LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG.
1
PROBLEMARIO DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
5.0 Solución De Una Ecuación
Diferencial
Verifique que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Donde c1 ,c2 son constantes.
2
1 1
2 2 2
1
2
2
1] si 0, 0
1 1
2] si cos 10
2 2
3] 2 2 0 si
1 4] 2 0 si
5]
x
dy y
y x c x c
dx x
y y senx y senx x e
xydx x y dy x y y c
x dy xydx y
x
y
1
1
2
2 2 2
1
2 1
1 si ln 0
6] si 1
7] 0 si c
8] tan si cos ln sec tan 9] 3
at at
y x
y y x x x
x
ac e dP
P a bP P
dt bc e
x y dx x xy dy x y xe
y y x y x x x
x y
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
4 0 si ln , 0
10] 3 3 0 si
11] si
12] si 2 ln
13] 2 si
x
xy y y x x x x
y y y y y x e
xy y x y y xtgx
xy
y x y y
x y
xyy x y y x cx
14]
Compruebe que es una familia uniparamétrica de soluciones
y
xy
y
2es
y
cx c
2Determine un valor para k tal que 2
ykx sea una solución singular de la ecuación diferencial dada.
15] Encuentre los valores de m tales que mx
ye Sea una solución de cada una de las
Siguientes ecuaciones diferenciales.
0
25
10
)
0
6
5
)
y
y
y
b
y
y
y
a
16] Encuentre los valores de m tales que yxm sea una solución de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.
0
4
16
)
0
)
2 2
y
y
x
y
x
b
y
y
x
a
5.1 Ecuaciones Diferenciales Por
Variables Separables
Resuelva la ecuación diferencial dada, por el método de
separación de variables.
3 3
2 2
3
3 2 2 3
2 2 2 2
2
1
1] 0
3
2] ( 1) 6 5 ln 1
3] 3 3 ln
1
4] 3 2
5] (4 ) (2 ) 0 2 (4 )
6] 2 ( 1) ln
x x
x y y x
dx e dy y e c
dy
x x y x x c
dx
dx x y
x x xy cx
dy x
dy
e e e c
dx
y yx dy x xy dx y c x
y x dy xdx y x x
1 c
2 3 2
3
2
2
1 1
7] ln ln 2 ln
3 9 2
8]
1
9] sec csc 0 4 cos 2 2
t
dx y x y
y x x x y y c
dy x
dP P
P P ce
dt P
xdy ydx y x sen x c
2
2 3
2 1
10] 2 cos ( ) 0
. 2 cos
11] ( 1) ( 1) 0
. ( 1) 2( 1)
y y
y y y
y y x x
x y
e sen xdx x e y dy
sol x e ye e c
e e dx e e dy
sol e e c
2 2
1
12] ( ) ( 1)
1 1
. ( 1) ln 1 ln
2 1
3 3
13]
2 4 8
. 5 ln 3 5 ln 4
dy
y yx y
dx
x
sol y y y c
x
dy xy x y
dx xy x y
sol y y x x c
2
2 2
14] (cos 2 cos ) . cot cos
15] 1 .
2
dy
senx y y sol y x c
dx
x
x y dx dy sol y sen c
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2
2 1 1
16] .
17] 1 1 cos (0) 0
. 1 cos 1 4
x x x
y
y dy
e e y sol y tg e c
dx
e senxdx x dy y
sol x e
1
1 2 2
2 2
2 3
4
1 2
3 2
18] 4 1 (0) 1
. 1 2 2
19] 4 1 1
4
. 4
20] ( 1) 1 .
1 21] 1 .
3 1
22]
x
ydy x y dx y
sol y x
dx
x x
dy
sol x tg y
x y y xy y sol xy e
x dy
x sol y
dx
dy y
sol
dx x
. y 1 cx
2 2
2 2 2
2
1
23] 1 1
3 1
24] 1 ln 1
2
2 3 2 1
25]
4 5 2 3 4 5
x dy y x y y x x
e y e e e y e e c
dx
y
x y dy y dx y y c
x
dy y
c
dx x y x
26] dQ 70 . kt 70
K Q sol Q ce
dt
1
1
1
12 2 2 2 2 2 2 2
27] y dy 1 x 1 y 1 y 1 x c
x dx
2 2 2
1 2
2
2
1 2
28] 2 .
2 2
29] 2 ln 1 5 ln 3
3 3
30] (1) 3 . 3
1 1 1
31] (2) 2 .
1 1 1
5
32] 2 1 (0)
2
t
dy x
sol y x x c
dx y y
dy xy y x
y y x x c
dx xy y x
dy
ty y y sol y e
dt
dy y y x
y sol c
dx x y x
y y y
2 5 5
4 4
2
2 2
1 1
33] 0 . 34] 4 :
35] 0 . cos
36] 1 1 0 .
1
x
x y y sol c
y x
y xy sol y ce
y ytgx sol y c x
c x
x dy y dx sol y
cx
3
2 1
37] ln 0 .
38] . cos
3 39] 0 . sec 40] 1 .
cx
y ydx xdy sol y e
x
y seny x sol y c
y ytgx sol y c x
xyy y sol
yln y 1 lnxc
5.2 Ecuaciones Diferenciales
Homogéneas
Resuelva la ecuación diferencial homogénea dada.
2 2
2 2 1
2
2 3 3
1] 0 . ln
2] 0 . ln
3] ln 2
4] 0 . 4 ln
5] 2 3
x y dx xdy sol x x y cx
y yx dx x dy sol x y x cy
dy y x y
x y tg x c
dx y x
ydx x xy dy sol x y y c
x ydx x y dy
2
9 3 3
2
2
2
2 2 2
2 3 3 3 3
.
6] . 2 ln
7] 4 . 8 ln
8] .
9] (1) 2 . 3 l
x
x
y y
y x
sol y c x y
dy y x sol y x c
x
dx x y
dx
y x ye sol e y c
dy
x xy y dx xydy sol y x cx e
dy
xy y x y sol y x
dx
3
2
2 2 2
2 2
n 8
10] 2 3 (1) 2 . 4
11] 0 (1) 0 . ln 1
12] 3 4 (1) 1
. 4 ln ln
y y y
x x x
x x
dy
x xy y y sol y x x y
dx
x ye dx xe dy y sol x e
y xy dx x xy dy y
y
sol x x x y x c
x
0
ln
)
(
.
1
)
0
(
0
]
13
2 2 2
x
y
y
x
sol
y
dy
y
xy
x
dx
y
2
1 2
2
2 1
14] 1
2
. ln 2 1 2
15] 2 . 2 3
16] . 3
dy
x y xy y y
dx
x
sol y
y
ydx x y dy sol x y cy
dy x y
sol x y c x y
dx x y
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3
2
4 4 3
2 2
2
1 2
2 2
17] 2 0 . ln
18] 1 . ln
19] ln . ln 1
20] 2 ( 1)
y x
x
x y dx x ydy sol x c
y x
dy y x sol y x tag y x c
x
dx x y
dy y y
sol cx
dx x x
x y dx xydy y
4 2 2
2 2 2
2 2
3 3 2
2 2
2
1 . 2
21] (0) 1
. ln 1
22] 2 2 (1) 2
1
. ln
2
23] (1) 0 .
sol x x y
xydx x dy y x y dy y
sol x y y y
y dx x dy x ydx y
sol y x x
x y dx xdy y sol
24] Suponga que
M
(
x
,
y
)
dx
N
(
x
,
y
)
dy
0
es una ecuación homogénea. Pruebe que las sustitucionesx
r
cos
,y
rsen
reduce la ecuación a una de variablesseparables.
2 2
2 2 425] x 2y dxxydy0 sol. y x cx
3
2 2
2
2
2 2
6 26] 3 2 0 .
1 27] 2 . ln ln
28] 0 . 2
2 29] 2 6 .
7 30
y x
cx
x y xy y sol y
cx
xy y xe sol y x cx
x y dx x y dy sol x xy y c
c
xy x y sol y x
x
2 2 2
] 2 . 1
cx
x y y xy sol y
cx
5.3 Ecuaciones Diferenciales
Reducibles A Homogéneas
1] 1 2 2 1 0
. 2 ln
2] 1 4 2 0
.
3] 2 3 1 0
.
4] 2 4 0
.
x y dx x y dy
sol x x y x y c
x y dx x y dy
sol
x y dx x y dy
sol
x y dx x y dy
sol
2
1
5] .
1
3 2 7
6] .
4
6
7] .
8
8
8] (1) 2 2 18 3
1
dy x y
sol dx x
dy x y
sol dx x y
dy x y
sol dx x y
dy y x
y y x y x x
dx y x
22 1 1
9] 14 4 9
7 2 2
2
10] 3ln 1
4
2 1
11] .
5 2 3
2 1
12] .
1
2 1
13]
4
dy y x
y y x y x
dx y x dy x y
y x y x c
dx x y dy x y
sol dx y x
dy x y
sol dx y
dy x y dx
.
2 3 sol
y x
4
14] .
6 4
15] .
6
16] 2 2 1 0 .
1
17] .
4 2
18] 2 3 1 4 1 0 .
dy x y
sol
dx x y
dy x y
sol
dx x y
x y dx y dy sol
dy x y
sol
dx x y
x y dx x dy sol
5.4 Ecuaciones Diferenciales Exactas
Determine si la ecuación diferencial es exacta, si es exacta resuélvala.
3
2 4
3 2 2
3 2 1 2
2
2
3
1] 5 4 4 8 0
5
. 4 2
2
2] 2 0
.
3] 3 2 cos 0
. cos
4] 2 6
. 2 2 2
3 3
5] 1 1 0
. 3ln
x
x x
x y dx x y dy
sol x xy y c
x y x y dx x x y dy
sol
y y senx x dx xy y x dy
sol xy y x x c
dy
x xe y x
dx
sol xy xe e x c
y dx x dy
x y
sol x y xy
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4
2 3 3 2
2
3 3 1
2 3
2 2 4
3 2 4 2
4 3 3
2
1
6] 0
1 9
. 3
7] cos cos 0
. ln cos cos
8] 1 2 2 4 4
. 2
9] 4 15 3 0
. 5
10] 2
dx
x y x y
x dy sol x y tg x c
tgx senx seny dx x ydy sol x x seny c
dy
x y x xy
dx sol y x y y x c
x y x y dx x y x dy sol x y x xy y c
x y dx xy x
2
3 2 2
2 2
2
3 3 2
1 0 (1) 1
1 4
.
3 3
11] 4 2 5 6 4 1 0 ( 1) 2
. 4 5 3 8
12] cos cos 0
. cos
2
13] 1 ln 1 ln .
14] 3 0
dy y
sol x x y xy y
y x dx y x dy y
sol xy x x y y
seny ysenx dx x x y y dy y
sol y x xseny c y
x dx x dy sol
x
x y dx xy dy
. 3 1 4
4
sol xy x c
2 2
2
2 3
3 2
2
15] 0 .
16] 3 2 0
.
y y
y
x x x
dx dy sol c
y y y
x y e dx x xe y dy sol x y ye y c
2
17] 3 cos 3 3 3 2 5 0
. 5 3 3
18] 2 (0) 1
. 2 3
x y
y y x
x x sen x dx y dy
sol y y xsen x x c
e y dx x ye dy y
sol y xy ye e e
19] Halle el valor de k de modo que las siguientes ecuaciones sean exactas.
3 4 2 2 3
4 3
2 2
3 2 2
) 2 3 20 0 10
) 2 20 0 5
) 2 2 1 0 1
) 6 cos 0 9
x x
a y kxy x dx xy x y dy k
b x ysenxy ky dx xy xsenxy dy k
c xy ye dx x y ke dy k
d xy y dx kx y xseny dy k
20] Obtenga una función
M
(
x
,
y
)
que de modo sea exacta la siguiente ecuación diferencial.0
1
2
)
,
(
dy
x
xy
xe
dx
y
x
M
xy
x
h
x
y
y
ye
y
x
M
sol
.
(
,
)
xy
2
2
21] Obtenga una función
N
(
x
,
y
)
que de modo sea exacta la siguiente ecuación diferencial.12 12 2
(
,
)
0
dx
N
x
y
dy
y
x
x
x
y
3 3
4 4
22] 0
. 4
23] cos cos 0
.
y x dx x y dy
sol xy x y c
y y xy dx x x xy dy
sol xy senxy c
2 2
2
2 2
2 2
24] cos cos
. cos
25] 0
1 1 . ln
1
26] 1 2 cos 0
. cos
y y
y
senxseny xe dy e x y dx
sol xe senx y c
ydx xdy
xdx x y
xy
sol x c
xy
y senx dx y xdy
sol x y x c
3 2 2
2 3
4 2 3
2 4
27] 2 cos 3 0
.
28] 2 4 cos 0
.
xy y x dx x y senx dy
sol x y ysenx c
xy seny dx x y x y dy
sol x y xseny c
5.5 Ecuaciones Diferenciales Con
Factor Integrante
Encuentra un factor integrante para que la ecuación diferencial sea exacta y resuélvela.
2 5 3 4 3 5 2 2 2
2
2 2
2 3
1] 0
.
2] 0
1
. 2 2 cos
3] 2 0
1 .
i
i
x x
x i
x y dx x y dy
sol f x y x y c
x senxdx xydy
sol f senx x x y c
x
e
e y dx xy y dy
y
sol f e xy y cy
y
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5
2
2
4 2 3
2 2 3 6
4] 2 0
.
5] 2 3 6 0
.
x x x
i
i
xy y y dx x y dy
sol f e xye y e c
xy y dx x xy dy
sol f y x y xy c
2 2 4 3 3
3 4 2 2 2
2 3
2 3
2
2 2
6] 6 4 2 4 0
. 1
7] 1 ln 3 0
. ln
8] 1 ln 2 2 0
1
. ln
i
i
i
x y y dx x y xy dy
sol f x x y x y c
x
xy dx dy
y y
sol f y x xy y c
y xy x dx x y dy
sol f x xy y x c
y
2
2
3 4 4 6 5 5
9] 4 5 6 5 0 (1) 2
. i 32
y xy dx xy x dy y
sol f x y x y x y
3
1 1
2 2 2
2
3 5 4 2
2
7
4 5
10] 2 0
. 2 5
11] 2 0
2
. 2
3
12] 5 0
.
7
i
i
i
x y dx xydy
sol f x x x y c
ydx x y dy
sol f y c xy y
y x dx xdy
x
sol f x c x y
2 2
1 2 2
2 5 3 3 4 2 2
1 1
2 2
13] 0
. 1
14] 2 ln 0
. 2 ln
15] 0
.
16] ln ln 0
. ln ln
17] 2 3 2 0
.
x x
i i i i
x y xy dx xdy
sol f e xy x ce
x y dx xy x dy
sol f x x y x c
x y y dx x y xy dy
sol f y
xy y y dx xy x x dy
sol f x y x x y y c
y xy y dx x xy x dy
sol
2 2
4 2 2 3
2
1 2 2
4 4
18] 3 2 0
.
19] 1 0
. 2 ln
20] 3 0
.
i
i
i
x y dy xydx
sol f y x y cy
xy dx x xy dy
sol f x xy x y c
xdy ydx x y dy
sol f
2
21] cot 2 csc 0
.
x x
x i
e dx e y y y dy
sol f seny e seny y c
2 2 3
2 2 3
2
2 3 2 4
1 2
22] 2 cos 0
.
23] 2 0
. 1
24] 3 2 0
. 4
25] ln 2 0
. ln
x x
i i i i
x senydx x ydy
sol f xe x e seny c
ydx x x y dy
sol f x y xy cxy
x y dx xydy
sol f x x y x c
y y xy dx x y dy
sol f y x y x y c
5.6
Ecuaciones Diferenciales
Lineales
Halle la solución general de la ecuación diferencial lineal dada:
3 5
3 4
2 2
2 1 1
1] 3 12 4 .
1 2] .
3 1 3] 3 .
3
4] 1 . ln
5]
x
x x
x dy
y sol y ce
dx dy
y e sol y ce
dx
y x y x sol y ce
x y xy sol y x x cx
x
1
2 2 2
3
4
4 2 0 .
5
6] cos
7] 1 0 .
1
8] cos 1 . cos
9] 4 .
x x
x
y dy ydx sol x y cy
senx c
xdy xsenx y dx y x
x x
dy c
e e y sol y
dx e
dy
x ysenx sol y senx c x
dx dy
x y x x sol y
dx
3 4
2
2 2
1 1
7 5
1
10] 2 .
2
x x x
x x cx
c
x y x x y e sol y e e
x x
2 3
2 2
3 3 3
11] cos cos 1 0
. sec csc
12] 2 0
1 1 1
.
2 2 4
13] 3 1 .
y
y y y y
x x x
xsenxdy y x dx
sol y x c x
ydx xy x ye dy
c
sol x e e e e
y y y
dy c
x x y e sol y e e
dx x
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6
2
6 6 4
2
2
2
14] 4 0 . 2
1
15] ln
1
16] 2 2 0 .
17] sec cos sec cos
18] 2 5
x
x x x x
x x
y
ydx x y dy sol x y cy
dy e
y y e e e ce
dx e e
c
ydx x xy y dy sol x e
y y
dr
r tg r c
d
dy x
dx
5
1
48 4 2 2
3
y xy y x c x
5
3 2
2
3 3 2 2
2 2
19] 10 cosh . 10
20] 5 20 0 2 . 4 2
21] 2 0 1
. 2
2
22] 2 1 5 . 2 3
senhx
x
x x
x x x x
y y x sol y ce
dy
y y sol y e
dx
y y x e e y
x
sol y xe e e e
dx
y x y x sol x y y
dy
2
2
3 2
23] 2 0 .
1 1
24] 2 .
2 2
x
x
dy
y sol y ce
dx
y xy x sol y x ce
2
2 2
3 2
3
2
11 25] 2 5
2 2 4
26] 1 3 .
1
27] cot 2 cos . csc
28] 1 .
29] 1 2 .
30]
x
x
x x
y y x y ce
dy c
x x y sol y
dx x
dy
y x x sol y senx c x
dx
x y xy x x sol
xy x y e sen x sol
dy senx
dx
2 2
2 4
2 2
(cos ) 0 .
31] 3 8 3 0 . 3 4
32] 0 .
5
33] 24 5 0 . 5 6
34] 3
x y sol
y
dx dy sol xy x c
x y
x dx dy sol y x cx
x y
x dx dy sol xy x c
x
y x y x
3 1 .
3
35] cos cos . 1
x senx
sol y ce
y x y x sol y ce
2 2 2
36]
xy
2
y
3
x
2
x
sol
.
y
3
x
ln
x
2
x cx
5 3 5
2
3 437]
4
9
2
.
7
xy
y
x
x
sol
y
x
x
cx
5.7 Ecuaciones Diferenciales De
Bernoulli
Resuelva las siguientes ecuaciones de Bernoulli dada.
3 3
2
3 3 3
2 2
2 4
1
1] . 1
1 2] 1 .
3
3] .
1
4] 2 3 1 .
2
5] 1
x
x y
dy
x y sol y cx
dx y
dy
y xy sol y x ce
dx dy
x y xy sol e cx
dx dy
x xy y y sol
dx xy
2
2 1 2 2
2 1
2
2 3 3 2
1 3 2 2
1 1 0 2
1 6] .
2
7] 1 .
8] 3 1 2 1 1 1
9] 1 0 4
y
x x x
dy
xy y sol x y e
dx dy
y e y sol y e ce
dx dy
x x y xy sol
dx dy
x xy y y x c
dx dy
y y y
dx
2
.
10] 2 1 4 .
sol dy y x
y sol
dx x y
2
2
4 4 2
3 3
3
2 3 2
3 1 2 4 2
1
2 4
1 2 1
11] .
3
12] . 1
1 4
13] 4 .
3
14] 2 . 2
15
x
x
y y x y sol x c
x x y
y xy xy sol y ce
y y x y sol y x cx
x
y xy xy sol y ce
3 2 3 3 2
] 3xy 2yx y sol. y x cx
5.8 Ecuaciones Diferenciales De Ricatti
Resuelva las siguientes ecuaciones de Ricatti dada.
2
1 3 1
3
2 1
2 3
1
1] 2 y 2 . 2
4 1 2 2 1
2] .
4
x dy
y y sol y
dx ce
dy
y y y sol y
x
dx x x x x cx
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG.
7
2 2
1
2
3] 1 2
1 .
1
1 4] 6 5 . 2
1
x x x
x x
x
dy
e e y y y e
dx
sol y e
ce dy
y y sol y
dx ce
2
2 1
2 2
1 2
2 2
1 2
5] 1 1 .
1 2
6] 2 2 .
1
7] sec tan tan
1 .
1 cos cos
x
dy
x y xy y sol
dx
dy x
x y y y x sol y x
dx x ce
dy
x x y y y x
dx
sol y tgx
x x x c x
2
1 2
2 2
8] 2 2 . 2
9] 2 4 2
.
10] 4 2 2
dy
xy y sol y x
dx dy
y xy x y
dx sol
dy
y x y x
dx
5.9 Método De Reducción De Orden
Encuentra una segunda solución de la ecuación diferencial dada, utilizando el método de reducción de orden.
5
1 2
2 2
1 2
1 2
2 2
3 3
1 2
2 4 4
1 2
2
1] 5 0 1 .
2] 4 4 0 .
3] 16 0 cos 4 . 4
4] 9 12 4 0 .
5] 7 16 0 . ln
6] 2 6 0
x
x x
x x
y y y sol y e
y y y y e sol y xe
y y y x sol y sen x
y y y y e sol y xe
x y xy y y x sol y x x
x y xy y
2
1 2 3
1 .
y x sol y
x
1 2
1 1
2 2 2
1 2
2
1 2
2
7] 0 ln . 1
8] 4 0 ln .
9] 1 2 2 1 2 0 1
. 2
xy y y x sol y
x y y y x x sol y x
x x y x y y y x
sol y x x
122
1
1 2
1 2
1
10] 1 2 0 1 . ln
1
11] 0 1 .
12] 2 0 .
x
x x
x
x y xy y sol
x
y y y sol y e
y y y y xe sol y e
1 2
5 5
1 2
13] 9 0 3 . cos 3
14] 25 0 x . x
y y y sen x sol y x
y y y e sol y e
3 2
1 2
15] 6y y y 0 y ex sol. y ex
2
1 2
1 2
2
1 2
2 3
1
2 1
16] 1 2 4 4 0 .
17] 1 0 .
18] 0 . ln
19 9 0 .
20 4 0
x
x
x
x y xy y y e sol y x
x y xy y y x sol y e
x y xy y y x sol y x x
x y xy y y x sol
y xy y y e
2
1
.
21 2 2 0 .
sol x yx x y x y y x sol
122 1 2 0 x .
x y x y y y e sol
123 y2y y 0 y ex sol.
2 3 3
1 2
2
1 2
3 1
2
1 2
24] 5 9 0 ln .
25] 0 cos ln . ln
26] 3 1 9 6 9 0
. 3 2
27] 1 0 . 1
x
x
x y xy y y x x sol y x
x y xy y y x sol y sen x
x y x y y y e
sol y x
xy x y y y e sol y x
2
1
2
2 2 3 2
1 2
2 10
1 2 2
1
2
28 2 0 si ln
. cos ln
29] 4 6 0 si .
1 30] 7 20 =0 si .
31] 3 tan 0 si 1
. sec
x y xy y y xsen x
sol y x x
x y xy y y x x sol y x
x y xy y y x sol y
x
y x y y
sol y
1ln sec
32] 2 0 si 1 .
xtngx x tgx
xy x y y sol
1
1
2 2
1
2 1
3 1
33 2 2 0 .
3
34 0 1 .
35 4 0 .
36 2 1 2 0 .
37 1 3 12 0 .
x
x
y xy y y x sol
y y y sol
x
x y xy y y x sol
xy x y y y e sol
xy x y x y y e sol
Re comendación utiliza el siguiente cambio de variable para reducir el orden de la ecuación diferencial
du du dy du
y u y u
dx dy dx dy
1 2
2
1 1 2
3 4
1 2
4
1 2
1] 0 ln
2] 1 0
2 4 3] 4 0
3
4] 4 0 x
xy y y c x c
x
x y y y c c x c
xy y y c x c
y y y c e c
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG.
8
12 2
1 2
3 2 2
2 1 2
2 2 2
1 1 1 2
2
2
5] 0
6]
1
7] 2 ln
2
8] 0 c x
yy y y c x c
xy y y x y c c
x y xy y y x c x c c x c
yy y y c e
1
1 2
2
2 3
1 2
2
2
2 3
1 2
3 1
2 9
10 2 0
3
11 1 1
1 12 3 0
2 13 2 0
3 14 2
c x
c x y
y y c e
y
y
y y y c y c x
y y y y c e
xy x y x c x c
c
y xy y x c
y
3
1 2
1 2
5 4
1 2
0 2
15 2 csc 0 2
4 16 4 0
5
y y x c c
x y y senx c x c
y xy y c x c
5.10 Ecuaciones Diferenciales
Homogéneas Con Coeficientes
Constantes
Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.
3 2
1 2
4 4
1 2
1 2
1] 6 0 .
2] 8 16 0 .
3] 12 5 2 0 .
4] 9 0 . cos 3 3
5] 4 5
x x
x x
y y y sol y c e c e
y y y sol y c e c xe
y y y sol
y y sol y c x c sen x
y y y
2
1 2
3
1 2
0 . cos
2 2
6] 3 2 0 cos
3 3
x x
sol y e c x c senx
y y y y e c x c sen x
5
1 2 3
3 3
1 2 3
1 2 3
7] 4 5 0 .
8] 5 3 9 0 .
9] 2 0 cos
x x
x x x
x x
y y y sol y c c e c e
y y y y sol y c e c e c xe
y y y y c e e c x c senx
2
1 2 3
10] 3 3 0 . x x x
y y y y sol yc e c xe c x e
1 2 3 4
1 2 3
3
11 6 11 4 0
2 2
. cos cos
2 2 3 3
12 0
.
13 4 3 0 0 7 0 11
. 5 2
14 9 6 4 0 0 3 0 4
.
15 6 25 0 0 3 0 1
iv
x x x
x x
y y y
x x x x
sol y c c sen c c sen
y y y y
sol y c e c e c xe
y y y y y
sol y e e
y y y y y
sol
y y y y y
so
3
. x 3cos 4 2 4
l ye x sen x
2
1 2 3 4
16] 0
3 3
. cos
2 2
iv
x
y y y
sol y c c x e c x c sen x
4 2
4 2
1 2 3 4
17] 16 24 9 0
3 3 3 3
. cos cos
2 2 2 2
d y d y
y
dx dx
sol y c x c sen x c x x c xsen x
5
1 2 3 4 5
1 5 1
6 6
18] 5 2 10 5 0
.
19] 4 5 0 (1) 0 (1) 2
1 1
.
3 3
20] 12 36 0 (0) 0 (0) 1 0 7
5 5 1
.
36 36 6
21] 10
v iv
x x x x x
x x
x x
y y y y y y
sol y c e c xe c e c xe c e
y y y y y
sol y e e
y y y y y y
sol y e xe
y y
5 5
2 2 5
1 2 3
2 3
3 3 1
25 0 (0) 1 (1) 0 .
22] 9 24 20 0
.
23 2 3 2 0 0 1 0 1 0 3
.
24 3 2 0 0 1 0 0 0 1
1
. 13 6 9
4
25 27 0
.
x x
x x x
x
x
y y y
sol y e xe
y y y y
sol y c e c xe c e
y y y y y y
sol
y y y y y
sol y x e
y y
sol c e e
2
2 3
3 3
cos 3 3
2 2
26 3 6 0
.
x iv
c x c sen x
y y y y y
sol
