Sesión 6: Relaciones y Funciones
RELACIONES
I. Uso de Coordenadas:
Para determinar los desplazamientos que efectuamos a diario por ejemplo: el alumno
Anderson estudiante de Ingeniería de la UCV que vive en la Victoria sube a la combi que lo
traslada hasta el Banco de la nación, nuevamente sube a otra combi que lo traslada a la
Universidad Cesar Vallejo, estos desplazamientos los podemos ubicar en un sistema de
referencia denominado plano cartesiano.
Se denominan plano cartesiano en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo
y matemático francés que quiso
fundamentar su pensamiento filosófico en la
necesidad de tomar un punto de partida sobre el que edificar todo el conocimiento.
Nociones Básicas:
PAR ORDENADO
Veamos la siguiente situación, el alumno Goku, se coloca una camisa amarilla
manga larga y encima un polo celeste manga corta. Lo expresamos así: {amarilla,
celeste} en este caso se ven las mangas de la camisa amarilla. Pero qué sucede
si el alumno Goku se pone debajo el polo celeste de manga corta y encima la
camisa amarilla manga larga. Lo expresamos así: {celeste, amarilla}. Observarás
que no se ve el polo que llevas debajo. Entonces, {amarilla, celeste} y {celeste,
camisa amarilla y el polo celeste, lo haces en distinto orden. Podemos decir que
{amarilla, celeste} y
{celeste, amarilla} son pares ordenados, porque son pares de elementos y
además indican orden.
Un par ordenado indica orden entre dos elementos y, en general, se expresa así:
(a, b) donde: a es el primer componente y b es la segunda componente.
(a ; b )
1° componente 2° componente
(abscisa) (ordenada)
El par (a, b) es distinto del (b, a) porque, aunque los elementos son los mismos, están en
distinto orden. Así tenemos: (2, 3) ≠ (3, 2); (–5, –9) ≠ (–9, –5).
Teorema: Igualdad de pares ordenados.- Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus
primeras y segundas componentes son iguales respectivamente, es decir:
(a; b) = (c ; d) a = c b = d Ejemplos:
a) Calcular x + y si se cumple que:
(x 1;7) (26; y 2)
b) Determine y – z si se cumple que:
(z 9;11) (40; 2y1)
II. PLANO CARTESIANO: Para ubicar los puntos generados por los pares ordenados, de
manera adecuada comúnmente usamos el sistema de coordenadas cartesianas, que usa
dos ejes coordenados, uno horizontal (eje de las abscisas o eje de las X) y otro vertical
(eje de las ordenadas o eje de las Y). El punto donde se intersectan se llama “origen de
coordenadas”
Ejemplo: Ubicar los siguientes puntos en plano cartesiano A(5; 6); B(-5; 5); C(-6; -1); D(2;
Producto Cartesiano
Dado dos conjuntos A y B no vacíos, se define el producto cartesiano A B como el conjunto de pares ordenados (a, b) tal que a A b B; es decir:
A B = {(a; b) / a A b B}
En el conjunto de pares ordenados (a; b), las primeras componentes se encuentran en el
conjunto A y las segundas componentes en el conjunto B.
Ejemplo:
Dados dos conjuntos A= {2; 4} y B= {1; 3}, calcular:
a) A B
Observación: A x B B x A Representación Gráfica
a) Matricial
b) Sagital
III. Relación Binaria
En la vida cotidiana es frecuente oír que las personas se relacionan, por ejemplo: “es amigo
o amiga de”, “es hermana o hermano de”, “es esposo o esposa de”, “es primo o primade”,
“es menor que”, “es mayor que” y otras.
En matemática, el concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los
elementos de los conjuntos que forman pares ordenados. Una relación es un subconjunto
de pares ordenados que cumplen con cierta propiedad. Así por ejemplo: Si A = {1, 6, 9} y
B= {2, 5,7} Una relación que exista entre A y B puede
ser “x es menor que y”, entonces: R = {(1, 2), (1, 5), (1, 7) (6, 7)} ⊂ A ×B
Una relación de A en B, denotada R: A→ B, es cualquier subconjunto R del producto
cartesiano A × B.
R: A → B se lee: “Relación de A en B”
Ejemplo:
Sea el producto cartesiano:
A×B= {(1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 4), (2; 5), (2; 6)}
Hallar las siguientes relaciones:
R1= {(x;y)/x+y=6}
R2= {(x;y)/x=y}
R3= {(x;y)/x>y}
Dominio de una relación:
Es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de una relación.
Rango de una relación:
Es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de una relación.
Ejemplos:
a) Sea A={5;6;7} y B={1; 2} Determinar B×A:
Dominio y Rango de B×A:
b) Sea M={2;6} y N={7;8;9} Determine A×B:
Dominio y Rango de A×B:
FUNCIONES
Antes de dar una definición formal de una función, veamos dos ejemplos de relaciones, que
nos permitan tener una idea más clara de lo que son las funciones como un tipo de
relaciones especiales.
Ejemplo 1: En el campamento de la empresa Odebrecht la secretaria tiene un conjunto A
conformado por las fechas de cumpleaños los ingenieros residentes de la obra y otro
conjunto conformado por los nombres de dichos ingenieros residentes de la obra, la
secretaria de la empresa relaciona los elementos de A con B mediante el diagrama de Venn
– Euler que a continuación se muestra:
A B
8 de enero Luis
Lidia 13 de noviembre
9 de febrero
Miguel
Willy
De donde:
(8 ; ), (8 ; ),
(13 ; ), (9 ; ),
(9 ; )
R de enero Luis de enero Willy
de noviembre Lidia de febrero Miguel
de febrero Carlos
En esta relación se observa que un elemento de A se puede relacionar con más de un
elemento de B, esto debido a que la misma fecha de cumpleaños la pueden tener varias
personas.
Ejemplo 2: Supongamos ahora que la secretaria de la empresa relaciona los elementos de
B en A mediante el diagrama de Venn – Euler que a continuación se muestra:
De donde:
( ;8 ), ( ;13 ),
( ; 9 ), ( ; 8 ),
( ; 9 )
R Luis de enero Lidia de noviembre
Miguel de febrero Willy de enero
Carlos de febrero
En esta relación se observa que un elemento de B le corresponde un solo elemento de A,
esto debido a que una persona solo puede tener una sola fecha de cumpleaños. En este
caso la relación R de B en A se llama función R de B en A.
Una de las definiciones más importantes en el área de las matemáticas, que tiene múltiples
aplicaciones en ciencias de la ingeniería como en las ciencias sociales es el de función.
Vemos por ejemplo cada auto registrado le corresponde un determinado número de placa,
B A
8 de enero Luis
Lidia
13 de noviembre
9 de febrero Miguel
Willy
a cada ingeniero le corresponde un único código de registro en el Colegio de Ingenieros del
Perú, a cada estudiante de la UCV le corresponde un código de estudiante, etc. Partiendo
de esta idea, establecemos una definición de un tipo de correspondencia única llamada
función.
Definición: Sean A y B dos conjuntos no vacíos, llamamos función definida en A para valores
de B (función de A en B) a toda relación que tiene por propiedad: (a; b)f y (a; c)f entonces b=c.
De esto se puede decir que una función f es un conjunto de pares ordenados de
elementos, tales que dos pares diferentes nunca tienen el mismo primer elemento.
Notación:
Sea f una función definida de A en B se puede denotar así: f: A → B
A: conjunto de partida
B: conjunto de llegada
Dominio de una función: Formado por todas las primeras componentes de los pares
ordenados que pertenecen a la función. Se puede denotar así:
Domf = {xA/(x; y)f}
Rango de una función: Formado por todas las segundas componentes de los pares
ordenados que pertenecen a la función. Se puede denotar así:
Ranf = {yB/(x; y)f}
Observación:
x: variable independiente
y: variable dependiente
Gráfica de una función: La gráfica de una función f es el conjunto de todos los puntos (x; y)
en el plano, tales que “x” está en el dominio y “y” es la imagen de “x”, así:
FUNCIONES ELEMENTALES
1) Función Lineal
Tiene la forma: f(x) = mx + b, m≠0
Dom(f) = ;
Ran(f) =
Su gráfica es:
2) Función cuadrática
Una función cuadrática:
2; 0 f x ax bx c a .
Dom(f) = ;
La gráfica de una función cuadrática es una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo,
dependiendo del signo que toma “a” en la forma general. Para graficar una función
cuadrática determinamos el discriminante ∆ y con ayuda del cuadro identificamos las
características de la parábola, además determinamos intersecto con ejes X e Y si los hay, las
coordenadas del vértice y luego ubicamos dichas coordenadas en el plano cartesiano para
obtener la gráfica:
0
2
c bx
0
Tiene 2 raíces reales diferentes
Dos intersecto con eje X La gráfica atraviesa al eje X
dos veces
0
Tiene 2 raíces reales iguales Un intersecto en X:
a b
2
La gráfica es tangente al eje X
0
No tiene raíces reales No hay intersecto en X La gráfica está encima o
debajo al eje X. (no lo intersecta)
Casos:
Si 0, la gráfica intersecta al eje X en dos puntos
Si 0, la gráfica no intersecta al eje X
3) Función valor absoluto:
Regla de correspondencia:
x, si x 0f x x f x
x, si x 0
Dom(f) = ;
Ran(f) = 0
4) Función raíz cuadrada
Tiene la forma f(x) x
Dom(f) = 0
Ran(f) = 0
Su gráfica es:
5) Función exponencial:
Tiene la forma:
xf x a ; a0 y a1
Dom(f) = ;
Ran(f) = 0;
Su gráfica es:
3 2 1 1 2 3
ACTIVIDAD EN AULA
1. En una comunidad Shipiba, cuya poblacion en el año 2000 fue de 900 personas, tiene
una tasa de mortalidad (debido a la mala alimentacion, falta de atencion medica y otros
problemas que aquejan a la comunidad) en un indice calculado en 2
(t13) personas en t años. Con estos datos se puede expresar la población en función de los años
transcurridos por:
2
( ) 900 ( 13)
P t t
Si no mejora el nivel de vida de dicha población, calcular cuál será su población en el año
2017.
a) 10 b) 20 c) 35 d) 40 e) 0
2. La producción diaria de una ladrillera, en millares de ladrillos producidos por “x”
máquinas automáticas, está dada aproximadamente por:
3 2
( ) 4 8 10 5
L x x x x
Responder:
a) Si trabajan 2 máquinas. ¿Cuál es la producción diaria?
b) Si las maquinas paran las 24 horas del día por falta de energía. ¿Cuál es la
producción diaria?
a) 47; 0 b) 48; 2 c) 49; 5 d) 40; 6 e) 50; 8
3. Si los pares ordenados: 2
(6;x 5); (y1; 20) son iguales, calcule el menor valor de x + y. a) 0 b) 10 c) 5
d) 7 e) 2
4. Dado los conjuntos:
B = {x Z/ 4 < x < 23}
¿Cuántos elementos tiene A x B?
a) 440 b) 470 c) 460
d) 450 e) 550
5. Calcular : R = 2x + 3y ; x N; si se cumple que: (x + 2 , 9y – 1) = (2x , 17) a) 7 b) 6 c) 8 d) 10 e) 9
6. Dado el conjunto :
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y una relación R en A definida por: (x, y) R x es divisor de y. Calcular: n(R)
a) 8 b) 10 c) 12
d) 13 e) 14
7. Sea la función g cuyo diagrama se muestra a continuación:
Calcule el valor de:
(1) (5) (7) (3) (1)
g g g K
g g
a) -1 b) -3 c) 3 d) 7 e) 2
8. Dados los conjuntos: A = {1, 3, 5} y B = {2, 4, 6}; se define la relación:
R1 = {(x, y) A x B / x + y = 7}
Calcular la suma de todos los elementos de: Dom(R1)
a) 12 b) 8 c) 10 d) 15 e) 9
9. Se tienen los conjuntos: A
2; 4;6
y B
3;5 ; de las siguientes relaciones de A en B:
1 2 3(2;3), (4;3), (6;5)
(2;3), (2;5), (4;3), (6;5)
(2;3), (4;3), (4;5), (6;5)
R R R 1 3 5 7 2 4 6
¿Cuáles son funciones?
a) R y R2 3 b) Solo R1 c) R R1, 3 d) R R1, 2
e) Todas
10. Sean las funciones f y g cuyos diagramas se muestran a continuación:
Calcule el valor de:
(6)
( (0)) ( (6)) (9)
g
f g g f f
a) -1 b) -3 c) 3 d) 7 e) 2
11. Calcula el dominio y rango en:
2 ( ) 36 f x x
12. Calular el valor de (a + b), si el siguiente conjunto:
(3;5), (2;7), (3; 2), (1; 4), (2; 5)
f a b , representa una función.
a) 6 b) 8 c) 9 d) 7 e) 10
13. Calcular el dominio de la función:
8 ( ) 1 F x x
14. Calcular el dominio de la función:
2
( ) 9
F x x
ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. La población de abejas de un apicultor, está dada aproximadamente por:
4 3 2
( ) 4 8 3 5
A x x x x x
donde “x” es el número de colmenas hábiles. Si tiene 2 colmenas hábiles. ¿Cuál es la
población de abejas que posee?
a) 144 b) 145 c) 146 d) 147 e) 148
2. Una compañía ha encontrado que su utilidad está dada por: U x( ) x2 16x15,
donde x representa el número de unidades vendidas. Calcule la máxima utilidad y la
cantidad de unidades vendidas para que ello ocurra.
a) 49; 8 b) 54; 6 c) 48; 9 d) 49; 7 e) 48; 8
3. Sea la función: f(x) = 5x + 7. Calcular: f f( (0))
a) 46 b) 48 c) 42 d) 47 e) 40
4. Sea: F = {(8; 2), (5; 8), (8; b), (5; a)}, una función.
Calcular: A = (F(8) + F(5)) + a + b
a) 19 b) 20 c) 22 d) 27 e) 21
5. De la función:
F = {(2; 3), (3; 4), (4; 1)}.
Calcular: AF F( (2))F F( (3))
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. Dada la función: f: A B; cuya grafica se muestra a continuación:
Calcular: ( (5)) ( (4)) (5) 1 f f f f E
f
A B
2 3 4 5 1
