Algebra Lineal DETERMINANTES y REGLA DE CRAMER

(1)

Prof.: Alosno Arguedas B Página 1 DETERMINANTES

Un Determinante es una función que asigna a cada matriz un número real, se define como:





:

,

D M n IR



IR

, donde:

 

D a



a

, si

n



1

.

   

1

   

2

 

1 1 2 2

1

i _i _i

1

i _i _i

...

1

i n _in _in

D A

 



a D A

 



a D A

  



a D A

, si

n



2

. ij

A

es la matriz que se obtiene al eliminar la fila

i

, columna

j

de la matriz A.

Use la definición de determinante para calcular los siguientes determinantes:

1

2

3

2

4

2

1

2

2 



2

1

4

2

3

0

2

1

3

2

1

2

1

1 



Un método alternativo para calcular determinantes de matrices cuadradas de orden 3, consiste en copiar las dos primeras columnas al final de de la matriz y luego multiplicar las diagonales principales resultantes, sumar sus resultados y posteriormente multiplicar las diagonales secundarias, sumar los resultados y finalmente restar la suma de los primeros productos con la suma de los segundos productos, observe el procedimiento:



 



12 4 8

8 4 12

1 2 3 1 2 1 2 3 1 2

2 4 2 2 4 2 4 2 2 4 8 4 12 12 4 8 8

1 2 2 1 2 1 2 2 1 2

 

   

        

(2)

Prof.: Alosno Arguedas B Página 2 Propiedades del Determinante

El determinante es lineal con respecto a sus filas:

Sea

A



M n IR



,



una matriz cuyas filas son:

A A

1

,

2

,...,

A

ny la

i

- ésima fila de la matriz viene dada por

A

i

 

X



Y

con



IRy

,

n

X Y



IR

(Vectores en

IR

n ) entonces se tiene que:

  

     

  

  

  

 

   

 

   

 

   

 

1 1

2 2

1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 1 2 2

1 2

1 1 2 2

1 2

1 1 2 2

1

1 ...

1

1 ...

1

1 ...

1

1 ...

1

i

n n

i i i n

i i n n in

i i i n

i i n in

i i i n

i i n in

i i i n

i i n in

A

X

Y

A

x

y D A

x

y

D A

x

y

D A

x D A

y D A

x D A



  









 



  







 

  





 

  





 

  



 

1

   

2

 

1 1 2 2

1 1

2 2

1

1 ...

1

i i i n

i i n in

n n

y D A

A

X

Y

A



  



_

_{ }

_{  }



_







Se observa que el determinante es lineal con respecto a las filas de la matriz.

Se desprende de esta propiedad que si una fila de una matriz es amplificada en un factor k el valor del determinante quedará amplificado en el mismo factor.

De este modo se puede argumentar que:

 

(3)

Prof.: Alosno Arguedas B Página 3 El determinante es alternado:

Cuando dos filas de una matriz son iguales el determinante vale cero.

Esta propiedad puede ser demostrada por inducción matemática, es claro que para una matriz de dos por dos el resultado es cierto, ahora si se asume cierto para n y se intenta robar para n+1 se podría entrar por una de las filas distintas y calcular desde ahí los determinantes, al realizar estas operaciones se tendrán un conjunto de sumando con determinantes de matrices de orden n con dos filas iguales, las cuales por hipótesis inductiva serían todas iguales a cero y se comprobaría que el determinante es igual a cero.

El determinante de

I

_n es igual a uno:

Si se calcula el determinante por la fila i de

I

, se tendría que:

   

 

   

 

1 2

1 1 2 2

1 2

1 2 2

2 1

1

1 ...

1

0

1

0 ...

1

1 ...

1

0

1

i i i n

n i i i i in in

i i i i i n

i i i in

i i

i n

D I

a D A

D A

D I

        

 

 

  



 

 

  



 



Continuando con este razonamiento se concluye que:

 





1

 

1 2

1 1 1

1

n

1

n n n

D I



D I

_



D I

_





D



Intercambio de filas:

Si dos filas de una matriz se intercambian el determinante de dicha matriz cambiara de signo. El primer análisis se realiza cuando las filas son adyacentes.

Considere la matriz

A



M n IR



,



y la matriz

B



M n IR



,



que resulta de intercambiar la fila

i

con la fila

i



1

.

11 12 13 1 1 1

1 2 3 1

11 12 13 1 1 1

1 2 3 1

n n

i i i in in

i i i i n i n

n n n nn nn

a

A

a

        

















 























11 12 13 1 1 1

1 2 3 1

n n

i i i i n i n

i i i in in

n n n nn nn

a

B

a

        

















 























   

1

   

2

 

1 1 2 2

1

i _i _i

1

i _i _i

...

1

i n _in _in

D A

 



a D A

 



a D A

  



a D A

   

1 1



  

1 2





 

1





1 11 2 12 1

1

i _i _i

1

i _i _i

...

1

i n _in _i _n

(4)

Prof.: Alosno Arguedas B Página 4 Pero si se observa con atención:

Las matrices:

B

i1jy

A

ijson iguales, de tal forma que:

 

   

 

1 2

1 1 2 2

1 2

1 1 2 2

1

1 ...

1

1 ...

1

i i i n

i i i i in in

i i i n

i i i i in in

D B

a D A

D B

  

  

  

   









_



 

  

_

 

Ahora si

j



i

y no son filas adyacente se requieren

j i



intercambios de filas para poner la fila

j

antes de la fila

i

, luego se requieren

j i

 

1

intercambios para llevar la fila

i

al lugar donde estaba la fila

j

, obteniendo un total de

j i

    

j i

1 2



j i

 



1

intercambio, es decir, un número impar de intercambios lo que generaría un cambio de signo en el determinante final. Si una fila es nula su determinante es cero:

Esta propiedad es trivial, basta con calcular el determinante por la fila de ceros y el resultado final sería cero.

Determinante en un Pivoteo:

Si en una matriz se realiza un Pivoteo el determinante no cambia. Considere la matriz



,



B



M n IR

que se obtiene de tomar la matriz A, y multiplicar la fila

i

de por un escalar

k

y sumarlo a la fila

j

, entonces:

 

1 1 1 1

2 2 2 2

et

i i i i

j i j i i

n n

F A

Det B

D

Det

Det A

kDet

F

A

kF A

F

A

kF A

F A

F

A

F

A

F

A

F

A

















































































































_













































_



_









_

_

_









 

Det A



















Observe que la última matriz tiene dos filas iguales y por tanto, su determinante vale cero.

Tres propiedades interesantes se han demostrados con respecto a operaciones fundamentales de en matrices, la primera es que el determinante no cambia cuando se hacen pivoteos, la segunda es que el intercambio de filas cambiará el signo en el determinante y por último, si se amplifica una fila en un factor “k” el determinante quedará amplificado en el mismo factor.

(5)

Prof.: Alosno Arguedas B Página 5 Trabajo de Síntesis Teórica

Utilice toda la información proporcionada hasta el momento para demostrar que el determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

Calcule el siguiente determinante:

1

2

0

1

4

2

1

2

3

2

3

3 1 5

0

2

1

0

1

2

4

0

4 



(6)

Prof.: Alosno Arguedas B Página 6 REGLA DE CRAMER

Una de las aplicaciones más importantes de los determinantes está presente en la solución de sistemas de ecuaciones y se demuestra a continuación.

Si

A



M n IR



,



y

D A

 



0

, entonces el sistema

Ax



b

, tiene solución única



1

,

2

,...,

n



x



x x

x

, donde:





 

1

,

2

,...,

i 1

, ,

i 1

,...,

n i

D A A

A

b A

A

x

D A

 



Considere las columnas de

A

:

A A

1

,

2

,...,

A

n, entonces:

















1 2 1 1 1 2 1 1

1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1

1

1 2 1 1

1 Recuerde qu

,

,...,

, ,

,...,

,

,...,

,

,...,

,

,...,

,

...

,

,...,

,

,...,

,

,...,

,

,...,

,

,...,

i i n i i n

n

i n n i n i k k i n

k n

k i k i n

k

D A A

A

b A

A

D A A

A

Ax A

A

D A A

A

A x

A x A

A

D A A

A

x A A

A

x D A A

A

A A

A

   



 









 



_

_













1 2 1 1



 

e si dos columnas son iguales el determinante es igual a cero

,

,...,

,

,...,

i i i i n i

x D A A

A

_

A A

_

A

x D A



Luego:





 

1

,

2

,...,

i 1

, ,

i 1

,...,

n i

D A A

A

b A

A

x

D A

 



.

Utilice regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

2

4

9

3

1 x

y

z

x

y

z

x

y

z

 



(7)

Prof.: Alosno Arguedas B Página 7 MATRIZ INVERSA Y DETERMINANTE

En el estudio de matrices inversas se observó que para determinar la inversa de una matriz se resolvían n sistemas de ecuaciones de forma simultánea, el interés final se centrará en la aplicación del concepto de determinante para calcular la inversa de una matriz. Para este proyecto, es necesario construir algunos resultados previos.

Determinante de Matrices Elementales:

Recordando que en una matriz elemental solo debe hacerse una operación fundamental sobre la identidad, y que el determinante de esta última es igual a uno se tendría que:

Para una elemental de pivoteo:



_i _j



1 E kf



f



Para una elemental de multiplicación por escalar:

 

i

E kf



k

Para un intercambio de filas:



_i

,

_j



1 E f f

 

De este modo, se evidencia la siguiente propiedad.

Sean

B



M n IR



,



y

E



M n IR



,



una matriz elemental, entonces:

 

Det EB



Det E Det B

Nota:

Una matriz

A

no es invertible si existe una solución

x

*



0

que resuelva el sistema homogéneo

0 Ax



. Esto es porque al no ser equivalente a la identidad una de sus filas quedará reducida a cero, permitiendo una solución paramétrica para el sistema.

Otra propiedad a tratar es la siguiente: Sean

A B

,



M n IR



,



entonces:

 

(8)

Prof.: Alosno Arguedas B Página 8 La demostración puede ejecutarse en cuatro casos:

 

0 Det A



y

Det B

 



0

Al ser

Det A

 



0

entonces

A

no es invertible, esto implica que existe una solución

y



0

distinta de cero tal que

Ay



0

, luego al ser

Det B

 



0

entonces existe una única

x



0

solución para el sistema

Bx



y

, entonces:

 

0 ABx



A Bx



Ay



, por lo tanto,

AB

no es invertible y

det

 

AB



0

De este modo:

 

   

0 

det

AB



det

A

det

B



0

Pruebe de forma análoga los siguientes casos:

 

0 Det A



y

Det B

 



0  

0 Det A



y

Det B

 



0

Por último, si

Det A

 



0

y

Det B

 



0

Entonces

A

es invertible y puede expresarse como un producto de matrices elementales, a saber:

1 2 3

...

n

A



E E E

E

, luego:

 





 

1 2 3

...

n 1 2 3

...

n

Det AB

Det E E E

E B

Det E

Det B

Det A Det B

(9)

Prof.: Alosno Arguedas B Página 9 Use lo establecido hasta el momento para demostrar que:

 

1

1 _{ }

Det A



_

Definición de Matriz Adjunta

Sea

A



M n IR



,



se define la matriz adjunta de

A

y se denota por

Adj A

 

a la matriz:

 

11 12 1

21 22 2

1 2

T n

n

n n nn

B

Adj A

B



























, donde

B

_ij

 

 

1

i j

A

_ij .

Teorema:

Sea

A



M n IR



,



, y sea

B

ij

 

1

i j

A

ij



 

entonces la expresión:

1 1 2 2 ... 2 0

i j i j in j n

a B a B  a B  si i



j

Para probar este enunciado basta construir la matriz

A

de forma tal que la fila

i

de

A

sea igual a la fila

j

de A:

11 12 13

21 22 23

1 2

1 1

i

j

i i in

j j jn

n n nn

a

Fila

A

a

Fila

a

























 























(10)

Prof.: Alosno Arguedas B Página 10 Observando la matriz al tener dos filas iguales su determinante es cero, pero su determinante se puede calcular entrando por la fila

j

y corresponde precisamente a:

1 1 2 2

...

2

i j i j in j n

a B



a B

 

a B

Finalmente, se hace observar el resultado al que se esperaba llegar.

 

A Adj A



Det A I

Si se multiplica

A Adj A

 

se obtiene:

 

11 12 1 11 21 1

21 22 2 12 22 2

1 2 1 2

n n

n n nn n n nn

a

B

a

B

Adj A

a

B







































Cuando se multiplica la fila

i

por la columna

j

el resultado es:

1 1 2 2 ...

i j i j in jn

a B a B  a B (Observe que la adjunta es una transpuesta, de ahí el cambio en los índices)

Ahora

i



j

entonces

a B

i1 j1



a B

i2 j2

 

...

a B

in jn



a B

i1 i1



a B

i2 i2

 

...

a B

in in



Det A

 

Pero si

i



j

entonces a Bi1 j1a Bi2 j2 ... a Bin jn 0 por el resultado anterior, de este modo:

 

11 12 1 11 21 1

21 22 2 12 22 2

1 2 1 2

0

n n

n n nn n n nn

a

B

Det A

a

B

Det A

A Adj A

a

B

Det A

































_{ }

_















_{ }

_





 



Utilice este teorema para encontrar la inversa de la siguiente matriz: 2 4 3

0 1 1

3 5 7 A

 

 

_  _

 