Guia10 Farith longitud de curva pdf

C´

alculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva.

Prof. Farith J. Brice˜

no N.

Objetivos a cubrir

C´

odigo : MAT-CDI.10

•

Longitud de una curva.

•

Area de una superficie de revoluci´

´

on.

Ejercicios resueltos

Ejemplo 1

: Determine la longitud de la gr´

afica de la ecuaci´

on

y

=

x

en el intervalo

0,

1

2

.

Soluci´on : Tenemos que la longitud de una curva de la forma y=f(x) en un intervalo [a, b], viene dada por

s= Z b

a

q

1 + [f0_(x)]2_dx

as´ı, puesto que f0_{(x) = 2x tenemos}

s= Z 1/2

0

q

1 + [2x]2 dx= Z 1/2

0

p

1 + 4x2_dx

hacemos el cambio trigonom´etrico

2x= tant, 2dx= sec2t dt =⇒ dx=1 2sec

2_{t dt}

de aqu´ı,

si x= 0, entonces tant= 0 =⇒ t= 0

si x=1

2, entonces tant= 1 =⇒ t= π 4 la integral nos queda

Z 1/2 0

p

1 + 4x2 _dx=1

2 Z π₄

0

p

1 + tan2_{t sec}2_{t dt=} 1

2 Z π₄

0

√

sec2_{t sec}2_{t dt=}1

2 Z π₄

0

|sect|sec2t dt,

como sect >0 en el intervalo h0,π 4 i

, entonces la integral queda Z π

4

0

sectsec2_{t dt, para calcular esta integral, integramos por partes}

u= sect _{−−−−−−−−−−−→}Al derivar dt= sect tant dt

dv= sec2_{t dt Al integrar}

−−−−−−−−−−−−→ v= tant

y se tiene

Z π

4

0

sect sec2t dt= sect tant

π 4

0

−

Z π

4

0

secttan2t dt= sect tant

π 4

0

−

Z π

4

0

sect sec2t−1 dt

= sect tant

π 4

0

−

Z π

4

0

sec3t dt+ Z π

4

0

sect dt

as´ı

2 Z π

4

0

sectsec2t dt= sect tant

π 4

0

+ ln|sect+ tant|

π 4

0

con lo que,

Z π

4

0

sectsec2t dt=1

2 sect tant

π 4

0

+1

2 ln|sect+ tant|

π 4

0

,

entonces,

Z π

4

0

sectsec2t dt=1 2 sec

π 4

tanπ 4

−sec (0) tan (0) !

+1 2 ln

sec

π 4

+ tanπ 4

−ln|sec (0) + tan (0)| !

y obtenemos

Z π₄

0

sectsec2t dt=1 2

2

√

2+ 1 2ln

2

√

2+ 1

−1

2ln (1) =

√

2 2 +

1 2ln

luego

Z1/2 0

p

1 + 4x2_dx=1

2 Z π

4

0

sectsec2t dt=1 2

√

2 2 +

1 2ln

√ 2 + 1

!

Finalmente, la longitud de la curva f(x) =x2 _{en el intervalo}

0,1

2

es

s=

√

2 4 +

1 4ln

√ 2 + 1

F

Ejemplo 2

: Determine la longitud de la gr´

afica de la ecuaci´

on

f

(x) =

Z

0

√

t

+ 3

dt

en

[0,

1]

.

Soluci´on :Tenemos que la longitud de una curva de la forma y=f(x) en un intervalo [a, b] viene dada por

s= Z b

a

q

1 + [f0_(x)]2

dx

as´ı, puesto que f0(x) = Z x

0

√

t+ 3dt 0

=√x+ 3 tenemos

s= Z 1

0

q 1 +√

x+ 32 dx=

Z 1 0

√

4 +x dx.

Hacemos el cambio de variable

u2_{= 4 +x; 2u du=dx}

de aqu´ı,

si x= 0, entonces u2_{= 4 + (0) =⇒ u= 2}

si x= 1, entonces u2_{= 4 + (1) =⇒ u=}√₅

entonces,

Z 1 0

√

4 +x dx= Z

√ 5 2

2u2 du=

2u3

3

√ 5

2

= 2

√ 5

3

3 − 2 (2)3

3 = 10

3

√

5−16

3

Luego, la longitud de la curva dada por f(x) = Z x

0

√

t+ 3dt en [0,1] es

s=10 3

√

5−16

3.

F

Ejemplo 3

: Determine la longitud de la gr´

afica de la curva

r

dada en forma param´

etrica por las ecuaciones

r

(t) =











x

(t) = 4 sen

t

y

(t) = 4 cos

t

−

5

en el intervalo

[0, π]

.

Soluci´on : Tenemos que la longitud de una curva de la forma r(t) = (x(t), y(t)) en un intervalo [a, b] viene dada por

s= Z b

a

q

[x0_(t)]2_{+ [y}0_(t)]2_dt,

como

x0(t) = 4 cost y y0(t) =−4 sent, entonces

s= Z π

0

q

[4 cost]2+ [−4 sent]2 dt= Zπ

0

q

16 (cos2_{t+ sen}2_t)dt=

Z π

0

√

16dt= 4π.

Luego, la longitud de la curva dada en forma param´etrica por r(t) = (4 sent,4 cost−5) en [0, π] es s= 4π

Ejemplo 4

: Determine la longitud de la gr´

afica de la curva

r

dada en forma param´

etrica por las ecuaciones

r

(t) =











x

(t) =

a

(t

−

sen

t)

y

(t) =

a

(1

−

cos

t)

en

[0,

2π]

.

Soluci´on : Tenemos que la longitud de una curva de la forma r(t) = (x(t), y(t)) en un intervalo [a, b] viene dada por

s= Z b

a

q [x0_(t)]2

+ [y0_(t)]2

dt,

como

x0(t) =a(1−cost) y y0(t) =asent, entonces

s= Z2π

0

q

(a(1−cost))2+ (asent)2dt Desarrollando el argumento de la ra´ız cuadrada

[x0(t)]2+ [y0(t)]2= [a(1−cost)]2+ [asent]2=a2 _{1−2 cost+ cos}2_t

+a2_sen2_t

=a2 _{1−2 cost+ cos}2_{t+ sen}2_t

=a2_{(2−2 cost) = 2a}2_(1−cost)

es conocido que

sen2(·) = 1−cos 2 (·)

2 =⇒ 2 sen

2_{(·) = 1−cos 2 (·)}

de aqu´ı,

1−cost= 1−cos 2

t 2

= 2 sen2

t 2

por lo tanto,

x0(t)2

+ y0(t)2

= 4a2sen2

t 2

,

entonces,

s= Z 2π

0

s 4a2_sen2

_t

2

dt= Z 2π

0

2a

sen _t

2

dt= 2a Z2π

0

sen _t

2

dt

hacemos el cambio de variable

u= t

2; du=

1

2dt =⇒ 2du=dt de aqu´ı,

si t= 0, entonces u=0

2 =⇒ u= 0 si t= 2π, entonces u=2π

2 =⇒ u=π con lo que,

s= 2a Zπ

0

|senu| du= 2a Zπ

0

senu du= 2a −cosu

π

0

=−2a cos (π)−cos (0) !

= 4a

Luego, la longitud de la curva dada en forma param´etrica por r(t) = (a(t−sent), a(1−cost)) en [0,2π] es

s= 4a

F

Ejemplo 5

: Encuentre el ´

area de la superficie de revoluci´

on generada al girar la curva dada por

y

=

√

x

+ 2

en el intervalo

[−1,

3]

alrededor del eje

x

Soluci´on : Tenemos que el ´area de la superficie de una curva de la forma y=f(x) con a≤x≤b cuando se hace girar alrededor del eje x, viene dada por

S= 2π Z b

a

f(x) q

como f0(x) = 1

2√x+ 2, se tiene

S= 2π Z3

−1

√

x+ 2 s

1 +

₁

2√x+ 2 2

dx= 2π Z 3

−1

√

x+ 2 s

1 + 1

4 (x+ 2) dx= 2π Z3

−1

√

x+ 2 s

4 (x+ 2) + 1 4 (x+ 2) dx

= 2π Z 3

−1

√

x+ 2 p

4 (x+ 2) + 1 2√x+ 2 dx=π

Z 3 −1

√

4x+ 9dx

hacemos el cambio de variable

u= 4x+ 9; du= 4dx =⇒ du

4 =dx de aqu´ı,

si x=−1, entonces u= 4 (−1) + 9 =⇒ u= 5

si x= 3, entonces u= 4 (3) + 9 =⇒ u= 21 con lo que,

S=π Z 21 5 √ u du 4 = π 4 ₂ 3 u

3/2

21 5 =π 6 (21)

3/2₋₍₅₎3/2

! =7π

2

√

21−5π

6

√

5

Luego

S=7π 2

√

21−5π

6

√

5

F

Ejemplo 6

: Encuentre el ´

area de la superficie de revoluci´

on generada al girar la curva dada por

y

= ln

x

en

el intervalo

[1,

2]

alrededor del eje

y

Soluci´on : Tenemos que el ´area de la superficie de una curva de la forma y=f(x) con a≤x≤b cuando se hace girar alrededor del eje y, viene dada por

S= 2π Z b

a

x q

1 + [f0_(x)]2_dx,

como f0(x) = 1

x, se tiene

S= 2π Z2 1 x s 1 + 1 x 2 dx= 2π

Z 2 1

x r

1 + 1

x2 dx= 2π

Z 2 1

p

x2_{+ 1dx}

Si hacemos el cambio trigonom´etrico

x= tant; dx= sec2t dt obtenemos _Z

p

x2_{+ 1dx=}

Z

sec3_{t dt=}1

2sect tant+ 1

2ln|sect+ tant|+C= 1 2x

p

x2_{+ 1 +}1

2ln

p

x2_{+ 1 +x} +C.

Por lo tanto,

Z 2 1

p

x2_{+ 1dx=}

1 2x

p

x2_{+ 1 +}1

2ln

p

x2_{+ 1 +x} 2 1 = ₁ 2(2) q

(2)2+ 1 +1 2ln q

(2)2+ 1 + (2) − ₁ 2(1) q

(1)2+ 1 +1 2ln q

(1)2+ 1 + (1)

=√5 +1 2ln

√

5 + 2 − 1 2 √

2−1

2ln

√

2 + 1 =

√

5 +1 2ln √

5 + 2

√

2 + 1 − √ 2 2 Luego

S= 2π √5 +1 2ln √

5 + 2

√

2 + 1 − √ 2 2 ! F

Ejemplo 7

: Encuentre el ´

area de la superficie de revoluci´

on generada al girar la curva param´

etrica dada por

r

(t) =

t

, t

en

[−1,

2]

alrededor del eje

x

.

Soluci´on : Tenemos que el ´area de la superficie de una curva dada en forma param´etrica r(t) = (x(t), y(t)) con a≤t≤b cuando se hace girar alrededor del eje x, viene dada por

S= 2π Z b

a

y(t) q

como

x0(t) = 2t y y0(t) = 2t,

entonces

S= 2π Z 2

−1

t2q_[2t]2_{+ [2t]}2_{dt= 2π}Z2 −1

t2 p

4t2_{+ 4t}2_{dt= 2π}

Z2 −1

t2 √_8t2 _{dt= 4}√_2π

Z 2 −1

t2 _{|t| dt}

= 4√2π

−

Z0 −1

t3 dt+ Z 2

0

t3 dt

= 4√2π "

−(0)

4

4 + (−1)4

4 !

+ (2)

4

4 − (0)4

4 !#

= 4√2π ₁

4+ 4

= 17√2π

Luego

S= 17√2π

F

Ejercicios

1. Determine la longitud de la gr´

afica de la ecuaci´

on

y

=

e

_{en el intervalo [0,}

_1].

2. Determine la longitud de la gr´

afica de la ecuaci´

on dada en el intervalo indicado

1.

y

=

x,

[−1,

1]

2.

y

=

x

+ 4,

desde (0,

4) hasta (1,

5)

3.

y

= 2x

+ 1,

[0,

3]

4.

y

= 3x

,

[1,

8]

5.

y

=

Z

1

p

u

₋

₁

_du,

₁

_≤

_x

_≤

₂

_{6. y}

_{= 2}

√

_x

_{+ 1,}

_[0,

_3]

7.

y

=

Z

π/6

p

64 sen

_u

_cos

_u

₋

₁

_du,

π

6

≤

x

≤

π

3

8.

5x

=

y

5/2

_{+ 5y}

_,

_[4,

_9]

9.

x

= 4

−

y

,

[1,

8]

3. Determine la longitud de la gr´

afica de la curva

r

dada en forma param´

etrica por las ecuaciones

r

(t) =











x

(t) =

a

cos

t

y

(t) =

a

sen

t

en el intervalo [0,

2π].

4. Determine la longitud de la gr´

afica de la curva

r

dada en forma param´

etrica por las ecuaciones

r

(t) = (x

(t)

, y

(t)) = 3t

+ 2,

2t

−

1

en el intervalo [1,

2].

5. Determine la longitud de la gr´

afica de la curva

r

dada en forma param´

etrica por las ecuaciones

r

(t) =











x

(t) =

t

y

(t) =

t

+ 1

en el intervalo [0,

1].

6. Considere la regi´

on limitada por

y

=

x

y

y

=

x

. Determine la longitud del borde de la regi´

on.

9. Encuentre el ´

area de la superficie de revoluci´

on generada al girar la curva dada alrededor del eje

x

1.

y

= 6x,

0

≤

x

≤

1

2.

y

=

√

25

−

x

_,

₋₂

_≤

_x

_≤

₃

3.

y

=

x

3

3

,

1

≤

x

≤

√

7

4.

x

=

t,

y

=

t

_,

₀

_≤

_t

_≤

₁

10. Calcule el ´

area de la superficie de revoluci´

on generada al girar la curva dada alrededor del eje

y

1.

y

=

√

_x

_{+ 2,}

₁

_≤

_x

_≤

₈

_2.

_y

_{= 4}

₋

_x

_,

₀

_≤

_x

_≤

₂

11. Se genera una esfera de radio

r

al girar la gr´

afica de

y

=

√

r

₋

_x

_{alrededor del eje}

_{x. Comprobar que}

el ´

area de la superficie de la esfera es 4πr.

12. Se obtiene la forma de una bombilla ornamental al girar la gr´

afica de

y

=

1

3

x

1/2

₋

_x

_,

₀

_≤

_x

_≤

1

3

alrededor del eje

x, donde

x

e

y

se miden en pies. Calcular el ´

area de la superficie de la bombilla.

Respuestas: Ejercicios

1. √e2_{+ 1−}√_{2 + 1 + ln}

√ 2+1

√ e2₊₁₊₁

; 2.1. 2√2; 2.2. 13

√ 13−8

27 ; 2.3. 3

√

5; 2.4. 16√2−5√5; 2.5. 8

√ 2−2 5 ;

2.6. 2 √

5−1

+ ln √

5+2 √

2+1

; 2.7. 2; 2.8. 42.367; 2.9. 7.6337; 3. 2πa; 4. 10√5−4√2;

5.

√ 5 2 +

1 4ln

√ 5 + 2

; 6. √2 +

√ 5 2 +

1 4ln

√ 5 + 2

; 7. √5 +1₂ln √

5 + 2

; 8. √5 +1₂ln √

5 + 2

+ 2√2;

9.1. 6π√37; 9.2. 50π; 9.3. 248₉ π√2; 9.4. 2π₂₇5√10−₅₄1; 10.1. 2₃π145₁₈√145−5₉√10;

10.2. 2π

17 12

√

17− 1 12

; 11. 4πr; 12. 1₃π

28 135

√

3−64 15

;

Bibliograf´ıa

1.

Purcell, E. - Varberg, D

: “C´

alculo con Geometr´ıa Anal´ıtica”. Novena Edici´

on. Prentice Hall.

2.

Stewart, J.

: “C´

alculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.

C´

alculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva.

Prof. Farith Brice˜

no

´