] Para que valor de k el vector

k

u

1

,

2

,

3. Será combinación lineal de los vectores;

3

,

0

,

2

v

,

w

2

,

1

,

5

Res. k 8

4] Mostrar que el plano xy,

w

a,b,0

3 es generado por u,v si; a) u

1,2,0

y

v

0

,

1

,

0

b)

u

2

,

1

,

0

y

v

1

,

3

,

0

Res. a) u,v si generan a w

5] Consideremos los vectores;

u

1

,

3

,

2

,

v

2

,

1

,

1

3

a) Escribir

w

1

,

7

,

4

como combinación lineal de u,v

b) Escribir

w

2

,

5

,

4

como combinación lineal de u,v

c) Para que valor de k es

k

1

,

k

,

5

una combinación lineal de

u

,

v

Res. a) w3u2v b) no c) 8 6] Escribir u 3t2 8t5 como combinación lineal de; v 2t23t4 y

w

t

2

2

t

3

Res. u 2vw

7] Escribir u 4t26t1 como combinación lineal de; v 2t23t4 y

w

t

2

2

t

3

Res. Imposible

8] Escribir la matriz

  

 

  

2 1

1 3

E como una combinación lineal de las matrices;

   

 

 

1 0

1 1

A ,

  

   

0 1

1 1

B ,

  

 

0 0

1 1

C

Res. E2AB2C

9] Escribir la matriz

  

 

  

2 1

1 2

E como una

combinación lineal de las matrices;

   

 

 

1 0

1 1

A ,

  

   

0 1

1 1

B ,

  

 

0 0

1 1

C

Res. Imposible

10] Mostrar que

1

,

1

,

1

,

0

,

1

,

1

,

0

,

1

,

1

generan

3

11] ¿Cuáles de los siguientes vectores generan

4?

a)

1

,

0

,

0

,

1

 

,

0

,

1

,

0

,

0

 

,

1

,

1

,

1

,

1

 

,

1

,

1

,

1

,

0

b)

1

,

2

,

1

,

0

 

,

1

,

1

,

1

,

0

 

,

0

,

0

,

0

,

1

(11)

12] Determine cual de los siguientes conjuntos dados generan P2

a)

1tt2,12tt2,t

b)

1t,1t,2tt2

c)

1tt2,1tt2,1tt2

Res. a) no b) si c) si

13] Determine cual de los siguientes conjuntos dados generan M22

a)

   

 

                       

5 0

5 0 , 0 4

0 4 , 3 0

3 0 , 1 1

1 1

b)

   

 

                       

5 4

3 2 , 4 4

0 0 , 3 3

3 0 , 2 2

2 2

c)

   

 

                        

1 1

0 3 , 0 0

1 2 , 0 1

1 1 , 0 0

0 1

Res. a) no b) c) si

2.3 BASES Y DIMENSIONES

1] Determina si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes. a)

1

,

2

,

1

 

,

3

,

1

,

2

li b)

1

,

3

,

2

 

,

2

,

1

,

0

 

,

0

,

5

,

4

ld c)

2

,

1

,

1

 

,

1

,

2

,

3

 

,

0

,

1

,

2

li d)

1

,

0

,

0

 

,

0

,

1

,

0

 

,

0

,

0

,

1

li e)

1

,

2

,

1

 

,

0

,

1

,

2

 

,

1

,

1

,

1

li f)

1

,

0

,

1

 

,

2

,

1

,

3

 

,

1

,

0

,

0

 

,

1

,

0

,

1

g)

1

,

3

,

7

 

,

2

,

0

,

6

 

,

3

,

1

,

1

 

,

2

,

4

,

5

h)

1

,

2

,

3

 

,

1

,

3

,

2

 

,

2

,

1

,

5

li i)

1

,

3

,

1

,

4

 

,

3

,

8

,

5

,

7

 

,

2

,

9

,

4

,

23

ld j)

1

,

2

,

4

,

1

 

,

2

,

1

,

0

,

3

 

,

3

,

6

,

1

,

4

li 2] Determinar si las siguientes matrices son

linealmente independientes o dependientes.

a)

                   

0 0

1 1 , 1 0

0 1 , 1 1

1 1

C B

A li

b)

  

  

 

              

0 4

5 1 ,

2 2

1 3 , 1 3

2 1

C B

A

c)

  

 

      

 

  

2 0 6

8 4 2 ,

1 0 3

4 2 1

v

u ld

d)

  

 

      

 

  

3 2 1

4 5 6 ,

4 5 6

3 2 1

v

u li

e)

   

 

  

   

 

      

 

  

1 10 2

7 8 3

2 5 4

4 1 1 ,

1 4 2

3 2 1

w

v u

ld

f)

   

 

 

 

   

  

 

   

 

  

3 2 1

2 1 4

5 0 2

3 1 1 ,

4 2 3

1 1 2

w

v u

li

g)

  

      

 

  

2 1

0 1 2 ,

1 0

2 4

v

u ld

h)

  

  

 

      

0 1

1 0 ,

1 0

0 1

v

u li

3] Sea V el espacio vectorial de los

polinomios de grado 3 sobre , determine si los polinomios son linealmente independientes o dependientes.

a)

5 3 2

1 4 2

3 2 4

2 3

2 3

2 3

  

  

  

t t t

t t t

t t t

li

b)

9 7 7 2

4 3 4

3 2 5

2 3

2 3

2 3

  

  

  

t t t

t t t

t t t

ld

c)

7 8 8 3

4 6

3 2 4

2 3

2 3

2 3

  

  

  

t t t

t t t

t t t

(12)

d)

5 9 4 2

2 8

1 5 3

2 3

2 3

2 3

  

  

  

t t t

t t t

t t t

li

e)

8

4

1

2

1

16

2

1

2 3

2 3

t

t

t

t

ld

f)

3 4

4 3

3 3

 

 

t t

t t

li

4] Determine si cada conjunto de los siguientes vectores forman una base de 3.

a)

2

,

4

,

3

 

,

0

,

1

,

1

 

,

0

,

1

,

1

si b)

1

,

3

,

4

 

,

1

,

4

,

3

 

,

2

,

3

,

11

no c)

1

,

2

,

1

 

,

0

,

3

,

1

,

no d)

3

,

2

,

2

 

,

1

,

2

,

1

 

,

0

,

1

,

0

5] Exprese el vector

2

,

1

,

3

como una combinación lineal de los vectores en cada subconjunto que sea una base de 3. a)

1

,

1

,

1

 

,

1

,

2

,

3

 

,

0

,

1

,

0

c)

1

,

2

,

3

 

,

2

,

1

,

3

 

,

0

,

0

,

0

d)

1

,

1

,

2

 

,

2

,

2

,

0

 

,

3

,

4

,

1

6] ¿ Cuáles de los siguientes vectores son base para 2 ?

a)

1

,

3

,

 

,

1

,

1

,

b)

1

,

3

,

 

,

2

,

6

,

c)

1

,

2

,

 

,

2

,

3

  

,

3

,

2

d)

1

,

1

,

 

,

3

,

1

,

7] Hallar una base y la dimensión del subespacio W de 4 generado por los vectores. a)

1

,

4

,

1

,

3

 

,

2

,

1

,

3

,

1

 

,

0

,

2

,

1

,

5

b)

1

,

4

,

2

,

1

 

,

1

,

3

,

1

,

2

 

,

3

,

8

,

2

,

7

c)

1

,

1

,

0

,

2

 

,

3

,

1

,

2

,

1

 

,

1

,

0

,

0

,

1

d)

1

,

0

,

0

,

1

 

,

0

,

1

,

0

,

0

 

,

1

,

1

,

1

,

1

 

,

0

,

1

,

1

,

1

e)

0

,

0

,

1

,

1

 

,

1

,

1

,

1

,

2

 

,

1

,

1

,

0

,

0

 

,

2

,

1

,

2

,

1

8] Sea W el espacio generado por los polinomios. Hallar una base y la dimensión de W.

a)

7 7 2

4 3

1 2 2

2 3

2 3

2 3

  

  

  

t t t

t t t

t t t

b)

1 2

4 6 8 6

1 3 2

2 3

2 3

2 3

  

  

  

t t t

t t t

t t t

c)

t t t t

t t

  

 

2 3 3

2 3

1 1

9] Sea V el espacio de matrices 2 x 2 sobre .

Y sea W el subespacio generado por el siguiente conjunto de matrices. Hallar una base y la dimensión de W

a)

   

 

           

 ,

2 2

1 1 , 2 1

2 1

W

b)

   

 

   

   

  

 

 

 ,

3 3

3 3 , 1 1

1 1 W

c)

   

 

                  

6 5

6 5 , 4 3

4 3 , 2 1

2 1 W

d)

   

 

                  

1 1

1 1 , 0 1

1 0 , 1 0

0 1 W

e)

   

 

                  

4 3

3 3 , 4 3

2 2 , 4 3

2 1 W

f)

   

 

                  

6 5

6 5 , 4 3

4 3 , 2 1

2 1

W

2.3.1 Ejercicios:

Determine una base y la

dimensión del espacio solución del sistema

homogéneo dado

.

1 2

1] 2 4 3 0

2 2 2 0

2 4 2 3 4 0

3

( 2,1, 0, 0, 0), ( 1, 0, ,1, 0), ( 3, 0, 1, 0,1)

x y z r s

x y z r s

x y z r s

Dim Base

    

    

    

  

    

2] 2 2 3 0

2 3 0

3 6 8 5 0 3

( 2,1, 0, 0, 0), (5, 0, 2,1, 0), ( 7, 0, 2, 0,1)

x y z s t

x y z s t

x y z s t

Dim Base

    

    

    

  

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