Guía para presentar exámenes de
Recuperación o Acreditación Especial
CÁLCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL II
ii
Guía para presentar exámenes de Recuperación o Acreditación Especial.
Cálculo diferencial e Integral II
(Versión preliminar)
Esta guía fue elaborada por la Secretaría Académica, a través de la Dirección de Planeación Académica.
Colaborador
Profr. David S. Contreras Rivas.
Colegio de Bachilleres, México. www. cbachilleres.edu.mx Rancho Vista Hermosa No. 105 Ex-Hacienda Coapa,
04920, México, Distrito Federal.
La presente obra fue editada en el procesador de palabras Word 2000 (Office xp).
Word 2000 es marca registrada de Microsoft Corp.
Este material se utiliza en el proceso de enseñanza - aprendizaje del Colegio de Bachilleres, institución pública de educación media superior del sistema Educativo Nacional.
Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de la cubierta, puede reproducirse, almacenarse o transmitirse en forma alguna, ni tampoco por medio alguno, sea éste eléctrico, electrónico, químico, mecánico, óptico, de grabación o de fotocopia, sin la previa autorización escrita por parte del Colegio de Bachilleres, México.
ÍNDICE
Pág. PRESENTACIÓN
PRÓLOGO
UNIDAD 1 LA INTEGRAL DEFINIDA ...….
1.1 Integración numérica ...……. Aplicación del conocimiento ...……….. Ejercicios ...…………. Tabla de comprobación ...………..
1.2 La Integral Definida ... ...….. Aplicación del conocimiento ...……….. Ejercicios ...…………. Tabla de comprobación ...………..
Ejercicios de autoevaluación ...…………. Clave de respuestas...
IV V
1
3 8 13 17
23 26 28 31
36 41
UNIDAD 2 LA INTEGRAL INDEFINIDA ...…..
2.1 La Integral Indefinida ...……. Aplicación del conocimiento ...……….. Ejercicios ...…………. Tabla de comprobación ...………..
2.2 Aplicación de la Integral ...…... Aplicación del conocimiento ...……….. Ejercicios ...…………. Tabla de comprobación ...………..
Ejercicios de autoevaluación ...…………. Clave de respuestas...
43
45 47 50 54
55 60 69 75
80 84
BIBLIOGRAFÍA ...………...
SUGERENCIAS PARA PRESENTAR EXÁMENES DE
RECUPERACIÓN O ACREDITACIÓN ESPECIAL ...………
85
iv
PRESENTACIÓN
Las evaluaciones de recuperación y de acreditación especial son oportunidades que debes aprovechar para aprobar las asignaturas que, por diversas razones, reprobaste en el curso normal; pero ¡cuidado!, presentarse a un examen sin la preparación suficiente significa un fracaso seguro, es una pérdida de tiempo y un acto irresponsable que puedes evitar.
¿Cómo aumentar tu probabilidad de éxito en el examen mediante la utilización de esta guía? La respuesta es simple, observa las siguientes reglas:
Convéncete de que tienes capacidad necesaria para acreditar la asignatura. Recuerda que fuiste capaz de ingresar al Colegio de Bachilleres mediante un examen de selección.
Sigue al pie de la letra las instrucciones de la guía.
Procura dedicarte al estudio de este material, durante 15 días al menos, tres horas diarias continuas.
PRÓLOGO
En el marco del programa de desarrollo institucional 2001 y 2006, el estudiante adquiere una especial relevancia, por lo que el Colegio de Bachilleres metropolitano se ha avocado a la elaboración de diversos materiales didácticos que apoyen al estudiante en diversos momentos del proceso de enseñanza aprendizaje.
Uno de los materiales elaborados son las guías de estudio, las cuales tienen como propósito apoyar a los estudiantes que deben presentar exámenes de recuperación o acreditación especial favoreciendo sus probabilidades de éxito.
En este contexto, la guía para presentar exámenes de recuperación y acreditación especial de Cálculo Diferencial e Integral II se ha elaborado con el propósito de que los estudiantes que se encuentran en situación académica irregular y que tienen necesidad de presentar exámenes en periodos extraordinarios para acreditar la asignatura cuenten con este material para llevar a cabo su preparación y, así, contar con más elementos para incrementar sus posibilidades de éxito.
Esta guía aborda en forma integral y sintética las principales temáticas establecidas en el programa de estudio; las actividades y ejercicios que se plantean son un apoyo para que el estudiante recupere los conocimientos previos, los relacione con otros más complejos y, en su caso, los aplique en el desarrollo de procedimientos y modelos matemáticos propios del cálculo. Esto permitirá que, con el estudio de la guía, continúe desarrollando y ejercitando sus habilidades de análisis y razonamiento matemático. Al final del desarrollo de las unidades la guía contiene una autoevaluación sobre los elementos esenciales de toda la unidad, para que el alumno verifique su grado de comprensión y dominio. Asimismo se incluyen algunas sugerencias para reforzar el apoyo sobre los aspectos estratégicos del tema.
En la primera unidad, LA INTEGRAL DEFINIDA, se aborda de manera gráfica y algebraica el cálculo del límite de una suma, se analiza la variación de cambios acumulados, para llegar al cálculo de un área bajo una curva. Posteriormente se identifican las propiedades de la integral definida para aplicarla en la solución de diversos problemas, al final de la unidad se aborda el teorema fundamental del cálculo, así como el planteamiento de problemas en los cuales se aplican y verifican los procedimientos y modelos matemáticos estudiados en el planteamiento de la solución.
En la segunda unidad, LA INTEGRAL INDEFINIDA, se abordan las propiedades de la integral indefinida, se estudia cómo determinar una función original a partir de su derivada y enseguida se calculan las integrales indefinidas de funciones algebraicas y trascendentes, para encontrar su aplicación en diferentes tipos de problemas.
Por último se proporciona una bibliografía básica en la que se pueden consultar los temas desarrollados en la guía.
UNIDAD I
1.1 Integración Numérica
Aprendizajes
Calcular por aproximación el límite de una suma.
Analizar la variación de la razón de cambios acumulados.
Calcular el área bajo una curva.
Arquímedes calculó el área de un círculo por medio de aproximaciones sucesivas, inscribió rectángulos dentro del círculo, calculó el área de cada rectángulo y sumó todas éstas. Después construyó rectángulos más estrechos de modo que la suma de las áreas de los rectángulos se aproximaba cada vez más al área del círculo.1
En esta unidad se estudiará como se determina el área que existe entre curvas, haciendo uso del cálculo integral, así como su definición y uso de las fórmulas de integración. Para lograr los aprendizajes anteriores, es recomendable repasar los siguientes temas: álgebra, funciones trigonométricas, ecuación de la recta, gráficas y derivadas.
Para una función, la idea intuitiva de continuidad es que la curva que represente a la gráfica debe dibujarse con un trazo continuo, o sea, que no tenga saltos. Por ejemplo: sea A el área de una región limitada por el eje “x” y la gráfica de una función no negativa y = f(x), la cual está definida en un cierto intervalo cerrado
a, b, como se observa en la siguiente figura.
y
0
x
El cálculo del área A se lleva a cabo dividiendo dicha área en un determinado número de rectángulos, es decir, en “n” rectángulos sobre el intervalo a, b.
A = área
y = f(x)
4
Lo anterior se representa en la gráfica siguiente:
0
La gráfica anterior representa las áreas de los rectángulos, la cual es una aproximación al área real. Generalmente dichas áreas se representan en unidades cuadradas (u2).
Como podrás observar, la suma de todas las áreas de los rectángulos son una aproximación al área bajo la curva, esta área se representa con la siguiente definición, donde el símbolo (sigma) indica una suma.
Definición 1.1
Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado a, b y f(x) 0, para toda “x” en el intervalo a, b.
Se define el área bajo la gráfica en el intervalo como:
nk
k
k
x
x
f
A
1 *
)
(
De la fórmula anterior,
x
*k,
x
k yf
(
x
*k)
, se representan en la siguiente gráfica. yk
x
Donde
x
k* representa el punto que será evaluado por la función yf
(
x
*k)
representa la altura del rectángulo, el valor
x
representa la base de cada rectángulo.)
(
x
k*f
f(x)
a b x *
k
x
a b
x
)
(
x
f
y
A partir de la gráfica, se tienen las siguientes condiciones:
Al dividir el área en “n” rectángulos, el lado derecho de cada uno éstos, está representado por *
k
x
. La amplitud (base del rectángulo) en cada uno de ellos es igual a
x
. La altura del rectángulo construido bajo la curva se representa por:
f
(
x
k*)
.Para utilizar la fórmula de la definición 1.1, es conveniente realizar los siguientes pasos:
Paso 1: Divide el intervalo a, b en “n” subintervalos, esto es:
n
a
b
x
Paso 2: Haz que los
x
k* sean los lados derecho de cada subintervalo. Si x0 = a, entonces para efectuar loscálculos se utiliza la siguiente fórmula:
n
a
b
a
x
x
x
1* 01
1
n
a
b
a
x
x
x
2* 02
2
n
a
b
a
x
x
x
* 03
3
3
n
a
b
k
a
x
k
x
x
k 0*
b
a
b
a
n
a
b
n
a
x
n
x
x
n
0 *Es importante revisar la sustitución de los valores, así como sus signos y realizar correctamente las operaciones. Por otra parte el ultimo valor de
x
*k depende del valor de “n”, por ejemplo si n = 4, entonces*
k
x
debe calcularse hasta n-1, en esta casox
3*.Para obtener la altura de cada uno de los rectángulos
(
*)
kx
f
, se sustituyen los valores de,
*,
2 * 1
x
x
...x
k*16
Las condiciones anteriores no siempre se satisfacen en la solución de problemas. Por esto es necesario generalizar los conceptos a los siguientes casos2:
La función puede ser discontinua en algunos puntos de a, b.
f(x) puede ser negativo para alguna “x” en el intervalo a, b.
Las longitudes de los subintervalos
x
k1,
x
k
pueden ser diferentes entre sí.El número
w
kpuede ser cualquier número en
x
k1,
x
k
.Una partición P de un intervalo cerrado a, b, es una descomposición cualquiera del intervalo a, b en subintervalos de la forma:
x0,, x1, x1, x2, x2, x3, ...xn-1, xn
Donde “n” es un número entero positivo y los
x
k son números tales que: a = x0 x1 x2 x3 ... xn-1 xn = bLa longitud del k-esimo subintervalo xk-1, xk, se denota por
x
k, es decir:1
x
kx
kx
kLa partición
x
contiene “n” subintervalos, donde uno de éstos es el más largo, sin embargo puede haber más de uno. La longitud del subintervalo más largo de la partición
x
se le llama Norma de la Partición P y se denota porP
.En la siguiente figura se observa una partición del intervalo a, b.
El siguiente concepto la suma de Riemann, es llamado así en honor del matemático B. Riemann, y es un concepto fundamental para la definición de la Integral definida.
Definición 1.2
Sea f una función definida en un intervalo cerrado a, b y sea P una partición de a, b. Una suma de Riemann de f para P es cualquier expresión Rp de la forma:
nk
k k
p
f
w
x
R
1
)
(
donde wk es un número en el intervalo
x
k-1, x
k
.
2Cfr. Swokowski W., Earl. “Introducción al Cálculo con Geometría Analítica” p.p. 226 – 231.
a = x
0x
1x
2... x
k-1x
k... x
n-1x
nLa siguiente es la representación gráfica de la integral definida.
y
y
f
(
x
)
x0 x1 xn x
x
k1 wkx
kLas flechas indican donde se localizan estos puntos.
Observa en la gráfica que la altura de los rectángulos está dada por la función evaluada en el punto wk, o
sea f(wk).
Se debe tomar en cuenta que un área es positiva si está por arriba del eje x y se le asigna un signo menos a las áreas que están por debajo del eje x.
w
k8
APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO
Analiza el procedimiento con el cual se resuelven los siguientes ejemplos.
Sea la función f(x) = 4 – x2
en el intervalo cerrado -1, 2, con n =4.
Paso 1: Se gráfica la función y se divide el intervalo -1, 2 en 4 subintervalos.
y
n
a
b
x
4
3
4
1
2
4
)
1
(
2
x
4
3
x
Paso 2: Al sustituir los datos, se obtienen los siguientes resultados:
4
1
4
3
1
4
3
1
1
1
1
0 *1
n
a
b
a
x
x
x
Recuerda que el valor de x0 = a = -1
2
1
4
6
1
4
3
2
1
2
2
0 *2
n
a
b
a
x
x
x
4
5
4
9
1
4
3
3
1
3
3
0 *3
n
a
b
a
x
x
x
Es importante revisar la sustitución de los valores, así como sus signos y realizar correctamente las operaciones. Por otra parte, el ultimo valor de
x
*k depende del valor de “n”, en este caso n = 4, entonces*
k
x
debe calcularse hasta el valor de n-1, en este ejercicio hastax
*3.-4 -2 0 2 4
Paso 3: Para obtener la altura de cada uno de los rectángulos
f
(
x
k*)
, se sustituyen los valores de * 3 * 2 *1
,
x
y x
x
en la funciónf
(
x
)
4
x
2
16
63
16
1
4
4
1
4
4
)
(
2 2 * 1 *1
x
x
f
recuerda que:16
64
4
16
60
4
15
4
1
4
2
1
4
4
)
(
2 2 * 2 *2
x
x
f
16
39
16
25
4
4
5
4
4
)
(
2 2 * 3 *3
x
x
f
Paso 4: Se sustituyen los valores en la fórmula
n k k kx
x
f
A
1 *)
(
x
x
f
x
x
f
x
x
f
A
(
)
(
)
(
3*)
* 2 * 1
4
3
16
39
4
3
16
60
4
3
16
63
A
2u
59
.
7
64
486
64
117
64
180
64
189
A
Por lo tanto el valor del área es: A = 7.59 u2.
Observa el siguiente procedimiento para resolver otro ejercicio.
Considera la función 2
2
1
8
)
(
x
x
f
, sea P una partición del intervalo cerrado 0, 6 en cinco subintervalos determinados por: x0 = 0, x1 = 1.5, x2 = 2.5, x3 = 4.5, x4 = 5 y x5 = 6.Encuentra:
a) La norma de la Partición.
10
Paso 1: Se gráfica la función 2
2
1
8
)
(
x
x
f
y se indican los puntos correspondientes a wk.Se indican los rectángulos de alturas
f
(
w
k)
para k = 1, 2, 3, 4 y 5 intervalos. yPaso 2:Se determinan las bases de los rectángulos de la siguiente manera:
1
5
.
1
5
.
2
5
.
1
0
5
.
1
2 1
x
x
2
5
.
2
5
.
4
3
x
Ésta es la norma de la particiónP
(Cantidad mayor de los
x
)1
5
6
5
.
0
5
.
4
5
5 4
x
x
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-4 -2 2 4 6 8 10 12
Paso 3: Se aplica la fórmula
n k k kp
f
w
x
R
1
)
(
y se calculan losf
(
w
k)
, sustituyendo los valores en lafunción. 5 5 4 4 3 3 2 2 1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
w
x
f
w
x
f
w
x
f
w
x
f
w
x
f
R
p
5
.
5
8
15
.
125
7
.
125
2
1
8
)
5
.
5
(
5
.
4
5
.
12
8
5
2
1
8
)
5
(
875
.
1
125
.
6
8
5
.
3
2
1
8
)
5
.
3
(
6
2
4
8
2
2
1
8
)
2
(
5
.
7
2
1
8
1
2
1
8
)
1
(
2 2 2 2 2
f
f
f
f
f
Sustituyendo los valores se obtiene:
2
u
tanto
lo
por
11
.
625
12
Ahora, tomando en cuenta el ejemplo anterior, resuelve el siguiente ejercicio.
Sea
f
(
x
)
x
3
5
x
2
2
x
8
calcula la suma de Riemann R
pde la función para la partición
P de
0, 5
en los cinco subintervalos determinados por:
x
0= 0, x
1= 1.1, x
2= 2, x
3= 3.2, x
4=4 y x
5= 5; w
1= 0.5, w
2= 1.5, w
3= 2.5, w
4= 3.6 y w
5= 5
Paso 1:
Elabora la gráfica la función.
Paso 2:
Calcula los valores de
x
ky obtén la norma de la partición
P
.
Paso 3:
Calcula los valores
f
(
w
k)
.
Paso 4:
Aplica la fórmula
nk
k k
p
f
w
x
R
1
)
EJERCICIOS
INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos, y contesta lo que se solicita en cada uno de ellos.
1) Sea
f
(
x
)
3
x
6
en el intervalo cerrado 2, 4 con n = 4. I.- Calcula el área A aplicando la definición 1.1II.- Realiza la gráfica.
2) Sea
f
(
x
)
1
x
2 en el intervalo cerrado 0, 1 con n = 4. I.- Calcula el área A aplicando la definición 1.114
3) Sea
f
(
x
)
2
x
4
en el intervalo cerrado 0, 2 con n = 8. I.- Calcula el área A aplicando la definición 1.1II.- Realiza la gráfica.
INSTRUCCIONES: En cada uno de los siguientes ejercicios, los números dados: (x0, x1, ... xn) determinan
una partición P del intervalo cerrado a, b.
4) 0, 5, x0 = 0, x1 = 1.1, x2 = 2.6, x3 = 3.7, x4 = 4.1 y x5 = 5
I.- Calcula los
x
1,
x
2,
...,
x
n5) 2, 6, x0 = 2, x1 = 3, x2 = 3.7, x3 = 4, x4 = 5.2 y x5 = 6
I.- Calcula los
x
1,
x
2,
...,
x
nII.- Calcula la norma
P
de la partición.6) -3, 1, x0 = -3, x1 = -2.7, x2 = -1, x3 = 0.4, x4 = 0.9 y x5 = 1
I.- Calcula los
x
1,
x
2,
...,
x
n16
INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes ejercicios y contesta lo que se solicita.
7) Aplica la definición 1.2 a la siguiente función y calcula la suma de Riemann.
Sea
f
(
x
)
2
x
3
en el intervalo cerrado 1, 5 dividido en 4 subintervalos determinados por: x0 = 1, x1 =2, x2 = 3, x3 = 4 y x4 = 5, si: w1 = 1.5, w2 = 2.5, w3 = 3.5 y w4 = 4.5
8) Aplica la definición 1.2 a la siguiente función y calcula la suma de Riemann.
Sea
f
(
x
)
x
3 en el intervalo cerrado -2, 4 dividido en los cuatro subintervalos determinados por: x0= -2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3, y x4 = 4, si: w1 = -1, w2 = 1, w3 = 2 y w4 = 4
9) Aplica la definición 1.2 a la siguiente función y calcula la suma de Riemann
Sea
2
8
)
(
2
x
x
f
en el intervalo cerrado 0, 6 dividido en los cuatro subintervalos determinados por: x0 = 0, x1 = 1.5, x2 = 3, x3 = 4.5 y x4 = 6, si:TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1 I
2
1
4
2
4
4
,
2
,
4
4
,
2
6
3
)
(
0
n
a
b
x
b
x
a
n
x
x
f
2
7
2
1
3
2
3
2
1
2
2
2
5
2
1
1
2
* 3 * 2 * 1
x
x
x
2
9
6
2
7
3
2
7
3
6
)
3
(
3
)
3
(
2
3
6
2
5
3
2
5
f
f
f
22
9
4
9
2
3
4
3
2
1
2
9
2
1
3
2
1
2
3
u
A
II -8 -6 -4 -2 0 2 4 618
Número de pregunta Respuesta correcta
2 I
4
3
4
1
3
0
2
1
4
1
2
0
4
1
4
1
)
1
(
0
4
1
4
0
1
1
0
4
1
,
0
1
)
(
* 3 * 2 * 1 0 2
x
x
x
x
b
x
a
n
x
x
f
16
25
16
9
1
4
3
1
4
3
4
5
4
1
1
2
1
1
2
1
16
17
16
1
1
4
1
1
4
1
2 2 2
f
f
f
232
31
64
62
64
25
16
5
64
17
4
1
16
25
4
1
4
5
4
1
16
17
u
A
A
II -1 0 1 2 3-1 -0.5 0.5 1 x
Número de pregunta Respuesta correcta 3 I
4
1
,
2
,
0
,
8
2
,
0
4
2
)
(
x
x
n
a
x
0
b
x
20
-4 -2 0 2 4 6 8-2 -1 1 2 3 4
x 2
2
7
16
56
16
2
16
4
16
6
16
8
16
10
16
12
16
14
4
1
4
2
4
1
4
4
4
1
4
6
4
1
4
8
4
1
4
10
4
1
4
12
4
1
4
14
u
A
A
II 4 I9
.
0
1
.
4
5
4
.
0
7
.
3
1
.
4
1
.
1
6
.
2
7
.
3
x
1.5
1.1
-2.6
1
.
1
0
1
.
1
5 4 3 2 1
x
x
x
x
II5
.
1
P
5 I8
.
0
2
.
5
6
2
.
1
4
2
.
5
3
.
0
7
.
3
4
7
.
0
3
7
.
3
1
2
3
5 4 3 2 1
x
x
x
x
x
II2
.
1
P
6
1
.
0
9
.
0
1
5
.
0
4
.
0
9
.
0
4
.
1
1
4
.
0
7
.
1
7
.
2
1
3
.
0
3
7
.
2
5 4 3 2 1
x
x
x
x
x
II7
.
1
P
7
5
.
4
1
4
5
5
.
3
1
3
4
5
.
2
1
2
3
5
.
1
1
1
2
5
,
1
3
2
)
(
4 4 3 3 2 2 1 1
w
x
w
x
w
x
w
x
x
x
f
12
)
3
)
5
.
4
(
2
)
5
.
4
(
10
3
)
5
.
3
(
2
)
5
.
3
(
8
3
)
5
.
2
(
2
)
5
.
2
(
6
3
5
.
1
2
)
5
.
1
(
f
f
f
f
236
)
1
(
12
)
1
(
10
)
1
(
8
)
1
(
6
u
R
p
8
1
2
)
2
(
0
4
,
2
)
(
1 1 3
w
x
x
x
f
2
2
1
3
1
1
0
1
3 3 2 2
w
x
w
x
4
1
3
4
44
x
w
1
)
1
(
)
1
(
3
f
1
)
1
(
)
1
(
3
f
8
)
2
(
)
2
(
3
f
64
)
4
(
)
4
(
3
f
279
64
16
1
2
)
1
)(
64
(
)
2
)(
8
(
)
1
)(
1
(
)
2
)(
1
(
u
R
R
p p
22
Número de pregunta Respuesta correcta
9
2
5
.
1
5
.
1
3
1
5
.
1
0
5
.
1
6
,
0
2
8
)
(
2 2 1 1 2
w
x
w
x
x
x
f
5
5
.
1
5
.
4
6
4
5
.
1
3
5
.
4
4 4 3 3
w
x
w
x
6
2
2
8
)
2
(
2
15
2
1
8
)
1
(
2 2
f
f
2
9
2
5
8
)
5
(
0
2
4
8
)
4
(
2 2
f
f
22
27
4
54
2
3
2
9
2
3
)
0
(
2
3
)
6
(
2
3
2
15
u
R
R
p p
SugerenciasSi te equivocaste en los reactivos 1,2 ó 3, revisa con detenimiento los ejemplos resueltos. Si te equivocaste en los reactivos 4, 5 ó 6 revisa el libro de Swokowski, “Introducción al Cálculo con Geometría Analítica”, pág. 227.
1.2 La Integral Definida
Aprendizajes
Identificar las propiedades de la integral definida.
Aplicar la noción de integral definida a la solución de problemas.
Aplicar el teorema fundamental del cálculo en la solución de problemas.
La integral definida puede interpretarse como el área bajo la curva y en forma equivalente como un límite. En el tema anterior se aproximó el valor del área bajo la curva mediante suma de las áreas de un conjunto de rectángulos contenidos dentro del área a determinar.
Calcular la integral definida aplicando las sumas de Riemann, es bastante tedioso y frecuentemente difícil. Para hacerlo más simple, necesitamos desarrollar algunas propiedades de la integral definida, las cuales se presentan con los siguientes teoremas.
Propiedades de la integral definida.
Teorema:
Sea f la función constante, definida por
f
(
x
)
c
para toda x en el intervalo cerrado a, b, entonces:
f
(
x
)
dx
c
dx
c
(
b
a
)
b a b
a
En donde:
:
b
Representa el límite superior.:
a
Representa el límite inferior.
:
Se le llama signo de integración, el cual indica “suma”.:
)
(
x
f
Se le llama integrando.
f
(
x
)
:
b a
24
La representación gráfica de la función constante
f
(
x
)
c
, es la siguiente: yc
f
(
x
)
c
(función constante)
c
dx
b a
a b x
Teorema:
Sí f es integrable en
a
,
b
y k es un número real cualquiera, entonces kf es integrable en
a
,
b
y
f
x
dx
k
f
x
dx
b a b
a
)
(
)
(
k
“La conclusión del teorema anterior a veces se enuncia de la siguiente forma: Un factor constante en el integrando se puede sacar del signo de la integral. No está permitido sacar fuera del signo de integral a expresiones en las cuales aparece la variable”3
Teorema:
Sí f y g son funciones integrables en
a
,
b
, entoncesf
g
es integrable en
a
,
b
y
f
x
g
x
dx
f
x
dx
g
x
dx
b a b
a b
a
)
(
)
(
)
(
)
(
Teorema:
Sí f es integrable en un intervalo cerrado y sí a, b y c son tres números cualesquiera en ese intervalo, entonces:
f
x
dx
f
x
dx
f
x
dx
c b b
a c
a
)
(
)
(
)
(
Las siguientes definiciones forman parte de las propiedades de la integral definida.
Sí a b y f es una función integrable en el intervalo cerrado
a
,
b
, entonces:0
)
(
)
(
)
(
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
a
a
b
a a
b
Observa que al cambiar los límites de integración, la integral cambia de signo; por otra parte si los límites de integración son iguales, resulta cero la integral porque no hay área para calcular, sino que se trata de un punto.
El siguiente teorema enuncia el hecho notable de que “G” es una antiderivada de f. Además muestra como se puede usar cualquier antiderivada para encontrar la integral definida de f. A este teorema se le conoce como: Teorema Fundamental del Cálculo.
Sea f una función continua en un intervalo cerrado
a
,
b
Parte I: Sí se define G como:
f
t
dt
x
G
x a
)
(
)
(
para todo x en
a
,
b
, entonces G es una antiderivada de f en
a
,
b
. Parte II: Sí F es una antiderivada de f, entonces:
f
(
x
)
dx
F
(
b
)
F
(
a
)
b a
“Este Teorema fue descubierto de manera independiente en Inglaterra por Sir Isaac Newton (1642 – 1727) y en Alemania por Gottfried Leibnitz (1646 – 1716). Es principalmente debido a este descubrimiento que se les atribuye a estos sobresalientes matemáticos la invención del Cálculo”4
Para aplicar el teorema fundamental del cálculo, debemos recordar que una función continua es aquella que se representa con un solo trazo o sea sin despegar el lápiz. Por otra parte, una antiderivada es una
función que al derivarla ésta se convierte en la función a integrar, por ejemplo: la antiderivada de x es
2
2
x
,
porque si derivamos
2
2
x
obtenemos:
dx
d
2
2
x
x
x
x
21
1
2
2
)
2
(
2
1
26
APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO
Observa cuidadosamente los pasos para resolver la siguiente integral, utilizando el teorema fundamental del cálculo y haciendo uso de las propiedades de la integral definida.
Calcula la integral definida dada por la función
f
(
x
)
x
3
6
x
2
9
x
1
en el intervalo cerrado
1
,
2
. Paso 1: Dada la función se debe buscar una antiderivada de ésta, esto es:x
x
x
x
2
9
3
6
4
2 3 4si ésta función se deriva, se obtiene la función original.
Paso 2: Se sustituye la función original con el signo de integral y se escriben los límites de integración.
x
3
6
x
2
9
x
1
dx
2 1
Paso 3: Se aplican las propiedades de la integral definida.
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
dx
2 1 2 1 2 2 1 3 2 1 2 3 2 1
1
9
6
1
9
6
2 1 2 1 2 2 1 3 2 1 42
9
3
6
4
x
x
x
x
Paso 4: Se evalúan las integrales, sustituyendo el límite superior (2) menos el límite inferior (1); estos valores se sustituyen por la “x” en la ecuación anterior, de la siguiente manera:
2 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4
2
9
3
6
4
x
x
x
x
=
(
1
)
2
)
1
(
9
3
)
1
(
6
4
1
)
2
(
2
)
2
(
9
3
)
2
(
6
4
2
4 3 2 4 3 22
4
17
1
2
9
3
6
4
1
2
2
36
3
48
4
16
u
Por lo tanto el valor de la integral es:
2 3
2
21
4
17
1
9
6
x
x
dx
u
Siguiendo los pasos anteriores resuelve el siguiente ejercicio.
Calcula la integral definida, dada la función
f
(
x
)
3
x
2
2
x
en el intervalo cerrado
0
,
3
. Paso 1: Busca una antiderivada de la función.Paso 2: Representa la función original como una integral, sustituyendo los límites de integración.
Paso 3: Aplica las propiedades de la integral.
Paso 4: Evalúa la integral, sustituyendo primero el límite superior y restando el límite inferior.
28
EJERCICIOS
INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes ejercicios y aplica las propiedades de la integral definida y encuentra el valor de las siguientes integrales.
1.
x
dx
2
4 2
2.
3
x
2
2
x
dx
3 1
3.
x
3dx
2 2
INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes problemas y contesta lo que se solicita, anotando el desarrollo y la solución.
4. Sea la función
f
(
x
)
5
en el intervalo cerrado
0
,
2
. I.- Calcula el área bajo la curva.4. Sea la función
f
(
x
)
x
5
en el intervalo cerrado
2
,
3
. I.- Calcula el área bajo la curva.II.- Realiza la gráfica.
6. Sea la función
f
(
x
)
x
2, en el intervalo cerrado
2
,
2
. I.- Calcula el área bajo la curva.II.- Realiza la gráfica.
INSTRUCCIONES: En los siguientes reactivos aplica el teorema fundamental del cálculo y calcula el valor de las siguientes integrales.
7. Cada la función
f
(
x
)
2
x
x
2 en el intervalo cerrado
0
,
2
. I.- Calcula el área de la región comprendida por la función.30
8. Dada la función
f
(
x
)
x
3
x
2
6
x
entre x = 0 y x = 3. I.- Calcula el área de la región comprendida por la función.II.- Realiza la gráfica.
9. Dada la función
f
(
x
)
x
3
3
x
2
x
3
, entre x = -1 y x = 2. I.- Calcula el área de la región comprendida por la función.TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1
x
dx
x
dx
2
1
2
4 2 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 23
1
4
4
4
4
16
)
2
(
4
1
)
4
(
4
1
4
1
2
2
1
u
x
x
23
u
A
2
2 2 2 3 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 134
34
1
1
9
27
1
1
3
3
2
2
3
3
2
3
2
3
u
A
u
x
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
3
0
4
2
4
2
4
4 4 2 2 4 3 2 2
x
dx
x
0
32
Número de pregunta Respuesta correcta
4
I
10
)
0
(
5
)
2
(
5
5
5
2 0 2
0
dx
x
A
10
u
2II y
5
I
2
55
10
2
15
2
9
)
2
(
5
2
2
)
3
(
5
2
3
5
2
5
2 2
3 2 2
3 2
x
dx
x
x
2
2
55
u
A
II y
-2 8
0 2 4 6
-3 -2 -1 1 2 3
x
-2 0 2 4 6 8
Número de pregunta Respuesta correcta 6 I
2 3 3 2 2 3 2 2 23
16
3
16
3
8
3
8
3
2
3
2
3
u
A
x
dx
x
II y
7 I
3
4
3
8
3
12
3
0
0
3
2
2
3
2
3 2 3 2 2 0 3 2 2 2 0x
x
dx
x
x
23
4
u
A
y II } -4 -2 0 2 4-1 1 2 3 4 5 x
-2 0 2 4 6 8 10
34
Número de pregunta
Respuesta correcta8
x
x
6
x
dx
2x
3
x
2
6
x
dx
0 2
3 2 0
2 0 2 3 4
2
6
3
4
x
x
x
0
2
2
6
3
2
4
2
4 3 2
2
3
32
3
32
12
3
8
4
12
3
8
4
u
A
y
-10 -5 0 5 10
