La valoración de opciones reales con múltiples fuentes de incertidumbre

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Anales de Estudios Económicos y Empresariales, Vol. XIX, 2009, 235-256 235. La Valoración de Opciones Reales con Múltiples. Fuentes de Incertidumbre. Susana Alonso Bonis1,2. 1 Departamento de Economı́a Financiera y Contabilidad, Universidad de Valladolid,. España. 2 Premio Extraordinario de Doctorado (A.D.E.), Curso 2007-2008. Resumen El presente trabajo plantea la combinación de la simulación de Mon-. te Carlo, la programación dinámica y la regresión estad́ıstica en un modelo que. permite valorar opciones reales de naturaleza cuasi-americana dependientes de. múltiples fuentes de incertidumbre. La ventaja de la simulación radica en su fle-. xibilidad para valorar opciones de naturaleza compleja dependientes de múltiples. y diversas variables exógenas y procesos estocásticos no convencionales. La utili-. dad del modelo es analizada a partir de un análisis numérico, en el que se ponen. de manifiesto las implicaciones derivadas del empleo de hipótesis inadecuadas a. la naturaleza de la oportunidad evaluada.. Palabras clave Valoración, Opciones Reales, Opciones Americanas, Simula-. ción de Monte Carlo, Múltiples Fuentes de Incertidumbre.. Clasificación JEL G31.. Correspondencia a: Susana Alonso Bonis (e-mail: salonso@eco.uva.es). 236 Susana Alonso Bonis. 1. Introducción. Desde que Myers propusiera en 1977 la aplicación de la teoŕıa de opciones a la. valoración de la inversión empresarial, el número de trabajos teóricos y emṕıri-. cos que abundan en esta idea ha venido creciendo de manera exponencial. Hoy. en d́ıa son pocos los que dudan de la importancia de los resultados llamados. “no monetarios” o estratégicos de la inversión empresarial y de la utilidad de. la teoŕıa de opciones para su valoración. La imagen de marca, la fidelidad de. clientes, el conocimiento tecnológico o la flexibilidad operativa son buen ejemplo. de resultados estratégicos, de indudable valor para la empresa, que brotan de. sus inversiones. Estos resultados aportan valor a la empresa en tanto en cuanto. permiten hacer algo que no podŕıa hacer sin ellos. Es decir, en la medida en. que proporcionan nuevas oportunidades, posibilidades de decisión u “opciones. reales”. Como apuntara Myers, estas opciones son asimilables a opciones finan-. cieras de compra y de venta y, por tanto, susceptibles de ser valoradas a partir. de los mismos argumentos de réplica y arbitraje.. El enfoque de las opciones reales nos enseña la forma adecuada de valorar las. distintas opciones reales. En este sentido, son numerosos los trabajos que propo-. nen y desarrollan modelos contingentes –soluciones anaĺıticas y procedimientos. numéricos– adaptados a la valoración de opciones reales de diversa naturaleza.. Estos modelos comparten el objetivo de capturar el valor de las caracteŕısticas. presentes en las oportunidades de inversión y abandono que se plantean las em-. presas, pero cada uno se concentra en un derecho decisión concreto definido sobre. un activo subyacente de naturaleza espećıfica.. Durante años, la carencia de un modelo general de opciones reales susceptible. de aplicación a la mayor parte de las oportunidades de inversión en la empresa. ha dificultado la utilización práctica del enfoque. Aśı, la valoración simultánea. de rasgos habituales de la inversión empresarial como la posibilidad de tomar. decisiones en más de una fecha futura y la dependencia de los flujos de múltiples. La Valoración de Opciones Reales con Múltiples Fuentes de Incertidumbre 237. fuentes de incertidumbre, no ha sido viable –desde un punto de vista operativo1–. hasta que recientemente surgen en el ámbito de los derivados financieros, propues-. tas que combinan simulación de Monte Carlo, programación dinámica y regresión. estad́ıstica (Carriere, 1996; Tsitsiklis y Van Roy, 2001; y Longstaff y Schwartz,. 2001).. La conjunción de ventajas que cada una de estas técnicas proporciona, dota al. procedimiento de valoración resultante de tal flexibilidad que es capaz de capturar. el valor de las distintas fuentes de valor de cualquier tipo de inversión con inde-. pendencia de la naturaleza de sus opciones y de sus fuentes de incertidumbre. En. primer lugar, la simulación de Monte Carlo ampĺıa significativamente el número. de fuentes de incertidumbre y el espectro de los posibles procesos estocásticos a. considerar en su caracterización. Segundo, la programación dinámica permite in-. corporar las posibilidades del ejercicio anticipado en la valoración de las opciones. americanas que, por definición, otorgan a sus titulares la capacidad para ejercer. el derecho en cualquier fecha anterior o coincidente con el vencimiento2. Y terce-. ro, la regresión estad́ıstica permite solucionar el problema de cálculo que implica. la valoración de opciones dependientes de múltiples fuentes de incertidumbre.. Como quiera que estas ventajas se antojan muy deseables para la valoración. de las opciones reales, la adaptación de las anteriores propuestas al ámbito de la. inversión empresarial está llamada a revolucionar la aplicación práctica del en-. foque de opciones reales entre los responsables de la dirección financiera. Aśı se. refleja en el número creciente de trabajos que incorporan múltiples factores es-. tocásticos para recoger el riesgo asociado a la corriente de flujos subyacente y. emplean la simulación de Monte Carlo, entre los que cabe destacar Schwartz y. Moon (2000 y 2001), León y Piñeiro (2004), Sáenz-Diez (2004), Schwartz (2004) y. 1 El modelo binomial presenta el problema de la maldición de la dimensionalidad que supone un crecimiento exponencial de los recursos que requiere su implementación a medida que aumenta el número de fuentes de incertidumbre consideradas.. 2 De ah́ı que la valoración de estos activos resulte más compleja que la de sus homóni- mos europeos, cuyo ejercicio únicamente es posible al vencimiento y se determina sin más que relacionar el valor en esa fecha del subyacente y el precio de ejercicio.. 238 Susana Alonso Bonis. Abadie y Chamorro (2006), que además consideran la presencia de correlaciones. entre las variables exógenas.. Este trabajo se dirige, precisamente, al análisis de las posibilidades de flexi-. bilización de la valoración de opciones reales a partir de la combinación de la. simulación de Monte Carlo, la programación dinámica y la regresión estad́ıstica.. Concretamente se plantea la adaptación al ámbito de la inversión empresarial y. sus opciones del método Least-Squares Monte Carlo (en adelante LSM), propues-. to por Longstaff y Schwartz en 2001, en aras de alcanzar un modelo que permita. la valoración de opciones reales de naturaleza cuasi-americana con múltiples fuen-. tes de incertidumbre. Adicionalmente se describen, mediante el análisis numérico. de un problema de valoración, algunas de las implicaciones derivadas del empleo. de hipótesis inadecuadas a la naturaleza de la oportunidad evaluada.. El resto del trabajo se articula como sigue. La sección segunda presenta el. problema de valoración de opciones americanas con múltiples variables exógenas.. La sección tercera se ocupa de la exposición del modelo basado en la simulación. propuesto. La sección cuarta analiza la influencia de múltiples fuentes de incerti-. dumbre mediante un análisis numérico. Cierra este trabajo la recopilación de las. principales conclusiones.. 2. La Valoración de Opciones Reales Americanas Dependientes de. Múltiples Fuentes de Incertidumbre. Uno de los principales problemas de la aplicación práctica del enfoque de opcio-. nes reales reside en la caracterización de la evolución estocástica seguida por el. valor del subyacente o, lo que es lo mismo, del valor de la empresa o proyecto. de inversión sin opciones. En la mayoŕıa de los casos, la compleja relación que. existe entre las variables que determinan los flujos de tesoreŕıa y, a través de. éstos, el valor estático del activo hace prácticamente imposible adivinar el patrón. de comportamiento estocástico más previsible. En otros casos, la casi imposible. La Valoración de Opciones Reales con Múltiples Fuentes de Incertidumbre 239. separación del valor de las opciones reales y sus subyacentes impide la identifi-. cación de la acción gemela del activo sin opciones y su correspondiente coste de. capital.. Ante este tipo de dificultades, una posible solución consiste en plantear la. valoración simultánea del subyacente y sus opciones, desplazando la aplicación. de los argumentos de réplica y arbitraje sobre la variable o variables de estado de. las que dependen en última instancia los flujos de tesoreŕıa del activo. Aśı, una. hipótesis habitual de los modelos convencionales de valoración de opciones reales. ha sido la consideración de una única variable exógena3,4. Pero en la actualidad. se tiende a refinar la modelización del activo subyacente a partir de múltiples. fuentes de incertidumbre –volatilidad, riesgo de crédito, rentabilidad de conve-. niencia estocástica, ... (Gravet, 2003)– lo que requiere el empleo de herramientas. de valoración flexibles.. La simulación de Monte Carlo reúne caracteŕısticas valiosas para el desarro-. llo e implementación de herramientas flexibles de valoración de derivados. En. primer lugar, representa un procedimiento intuitivo, al aproximar directamente. el proceso estocástico de la variable incierta. Además, se trata de una técnica. flexible fruto de la generalidad de activos a los que puede aplicarse y la facilidad. para incluir dependencias en el tiempo. Por último, simplifica la incorporación. de múltiples fuentes de incertidumbre, debido a que la convergencia del proceso. de aproximación depende linealmente del número de variables de estado.. A pesar de estas ventajas, no puede decirse que hayamos llegado a explotar. todo el potencial de la simulación en la valoración de opciones. La razón de este. aparente retraso se halla en la propia naturaleza de los modelos tradicionales de. 3 En Lander y Pinches (1998) puede encontrarse una revisión de los modelos conven- cionales de valoración de opciones reales que recoge las hipótesis más habituales de los modelos planteados hasta ese momento.. 4 Otra alternativa planteada consiste en reducir las fuentes de incertidumbre a una única –la variablidad del proyecto a lo largo del tiempo– que de acuerdo con el teorema de Samuelson (1965) evoluciona en el tiempo de acuerdo con una caminata aleatoria normal con volatilidad constante (Copeland y Antikarov, 2001).. 240 Susana Alonso Bonis. simulación que impide identificar la poĺıtica óptima de ejercicio de las opciones. americanas. El método de Monte Carlo es un procedimiento de inducción “hacia. delante”, que genera valores futuros de la variable a partir de su valor previo. y, por tanto, no resulta apropiado para valorar activos cuyos flujos dependen. de los acontecimientos futuros, como es el caso de las opciones americanas. De. ah́ı que, en los últimos años, diversas investigaciones hayan propuesto superar. esta limitación mediante la conjunción de la simulación con la programación. dinámica, una técnica de inducción “hacia atrás” que permite su aplicación a la. valoración de opciones americanas (Tilley, 1993; Barranquand y Martineau, 1995;. Grant et al., 1996; Longstaff y Schwartz, 2001; Broadie y Glasserman, 2004).. Y es que, la programación dinámica resume la secuencia de todas las posibles. decisiones de ejercicio que conlleva la opción americana en dos únicos elementos:. el valor de la decisión inmediata y un valor de continuación, que recoge las conse-. cuencias de todas las decisiones siguientes empezando con la posición resultante. de la decisión inmediata. En consecuencia, el valor de la opción en un momento. concreto se determina en función de su valor en el peŕıodo siguiente, lo que re-. quiere que el procedimiento de valoración se inicie en la fecha de vencimiento y. se mueva cronológicamente hacia atrás en el tiempo.. Aunque el empleo de la programación dinámica en la estimación de la poĺıtica. de ejercicio de los derivados americanos ya está presente en los procedimientos. numéricos habituales de valoración de derivados –como el modelo binomial (Cox. et al., 1979) y los esquemas de diferencias finitas (Brennan y Schwartz, 1977)– la. implementación de estos procedimientos resulta costosa cuando se contempla la. existencia de múltiples fuentes de incertidumbre y procesos estocásticos diferentes. de la familia del geométrico-browniano.. En pocos años, la combinación de la simulación de Monte Carlo y la pro-. gramación dinámica ha logrado posicionarse entre los principales procedimientos. numéricos de la valoración de derivados financieros y apunta a convertirse en la. principal herramienta de valoración en el ámbito de las opciones reales. Para ello. La Valoración de Opciones Reales con Múltiples Fuentes de Incertidumbre 241. ha sido necesario superar los problemas de consumo de recursos –tiempo y requi-. sitos informáticos– que requeŕıa la implementación de las primeras propuestas.. El logro se debe en buena medida a los progresos alcanzados en la estimación. de la poĺıtica óptima de ejercicio mediante el empleo de regresiones estad́ısticas,. tal y como plantearan Logstaff y Schwartz en su trabajo seminal del año 2001.. Y precisamente, en la propuesta planteada por estos autores se apoya el modelo. de valoración de opciones reales americanas dependientes de múltiples fuentes de. incertidumbre que presentamos en la siguiente sección.. 3. Propuesta de un Modelo de Valoración de Opciones Reales con. Múltiples Fuentes de Incertidumbre. El modelo que se plantea tiene por objeto la valoración de opciones reales –tanto. de crecimiento (compra) como de decrecimiento o abandono (venta)– de duración. limitada, T 0, que pueden ejercerse en uno o más momentos futuros, durante la. vida limitada o ilimitada de la empresa o proyecto de inversión subyacente. A. efectos de la exposición de la propuesta de valoración que va a efectuarse, vamos. a considerar un vencimiento para el activo subyacente de la opción, T .. El proceso de valoración comienza, con la identificación de las variables de es-. tado últimas de las que dependen los flujos de tesoreŕıa de la empresa, S1, S2, ..., Sn,. y de sus correspondientes procesos en tiempo continuo. En este sentido, una de las. caracteŕısticas que hace a la simulación tan atractiva en la valoración de derivados. es que al aproximar directamente el proceso estocástico seguido por la variable. de estado es posible trabajar con procesos muy diversos. Aśı, por ejemplo, esta. técnica resulta especialmente útil para valorar aquellas opciones cuyas fuentes de. incertidumbre evolucionan de acuerdo con una mezcla de procesos continuos y. saltos discretos, ya que estos procesos mixtos dan lugar a ecuaciones diferenciales. parciales muy complejas, pero que sin embargo no es necesario resolver cuando. se utiliza la simulación5. 5 Una aplicación emṕırica donde la variable de estado sigue un proceso mixto puede. 242 Susana Alonso Bonis. A efectos de plantear el modelo de valoración de opciones reales que depen-. de de las técnicas de simulación, vamos a suponer el proceso estocástico más. comúnmente empleado en la modelización del comportamiento de los activos, el. Movimiento Geométrico Browniano, siendo la expresión que determina su evolu-. ción la siguiente,. dSj,t = αjSj,tdt + σjSj,tdzj siendo j = 1, 2, . . . , n las fuentes de incertidumbre. y donde αj representa la variación instantánea esperada de la variable exógena. j; σj representa la volatilidad, es decir, la desviación de la tendencia esperada o. término de incertidumbre; y dzj son los respectivos incrementos de un proceso. de Wiener que se definen del siguiente modo. dzj = ξj · √ dt , ξj → N(0, 1) para j = 1, 2, . . . , n.. La relación entre las “n” fuentes de incertidumbre se supone del tipo pareado,. es decir, correlaciones dos a dos entre los cambios no anticipados en la variación de. las diferentes variables, dzj, y se modeliza a través del coeficiente de correlación. ρj,k. dzj ∗ dzk = ρj,k.. El siguiente paso de la valoración por simulación requiere la obtención de la. versión discreta de los procesos ajustados al riesgo. Aplicando los principios de. la valoración neutral al riesgo6 , las expresiones que se proponen para el proceso. anterior son,. dSj,t = (r − δj)Sj,tdt + σjSj,tdzj para j = 1, 2, . . . , n. consultarse en Alonso et al., (2009). 6 La simulación neutral al riesgo presenta una tendencia modificada, r−δ , en lugar de. la tendencia del proceso inicial, α . Esto es equivalente a deducir una prima de riesgo de la tendencia α−βσ = r −δ , donde β es la prima de riesgo del mercado correspondiente al activo subyacente (Trigeorgis, 1996, p. 102).. La Valoración de Opciones Reales con Múltiples Fuentes de Incertidumbre 243. y donde r es el tipo de interés libre de riesgo7 continuo; y δj la tasa de dividendos. o “rentabilidad de conveniencia” de cada una de las fuentes de incertidumbre. consideradas.. Para resolver las anteriores ecuaciones diferenciales basta aplicar el Lema de. Ito, de manera que el valor de las variables de estado en un momento cualquiera,. t, puede obtenerse a partir de las siguiente expresión,. Sj,t = Sj,0 · exp [ (r − δj − 0,5 σ2j )△t + σjξj. √ △t. ] ,. siendo las respectivas ξj variables normales unitarias asociadas a la aleatoriedad. de los procesos correlacionados de difusión. De este modo, la simulación de los. valores de las variables de estado tan sólo requiere obtener un conjunto de valores. muestrales de la distribución normal estándar, a partir de las cuales se obtienen. los correspondientes valores para Sj,t. Una posible forma de generar las variables. correlacionadas se presenta en el Anexo I.. En los diferentes intervalos temporales considerados, cada conjunto de valores. simulados de las variables de estado determina un par de valores del proyecto. subyacente contingentes al ejercicio de la opción, V it,ejercicio(S i 1,t, S. i 2,t, . . . , S. i n,t) ,. y V it,no−ejercicio(S i 1,t, S. i 2,t, . . . , S. i n,t) , en donde el supeŕındice i indica el número de. simulaciones realizadas. El valor del subyacente si se ejercita la opción en t (con. t ≤ T 0) se corresponde con el valor actual de los flujos de caja del proyecto con. opciones entre t+1 y la fecha de vencimiento del proyecto o empresa subyacente,. considerando además el precio de ejercicio, X, cobrado o pagado por la venta o. 7 La simulación del proceso neutral al riesgo en la valoración de activos derivados se basa en la hipótesis de mercados completos. Obviamente, la simulación del proceso real y la actualización al tipo de descuento ajustado al riesgo del activo subyacente, proporciona el valor correcto para el valor del activo subyacente, pero proporciona un resultado equivocado para el activo derivado, ya que el riesgo del derivado y del activo subyacente son diferentes y consecuentemente también lo serán el tipo de descuento ajustado al riesgo para uno y otro.. 244 Susana Alonso Bonis. la compra del proyecto, según se trate, respectivamente o de compra:. V it,ejerc.(S i 1,t, S. i 2,t, . . . , S. i n,t) = ±PE +F. i t,no−ejerc. +. T∑ τ=t+1. F iτ,ejerc. exp [−r(τ −t)].. Para determinar el valor del proyecto subyacente si la opción no se ejercita es. preciso distinguir entre la fecha de vencimiento de la opción, y los restantes. momentos en que se permite el ejercicio anticipado. Aśı, si t = T 0, el valor. del subyacente si no se ejercita la opción y expira sin ejercicio, se corresponde. con valor actual de los flujos de caja del proyecto sin opciones entre la fecha. de vencimiento de la opción y la fecha de vencimiento del proyecto o empresa. subyacente,. V iT 0,no−ejerc.(S i 1,t, S. i 2,t, . . . , S. i n,t) =. T∑ τ=T 0. F iτ,no−ejerc. exp [−r(τ − T 0)].. Mientras que si la opción no se ejerce en un momento t anterior al vencimiento. (es decir, t < T 0) y se mantiene “viva” hasta el peŕıodo siguiente, el valor del. proyecto se determina considerando el posible ejercicio óptimo en un instante. posterior. Es decir, el valor del subyacente se calculaŕıa a partir del valor actual. de los flujos derivados del proyecto sin opciones entre t y el ejercicio óptimo de la. opción en un momento posterior, t∗, más el valor actual del proyecto con opciones. entre el momento siguiente al ejercicio óptimo, t∗ + 1, y la fecha de vencimiento. de la empresa o proyecto subyacente,. V it,no−ejerc.(S i 1,t, S. i 2,t, . . . , S. i n,t) =. t∗∑ τ=t. F iτ,no−ejerc. exp [−r(τ − t)] +. + T∑. τ=t∗+1. F iτ,ejerc. exp [−r(τ − t ∗)],. donde r, como ya se ha señalado, es el tipo de interés libre de riesgo, i indica que. se trata de la i-ésima trayectoria simulada y n representa el número de variables. de estado.. La Valoración de Opciones Reales con Múltiples Fuentes de Incertidumbre 245. Relacionando estos valores para el conjunto de trayectorias simuladas puede. estimarse la regla de ejercicio óptimo de la opción americana en cada momento. en que se permite el ejercicio anticipado de la misma. Nuestra propuesta de valo-. ración se concreta en la estimación de la frontera de ejercicio óptimo de la opción,. determinando para aquellos momentos en que se permite el ejercicio anticipado. de la misma, los coeficientes asociados a las variables de estado que equiparan los. flujos resultantes del ejercicio de la opción con el valor de mantenerla viva hasta. el periodo siguiente.. La idea sobre la que se sustenta esta aproximación de la frontera de ejercicio. óptima es que a partir de la regresión efectuada sobre el conjunto de trayectorias. simuladas que se encuentren en el dinero en un determinado momento, puede. estimarse la función esperada de la diferencia entre el valor derivado del ejercicio. inmediato y el valor de continuación o valor esperado de mantener viva la opción.. Estimando la función de esta diferencia en cada uno de los momentos en que. se permite el ejercicio anticipado, se obtiene una completa especificación de la. estrategia óptima en cada fecha de ejercicio.. Una vez determinados los coeficientes de la regresión asociados a las variables. en los distintos momentos en que es posible el ejercicio, la simulación de un núme-. ro suficiente de trayectorias de las variables de estado nos permite determinar,. de acuerdo con la frontera de ejercicio óptima, el momento en que resulta óptimo. el ejercicio de la opción. El valor actual de la opción puede entonces aproximarse. a través del promedio de la muestra de observaciones simuladas. Nótese, que al. aplicar los argumentos de réplica y arbitraje sobre las variables últimas de las que. dependen los flujos y valorar de forma simultánea el subyacente y las opciones, el. resultado que se deriva del procedimiento de valoración no corresponde directa-. mente con el valor del derecho propiamente dicho, como ocurre con los derivados. financieros, sino con el valor ampliado del proyecto subyacente cuya propiedad. incorpora la opción real.. 246 Susana Alonso Bonis. La resolución del problema de valoración se desarrolla, por tanto, en dos. etapas: i) una primera que consiste en la estimación de los sucesivas regresiones a. través de la combinación del método de Monte Carlo y la programación dinámica;. y ii) una segunda que supone la determinación del valor de la opción a partir. de las regresiones anteriores y que requiere únicamente el empleo de las técnicas. de simulación8. Al tratarse de la evaluación de una opción de estilo americano,. cuyo ejercicio óptimo depende en cada momento de las expectativas futuras, el. procedimiento de estimación de las sucesivas funciones de la diferencia entre el. valor de ejercer y no ejercer ha de seguir un proceso recursivo en el tiempo que. tome como punto de partida la fecha de vencimiento de la opción.. En cada instante en que resulta factible el ejercicio anticipado, el procedimien-. to comienza con la determinación de las trayectorias simuladas de las variables. de estado que se encuentran en el dinero, ya que, en principio, son las únicas. para las que merece la pena plantearse la decisión de ejercer o no. Con estas. trayectorias se plantea una regresión en la que la variable dependiente se calcula. como la diferencia entre el valor del subyacente derivado del ejercicio inmediato. y el correspondiente valor en caso de mantener viva la opción; y las variables in-. dependientes se basan en los valores simulados de las variables de estado (ya sea. elevados al cuadrado, al cubo, . . . , o como resultado de otro tipo de funciones). A. partir de esta regresión, se obtienen los valores de los coeficientes asociados a los. términos independientes que conforman la frontera de ejercicio óptima. Aśı, por. ejemplo, en un momento cualquiera t, y considerando una regresión parabólica,. la ecuación a estimar es,. Y i t (S. i 1,t, S. i 2,t, . . . , S. i n,t) = a + β1,t(S. i 1,t). 2 + β2,t(S. i 2,t). 2 + . . . + βn,t(S. i n,t). 2 +. + ω1,tS i 1,t + . . . + ωn,tS. i n,t,. 8 Para evitar sesgos en el valor de la opción, el conjunto de trayectorias de la/s variable/s de estado utilizado en la segunda etapa conviene que sea diferente de las simulaciones empleadas para la obtención de la frontera de ejercicio óptima (Broadie y Glasserman, 1997b).. La Valoración de Opciones Reales con Múltiples Fuentes de Incertidumbre 247. donde. Y i t (S. i 1,t, S. i 2,t, . . . , S. i n,t) = V. i t,ejerc(S. i 1,t, S. i 2,t, . . . , S. i n,t) − V. i t,no−ejerc(S. i 1,t, S. i 2,t, . . . , S. i n,t).. Este procedimiento se repite en cada momento en que se permite el ejercicio de. la opción, teniendo en cuenta que para la determinación de las trayectorias que. se encuentran en el dinero en un instante es preciso considerar la posibilidad de. ejercicio óptimo de la opción en un momento posterior a partir de los resultados. de las regresiones que se han ido estimando en los periodos siguientes. Es decir,. en un momento t, el valor del subyacente en caso de no ejercicio de la regresión. anterior considera el posible ejercicio óptimo en un instante posterior.. Con este procedimiento basado en regresiones se superan los inconvenientes. operativos que presentan algunos de los procedimientos propuestos en la literatu-. ra para resolver este tipo de problemas de valoración (Tilley, 1993; Barranquand y. Martineau, 1995; Raymar y Zwecher, 1997; Grant et al., 1996; Broadie y Glasser-. man, 1997a y 1997b; Broadie et al., 1997; Ibáñez y Zapatero, 2001). Por último,. una vez determinados los coeficientes de las regresiones que conforman la fron-. tera de ejercicio óptima, la estimación del valor de la opción americana puede. obtenerse utilizando la simulación tradicional como si de una opción europea se. tratase.. 4. Análisis Numérico de las Implicaciones de Múltiples Fuentes de. Incertidumbre en la Valoración. Con el fin de ilustrar la utilidad de la propuesta de valoración planteada y con ello. el interés de la flexibilización de la valoración de opciones reales, consideramos a. continuación la valoración de un negocio que se espera que genere una corriente de. flujos que depende de múltiples variables de estado. Concretamente, el estudio de. la influencia de un mayor número de fuentes de incertidumbre sobre el valor actual. ampliado se aborda analizando primero la valoración de un negocio con una única. 248 Susana Alonso Bonis. fuente de incertidumbre –por ejemplo, la demanda de un determinado producto,. St– y a continuación los resultados derivados a partir de la variable anterior y. otra variable adicional –por ejemplo el precio unitario de dicho producto, Pt–.. Con ánimo de simplificar la valoración, suponemos que la evolución en el tiem-. po de ambas variables se ajusta a un proceso geométrico browniano estándar,. estando los cambios no anticipados en las variaciones de ambas variables corre-. lacionadas, a través del coeficiente de correlación ρ. También por simplicidad,. suponemos que el resto de factores que intervienen en la estimación de los flu-. jos de caja derivados de este problema de valoración se mantienen constantes. durante el peŕıodo de análisis. No obstante, el modelo planteado permite incor-. porar fácilmente estructuras más complejas en el modelo, fundamentalmente en. lo que se refiere al comportamiento estocástico de los costes, reflejando aśı la. incertidumbre relativa a las potenciales acciones de los competidores, al cambio. tecnológico, . . .. El valor inicial de la demanda del mercado, se establece igual a 100 unidades. f́ısicas, el precio unitario igual a 2 unidades monetarias, la cuota de mercado. atendida por la empresa es del 50 %, el flujo de tesoreŕıa viene determinado por. un coste unitario conocido y constante igual a la unidad y el desembolso inicial. requerido asciende a 50 unidades monetarias. En el Cuadro 1 se recogen los. principales parámetros relativos al ejemplo supuesto de inversión.. A partir de la evolución estocástica de las variables últimas de las que de-. pende la corriente de flujos, nos planteamos evaluar la posibilidad de ampliar la. dimensión inicial del negocio en diferentes momentos del tiempo. Este derecho a. disposición de la empresa se asimila a una opción de compra de estilo americano,. que implica el incremento de la cuota de mercado en un 20 % adicional con un. coste o precio de ejercicio igual a 25 u.m.. Para analizar el efecto que tiene la incorporación de una segunda variable. de estado, en nuestro caso el precio unitario, el valor de la opción es estimado. ensayando con volatilidades alternativas de esta segunda variable, σp, 10 %, 20 %. La Valoración de Opciones Reales con Múltiples Fuentes de Incertidumbre 249. Cuadro 1: Datos iniciales del proyecto de inversión.. Valor inicial de la demanda 100 udes Tanto de crecimiento anual de la demanda 15 % Volatilidad de la demanda 20 % Valor inicial del precio unitario 2 u.m. Coste por unidad de producto 1 u.m Rendimiento del negocio 10 % Tasa de interés libre de riesgo 5 % Valor residual del negocio 0 u.m Duración del negocio 2 años Cuota de mercado inicial 50 % Unidad de tiempo de análisis Semestral. y 30 %, y tasas de crecimiento anual medio, αp, del 0 %, 7 % y 15 %; también. ensayamos con diferentes parámetros de correlación del 0, -10 %, -20 %, -30 %,. -40 % y -50 %.. El proceso de valoración comienza con la simulación de un conjunto de trayec-. torias de nuestras variables estocásticas en los distintos subintervalos de análisis. considerados. En concreto, la simulación se ha realizado tomando subintervalos. anuales, evaluándose la posibilidad del ejercicio anticipado de la opción en dos. momentos discretos. El número de trayectorias simuladas para obtener el valor. actual de la opción en los diferentes supuestos asciende a 200.000, que resulta de. 100.000 aproximaciones directas más 100.000 estimaciones utilizando la técnica. de reducción de varianza de las “variables antitéticas”9.. A partir de los valores simulados de las variables de estado en cada momento. estimamos los flujos netos de tesoreŕıa del problema inicial, sin opciones, y el. valor actual convencional. A continuación, determinamos el valor actual ampliado. mediante la aplicación del modelo de simulación propuesto, estimando el valor de. 9 Mediante esta técnica, la simulación de una trayectoria del valor de la variable de estado proporciona dos valores del derivado, el primero de ellos calculado del modo habitual y el segundo cambiando el signo de todas las muestras aleatorias obtenidas a partir de la distribución normal estándar.. 250 Susana Alonso Bonis. la opción de naturaleza americana considerada como la diferencia entre ambos. valores actuales.. La evolución del valor del derecho derivado de cada uno de los supuestos. alternativos de los parámetros del proceso seguido por la segunda variable se. presenta en la Figura 1. La figura representa, en el eje de ordenadas, el valor de. la opción en unidades monetarias; en el eje de abscisas, los distintos niveles de. correlación considerados, correspondiendo el primero de los resultados al supuesto. en el que existe una única fuente de incertidumbre; y por último, en el eje restante,. se incluyen los diferentes niveles de volatilidad de la segunda variable exógena. considerada. Para cada nivel de volatilidad continua y correlación se incluyen. tres resultados que corresponden a distintos niveles de crecimiento esperado de. la variación continua de la segunda variable.. Figura 1: Valor Actual de la Opción de Ampliación Americana.. La Valoración de Opciones Reales con Múltiples Fuentes de Incertidumbre 251. Puede observarse que los resultados obtenidos confirman la existencia de di-. ferencias significativas en el valor de la opción analizada según se considere una. o dos variables de estado y en función de los valores asignados a los distintos. parámetros analizados. Respecto al valor de la opción con una o dos variables. exógenas y cualquiera que sea el nivel de correlación analizado, se aprecia una. infravaloración importante en el valor de la opción sobre una única fuente de. incertidumbre cuando la tasa de crecimiento de la segunda variable toma el valor. más elevado. Esta infravaloración puede provocar incluso el rechazo de la ejecu-. ción de negocios rentables. Mientras que cuando la tendencia esperada de esta. segunda variable es nula se observa una sobrevaloración del valor de la opción. sobre una variable, pudiendo ocasionar el ejercicio del derecho antes de su fecha. óptima e incluso la aceptación de proyectos no rentables.. Estos resultados ponen de manifiesto que, en cualquiera de los casos, la omi-. sión de la segunda fuente de incertidumbre relevante para el valor del activo. subyacente, implica la aparición de sesgos –al alza o a la baja respectivamente–. en la valoración que pueden conducir a decisiones de inversión sub-óptimas.. Asimismo, resulta destacable la diferente relación entre el nivel de volatilidad. de la segunda variable y el valor de la opción en función de los distintos grados. de correlación analizados. Aśı, podemos apreciar un incremento en el valor del. derecho a medida que aumenta la incertidumbre de la segunda variable para. aquellos niveles de correlación no elevados –entre 0 % y -20 %–, mientras que para. niveles más negativos de correlación la relación es la contraria. La explicación a. esta relación anómala debe buscarse en que ante los niveles más elevados de. correlación negativa el incremento de la volatilidad reduce en gran medida el. valor del activo subyacente, modificando la probabilidad de ejercicio.. Por último, los resultados evidencian el esperado incremento del valor del. derecho a medida que aumenta la tasa de crecimiento anual de la segunda variable. considerada para un determinado nivel de volatilidad. Obviamente, cuánto más. favorable es el escenario previsto respecto al crecimiento de esta segunda variable,. 252 Susana Alonso Bonis. más valiosa resulta cualquier acción destinada a incrementar las dimensiones del. proyecto o empresa inicial.. 5. Conclusiones. A lo largo del presente trabajo, hemos afrontado el problema de la valoración. de opciones reales con múltiples fuentes de incertidumbre. La combinación de. la naturaleza americana y diversas fuentes de incertidumbre dificultan tanto la. resolución anaĺıtica del sistema fundamental de valoración como la aplicación de. los procedimientos numéricos tradicionales.. Una técnica de valoración de opciones marginada durante muchos años al. análisis de derivados de estilo europeo, ha sido recientemente rescatada para,. en combinación con la programación dinámica, valorar opciones reales comple-. jas como las descritas. La razón de este aparente retraso se halla en la propia. naturaleza de los modelos tradicionales de simulación que impide identificar la. poĺıtica óptima de ejercicio. El método de Monte Carlo es un procedimiento de. inducción hacia delante, que genera valores futuros de la variable a partir de su. valor previo y, por tanto, no resulta apropiado para valorar cuyos flujos dependen. de los acontecimientos futuros, como es el caso de las opciones americanas. Re-. cientes trabajos proponen superar esta limitación mediante la combinación de la. simulación con alguna técnica de inducción hacia atrás que permita su aplicación. a la valoración de opciones americanas.. En ĺınea con este tipo de propuestas, hemos planteado un modelo de valora-. ción basado en la simulación de Monte Carlo que nos permite valorar opciones. reales cuasiamericanas asociadas a proyectos de inversión que generan flujos de. tesoreŕıa dependientes de diversas fuentes de incertidumbre y diversos procesos. estocásticos. El modelo propuesto se apoya en el procedimiento desarrollado por. Longstaff y Schwartz (2001) en el ámbito de los derivados financieros, y que. añade a la simulación y la programación dinámica el empleo de la regresión es-. La Valoración de Opciones Reales con Múltiples Fuentes de Incertidumbre 253. tad́ıstica. De este modo es posible afrontar el considerable consumo de recursos. informáticos que conlleva la implementación de este tipo de propuestas.. Con el fin de evaluar la utilidad de este modelo, analizamos los resultados de. su aplicación a un problema de valoración en el que confrontamos sendos supues-. tos acerca de la dependencia de los flujos de tesoreŕıa de una única variable o. exógena o de dos variables. Los resultados obtenidos de esta valoración confirman. la existencia de diferencias significativas en el valor del derecho en función de que. se considere o no la existencia de una segunda variable relevante, que pueden. ser al alza o a la baja. Estas diferencias justifican el esfuerzo de abstracción,. modelización e informatización requeridos por nuestra propuesta de valoración. –que combina simulación de Monte Carlo y programación dinámica–, cuando. la evolución del negocio recomiende la consideración de una segunda fuente de. incertidumbre.. Referencias. 1. Abadie, L. M. and J. M. Chamorro, (2006): Valuation of Natural Gas Power Plant. Investment. Presentado en X Real Options Conference, Nueva York.. 2. Alonso, S., V. Azofra y G. de la Fuente, (2009): Las opciones reales en el sector. eléctrico. El caso de la expansión de Endesa en Latinoamérica. Cuadernos de. Economı́a y Dirección de la Empresa, 38, 65-94.. 3. Barranquand, J. and D. Martineau, (1995): Numerical Valuation of High Dimen-. sional Multivariate American Securities. Journal of Financial and Quantitative. Analysis, 30, 383-405.. 4. Brennan, M. and E. Schwarz, (1977): The valuation of American Put Options.. Journal of Finance, 32, 449-462.. 5. Broadie, M. and P. Glasserman, (1997a): Pricing American-Style Securities Using. Simulation. Journal of Economic Dynamics and Control, 21, 1323-1352.. 6. Broadie, M. and P. Glasserman, (1997b): A Stochastic Mesh Method for Pricing. High-Dimensional American Options. Working paper.. 254 Susana Alonso Bonis. 7. Broadie, M., P. Glasserman and G. Jain, (1997): Enhanced Monte Carlo Estimates. for American Options Prices. Journal of Derivatives, 5, 25-44.. 8. Carrière, J., (1996): Valuation of Early-Exercise Price of Options Using Simulation. and Non-Parametric Regression. Insurance: Mathematics and Economics, 19, 19-. 30.. 9. Copeland T. and V. Antikarov, (2001): Real Options. A practitioner’s guide. Ed.. Texere LLC. New York.. 10. Cox, J. C., S. A. Ross and M. Rubinstein, (1979): Option Pricing: A Simplified. Approach. Journal of Financial Economics, 7, 229-263.. 11. Grant, D., G. Vora and D. Weeks, (1996): Simulation and the Early-Exercise. Option Problem. Journal of Financial Engineering, 5, 211-227.. 12. Gravet, M. A., (2003): Evaluación de opciones reales mediante simulación: El. método de los mı́nimos cuadrados. Memoria para optar al t́ıtulo de Ingeniero Civil. Industrial. Pontificia Universidad Católica de Chile, Santiago de Chile.. 13. Ibáñez, A. and F. Zapatero, (2001): Monte Carlo Valuation of American Options. Through Computation of the Optimal Exercise Frontier. Working paper.. 14. Lander, D. and G. Pinches, (1998): Challenges to the practical implementation. of modeling and valuing real options. The Quarterly Review of Economics and. Finance, 38, 537-567.. 15. León, A. and D. Piñeiro, (2004): Valuation of a biotech company: A real options. approach, Working paper CEMFI.. 16. Longstaff, F. A. and E. S. Schwartz, (2001): Valuing American Options by Simu-. lation: A Simple Least-Squares Approach. The Review of Financial Studies, 14,. 113-147.. 17. Myers, S. C., (1977): Determinants of corporate borrowing. Journal of Financial. Economics, 5, 147-175.. 18. Raymar, S. and M. Zwecher, (1997): Monte Carlo Estimation of American Call. Options on the Maximum of Several Stocks. The Journal of Derivaties, 5, 7-23.. 19. Sáenz-Diez, R., (2004): Valoración de inversiones a través del método de opciones. reales. El caso de una empresa tecnológica. Tesis Doctoral, Universidad Pontificia. de Comillas, Madrid.. La Valoración de Opciones Reales con Múltiples Fuentes de Incertidumbre 255. 20. Samuelson, P., (1965): Proof that Properly Anticipated Prices Fluctuate Ran-. domly. Industrial Management Review, 6, 41-49.. 21. Schwartz, E. S., (2004): Patents and R&D as Real Options. Economics Notes, 33,. 23-54.. 22. Schwartz, E. S. and M. Moon, (2000): Rational Pricing of Internet Companies.. Financial Analyst Journal, 56, 62-75.. 23. Schwartz, E. S. and M. Moon, (2001): Rational Pricing of Internet Companies. Revisited. Financial Review, 36, 7-26.. 24. Tilley, J.A., (1993): Valuing American Options in a Path Simulation Model. Tran-. sactions of the Society of Actuaries, 45, 83-104.. 25. Trigeorgis, L., (1990): A Real-Options Application in Natural-Resource Invest-. ments. Advances in Futures and Options Research, 4, 153-164.. 26. Tsitsiklis, J. and B. Van Roy, (2001): Regression Methods for Pricing Complex. American-Style Options. IEEE Transactions on Neural Networks, 12, 694-703.. 256 Susana Alonso Bonis. ANEXO I. La generación de las variables aleatorias correlacionadas, z1 y z2, consiste en la. estimación de un vector de variables aleatorias, z =. ( z1. z2. ) , que presentan una. distribución normal multivariada con una matriz de varianzas y covarianzas V (z). dada por. V (z) = V =.   σ21 σ12. σ21 σ 2 2.   . Como σ21 = σ22 = 1, se tiene V =.   1 σ12. σ21 1.   .. Es posible, entonces, simular los valores de z1 y z2 generando primero un valor. para z1 y obteniendo mediante una regresión el valor de z2 del siguiente modo,. z2 = bz1 + ez2,. donde b es el coeficiente de la regresión de z2 sobre z1 y ez2 es la parte de z2 que. no depende de z1 y que tiene una media de cero y varianza (1 − ρ212)σ22 (es decir. la varianza del error residual de z2 después de permitir la correlación con z1).. Si generamos z1 a partir de una desviación aleatoria normal, w1 , con varianza. 1, entonces z1 = σ1w1 = w1. Por tanto:. bz1 = σ12 σ21. σ1w1 = σ12 σ1. w1,. bz1 = σ2ρ12w1.. De forma similar ez2 = σez2 w2 = σ2 √ (1 − ρ212) w2. Aśı, tenemos que. z =.  z1. z2.   =.   σ1w1. σ2ρ12w1 + σ2 √. (1 − ρ212) w2.   ,. y a partir de z1 y z2 podemos obtener los valores simulados de St y Pt.

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