Lección 4: Factorización de
Trinomios Cuadráticos de la
forma x
2
+ bx + c
Objetivos de la Lección
Al finalizar esta lección los estudiantes:
•
Factorizarán trinomios cuadráticos de la forma
x
2
+ bx + c
Definición de Trinomio Cuadrático
•
Un trinomio cuadrático es un polinomio de
tres términos que tiene una de las siguientes
formas:
ax
2
+ bx + c
ó
ax
2
+ bxy + cy
2
Ejemplos de Trinomios Cuadráticos
• x
2
+ 5x + 6
• 2x
2
- 8x + 16
• 3x
2
+ x - 18
• 15x
2
- 6x - 10
• 8x
2
+ 2xy + 27y
2
Reflexión
• Un trinomio cuadrático puede tener una sola
variable en cuyo caso tiene la siguiente forma:
ax
2+ bx + c
• Observa que:
– El polinomio es un trinomio.
– Si tiene una sola variable ésta aparece disminuyendo
su potencia desde grado 2 hasta grado 0, o
aumentando su potencia desde grado 0 hasta grado
2.
– Los coeficientes a, b, c, pueden ser cualesquiera
números reales.
Ejemplos de Trinomios Cuadráticos
x2 + 5x + 6 2x2 - 8x + 16
3x2 + x – 18 15x2 - 6x - 10
Reflexión
• Si el trinomio cuadrático tiene dos variables tiene
la siguiente forma:
ax
2+ bxy + cy
2• Observa que:
– El polinomio es un trinomio.
– Si tiene dos variables, en el primer término aparece la
primera variable elevada al cuadrado, en el último
término aparece la segunda variable elevada al
cuadrado, en el término del medio aparecen las dos
variables de grado 1 cada una.
– Los coeficientes a, b, c, pueden ser cualesquiera
números reales.
Ejemplos de Trinomios Cuadráticos
x2 + 5x + 6 2x2 - 8x + 16
3x2 + x – 18 15x2 - 6x - 10
Descubriendo la relación entre
la multiplicación de binomios y
Introducción
•
El método de factorización que estudiaremos
en esta lección está relacionado con el
proceso de multiplicación de binomios que
estudiamos en la lección 2.
Multiplicación de Binomios
•
Multiplica:
(x + 2) (x + 3)
Método Vertical:
x + 2
x + 3
x
2
+ 2x
3x + 6
x
2
+ 5x + 6
Observa que cuando se multiplican dos binomios
Método-FOIL
•
Multiplica:
(x + 2)(x + 3)
(x + 2)(x + 3) =
= x
2+ 3x + 2x + 6
= x
2+ 5x + 6
F
O I
L
F O I L
¿Cómo haríamos si queremos ir al revés?
• O sea, si tenemos el trinomio cuadrático y
queremos hallar los dos binomios que se
multiplican para obtener como resultado el
polinomio
Relación entre la multiplicación de los binomios
(x + 2) (x + 3) y el resultado x
2
+ 5x + 6
x + 2
x + 3
3x + 6
x
2+ 2x
______________________
x
2+ 5x + 6
¿De dónde sale el primer término del polinomio:
x
2 ?¿De dónde sale el segundo término del polinomio:
5x
? ¿De dónde sale el tercer término del polinomio:6
?De x por x De 2 por 3
Pasos a seguir para factorizar
Trinomios Cuadráticos
1. Buscar dos factores del primer término: (
x
.x
)
2. Buscar dos factores del tercer término: (
2
.3
)
3. Buscar la combinación, de todos los posibles
factores, tal que, cuando se multipliquen cruzado
y luego se sumen esos productos, el resultado
sea el segundo término:
(
2
.x
) + (
3
.x
) =
2x
+
3x
=
5x
x
2
+ 5x + 6
1 2
3
2x
35x
+
x
X
2
3
33x
x
2+ 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
Ejemplo 1:Factoriza el Trinomio Cuadrático
(
)
(
)
Paso 1: Buscar dos
factores del primer término.
Paso 2: Buscar dos factores del tercer término.
Paso 3: Buscar la
combinación, de todos los posibles factores, tal que, cuando se
multipliquen
cruzado y luego se sumen esos
productos, el resultado sea el segundo término.
x
2
– 10x + 21
1 2
3
-7x
3-10x
+
x
X
-7
-3
3-3x
x
2– 10x + 21 = (x – 7) (x – 3)
Ejemplo 2:Factoriza el Trinomio Cuadrático
(
)
(
)
Paso 1: Buscar dos
factores del primer término.
Paso 2: Buscar dos factores del tercer término.
Paso 3: Buscar la
combinación, de todos los posibles factores, tal que, cuando se
multipliquen
cruzado y luego se sumen esos
productos, el resultado sea el segundo término.
x
2
– 2x – 24
1 2
3
4x
3-2x
+
x
X
4
-6
3-6x
x
2– 2x – 24 = (x + 4) (x – 6 )
Ejemplo 3: Factoriza el Trinomio Cuadrático
( )
(
)
Paso 1: Buscar dos
factores del primer término.
Paso 2: Buscar dos factores del tercer término.
Paso 3: Buscar la
combinación, de todos los posibles factores, tal que, cuando se
multipliquen
cruzado y luego se sumen esos
productos, el resultado sea el segundo término.
Reflexión
•
Este método a veces da trabajo porque hay que tantear
las posibles combinaciones de factores del primer y
tercer término que al multiplicarlos y luego sumar esos
productos sean igual al segundo término.
•
Por ejemplo: Si usamos otros factores de -24, como por
ejemplo, -12 y 2, al sumarlos tendríamos:
x
2– 2x – 24
x -12 -12x
x 2 + 2x
-10x
•
Observa que -10x
no es igual
al segundo término -2x.
x
2
– 2xy – 48y
2
1 2
3
6xy
-2xy
+
x
X
6y
-8y
3-8xy
x
2– 2xy – 48y
2= (x + 6y) (x – 8y)
Ejemplo 4: Factoriza el Trinomio Cuadrático
( )
(
)
Paso 1: Buscar dos
factores del primer término.
Paso 2: Buscar dos factores del tercer término.
Paso 3: Buscar la
combinación, de todos los posibles factores, tal que, cuando se
multipliquen
cruzado y luego se sumen esos
productos, el resultado sea el segundo término.
Paso 4: Después de hallar la combinación correcta, se encierra entre paréntesis los dos términos que en forma horizontal componen los binomios.
32 + 4x – x
2
1 2
3
8x
4x
+
4
8
x
-x
3-4x
32 + 4x – x
2= (4 + x) (8 – x)
Ejemplo 5: Factoriza el Trinomio Cuadrático
( )
(
)
Paso 1: Buscar dos
factores del primer término.
Paso 2: Buscar dos factores del tercer término.
Paso 3: Buscar la
combinación, de todos los posibles factores, tal que, cuando se
multipliquen
cruzado y luego se sumen esos
productos, el resultado sea el segundo término.
Paso 4: Después de hallar la combinación correcta, se encierra entre paréntesis los dos términos que en forma horizontal componen los binomios.
5x + x
2
– 14
x
2
+ 5x – 14
1 2
3
7x
5x
+
x
x
7
-2
3-2x
x
2+ 5x – 14 = (x + 7) (x – 2)
Ejemplo 6: Factoriza el Trinomio Cuadrático
( )
(
)
Este polinomio hay que ordenarlo en forma descendente primero.
y
4
+ 5y
2
– 84
1 2
3
12y
2
5y
2
+
y
2
y
2
12
-7
3
-7y
2
y
4+ 5y
2– 84 = (y
2+ 12 ) (y
2– 7 )
Ejemplo 7: Factoriza el Trinomio Cuadrático
( )
(
)
y
2
+ y + 5
1 2
3
5y
6y
+
y
y
5
1
3y
y
2+ y + 5 = Polinomio primo
Ejemplo 8: Factoriza el Trinomio Cuadrático
3
Patrón
(
+
) (
+
) =
(
-
) (
-
) =
(
+
) (
-
) =
(
-
) (
+
) =
____
+
_____
+
______
____
-
_____
+
______
____
+/-
_____
-
______
____
+/-
_____
-
______
•
Si los signos en los dos binomios son de suma: ( + )( + ), entonces los
signos de los tres términos del polinomio son
positivos
.
•
Si los signos en los dos binomios son de resta: ( – )( – ), entonces los
signos del primer y último término del polinomio son
positivos
y el signo del
segundo término es
negativo
.
Reflexión sobre el patrón
•
Conocer el patrón de los signos ayuda a
factorizar más rápido porque ayuda a
Reflexión
• Hasta el momento, todos los trinomios
cuadráticos que hemos visto en la forma
ax
2+ bx + c
ó
ax
2+ bxy + cy
2tienen
al número
a
= 1.
• Pero, hay trinomios cuadráticos donde
a
puede ser cualquier número.
Problema 1
•
Halla todos los enteros
m
para los cuales el
polinomio a continuación pueda factorizarse.
Solución de Problema 1
•
Halla todos los enteros
m
para los cuales el polinomio a
continuación pueda factorizarse.
x
2+
m
x + 75
•
Para hallar los enteros
m
identificamos todos los posibles
factores de 75, éstos son:
25
.3
15
.5
75
.1
•
Como
m
es la suma de los factores de 75, ahora, sumamos
las combinaciones de factores anteriores y tenemos:
25 + 3 = 28
15 + 5 = 20
75 + 1 = 76
•
Finalmente, como
m
puede ser positivo o negativo, la
Problema 2
•
Halla una expresión polinómica en forma
factorizada que represente el área de la región
sombreada a continuación.
x + 2
x + 5
2
Solución de Problema 2
•
La expresión polinómica para el área de la región sombreada será
igual al área del rectángulo grande azul menos el área del cuadrado
blanco.
-El área del rectángulo grande azul es: (x + 5)(x + 2).
-El área del cuadrado blanco es: 2
.2 = 4
-El área de la región sombreada es: (x + 5)(x + 2) – 4.
•
Multiplicando y simplificando tenemos:
(x + 5)(x + 2) – 4 = x
2+ 7x + 10 – 4
= x
2+ 7x + 6
•
Como el problema pide que halle
una expresión polinómica en
forma factorizada, factorizamos
el polinomio anterior y tenemos:
(x + 6) (x + 1)
x + 2
x + 5
2
Instrucciones
• Factoriza completamente en tu libreta.
• Si el polinomio es primo, indícalo.
Factoriza Completamente:
x
2
+ 9x + 20 =
x
2
- 7x + 12 =
x
2
- 2x - 8 =
x
2
+ 3x - 18 =
(x + 4) (x + 5)
(x - 4) (x - 3)
Factoriza Completamente:
x
2
- x - 12 =
x
2
- 11x + 24 =
x
2
+ 2xy - 15y
2
=
x
2
+ 7xy + 6y
2
=
(x - 4) (x + 3)
(x - 8) (x - 3)
Factoriza Completamente:
32 + 4x - x
2
=
x
4
+ 11x
2
- 60 =
x
2
+ 12x + 13 =
x
2
+ 12xy + 27y
2
=
(8 - x) (4 + x)
(x
2
+ 15) (x
2
- 4)
(x + 12) (x + 1)
p
2
– 5pq – 24 q
2
=
x
2
- 3x + 7 =
(p - 8q) (p + 3q)
No se puede factorizar ya que
no hay combinación de
factores de 7 posibles cuya
suma sea igual a -3. Este
polinomio es primo.
x + x
2
– 90 =
x
3
- x
2
- 56x =
No es trinomio cuadrático, pero
tiene a
x
como factor común.
Sacando a
x
como factor común
tenemos: x(x
2- x - 56
)
. Ahora
podemos factorizar el trinomio
cuadrático que está dentro del
paréntesis. La factorización
completa es: x (x - 8) (x + 7)
Hay que ordenar el polinomio en
forma descendente, y entonces se
obtiene: x
2+ x – 90
La factorización es: (x + 10) (x - 9)
Resuelve los problemas a continuación
•
1. Uno de los factores del polinomio
x
2
- 345x - 7300 es (x + 20). Halla el otro
factor.
•
2. Halla una expresión polinómica en forma
factorizada que represente el área de la región
sombreada a continuación.
x + 4
x + 5
