tema 3 3 Espacio euclideo Conicas y cuadraticas

Tema 3.3. Aplicaciones afines.

C´

onicas y cu´

adricas

Definici´on 1. Sean A = (P, V, f) y A0 = (P0, V 0, f0) dos

espacios afines tales que V y V 0 son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo. Una funci´on θ : P → P0 se llamar´a

aplicaci´on af´ın si T : V → V 0 definida por T(pq−→) = −−−−−→θ(p)θ(q)

es una aplicaci´on lineal. T se llama aplicaci´on lineal asociada

a la aplicaci´on af´ın θ.

Si T es un isomorfismo, diremos que θ es una transformaci´on af´ın. Las transformaciones afines tales que Π = Π0 se llaman

Representaci´

on matricial de una aplicaci´

on

af´ın

Sean A = (P, V, f) y A0 = (P0, V 0, f0) espacios afines con sistemas de referencia (O,B), (O0, B0), respectivamente. Dada una aplicaci´on af´ın θ : P → P0 definida por θ(q) = θ(p) +T(−pq→), la representaci´on matricial de θ es:

    y1 y₂ · · · ym     =    

a11 a12 . . . a1n

a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... . . . ... am1 am2 . . . amn

        x1 x₂ · · · xn     +     b1 b₂ · · · bm    

Ejemplo

Dada la afinidad θ : _R3 → _R3 definida por:

θ(x1, x2, x3) = (x2, x1 + x2 + x3 + 1, x1 + x2 − 2)

Respecto de la referencia can´onica, θ se representa:   y1 y2 y3   =  

0 1 0 1 1 1 1 1 0

    x1 x2 x3   +   0 1 −2   o, equivalentemente:    1 y1 y2    =   

1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1

Movimientos

Dado un espacio af´ın euclideo, una afinidad θ : P → P se llama

movimiento si conserva las distancias entre puntos, es decir:

d(θ(p), θ(q)) = d(p, q), ∀p, q ∈ P

La aplicaci´on lineal T asociada a θ es una isometr´ıa, es decir, un isomorfismo que conserva la longitud de los vectores:

T(−pq→) =

−−−−−→

θ(p)θ(q)

= d(θ(p), θ(q)) = d(p, q) = −pq→

Teorema 1. Una afinidad θ es un movimiento si, y s´olo s´ı, la

Ejemplo

La afinidad de ecuaciones

y1

y2

=

0 −1

−1 0

x1

x2

+

0 1

es un movimiento.

Para ello comprobamos que

A =

0 −1

−1 0

Clasificaci´

on de los movimientos en

_R

seg´

un sus puntos fijos

Ejemplo

Consideremos el movimiento de _R2





1

x0 y0



 = 



1 0 0

3 −3/5 −4/5 1 −4/5 3/5



 



1

x y





Como rg(A − I) = 1 y rg(A − I)∗ = 2, el movimiento no tiene puntos fijos y, al ser rg(A − I) = 1, se trata de una simetr´ıa deslizante, es decir, la composici´on de una simetr´ıa y una traslaci´on. Podemos calcular el eje de la simetr´ıa resolviendo el sistema (A − I)2X = −(A − I)C.

Ejemplo

Consideremos el movimiento de _R3

  y1 y2 y3   =  

1/2 −√3/2 0

√

3/2 1/2 0

0 0 1

    x1 x2 x3   +   

1−√3 2

−1−√3 2

1



 

C´

onicas

Definici´on 2. Una c´onica es el lugar geom´etrico de los puntos

que resultan de la intersecci´on en _R3 de un cono generalizado y un plano. La ecuaci´on de una c´onica es del tipo:

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0

Representaci´

on matricial

de las c´

onicas

La ecuaci´on general de una c´onica

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0

se puede escribir de forma matricial como:

(x, y) A

x y

+ 2(x, y)

d e

+ f = 0

o, equivalentemente (1, x, y) B

  1 x y 

 = 0, siendo

A =

a b

y B =



f d e

d a b

Una primera

clasificaci´

on de las c´

onicas

A partir de los signos de los autovalores de la matriz A, podemos dar una primera clasificaci´on de las c´onicas, teniendo en cuenta que algunos de los elementos obtenidos pueden ser degenerados (puntos, rectas) o vac´ıos.

Se pueden dar los siguientes casos:

1. Si λµ > 0, tenemos una elipse.

2. Si λµ < 0, tenemos una hip´erbola.

3. Si λµ = 0, tenemos una par´abola.

Clasificaci´

on de las c´

onicas

mediante invariantes

Teorema 2. Los n´umeros I1 = tr(A), I2 = det(A) e

Ecuaciones reducidas de las c´

onicas

Elipse real: x_a22 + y_b22 − 1 = 0

Elipse imaginaria: x_a2₂ + y_b22 + 1 = 0

Punto: x_a2₂ + y_b22 = 0

Hip´erbola: x_a22 − y2

b2 − 1 = 0

Par´abola:

x2 − 2py = 0

y2 − 2px = 0

Par de rectas paralelas: x2 ± a2 = 0

Elipse

+

−

1 = 0

Llamamos elipse al lugar geom´etrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F 0 es constante. a

y b son los semiejes de la elipse, mientras que los puntos F(c, 0)

Hip´

erbola

−

−

1 = 0

Llamamos hip´erbola al lugar geom´etrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F 0. Los valores a y b son los semiejes de la hip´erbola, mientras que los puntos F(c, 0) y F 0(−c, 0) se llaman focos de la hip´erbola, siendo

Par´

abola

y

−

2px

= 0

Buscando la ecuaci´

on reducida

La ecuaci´on general de una c´onica:

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0

se puede escribir de forma matricial como:

(x, y)A

x y

+ 2(x, y)

d e

+ f = 0

Diagonalizando ortogonalmente la matriz A, calculamos los autovalores λ y µ

y la matriz de paso P. Haciendo el cambio de base

x y = P u v :

(u, v)

λ 0 0 µ u v

+ 2(u, v)Pt

d e

+ f =

Por tanto, la expresi´on de la c´onica queda:

Ejemplo

Clasifique la siguiente c´onica: x2 + y2 − 6xy + 4x + 4y = 0

Sus invariantes son I3 6= 0 e I2 < 0, con lo que se trata de una hip´erbola. Escrita en forma matricial ser´ıa de la forma:

(x, y)

1 −3

−3 1

x y

+ 2(x, y)

2 2

= 0

Diagonalizando ortogonalmente la matriz A, obtenemos:

(u, v)

−2 0 0 4

u v

+ 2(u, v)

1 √ 2 1 √ 2 −√1

2 1 √ 2 ! 2 2 = 0

Lo que nos da: −2u2+4v2+4√2u = 0. Completando cuadrados, y llamando X = u−√2 e Y = v, obtenemos la ecuaci´on reducida de la hip´erbola:

X2

(√2)2 −

Y 2

12 − 1 = 0

Cu´

adricas

Se denomina cu´adrica al lugar geom´etrico de los puntos del espacio af´ın eucl´ıdeo cuyas coordenadas satisfacen:

a1x2+a2y2+a3z2+2b1xy+2b2xz+2b3yz+2c1x+2c2y+2c3z+d = 0

Expresada de forma matricial queda como:

(x, y, z)A

  x y z 

 + 2(x, y, z)   c1 c2 c3 

 + d = 0

siendo A =





a₁ b₁ b₂ b1 a2 b3

b2 b3 a3 

, o bien (1, x, y, z) B

    1 x y z    

= 0,

siendo



d c1 c2 c3

c a b b

Clasificaci´

on de las cu´

adricas mediante

invariantes

Teorema 3. Los n´umeros I1 = tr(A), I2 =

a2 b3

b₃ a₃

+

a1 b2

b2 a3 +

a1 b1

b1 a2

Buscando la ecuaci´

on reducida

Haciendo un cambio de base y diagonalizando ortogonalmente la matriz A, obtenemos:

(u, v, w)





α 0 0

0 β 0 0 0 γ



 



u v w



 + 2(u, v, w) P t





c₁ c2

c3 

 + d = 0

Ejemplo

Clasifique y obtenga la ecuaci´on reducida de la cu´adrica

2x2 − 7y2 + 2z2 − 10xy − 8xz − 10yz + 6x + 12y − 6z + 5 = 0

En forma matricial ser´ıa:

(x, y, z)





2 −5 −4

−5 −7 −5

−4 −5 2

    x y z 

+2(x, y, z)   3 6 −3 

+5 = 0

Calculando sus invariantes, obtenemos I4 = 0, I3 < 0, I2 < 0 e I1 < 0, lo que implica que es un cono real. Para encontrar su ecuaci´on reducida, primero diagonalizamos ortogonalmente la matriz A, obteniendo los autovalores λ = −12, β = 3 y γ = 6 y la matriz de paso P, siendo:

P t =

  1 √ 6 q 2 3 1 √ 6

1 ₋ 1 1



Por tanto, la nueva ecuaci´on de la cu´adrica ser´a:

(u, v, w)





−12 0 0 0 3 0 0 0 6

    u v w 

+2(u, v, w)P t   3 6 −3 

+5 = 0

Es decir:

−12u2 + 4√6u + 3v2 − 4√3v + 6w2 + 6√2w + 5 = 0

Completando cuadrados obtenemos:

−12

−√1

6 + u

2

+ 3

₋₂ √

3 + v

2

+ 6

₁ √

2 + w

2

= 0

Si llamamos X = −√2

3+v, Y = 1

√

2+w y Z = − 1

√