Optimización y caracterización de las propiedades estructurales y electrónicas del compuesto V5Si3: un estudio DFT

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(1)Tesis Para Obtener El Título de Licenciado en Física. Optimización y Caracterización de las Propiedades Estructurales y Electrónicas del Compuesto V5Si3: Un estudio DFT Javier Eduardo Villanueva Hernández. Bogotá - Septiembre de 2016. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Proyecto Curricular de Licenciatura en Física.

(2) Prof. John Hernán Díaz Forero. Director. Prof. Edison Cudris. Codirector.

(3) Dedicado a Blanca F. y Raúl I. V..

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(5) Índice general 1. Fundamentos Teóricos. 15. 1.1.. Simetría. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 1.2.. Grupos Puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 1.3.. Clases de Elementos y Clases Adjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 1.4.. Estudio de Grupos Puntuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 1.5.. Simetría de Traslación y Grupos Puntuales . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 1.6.. Grupos Espaciales Diperiódicos. 24. 1.7.. Grupos Puntuales Cristalográcos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 1.8.. Celdas Unitarias y Redes de Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 1.9.. Grupos Espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.10. Teoría de Grupos y Grupos Espaciales. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 1.11. Representación de un Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 1.12. Representación Reducible e Irreducible. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 1.13. Sistema de Caracteres ó Traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 1.14. Cálculo de Tablas de Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 1.15. Operadores de Proyección. 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. Electrones en Cristales. 65. 2.1.. Ecuación de Dispersión Bragg-Von Laue. . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.2.. Aproximación Kronig-Penney de un Cristal Innito Unidimensional. .. 77. 2.3.. Zonas de Brillouin en Tres Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85. 2.4.. Bandas de Energía en Electrones Libres . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88. 3. Soluciones Aproximadas del Problema Cristalino. 65. 97. 3.1.. Soluciones Aproximadas de la Ecuación de Schrödinger. 3.2.. Aproximación del Electrón Cuasi-Libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. 3.3.. Ondas Planas Ortogonalizadas (OPW). 3.4.. DFT (Density Functional Theory) Teoría del Funcional Densidad 3.4.1.. . . . . . . . .. 97. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 . . 109. Ecuaciones y método Kohn-Sham . . . . . . . . . . . . . . . . 114. 5.

(6) Índice general. Índice general. 3.4.2.. Aproximación de Densidad Local (LDA). . . . . . . . . . . . . 119. 3.4.3.. Aproximación de Gradiente Generalizado (GGA). . . . . . . . 120. 3.5.. DFT (Density Functional Theory) y Wien2k . . . . . . . . . . . . . . 120. 3.6.. Ecuación de Murnaghan. 3.7.. Módulo de Volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. 4. Análisis y Resultados. 125. 4.1.. Propiedades Estructurales del Vanadio en fcc . . . . . . . . . . . . . . 125. 4.2.. Propiedades Electrónicas del Vanadio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127. 4.3.. Propiedades Estructurales del Silicio. 4.4.. Propiedades Electrónicas del Silicio. 4.5.. Propiedades Estructurales del VSi en fcc. 4.6.. Propiedades Electrónicas del VSi. 4.7.. Propiedades Estructurales del V5 Si3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134. 4.8.. Propiedades Electrónicas del V5 Si3. 4.9.. Módulo de Volumen para V5 Si3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 . . . . . . . . . . . . . . . . 132. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136. 5. Conclusiones. 139. 6.

(7) Índice de cuadros C 3v D3h. 1.1.. Tabla de Cayley para el grupo. 1.2.. Tabla de Cayley para el grupo. 1.3.. Enumeración de grupos puntuales propios. . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 1.4.. Resumen de operaciones de simetría puntual . . . . . . . . . . . . . .. 23. 1.5.. Las redes y los sistemas diperiódicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 1.6.. Redes de Bravais y sistemas cristalinos. (*) Retículos idénticos . . . .. 29. 1.7.. Deniciones de los sistemas cristalinos. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 1.8.. 32 puntos puntuales cristalográcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 1.9.. Representaciones irreductibles de. C3v . para C3v. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 1.10. Una representación reducible 1.11. Representación regular de. C3v. 1.12. Caracteres de las matrices de. C3v. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.13. El sistema de caracteres para el grupo. C3v. 45. . . . . . . . . . . . . . . .. 45. aplicado a la Figura 1.11 . . . . . . . . . . . . . . .. 60. 1.15. La proyección de vectores base de la Figura 1.11 . . . . . . . . . . . .. 62. 1.14. Resultado de. 2.1.. C3v. Caracteres, trazas ó representaciones para un grupo cíclico traslacional unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. O. . . . . . . . . . . .. 81. 2.2.. Operaciones de simetría para el grupo puntual. 96. 4.1.. Propiedades estructurales para el Vanadio. 4.2.. Propiedades estructurales para el Silicio . . . . . . . . . . . . . . . . . 130. 4.3.. Propiedades estructurales del VSi en fcc. 4.4.. Constantes de red calculada y reportadas para el. . . . . . . . . . . . . . . . 127. . . . . . . . . . . . . . . . . 133. V5 Si3. . . . . . . . . 135. 7.

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(9) Índice de guras 1.1.. Estereograma [11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 1.2.. Las 14 redes de Bravais. [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 1.3.. Los 7 sistemas cristalinos, según su jerarquía simétrica. . . . . . . . .. 28. 1.4.. Eje helicoidal [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 1.5.. Vectores primitivos de una red rectangular . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 1.6.. Cálculo para la matriz de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 1.7.. Cálculo para la matriz de reexión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 1.8.. Prisma perteneciente al grupo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 1.9.. Triángulo para la base de dimensión 6. C3v. 1.10. Transformación de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 1.11. Base reductible en un triángulo equilátero. . . . . . . . . . . . . . . .. 60. 1.12. Base generada a partir de la gura 1.11 mediante los operadores de proyección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 2.1.. Deducción de la ley de Bragg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. 2.2.. Deducción de las ecuaciones de Bragg-Laoue . . . . . . . . . . . . . .. 66. 2.3.. Plano (1,1,1). 67. 2.4.. Relación enre Bragg y Bragg-Laou. 2.5.. Retículo ortogonal y desigual. 2.6.. Representación de una construcción de Ewald. 2.7.. Construcción de Ewald en el espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71. . . . . . . . . . . . . .. 72. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75. 2.8.. Retículo cuadrado visto en el espacio directo . . . . . . . . . . . . . .. 76. 2.9.. Las 2 primeras zonas de Brillouin en una red cuadrada. . . . . . . . .. 76. 2.10.. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. vs. r. par el átomo de hidrógeno. 2.11. Cristal de H unidimensional. k. 2.12. Potencial aproximado para un cristal unidimensional de H 2.13. (a) Bandas permitidas y prohibidas (b). E. vs. k. [17]. . . . . . .. 78. . . . . . . . . . .. 84. 2.14. Curvas de energía constante en la aproximación de enlace fuerte. . . .. 88. 2.15. Supercies de energía constantes en una aproximación de enlace fuerte 88. 9.

(10) Índice de guras. Índice de guras. 2.16. La zona de Brillouin en una red cúbica simple 2.17. La zona de Brillouin en una red hexagonal 2.18. Diagrama de bandas para el eje 3.1.. ∆. . . . . . . . . . . . . .. 93. . . . . . . . . . . . . . . .. 93. de un ccs. . . . . . . . . . . . . . .. 95. Efecto sobre las curvas inferiores de la Fig. 2.17, debido a un potencial distinto de cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105. Σ. 3.2.. Bandas de energía del electrón libre para el eje. de un ccs . . . . . . 106. 3.3.. Sistema físico estable confomado por N-núcleos y n-electrónes interacuando, pertenecientes a un sólido cristalino . . . . . . . . . . . . . . 109. 3.4.. Esquema ciclo autoconsistencia en cálculo de energía total con DFT . 121. 4.1.. E vs V, P vs V y E vs P para el Vanadio en fcc. 4.2.. Estructura de bandas para el Vanadio en fcc . . . . . . . . . . . . . . 128. 4.3.. E vs V, P vs V y E vs P para el Silicio en fcc. 4.4.. Estructura de bandas y DOS para el Si . . . . . . . . . . . . . . . . . 131. 4.5.. E vs V, P vs V y E vs P para el VSi en fcc . . . . . . . . . . . . . . . 132. 4.6.. Estructura de bandas para VSi. 4.7.. E vs V para. 4.8.. Estructura de bandas y DOS para el. 4.9.. Módulos de volumen de Siliciuros de Vanadio.. V5 Si3. . . . . . . . . . . . . 126. . . . . . . . . . . . . . 129. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135. 10. V5 Si3. . . . . . . . . . . . . . . . 136 . . . . . . . . . . . . . 137.

(11) Introducción Desde mediados del siglo XX, la física del estado sólido ha evolucionado principalmente gracias a la implementación de códigos computacionales y al desarrollo teórico en el tratamiento del problema de varios cuerpos, siendo así, testigo del hallazgo de nuevos materiales, y sus usos en avances tecnológicos.[1] [2] [3]. Este es el caso de los compuestos intermetálicos; estos son un el ejemplo de estudio de nuevos materiales, debido a su gran interés industrial gracias a sus propiedades mecánicas a temperaturas elevadas, bajas densidades, y una gran resistencia a la corrosión; ampliando de esta forma el espectro de aplicaciones técnicas y tecnológicas. A nivel estructural, estos materiales intermetálicos se caracterizan por mantener un orden molecular a largo plazo, el cual es modicable en su temperatura de fusión, ó unos pocos grados por debajo de ésta; dicho orden, describe estructuras que generalmente son conocidas como fcc ó bcc, denominadas Siliciuros. En algunos casos se presentan estructuras de tipo hcp, en ésta, los siliciuros se conocen como siliciuros. de metales de transición. [4] Debido a su resistencia a altas temperturas de oxidación, las propiedades mecánicas, físicas y químicas de los metales de transición generan considerable interés en el uso potencial de aplicaciones a altas temperaturas. Especialmente siliciuros refractarios han generado una atención creciente en las últimas décadas debido a su alta temperatura de fusión y sus propiedades físicas únicas [48, 49, 50]. En trabajos previos, se han estudiado propiedades de. T a5 Si3. y. W5 Si3. mediante DFT (Density. Functional Theory) o Teoría del Funcional Densidad [51, 52]. Los siliciuros son compuestos de Silicio con elementos más electropositivos, a estos se les puede considerar como la unión de dos fases sólidas las cuales forman un elemento metálico ordenado a temperaturas por debajo de la fase líquida [5]. Durante los últimos 20 años, estos compuestos han sido de gran interés debido a su estabilidad térmica, su gran resistencia a la electromigración y su resistividad especíca, siendo de gran interés para la construcción de herramientas de corte para el trabajo a muy altas temperaturas [6], estas propiedades, los hacen grandes candidatos desde un punto de vista tecnológico.. 11.

(12) El Vanadio tiene uno de los más bajos coecientes de difusión intersticial de todos los metales 3d en un cristal de Silicio intrínseco [40, 41]. Luego del enfriamiento a temperatura ambiente, el Vanadio permanece como un átomo intersticial en Silicio intrínseco por período de meses [42]. Experimentos a dosis altas de implantación de Vanadio en Silicio muestran que los átomos de Vanadio exhiben fuertes interacciones en el cristal del Silicio [43]. Esto hace que sea posible depositar una concentración de Vanadio en el Silicio más allá del equilibrio termodinámico y de éste modo tener una alta probabilidad de estabilización, a largo plazo, de fases que no estan en equilibrio. El ensamble controlado de cierta cantidad de Vanadio es una condición necesaria para las estructuras y necesitan un estudio de agrupación [44].Después de los informes de la posible formación de Siliciuros, se reportan los resultados de investigaciones teóricas de las propiedades físicas del compuesto. V5 Si3. obtenidas por experimentos [43, 45, 46, 47].. El propósito de este trabajo de grado, es estudiar algunas propiedades estructurales y electrónicas de cristales poliatómicos, partiendo de los elementos la aleación. V5 Si3 ,. V , Si. y. haciendo uso de la teoría cuántica y métodos de aproximación. para el análisis del problema de muchos cuerpos en relación a los avances teóricos y experimentales reportados en la literatura. Los resultados obtenidos mediante el cálculo de bandas de energía, conrman el carácter metálico del siliciuro. V5 Si3. y su. estructura hexagonal compacta reportada en la literatura. Los fundamentos teóricos y experimentales que soportan los cálculos de propiedades estructurales y electrónicas se conguran en cuatro capítulos, iniciando con los fundamentos matemáticos y físicos de la teoría de grupos. Luego, se analiza el comportamiento de los electrones en los cristales, haciendo énfasis en la diferencia entre el espacio real y el espacio k , analizando también el modelo de aproximación de Kronig-Penney, y el proceso de elaboración de bandas a partir de éste. Seguido se muestran algunos métodos aproximados de solución para la ecuación de Schroe-. dinger para muchos cuerpos. Finalizando así con la descripción detallada de los cálculos computacionales realizados para determinar las propiedades estructurales y electrónicas de los elementos. V , Si. y la aleación. V5 Si3. en sus fases de cristalización. natural, y luego describir las conclusiones generales. En el primer capítulo, se muestra un estudio de la geometría cristalina desde la óptica de los grupos espaciales, partiendo de la descripción de los elementos de simetría, su notación y las operaciones que se desglosan a partir de los mismos, tomando como ejemplo sencillo un prisma recto. Y nalizando con los operadores de proyección.. 12.

(13) En el segundo capítulo, se comienza con una breve introducción a la teoría de rayos X como referente experimental en el estudio de la estructura cristalina, especícamente, en la distribución atómica. Luego, se introduce el modelo de Kronig-Penney, y todo lo que éste involucra, mostrando también la elaboración de bandas de energía en electrones libres. En el tercer capítulo, se abordan las soluciones aproximadas para el problema cristalino, es decir, soluciones teóricas aproximadas para la ecuación de Schroedinger en átomos multielectrónicos, considerando en detalle el modelo DFT (Density Functional Theory) y mostrando de forma breve y resumida el método CLOA (Combinación Lineal de Orbitales Atómicos); el método de variación de funciones lineales; la aproximación del electrón cuasi-libre; y el método de ondas planas ortogonalizadas OPW. Finalmente en el cuarto capítulo, se muestran las propiedades estructurales y electrónicas de cada uno de los elementos respecto a su fase de cristalización reportada, y haciendo uso de la DFT (Density Functional Theory) que implementa el software Wien2K. A nivel geométrico se verican las estructuras de cristalización más estables para cada elemento y para cada aleación, a partir del mínimo de energía respecto a la variación del volumen de las celdas elementales. Las propiedades electrónicas se estudian en función del diagrama de bandas de energía, el cual se construye a partir de la energía en puntos diferentes de la primera zona de Brillouin. Mostrando después los resultados obtenidos en consideración con los reportes teóricos y experimentales publicados en la literatura. Este trabajo representa un paso en el estudio de la física del estado sólido, y busca motivar a docentes y estudiantes a desarrollar investigaciones haciendo uso de un software computacional, ya que éste representa una herramienta ecaz a la hora de realizar cálculos numéricos en el estudio de sistemas cristalinos y además es de muy bajo costo. Los cálculos realizados en este marco, además de promover el uso de programas computacionales, generan también la necesidad de entender la estructura matemática y las teorías físicas contenidas en las mismas, permitiendo comprender las características fundamentales de los sólidos cristalinos y en esa medida generar nuevos problemas de estudio. Finalmente cabe recalcar que los contenidos desarrollados en el presente trabajo, buscan robustecer los conceptos de la Física del estado Sólido en estudiantes de pregrado en Física, Química e Ingeniería; por otra parte se quizo enfatizar en la importancia actual de la implementación de softwares, como complemento a la hora. 13.

(14) de modelar y resolver problemas de carácter cientíco y tecnológico.. 14.

(15) 1 Fundamentos Teóricos 1.1. Simetría Un signicado algo ordinario de la palabra simetría implica equilibrio, como el existente en un cuadro muy bien organizado. Sin embrago se puede ser algo mas preciso con dicho concepto al describir lo siguiente:. Simetría Bilateral: Es aquella simetría existente respecto a un plano bisector. Ej: Una silla es simétrica respecto a un plano bisector que pase por el centro del asiento y el respaldo.. Simetría Rotacional: Es aquella simetría existente cuando se rota un objeto de tal manera que este queda en una posición nal igual a la inicial. Ej: Una rueda con seis radios tiene simetría rotacional de orden seis al rededor de un eje que pase exactamente por el centro de la circunferencia y perpendicular a este.. Simetría de Reexión: Es aquella existente respecto a cualquier plano determinado por un eje.. El objeto mas simétrico que podemos imaginar es la esfera. Todo plano que pase por su centro es un plano de reexión, y todo eje que pase por su centro tiene simetría rotacional innita. La simetría de una esfera puede también expresarse en términos de la simetría de inversión. La cual consiste en situar el centro en el orígen de un sistema de coordenadas. (x, y, z), y si trazamos una línea desde ese punto a través del. centro de la esfera por su centro, debe cortar la supercie en el punto diametralmente opuesto. (−x, −y, −z). Estos dos puntos se dice que estan relacionados por medio de. simetría de inversión. Podemos notar que la inversión de una esfera por su centro, su rotación alredor de un eje, y su reexión en un plano, poseen un hecho común: el centro de la esfera permanece inalterado. Esto se llama simetría puntual [7].. 15.

(16) 1.2. GRUPOS PUNTUALES. CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 1.2. Grupos Puntuales Tomemos un prisma recto, cuyas bases son triángulos equiláteros. Este prisma posee algunas propiedades de simetría puntual. Si se toma una línea que pase por el centro de las bases; es un eje de rotación terniario. Estos ejes se designan con la letra C, y un subíndice para indicar la multiplicidad, por ejemplo rotación de. 0. 120. es equivalente a. C3 ,. indica una. alredor de dicho eje. Una segunda rotación en la misma dirección. 2400 y. se designa por. C32 ,. y una tercera aplicación de esta operación. dejaría al prisma en la posición original. Es decir, tres rotaciones consecutivas de. 1200. equivalen a dejar el prisma como estaba; esto se llama operación de identidad. E. También hay un plano de reexión paralelo a las bases superior e inferior que divide el prisma horizontalmente; este plano es llamado simetría son los planos de reexión. σh .. Otros elementos de. σ av , σ bv , σ cv , donde los índices a, b, c; distinguen los. elementos del conjunto. Por lo tanto tenemos ahora un conjunto de seis operaciones. E, C3 , C32 , σ av , σ bv , σ cv ,. y podemos hacer combinaciones entre ellas. Por ejemplo, si. 1200 , y seguida a esta una reexión σ av , el resultado σ av C3 = σ bv .. queremos hacer una rotación de se simboliza escribiendo:. Donde la primera operación indicando que. C3. C3. se escribe siempre a la derecha de la segunda. se realiza primero y. El conjunto de las seis operaciones. σ av. σ av ,. después.. E, C3 , C32 , σ av , σ bv , σ cv ,. se dice que forman un. grupo. Se dene grupo como cualquier colección de elementos que cumplen las siguientes reglas:. 1. El producto de dos elementos de la colección, es también un elemento de la colección (Ley Clausurativa).. 2. La colección debe contener una operación de unidad ó identidad (Ley Modulativa).. 3. Se cumple la ley asociativa en la multiplicación.. 4. Cada elemento posee un único inverso, que es también un miembro de la colección (Ley Inversa).. Para este grupo de seis elementos, podemos realizar una tabla de multiplicación, haciendo todos los productos posibles de dos elementos del grupo, donde la parte de. 16.

(17) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 1.2. GRUPOS PUNTUALES. arriba nos indica la primera operación, y la de la izquierda la segunda. A ésta tabla se le conoce como. Tabla de Cayley. E C3 C32 σ av σ bv σ cv. E E C3 C32 σ av σ bv σ cv. C3 C3 C32 E σ bv σ cv σ av. C32 C32 E C3 σ cv σ av σ bv. σ av σ av σ cv σ bv E C32 C3. σ bv σ bv σ av σ cv C3 E C32. σ cv σ cv σ bv σ av C32 C3 E. Cuadro 1.1: Tabla de Cayley para el grupo. C 3v. La tabla nos muestra una propiedad interesante de este grupo, los tres elementos. E, C3 , C32. también forman un grupo, este grupo se llama subgrupo, un. subgrupo. es cualquier conjunto de elementos de un grupo que también cumplen las reglas de los grupos. Podemos extender el grupo C 3v incorporándoles los elementos de simetría σh y a C2 ,C2b ,C2c , donde el subíndice 2 nos indica que son rotaciones de 1800 y el superíndice nos dice respecto a que eje se efectúa la operación. Para que del grupo (S 3 ). La También. σh. quede incluida en un grupo mayor que contenga los seis elementos. C 3v , se dene una nueva operación de simetría llamada rotación impropia 0 0 cual consiste en girar 120 y voltear la gura y se dene como S3 σh C3 . 0 2 0 se dene S3 =σh C3 , la cual cosiste en girar 240 y voltear la gura. E C3 C32 σ av σ bv σ cv σh S3 S30 C2a C2b C2c. E E C3 C32 σ av σ bv σ cv σh S3 S30 C2a C2b C2c. C3 C3 C32 E σ bv σ cv σ av S3 S30 σh C2b C2c C2a. C32 C32 E C3 σ cv σ av σ bv S30 σh S3 C2c C2a C2b. σ av σ av σ cv σ bv E C32 C3 C2a C2c C2b σh S30 S3. σ bv σ bv σ av σ cv C3 E C32 C2b C2a C2c S3 σh S30. σ cv σ cv σ bv σ av C32 C3 E C2c C2b C2a S30 S3 σh. σh σh S3 S30 C2a C2b C2c E C3 C32 σ av σ bv σ cv. S3 S3 S30 σh C2b C2c C2a C3 C32 E σ bv σ cv σ av. S30 S30 σh S3 C2c C2a C2b C32 E C3 σ cv σ av σ bv. C2a C2a C2c C2b σh S30 S3 σ av σ cv σ bv E C32 C3. Cuadro 1.2: Tabla de Cayley para el grupo. El símbolo para el grupo de 12 elementos es. 17. D3h ,. donde. D. C2b C2b C2a C2c S3 σh S30 σ bv σ av σ cv C3 E C32. C2c C2c C2b C2a S30 S3 σh σ cv σ bv σ av C32 C3 E. D3h indica la existencia de.

(18) 1.3. CLASES DE ELEMENTOS YCAPÍTULO CLASES ADJUNTAS 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS ejes diédricos. Un eje diédrico es un eje binario normal a un eje principal. C3. en este. caso. Cuando un punto es invariante, permanece quieto en las doce operaciones. Un grupo que contiene un punto invariante es un grupo puntual.. 1.3. Clases de Elementos y Clases Adjuntas Sean. P. y. Q. dos miembros de un grupo. Se dice que son miembros de una misma. clase (de elementos conjugados), si se hallan relacionados por la ecuación:. Q = X −1 P X Donde Y. X. −1. X. (1.1). puede ser cualquier miembro del grupo, incluyendo los propios. es el inverso del elemento. P. y. Q.. X. Es decir, la multiplicación de cualquier elemento. por su inverso da como resltado la identidad E. Por ejemplo:. P =C3 X =S 3 X −1 =S30 Aplicando la ecuación (1.1) tenemos que:. Q =S30 C3 S 3 Q =S30 S30 Q =C3 Procediendo de la misma manera con los demás miembros del grupo, se llega a que. Q. es. C3 , C32 ,. y a esta clase se le conoce como. demostrar fácilmente que. K1 =. E ; K3 =σ av ,. σ bv ,. σ cv ;. K2 . De tal manera que se puede K4 = σh ; K5 = S 3 , S30 ; K6 =C2a ,. C2b , C2c . Los miembros de una cierta clase son conjuntos de operaciones de simetría que están relacionadas entre sí por operaciones del grupo. Es decir,. K3. es la clase de de. planos verticales de reexión. Por otra parte, no hay operación de simetría del grupo. que convierta un plano vertical. σv ,. en un plano horizontal de reexión. σh .. Otro modo de clasicar los elementos de un grupo es en términos de una clase. adjunta. Considerando por ejemplo, el subgrupo adjunta derecha de. C3. y. σh ,. C 3v. y la operación. σh .. La clase. designada por (C3 σh ), es el conjunto de los elementos. denidos mediante la ecuación: (C3 σh )= (Eσh ,. C3 σh , C32 σh , σ av σh ,σ bv σh , σ cv σh ) (C3 σh ) = (σh , S 3 , S30 , C2a , C2b , C2c ). 18. (1.2).

(19) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 1.4. ESTUDIO DE GRUPOS PUNTUALES Análogamente se denen las clases adjuntas por la izquierda, pero generalmente se usan las de la derecha. La ecuación (1.2) muestra que el grupo descomponerse en dos partes; una , el subgrupo. C 3v ,. D3h. puede. y la otra, la clase adjunta. C3 σh . Un teorema de mucho interés es el ya conocido TEOREMA DE LAGRANGE. El cual su expresión matemática dice:. g = mh Donde. g. (1.3). es el orden del grupo, es decir, el número de elementos que contiene;. entonces el orden. D3h. de del grupo. h. de cualquier subgrupo es un factor de. es 12, así que para. C 3,. se tiene que. h=3. g . Por ejemplo, y m=4.. el orden. Es de tener en cuenta que las clases adjuntas se consideran grupos cuando contienen a. E.. 1.4. Estudio de Grupos Puntuales Se pueden enumerar los posibles grupos puntuales que impliquen rotaciones usando el método de Coxeter [7] [8]. Ya que se sabe que estos grupos dejan un punto invariante, se pueden considerar como operaciones sobre la supercie de una esfera con un centro estacionario, es decir, cualquier rotación dejará además dos puntos de la supercie inalterados. Estos puntos se llaman polos, y son las intersecciones de los ejes de rotación con la supercie. Si existe otra operación, la cual convierte éste eje en uno diferente, decimos que los nuevos polos son equivalentes a los anteriores. Tomemos como ejemplo. Los tres ejes diédricos de un prisma triangular forman polos equivalentes. Vamos a demostrar que el número de polos equivalents para cada eje de orden. n, (C n ),. es. g/n,. donde. g. es el orden del grupo.. Si tomamos un punto sobre la supercie, pero ese punto está próximo a un polo, genera un polígono de. n. lados, bajo las. n. rotaciones aplicadas al eje.. Ahora. Si suponemos que el grupo está formado por sólo rotaciones, entonces, las otras rotaciones del grupo convierten a este polígono en otros completamente idénticos alrededor de los otros polos. Las. g. rotaciones del grupo (E incluída), realizadas de cualquier manera generarán. un total de. g. puntos formando polígonos alrededor de los polos.. Como cada polígono tiene Por otro lado las. n. lados, debe haber. g/n. polígonos en total ó polos.. g −1 rotaciones (ahora excluimos E , ya que son cíclicas, la última. 19.

(20) 1.4. ESTUDIO DE GRUPOS PUNTUALES CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS posición será igual que la primera), del grupo, ahora se dividen en. n−1. n−1 por cada polo. alrededor de cada eje de orden n, ó 2 g n−1 De tal manera que hay un total de ( )( ) rotaciones distintas de 2 n. E. rotaciones. para cada. conjunto de polos equivalentes. (rotaciones por polo) X (número de polígonos o polos). Ahora, si sumamos para los polos no equivalentes, resultará el número total de rotaciones, que sabemos que es. g−1. , de modo que:. g−1=. g Xn−1 2 n. (1.4). En donde el término de la parte izquierda hace referencia al número total de rotaciones, y el de la parte derecha nos indica la cantidad de rotaciones distintas a. E. para cada conjunto de polos. Reorganizando la ecuación anterior tenemos que:. 2− Donde las cantidades. g. y. Como caso particular, si. n,. 2 X 1 = (1 − ) g n. deben ser enteros.. g = 1,signica. que el grupo debe tener un miembro (E ),. g = 2, 3, 4, ...... por lo tanto, sólo se consideran los valores Ahora, el hecho de que. (1.5). g ≥ 2,impone. la desigualdad para la parte izquierda:. 2 ≤2 g. 1≤2−. En la ecuación (1.5) para valores grandes de. (1.6). g,. se tiene que. 2 g. → 0,. lo que nos. daría que la sumatoria tienda a 2. Para. g = 1,. la sumatoria da exactamente 1.. Por lo tanto sea cual sea el valor de. g,. máximo en una cantidad menor a 2. Pero. siempre va a estar como mínimo en 1, y. g. debe ser un entero.. A su vez, ello signica, que debe haber dos pero no más de tres conjuntos de polos no equivalentes, y el término. (1 − n1 ),. es menor que 1, lo cual contradice la ecuación. (1.6). Por otra parte, 4 o más términos a la derecha de (1.5) deben sumar por lo menos. 4(1 − 21 ) = 2,. ya que. n=2. es el valor mas pequeño se puede usar.. Consideremos como primera alternativa, dos conjuntos de polos no equivalentes, entonces tenemos que:. 20.

(21) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 1.4. ESTUDIO DE GRUPOS PUNTUALES. 2−. 2 1 1 =1− +1− g n1 n2. (1.7). g g + =2 n1 n2 Como. n. y. g. son enteros, la única solución es. ponde a los grupos. C n,. donde. (1.8). n1 = n2 = g .. Esta situación corres-. n = n1 = n2 = g.. Para el caso de tres conjuntos de polos no equivalentes, se tiene que:. 2−. 2 1 1 1 =1− +1− +1− g n1 n2 n3. (1.9). 1 1 1 2 + + =1+ n1 n2 n3 g Sin perder generalidad, podemos tomar solución si. n1 = n2 = n3. n1 ≤ n2 ≤ n3 .. (1.10). La Ec. (1.10) no tiene. ó mayores de 3; al menos uno de ellos, digamos. n1 ,. debe. valer 2. Con esto la Ec. (1.10) queda:. 1 1 2 1 + = + n2 n3 2 g De donde se deduce que. n2. y. n3 no. (1.11). pueden ser ambos mayores ó iguales a 4.. Para concordar con las coclusiones anteriores , tomaremos a. n2. como 2 ó 3 y. n3. indeterminado. Entonces:. 1 1 1 2 + + =1+ n3 2 2 g. n3 =. g 2. (1.12). (1.13). n1 = 2, n2 = 2, n3 = g2 , son los grupos Diédricos Dn . Los diferentes valores de n1,2,3 son mostrados en la Tabla 1.3. No hay mas posibilidades de combinación, ya que n2 y n3 tienen que ser diferentes de 4. Los grupos resulatates denidos por. 21.

(22) 1.5. SIMETRÍA DE TRASLACIÓN CAPÍTULO Y GRUPOS 1. PUNTUALES FUNDAMENTOS TEÓRICOS n3. g. Denominación del grupo. n1. n2. 1. 1. 1. 2. 2. 2. 3. 3. 3. C1 C2 C3. .. .. .. .. .. .. .. .. n. n. n. 2. 2. 2. 4. 2. 2. 3. 6. 2. 2. 4. 8. Cn D2 D3 D4. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2. 2. n. 2n. 2. 3. 3. 12. 2. 3. 4. 24. 2. 3. 5. 60. Dn T O W. Cuadro 1.3: Enumeración de grupos puntuales propios. La entrada que sigue a. Tetraédrico. T. Dn. en la tabla, aquella en donde. . La siguiente línea corresponde al grupo. línea corresponde al grupo. W. g = 12, conduce al grupo Octaédrico O. La última. del Dodecaédro.. Cabe aclarar que los grupos enumerados en la tabla anterior sólo contienen rotaciones. Los símbolos en la última columna de la Tabla 1.3 se conocen como notación de. Schoenies.. 1.5. Simetría de Traslación y Grupos Puntuales Hasta esta instancia sólo se ha discutido la simetría de reexión; rotación alrededor de un eje; e inversión por un punto. Las cuales son las componentes de los grupos puntuales. Los signos de un punto (x, y, z ), sometido a estas operaciones se resumen en la Tabla 1.4.. 22.

(23) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 1.5. SIMETRÍA TEÓRICOS DE TRASLACIÓN Y GRUPOS PUNTUALES. Reexión en: Operación Símbolo Cambio de los signos Un punto. Inversión. Una línea. Rotación. Un plano. Reexión. El espacio. Identidad. −, −, − −, −, + −, +.+ +, +, +. J C2 σh , σv E. Cuadro 1.4: Resumen de operaciones de simetría puntual. Ahora introduciremos la traslación, que es una operación de simetría que no deja ningún punto invariante. Tomemos un punto, y a dicho punto se le puede asociar una o varias guras asimétricas y procedemos a trasladarlas cierta distancia determinada, a ésto se le conoce como red unidimensional. Pero no sólo podemos trasladar nuestro punto, también podemos aplicarles operaciones de reexión, ya sean verticales aplicarles una operación. σv. u horizontales. σh , que sería lo mismo que. C2 .. En teoría de grupos a esto se le conoce como un operador de traslación mueve la gura hacia la derecha, y. T −1. T,. el cuál. que lo mueve hacia la izquierda.. Para no tener inconvenientes con longitudes innitas, vamos a imaginar que las redes unidimensionales se hallan curvadas sobre sí mismas. Es decir, una línea recta la convertimos en una circunferencia, tal que el inicio de la cuerda coincida con el. T y T −1 son equivalentes −1 2 decir T = T ó T = E.. nal. Con esto las operaciones efecto sobre el retículo, es. ya que producen el mismo. La combinación de un grupo puntual y un grupo traslacional genera lo denominado como grupo espacial. Este estudio es muy útil en el área de la cristalografía. Ya que las operaciones de simetría en un grupo espacial son combinaciones de una traslación y un tipo puntual de simetría; se designan estas operaciones por un doble símbolo, esta notación es debida a Seitz [9]. La notación (X /. T ),. indica una combinación de una operación puntual y una. traslacional. Por lo tanto una operación de simetría puntual se indica por (X / una traslacional por (E /. T ),. y la identidad como (E /. 0),. 0).. Al igual que antes se pueden realizar tablas de Cayley para diferentes grupos con esta nueva notación. Basándonos en las operaciones anteriores, surge una operación de simetría llamada. deslizamiento. Un deslizamiento es una operación compuesta de una traslación y una reexión respecto a la dirección de traslación. Esta discusión puede generalizarse introduciendo una variación en relación a un tercer eje, es decir, permitiendo tanto elevaciones como frizos. De esta manera apa-. 23.

(24) 1.6. GRUPOS ESPACIALES DIPERIÓDICOS CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS rece una operación similar a la de deslizamiento, la cual consiste en una traslación combinada con una rotación de. 1800 alrededor del eje de traslación. Esto se denomina. eje helicoidal.. 1.6. Grupos Espaciales Diperiódicos Son aquellos en donde se aplica la simetría traslacional en dos direcciones. Lo interesante de este grupo es que es pequeño, ya que sólo hay unos pocos tipos de simetría rotacional, que son compatibles con la traslacional. esto quiere decir que no se puede llenar un espacio con cualquier gura, hay guras con las cuales no se puede lograr lo anterior. Se puede demostrar fácilmente que la simetría traslacional sólo permite cuatro tipos de simetría rotacional, correspondiendo la última a un retículo unidimensional. Una demostración de las simetrías rotacionales compatibles con una red espacial ha sido dada por Jaswon [10]. Se parte de un eje de orden. n,. el cual pasa por el orígen, y se supone que:. z = x + iy. (1.14). dene la situación de un punto de la red. Otros puntos estarán a. 2π. 4π. ze n i , ze n i ,..... Cualquiera de estos puede expresarse como. combinaciones lineales de los dos primeros. Por ejemplo:. 4π. 2π. ze n i = az + bze n i en donde. a. y. b. (1.15). son enteros. Entonces:. 4π. 2π. 4π. 2π. a = e n i + be n i. (1.16). a = e n i − be n i. (1.17). 4π 4π 2π 2π a = cos( ) + isen( ) − b cos( ) + isen( ) n n n n. (1.18). . 4π 2π 4π 2π a = cos( ) − bcos( ) + i sen( ) − bsen( ) n n n n donde el término imaginario da:. 24. (1.19).

(25) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 1.6. TEÓRICOS GRUPOS ESPACIALES DIPERIÓDICOS. bsen(. 2π 4π ) = sen( ) n n. b=. sen( 4π ) n 2π sen( n ). b = 2cos( ya que. b. (1.20). (1.21). 2π ) n. (1.22). es un entero, esto se cumple solo para valores de. n = 1, 2, 3, 4, 6.. De este. resultado, se concluye que nunca se podrá rellenar una supercie en su totalidad con una gura de 5 lados (pentágono). Si tenemos una la de puntos y la trasladamos una distancia zontal, y una distancia. a2. a1. en forma hori-. en forma oblicua, obtenemos algo llamado retículo oblicuo. (con dos subdivisiones). Las traslaciones. a1. y. a2. son conocidas como constantes del retículo.. Se puede observar que dichas constantes denen un paralelogramo arbitrario, supuesto que son desiguales en longitud y que los puntos de una la no pasan por los puntos de una la anterior o posterior. Si tenemos una disposición algo mas simétrica cuando el desplazamiento de se hace formando ángulo recto respecto a. a1 ,. a2. se obtiene la red rectangular. Está el. simple y el centrado (cada uno con cinco subdivisiones). Si tenemos que. a1 =a2. y son perpendiculares, tenemos la red cuadrada (con tres. subdivisiones). Si tenemos que las dos traslaciones son iguales y entre sí forman un ángulo de. 600 ,. la red formada es una red hexagonal.(con cinco subdivisiones). Las propiedades de estas redes planas, se resumen en la Tabla 1.6. Las primeras categorías de la tabla se denominan sistemas, sólo, un sistema contiene más de un retículo, pero en tres dimensiones casi todos los sistemas poseen varios retículos.. Nombre Oblicua Rectangular Simple Rectangular Centrada Hexagonal Cuadrada. Ángulo de la red α Constantes de la red α 6= 900 α = 900 α 6= 600 α = 600 α = 900. a1 6=a2 a1 6=a2 a1 = 2a2 cosα a1 = a2 a1 = a2. Cuadro 1.5: Las redes y los sistemas diperiódicos. 25.

(26) 1.7. GRUPOS PUNTUALES CRISTALOGRÁFICOS. CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 1.7. Grupos Puntuales Cristalográcos. Mediante el uso de polos equivalentes, sa ha desarrollado una lista de grupos puntuales. Otra solución muy común, implica el uso de estereogramas. Se ha visto que la simetría traslacional permita simetría rotacional de orden dos, tres, cuatro y seis. Denominaremos cristal, una disposición regular de átomos. Por lo tanto, los grupos puntuales limitados por los cuatro tipos de simetría rotacional se conocen como. grupos puntuales cristalográcos ó clases cristalinas, de las cuales hay 32 en total. Esto se puede lograr mediante el uso de estereogramas. Los cuales son de gran uso en el campo de la cristalografía. Un ejemplo de un estereograma es el mostrado en la gura.. Figura 1.1: Estereograma [11]. Un estereograma según Falicov [11], consiste en una esfera con un plano ecuatorial y un punto arbitrario en el hemisferio superior. La proyección estereográca del punto es la intersección de la línea que va del punto al polo sur con el plano ecuatorial.. 1.8. Celdas Unitarias y Redes de Bravais Ahora abordaremos el problema de desarrollar los grupos traslacionales tridimensionales. Estos se conocen como retículos de Bravais, y hay 14 de estos [12].. 26.

(27) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 1.8. CELDAS TEÓRICOS UNITARIAS Y REDES DE BRAVAIS. Figura 1.2: Las 14 redes de Bravais. [12]. Antes de empezar a explicar es bueno tener claro las siguientes deniciones:. CELDA UNITARIA: Es aquella región del cristal que está denida por tres → → → vectores a1 , a2 , a3 , los cuales, si se trasladan un múltiplo entero de los vectores, reproduce una región similar del cristal.. VECTORES BASE: Es el conjunto de vectores linealmente independientes → → a2 , a3 , que se usan para denir la celda unitaria.. →. a1 ,. CELDA UNITARIA PRIMITIVA: Es la celda mas pequeña en volumen que se puede denir para una red dada.. VECTORES BASE PRIMITIVOS: Es el conjunto de vectores linealmente independientes que denen una celda unitaria primitiva. Si empezamos por un retículo plano oblicuo, podemos desplazarlo paralelamente a → sí mismo una distancia a3 , repetida una dirección arbitraria y crear una estructura 3D. Este retículo es llamado retículo triclínico. Si queremos obtener un retículo de mayor simetría, se pueden disponer la segunda y tercera capa de modo que todos los puntos caigan sobre perpendiculares que pasen por los puntos del retículo original; esto genera la red monocíclica simple. Y si se coloca la segunda capa (y las siguientes alternadas), sobre los puntos medios de los lados opuestos, se obtiene el retículo monoclínico centrado en la base.. 27.

(28) 1.8. CELDAS UNITARIAS Y REDES CAPÍTULO DE BRAVAIS 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS Los tres grupos traslacionales creados hasta el momento son derivados del retículo oblicuo. Si pasamos ahora a una red rectangular simple, una traslación arbitraria perpendicular a sí misma produce la red ortorómbica simple. Si la colocamos alternadamente sobre los centros de los lados ó el centro de los rectángulos se genera la red ortoróm-. bia centrada en el espacio. También existe la red ortorómbica centrada en las caras, y la red ortorómbica centrada en las bases. Los retículos cuadrados pueden repetirse a distancias perpendiculares diferentes a los lados del cuadrado, y así obtener las dos estructuras tetragonales, las cuales se denominan, tetragonal simple, y tetragonal centrada en el espacio. Finalmente están las estructuras hexagonales. Si una serie de mallas planas hexagonales se colocan una encima de la otra, producen respctivamente la red trigonal. simple, ó la hexagonal. Estas últimas celdas unitarias, poseen simetría senaria (orden seis). La gura 1.3, muestra las redes de Bravais o grupos espaciales traslacionales divididos en siete categorías que se conocen como sistemas cristálinos.. Figura 1.3: Los 7 sistemas cristalinos, según su jerarquía simétrica. La anterior gura se puede explicar de la siguiente forma. Si tomamos un cubo y lo distorsionamos separando dos caras opuestas, obtenemos la estructura tetragonal. Si presionamos sobre dos de las aristas largas opuestas, se obtiene una gura de bases rómbicas. Tres de estas guras pueden colocarse juntas para formar la estructura trigonal y seis dan la estrucutra hexagonal. Si alargamos la celda unidad tetragonal en una nueva dirección, genera la red ortorómbica y si presionamos dos lados opuestos se produce la estructura monoclínica, y una segunda presión genera la forma triclínica. Las propiedades geométricas de los sistemas cristalinos se resumen en la siguiente. 28.

(29) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 1.8. CELDAS TEÓRICOS UNITARIAS Y REDES DE BRAVAIS tabla, especicando las aristas y los ángulos de la celda unidad.. Sistema. Retículo de Bravais Geometría de la celda. 1.Triclínico. 1. Simple. 2.Monoclínico. 2. Simple. a1 6= a2 6= a3 α1 6= α2 6= α3 a1 6= a2 6= a3 α1 = α2 = 900 6= α3 a1 6= a2 6= a3 α1 = α2 = α3 =900. 3. Centrado 3.Ortorómbico. 4. Simple 5. Centrado bases 6. Centrado espacio 7. Centrado caras. 4.Tetragonal. a1 = a2 6= a3 α1 = α2 = α3 =900 a1 = a2 = a3 α1 = α2 = α3 =900. 8. Simple 9. Centrado espacio. 5.Cúbico. 10. Simple 11. Centrado caras 12. Centrado espacio ∗ 13. Simple. 6.Trigonal. 14. Romboédrico 7.Hexagonal. 15. Simple. ∗. a1 = a2 6= a3 α1 = α2 = 900 ;α3 =1200 a1 = a2 = a3 0 120 >α1 = α2 = α3 6=900 a1 = a2 6= a3 α1 = α2 =900 ; α3 = 1200. Cuadro 1.6: Redes de Bravais y sistemas cristalinos. (*) Retículos idénticos. Todo sistema está denido en términos de la simetría mínima de los grupos que lo generan. Estas propiedades se muestran en la tabla 1.7:. Sistema. Elemento característico de la simetría mínima. Triclínica. Ninguna. Monoclínica. Un eje de rotación doble (binario). Ortorómbica. Tres ejes de rotación dobles, mutuamente perpendiculares. Tetragonal. Un eje de rotación cuádruple. Cúbica. Cuatro ejes de rotación triple (diagonales cubicas). Trigonal. Un eje de rotación triple. Hexagonal. Un eje de rotación séxtuple (senario). Cuadro 1.7: Deniciones de los sistemas cristalinos. El sistema producido al adicionar operaciones compuestas a cada grupo puntual se indica en la Tabla 1.8, el cual también se puede resumir en tres tipos de notaciones.. 29.

(30) 1.8. CELDAS UNITARIAS Y REDES CAPÍTULO DE BRAVAIS 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. Sistema Triclínico. Monoclínico. Ortorómbico. Símbolo internacional ó de Hermann-Mauguin Símbolo Schonies Completo Abreviado C1. 1 −. 1 −. Ci ó S2 C1h C2 C2h C2v D2 D2h C4. 1 m. 1 m. 2. 2. 2/m. 2/m. 2mm. mm. 222 2 2 2 mmm 4 −. 222. S4 C4h Tetragonal. D2d C4v D4 D4h T Th. Cúbico. Trigonal. Td O Oh C3. C3h C6h Hexagonal. 4. 4 m. 4 m. − 4 2m. − 4 2m. 4mm. 4mm. 422 4 2 2 mmm 23 − 2 3 m −. 42 4 mmm 23. 432 4 2 3 m m 3 −. D3d C6. D3h C6v D6 D6h. m3 −. 43m 432. m3m 3 −. 3 3m. 3 3m. 32 − 3 m2 6 − 6 ó m3 6 m − 6m2. 32 −. 3m 6. −. 6ó −. 6 m. 3 m. 6mm. 6m2 6mm. 622 6 2 3 mmm. 62 6 mmm. Cuadro 1.8: 32 puntos puntuales cristalográcos. 30. 4 −. 4. 43m. C 3i ó S6 C3v D3. mmm.

(31) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 1.9. GRUPOS ESPACIALES. 1.9. Grupos Espaciales Se ha visto que hay 14 grupos traslacionales tridimensionales o redes de Bravais, una de las cuales aparece dos veces en la Tabla 1.6. Hacia 1980 se descubrió independientemente por Schoenies en Alemania, Federov en Rusia y Berlow en Inglaterra que en realidad hay 230 grupos espaciales, es decir, 230 modos de distribuir átomos ó grupos de átomos para formar cristales. Hay 73 grupos simples ó simórcos y 157. no simórcos. Ya hemos visto que los grupos espaciales se generan por combinación de las operaciones de simetría y las operaciones de traslación de los grupos traslacionales para formar operaciones compuestas que tienen la forma (X /. T ). Hay ocasiones en la que. esto simplemente reproduce un grupo de átomos y formar una disposición espacial regular, deniendo de este modo la red. Otras veces, el grupo de átomos se reproduce de forma periódica pero con la orientación cambiada, y así hay dos posibilidades. Una es un plano con deslizamiento, y una reexión en ese plano. La otra es un eje. helicoidal, el cual consiste en un desplazamiento en una dirección determinada y una 0 rotación (180 ,. 1200 ,900 ,. ó. 600 ). alrededor de la dirección de desplazamiento [13].. Figura 1.4: Eje helicoidal [13]. 31 , la a a la derecha combinado con una traslación de , donde a 3. La notación internacional para un eje con giro a la derecha (dextrógiro), es cual indica un giro de. 0. 120. es el espacio reticular. De manera similar se designa de. 0. 120. 32 ,. una rotación a la izquierda. (levógiro). La combinación de los planos con deslizamiento y ejes helicoidales. es la que produce los 157 grupos espaciales no simórcos. También se da el caso en que el desplazamiento se da en un eje diferente a los ejes de coordenadas. x, y, z,. este se conoce como desplazamiento diagonal.. 31.

(32) 1.10. TEORÍA DE GRUPOS Y GRUPOS CAPÍTULO ESPACIALES 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 1.10. Teoría de Grupos y Grupos Espaciales Para aclarar algunas de las ideas, vamos a mostrar como ampliar la utilidad de la notación de Seitz. El símbolo (X /T ), decribe una rotación, reexión ó inversión → X, y una traslación T . Ahora, las simetrías puntuales operan sobre un vector r , y →, lo convierten en r . Si seguidamente ocurre una traslación T, que corresponde a un → →, →,, vector t , entonces r se convierte en r , donde:. →. →. r, = X r →. →. →. (1.23). →. →. r ,, = r , + t = X r + t Ahora, si pasamos de. →. r. a. →,,. r. (1.24). en orden inverso, se obtiene:. →. →. →. r ,, = r + t →. →. →. (1.25). →. →. r ,, = X( r + t ) = X r + X t. (1.26). →. →. →. r ,, , en (1.24) y en (1.26), son idénticos únicamente si X t = t ó X = E. Por lo tanto en tres dimensiones, se dene el símbolo (X /T ) por (1.24); es decir, se debe estipular que X se realiza primero. Ahora, si suponemos dos operaciones sucesivas (X1 /T1 ) y (X2 /T2 ), se tiene que: Los vectores. →. →. →. (X2 /T2 )(X1 /T1 ) r = (X2 /T2 )(X1 r + t1 ) →. →. →. (1.27). →. (X2 /T2 )(X1 /T1 ) r = X2 (X1 r + t1 ) + t2 →. →. →. (1.28). →. (X2 /T2 )(X1 /T1 ) r = X2 X1 r + (X2 t1 + t2 ) El término entre paréntesis es una traslación obtenida mediante. (1.29). T1 , X2. y. T2. su-. cesivamente, de tal manera que (1.29) es equivalente a:. (X2 /T2 )(X1 /T1 ) = (X2 X1 /X2 T1 + T2 ) Se puede usar (1.30) para hallar una expresión para la inversión operación. (X/T ),. donde:. 32. (1.30). (X/T )−1. de la.

(33) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 1.10. TEORÍA TEÓRICOS DE GRUPOS Y GRUPOS ESPACIALES. (X/T )−1 (X/T ) = (X/T )(X/T )−1 = (E/0) Supongamos ahora que los elementos de. (X/T )−1. son. W. y. S. (1.31) respectivamente, de. manera que:. (X/T )−1 = (W/S). (1.32). (W/S)(X/T ) = (E/0). (1.33). Así, tenemos que:. Debido a (1.30), La expresión anterior se convierte en:. (W X/W T + S) = 0 De lo cual podemos deducir que. W = X −1 ,. y. W S = E,. S = −W T = −X −1 T .. y. (1.34). W T + S = 0.. Lo que conlleva a que. Para obtener nalmente:. −1 −1 (X/T )−1 = (X |{z}/−X | {z T}) W. (1.35). S. La gura 1.5, muestra un retículo rectangular, y se la aplican las condiciones. 2 cíclicas límites de Born-Von Karman en dos direcciones. Es decir, se toman Tx =E → → 2 y también Ty = E . Que en forma vectorial toma la forma a1 + a1 = 0 , y también → → a2 + a2 = 0. Figura 1.5: Vectores primitivos de una red rectangular. Por lo tanto, si tenemos dos traslaciones tales como combinan para formar:. 33. (E/Tx ). y. (E/Ty ),. estas se.

(34) 1.11. REPRESENTACIÓN DE UNCAPÍTULO GRUPO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. (E/Ty )(E/Tx ) = (E/ETx + Ty ) = (E/Tx + Ty ) Y. Tx. seguida de. (E/Tx + Ty ). (1.36). daría como resultado:. (E/Tx + Ty )(E/Tx ) = (E/ETx + Tx Ty ). (1.37). (E/Tx + Ty )(E/Tx ) = (E/Ty ). (1.38). También existen productos de la forma. XT , los cuales son necesarios conocer para. la elaboración de tablas de Cayley, ya sea de grupos traslacionales diperiódicos, ó para un grupo espacial diperiódico [7]. Estos productos son. σx σy = C2 ,. y también. σx Tx = Tx ,. así como. σx Ty = −Ty .. 1.11. Representación de un Grupo En las secciones anteriores, vimos como generar un grupo mediante la combinación. E , rotaciones como C3 , y reexiones como a σv y formando todas las combinaciones posibles, se obtuvo el resto del grupo C3v . de operaciones, tales como la identidad. Otra forma de crear un grupo es expresar cada operación de simetría en forma de matriz. Para ver como se hace, consideremos el vector. → r cuyo punto inicial es el orígen, y. punto nal es (x1 , y1 ), formando un ángulo ϕ respecto al eje de las x. Si rotamos → r alrededor del orígen un ángulo θ, de modo que su extremo se mueva a (x2 , y2 ), las coordenadas de la antigua posición y la nueva del punto extremo estarán relacionadas por: Sabemos que:. cos(θ + ϕ) = cosθcosϕ − senθsenϕ. (1.39). sen(θ + ϕ) = senθcosϕ + senϕcosθ. (1.40). 34.

(35) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 1.11. REPRESENTACIÓN DE UN GRUPO. Figura 1.6: Cálculo para la matriz de rotación. Pero de la gura 1.6 se puede fácilmente observar que. cos(θ + ϕ) =. x2 ; r. sen(θ + ϕ) =. senϕ =. y1 ; r. cosϕ =. x1 ; r. y2 . r. Si se reemplazan los cuatro datos anteriores en (1.39) y (1.40), tenemos que:. Ya que la magnitud r de. x2 = x1 cosθ − y1 senθ. (1.41). y2 = x1 senθ − y1 cosθ. (1.42). →. r,. las ecuaciones (1.39), (1.40), (1.41) y (1.42) son. iguales, en éste caso, las ecuaciones (1.41) y (1.42) en forma matricial se expresan de la forma:. x2 y2. ! =. Ahora, cosideremos un punto. P1. cosθ −senθ senθ cosθ. !. de coordenadas. línea OR, tal como muestra la gura 1.7:. 35. x1 y1. !. (x1 , y1 ),. (1.43). a una distancia. d. de la.

(36) 1.11. REPRESENTACIÓN DE UNCAPÍTULO GRUPO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. Figura 1.7: Cálculo para la matriz de reexión. P2 (x2 , y2 ). Sea. la reexión de. P1. en la misma línea. Sabemos en base al dibujo. que es lo mismo que si rotaramos el plano transforma en el plano. , ,. ”x y ”.. ”xy”. un ángulo. φ;. por lo tanto este se. Por lo tanto se tiene que las coordenadas de. P1. y. P2. se relacionan mediante:. x2 = x1 + 2dsenφ. (1.44). y2 = y1 − 2dcosφ. (1.45). De donde se tiene que:. x2 y2. ! =. cos2φ sen2φ sen2φ −cos2φ. !. x1 y1. ! (1.46). La anterior ecuación muestra el resultado de la relación entre las coordenadas y. P2 .. P1. Esta se conoce como matriz de reexión.. Podemos hallar de forma explícita las matrices que corresponden al grupo mediante las ecuaciones (1.43) y (1.46). La identidad. 0. θ=0 ,. de tal manera que. cosθ = 1,. y. E=. E,. C3v. es igual a una rotación de. senθ = 0. 1 0 0 1. 36. ! (1.47).

(37) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 1.11. REPRESENTACIÓN DE UN GRUPO Para. θ = 1200. √ se tiene que. senθ =. 3 , y 2. cosθ = − 21 , √. C3 = Para identicar el ángulo. φ. dando como resultado:. !. − 12 − 23 √ 3 − 12 2. (1.48). asociado con cada una de las operaciones. σva , σvb , σvc ,. debemos suponer los ejes sobre el prisma de la gura 1.8.. Figura 1.8: Prisma perteneciente al grupo. C3v. De la gura 1.8, se tiene que: Para. σva , φ = 900. Para. σvb , φ = 1200. Para. σvc , φ = 3300. Por lo tanto las matrices son:. σva =. σvb =. σvc = Para el grupo. C32 ,. !. −1 0 0 1 1 √2 3 2 1 2√ − 23. sería una rotación de. √. 3 2 − 12 √. !. − 23 − 21. 2400. 37. (1.49). (1.50). ! (1.51). a partir de A. De (43) tenemos que.

(38) 1.11. REPRESENTACIÓN DE UNCAPÍTULO GRUPO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS dicha matriz viene dada entonces por:. − 12 √ − 23. C32 =. De manera análoga se puede comprobar que. √. 3 2 − 12. ! (1.52). σva = C3 σvb. tal como lo indica la tabla. de Cayley: Cualquier conjunto de cantidades que cumplan la tabla de Cayley de un grupo se le conoce como representación de un grupo. Las matrices (1.47) a (1.52) forman una representación bidimensional. Una representación unidimensional inmediata es:. E = 1, C3 = 1, C32 = 1, σva = 1, σvb = 1, σvc = 1. (1.53). La anterior se le conoce como una representación inexacta y es de gran importancia. Otra, un poco más exacta, es:. E = 1, C3 = 1, C32 = 1, σva = −1, σvb = −1, σvc = −1 La representación (1.52), se deigna como (1.47) a (1.52), se designan como. Γ3.. (1.54). Γ1 , y la de (1.53) como Γ2 , y las matrices. Las tres representaciones se muestran en la. Tabla 1.9:. Γ1. Γ2. E. 1. 1. C3. 1. 1. C32. 1. 1. σva. 1. -1. σvb σvc. 1. 1. Γ3 1 0 0 1 √ ! 3 1 − − 2 √2 3 − 12 2 √ ! 3 −√12 2 − 3 − 12 2 −1 0 0 1 ! 1 √2 3 2 1 2√ − 23. -1. -1. √. 3 2 − 21 √. − 23 − 12. !. Cuadro 1.9: Representaciones irreductibles de. C3v. Es posible también obtener representaciones más altas. Supongamos que se es-. 38.

(39) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 1.11. REPRESENTACIÓN DE UN GRUPO pecifícan las posiciones de los vértices de un triángulo equilátero, mediante seis → → → coordenadas r1 , r2 , r3 , α1 , α2 , α3 ; tal como muestra la Figura 1.9.. Figura 1.9: Triángulo para la base de dimensión 6. Las anteriores operaciones de simetría pueden representarse por matrices 6x6, y → las coordenadas ri y αi (i = 1, 2, 3), se dice que forman una base para esta representación. Por ejemplo, el efecto de. σvb. (reexión sobre la línea OB), se describe. como:.            |. 0 0 1 0 0 0. 0 1 0 0 0 0. 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 {z σvb. 0 0 0 0 1 0. 0 0 0 1 0 0.           . r1 r2 r3 α1 α2 α3. . .           =        . r3 r2 r1 α3 α2 α1.           . (1.55). }. De manera similar se pueden vericar las seis matrices en la Tabla de representación del grupo y así formar la representación. Γ4 (σvb ). , etc.., y se muestran a continuación:. 39. Γ4 .. Las matrices. Γ4. se denotan como.

(40) 1.11. REPRESENTACIÓN DE UNCAPÍTULO GRUPO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS . 1  0   0 E =  0   0 0 0  1   0 2 C3 =  0   0  0 0  0   1 b σv =  0   0 0. 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0. 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0. 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0.  0 0   0   0   0  1  0 0   0   1   0  0 0 0   0   1   0  0. . 0  0   1 C3 =   0   0  0 1  0   0 a σv =  0   0  0 0  1   0 c σv =  0   0 0. 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0. 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0. 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0. 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0. Cuadro 1.10: Una representación reducible para.  0 0   0   0   1  0 0 0   0   0   1  0 0 0   0   0   0  1. C3v. Se puede obtener otra representación 6x6, la cual es la representación regular. Para obtenerla, se vuelve a escribir la tabla de Cayley para el grupo. C3v ,. de tal. manera que las primeras operaciones estén en el mismo orden, pero las segundas estén ordenadas para que sean las inversas de las primeras operaciones, es decir:. E C32 C3 σ av σ bv σ cv. E E C32 C3 σ av σ bv σ cv. C3 C3 E C32 σ bv σ cv σ av. C32 C32 C3 E σ cv σ av σ bv. σ av σ av σ bv σ cv E C32 C3. σ bv σ bv σ cv σ av C3 E C32. σ cv σ cv σ av σ bv C32 C3 E. Cuadro 1.11: Representación regular de. C3v. Mas adelante se empleará la representación regular para determinar propiedades importantes y generales de las representaciones.. 40.

(41) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 1.12. REPRESENTACIÓN TEÓRICOS REDUCIBLE E IRREDUCIBLE. 1.12. Representación Reducible e Irreducible Retomando la Figura 1.7, consideremos el hecho de una operación arbitraria A → → sobre r , que ahora vamos a denominar r1 para conveniencia. Supongamos que la → → matriz A convierte a r1 en r2 mediante una reexión, rotación ó inversión, de modo que:. →. →. r2 = Ar1 →. r1 , podemos girar el sistema de coordenadas θ, mediante una operación Θ. Figura 1.10.. En lugar de hacer una operación sobre XOY alrededor de O un ángulo. (1.56). Figura 1.10: Transformación de coordenadas. Ya que. →. r1. sistemas son. pemanece inalterado por esta operación, sus coordenadas en los dos. (X, Y ). y. (X ´, Y ´),. de modo que se simboliza la relación entre las dos. coordenadas mediante:. →. →. r1 = Θr10. (1.57). lo cual es equivalente a:. x y. ! =. cosθ −senθ senθ cosθ. La Ecuación (1.58) indíca que la matriz. Θ,. !. x0 y0. ! (1.58). correspondiente a una rotación de. coordenadas, es idéntica a la matriz (1.43) que representa la rotación de un vector para un mismo ángulo. La rotación de OXY afecta al vector. →. r2. teniendo que:. 41. de (1.56) de la misma manera que a. →. r1 ,.

(42) 1.12. REPRESENTACIÓN REDUCIBLE CAPÍTULO E IRREDUCIBLE 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. →. →. r2 = Θr20. (1.59). como en (1.57). Ahora, sustituyendo (1.57) y (1.59) en (1.56), tenemos que:. →. →. r2 = Ar1. →. →. r2 = AΘr10 →. →. Θr2, = AΘr10 →. →. 0 r20 = |Θ−1 {zAΘ} r1. (1.60). A´. →. No obstante,. r10. →. y. r20 tienen. que estar relacionados por la misma operación de → → → → 0 simetría que r1 y r2 , por lo tanto r1 no es mas que r1 , expresado en un sistema de coordenadas distinto. Por lo tanto:. →. →. r20 = A0 r10 Donde. (1.61). A0 es la matriz correspondiente a A en X 0 O0 Y 0 . Comparando (1.60) y (1.61). se tiene que:. A0 = Θ−1 AΘ. (1.62). La ecuación anterior dene una transformación de semejanza; y nos dice el modo de expresar de nuevo la matriz de una operación en un determinado sistema de coordenadas cuando el sistema se gira. El resultado (1.62), se aplica a una orientación cualquiera. Consideremos una transformación de semejanza sobre una de las matrices de la Tabla 1.10; tomemos La matriz. Θ. σvc. como ejemplo.. se elige por conveniencia de la forma:. 42.

(43) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 1.12. REPRESENTACIÓN TEÓRICOS REDUCIBLE E IRREDUCIBLE. . √1 3 √1 3 √1 3.      Θ=  0    0 0 Para hallar. Θ−1. 0. 0. 0. . 0. 0. 0. − √23. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. √1 2 √ − 12. √1 6 √1 6 √. 0. 0. √1 3 √1 3 √1 3.          . √1 2 √ − 12. √1 6 √1 6 √. 0. 0. − √23. (1.63). se utiliza el teorema de la teoría de matrices:. A−1 =. Aji (−1)i+j det. (1.64). Sin embargo, se puede suponer que:. Θ−1 = ΘT. (1.65). Una matriz que cumple lo anterior se dice que es ortogonal. Por ejemplo la la 3 de. Θ. cuando se usa en un producto escalar consigo misma da:. ! √ 1 2 √ +0− √ +0+0+0 3 3. ! √ 1 2 √ +0− √ +0+0+0 =1 3 3. mientras que la la 1 con la 2 (u otra) siempre se anulan. Lo anterior nos lleva a sospechar que. Θ es una matriz formada a partir de un conjunto de 6 vectores unita-. rios que son autovectores mutuamente ortogonales en un espacio de 6 dimensiones. Realizando una transformación semejante con. Θ. sobre. Γ4 (σvc ). con (1.62) tenemos. que:. Γ04 (σvc ) = Θ−1 Γ4 (σvc ) Θ. (1.66). ó también:.       0 c Γ4 (σv ) =     . 1 0 0 0 0 0. 0. 0. − 3 2. √ − 3 2 − 12. 0 0 0. 0 0 0. 1 2 √. 0 0 0 1 0 0. 0 0 0 0 1 2 √ − 3 2. 0 0 0 0. √ − 3 2 − 12.           . (1.67). Con base en los números en rojo y en la Tabla 1.9; se observa que esta matriz. 43.

(44) 1.13. SISTEMA DE CARACTERES CAPÍTULO Ó TRAZA1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS posee la forma:.             Γ04 (σvc ) =           . Γ1 (σvc ). 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. Γ3 (σvc ) 0 0. 0. 0. 0. 0. 0. Γ1 (σvc ) 0. 0. 0 Γ3 (σvc ). 0. y. 0. 0. 0.                       . (1.68). 0. donde. Γ1 (σvc ) es un bloque 1x1 el cual aparece dos veces sobre la diagonal principal,. Γ3 (σvc ). es un bloque 2x2 que posee la misma propiedad.. La matriz ción. Γ4 (σvc ) se dice que está reducida.. Por lo tanto se dice que la representa-. Γ4 (σvc ) es reductible. Es fácil comprobar que la misma matriz Θ y su inversa Θ−1. transforman todas las matrices 6x6 de la Tabla 1.10 en las correspodientes formas reducidas. En cambio, una transformación de semejanza no es posible que convierta de manera simultánea todas las matrices. Γ3. a formas diagonales, de modo que. Γ3. es una. representación irreductible. Por lo tanto cualquier representación unidimensional es. irreductible.. 1.13. Sistema de Caracteres ó Traza Algo sumamente importante de una representación compuesta por una serie de matrices es la traza ó carácter de cada matriz. (la traza es la suma de los elementos de la diagonal mayor). El conjunto de caracteres para las representaciones de un grupo dado se denomina el sistema de caracteres. La Tabla 1.12 muestra el sistema de caracteres para el grupo. C3v .. 44.

(45) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS1.13. TEÓRICOS SISTEMA DE CARACTERES Ó TRAZA Γ1 Γ2 Γ3 Γ4. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. -1. -1. -1. 2. -1. -1. 0. 0. 0. 6. 0. E. C3. 0 C32. 2 σva. 2 σvb. 2 σvc. Cuadro 1.12: Caracteres de las matrices de. C3v. Se observa que los caracteres para cualquier elemento de una clase dada son los. K1 = E , la clase K2 = C3 , C32 y la clase K3 =σva , σvb , σvc . Denotando por el símbolo χ, se observa por ejemplo, que los caracteres para Γ3. mismos. La clase los caracteres. son (ver Tabla 1.9):. χ3 (E) = 1 + 1 = 2 1 1 χ3 (C3 ) = χ3 (C32 ) = − − 2 2 χ3 (σva ) = −1 + 1 = 0 χ3 (σvb ) = χ3 (σvc ) =. 1 1 − =0 2 2. De manera similar se pude hacer para los demas representaciones. Γ.. Por lo tanto. la Tabla 1.12 se puede resumir en la Tabla 1.13.. 1. C3, C32 1 1. 2. -1. 6. 0. E Γ1 Γ2 Γ3 Γ4. 1. σva , σvb , σvc 1 -1. 0 2. Cuadro 1.13: El sistema de caracteres para el grupo. C3v. La tabla anterior muestra un aspecto muy importante de (1.68). Cuando. Γ4. se re-. dujo mediante el método de (1.66), se observó que las matrices resultantes contenían. Γ1 y Γ3. dos veces cada una, mientras que. Si llamamos a estas multiplicidades. Γ2. n1 , n2. no aparecía. y. n3 ,. tenemos que los valores son de:. n1 = 2, n2 = 0, n3 = 2. 45. (1.69).

(46) 1.14. CÁLCULO DE TABLAS DECAPÍTULO CARACTERES 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS Estos valores pueden predecirse mediante el siguiente teorema:. P nk =. χ(R)χk (R). R. (1.70). g. nk (k = 1, 2, 3) son los números en (1.69), χ(R) es el caracter para la matriz R en la representación reductible (Γ4 en este caso), los χk (R) son los caracteres en las representaciones irreducibles y g es el número de elementos del grupo. donde. Ya que. n1 =. g = 6,. la aplicación de (1.70) a. Γ1. nos conduce a:. χ(E)χ1 (E) + χ(C3 )χ1 (C3 ) + χ(C32 )χ1 (C32 ) + χ(σva )χ1 (σva ) + χ(σvb )χ1 (σvb ) + χ(σvc )χ1 (σvc ) 6. n1 =. 6(1) + 0(1) + 0(1) + 2(1) + 2(1) + 2(1) =2 6. De manera similar se pueden obtener los resultados de. n2 = 0,. (1.71). y. n3 = 2.. Otro resultado muy importante es:. X. d2k = g. (1.72). k Aquí,. dk. k, y g es el 1 + 1 + 22 = 6. Se. es la dimensión de la representación irreductible número. orden del grupo. Para el presente ejemplo (Γ1 ) se tiene que. 2. 2. puede ver que la relación corresponde a la de la Tabla 1.9. Por lo tanto existen tres representaciones irreductibles para el grupo. d3 = 2,. C3v ,. con dimensiones. d1 = 1; d2 = 1;. y. cumpliendose de esta forma lo que dice (1.72).. 1.14. Cálculo de Tablas de Caracteres Los caracteres de la Tabla 1.13 se calcularon sumando los elementos de la diagonal principal de las matrices de las Tablas 1.9 y 1.10. Si se quiere hallar las matrices para todos los grupos puntuales, es un procedimiento bastante tedioso. Por esto, vamos a calcular el sistema de caracteres en forma directa desde la tabla de Cayley. Escribamos entonces las tres clases. E C32. C3 σva. σvb. 46. σvc.

(47) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 1.14. TEÓRICOS CÁLCULO DE TABLAS DE CARACTERES Ci. llamemos a. la suma de clases, entonces tenemos que:.    C1 = E C2 = C3 + C32   C3 = σva + σvb + σvc. (1.73). De lo anterior se puede observar que:.  2 a b c   C2 C3 = (C3 C3 )(σv + σv + σv ) C2 C3 = σvb + σvc + σva + σvb + σvc + σva   C3 C2 = 2C3. (1.74). Es decir, el producto de dos sumas de clases cualquiera es de la forma:. CA CB =. X CAB,M CM. (1.75). M En donde para este ejemplo se tiene que:. A = 2, D3. Ahora, sea. B = 3,. M = 3,. CAB,M = C23,3 = 2. la represenatación de la suma de la clase. C3. derivada de. decir que:. D3 = σva + σvb + σvc. D3 =. −1 0 0 1. !. √. − 23 − 21. 1 √2 3 2. +. !. √. 3 2 − 21. 1 √2 3 2. +. ! =. 0 0 0 0. de manera similar se tiene que:. D2 = C3 + C32. D2 =. − 21 √. 3 2. √. − 23 − 21. !. − 12. +. √. 3 2. √. 3 2 − 12. ! =. Del mismo modo:. D1 = E =. 47. 1 0 0 1. !. −1 0 0 −1. !. !. Γ3 .. Es.