Integraldefienida resueltos

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(1)Bloque 4. Cálculo. Tema 7 Integral Definida Ejercicios resueltos 4.7-1 Resuelve las siguientes integrales definidas: a) b). 2.  3 x dx  e dx 2. 0. 1. x. 0. e. 1 dx x. c). . d).   x  2x. e). . 1 1. 2. 1. .  x 3  5 x 4 dx. 1. 3. dx x 1 2 2x 1 f)  2 dx 1 x  x. g). 2. 2. . 0. senxdx. 1 dx 1  x2 5 1 i)  dx 2 x 1  x  2    1. h). . j). . 1. a). . 2. b). . 1. c). . e. d).   x  2x. 0. x dx 0 1  x4. Solución 0. 0. 1. 2.    . 3 x 2 dx   x 3   23  03  8  0  8 0.    . 1. e x dx  e x   e1  e 0  e  1 0. e 1 dx  ln x 1   ln e    ln 1   1  0  1 x. 1. 1. 2. 3.  x  5x. 4. . 1. 2 1 1  dx   x 2  x 3  x 4  x 5   3 4 2  1. 2 4 10 1 2 1  1 2 1  2     1     1  1  1   2  3 3 3 2 3 4  2 3 4  3. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 1.

(2) e). 1. 3. . x 1. 2.  t  x 1 1 t1 2 1 2     C  2 x 1  C dx   dt t dt    12 x 1 t  dt  dx  1. . 1. 3. . 3. x 1. 2. f). dx. . 2. 1. .  . . dx  2 x  1   2 2  2 1  2 2  2 2. 2x 1 dx x2  x. 2x 1 2x 1 A B dx   dx   dx   dx 2 x x   x  1 x x 1. x. 2x 1 A B    2 x  1  A   x  1  B  x x   x  1 x x  1. x 0 1  A   A  B 1 x  1  1   B  2. . 1. 21 2 2 2 x 1 1 dx   dx   dx  ln x  ln x  1 1  2 1 1 x x x x 1.   ln 2  ln 3    ln 1  ln 2   ln 2  ln 3  ln 2  ln 3 g). . 2. 0 1. senxdx    cos x 0    cos 2     cos 0   1  1  0 2. 1   1 dx   arctagx 0   arctag1   arctag 0    0  2 1 x 4 4. h). . i).   x  1   x  2  dx. 0. 5. 1. 2. 1. A. B.   x  1   x  2  dx   x  1 dx   x  2 dx 1 A B    1  A   x  2   B   x  1  x  1   x  2  x  1 x  2. x  1  1  3A  1  A x  2  1  3 B  3. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. B. 1 3. Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 2.

(3) 1. 5. 1. 5 1  1  1  dx  ln x  1  ln x  2  2    2 3  x 1 x  2 .   x  1   x  2  dx  3  2. . j). . 1. 0. 5. 1 1 1 1 1 2 1 ln 4  ln 7    ln 1  ln 4   ln 4  ln 7  ln 4  ln 4  ln 7  3 3 3 3 3 3 3. x dx 1  x4.  t  x2  1 1 1 1 x  dx dt  arctg  t   C  arctg x 2  C    2  1  x4 2 2  dt  2 xdx  2 1  t.  . 1 x 1 1 1 1  1  dx  arctg  x 2     arctg 1    arctg  0       0  4 0 1 x 0 2 2 2 2 4 2 8. . 1. 4.7-2 Calcula el área de la región limitada por las siguientes gráficas: a) y  x 1  y  0 ( EJE OX )   x 0   x 1   y  0 ( EJE OX )   x 0   x 2. c) y  x3.   y  0 ( EJE OX )   x 1   x 2. b) y  x 2  1.   y  x  2  y  0 ( EJE OX ) . d ) y  x2. e) y  x2  x  2. f ) y  cos x  y  0 ( EJE OX )   x  2   x  3 2. g) y  x2   yx . h) y   x 2  6 x   y  x 2  2 x .   y  0 ( EJE OX )   x 0   x 1. Solución. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos. 3.

(4) a) y  x 1  y  0 ( EJE OX )   x 0   x 1. 1. 3 1  1  A    x  1 dx   x 2  x     1    0   0 2 2 0  2  1. 4. 3. 2 1. y  x 1 -4. -3. -2. y 0. -1. 1. 2. 3. 4. -1. x0. x 1. -2 -3. -4.   y  0 ( EJE OX )   x 1   x 2. b) y  x 2  1. A. 2. 1. . 2. 10  1  7 1  8 x  1 dx   x 3  x     2     1    1  3 3 1  3  3  3 2. . y  x2  1 5. 4. 3. 2. 1. y 0 -3. G3w. -2. -1. 1. x 1. 2. x2. 3. -1. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 4.

(5)   y  0 ( EJE OX )   x 0   x 2. c) y  x3. A. 2. 0. 2.  1   16  x dx   x 4      0  4  4 0  4  3. 8. 6. y  x3. 4. 2. x2. x 0 1. 2. 3. y0.    y  0 ( EJE OX ) . d ) y  x2 y  x  2. 5. Puntos de corte: 4. 3. x2   x  2  x2  x  2  0 y  x2. x  1, 2 1. 0. y  x  2. 1. y 0 -2. -1. 2. A   x 2 dx     x  2  dx . 2. 1. 1. 1. 2.  x3   x2        2x  3 0  2 1. 2. 3 5 1    1  1 A    0    2  4      2     2   2 6 3    2  3. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 5.

(6)   y  0 ( EJE OX )   x 0   x 1. e) y  x2  x  2. 1. y  x2  x  2. y 0 -1.5. -1. 0.5. -0.5. 0.5. 1. 1.5. 2. 2.5. -0.5 -1 -1.5 -2. x 1. x 0 -2.5. 1.  x3 x2   1 1   13 A     x  x  2  dx      2 x       2   0   0 2   6  3 2 3 0 1. 2. f ) y  cos x  y  0 ( EJE OX )   x  2   x  3 2. x  2. x  3 2. 1 y 0 . . 2 . y  cos x. -1. A  . 3 2.  2. G3w. .  3 2  3 cos xdx    senx  2    sen   2 . Conocimientos básicos de Matemáticas..       sen  2      1  1  2   . Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 6.

(7) g) y  x2   yx . 1.5 1.25 1. yx. 0.75. y  x2. 0.5 0.25. 0.5. 1. 1.5. -0.25 -0.5. Puntos de corte:. x 2  x  x 2  x  0  x   x  1   0  x  0,1 1.  x 2 x 3   1 1   1 A    x  x  dx          0   0 3  0  2 3   6 2 1. 2. h) y   x 2  6 x   y  x 2  2 x . y   x2  6 x 8. Puntos de corte:  x2  6 x  x2  2 x . 6.  2 x2  8 x  0  x   x  4   0 4. x  0, 4 A     x 2  6 x    x 2  2 x   dx  0 4. y  x2  2 x. 2.    2 x 2  8 x  dx  4. 0. -1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 4.  x3 x2    2  8   3 2 0   128   64     64   0     3  3. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 7.

(8) 4.7-3 Calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje OX las siguientes gráficas: c) y  3 y  0   x  0 x  5 . 1 2  x  2x  2  1  y x  2. a) y  1  x2   x  1   x 1 . b) y  . Solución. x  1. a) y  1  x   x  1   x 1  2. y  1  x2. x 1. 1. -1. 1.   dx     1  2 x  x  dx . 1. 1. 2. V    1  x2 1. 1. 2. 4. 1. 1. -1. 1.  2 x 3 x5    x     3 5  1  2 1  2 1     1       1     3 5  3 5  4 2  16    2      3 5  15 . -1. 1 2  x  2x  2  1  y x  2. b) y  . y 2. 1 2 x  2x 2. 1.5 1. y. 0.5 1. 2. 1 x 2 3. 4. -0.5. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 8.

(9) Puntos de corte: x2 x   2 x    x 2  4 x  x  x 2  3 x  0  x   x  3   0  x  0, 3 2 2 Se calcula el volumen generado por la gráfica de arriba (volumen lleno) y se le resta el volumen generado por la gráfica de abajo (volumen del agujero): 2. 2. 4 2 3 x  3 x 3 x  x2    2 x  dx     dx      2 x 3  4 x 2  dx    V    dx  0 0 0 0 4 2  2   4  3. 3.  x4  x5 x 4 5 x3  15 2     2 x3   x  dx       0 4 4 0  4   20 2 243  810  675 108 27  243 81 135        0       2 4  20 20 5  20 3. c) y  3 y  0   x  0 x  5 . y3. x5. x0. y0. 5. 5. V     3  dx    9dx    9 x 0    45  0   45 0. G3w. 2. 5. 0. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 9.

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