2. Propiedades de la integración - Integrales Romón 2012

1. Integrales

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las

matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y

volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Dada una función de una variable real y un intervalo de la recta real, la integral

es igual al área de la región del plano limitada entre la gráfica de , el eje , y las líneas verticales y , donde son negativas las áreas por debajo del eje .

Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las

integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

El signo ∫, una "S" alargada, representa la integración; a y b son el límite inferior y el límite

Para empezar, se considerará la curva entre y , suponiendo que . La pregunta es:

¿Cuál es el área bajo la función , en el intervalo desde hasta ?

Esta área (todavía desconocida) será la integral de . La notación para esta integral será

.

Como primera aproximación, se mira al cuadrado unidad dado por los lados x=0 hasta x=1 y y=f(0)=0 y y=f(1)=1.

De modo que el valor exacto del área bajo la curva se calcula formalmente como

Integral de Riemann.

La integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann de funciones respecto de particiones etiquetadas de un intervalo. Sea [a,b] un intervalo cerrado de la recta real; entonces una partición etiquetada de [a,b] es una secuencia finita

Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto el área de la que hemos hablado es algebráica y no geométrica. Si una función es

alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de las x.

2. Propiedades de la integración

La integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales,

Convenciones

En esta sección f es una función real Riemann integrable. La integral

sobre un intervalo [a, b] está definida si a < b. Esto significa que los sumatorios

superiores e inferiores de la función f se evalúan sobre una partición a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn

= b cuyos valores xi son crecientes. Geométricamente significa que la integración tiene

lugar "de izquierda a derecha", evaluando f dentro de intervalos [x i , x i +1] donde el

intervalo con un índice más grande queda a la derecha del intervalo con un índice más pequeño. Los valores a y b, los puntos extremos del intervalo, se denominan límites de integración de f. Las integrales también se pueden definir si a > b:

 Inversión de los límites de integración. si a > b entonces se define

Ello, con a = b, implica:

 Integrales sobre intervalos de longitud cero. si a es un número real entonces

3. Teorema fundamental del cálculo

 Teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si se define F para cada x de [a, b] por

entonces F es continua en [a, b]. Si f es continua en x de [a, b], entonces F es derivable en x, y F ′(x) = f(x).

 Corolario. Si f es una función continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b], y F, definida por

es una primitiva de f en [a, b]. Además,

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inicial:

Ejemplo

Regla de Barrow Integrales definidas: Teorema fundamental del cálculo

Isaac Barrow (1630-1677) fue un matemático inglés, cuya aportación más importante a las Matemáticas fue la unión del cálculo diferencial e integral. La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

Ejemplos

Hallamos los nuevos límites de integración.

Integramos por partes.

También se puede hacer sin transformar los límites de integración y volviendo a la variable inicial.

en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que;

1 . Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x2 _{en el intervalo [−4, −1]. Como la} función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar el teorema de la media.

La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.

Como la función es continua en [0, 1], se puede aplicar el teorema de la media.

Área de una función y el eje de abscisas

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con los el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte: Ejemplos

1 . Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 _{y el eje OX. En primer lugar hallamos los puntos de} corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración:

3 . lugar se calcula la integral:

A.1. La función es negativa

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:

Ejemplos

1 . Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 ₋

4x y el eje OX. O sea esto

A.2. La función toma valores positivos y negativos

En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración

3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.

Ejemplos

1 . Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 _{− 6x}2 _{+ 8x y el eje OX.}

El área, por razones de simetría, se puede escribir:

2 . Calcular el área del círculo de radio r. Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r²

Hallamos los nuevos límites de integración.

B. Área comprendida entre dos funciones

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Ejemplos:

En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.

2 . Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.

3 . Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x2 _{e y = −x}2 _{+ 4x. En primer lugar representamos las} parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

4. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x2 _{− 2x, y = −x}2 _{+ 4x.}

4 . Hallar el área de de la región limitada por las funciones:

y = sen x, y = cos x, x = 0.

La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración.

Desarrollo: Resolver la siguiente integral:







 En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad: u= 2x+6 (1)

 Debido a (1), la integral original se transforma, momentáneamente en:







=



u

5

dx

 Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original, se debe expresar a dx, en función de du y para ello se:

 Deriva ambos miembros de (1) para obtener: du=2dx

 Divide la expresión anterior entre 2, obteniéndose: dx

du _

2 ₍₃₎







=



u

5

dx



 Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Para su solución basta con aplicar la Ecuación 1.1. Así:

du u



2 1

= u c 6 12

1

 Devolviendo el CDV, u=2x+6 , se obtiene la respuesta final. Por tanto:











6 2 12 1 6 2 Ejemplo 2

Resolver la siguiente integral:

dx x



Solución

 Método a emplear: Integración por CDV. ( cambio de varable)

 Regla de integración: Ecuación 1.1

Desarrollo:

 En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad: u= 4x -1 (1)

 Debido a (1), la integral original se transforma, momentáneamente en: dx

x



=  u dx (2)

 Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original, se debe expresar a dx, en función de du y para ello se:

 Deriva ambos miembros de (1) para obtener: du=4dx

 Divide la expresión anterior entre 4, obteniéndose:

dx

du



4

dx x



=  u dx = 4



 Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Aplicando exponente fraccionario y la Ecuación 1.1., se obtiene:

du u



4 1

= u c 3 6 1

 Devolviendo el CDV, u= 4x -1, se obtiene la respuesta final. Por tanto: Ejemplo 3

Resolver la siguiente integral: dx e x



Solución

 Método a emplear: Integración por CDV.

 Regla de integración: Ecuación 1.3

Desarrollo:

 En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad: u= 1-x (1)

 Debido a (1), la integral original se transforma, momentáneamente en:

dx

e



= eudx (2)

 Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original, se debe reemplazar a dx, en función du y para ello se:

 Deriva ambos miembros de (1) para obtener: du=-1dx

 Divide la expresión anterior entre -1, obteniéndose: -1du=dx (3)

 Si en (2), se reemplaza a dx por la expresión obtenida en (3) y además se aplica la propiedad 1 de los O.L , se obtiene:

dx

e



= eudx = e du

u





du

e





= eu c

 Devolviendo el CDV, u = 1-x, se obtiene la respuesta final. Por tanto: Ejemplo 4

Resolver la siguiente integral:



Solución

 Método a emplear: Integración por CDV.

 Regla de integración: Ecuación 1.3

Desarrollo:

 En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad: u = x2 ₍₁₎

 Debido a (1), la integral original se transforma, momentáneamente en:



= xeudx = euxdx (2)

Obsérvese la agrupación de términos, que se hizo en la última integral.

 Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original, se debe expresar a xdx, en función du y para ello se:

 Deriva ambos miembros de (1) para obtener: du=2xdx

 Divide la expresión anterior entre 2, obteniéndose: xdx

du _

2 ₍₃₎

 Si en (2), se reemplaza a xdx por la expresión obtenida en (3) y además se aplica la propiedad 1 de los O.L , se obtiene:



= xeudx = euxdx = e du

u



2 1

 Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Recuerde que para su solución basta con aplicar la Ecuación 1.3. Así:

du eu



2 1

= e c

u _

2 1

 Devolviendo el CDV, u = 1-x, se obtiene la respuesta final. Por tanto:



Ejemplo 

Resolver la siguiente integral:







 En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad: u= t2 _{+1 (1)}

 Debido a (1) , la integral original se transforma, momentáneamente en:





t









Obsérvese la agrupación de términos, que se hizo en la última integral.

 Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original, se debe expresar a tdt, en función du y para ello se:

 Deriva ambos miembros de (1) para obtener: du=2tdt

 Divide la expresión anterior entre 2, obteniéndose:

tdt du _

2 ₍₃₎

Si en (2), se reemplaza a tdt por la expresión obtenida en (3) y además se aplica la







= tu5dt = u5tdt =



 Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Recuerde que para su solución basta con aplicar la Ecuación 1.1. Así:

du u



2 1

= u c 6 12

1

c t

dt t

t  _  _   _  _ 2 1 6

12 1 5 1 2 Ejemplo 6

← Resolver la siguiente integral:





x2 4 3_13



Desarrollo:

 En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad: 1

3_ x

u ₍₁₎

 Debido a (1), la integral original se transforma, momentáneamente en:





x2 4 3 3 2 4 3 4 3 2

1







(2)

Obsérvese la agrupación de términos, que se hizo en la última integral.

 Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original, se debe expresar a x2_{dx, en función de du y para ello se:}

 Deriva ambos miembros de (1) para obtener: dx

x du_3 2

 Divide la expresión anterior entre 2, obteniéndose:

dx x du 2

3  ₍₃₎

 Si en (2), se reemplaza a x2 dx por la expresión obtenida en (3) y además se aplica la propiedad 1 de los O.L , se obtiene:





x









3 1 1

basta con aplicar exponente fraccionario y la Ecuación 1.1. Así:

c u du

u  



21 4 3

1

 Devolviendo el CDV, u= x3_{+1 , se obtiene la respuesta final. Por tanto:}

Ejemplo 7

Resolver la siguiente integral:

dy y

y



2 ₅

4

Desarrollo:

 En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad: u= y5_{+1 (1)}

 Debido a (1), la integral original se transforma, momentáneamente en:

dy y

y



= u dy

y 

4 2

(2)

 Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original, se debe expresar a y4_{dy, en función de du y para ello se:}

 Deriva ambos miembros de (1) para obtener: du=5 y4 dy  Divide la expresión anterior entre 5, obteniéndose:

dy y du 4

5  ₍₃₎

 Si en (2), se reemplaza a y4 _{dy por la expresión obtenida en (3) y además}

se aplica la propiedad 1 de los O.L , se obtiene:

dy y

y



2 ₅

4

= u dy

y  4

=



1 5 2

 Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Para su solución basta con aplicar la Ecuación 1.5. Así:

du u



5 2

= 5Ln u c 2

tanto:

Resolver la siguiente integral:









1  





Desarrollo:

 En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad: u= x2_{+2x+5 (1)}

 Debido a (1), la integral original se transforma, momentáneamente en:



















Obsérvese la agrupación de términos, que se hizo en la última integral.

 Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original, se debe expresar a (x+1)dx, en función de du y para ello se:

 Deriva ambos miembros de (1) para obtener: du=(2x+2) dx =2 (x+1) dx (El 2 es factor común)  Divide la expresión anterior entre 2, obteniéndose:





1

2   ₍₃₎

 Si en (2), se reemplaza a (x+1)dx por la expresión obtenida en (3) y además se aplica la propiedad 1 de los O.L , se obtiene:





 12 1 ₌



12 2 1

 Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Para su solución basta con aplicar la Ecuación 1.1. Así:

du u



= u c 13 26

1

 Devolviendo el CDV, u= x2_{+2x+5 , se obtiene la respuesta final. Por}

tanto:

dx x x x x x        _{  }       _{ } 12 10 4 5 5 6 3 12 4 3 Desarrollo:

 En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad: u= x5_+5x4_{+10x+12 (1)}

 Debido a (1), la integral original se transforma, momentáneamente en:

dx x x x x x        _{  }       _{ } 12 10 4 5 5 6 3 12 4 3

= u du

x x

3 4 12 3 6

= u du

x x      

 4 _4 3_2 3

(2)

Obsérvese que en el numerador, se sacó factor común (FC) el 3.

 Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable x, se debe expresar a (x4_+4x3_{+2)dx, en función de du y para ello se:}

 Deriva ambos miembros de (1) para obtener:

du = (5x4_+20x3_{+10)dx = 5(x}4_+4x3_{+2)dx (Aquí, se sacó el 5 como FC)}

 Divide la expresión anterior entre 5, obteniéndose:

dx

x

x

du

)

2

4

(

5

_

_



(3)

 Si en (2), se reemplaza a (x4 4x32)dx por la expresión obtenida en (3) y además se aplica la propiedad 1 de los O.L , se obtiene:





_du

u

du

u

x

x











1

5

3

2

4

3

basta con aplicar la Ecuación 1.5. Así:

c u Ln du

u  



5 3

 Devolviendo el CDV, ux55x410x12, se obtiene la respuesta final. Por tanto:

Resolver la siguiente integral:









u



6 2

3 3

 En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad: 6

2 2_{ } u u

z ₍₁₎

Obsérvese que en este ejercicio no es conveniente utilizar la letra “u” como variable auxiliar, debido a que la variable originalmente dada en la integral es precisamente u, razón por la cual, en este ejercicio, se utiliza “z” como variable auxiliar.

 Debido a (1), la integral original se transforma, momentáneamente en:









u du z u du u u u







 Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original, que en este caso es “u”se debe expresar a





 Deriva ambos miembros de (1) para obtener:









dz 2 2 2 1 _{(Aquí, se sacó el 2 como FC)}

 Divide la expresión anterior entre 2, obteniéndose:

du

u

dz

)

1

(

 Si en (2), se reemplaza a (u1)du por la expresión obtenida en (3) y además se aplica la propiedad 1 de los O.L , se obtiene:









u





 Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Para su solución basta con aplicar la Ecuación 1.1. Así:











Ejemplo

Integral del seno

Integral de la tangente

Integral de la cotangente

Integral del arcoseno

Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.

Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.

Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador.

Con el objeto que el lector verifique el aprendizaje que - sobre este segundo método de integración - ha adquirido, se presenta a continuación ejercicios propuestos y su respuesta, los cuales deben ser resueltos antes de empezar a estudiar el próximo método.

Ejercicios Propuestos de Método # 2

1.    _dx x x x x 3 2 3 3 4 2 c x x x23 ln 

2. x x 4x 1dx

3 2 2 2

3  

_  _ _ x  x _2c

3 1 4 3 2 3 1

3.  45xdx

3

c x 

 4 5

5 6

4. 47xdx c

x  4 ln 7 7 4 5. dx x e x               4 2 7 2 c x e

x  

2 4 1 4 2 7

6. x dx

x x     1 3 5 11 2

6 _{x  x ln3x1c}

3 2 3 2

7. e x dx x e  1 2 2 3 c x e _ 

  2 _1 ln 2 3

9.





  dx

x x

3 2

2





c x23

9 2

10. x dx x

ln _ln2x_c

2 1

←

Integrales trigonométricas

Potencias pares de sen x o cos x

Se aplica el seno y coseno del ángulo mitad :

Potencias impares de sen x o cos x

Con exponente par e impar

El exponente impar se transforma en uno par y otro impar.

Productos de tipo sen(nx) · cos(mx)

Ejercicios aplicaciones de la integral. Áreas

1. Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

2. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.

3.Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).

4. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 _{= 4x e y = x}2_.

5. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.

6.Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2_{) y la} recta y = −1.

8. Hallar el área limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.

9.Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 _{− 3x}3 _{y el eje} de abscisas.

10. Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados.

11. Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 _{+ y}2 _{= 9.}

12. Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.

13. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 _{− 4x + 3| y el eje OX.}

14. Hallar el área de la figura limitada por: y = x2_{, y = x, x =} 0, x = 2