TEMA 5.- Cinemática
ÍNDICE GENERAL
0.- Herramientas matemáticas de la Física.
0.1.- Álgebra: ecuación de 2º grado y sistemas de ecuaciones.
0.2.- Trigonometría: razones trigonométricas.
0.3.- Geometría.
0.3.1.- Teorema de Pitágoras.
0.3.2.- Ecuación de la recta.
0.3.3.- Ecuación de la parábola.
0.4.- Magnitudes escalares y vectoriales.
0.4.1.- Concepto de vector. Representación gráfica en el espacio.
0.4.2.- Operaciones con vectores.
1.- El movimiento.
1.1.- Punto material.
1.2.- Sistema de referencia.
1.3.- Posición.
1.4.- Trayectoria y desplazamiento.
1.5.- Definición de movimiento. Carácter relativo del movimiento.
2.- Magnitudes que describen el movimiento.
2.1.- Tiempo.
2.2.- Vector de posición. Ecuación del movimiento.
2.3.- Velocidad.
2.3.1.- Concepto y unidades.
2.3.2.- Tipos: velocidad media y velocidad instantánea.
2.4.- Aceleración.
2.4.1.- Concepto y unidades.
2.4.2.- Tipos: aceleración media y aceleración instantánea.
3.- Tipos de movimiento.
3.1.- Movimiento rectilíneo uniforme (MRU): ecuación y representaciones gráficas.
3.2.- Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA): ecuación y representacio
nes gráficas.
3.2.1.- Movimiento vertical.
3.3.- Movimiento circular uniforme (MCU): magnitudes características.
0.- HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA.
Las leyes de la Física y de la Química se expresan mediante ecuaciones o fórmulas matemáticas. Ello se debe a que el lenguaje matemático es:
• Universal, pues es común para todos los científicos del mundo.
En este apartado veremos algunos de los conceptos matemáticos más importantes que son de aplica-ción directa en la Física (y también en la Química), y cuya comprensión es imprescindible para poder enten-der estas ciencias.
0.1.- ÁLGEBRA: ECUACIÓN DE 2º GRADO Y SISTEMAS DE ECUACIONES.
Al resolver la ecuación ax2 + bx + c pueden darse 3 casos, dependiendo del valor que tome el discri
-minante
Δ =b2−4ac
• Si b2 – 4ac < 0 ⇒ la ecuación no tiene soluciones reales.
• Si b2 – 4ac = 0 ⇒ la ecuación tiene una solución doble:
x= − b 2a
• Si b2 – 4ac > 0 ⇒ la ecuación tiene dos soluciones reales:
x=−b±
√
b2
−4ac 2a
Las soluciones matemáticas de una ecuación no siempre tienen sentido físico. Un ejemplo es la variable tiempo: un valor negativo no es una solución válida desde el punto de vista físico.
0.2.- TRIGONOMETRÍA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.
El término “trigonometría” procede de los términos griegos trigono y metro, que juntos significan “medidas en un triángulo”. Así, en un triángulo rectángulo podemos de-finir las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de un ángulo α:
senα = cateto opuesto hipotenusa =
b a
cosα =cateto contiguo o adyacente
hipotenusa =
c a
tg α = cateto opuesto
cateto contiguo o adyacente = sen α cosα =
b c
0.3.- GEOMETRÍA.
0.3.1.- TEOREMA DE PITÁGORAS.
Establece que, en un triángulo rectángulo cualquiera, la longitud de la hipotenusa está relacionada con las longitudes de los catetos de la manera siguiente (ver el triángulo que aparece más arriba):
0.3.2.- ECUACIÓN DE LA RECTA.
La ecuación de una recta es: y = mx + y0, siendo y0 la ordenada en el
ori-gen y m la pendiente. Si conocemos dos puntos de la recta, P(x1, y1) y Q(x2, y2), la
ecuación puede escribirse de la siguiente manera:
y – y1 = m·(x – x1)
siendo la pendiente de la recta:
m=tgα = y2−y1 x2−x1
0.3.3.- ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA.
Es la representación gráfica de una ecuación de segundo grado, cuya ecuación es y = ax2 + bx + c, su vértice se encuentra en x= − b
2a y está dirigido hacia arriba si a < 0 y hacia abajo si a > 0.
0.4.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.
0.4.1.- CONCEPTO DE VECTOR. REPRESENTACIÓN GRÁFICA EN EL ESPACIO.
Las magnitudes físicas pueden ser de 2 tipos:
• Magnitudes escalares: son aquellas para cuya completa descripción se necesita únicamente un valor numérico o módulo acompañado de la correspondiente unidad. Ejs.: masa, tiempo, temperatura,…
• Magnitudes vectoriales: son aquellas para cuya completa descripción necesitamos conocer: ✔ Su valor numérico absoluto o módulo.
✔ Su dirección (o recta sobre la que actúan).
✔ Su sentido (pues cada dirección tiene 2 posibles sentidos).
Para distinguir las magnitudes escalares de las vectoriales, representamos estas últimas colocando una flecha encima del símbolo de la magnitud. Ejemplos:
Magnitud Abreviatura
Posición ⃗r
Velocidad ⃗v
Aceleración ⃗a
Fuerza ⃗F
El módulo o valor de la magnitud vectorial se representa escribiendo la magnitud y omitiendo la fle -cha, o bien escribiendo la magnitud vectorial entre dos barras verticales. Así, por ejemplo, el módulo o valor de la velocidad se indica escribiendo v ó ∣⃗v∣ .
ex-tremos. El otro extremo del vector es el origen o punto de aplicación.
0.4.2.- OPERACIONES CON VECTORES.
Consideraremos únicamente la suma y resta de vectores desde un punto de vista gráfico:
• La suma de 2 vectores concurrentes (el origen o punto de aplicación del segundo coincide con el sentido del primero) es otro vector cuyo origen es el origen del primer vector, y cuyo sentido es el sentido del segundo vector. Si los 2 vectores tienen el mismo origen o punto de aplicación, el vector-suma se calcula gráficamente aplicando la regla
del paralelogramo: la resultante de la suma de dos vectores es la
dia-gonal del paralelogramo que ambos forman, cuyo origen coincide con el origen de ambos. Ambos casos aparecen en la figura de la derecha.
• Si los vectores son paralelos y tienen el mismo sentido, la suma es otro vector cuyo módulo es la suma de los módulos y cuyo sentido coincide con el de ambos (ver figura a la izquierda).
• La suma de dos vectores de la misma dirección y sentidos contrarios es otro vector cuyo módulo es la resta de los módulos, y cuyo sentido coinci-de con el sentido coinci-del vector coinci-de mayor módulo (ver figura a la izquierda).
• Para restar dos vectores concurrentes, sumamos a uno de ellos el opuesto del otro; para ello, unimos el extremo del segundo vector con el del primero, tal y como se indica en la figura de la derecha.
1.- EL MOVIMIENTO.
1.1.- PUNTO MATERIAL.
Es una idealización muy habitual en Física. Consiste en considerar despreciable la dimensión de un objeto en comparación con la distancia que recorre, de modo que toda su masa se supone concentrada en un punto (también llamado centro de masa del objeto).
1.2.- SISTEMA DE REFERENCIA.
Al hablar de movimiento se hace necesario, antes de nada, decidir cuál es el punto o sistema de re-ferencia, que es el lugar en el cual se encuentra el observador del movimiento. El origen del sistema de refe-rencia se suele representar con la letra O, y dependiendo de la situación podemos encontrarnos con 3 posibi-lidades:
1. Si el cuerpo se mueve sobre una línea determinada (por ejemplo, la carretera o la vía del tren), enton -ces su movimiento tiene lugar en una sola dimensión, de modo que el sistema de referencia se en-contrará situado sobre esa línea.
3. Si el cuerpo se mueve en el espacio, el sistema de referencia estará constituido por tres ejes de coor-denadas X, Y y Z.
1.3.- POSICIÓN.
La posición de un móvil es el punto en el que se encuentra en cada momento con respecto al origen del sistema de referencia escogido. De acuerdo con lo dicho en el apartado anterior, dependiendo de la di-mensión en la que se mueva el cuerpo su posición puede tener una sola coordenada, dos coordenadas o tres coordenadas, tal y como se indica en las figuras siguientes:
1.4.- TRAYECTORIA Y DESPLAZAMIENTO.
La trayectoria y el desplazamiento son magnitudes totalmente di-ferentes:
➔ La trayectoria es la línea imaginaria que un objeto describe mientras se mueve. La distancia recorrida será, lógicamente, la distancia que el objeto recorre sobre dicha trayectoria. Según sea el tipo de trayectoria, el movimiento podrá ser rectilíneo o curvi-líneo (circular, elíptico, parabólico,...).
➔ El desplazamiento es la distancia, en línea recta, entre las
posi-ciones inicial y final de un objeto. Es obvio que la trayectoria y el desplazamiento coincidirán únicamente cuando el móvil se mueva en línea recta.
Puedes observar de forma gráfica las diferencias entre trayectoria y desplazamiento en la siguiente página web:
http://recursostic.educacion.es/newton/web/materiales_didacticos/trayectoria/indice_trayec.htm
1.5.- DEFINICIÓN DE MOVIMIENTO. CARÁCTER RELATIVO DEL MOVIMIENTO.
De acuerdo con todo lo dicho hasta ahora, ya nos encontramos en condiciones de dar una definición precisa del movimiento:
Decimos que un cuerpo se encuentra en movimiento cuando su posición cambia, con respecto a un observador o sistema de referencia, conforme avanza el tiempo. Si dicha posición no cambia, se encontrará en reposo.
2.- MAGNITUDES QUE DESCRIBEN EL MOVIMIENTO.
Para estudiar el movimiento de un cuerpo es necesario utilizar distintas magnitudes físicas que nos permitan describirlo con precisión. Estas magnitudes son el tiempo, el vector de posición, la velocidad y la aceleración.
2.1.- TIEMPO.
En Física suele decirse que el tiempo es un invariante, es decir, su valor no depende del sistema de referencia escogido (o dicho de otra manera, el tiempo transcurre a igual velocidad sea cual sea el observador del movimiento). Es una magnitud fundamental cuya unidad en el S.I. es el segundo (s).
2.2.- VECTOR DE POSICIÓN. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO.
Hemos dicho antes que la posición es el punto en el que se encuentra el móvil (objeto que se mueve) en el sistema de referencia. Las coordenadas de dicho punto, ya se encuentre el objeto en el plano o en el espacio, suelen expresarse mediante el vector de posición, ⃗r , cuyas componentes coinciden con los valores de dichas coordenadas (ver figura a la derecha). El vector de posición va dirigido desde el origen del sistema de referencia hasta el punto o posición del objeto. Lógicamente, conforme el cuerpo se va moviendo el vector de posición también se va desplazando; así, de acuerdo con el dibujo de la derecha r⃗0 es el vector de posición inicial y ⃗r es el vector de posición final. El
vector desplazamiento, Δ ⃗r , se calculará entonces de la manera siguiente (Δ significa “cambio de” o “va-riación de”):
⃗
r0+ Δ ⃗r= ⃗r ⇒ Δ ⃗r = ⃗r − ⃗r0
Las componentes del vector de posición dependen del tiempo, o dicho de otra manera, la posición en la que se encuentra un móvil dependerá del tiempo. Dicha posición puede expresarse mediante una expresión llamada ecuación de la posición o del movimiento, la cual relaciona la posición con el tiempo. Por ejemplo, para un objeto que se mueva a lo largo de una línea horizontal (coincidente con el eje X) la ecuación de mo-vimiento podría ser:
x = 2t + 1
donde la letra “x” representa la coordenada en la que se encuentra el objeto y la letra “t” representa el tiem -po. Así, a los 2 segundos de comenzar el movimiento (t = 2), la posición del objeto será x = 2·2 + 1 = 5 m. Y la posición inicial del objeto, x0, sería la posición que ocupa cuando comienza a contar el tiempo (t = 0): x0 =
2·0 + 1 = 1 m.
Por último, diremos que si el objeto se mueve en una línea vertical, utilizaremos la letra “y” en lugar de la letra “x”; si el objeto se mueve por una trayectoria conocida, aunque no sea rectilínea, suele utilizarse la letra “s” (inicial del inglés space) para indicar la posición del objeto.
2.3.- VELOCIDAD.
2.3.1.- CONCEPTO Y UNIDADES.
✗ Es una magnitud vectorial, es decir, para describir completamente la velocidad de un móvil hay que conocer su módulo, dirección y sentido. Así, por ejemplo, no es lo mismo lanzar un objeto hacia arri -ba o hacia a-bajo.
✗ El módulo de la velocidad suele denominarse rapidez o celeridad. La unidad de velocidad en el S.I. es el m/s (ó m·s-1), aunque también pueden
emplearse otras como el km/h, cm/s,...
✗ La dirección de la velocidad es siempre la recta tangente a la trayectoria en dicho punto, tal y como se muestra en la figura de la derecha. Si la trayecto-ria es recta, la dirección de la velocidad coincidirá con dicha recta.
2.3.2.- TIPOS: VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA.
Podemos distinguir dos tipos de velocidad:
1. La velocidad media relaciona el desplazamiento de un objeto con el tiempo empleado en efectuar dicho desplazamiento. No se trata, pues, de la velocidad real que tiene el móvil en cada instante, sino que es una velocidad representativa de su movimiento. Por ejemplo, si un corredor de 100 m tarda 10 s en terminar su carrera, decimos que su velocidad media es de 10 m/s; ello no significa que su velo -cidad haya sido siempre la misma, sino que 10 m/s es una velo-cidad representativa o media de todas las velocidades que ha alcanzado durante su carrera.
2. La velocidad instantánea es la velocidad que tiene un objeto en cada instante de su movimiento. Siguiendo con el ejemplo del apartado anterior, en cada instante de tiempo el corredor tendrá una de terminada velocidad; así, la velocidad media representa la media de todas las velocidades instantá -neas del corredor.
2.4.- ACELERACIÓN.
2.4.1.- CONCEPTO Y UNIDADES.
La aceleración es una magnitud física que relaciona el cambio (aumento o disminución) de velocidad con el tiempo que dicho cambio tarda en producirse. Sus características son las siguientes:
1. Es una magnitud vectorial, lo cual significa que para describir totalmente la aceleración de un móvil debemos conocer su módulo o valor, dirección y sentido.
2. Como la aceleración relaciona el cambio de velocidad con el tiempo, su unidad en el S.I. será el m/s2
(ó m·s-2).
3. Puede ser positiva o negativa, dependiendo de si el cuerpo está acelerando o desacelerando (frenan-do):
➔ Si a > 0, entonces la velocidad del móvil aumenta conforme pasa el tiempo, esto es, estará acele-rando.
➔ Si a < 0, entonces la velocidad del móvil disminuye conforme pasa el tiempo, esto es, estará desacelerando o frenando.
4. Su dirección, que viene indicada en la figura de la derecha, depende de las
➔ La aceleración tangencial (at) se debe a un cambio en el tiempo del valor o módulo de la
veloci-dad. Obviamente, la aceleración tangencial será nula cuando el valor de la velocidad del móvil sea constante (movimiento uniforme).
➔ La aceleración normal, radial o centrípeta (an) se debe a un cambio en el tiempo de la dirección
y sentido de la velocidad. La aceleración normal será nula cuando la trayectoria sea rectilínea, pues en tal caso la dirección y sentido de la velocidad no cambian. El valor de esta aceleración depende del valor de la velocidad y del radio (R) de la trayectoria curvilínea que describe el ob -jeto de la manera siguiente:
an=v
2
R
2.4.2.- TIPOS: ACELERACIÓN MEDIA Y ACELERACIÓN INSTANTÁNEA.
La aceleración puede ser de dos tipos:
1. La aceleración media relaciona el cambio de velocidad de un objeto con el tiempo empleado en efectuar dicho cambio. No se trata, pues, de la aceleración real que tiene el móvil en cada instante, sino que es una aceleración representativa de su movimiento.
2. La aceleración instantánea es la aceleración que tiene un objeto en cada instante de su movimiento.
3.- TIPOS DE MOVIMIENTO.
Dependiendo de las características del movimiento de un objeto (trayectoria, velocidad y acelera-ción), podemos encontrarnos con distintos tipos de movimiento:
3.1.- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU): ECUACIÓN Y REPRESENTACIO
NES
GRÁFICAS.
Sus características son las siguientes:
✔ Su trayectoria es una línea recta.
✔ La velocidad tiene las siguientes características:
◦ El módulo o valor de la aceleración es constante o invariable (v = cte).
◦ La dirección y sentido de la velocidad son constantes, pues el movimiento tiene lugar a lo largo de una línea recta.
✔ Las componentes intrínsecas de la aceleración tienen las siguientes características: ◦ La aceleración tangencial es nula (at = 0), pues el valor de la velocidad no cambia.
◦ La aceleración normal es nula (an = 0), pues la dirección y sentido de la velocidad no cambian.
La ecuación de este tipo de movimiento es la siguiente:
r = r0 + vt
donde r0 es la posición inicial, r es la posición final, v es la velocidad (que consideraremos positiva si el
cuer-po se mueve hacia la derecha o hacia arriba y negativa en sentido contrario) y t es el tiemcuer-po transcurrido.
En la gráfica posición-tiempo, la pendiente de la recta nos indica el valor de la velocidad : a mayor velocidad, mayor pendiente.
3.2.- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA): ECUA
CIÓN
Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS.
Sus características son las siguientes:
✔ Su trayectoria es una línea recta.
✔ La velocidad tiene las siguientes características:
◦ El módulo o valor de la velocidad es variable (la velocidad del móvil varía siempre de la misma manera, es decir, en un mismo intervalo de tiempo siempre gana o pierde la misma rapidez). ◦ La dirección y sentido de la aceleración son constantes, pues el movimiento tiene lugar a lo largo
de una línea recta.
✔ Las componentes intrínsecas de la aceleración tienen las siguientes ca-racterísticas:
◦ La aceleración tangencial es constante (at = cte), pues el valor de
la velocidad cambia uniformemente.
◦ La aceleración normal es nula (an = 0), pues la dirección y sentido
de la velocidad no cambian.
Las ecuaciones de este tipo de movimiento son dos, una para la posi-ción y otra para la velocidad:
r = r0 + v0t + ½ at2 v = v0 + at
donde r es la posición final, r0 es la posición inicial, v0 y v son las velocidades
inicial y final (que consideraremos positivas si el cuerpo se mueve hacia la de-recha o hacia arriba y negativas en sentido contrario), “a” es la aceleración del objeto (que consideraremos positiva si el cuerpo se mueve hacia la derecha o hacia arriba y negativa en sentido contrario) y t es el tiempo transcurrido.
Las representaciones gráficas de la posición, velocidad y acelera -ción en fun-ción del tiempo para este tipo de movimiento aparecen indicadas en el esquema de la derecha.
La gráfica posición-tiempo es una parábola, que será derecha o invertida dependiendo del signo de la aceleración (derecha si el móvil está acelerando e invertida si está frenando). En la gráfica velocidad-tiempo, la pendiente de la recta nos indica el valor de la aceleración: a mayor aceleración, mayor pendiente. Si la pendiente fuera negativa, entonces la aceleración también lo sería (y el móvil se encontraría frenando).
3.2.1.- MOVIMIENTO VERTICAL.
se mueve el objeto (hacia arriba o hacia abajo) es constante. Todos los cuerpos se mueven verticalmente (en el vacío) con la misma aceleración: la aceleración de la gravedad (cuyo valor es g = 9´8 m/s2). Dicha
acele-ración va siempre dirigida verticalmente hacia abajo, con lo cual:
• Si el objeto se mueve verticalmente hacia abajo, el efecto de la gravedad es el de aumentar su veloci -dad.
• Si el objeto se mueve verticalmente hacia arriba, el efecto de la gravedad es el de disminuir su velo-cidad.
Vamos a distinguir ambas posibilidades al escribir las ecua-ciones del movimiento vertical; en el dibujo que aparece a la izquierda aparece representado el movimiento de un balón que se lanza hacia arriba con una cierta velocidad inicial, alcanza su altura máxima (instante en el cual su velocidad se anula) y vuelve a caer.
➢ Cuando el balón se lanza verticalmente hacia arriba, sus velocidades inicial y final son positivas (pues van dirigidas hacia arriba), mientras que la aceleración de la gravedad es negativa al estar siempre dirigida hacia abajo; por otra parte, las posiciones inicial y final (que representaremos con las letras r0 y r) son
siempre positivas al encontrarnos sobre el suelo. Entonces, las ecuaciones del movimiento serán:
r = r0 + v0t - ½ gt2 v = v0 – gt
Observar que la velocidad disminuye conforme el objeto asciende.
➢ Cuando el balón se mueve verticalmente hacia abajo, sus velocidades inicial y final son negativas, al igual que la aceleración de la gravedad; por otra parte, las posiciones inicial y final (que representa-remos con las letras r0 y r) son siempre positivas al encontrarnos sobre el suelo. Entonces, las
ecua-ciones del movimiento serán:
r = r0 – v0t - ½ gt2 v = v0 + gt
Observar que la velocidad aumenta su valor conforme el objeto desciende.
En la siguiente página web puedes estudiar de forma gráfica los distintos tipos de movimiento rectilíneo:
http://recursostic.educacion.es/newton/web/materiales_didacticos/mru/rectobjetivos.htm
3.3.- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU): MAGNITUDES CARACTERÍSTICAS.
Sus características son las siguientes:
✔ Su trayectoria es una circunferencia de radio R. ✔ La velocidad tiene las siguientes características:
◦ El módulo o valor de la velocidad es constante (v = cte).
◦ La dirección y sentido de la velocidad cambian mientras el cuerpo gira, pues sabemos que la ve-locidad es siempre tangente a la trayectoria.
✔ Las componentes intrínsecas de la aceleración tienen las siguientes características: ◦ La aceleración tangencial es nula (at = 0), pues el valor de la velocidad no cambia.
◦ La aceleración normal es constante (an = cte), pues la dirección y sentido de la velocidad
Las magnitudes características del MCU son las siguientes:
1. Ángulo descrito ( φ ): cuando la trayectoria es circular resulta mucho más sencillo indicar el ángulo que ha girado el cuerpo que indicar la distancia, l, que ha recorrido. La unidad del ángulo descrito se expresa en radianes (rad) en el SI; sin embargo, existen otras unidades, tales como la vuelta (o revolución) y los grados. Estas tres unidades están relacionadas de la forma siguiente:
1 vuelta o revolución = 360º = 2π rad
La distancia recorrida por el objeto (l) se llama arco; está relacionada con el radio y con el ángulo descrito de la manera siguiente:
l = φ·R
De acuerdo con la expresión anterior, se define el radián como aquel ángulo para el cual el arco y el radio tienen el mismo valor.
2. Velocidad angular ( ω ): es una magnitud que relaciona el ángulo que un cuerpo ha girado con el tiempo que tarda en ello. Por tanto, se calcula de la forma siguiente:
ω = φ t
La unidad de velocidad angular en el S.I. es el rad/s, aunque también suelen utilizarse otras como las revoluciones por minuto (rpm) o las revoluciones por segundo (rps).
La velocidad angular está relacionada con la velocidad (lineal) v de la manera siguiente:
v = ω·r
donde r es la distancia entre el centro de la circunferencia y el punto donde se encuentre el objeto. Si el objeto se encuentra en el borde de la circunferencia (r = R), entonces la ecuación anterior se transforma en:
v = ω·R
3. Periodo (T): es el tiempo que el móvil tarda en describir una vuelta completa. Se mide en segundos (s) en el SI, y está relacionado con la velocidad angular de la forma siguiente:
T= 2ωπ
4. Frecuencia (f): es el número de vueltas que el objeto recorre en un segundo. Se mide en s-1 ó
her-tzios (Hz) en el SI, y está relacionada con el periodo de la forma siguiente:
f = 1 T = ω2π
En la siguiente página web puedes observar de forma gráfica las principales características del MCU:
