Sobre el teorema de Rolle en dimensión infinita

(1)

Sobre el teorema de Rolle

en dimensi´

on infinita

Olivia Gut´

u

oliviagutu@mat.uson.mx

Universidad de Sonora.

Luis Encinas y Rosales s/n. 83000, Hermosillo.

Sea f : [a, b] _→ R una función continua, diferenciable en (a, b) con el mismo valor en los extremos. El teorema de Rolle clásico afirma que existe un punto u en (a, b) tal que f0(u) = 0. En el caso multivariable, la formulación directa de el teorema de Rolle no es cierta para funciones

f : U _⊂ Rn _→ Rm, con m > 1 donde U es abierto, conexo y acotado. Por ejemplo, la funci´on

f(x, y) = (x(x2+y2)₋x, y(x2+y2)₋y),

es diferenciable en la bola abierta U =_{(x, y) :_k(x, y)_k=px2₊_y2 _<

1_}, continua en U y adem´as f(x, y) = (0,0) para todo (x, y) en la frontera deU. Sin embargo, un simple c´alculo es suficiente para verificar que el jacobiano es distinto de la matriz cero en todo punto deU.

x f0₍_u_{) = 0}

u

Figura 1: Ilustraci´on del teorema de Rolle en una variable.

Para funciones con valores reales, la versi´on del teorema de Rolle es la siguiente: sea U _⊂ Rn un conjunto abierto, conexo y acotado, si

f :U _→R es una funci´on continua, diferenciable en U y constante en la frontera de U, entonces existe un punto u_∈U donde el gradiente de

(2)

quef es constante en la frontera de U, sin perder generalidad se puede suponer que el valor máximo o el m´ınimo se alcanza en u _∈ U. Por tanto, _∇f(u) = 0 _∈ Rn. Esta última deducción resulta de reducir el problema al caso uno-dimensional al tratar cada entrada por separado [1, p. 304].

Para completar el cuadro finito-dimensional, resta decir que en [15] se presentan dos generalizaciones del teorema de Rolle para funciones con valores vectoriales f : U _⊂ Rn _→ Rm, añadiendo ciertas con-diciones si m > 1. Este trabajo termina con la conjetura de que los resultados expuestos no deben permanecer válidos en dominios infinito-dimensionales, ni siquiera para m= 1. El lector algo familiarizado con este tipo de espacios habrá notado que los argumentos que se han pre-sentado al comienzo del párrafo anterior no funcionan en este caso, ya que en dimensión infinita ((cerrado y acotado no implica compacto)). Otras versiones del teorema de Rolle en dimensión finita se pueden encontrar en [21, 24, 19] y en [23].

El propósito de este escrito es ofrecer al lector una introducción a la llamada geometr´ıa de espacios normados a través de una exposición sobre la falla en el teorema de Rolle en espacios de dimensión infinita. El resto del art´ıculo se divide en tres secciones. En la primera se establecen los conceptos elementales de la diferenciabilidad en espacios normados. La segunda sección comienza con un ejemplo concreto donde el teorema de Rolle falla y a partir de él se deduce una condición general sobre los espacios donde el teorema de Rolle no se satisface. Finalmente en la tercera sección se presenta una caracterización de dichos espacios.

1. C´

alculo en dimensi´

on infinita

Antes de continuar es necesario describir con precisión el contexto na-tural del teorema de Rolle en dimensión infinita. En lo que sigue, se van a considerar funciones f : E _→ R, donde E es un espacio de Banach real de dimensión infinita, es decir, un espacio vectorial sobre R nor-mado y completo, tal que no existe ningún conjunto finito de vectores linealmente independiente que lo generan. Un espacio vectorial norma-do es completo si toda sucesión de Cauchy converge. Si la norma _{k · k} de un espacio de Banach E proviene de un producto interno, esto es, para todox_∈E:

kx_k=p_hx, x_i,

(3)

Espacio Tipo de vector Condici´on Norma

c00 (xi)∞i=1 {i:xi= 06 }es finito kxk∞= m´axi∈N|xi|

c0 (xi)∞i=1 l´ımi→∞{xi}= 0 kxk∞= m´axi∈N|xi|

`p,p∈[1,∞) (xi)∞i=1

P∞

i=1|xi|p<∞ kxkp= (P∞i=1|xi|p)

1

p

`∞ (xi)∞i=1 {xi}i∞=1es acotada kxk∞= supi∈N|xi|

c00(Γ) x: Γ→R supp(x) ={γ:x(γ)= 06 }es finito kxk∞= supγ∈Γ|x(γ)|

c0(Γ) x: Γ→R {γ:|x(γ)| ≥}es finito,∀ >0 kxk∞= supγ∈Γ|x(γ)|

`p(Γ),p∈[1,∞) x: Γ→R Pγ∈Γ|x(γ)|p<∞ kxkp= (Pγ∈Γ|x(γ)|p)

1

p

`∞(Γ) x: Γ→R xes acotada kxk∞= supγ∈Γ|x(γ)|

13

Cuadro 1: El espacio c00 es un espacio vectorial normado de dimensi´on

infinita pero no es de Banach, todos los dem´as s´ı son espacios de Banach. El s´ımbolo Γ denota a un conjunto cualquiera. La sumaP_γ_∈Γ_|x(γ)_|p se define como el sup_F P_γ_∈_F_|x(γ)_|p donde F recorre a todos los subcon-juntos finitos de Γ. Se cumple quec₀₀(N) =c₀₀,c₀(N) =c₀y`_p(N) = `_p,

p_∈[0,_∞], [17, p. 5 ss.].

Un ejemplo importante de espacio de Hilbert de dimensi´on infinita es el espacio`2(real) definido como el conjunto de sucesiones con valores

reales

x= (x1, x2, x3, . . .)

tales que P∞_i₌₁_|xi|2 < ∞, con la norma proveniente del producto

in-terno _hx, y_i=P∞_i₌₁xiyi, esto es:

kx_k2 =

v u u t

∞ X

i=1

|xi|2. (1)

En el cuadro 1 se presentan otros ejemplos de espacios de Banach donde los vectores son tambi´en sucesiones pero con distintas normas.

En dimensión finita –para fines del teorema de Rolle– no tiene mu-cho sentido pensar en términos más generales de espacios vectoriales, basta considerar aRncon la norma euclidiana, de hecho, es bien sabido que todos los espacios vectoriales n-dimensionales reales son isomorfos a Rn, todas las normas en Rn son equivalentes y además la derivada de una función es invariante bajo normas equivalentes, ver [2, p. 55] y también [8, p. 16 y p. 27].

En lo que sigue,E representa a un espacio de Banach real con norma

(4)

Fréchet diferenciable en u _∈ U si existe una transformación lineal y continua Tu :E →R y una función continua real E(u, h) tal que:

f(u+h)₋f(u) =Tu(h) +khkE(u, h) (2)

para _kh_k < r, donde E(u, h) _→ 0 cuando _kh_{k →} 0. A Tu se le llama

derivada total o derivada Fréchet de f en u, en caso de existir es ´ uni-ca y se denota por f0(u). Esta definición se extiende naturalmente a funciones con imagen en un espacio de Banach F. En este caso, f0(u) es una transformación lineal y continua de E en F. Este concepto fue originalmente establecido por M. Fréchet en [13].1

Si f : Rn _→ R es Fr´echet diferenciable en u, f0(u) est´a dada sim-plemente por el gradiente de f en u, esto es, para todo x _∈ Rn [1, p. 258 ss.]:

f0(u)(x) =_∇f(u)_·x.

Más aún, si f es un campo vectorial Fréchet diferenciable entonces

f0(u) es la transformaci´on lineal asociada a la matriz jacobiana de f en

u [1, p. 270 ss.]. No obstante, pueden existir el gradiente o la matriz jacobiana de una función en un punto pero la derivada Fréchet no. Un ejemplo común en la literatura es f(x, y) = p_|xy_|. Para esta función existe el gradiente_∇f(0,0) = (0,0) y sin embargo no existef0(0,0) [9, p. 47].

Una propiedad fundamental de la derivada Fr´echet es que satisface la regla de la cadena [8, p. 27], esto es: si f es Fr´echet diferenciable en

u,ges Fréchet diferenciable enf(u) y ademásh=g_◦f está definida en un entorno de uentonces la funciónhes también Fréchet diferenciable y

h0(u) =g0(f(u))_◦f0(u).

A continuación se presentan algunos ejemplos sobre la derivada Fréchet de particular interés para los fines de este art´ıculo.

1. Sea T una transformaci´on lineal entre dos espacios de Banach E

y F. Es f´acil calcular:

T0(u)(x) =T(x).

1_{Una definición equivalente es la siguiente. La función}_f _{es Fréchet diferenciable}

enusi existe una transformaci´on lineal y continua f0(u) tal que

f0(u)(x) = l´ım t→0

f(u+tx)−f(u)

t ,

(5)

x y

z

Figura 2: Gr´afica de la funci´onf(x, y) =p_|xy_| puesta ((boca abajo)).

En este caso, la ecuaci´on (2) se satisface conE(u, h) = 0.

2. Si H es un espacio de Hilbert con producto interno _h·,_·i, enton-ces la aplicaci´on bilineal f : H _→ R definida por f(x) = _hx, x_i

es Fr´echet diferenciable para todo u_∈H. De hecho, por las pro-piedades algebr´aicas del producto interno, para todo h y u en

H:

hu+h, u+h_{i − h}u, u_i= 2_hu, h_i+_kh_k2.

Por tanto,

f0(u)(x) = 2_hx, u_i.

En particular esto prueba que la aplicaci´onρ(x) = _kx_k2es Fr´echet diferenciable fuera del origen, para cualquier espacio de Hilbert. De hecho, por la regla de la cadena, para todo u₆= 0,

ρ0(u)(x) = 1

ku_k2hx, ui.

3. Es el turno de la norma de`1, definida parax= (x1, x2, x3, . . .)∈ `1 por

kx_k1 = ∞ X

(6)

Un hecho interesante es que la funci´on x _{7→ k}x_k1 no es Fr´echet diferenciable en cada punto u de `1. Para argumentar esta

afir-mación se razona por contradicción. Sin pérdida de generalidad se puede suponer que u _∈ `1 tiene norma 1. De la definición de

derivada Fr´echet se concluye que dado >0 existe δ >0 tal que

ku+h_k1+_ku₋h_k1 _≤2 +_kh_k1, (3)

si _kh_k1 < δ. Sea < 1₂ fijo y el δ > 0 correspondiente a . Como

u_∈`1, existe un ´ındice i tal que |ui|< δ₈. Sea h= δ₂ei donde

ei = (0, . . . ,0,_|{z}1 ,0, . . .).

↑ lugar i

Se puede verificar que_|ui+δ₂|>|ui|+δ₄ y|ui−δ₂|>|ui|+δ₄. Por

tanto, _ku+h_k1 > 1 + δ₄ y ku−hk1 > 1 + δ₄. Ya que khk1 = δ₂,

entonces por (3) se llega a la contradicci´on δ₂ < δ₄.

4. El ´ultimo ejemplo concierne a la norma de`∞, definida para cada vector x= (x1, x2, x3, . . .)∈`∞ por

kx_k∞= sup

i |

x_i_|.

Se puede comprobar sin mucha dificultad que la funci´on x _7→ kx_k∞ es Fr´echet diferenciable en los puntos ei, i = 1,2,3. . .,

definidos como en el ejemplo anterior. De hecho, esta aplicación es Fréchet diferenciable en un conjunto denso de `∞ [17, p. 105]. Sin embargo, no es Fréchet diferenciable en u= (1,1,1, . . .).Los argumentos para comprobar esta afirmación son muy parecidos a los empleados en el tercer ejemplo. Se razona igualmente por el absurdo. Dado <1 existe δ > 0 tal que

ku+h_k∞+ku−hk∞ ≤2 +khk∞ (4)

si _kh_k∞< δ. Sea h= (δ,−δ,0,0, . . .). Por tanto,

ku+h_k∞=ku−hk∞= m´ax{|1 +δ|,|1−δ|,1}= 1 +δ.

Luego, por (4) se llega a la contradicci´on 2<1.

(7)

p= 1

p= 2

p=∞

Figura 3: Ilustraci´on de las esferas Sp = {(x, y) ∈ R2 : xp +yp = 1},

para p= 1,3₂,5₄,2,3,10,20 y S∞=_{(x, y)_∈R2 : m´ax(_|x_|,_|y_|) = 1_}.

Para concluir esta sección y con el propósito de dejar al lector una idea de lo que pasa con otros teoremas clásicos del cálculo diferencial en el contexto infinito-dimensional, se ha de mencionar que el teorema del valor medio para funciones con valores reales se satisface independien-temente de la dimensión [14, p. 845]. Si f toma valores en un espacio de BanachF, con un poco de más trabajo se obtiene una((desigualdad del valor medio)) en analog´ıa al caso finito-dimensional [8, p. 37 ss.]. Por otro lado, el teorema de la función inversa y el teorema de la fun-ción impl´ıcita se satisfacen en dimensión infinita y la demostración es básicamente la misma que en dimensión finita [8, p. 51 y p. 56]. Ambos teoremas involucran a funciones de clase C1 esto es, funciones diferen-ciables con derivada continua. En la siguiente sección se verá que en general el teorema de Rolle falla incluso para funciones de clase C1.

2. Falla del teorema de Rolle

(8)

Espacio Tipo de vector Condición Norma

c00 (xi)∞i=1 {i:xi= 0� }es finito �x�∞= m´axi∈N|xi|

c0 (xi)∞i=1 l´ımi→∞xi= 0 �x�∞= m´axi∈N|xi|

�p,p∈[1,∞) (xi)∞

i=1

�∞

i=1|xi|p<∞ �x�p= (�∞i=1|xi|p)

1

p

�∞ (xi)∞i=1 {xi}∞i=1es acotada �x�∞= supi∈N|xi|

c00(Γ) x: Γ→R supp(x) ={γ:x(γ)�= 0}es finito �x�∞= supγ∈Γ|x(γ)|

c0(Γ) x: Γ→R {γ:|x(γ)| ≥�}es finito,∀� >0 �x�∞= supγ∈Γ|x(γ)|

�p(Γ),p∈[1,∞) x: Γ→R �γ∈Γ|x(γ)|p<∞ �x�p= (�γ∈Γ|x(γ)|p)

1

p

�∞(Γ) x: Γ→R xes acotada �x�∞= supγ∈Γ|x(γ)|

1

Figura 4: Clasificaci´on de espacios de Banach con ejemplos. En ´esta figura el s´ımbolo Γ representa a un conjunto cualquiera no numerable. Las demostraciones de todas las afirmaciones que se representan en la figura se pueden encontrar en los primeros cap´ıtulos de [17].

Sean

R(x) = (0, x1, x2, x3,· · ·), L(x) = (x₂, x₃, x₄, x₅. . .)

transformaciones lineales definidas para cada x = (x₁, x₂, x₃, . . .) _∈ `₂

y seag :`2 →`2 la funci´on

g(x) =

1

2 − kxk

2

e1+R(x).

Naturalmente, e1 representa al vector (1,0,0,· · ·). Para simplificar

no-taci´on, en lo que sigue se usa_k·kpara denotar a la norma_k·k2 definida

en (1). Considere ahora la funci´on f :`2 →R,

f(x) = 1− kxk

2

kx₋g(x)_k2. (5)

Sin mucha dificultad se puede verificar que la aplicación g no tiene puntos fijos, por tanto, f es una función continua en `2 que además se

anula en los puntos de norma 1. Note que en dimensión finita no se puede definir una función análoga ag, ya que esta se establece a través del operadorT el cual((mueve))una coordenada a todox y para ello se precisan infinitas coordenadas. Sea

(9)

Como se hab´ıa visto en la secci´on anterior la funci´on x _{→ k}x_k2 =

hx, x_i es Fréchet diferenciable y ya que R es una transformación lineal y continua, g también es Fréchet diferenciable en todo `2 con derivada

enu dada por

g0(u)(x) =₋2_hu, x_ie1+R(x).

La derivada del cociente y la regla de la cadena llevan a concluir que

f es Fr´echet diferenciable en todo `2 y en particular en B. Adem´as,

permiten el c´alculo preciso de su derivada enu_∈B. De hecho, tomando en cuenta que_hg(u), e1i= 1₂−kuk2,hu, R(x)i=hL(u), xiyL(g(u)) =u

se concluye que

f0(u)(x) = ₋2hαu−β(L(u) +g(u)), xi

ku₋g(u)_k4 (6)

donde

α = _ku₋g(u)_k2+β(1 + 2u1+ 2kuk2), β = 1_{− k}u_k2.

Se supone ahora quef0(u) = 0 para alg´unu_∈B, esto es,f0(u) es la transformaci´on lineal que satisface f0(u)(x) = 0_∈R, para todo x_∈`2.

Por la ecuaci´on (6),

σu₋L(u)₋g(u) = 0,

donde σ = α_β. Aplicando la transformaci´on lineal L de ambos lados de la igualdad anterior se llega a la ecuaci´on

u=σL(u)₋L2(u),

la cual define la sucesi´on recurrente

un =σun+1−un+2, n= 1,2, . . .

El polinomio caracter´ıstico asociado a esta sucesi´on es t2₋σt+ 1 = 0.

Finalmente, se concluye la prueba después del análisis de las posibles soluciones de la sucesión recurrente. Estas se establecen en función del signo del discriminante del polinomio, llegando a una contradicción en los tres casos. Se recomienda al lector remitirse al art´ıculo original para ver los detalles.

(10)

existe una sucesi´on_{xi}∞i=1 de vectores enEdensa enE con la topolog´ıa

de la norma (ver figura 4). Evidentemente, el espacio Rn dotado de cualquier norma es separable, as´ı que este concepto cobra importancia en espacios de dimensi´on infinita. La separabilidad nos permite que ciertas manipulaciones basten hacerlas sobre un conjunto numerable en lugar de considerar a todo el espacio. Por ejemplo, se sabe que si H

es un espacio de Hilbert separable con producto interno_hh·,_·ii, entonces admite una base ortonormal_{ei}∞i=1 y para cadax∈H se cumple que:

x=

∞ X

i=1

hhx, eiiiei, (7)

en analog´ıa a Rn [17, p. 16].

A partir del ejemplo en `2 es f´acil construir una funci´on que haga

que falle el teorema de Rolle en cualquier espacio de Hilbert separable

H. El teorema de Riesz-Fischer nos asegura que todo espacio de Hilbert separable es isom´etrico a `2. En efecto, si {ei}∞i=1 es la base ortonormal

enH que satisface (7), para cada x_∈H la igualdad

T(x) = (_hhx, eiii)∞i=1

define una isomorfismo (sobre) T : H _→ `2. Adem´as, T es una

iso-metr´ıa, de hecho, si _{||| · |||} es la norma de H [17, p. 17]:

|||x_|||2 =_hhx, x_ii=

∞ X

i=1

|hhx, eiii|2 =kT(x)k2.

Sea BH = {x ∈ H : |||x||| < 1} y f la funci´on establecida en (5). La

aplicaci´on

h=f_◦T :H _→R

hace que falle el teorema de Rolle en H en B_H. Se puede verificar r´apidamente quehes continua enH y adem´as queh(x) =f(T(x)) = 0 para todox en la frontera deBH, es decir si|||x|||= 1. Sea u∈BH. Ya

que la regla de la cadena se satisface y T0(u)(x) =T(x) entonces para todox_∈H,

h0(u)(x) = f0(T(u))T(x).

Como u _∈ BH entonces T(u) ∈ B, luego f0(T(u)) 6= 0 y por tanto

h0(u)₆= 0. Con esto se ha probado queel teorema de Rolle falla en todo espacio de Hilbert separable.

(11)

problema de la no-diferenciabilidad en el origen. Existe una herramienta más sofisticada que nos puede ayudar a obtener resultados semejantes más generales, a continuación se expone.

Un resultado cl´asico y sorprendente en la topolog´ıa en dimensi´on infinita es que la esfera unidad

SH ={x∈H:|||x|||= 1},

de cualquier espacio de Hilbert H de dimensión infinita es homeomor-fa a él –¿el lector abrió los ojos?–, más aún: todo espacio de Hilbert infinito-dimensional es difeomorfo a su esfera unidad, hecho que de-mostró Bessaga en 1966 [7]. Esto quiere decir que existe un homeomor-fismo diferenciable φ : H _→ SH donde φ−1 también es diferenciable,

incluso se puede construir el homeomorfismo de clase C∞ [11].2

En la búsqueda de la generalización del resultado de Bessaga y si-guiendo sus pasos, en [4] se prueba lo siguiente: si E es un espacio de Banach de dimensión infinita que admite una norma Fréchet diferencia-bleρ(no necesariamente separable), dador >0 existe un difeomorfismo de claseC1

φ:E _→E_{\ {}0_},

tal que φ(x) = x si ρ(x) > r. La frase admite una norma Fréchet diferenciable precisamente significa que existe una norma equivalente a la deE que es Fréchet diferenciable fuera del origen. Un hecho relevante es que si una norma es Fréchet diferenciable, entonces es de clase C1

[17, p. 93].3

Supongamos queEadmite una norma Fr´echet diferenciableρ:E _→ R. Sea

BE ={x∈E :ρ(E)<1}

y φ:E _→E_{\ {}0_} unC1-difeomorfismo tal que φ(x) = xsi ρ(x)> 1₂ y

f :E _→R la funci´on:

f(x) = 1₋ρ(φ(x)).

2_{El difeomorfismo} _φ _: _H _→ _S

H se establece formalmente en el contexto de variedades diferenciables de dimensión infinita. La esfera de cualquier espacio de Hilbert es una variedad de claseC∞. SiH es de dimensión infinita, también lo esSH como variedad. La definición de función diferenciable entre variedades de dimensión infinita se constituye a partir de la noción de función Fréchet diferenciable entre espacios de Banach. El lector puede encontrar las definiciones precisas de estos conceptos en los primeros cap´ıtulos de [20].

3_{El resultado de Bessaga no se cumple en general para cualquier espacio de}

(12)

Ya que φ es de clase C1 enE y ρ es diferenciable en E_{\ {}0_}, entonces

f es de clase C1 enBE y claramente continua en E. Adem´as,f(x) = 0

para todox en la frontera de BE. Por otro lado, si u∈BE entonces,

f0(u) = ρ0(φ(u))_◦φ0(u). (8)

Seanu_∈BE fijo yy=φ(u)∈E\{0}. De (8) se deduce quef0(u)(x) = 0

para todox_∈E si y s´olo siρ0(y)(φ0(u)(x)) = 0 para todox_∈E. Ya que

φ es un difeomorfismo, tantoφ como φ−1 son diferenciables y entonces

φ0(u) :E _→E es un isomorfismo lineal (sobre). Para verificar la ´ultima afirmaci´on basta aplicar la regla de la cadena para derivar a φ_◦φ−1 y

φ−1_◦φ. Por tanto,f0(u) = 0 si y s´olo siρ0(y) = 0. Comoρes una norma, entonces es una funci´on convexa. Por tanto, si y es un punto cr´ıtico ρ

entonces ρ alcanza su m´ınimo global en y ₆= 0 [9, p. 321], lo cual es imposible. En conclusi´on, siE admite una norma Fr´echet diferenciable entonces el teorema de Rolle falla en E y en particular falla en todo espacio de Hilbert.

En vista del resultado anterior, es natural preguntarse qué espacios admiten una norma Fréchet diferenciable. Como ya se ha advertido an-tes, los espacios de Hilbert admiten una norma Fréchet diferenciable, de hecho su propia norma. Es oportuno comentar que el espacio c0 y

los espacios `p con 1 < p < ∞ tambi´en admiten una norma Fr´echet

diferenciable. Un resultado general que caracteriza a los espacios sepa-rables que admiten una norma Fr´echet diferenciable se puede consultar en [17, p. 97]. En la siguiente secci´on se toca el tema de `1 y `∞.

3. Caracterizaci´

on de la falla

Un fen´omeno interesante que ocurre en `1 es el siguiente: si existe un

conjunto U _⊂ `1 abierto y acotado y una funci´on continua f :U → R

Fr´echet diferenciable enU entoncesf(∂U) es denso enf(U). En parti-cular, si U es conexo y f es constante en la frontera deU (es decir, si las hip´otesis del teorema de Rolle se cumplen)f tiene que ser constante en todo U. Por tanto, el teorema de Rolle se cumple trivialmente. Lo mismo ocurre en`∞. El lector interesado puede consultar [6, p. 259 ss.] para ver la prueba de estas afirmaciones a detalle.

En resumen, hay espacios de Banach donde las únicas funciones que satisfacen las hipótesis del teorema de Rolle son las funciones constan-tes. Esto está directamente relacionado con la existencia de funciones meseta. Se dice que una funciónϕ:E _→Res una función meseta si es distinta de la función cero y su soporte:

(13)

suppϕ

x y

Figura 5: Gráfica de una función meseta de dos variables Fréchet dife-renciable.

es acotado. En vista de lo expuesto en el p´arrafo anterior, ni `1 ni `∞

admiten funciones mesetas suaves.

Siguiendo esta l´ınea, no es dif´ıcil ver que en general si un espacio de Banach E no admite una funci´on meseta de clase C1 entonces el teorema de Rolle se cumple en E para aplicaciones de clase C1. Dicho de otro modo, si el teorema de Rolle falla en E para funciones de clase

C1entoncesE admite una función meseta de claseC1. Para argumentar la afirmación anterior se razona por contradicción. Sea U un conjunto abierto, conexo y acotado deE yf :U _→Runa función de claseC1en

E que se anula en la frontera deU. Seaϕ:R_→R una funci´on meseta de clase C1 tal que suppϕ _⊂ f(U). Como la derivada no se anula en

U, f(U) tiene interior no vac´ıo. La aplicación ϕ_◦f es entonces una función meseta de clase C1 con soporte contenido en U y se llega as´ı a una contradicción.

Por otro lado, si un espacio de Banach E admite una norma _{k · k} Fréchet diferenciable (y por tantoC1 como puntualizamos en la sección anterior), entoncesE admite una colección rica de funciones meseta de clase C1 de la forma φ(x) = ψ(_kx_k2) dondeψ :R_→ R es una función meseta de clase C1. Sin embargo, existe un ejemplo no trivial de un espacio de Banach (no-separable) que admite una función meseta de clase C1 pero que no admite norma Fréchet diferenciable [18].

En resumen, los argumentos dados a lo largo del art´ıculo muestran que cada una de las siguientes afirmaciones implica la siguiente:

1. El espacio E no admite funciones meseta de clase C1.

(14)

SiE es separable, se sabe que las afirmaciones anteriores son de hecho equivalentes [17, p. 101] y [10, p. 97], aunque en general la tercera afir-mación no implica la primera. Sin embargo, Azagra y Jiménez-Sevilla [5] probaron –hace relativamente poco– queE admite una función me-seta de clase C1 si y sólo si existe una función f :E _→R de clase C1

y un abierto y conexo U de E que hagan fallar el teorema de Rolle.

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