Los movimientos periódicos son aquellos en los que cada cierto tiempo se repiten los valores de posición, velocidad y aceleración. A ese intervalo de tiempo se le llama periodo.
El movimiento circular uniforme, el movimiento de un péndulo y el de un muelle son movimientos periódicos.
Movimiento Armónico Simple
Se llaman así porque pueden expresarse por medio de funciones armónicas: seno o coseno.
Supongamos un cuerpo que describe un movimiento circular uniforme en una circunferencia de radio A, la proyección de ese punto sobre el eje vertical describe un movimiento armónico simple. La ecuación de ese movimiento será:
y
A
α
y =A·senα = A·sen tωsi comenzamos a medir el tiempo cuando el ángulo recorrido es cero. Si el ángulo recorrido al comenzar a contar el tiempo es ϕ la ecuación se convierte en
(
t
)
y
=
A·sen
ω + ϕ
, en donde:y = elongación distancia a la que se encuentra el cuerpo desde la posición de equilibrio. A = amplitud valor máximo de la elongación = radio de la circunferencia.
ω = pulsación velocidad angular con la que se describe el movimiento circular.
(
ω + ϕ
t
)
= fase valor del ángulo en un momento determinado. ϕ= fase inicial ángulo con el que se inicia el movimiento.El periodo T es el tiempo que tarda en dar una oscilación completa (tiempo entre dos puntos que están vibrando de la misma forma)
2
T
π
ω =
;T
=
2
π
ω
La frecuencia es el número de oscilaciones completas realizadas en la unidad de tiempo
1
f
T
=
; se mide en s-1 ,vueltas·s-1, ciclos· s-1 o Hz.La velocidad con la que vibra el punto en cada instante se puede calcular como la derivada de la elongación:
(
)
(
)
(
)
dy
d
v
A·sen t
A· cos
t
dt
dt
=
=
ω + ϕ = ω
ω + ϕ
o bien
v
= ω
A· cos
(
ω + ϕ = ω −
t
)
A·
1 sen
2(
ω + ϕ = ω
t
)
A
2−
A sen
2 2(
ω + ϕ = ω
t
)
A
2−
y
2La aceleración, de la misma manera, será la derivada de la velocidad:
(
)
(
)
(
)
2
2 2
2
dv
d
a
A·sen t
A· sen
t
dt
dt
La velocidad es máxima en el punto medio y es mínima en los extremos mientras que la aceleración es máxima en los extremos y mínima en el centro.
Si representamos y, v y a frente al tiempo obtenemos las siguientes gráficas cuando la fase inicial es cero.
y
v
a
t
La velocidad en un MAS es máxima en la posición de equilibrio (punto medio) y nula en los extremos mientras que la aceleración es máxima en los extremos y nula en el punto medio.
Oscilador Armónico: Muelle
Si sobre un muelle de longitud L ejercemos una fuerza F, el alargamiento del muelle es proporcional a la fuerza F (Ley de Hooke). Cuanto mayor sea la fuerza mayor será el alargamiento, siempre que no sobrepasemos el límite de elasticidad (cuando deja de actuar la fuerza el muelle recupera su longitud inicial). La fuerza con la que el muelle recupera la posición inicial es la misma con la que se estira pero de sentido contrario F = −k L
(
F −L)
= −kx k es la constante del muelle; nos indica la fortaleza del mismo.¿Con qué periodo vibra un muelle cuando se estira y a continuación se suelta? Describe un movimiento vibratorio en el que la elongación es x:
2 2
2
kx 4
F kx ma; a x
m T
m T 2
k
x π = − = = − = −ω = −
= π
Energía de un oscilador armónico
La energía potencial de un muelle es el trabajo necesario para estirar el muelle hasta una distancia x
x x
2 P
0 0
1
E W F·dx kx·dx kx
2
= =
∫
=∫
=La energía cinética es:
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
C
1 1 1 1 1
E mv mA cos t kA cos t kA 1 sen t k A x
2 2 2 2 2
= = ω ω = ω = − ω = − 2
La energía total del oscilador será la suma de las dos:
(
)
2 2 2
T P C
1 1 1
-A
0
+A
x
E
TOTALE
PE
CMáxima compresión
Máximo estiramiento
Péndulo
Está formado por un punto material sujeto por un hilo inextensible y sin masa que oscila en un plano alrededor de la posición de equilibrio describiendo ángulos pequeños.
θ
La fuerza que genera el movimiento esF
x=
mg·sen
θ
y el arco recorrido hasta llegar a la posición de equilibrio es L·θ que si el ángulo es pequeño coincide con la elongación:L
2
2 2
2 2
2
n
mg·
m·a ; a g·
g·
L·
L
4
L
g
L
L
T 2
g
T
=
θ ≈
θ =
= θ⎫⎪
θ = ω θ
⎬
= ω θ
⎪⎭
π
= ω =
⇒
= π
F mg·se
a
= ω
x
P=mg
La velocidad y la energía cinética del péndulo son máximas en la posición intermedia y nulas en los extremos. La aceleración y la energía potencial son máximas en los extremos y nulas en el centro.
La energía potencial en los extremos es EP =mg L L cos
(
− θ =)
mgL 1 cos(
− θ)
La velocidad con la que pasa por el punto más bajo es(
)
(
)
2
C P
1
E mv mgL 1 cos
2
v 2gL 1 cos
= = − θ =
= − θ
Movimiento ondulatorio
Cualquier punto al que llega una onda vibra de la misma forma que el punto en el que se origina pero un tiempo t’ más tarde; el que tarda en llegar la perturbación a ese punto. Si la onda se propaga con una velocidad v tardará un tiempo t’ en llegar a un punto que está a una distancia x del origen.
A la distancia entre dos puntos consecutivos que están vibrando de la misma forma se le llama longitud de onda λ. El tiempo transcurrido desde una posición hasta la otra es el periodo.
(
)
(
)
x
2
x
2 t 2 x
y
A·sen
t t
A·sen
t
A·sen
t
A·sen
v
T
v
T
Tv
2 t 2 x
A·sen
A·sen
t kx
T
π
π
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
′
=
ω −
=
ω −
⎜
⎟
=
⎜
−
⎟
=
⎜
−
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
π
π
⎛
⎞
=
⎜
−
⎟
=
ω −
λ
⎝
⎠
π
=
En donde se llama pulsación ω 2 T
π
ω = y k es el número de ondas k = 2π λ
Esta ecuación es periódica en el tiempo (cada vez que pasa un tiempo T las magnitudes se repiten) y en el espacio (cada distancia λ se repiten los valores).
Derivando respecto a t, tenemos:
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2y
A·sen t kx
y
v
A ·cos
t kx
t
y
y
a
A ·sen
t kx
A
t
t
t
=
ω −
∂
=
= ω
ω −
∂
∂
∂ ∂
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
= − ω
ω −
= − ω
∂ ∂
∂
⎝
⎠
·y
y derivando respecto a x:
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2y
A·sen t kx
y
Ak·cos
t kx
x
y
Ak ·sen t kx
Ak ·y
x
=
ω −
∂
= −
ω −
∂
∂
= −
ω −
= −
∂
Si dividimos entre sí las dos derivadas segundas, tenemos:2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
y
2
A y
y
y
t
T
v ;
v
2
k
y
Ak y
t
x
Clasificación de las ondas:
Medio
Ondas mecánicas: Necesitan un medio material para propagarse. Ej: Sonido. Ondas electromagnéticas: No necesitan medio para propagarse. Se pueden propagar en el vacío. Ej: Luz
Vibración y propagación
Ondas transversales: La dirección de vibración de los puntos y la de propagación de la onda son perpendiculares. Ej: onda en estanque.
Ondas longitudinales: La dirección de vibración y la de propagación son coincidentes. Ej: sonido.
Principio de Huygens
Cualquier punto que es alcanzado por una onda se convierte en emisor secundario de ondas y el nuevo frente de ondas es la envolvente de todas las ondas.
Interferencias
Se denomina interferencia a la coincidencia de dos ondas en un punto en el tiempo y en el espacio. Cuando un punto es alcanzado por dos ondas su elongación es la suma de las producidas por cada onda. Vamos a ver el caso más sencillo de interferencias. Supongamos dos puntos P1 y P2 en los que se están produciendo dos ondas idénticas:
(
)
(
)
1 1
2 2
y
A sen t kx
y
A sen t kx
=
ω −
=
ω −
2 1
P x 1 x 2
El punto P vibrará de acuerdo con la suma de las dos:
(
)
(
)
P 1 2 1 2
y =y +y = A sen ω −t kx +A sen ω −t kx Si recordamos que:
A B A B
sen A senB 2 sen cos
2 2
+ −
+ =
tenemos que:
(
)
(
)
1 2 1P 1 2
1 2 2 1 2 1 1 2
t kx
t kx
t kx
t kx
y
A sen
t kx
sen
t kx
2 A sen
cos
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
2 A sen
t k
cosk
2 A cosk
sen
t k
2
2
2
2
ω −
+ ω −
ω −
− ω +
⎡
⎤
=
⎣
ω −
+
ω −
⎦
=
⎡
⎛
+
⎞
⎤
⎛
−
⎞
⎛
−
⎞
⎡
⎛
+
⎞
⎤
=
⎢
ω −
⎜
⎟
⎥
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎢
ω −
⎜
⎟
⎥
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
⎣
⎦
2
=
el punto P vibra de acuerdo con la ecuación de una onda en la que la amplitud varía en función de los valores de x1 y x2.
2 1 2 1
2 1
2 1
x
x
x
x
cosk
1;
k
n
2
2
x
x
2
n
2
x
x
n
−
−
⎛
⎞
= ±
⎛
⎞
= π
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
−
π ⎛
⎞
= π
⎜
⎟
λ ⎝
⎠
−
= λ
Se produce interferencia constructiva en todos aquellos puntos en los que la diferencia de camino (x2-x1) es igual a un
número entero de longitudes de onda. Se dice que en un punto hay interferencia destructiva si la amplitud alcanza el valor nulo, se anula el coseno y las amplitudes se restan:
(
)
(
)
(
)
2 1 2 1
2 1
2 1
x x x x
cosk 0; k 2n 1
2 2
x x
2
2n 1
2 2
x x 2n 1
2
− −
⎛ ⎞= ⎛ ⎞=
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−
π ⎛ ⎞= + π
⎜ ⎟
λ ⎝ ⎠
λ
− = +
2 π
+ Se produce interferencia destructiva en todos aquellos puntos en los que la diferencia de camino (x2-x1) es igual a un
número impar de semilongitudes de onda.
Ondas estacionarias
Se trata de un tipo especial de interferencia. Supongamos una cuerda, fija en los extremos, por la que se propaga una onda. La onda rebota en el extremo de la cuerda y todos los puntos de la misma vibran como consecuencia de la interferencia de dos ondas iguales que se propagan en sentidos contrarios.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
( ) ( )
1 2
P
P
y
A sen t kx ;
y
A sen
t kx
y
A sen t kx
A sen
t kx
t kx
t kx
t kx
t kx
2 A sen
cos
2
2
y
2 A cos kx sen
t
=
ω −
=
ω +
=
ω −
+
ω +
=
ω −
+ ω +
ω −
− ω +
=
=
ω
El resultado es una onda que no es del mismo tipo que las que la producen. No hay término
(
ω −t kx)
y cada punto de la cuerda vibra con una amplitud determinada que es constante para ese punto.λ
VIENTRES
NODOS
Hay puntos que no vibran nunca, los nodos. La distancia entre dos nodos consecutivos es 2 λ
. Hay puntos que vibran al máximo, los vientres. La distancia entre dos vientres consecutivos es
2 λ
Efecto Doppler
u
Supongamos un punto E, en reposo, que está emitiendo una onda con una frecuencia determinada. Tanto el observador 1 como el 2 reciben la onda con la misma frecuencia con la que se produce.
Si el emisor se mueve hacia la derecha mientras emite ondas, llegan al observador 1 más juntas con lo que disminuye λ y aumenta la frecuencia.
El observador 2, del que se aleja el emisor, recibe las ondas más separadas con mayor λ y con menor frecuencia.
E
E O
1
O 2
O 1 O 2
Al cambio de frecuencia producido cuando la varía la distancia entre el emisor de ondas y el observador se denomina efecto Doppler.
Si el emisor se acerca al observador:
MVTO REPOSO EMISOR
ONDA ONDA EMISOR
MVTO REPOSO REPOSO
ONDA ONDA EMISOR
MVTO REPOSO
ONDA
MVTO REPOSO
ONDA EMISOR
v
T
v
v
v
f
f
f
v
v
v
f
f
v
f
f
v
v
λ
= λ
−
=
−
−
=
=
−
Si el emisor se aleja del observador, la velocidad del emisor tiene el signo contrario y la frecuencia será:
ONDA
MVTO REPOSO
ONDA EMISOR
v
f f
v v
=
+
Se pueden hacer razonamientos similares para el caso en que se muevan a la vez el emisor y el observador:
ONDA OBSERVADOR
MVTO REPOSO
ONDA EMISOR
v v
f f
v v
± =
±
En donde las velocidades y son positivas si se produce un acercamiento y son negativas si se produce un alejamiento.
OBSERVADOR
v
v
EMISOREmisor en reposo vEMISOR=0
Emisor desplazándose vEMISOR<vONDA
Emisor desplazándose vEMISOR=vONDA
Si el emisor se desplaza con una velocidad mayor que la de propagación de la onda se produce una onda de choque representada por la línea de puntos que es tangente a todas las ondas.
Por esta razón los barcos dejan una estela en forma de V cuando se desplazan. En el caso del sonido la onda de choque tiene forma cónica y el ángulo θes tal que:
ONDA
EMISOR
v t 1
sen
v t
v t
ONDAv t
EMISORθ
m
θ = =
Donde m es el número de Mach que indica la velocidad de un avión en función de la del sonido en el aire (340 m/s).
