La Valoraci´
on de Opciones Reales con M´
ultiples
Fuentes de Incertidumbre
Susana Alonso Bonis1,2
1
Departamento de Econom´ıa Financiera y Contabilidad, Universidad de Valladolid,
Espa˜na
2 Premio Extraordinario de Doctorado (A.D.E.), Curso 2007-2008
Resumen El presente trabajo plantea la combinaci´on de la simulaci´on de
Mon-te Carlo, la programaci´on din´amica y la regresi´on estad´ıstica en un modelo que
permite valorar opciones reales de naturaleza cuasi-americana dependientes de
m´ultiples fuentes de incertidumbre. La ventaja de la simulaci´on radica en su
fle-xibilidad para valorar opciones de naturaleza compleja dependientes de m´ultiples
y diversas variables ex´ogenas y procesos estoc´asticos no convencionales. La
utili-dad del modelo es analizada a partir de un an´alisis num´erico, en el que se ponen
de manifiesto las implicaciones derivadas del empleo de hip´otesis inadecuadas a
la naturaleza de la oportunidad evaluada.
Palabras clave Valoraci´on, Opciones Reales, Opciones Americanas,
Simula-ci´on de Monte Carlo, M´ultiples Fuentes de Incertidumbre.
Clasificaci´on JELG31.
1. Introducci´on
Desde que Myers propusiera en 1977 la aplicaci´on de la teor´ıa de opciones a la
valoraci´on de la inversi´on empresarial, el n´umero de trabajos te´oricos y
emp´ıri-cos que abundan en esta idea ha venido creciendo de manera exponencial. Hoy
en d´ıa son pocos los que dudan de la importancia de los resultados llamados
“no monetarios” o estrat´egicos de la inversi´on empresarial y de la utilidad de
la teor´ıa de opciones para su valoraci´on. La imagen de marca, la fidelidad de
clientes, el conocimiento tecnol´ogico o la flexibilidad operativa son buen ejemplo
de resultados estrat´egicos, de indudable valor para la empresa, que brotan de
sus inversiones. Estos resultados aportan valor a la empresa en tanto en cuanto
permiten hacer algo que no podr´ıa hacer sin ellos. Es decir, en la medida en
que proporcionan nuevas oportunidades, posibilidades de decisi´on u “opciones
reales”. Como apuntara Myers, estas opciones son asimilables a opciones
finan-cieras de compra y de venta y, por tanto, susceptibles de ser valoradas a partir
de los mismos argumentos de r´eplica y arbitraje.
El enfoque de las opciones reales nos ense˜na la forma adecuada de valorar las
distintas opciones reales. En este sentido, son numerosos los trabajos que
propo-nen y desarrollan modelos contingentes –soluciones anal´ıticas y procedimientos
num´ericos– adaptados a la valoraci´on de opciones reales de diversa naturaleza.
Estos modelos comparten el objetivo de capturar el valor de las caracter´ısticas
presentes en las oportunidades de inversi´on y abandono que se plantean las
em-presas, pero cada uno se concentra en un derecho decisi´on concreto definido sobre
un activo subyacente de naturaleza espec´ıfica.
Durante a˜nos, la carencia de un modelo general de opciones reales susceptible
de aplicaci´on a la mayor parte de las oportunidades de inversi´on en la empresa
ha dificultado la utilizaci´on pr´actica del enfoque. As´ı, la valoraci´on simult´anea
de rasgos habituales de la inversi´on empresarial como la posibilidad de tomar
fuentes de incertidumbre, no ha sido viable –desde un punto de vista operativo1– hasta que recientemente surgen en el ´ambito de los derivados financieros,
propues-tas que combinan simulaci´on de Monte Carlo, programaci´on din´amica y regresi´on
estad´ıstica (Carriere, 1996; Tsitsiklis y Van Roy, 2001; y Longstaff y Schwartz,
2001).
La conjunci´on de ventajas que cada una de estas t´ecnicas proporciona, dota al
procedimiento de valoraci´on resultante de tal flexibilidad que es capaz de capturar
el valor de las distintas fuentes de valor de cualquier tipo de inversi´on con
inde-pendencia de la naturaleza de sus opciones y de sus fuentes de incertidumbre. En
primer lugar, la simulaci´on de Monte Carlo ampl´ıa significativamente el n´umero
de fuentes de incertidumbre y el espectro de los posibles procesos estoc´asticos a
considerar en su caracterizaci´on. Segundo, la programaci´on din´amica permite
in-corporar las posibilidades del ejercicio anticipado en la valoraci´on de las opciones
americanas que, por definici´on, otorgan a sus titulares la capacidad para ejercer
el derecho en cualquier fecha anterior o coincidente con el vencimiento2. Y terce-ro, la regresi´on estad´ıstica permite solucionar el problema de c´alculo que implica
la valoraci´on de opciones dependientes de m´ultiples fuentes de incertidumbre.
Como quiera que estas ventajas se antojan muy deseables para la valoraci´on
de las opciones reales, la adaptaci´on de las anteriores propuestas al ´ambito de la
inversi´on empresarial est´a llamada a revolucionar la aplicaci´on pr´actica del
en-foque de opciones reales entre los responsables de la direcci´on financiera. As´ı se
refleja en el n´umero creciente de trabajos que incorporan m´ultiples factores
es-toc´asticos para recoger el riesgo asociado a la corriente de flujos subyacente y
emplean la simulaci´on de Monte Carlo, entre los que cabe destacar Schwartz y
Moon (2000 y 2001), Le´on y Pi˜neiro (2004), S´aenz-Diez (2004), Schwartz (2004) y
1
El modelo binomial presenta el problema de lamaldici´on de la dimensionalidad que supone un crecimiento exponencial de los recursos que requiere su implementaci´on a medida que aumenta el n´umero de fuentes de incertidumbre consideradas.
2
Abadie y Chamorro (2006), que adem´as consideran la presencia de correlaciones
entre las variables ex´ogenas.
Este trabajo se dirige, precisamente, al an´alisis de las posibilidades de
flexi-bilizaci´on de la valoraci´on de opciones reales a partir de la combinaci´on de la
simulaci´on de Monte Carlo, la programaci´on din´amica y la regresi´on estad´ıstica.
Concretamente se plantea la adaptaci´on al ´ambito de la inversi´on empresarial y
sus opciones del m´etodoLeast-Squares Monte Carlo(en adelante LSM), propues-to por Longstaff y Schwartz en 2001, en aras de alcanzar un modelo que permita
la valoraci´on de opciones reales de naturaleza cuasi-americana con m´ultiples
fuen-tes de incertidumbre. Adicionalmente se describen, mediante el an´alisis num´erico
de un problema de valoraci´on, algunas de las implicaciones derivadas del empleo
de hip´otesis inadecuadas a la naturaleza de la oportunidad evaluada.
El resto del trabajo se articula como sigue. La secci´on segunda presenta el
problema de valoraci´on de opciones americanas con m´ultiples variables ex´ogenas.
La secci´on tercera se ocupa de la exposici´on del modelo basado en la simulaci´on
propuesto. La secci´on cuarta analiza la influencia de m´ultiples fuentes de
incerti-dumbre mediante un an´alisis num´erico. Cierra este trabajo la recopilaci´on de las
principales conclusiones.
2. La Valoraci´on de Opciones Reales Americanas Dependientes de
M´ultiples Fuentes de Incertidumbre
Uno de los principales problemas de la aplicaci´on pr´actica del enfoque de
opcio-nes reales reside en la caracterizaci´on de la evoluci´on estoc´astica seguida por el
valor del subyacente o, lo que es lo mismo, del valor de la empresa o proyecto
de inversi´on sin opciones. En la mayor´ıa de los casos, la compleja relaci´on que
existe entre las variables que determinan los flujos de tesorer´ıa y, a trav´es de
´
estos, el valor est´atico del activo hace pr´acticamente imposible adivinar el patr´on
separaci´on del valor de las opciones reales y sus subyacentes impide la
identifi-caci´on de la acci´on gemela del activo sin opciones y su correspondiente coste de
capital.
Ante este tipo de dificultades, una posible soluci´on consiste en plantear la
valoraci´on simult´anea del subyacente y sus opciones, desplazando la aplicaci´on
de los argumentos de r´eplica y arbitraje sobre la variable o variables de estado de
las que dependen en ´ultima instancia los flujos de tesorer´ıa del activo. As´ı, una
hip´otesis habitual de los modelos convencionales de valoraci´on de opciones reales
ha sido la consideraci´on de una ´unica variable ex´ogena3,4. Pero en la actualidad se tiende a refinar la modelizaci´on del activo subyacente a partir de m´ultiples
fuentes de incertidumbre –volatilidad, riesgo de cr´edito, rentabilidad de
conve-niencia estoc´astica, ... (Gravet, 2003)– lo que requiere el empleo de herramientas
de valoraci´on flexibles.
La simulaci´on de Monte Carlo re´une caracter´ısticas valiosas para el
desarro-llo e implementaci´on de herramientas flexibles de valoraci´on de derivados. En
primer lugar, representa un procedimiento intuitivo, al aproximar directamente
el proceso estoc´astico de la variable incierta. Adem´as, se trata de una t´ecnica
flexible fruto de la generalidad de activos a los que puede aplicarse y la facilidad
para incluir dependencias en el tiempo. Por ´ultimo, simplifica la incorporaci´on
de m´ultiples fuentes de incertidumbre, debido a que la convergencia del proceso
de aproximaci´on depende linealmente del n´umero de variables de estado.
A pesar de estas ventajas, no puede decirse que hayamos llegado a explotar
todo el potencial de la simulaci´on en la valoraci´on de opciones. La raz´on de este
aparente retraso se halla en la propia naturaleza de los modelos tradicionales de
3 En Lander y Pinches (1998) puede encontrarse una revisi´on de los modelos
conven-cionales de valoraci´on de opciones reales que recoge las hip´otesis m´as habituales de los modelos planteados hasta ese momento.
4 Otra alternativa planteada consiste en reducir las fuentes de incertidumbre a una
´
simulaci´on que impide identificar la pol´ıtica ´optima de ejercicio de las opciones
americanas. El m´etodo de Monte Carlo es un procedimiento de inducci´on “hacia
delante”, que genera valores futuros de la variable a partir de su valor previo
y, por tanto, no resulta apropiado para valorar activos cuyos flujos dependen
de los acontecimientos futuros, como es el caso de las opciones americanas. De
ah´ı que, en los ´ultimos a˜nos, diversas investigaciones hayan propuesto superar
esta limitaci´on mediante la conjunci´on de la simulaci´on con la programaci´on
din´amica, una t´ecnica de inducci´on “hacia atr´as” que permite su aplicaci´on a la
valoraci´on de opciones americanas (Tilley, 1993; Barranquand y Martineau, 1995;
Grantet al., 1996; Longstaff y Schwartz, 2001; Broadie y Glasserman, 2004). Y es que, la programaci´on din´amica resume la secuencia de todas las posibles
decisiones de ejercicio que conlleva la opci´on americana en dos ´unicos elementos:
el valor de la decisi´on inmediata y un valor de continuaci´on, que recoge las
conse-cuencias de todas las decisiones siguientes empezando con la posici´on resultante
de la decisi´on inmediata. En consecuencia, el valor de la opci´on en un momento
concreto se determina en funci´on de su valor en el per´ıodo siguiente, lo que
re-quiere que el procedimiento de valoraci´on se inicie en la fecha de vencimiento y
se mueva cronol´ogicamente hacia atr´as en el tiempo.
Aunque el empleo de la programaci´on din´amica en la estimaci´on de la pol´ıtica
de ejercicio de los derivados americanos ya est´a presente en los procedimientos
num´ericos habituales de valoraci´on de derivados –como el modelo binomial (Cox
et al., 1979) y los esquemas de diferencias finitas (Brennan y Schwartz, 1977)– la implementaci´on de estos procedimientos resulta costosa cuando se contempla la
existencia de m´ultiples fuentes de incertidumbre y procesos estoc´asticos diferentes
de la familia del geom´etrico-browniano.
En pocos a˜nos, la combinaci´on de la simulaci´on de Monte Carlo y la
pro-gramaci´on din´amica ha logrado posicionarse entre los principales procedimientos
num´ericos de la valoraci´on de derivados financieros y apunta a convertirse en la
ha sido necesario superar los problemas de consumo de recursos –tiempo y
requi-sitos inform´aticos– que requer´ıa la implementaci´on de las primeras propuestas.
El logro se debe en buena medida a los progresos alcanzados en la estimaci´on
de la pol´ıtica ´optima de ejercicio mediante el empleo de regresiones estad´ısticas,
tal y como plantearan Logstaff y Schwartz en su trabajo seminal del a˜no 2001.
Y precisamente, en la propuesta planteada por estos autores se apoya el modelo
de valoraci´on de opciones reales americanas dependientes de m´ultiples fuentes de
incertidumbre que presentamos en la siguiente secci´on.
3. Propuesta de un Modelo de Valoraci´on de Opciones Reales con
M´ultiples Fuentes de Incertidumbre
El modelo que se plantea tiene por objeto la valoraci´on de opciones reales –tanto
de crecimiento (compra) como de decrecimiento o abandono (venta)– de duraci´on
limitada, T0, que pueden ejercerse en uno o m´as momentos futuros, durante la vida limitada o ilimitada de la empresa o proyecto de inversi´on subyacente. A
efectos de la exposici´on de la propuesta de valoraci´on que va a efectuarse, vamos
a considerar un vencimiento para el activo subyacente de la opci´on,T.
El proceso de valoraci´on comienza, con la identificaci´on de las variables de
es-tado ´ultimas de las que dependen los flujos de tesorer´ıa de la empresa,S1, S2, ..., Sn,
y de sus correspondientes procesos en tiempo continuo. En este sentido, una de las
caracter´ısticas que hace a la simulaci´on tan atractiva en la valoraci´on de derivados
es que al aproximar directamente el proceso estoc´astico seguido por la variable
de estado es posible trabajar con procesos muy diversos. As´ı, por ejemplo, esta
t´ecnica resulta especialmente ´util para valorar aquellas opciones cuyas fuentes de
incertidumbre evolucionan de acuerdo con una mezcla de procesos continuos y
saltos discretos, ya que estos procesos mixtos dan lugar a ecuaciones diferenciales
parciales muy complejas, pero que sin embargo no es necesario resolver cuando
se utiliza la simulaci´on5.
5
A efectos de plantear el modelo de valoraci´on de opciones reales que
depen-de depen-de las t´ecnicas de simulaci´on, vamos a suponer el proceso estoc´astico m´as
com´unmente empleado en la modelizaci´on del comportamiento de los activos, el
Movimiento Geom´etrico Browniano, siendo la expresi´on que determina su
evolu-ci´on la siguiente,
dSj,t=αjSj,tdt+σjSj,tdzj siendoj= 1,2, . . . , nlas fuentes de incertidumbre
y donde αj representa la variaci´on instant´anea esperada de la variable ex´ogena
j;σj representa la volatilidad, es decir, la desviaci´on de la tendencia esperada o
t´ermino de incertidumbre; ydzj son los respectivos incrementos de un proceso
de Wiener que se definen del siguiente modo
dzj =ξj·
√
dt , ξj →N(0,1) paraj= 1,2, . . . , n.
La relaci´on entre las “n” fuentes de incertidumbre se supone del tipo pareado,
es decir, correlaciones dos a dos entre los cambios no anticipados en la variaci´on de
las diferentes variables,dzj, y se modeliza a trav´es del coeficiente de correlaci´on ρj,k
dzj∗dzk=ρj,k.
El siguiente paso de la valoraci´on por simulaci´on requiere la obtenci´on de la
versi´on discreta de los procesos ajustados al riesgo. Aplicando los principios de
la valoraci´on neutral al riesgo6, las expresiones que se proponen para el proceso anterior son,
dSj,t= (r−δj)Sj,tdt+σjSj,tdzj paraj = 1,2, . . . , n
consultarse en Alonsoet al., (2009).
6 La simulaci´on neutral al riesgo presenta una tendencia modificada,r−δ, en lugar de
y donderes el tipo de inter´es libre de riesgo7continuo; yδjla tasa de dividendos o “rentabilidad de conveniencia” de cada una de las fuentes de incertidumbre
consideradas.
Para resolver las anteriores ecuaciones diferenciales basta aplicar el Lema de
Ito, de manera que el valor de las variables de estado en un momento cualquiera,
t, puede obtenerse a partir de las siguiente expresi´on,
Sj,t=Sj,0·exp [
(r−δj−0,5σ2j)△t+σjξj √
△t ]
,
siendo las respectivasξj variables normales unitarias asociadas a la aleatoriedad de los procesos correlacionados de difusi´on. De este modo, la simulaci´on de los
valores de las variables de estado tan s´olo requiere obtener un conjunto de valores
muestrales de la distribuci´on normal est´andar, a partir de las cuales se obtienen
los correspondientes valores paraSj,t. Una posible forma de generar las variables
correlacionadas se presenta en el Anexo I.
En los diferentes intervalos temporales considerados, cada conjunto de valores
simulados de las variables de estado determina un par de valores del proyecto
subyacente contingentes al ejercicio de la opci´on,Vi
t,ejercicio(S1,ti , S2,ti , . . . , Sn,ti ) , yVi
t,no−ejercicio(Si1,t, S2,ti , . . . , Sn,ti ) , en donde el super´ındiceiindica el n´umero de simulaciones realizadas. El valor del subyacente si se ejercita la opci´on ent (con
t≤T0) se corresponde con el valor actual de los flujos de caja del proyecto con opciones entret+ 1 y la fecha de vencimiento del proyecto o empresa subyacente,
considerando adem´as el precio de ejercicio,X, cobrado o pagado por la venta o
7
la compra del proyecto, seg´un se trate, respectivamente o de compra:
Vt,ejerc.i (S1,ti , S2,ti , . . . , Sn,ti ) =±P E+Ft,noi −ejerc.+ T ∑
τ=t+1
Fτ,ejerc.i exp [−r(τ−t)].
Para determinar el valor del proyecto subyacente si la opci´on no se ejercita es
preciso distinguir entre la fecha de vencimiento de la opci´on, y los restantes
momentos en que se permite el ejercicio anticipado. As´ı, si t = T0, el valor del subyacente si no se ejercita la opci´on y expira sin ejercicio, se corresponde
con valor actual de los flujos de caja del proyecto sin opciones entre la fecha
de vencimiento de la opci´on y la fecha de vencimiento del proyecto o empresa
subyacente,
VTi0,no−ejerc.(S
i 1,t, S
i
2,t, . . . , S i n,t) =
T ∑
τ=T0
Fτ,noi −ejerc.exp [−r(τ−T0)].
Mientras que si la opci´on no se ejerce en un momento t anterior al vencimiento
(es decir, t < T0) y se mantiene “viva” hasta el per´ıodo siguiente, el valor del proyecto se determina considerando el posible ejercicio ´optimo en un instante
posterior. Es decir, el valor del subyacente se calcular´ıa a partir del valor actual
de los flujos derivados del proyecto sin opciones entrety el ejercicio ´optimo de la
opci´on en un momento posterior,t∗, m´as el valor actual del proyecto con opciones
entre el momento siguiente al ejercicio ´optimo,t∗+ 1, y la fecha de vencimiento
de la empresa o proyecto subyacente,
Vt,noi −ejerc.(S1,ti , S2,ti , . . . , Sn,ti ) = t∗ ∑
τ=t
Fτ,noi −ejerc.exp [−r(τ−t)] +
+ T ∑
τ=t∗+1
Fτ,ejerc.i exp [−r(τ−t∗)],
donder, como ya se ha se˜nalado, es el tipo de inter´es libre de riesgo,iindica que
se trata de la i-´esima trayectoria simulada ynrepresenta el n´umero de variables
Relacionando estos valores para el conjunto de trayectorias simuladas puede
estimarse la regla de ejercicio ´optimo de la opci´on americana en cada momento
en que se permite el ejercicio anticipado de la misma. Nuestra propuesta de
valo-raci´on se concreta en la estimaci´on de la frontera de ejercicio ´optimo de la opci´on,
determinando para aquellos momentos en que se permite el ejercicio anticipado
de la misma, los coeficientes asociados a las variables de estado que equiparan los
flujos resultantes del ejercicio de la opci´on con el valor de mantenerla viva hasta
el periodo siguiente.
La idea sobre la que se sustenta esta aproximaci´on de la frontera de ejercicio
´
optima es que a partir de la regresi´on efectuada sobre el conjunto de trayectorias
simuladas que se encuentren en el dinero en un determinado momento, puede
estimarse la funci´on esperada de la diferencia entre el valor derivado del ejercicio
inmediato y el valor de continuaci´on o valor esperado de mantener viva la opci´on.
Estimando la funci´on de esta diferencia en cada uno de los momentos en que
se permite el ejercicio anticipado, se obtiene una completa especificaci´on de la
estrategia ´optima en cada fecha de ejercicio.
Una vez determinados los coeficientes de la regresi´on asociados a las variables
en los distintos momentos en que es posible el ejercicio, la simulaci´on de un n´
ume-ro suficiente de trayectorias de las variables de estado nos permite determinar,
de acuerdo con la frontera de ejercicio ´optima, el momento en que resulta ´optimo
el ejercicio de la opci´on. El valor actual de la opci´on puede entonces aproximarse
a trav´es del promedio de la muestra de observaciones simuladas. N´otese, que al
aplicar los argumentos de r´eplica y arbitraje sobre las variables ´ultimas de las que
dependen los flujos y valorar de forma simult´anea el subyacente y las opciones, el
resultado que se deriva del procedimiento de valoraci´on no corresponde
directa-mente con el valor del derecho propiadirecta-mente dicho, como ocurre con los derivados
financieros, sino con el valor ampliado del proyecto subyacente cuya propiedad
La resoluci´on del problema de valoraci´on se desarrolla, por tanto, en dos
etapas:i)una primera que consiste en la estimaci´on de los sucesivas regresiones a trav´es de la combinaci´on del m´etodo de Monte Carlo y la programaci´on din´amica;
y ii) una segunda que supone la determinaci´on del valor de la opci´on a partir de las regresiones anteriores y que requiere ´unicamente el empleo de las t´ecnicas
de simulaci´on8. Al tratarse de la evaluaci´on de una opci´on de estilo americano, cuyo ejercicio ´optimo depende en cada momento de las expectativas futuras, el
procedimiento de estimaci´on de las sucesivas funciones de la diferencia entre el
valor de ejercer y no ejercer ha de seguir un proceso recursivo en el tiempo que
tome como punto de partida la fecha de vencimiento de la opci´on.
En cada instante en que resulta factible el ejercicio anticipado, el
procedimien-to comienza con la determinaci´on de las trayectorias simuladas de las variables
de estado que se encuentran en el dinero, ya que, en principio, son las ´unicas
para las que merece la pena plantearse la decisi´on de ejercer o no. Con estas
trayectorias se plantea una regresi´on en la que la variable dependiente se calcula
como la diferencia entre el valor del subyacente derivado del ejercicio inmediato
y el correspondiente valor en caso de mantener viva la opci´on; y las variables
in-dependientes se basan en los valores simulados de las variables de estado (ya sea
elevados al cuadrado, al cubo, . . . , o como resultado de otro tipo de funciones). A
partir de esta regresi´on, se obtienen los valores de los coeficientes asociados a los
t´erminos independientes que conforman la frontera de ejercicio ´optima. As´ı, por
ejemplo, en un momento cualquierat, y considerando una regresi´on parab´olica,
la ecuaci´on a estimar es,
Yti(S i
1,t, S i
2,t, . . . , S i
n,t) =a+β1,t(S1i,t)
2
+β2,t(S2i,t)
2
+. . .+βn,t(Sn,ti )
2
+ +ω1,tS1i,t+. . .+ωn,tSin,t,
8 Para evitar sesgos en el valor de la opci´on, el conjunto de trayectorias de la/s
donde
Yti(S i
1,t, S i
2,t, . . . , S i n,t) =V
i t,ejerc(S
i
1,t, S i
2,t, . . . , S i n,t)−V
i
t,no−ejerc(S i
1,t, S i
2,t, . . . , S i n,t).
Este procedimiento se repite en cada momento en que se permite el ejercicio de
la opci´on, teniendo en cuenta que para la determinaci´on de las trayectorias que
se encuentran en el dinero en un instante es preciso considerar la posibilidad de
ejercicio ´optimo de la opci´on en un momento posterior a partir de los resultados
de las regresiones que se han ido estimando en los periodos siguientes. Es decir,
en un momento t, el valor del subyacente en caso de no ejercicio de la regresi´on
anterior considera el posible ejercicio ´optimo en un instante posterior.
Con este procedimiento basado en regresiones se superan los inconvenientes
operativos que presentan algunos de los procedimientos propuestos en la
literatu-ra paliteratu-ra resolver este tipo de problemas de valoliteratu-raci´on (Tilley, 1993; Barranquand y
Martineau, 1995; Raymar y Zwecher, 1997; Grantet al., 1996; Broadie y Glasser-man, 1997a y 1997b; Broadieet al., 1997; Ib´a˜nez y Zapatero, 2001). Por ´ultimo, una vez determinados los coeficientes de las regresiones que conforman la
fron-tera de ejercicio ´optima, la estimaci´on del valor de la opci´on americana puede
obtenerse utilizando la simulaci´on tradicional como si de una opci´on europea se
tratase.
4. An´alisis Num´erico de las Implicaciones de M´ultiples Fuentes de
Incertidumbre en la Valoraci´on
Con el fin de ilustrar la utilidad de la propuesta de valoraci´on planteada y con ello
el inter´es de la flexibilizaci´on de la valoraci´on de opciones reales, consideramos a
continuaci´on la valoraci´on de un negocio que se espera que genere una corriente de
flujos que depende de m´ultiples variables de estado. Concretamente, el estudio de
la influencia de un mayor n´umero de fuentes de incertidumbre sobre el valor actual
fuente de incertidumbre –por ejemplo, la demanda de un determinado producto,
St– y a continuaci´on los resultados derivados a partir de la variable anterior y
otra variable adicional –por ejemplo el precio unitario de dicho producto,Pt–.
Con ´animo de simplificar la valoraci´on, suponemos que la evoluci´on en el
tiem-po de ambas variables se ajusta a un proceso geom´etrico browniano est´andar,
estando los cambios no anticipados en las variaciones de ambas variables
corre-lacionadas, a trav´es del coeficiente de correlaci´on ρ. Tambi´en por simplicidad,
suponemos que el resto de factores que intervienen en la estimaci´on de los
flu-jos de caja derivados de este problema de valoraci´on se mantienen constantes
durante el per´ıodo de an´alisis. No obstante, el modelo planteado permite
incor-porar f´acilmente estructuras m´as complejas en el modelo, fundamentalmente en
lo que se refiere al comportamiento estoc´astico de los costes, reflejando as´ı la
incertidumbre relativa a las potenciales acciones de los competidores, al cambio
tecnol´ogico, . . .
El valor inicial de la demanda del mercado, se establece igual a 100 unidades
f´ısicas, el precio unitario igual a 2 unidades monetarias, la cuota de mercado
atendida por la empresa es del 50 %, el flujo de tesorer´ıa viene determinado por
un coste unitario conocido y constante igual a la unidad y el desembolso inicial
requerido asciende a 50 unidades monetarias. En el Cuadro 1 se recogen los
principales par´ametros relativos al ejemplo supuesto de inversi´on.
A partir de la evoluci´on estoc´astica de las variables ´ultimas de las que
de-pende la corriente de flujos, nos planteamos evaluar la posibilidad de ampliar la
dimensi´on inicial del negocio en diferentes momentos del tiempo. Este derecho a
disposici´on de la empresa se asimila a una opci´on de compra de estilo americano,
que implica el incremento de la cuota de mercado en un 20 % adicional con un
coste o precio de ejercicio igual a 25 u.m.
Para analizar el efecto que tiene la incorporaci´on de una segunda variable
de estado, en nuestro caso el precio unitario, el valor de la opci´on es estimado
Cuadro 1: Datos iniciales del proyecto de inversi´on.
Valor inicial de la demanda 100 udes
Tanto de crecimiento anual de la demanda 15 %
Volatilidad de la demanda 20 %
Valor inicial del precio unitario 2 u.m.
Coste por unidad de producto 1 u.m
Rendimiento del negocio 10 %
Tasa de inter´es libre de riesgo 5 %
Valor residual del negocio 0 u.m
Duraci´on del negocio 2 a˜nos
Cuota de mercado inicial 50 %
Unidad de tiempo de an´alisis Semestral
y 30 %, y tasas de crecimiento anual medio, αp, del 0 %, 7 % y 15 %; tambi´en
ensayamos con diferentes par´ametros de correlaci´on del 0, -10 %, -20 %, -30 %,
-40 % y -50 %.
El proceso de valoraci´on comienza con la simulaci´on de un conjunto de
trayec-torias de nuestras variables estoc´asticas en los distintos subintervalos de an´alisis
considerados. En concreto, la simulaci´on se ha realizado tomando subintervalos
anuales, evalu´andose la posibilidad del ejercicio anticipado de la opci´on en dos
momentos discretos. El n´umero de trayectorias simuladas para obtener el valor
actual de la opci´on en los diferentes supuestos asciende a 200.000, que resulta de
100.000 aproximaciones directas m´as 100.000 estimaciones utilizando la t´ecnica
de reducci´on de varianza de las “variables antit´eticas”9.
A partir de los valores simulados de las variables de estado en cada momento
estimamos los flujos netos de tesorer´ıa del problema inicial, sin opciones, y el
valor actual convencional. A continuaci´on, determinamos el valor actual ampliado
mediante la aplicaci´on del modelo de simulaci´on propuesto, estimando el valor de
9 Mediante esta t´ecnica, la simulaci´on de una trayectoria del valor de la variable de
la opci´on de naturaleza americana considerada como la diferencia entre ambos
valores actuales.
La evoluci´on del valor del derecho derivado de cada uno de los supuestos
alternativos de los par´ametros del proceso seguido por la segunda variable se
presenta en la Figura 1. La figura representa, en el eje de ordenadas, el valor de
la opci´on en unidades monetarias; en el eje de abscisas, los distintos niveles de
correlaci´on considerados, correspondiendo el primero de los resultados al supuesto
en el que existe una ´unica fuente de incertidumbre; y por ´ultimo, en el eje restante,
se incluyen los diferentes niveles de volatilidad de la segunda variable ex´ogena
considerada. Para cada nivel de volatilidad continua y correlaci´on se incluyen
tres resultados que corresponden a distintos niveles de crecimiento esperado de
la variaci´on continua de la segunda variable.
Puede observarse que los resultados obtenidos confirman la existencia de
di-ferencias significativas en el valor de la opci´on analizada seg´un se considere una
o dos variables de estado y en funci´on de los valores asignados a los distintos
par´ametros analizados. Respecto al valor de la opci´on con una o dos variables
ex´ogenas y cualquiera que sea el nivel de correlaci´on analizado, se aprecia una
infravaloraci´on importante en el valor de la opci´on sobre una ´unica fuente de
incertidumbre cuando la tasa de crecimiento de la segunda variable toma el valor
m´as elevado. Esta infravaloraci´on puede provocar incluso el rechazo de la
ejecu-ci´on de negocios rentables. Mientras que cuando la tendencia esperada de esta
segunda variable es nula se observa una sobrevaloraci´on del valor de la opci´on
sobre una variable, pudiendo ocasionar el ejercicio del derecho antes de su fecha
´
optima e incluso la aceptaci´on de proyectos no rentables.
Estos resultados ponen de manifiesto que, en cualquiera de los casos, la
omi-si´on de la segunda fuente de incertidumbre relevante para el valor del activo
subyacente, implica la aparici´on de sesgos –al alza o a la baja respectivamente–
en la valoraci´on que pueden conducir a decisiones de inversi´on sub-´optimas.
Asimismo, resulta destacable la diferente relaci´on entre el nivel de volatilidad
de la segunda variable y el valor de la opci´on en funci´on de los distintos grados
de correlaci´on analizados. As´ı, podemos apreciar un incremento en el valor del
derecho a medida que aumenta la incertidumbre de la segunda variable para
aquellos niveles de correlaci´on no elevados –entre 0 % y -20 %–, mientras que para
niveles m´as negativos de correlaci´on la relaci´on es la contraria. La explicaci´on a
esta relaci´on an´omala debe buscarse en que ante los niveles m´as elevados de
correlaci´on negativa el incremento de la volatilidad reduce en gran medida el
valor del activo subyacente, modificando la probabilidad de ejercicio.
Por ´ultimo, los resultados evidencian el esperado incremento del valor del
derecho a medida que aumenta la tasa de crecimiento anual de la segunda variable
considerada para un determinado nivel de volatilidad. Obviamente, cu´anto m´as
m´as valiosa resulta cualquier acci´on destinada a incrementar las dimensiones del
proyecto o empresa inicial.
5. Conclusiones
A lo largo del presente trabajo, hemos afrontado el problema de la valoraci´on
de opciones reales con m´ultiples fuentes de incertidumbre. La combinaci´on de
la naturaleza americana y diversas fuentes de incertidumbre dificultan tanto la
resoluci´on anal´ıtica del sistema fundamental de valoraci´on como la aplicaci´on de
los procedimientos num´ericos tradicionales.
Una t´ecnica de valoraci´on de opciones marginada durante muchos a˜nos al
an´alisis de derivados de estilo europeo, ha sido recientemente rescatada para,
en combinaci´on con la programaci´on din´amica, valorar opciones reales
comple-jas como las descritas. La raz´on de este aparente retraso se halla en la propia
naturaleza de los modelos tradicionales de simulaci´on que impide identificar la
pol´ıtica ´optima de ejercicio. El m´etodo de Monte Carlo es un procedimiento de
inducci´onhacia delante, que genera valores futuros de la variable a partir de su valor previo y, por tanto, no resulta apropiado para valorar cuyos flujos dependen
de los acontecimientos futuros, como es el caso de las opciones americanas.
Re-cientes trabajos proponen superar esta limitaci´on mediante la combinaci´on de la
simulaci´on con alguna t´ecnica de inducci´on hacia atr´as que permita su aplicaci´on
a la valoraci´on de opciones americanas.
En l´ınea con este tipo de propuestas, hemos planteado un modelo de
valora-ci´on basado en la simulaci´on de Monte Carlo que nos permite valorar opciones
reales cuasiamericanas asociadas a proyectos de inversi´on que generan flujos de
tesorer´ıa dependientes de diversas fuentes de incertidumbre y diversos procesos
estoc´asticos. El modelo propuesto se apoya en el procedimiento desarrollado por
Longstaff y Schwartz (2001) en el ´ambito de los derivados financieros, y que
es-tad´ıstica. De este modo es posible afrontar el considerable consumo de recursos
inform´aticos que conlleva la implementaci´on de este tipo de propuestas.
Con el fin de evaluar la utilidad de este modelo, analizamos los resultados de
su aplicaci´on a un problema de valoraci´on en el que confrontamos sendos
supues-tos acerca de la dependencia de los flujos de tesorer´ıa de una ´unica variable o
ex´ogena o de dos variables. Los resultados obtenidos de esta valoraci´on confirman
la existencia de diferencias significativas en el valor del derecho en funci´on de que
se considere o no la existencia de una segunda variable relevante, que pueden
ser al alza o a la baja. Estas diferencias justifican el esfuerzo de abstracci´on,
modelizaci´on e informatizaci´on requeridos por nuestra propuesta de valoraci´on
–que combina simulaci´on de Monte Carlo y programaci´on din´amica–, cuando
la evoluci´on del negocio recomiende la consideraci´on de una segunda fuente de
incertidumbre.
Referencias
1. Abadie, L. M. and J. M. Chamorro, (2006): Valuation of Natural Gas Power Plant Investment.Presentado en X Real Options Conference, Nueva York.
2. Alonso, S., V. Azofra y G. de la Fuente, (2009): Las opciones reales en el sector el´ectrico. El caso de la expansi´on de Endesa en Latinoam´erica. Cuadernos de Econom´ıa y Direcci´on de la Empresa, 38, 65-94.
3. Barranquand, J. and D. Martineau, (1995): Numerical Valuation of High Dimen-sional Multivariate American Securities. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 30, 383-405.
4. Brennan, M. and E. Schwarz, (1977): The valuation of American Put Options.
Journal of Finance, 32, 449-462.
5. Broadie, M. and P. Glasserman, (1997a): Pricing American-Style Securities Using Simulation.Journal of Economic Dynamics and Control, 21, 1323-1352.
7. Broadie, M., P. Glasserman and G. Jain, (1997): Enhanced Monte Carlo Estimates for American Options Prices.Journal of Derivatives, 5, 25-44.
8. Carri`ere, J., (1996): Valuation of Early-Exercise Price of Options Using Simulation and Non-Parametric Regression.Insurance: Mathematics and Economics, 19, 19-30.
9. Copeland T. and V. Antikarov, (2001):Real Options. A practitioner’s guide. Ed. Texere LLC. New York.
10. Cox, J. C., S. A. Ross and M. Rubinstein, (1979): Option Pricing: A Simplified Approach.Journal of Financial Economics, 7, 229-263.
11. Grant, D., G. Vora and D. Weeks, (1996): Simulation and the Early-Exercise Option Problem.Journal of Financial Engineering, 5, 211-227.
12. Gravet, M. A., (2003): Evaluaci´on de opciones reales mediante simulaci´on: El m´etodo de los m´ınimos cuadrados. Memoria para optar al t´ıtulo de Ingeniero Civil Industrial. Pontificia Universidad Cat´olica de Chile, Santiago de Chile.
13. Ib´a˜nez, A. and F. Zapatero, (2001): Monte Carlo Valuation of American Options Through Computation of the Optimal Exercise Frontier.Working paper.
14. Lander, D. and G. Pinches, (1998): Challenges to the practical implementation of modeling and valuing real options. The Quarterly Review of Economics and Finance, 38, 537-567.
15. Le´on, A. and D. Pi˜neiro, (2004): Valuation of a biotech company: A real options approach,Working paper CEMFI.
16. Longstaff, F. A. and E. S. Schwartz, (2001): Valuing American Options by Simu-lation: A Simple Least-Squares Approach. The Review of Financial Studies, 14, 113-147.
17. Myers, S. C., (1977): Determinants of corporate borrowing.Journal of Financial Economics, 5, 147-175.
18. Raymar, S. and M. Zwecher, (1997): Monte Carlo Estimation of American Call Options on the Maximum of Several Stocks.The Journal of Derivaties, 5, 7-23. 19. S´aenz-Diez, R., (2004):Valoraci´on de inversiones a trav´es del m´etodo de opciones
20. Samuelson, P., (1965): Proof that Properly Anticipated Prices Fluctuate Ran-domly.Industrial Management Review, 6, 41-49.
21. Schwartz, E. S., (2004): Patents and R&D as Real Options.Economics Notes, 33, 23-54.
22. Schwartz, E. S. and M. Moon, (2000): Rational Pricing of Internet Companies.
Financial Analyst Journal, 56, 62-75.
23. Schwartz, E. S. and M. Moon, (2001): Rational Pricing of Internet Companies Revisited.Financial Review, 36, 7-26.
24. Tilley, J.A., (1993): Valuing American Options in a Path Simulation Model. Tran-sactions of the Society of Actuaries, 45, 83-104.
25. Trigeorgis, L., (1990): A Real-Options Application in Natural-Resource Invest-ments.Advances in Futures and Options Research, 4, 153-164.
ANEXO I
La generaci´on de las variables aleatorias correlacionadas,z1 y z2, consiste en la
estimaci´on de un vector de variables aleatorias, z = (z1
z2 )
, que presentan una
distribuci´on normal multivariada con una matriz de varianzas y covarianzasV(z)
dada por
V(z) =V = σ12 σ12
σ21 σ2 2
.Comoσ12=σ22= 1, se tieneV = 1 σ12
σ21 1 .
Es posible, entonces, simular los valores de z1 yz2 generando primero un valor
paraz1 y obteniendo mediante una regresi´on el valor dez2 del siguiente modo,
z2=bz1+ez2,
dondebes el coeficiente de la regresi´on dez2sobrez1yez2 es la parte dez2que
no depende dez1y que tiene una media de cero y varianza (1−ρ212)σ22(es decir la varianza del error residual dez2 despu´es de permitir la correlaci´on conz1).
Si generamosz1a partir de una desviaci´on aleatoria normal,w1, con varianza
1, entoncesz1=σ1w1=w1. Por tanto:
bz1 = σ12
σ2 1
σ1w1= σ12
σ1 w1, bz1 =σ2ρ12w1.
De forma similarez2=σez
2w2=σ2
√ (1−ρ2
12)w2. As´ı, tenemos que
z= z1
z2 =
σ1w1
σ2ρ12w1+σ2 √
(1−ρ2 12)w2
,
