DESIGUALDADES E INTERVALOS
1.
INTERVALOS
: Son regiones comprendidas entre dos números reales.En general, si los extremos pertenecen al intervalo, se dice que cerrado, si por el contrario no pertenecen al intervalo, se dice que es abierto. Si uno de extremos pertenece al conjunto y el otro no, se dice que semiabierto o semicerrado.
CLASES DE INTERVALOS
COMO CONJUNTO TIPO DE INTERVALO REPRESENTACION GEOMETRICA
{
x
/
a
≤
x
≤
b
}
[ ]
a,
b
CERRADO[
]
a
b
]
{
x
/
a
≤
x
≤
b
}
[
)
b
a,
SEMICERRADO ALA IZQUIERDA[
)
a
b
{
x
/
a
〈
x
≤
b
}
(
a,
b
]
SEMICERRADO A LADERECHA
(
]
a
b
{
x
/
a
≤
x
≤
b
}
( )
a,
b
ABIERTO(
)
a
b
{
x
/
x
〉
a
}
(
a
,
α
)
(
{
x
/
x
≥
a
}
[
a
,
α
)
[
{
x
/
x
〈
b
}
(
−
α
,
b
)
)
{
x
/
x
≤
b
}
(
α
,
b
]
]
b
{
x /
x
∈
ℜ
}
(
−
α
,
α
)
Ejemplos
Dibujar los siguientes intervalos
1.
[
2
,
5
)
[
)
5
2.
(
−
3
,
6
)
(
)
6
3.
{
x
≤
4
}
]
4
4.
{
x
〉
−
3
}
(
0 R
0 2
0 -3
0
5.
[
−
1
,
6
]
[
]
6
OPERACIONES BÁSICAS ENTRE INTERVALOS
Los intervalos se operan análogamente como los conjuntos. Mediante ejemplos analizaremos, estas operaciones como unión, intersección, diferencia y complemento.
Sean A:
[
−
3
,
6
]
B:[
3
,
9
)
C:(
−
5
,
4
)
Calcular
1)
A
∩
B
[
[
]
)
La intersección corresponde a la región común a los intervalos, es decir,
0 -3
[ ]
3
,
6
=
∩
B
A
2)
B
∪
C
(
[
)
]
La unión corresponde a las regiones comprendidas por los dos conjuntos (reunión), es decir BUC=
(
−
5
,
6
]
.1 ) A - B
[
[
]
)
La diferencia corresponde a la región que corresponde al intervalo A que no pertenezca a B, es decir,
[
−
3
,
3
)
=
−
B
A
4) C-A B
(
[
)
]
La diferencia corresponde, a la región que pertenece A C y no pertenece a A, es decir
(
−
5
−
3
)
=
−
A
C
5) B' Solución como
B
=
[
3
,
9
)
-5 0 3 4 6
-3 0 3 6 9
El conjunto de un intervalo, es lo que le falta al intervalo para llegar a los reales.
En nuestro caso.
(
−
α
,
3
) ( )
∪
9
,
α
=
B
Obsérvese, cuando se busca el complemento, se debe tener en cuenta que los extremos no sean infinitos, cambian su condición, es decir se está cerrando se abre y viceversa.
6) C' El complemento, teniendo las observaciones del problema atender, es:
Solución: Como
C
=
(
−
5
−
4
)
C
'=
(
−
α
,
−
5
] [
∪
4
,
α
)
DESIGUALDADES
1.
INTRODUCCION
ORDEN DE LA RECTA NUMERICA
Decir que
a
〈
b
,
significa que a está a la izquierda de b, en la recta numéricaSi
a
〈
b
⇔
b
−
a
〉
0
,
es decir, que el conjunto de los números reales es un conjunto ordenado.PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES
Si
a,
b
y
c
son números reales1. TRICOTOMIA
Si a y b son número reales, se cumple una y solo una de las siguientes propiedades:
b
a
o
b
a
o
b
a
〈
=
〉
2. TRANSITIVA
Si
a
〉
b
,
y
b
〉
c
⇒
a
〉
c
Ejemplo
5
12
5
8
,
,
8
12
〉
y
〉
⇒
〉
3. ADITIVA
Si
a
〉
b
⇒
a
+
c
〉
b
+
c
Ejemplo
Si
9
〉
2
, entonces,9
+
5
〉
2
+
5
⇒
14
〉
7
a) Si
c
〉
o
,
se cumple queSi
a
〉
b
⇒
a
.
c
〉
b
.
c
Ejemplo: Sea
8
〉
−
2
y
c
=
4
⇒
8
.
4
〉
−
2
.
4
⇒
32
〉
−
8
b) Si
a
〉
b
⇒
a
.
c
〈
b
.
c
Ejemplo: Si
−
3
〉
−
7
⇒
( )( ) ( )( )
−
3
−
5
〈
−
7
−
5
⇒
15
〈
35
5. Si
a
〉
b
y
c
〉
d
⇒
a
+
c
〉
b
+
d
Ejemplo: Si
8
〉
5
y
7
〉
4
⇒
8
+
7
〉
5
+
1
⇒
15
〉
9
6. Si
a
〉
0
⇒
−
a
〈
0
Ejemplo:
si
8
〉
0
⇒
−
8
〈
0
7.
Si
a
≠
0
,
a
2〉
0
Ejemplos
0
64
8
0
8
〉
⇒
2=
〉
Si
( )
7
49
0
0
7
〈
⇒
−
2=
〉
−
8.
〉
0
⇒
1
〉
0
a
a
Si
Ejemplo0
7
1
0
7
〉
⇒
〉
Si
9.c
b
c
a
entonces
c
y
b
a
Si
〉
〉
0
,
,
〉
Ejemplo
1
2
5
5
5
10
5
10
〉
⇒
〉
⇒
〉
Si
10.c
b
c
a
o
c
y
b
a
Si
〉
〈
⇒
〈
Ejemplo:
2
3
8
16
8
24
16
24
〈
⇒
−
〈
−
−
⇒
〉
Si
LAS PROPIEDADES SE CUMPLEN CUANDO SE TIENEN LA RELACIÓN DE
〉
〈
O
SOLUCION DE DESIGUALDADES
realizar ciertas operaciones en una desigualdad sin cambiar el conjunto solución, en lo referente:
1. Se puede adicionar o aumentar el mismo número miembros de la desigualdad.
2. Se pueden multiplicar o dividir ambos miembros de una desigualdad por un número positivo, sin que la desigualdad cambie de sentido.
3. se pueden multiplicar ambos miembros por un número negativo, pero se debe de cambiar el sentido de la desigualdad.
RESOLUCION DE DESIGUALDADES
1)
LINEALES
En cada uno de los siguientes ejemplos resolver la desigualdad y dibujar la gráfica del conjunto solución.
1.
4
x
−
7
〈
3
x
+
5
Solución:
4
x
−
7
〈
3
x
+
5
(
sume
x
)
x
〈
5
−
3
s
=
(
−
∝
,
5
)
)
2.
7
x
−
1
≤
10
x
+
4
Solución:
7
x
−
1
≤
10
x
+
4
7
x
≤
10
x
+
5
(
Sume
1
)
−
3
x
≤
5
(
Sume
−
10
x
)
|(
3
)
3
5
−
−
≤
Dividi
por
x
−
∝
−
=
3
5
,
s
3.
2
(
2
x
+
3
)
−
10
〈
6
(
x
−
2
)
Solución
(
2
3
)
10
(
6
2
)
2
x
+
−
〈
x
−
12
6
10
6
4
x
+
−
〈
x
−
12
6
4
4
x
−
〈
x
−
(Simplificando)8
6
4
x
〈
x
−
(
sume
−
4
)
8
2
〈
−
−
x
(
Sume
−
6
x
)
4
〉
x
(
dividí
por
−
2
)
)
0 3 5 −(
( )
∝
=
4
,
s
4
.(
x
+
)
−
x
〉
(
−
x
)
3
2
3
1
4
7
2
Solución(
)
(
)
6
3
2
1
4
7
3
2
x
x
x
x
+
−
〉
−
+
6
2
1
2
3
4
14
3
2
x
x
x
+
−
〉
−
+
12
2
6
18
12
3
168
8
x
x
−
x
+
x
〉
−
+
ndo
simplifica
x
x
x
168
4
18
4
5
+
−
〉
−
(
168
)
4
150
5
x
〉
−
−
x
sume
−
(
sume
x
)
x
150
4
9
〉
−
(
9
)
9
150
por
dividi
3
50
−
〉
x
−
∝
=
,
3
50
S
5. 2 3≤−
−
x
Solución
2
3
≤
−
−
x
x
≥
6
(
multipliqu
e
por
−
3
)
( )
∝
=
6
,
s
6.
−
3
≤
4
−
7
x
〈
18
Solución:
−
3
≤
4
−
7
x
〈
18
−
7
≤
−
7
x
〈
14
(
Sume
−
4
)
1
≥
x
〉
−
2
(
dividí
por
−
7
)
(
(
- 20 -15 -10 -5 0 3
50
−
−
2
〈
x
≤
1
(
−
2
,
1
)
=
s
7.
(
1
)
4
5
2
6
≤
−
−
≤
−
x
uSolución
(
1
)
4
5
2
6
≤
−
−
≤
−
x
4
5
2
5
2
6
≤
−
+
≤
−
x
4
5
2
2
6
≤
−
+
≤
−
x
(
simplifica
ndo
)
x
20
2
2
30
≤
−
+
≤
−
−
28
≤
2
x
≤
22
(
sume
)
−
14
≤
x
≤
11
(
dividí
por
2
)
S
:
[
−
14
,
11
]
(
)
-2 -1 0 1
-14 -7 0 7 14
2)
NO LINEALES:
2.1
.
DESIGUALDAD POLINOMICA
Para resolver desigualdades cuadráticas o cuando dos se debe reunir todos los términos diferentes a cero en un solo miembro, si se pueden factorizar sus términos en factores de primero grado y se aplican el método gráfico, que explicamos enseguida.
2.2.
METODO GRAFICO
En el proceso de resolver una desigualdad cuadrática se puede presentar una desigualdad de las formas
(
x
−
γ
1)(
x
−
γ
2)
〉
0
a
(
x
−
γ
1)(
x
−
γ
2)
〈
0
a
(
)(
)(
) (
)
0 0 32 1
〉 〈
−
−
−
−
x
x
x
nx
a
γ
γ
γ
L
γ
ALGORITMO:
1. Se factoriza el polinomio
2. Se traza una recta por cada factor y una recta adicional para el resultado.
3. Se calculan las raíces contenidas en cada factor y se ubican en las rectas
4. Se trazan líneas verticales por cada raíz
5. a la izquierda de cada raíz ubicada en cada recta, se señala con signos menos y a la derecha con signos más.
6. se aplica la ley de los signos, en cada una de las regiones determinadas por las líneas verticales y el resultado se escribe en el lugar que corresponde en la recta final.
EJEMPLOS:
1.
x
2−
12
〈
x
Solución
x
x
2−
12
〈
0
12
2
−
−
〈
x
x
Puntos críticos
0
3
,
,
0
4
=
+
=
−
o
x
x
3
,
,
4
=
−
=
o
x
x
x
−
4
x
+
3
(
x
−
4
)(
x
+
3
)
(
3
,
4
)
:
−
s
2.
x
2+
21
≥
10
x
Solución
x
x
2+
21
≥
10
0
21
10
2
−
+
≥
x
x
(
x
−
3
)(
x
−
7
)
≥
0
Ahora, los puntos críticos
0
3
=
−
x
ox
−
7
=
0
•
•
0 0
3
=
x
ox
=
7
•
•
s
=
(
−
∝
,
3
) ( )
∪
7
,
∝
3.
(
x
−
2
)(
x
+
1
)(
x
+
3
)
≤
0
Solución
(
x
−
2
)(
x
+
1
)(
x
+
3
)
≤
0
Determinemos los puntos críticos
0
2
=
−
x
,o,x
+
1
=
0
,o,x
+
3
=
0
2
=
x
,o,x
=
−
1
,o,x
=
−
3
3
−
x
7
−
x
(
x
−
3
)(
x
−
7
)
3
7
s
=
(
−
∝
,
−
3
) (
∪
−
1
,
2
)
4.
x
3+
4
x
2≥
4
x
+
16
Solución
16
4
4
23
+
≥
+
x
x
x
0
16
4
4
23
+
−
−
≥
x
x
x
Para factorizar esta expresión de orden n=3, utilizaremos la división sintética (regla de Ruffini).
( )
16
±
1
±
2
±
4
±
8
±
16
D
2
−
x
1
+
x
3
+
x
•
•
•
2 0
0
0 1 0
16
4
4
1
−
−
-2
2
12
−
16
1
6
8
0
Por lo tanto, la expresión inicial queda factorizada de la siguiente manera
0
16
4
4
23
+
−
−
≥
x
x
x
(
x
−
2
)
(
x
2+
6
x
+
8
)
≥
0
(
x
−
2
) (
x
+
2
) (
x
+
4
)
≥
0
Ahora, apliquemos el método gráfico, determinando primero, los puntos críticos
0
2
=
−
x
,o,x
+
2
=
0
,o,x
+
4
=
0
2
=
x
,o,x
=
−
2
,o,x
=
−
4
S
=
[
−
4
,
−
2
] [ ]
∪
2
,
α
5.
x
3+
5
≤
5
x
2+
x
Solución
x
x
x
3+
5
≤
5
2+
0
5
5
23
+
−
+
≤
x
x
x
Apliquemos la regla de Ruffini, para factorizar el polinomio anterior.
1 -5 -1 5
-1 +6 -1
_________________________
1 -6 5
El polígono inicial queda factorizado de la siguiente manera
x
+
2
x
+
4
•
2
•
-2-4
0
0
0
*
0
0
5
5
23
−
−
+
≤
x
x
x
(
x
+
1
)
(
x
2−
6
x
+
5
)
≤
0
(
x
+
1
)(
x
−
1
)(
x
−
5
)
≤
0
Determinar los puntos críticos
0
1
=
+
x
,o,x
−
1
=
0
,o,x
−
5
=
0
,o, ,o,
•
•
s
=
(
−
∝
,
−
1
) ( )
∪
1
,
5
6.
x
2〉
9
1
−
=
x
x
=
1
x
=
5
1
+
x
1
−
x
5
−
x
0
0
0 -1
0
•
1
5
Solución:
x
2〉
9
0
9
2
−
≥
x
(
x
+
3
)(
x
−
3
)
≥
0
Puntos críticos:
x
+
3
=
0
,
o
,
x
−
3
=
0
3
,
,
3
=
−
=
o
x
x
•
•
(
−
∝
−
) ( )
∪
∝
=
,
3
3
,
s
7.
x
2+
5
x
≤
0
Solución
3
+
x
3
−
x
0
0 0
3
*
0
5
2
+
≤
x
x
(
x
+
5
)
≤
0
x
Puntos críticos:
x
=
0
,
o
,
x
+
5
=
0
x
=
0
,o
,
x
=
−
5
(
−
5
,
0
)
=
s
8.
x
2+
2
x
−
5
≥
0
Solución: Como la expresión no es factorizable con números enteros, debemos aplicar la ecuación general de segundo grado, así:
1
=
a
b
=
2
c
=
−
5
a
ac
b
b
x
2
4
2
−
±
−
=
0
+
x
5
+
x
0
0
*
( )
( )( )
2
5
1
4
2
2
±
2−
−
−
=
x
2
20
4
2
±
+
−
=
x
2
24
2
±
−
=
x
2
2
2
+
+
−
=
x
,o
,
2
6
2
2
2−
−
=
x
6
1
1
=
−
+
x
x
2=
−
1
−
6
[
x
−
1
+
6
][
x
−
1
−
6
]
≥
0
0
6
1
,
,
0
6
1
+
=
−
−
=
−
o
x
x
6
1
−
=
x
,o
,
x
=
1
+
6
<
0
6
1
+
=
−
x
0
6
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