Cátedra: Física I
1
Unidad 3:
Dinámica de la partícula
GUÍA DE PROBLEMAS
1)-Un bloque de masa m = 2 kg se desplaza hacia arriba en un plano inclinado sin fricción, mediante la acción de una cuerda que ejerce una fuerza F = 14,7 N, como muestra al figura. a) Indicar todas las fuerzas que actúan sobre el bloque. b) Indicar las reacciones a esas fuerzas y su punto de aplicación. c) Determinar la aceleración del bloque. Resp.: c) 2,34 m/s2
cos10 sen30 2.34
F F mg m
a s
m m
−
=
∑
= =2)-Un bloque de masa m descansa sobre un plano inclinado que forma un cierto ángulo θ con la
horizontal. El coeficiente de rozamiento estático entre el plano y el bloque es μe y el coeficiente cinético es μk. a) ¿Cuál es el ángulo máximo al que puede inclinarse el plano sin que el bloque se
deslice hacia abajo? b) ¿Qué fuerza F paralela al plano se necesita para dar al bloque una aceleración hacia arriba de módulo igual a g? Resp.: a) θmax = tg−1(μ
e); b) F = mg(1+senθ+μkcosθ)
a) sen 0 1
( )
sen cos 0 tan tan
r
e e e
P f
mg mg
θ
θ µ θ θ µ θ − µ
− =
− = ⇒ = ⇒ =
b) sen
(
cos)
1 sen cos
k
k
F mg mg mg
F mg
θ µ θ
θ µ θ
− − =
= + +
3)-Una máquina de Atwood posee dos masas M iguales unidas por una cinta muy ligera, la cual pasa por una polea de masa despreciable y sin rozamiento. Determinar la aceleración del sistema cuando, estando en reposo, se añade una masa m << M a uno de los lados, como muestra la figura. Resp.: a = mg/(2M+m)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
2
2 T M g a
T Mg Ma
M m g T M m a M m g T M m a
mg
M m g M g a M m a mg M m a a
M m
= +
− =
⇒
+ − = + + − = +
+ − + = + ⇒ = + ⇒ =
+
4) Dos cuerpos A y B de masas 2 y 5 kg, respectivamente, están unidas mediante una cuerda inextensible en una máquina de Atwood, tal como muestra la figura. Si entre la cuerda y la polea no hay fricción, determinar:
a) El diagrama de fuerzas
b) La aceleración de ambas masas
Del mismo modo que en el problema anterior se puede demostrar que:
(
)
(
)
37B A
B A
m m g
a g
m m
−
= =
+
30° 10° m
F
M
M
Cátedra: Física I 5)-La figura muestra una masa m1 = 10 kg sobre un plano
inclinado sin fricción, unida a otra masa m2 = 20 kg mediante
una cuerda que pasa por una polea de masa despreciable y sin fricción. ¿Cuál será la velocidad de las masas 3 s después de dejar el sistema en libertad desde el reposo? Resp.: 14,7 m/s
(
) (
)
(
(
)
)
2 2
1 1
2 1
2
2 1 2 1
2 1
sen sumo
sen
sen 4.9
14.7 m g T m a
T m g m a
g m m m
g m m m m a a s
m m m
v at s
θ
θ θ
− =
− =
−
− = + ⇒ = =
+
= =
6)-Los bloques A (20 kg) y B (60 kg) están unidos por una cuerda de masa despreciable que pasa por una polea (de masa despreciable y sin rozamiento), como muestra la figura. El coeficiente de
rozamiento entre los bloques y los planos es μk = 0,3. Determinar la
aceleración del sistema cuando se libera del reposo. Resp.: 3,38 m/s2
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2 1 2
2 2 2 1 1 1
2
2 1
sen cos
sen cos
sumo
sen cos sen cos
sen cos sen cos
3.4 k
k
k k
k k
m g m g T m a
T m g m g m a
m g m g m m a
m g m g m
a s
m m
θ µ θ
θ µ θ
θ µ θ θ µ θ
θ µ θ θ µ θ
− − =
− − =
− + + − = + ⇒
− − +
= =
+
7)-Sobre el bloque A (36 kg), el cual está unido mediante una cuerda al bloque B (8 kg), se ejerce una fuerza horizontal F = 176,4 N (ver figura). El coeficiente de rozamiento entre A y el plano vale 0,25 y el coeficiente entre B y el plano vale 0,5. ¿Cuál es la tensión en la cuerda? Resp.: T = 45,3 N
(
)
(
)
cos :
sen 0 sen
cos :
sen 0 sen
entonces
sen cos
cos sen
despejo de una y reemplazo e
x A A A
y A A A A
x B B B
y B B B B
A A A
B B B
F F N T m a
A
F N T m g N T m g
F T N m a
B
F N T m g N m g T
A F T m g T m a
B T m g T m a
a
µ θ
θ θ
θ µ
θ θ
µ θ θ
θ µ θ
⇒ − − =
⇒ − − = ⇒ = +
⇒ − =
⇒ + − = ⇒ = −
⇒ − + − =
⇒ − − =
∑
∑
∑
∑
(
)
n la otra y despejando queda:
45,23
1 cos sen
A A B
A A
B A
B B
T F m g
T N
m m
m m
µ µ
θ µ µ θ
− −
= =
+ + +
A B
30° 60°
A
B 10° F
30° m1
Cátedra: Física I
3 8)-Un camión que transporta una caja se desplaza a 72 km/h. El coeficiente de fricción entre la
plataforma del camión y la caja es μe = 0,3. El camión comienza a frenar con una desaceleración
uniforme. Determinar la distancia mínima de frenado para que la caja no se deslice. Resp.: 68 m
2 2
0 2.94
68.03 2
c c
i
m
gm m a a g s
v
x m
a
µ − = ⇒ =µ =
= =
9)-A un bloque se le imprime una velocidad inicial de 5 m/s hacia arriba de un plano inclinado sin fricción que forma un ángulo de 20° con la horizontal. ¿Hasta qué punto del plano inclinado llega el bloque antes de detenerse? Resp.: 3,73 m
2 2
sen sen
3.73 2i 2 seni
mg ma a g
v v
x m
a g
α α
α
= ⇒ =
= = =
10)-Un bloque asciende por un plano inclinado 15° con la horizontal, donde μk = 0,3. Determinar la
distancia recorrida mientras su velocidad disminuye de 9 m/s a 6 m/s. Resp.: 4,18 m
(
)
(
)
2 2 2 2
sen cos sen cos
4.18
2 2 sen cos
k k
i f i f
k
mg mg ma a g
v v v v
x m
a g
α µ α α µ α
α µ α
+ = ⇒ = +
− −
= = =
+
11)-Los bloquea A y B de la figura tienen masas de 20 kg y descansan sobre superficies sin fricción. Suponiendo que las poleas son ligeras y sin rozamiento, calcular a) el tiempo requerido para que el bloque A se mueva 1 m hacia abajo del plano, partiendo del reposo, y b) la tensión de la cuerda. Resp.: a) 0,82 s; b) 59 N
(
)
22
sen sen 2.95
1 2 0.823
2 59
A A A
B A B
m g T m a a m g m
s
T m a m m
x
x at t s
a
T N
α− = α
⇒ = =
= +
= ⇒ = =
=
12)-Una masa m1 que está sobre una mesa horizontal sin fricción se
conecta a una masa m2 a través de dos poleas muy ligeras y sin fricción,
como se muestra en la figura. Determine (a) las tensiones en las cuerdas, y (b) las aceleraciones a1 y a2 en términos de m1, m2 y g. Resp.: (a) T1 = m1a1,
T2 = m2(g-a2); (b) a1 = a2/2, a2 = m2g/(m1+m2).
(
)
1 2
2 2 2 2
1 1 1 1 2
2 1
2
2 1 2 2 2 2
1 2
2 1 2 1 2
1 1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
2
2 0
4
4
2 2 4
4 4 4
a a
m g T m a
T m a m a
T T
m g
m g m a m a a
m m
m g m m g m m g
a T m a T m g a
m m m m m m
=
− =
⇒
= =
− =
− = ⇒ =
+
= ⇒ = = ⇒ = − =
+ + +
13)-Hallar las aceleraciones de los dos bloques de la figura en función A
37°
B
m1
m2
m2
Cátedra: Física I de m1, m2 y g, despreciando los rozamientos y las masas de las poleas.
Resp.: a1 = 2m2g/(4m1+m2); a2 = a1/2 1
2
1
2 2 2 2 2
1 1 1
2 1
1 2 2
2 1 1 2 1 2
2 1 2 1
2
2
2 0
2
2
2 4 4
a a
a
m g T m a m
T m a
T T
a m g m g
m g m a m a a
m m m m
=
− = = ⇒
=
− =
− = ⇒ = ⇒ =
+ +
14)-Un bloque m (0,2 kg) descansa sobre otro M (0,8 kg). El conjunto es arrastrado a velocidad constante sobre una superficie horizontal por otro bloque m (0,2 kg), suspendido como muestra la figura (a). Se separa el bloque m de M y se une al bloque suspendido, como muestra la figura (b). ¿Cuál será ahora la aceleración del sistema y la tensión de cuerda? Resp.: 1,96 m/s2; 3,14 N
De a:
(
)
00.2
0
T M m g m
M m mg T
µ
µ
− + =
⇒ = =
+
− =
De b:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 2
sumo
2
2 2 1.96
2
2 1
3.136 2
T Mg Ma
mg T ma
m M g m
m M g m M a a s
m M mMg
T N
m M µ
µ µ
µ
− =
− =
−
− = + ⇒ = =
+ +
= =
+
15)-Dos cuerpos de masa 5 kg y 2 kg penden, a 1 m del suelo, de los extremos de una cuerda de 3 m de longitud que pasa por una polea sin rozamiento y masa despreciable. Hallar la máxima altura alcanzada por el cuerpo de 2 kg si ambos parten del reposo. Resp.: 2,43 m
(
)
2
4.2
Mg T Ma M m g m
a s
T mg ma M m
− = −
⇒ = =
− = +
Esa aceleración va a durar mientras cae el cuerpo de masa M o sea mientras cae 1m. el tiempo que tarda será:
2x 0.69
t s
a
= =
El cuerpo de masa m llega arriba con una velocidad: 2.9m
v at= = s
M
m m
M
m m
Cátedra: Física I
5 Y con esta velocidad sube una altura de:
2
0.43 2i
v
x m
g
= =
O sea que la masa m llega a una altura de:
2 0.43 2.43
h= m+ m= m
16)-Un tren suburbano se compone de una locomotora y dos coches. La masa de la locomotora es de 6000 kg y la de cada coche es de 2000 kg. El tren parte del reposo con una aceleración de 0,5 m/s2.
Hallar la tensión en el enganche que une el primer coche a la locomotora, y en el enganche entre ambos coches. Resp.: T1 = 2000 N; T2 = 1000 N
1 2
2 2 1
1000
2 2000
T T ma
T ma
T ma N
T ma N
− =
=
= =
= =
17)-En el sistema mostrado en la figura, el bloque A tiene 63,5 kg y no presenta fricción con la superficie. El sistema parte del reposo cuando h es 1,22 m. Determinar la masa del bloque B sabiendo que llega al suelo con una velocidad de 2,74 m/s. Intentar resolver el problema suponiendo que la velocidad es 5,49 m/s (explicar la dificultad que se presenta). Resp.: 29,2 kg
2
2
3.08 2
29.1
f
A
B B
A
B A B B
v m
a s
h T m a m g T m a sumo
m a
m g m a m a m Kg
g a
= =
=
− =
= + ⇒ = =
−
Para que llegue con una velocidad de 5,49 m/s el cuerpo B debería caer con una aceleración mayor que la gravedad, lo cual es imposible para este problema.
18)-Un hombre de 72 kg está parado sobre una balanza en un elevador. Partiendo desde el reposo, el elevador asciende alcanzando su velocidad máxima de 1,2 m/s en 0,8 s. El elevador se mueve con esta velocidad constante los siguientes 5,0 s. Entonces el elevador experimenta una desaceleración durante 1,5 s y llega al reposo. ¿Cuál es la lectura de la balanza (a) antes de que el elevador comience a moverse, (b) durante los primeros 0,8 s, (c) cuando el elevador está viajando a velocidad constante, y (d) durante el periodo de desaceleración? Resp.: (a) 72 kg; (b) 83 kg; (c) 72 kg; (d) 70 kg
2 1
2 2
1.2
1.5 0.8
1.2
0.8 1.5
m
s m
a s
s m
s m
a s
s
= =
−
= =
)
72 705.6
a
P mg= = Kg= N
h A
Cátedra: Física I
(
1)
)813.6 83.02 b
P m a g= + = N = Kg
)
72 c
P mg= = Kg
(
2)
)648 66.12
d
P m g a= − = N = Kg
19)-Una masa de 3 kg se mueve en un plano cuyas coordenadas están dadas por x(t) = (5 m/s2)t2−1 m;
y(t) = (5 m/s3)t3 + 2 m. Encuentre la magnitud de la fuerza neta que actúa sobre esta masa en t = 2 s.
Resp.: 112,1 N
( )
( )
( )
( )
( )
( )
10 30 2 10
2 60
182.48 x
y
x
y
x y
a t x t
a t y t t
a a
F ma m a a N
= =
= =
= =
= = + =
20)-Una fuerza neta horizontal F(t) = A + Bt3 actúa sobre un objeto de 2 kg, en donde A = 5 N y B = 2
N/s3. ¿Cuál es la velocidad horizontal del objeto a los 4 s después de partir desde el reposo? Resp.: 91,2 m/s
( )
( )
44 4
4
0 0 0
1 74
4
F t B m
v a t dt dt At t s
m m
= = = + =
∫
∫
Aceleración normal:
21)-Se coloca una masa m sobre la cazoleta cónica, en la posición que se muestra en la figura, donde r = 20,3 cm. El coeficiente de
rozamiento entre la masa y la superficie es μe = 0,3. ¿Cuáles son las
velocidades mínimas y máximas a las que puede rotar la cazoleta en torno a su eje vertical sin que se deslice la masa? Observación: considere movimiento circular uniforme. Resp.: 32,3 rpm y 68,4 rpm
a) suponiendo que la velocidad es grande de tal manera que subiría el bloque:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
cos sen cos sen 0
sen cos
cos sen
sen cos 7.161 68.35rpm
cos sen
c
c c
c
F m r
F mg mg F
mg
F m r
g
r s
ω
α α µ α α
α µ α
ω
α µ α
α µ α
ω
α µ α
=
− − + = ⇒
+
= = ⇒
− +
= = =
−
a) suponiendo que la velocidad es chica de tal manera que bajaría el bloque:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
sen cos cos sen 0
sen cos
cos sen
sen cos 3.41 32.5rpm
cos sen
c c
c
mg F mg F
mg
F m r
g
r s
α α µ α α
α µ α
ω
α µ α
α µ α
ω
α µ α
− − + = ⇒
−
= = ⇒
+ −
= = =
+
Cátedra: Física I
7 22)-Calcular la magnitud de la velocidad máxima que debe llevar un vehículo al tomar una curva de radio 122 m, peraltada un ángulo θ = 18°, para que no exista fuerza de rozamiento lateral entre las ruedas y el pavimento. Si luego el vehículo entra con la misma velocidad a una curva que tiene el mismo radio pero sin peralte (θ = 0), cual debe ser el coeficiente de rozamiento mínimo para que el vehículo no se deslice fuera de la curva. Resp.: vmax = 19,7 m/s; μe = 0,32.
2
2
)
sen cos divido
tan tan 19.71
a
v
n m
r
n mg
v v rg m
s rg
θ θ
θ θ
=
=
= ⇒ = =
2 2
)
0.325
cp r
b
v v
F f m n mg
r µ µ µ rg
= ⇒ = = ⇒ = =
23)-Una partícula de masa m se desliza por una pista sin fricción y entra en un tobogán de forma de lazo circular de diámetro d. ¿Cuál deberá ser la altura h desde donde la partícula parta del reposo para hacer un circulo completo en el lazo? Ayuda: divida el movimiento en dos tramos, 0-1 y 1-2. Note que la aceleración en el tramo 1-2 depende de la posición angular referida al centro del circulo. Resp.: h = 5d/4
Tramo 0-1
sen sen
mg α=ma ⇒ a g= α
Distancia que recorre con esa aceleración es:
sen h x
α =
La velocidad al llegar a 1 es:
1 2 2
v = ax= gh Tramo 1-2
La aceleración tangencial será en todo momento
sen sen
t t
ma mg= θ⇒a =g θ
t t t t t
t t t t t
dv a dv d dv dv v a v dv ra d
dt d dt d d r
θ ω θ
θ θ θ
= ⇒ = = = ⇒ =
Como la aceleración tangencial va a disminuir la velocidad la derivada será negativa por lo que pongo un signo menos e integro entre 0 y pi
(
)
2
1
2 2
2 1
0
1
sen 2
2 v
t t v
v dv rgπ θ θd v v rg
−
∫
=∫
⇒ − − =Para que la partícula no caiga se debe cumplir (en 2):
2 2
2
cf v
F P m mg v rg
r
= ⇒ = ⇒ =
Por lo tanto:
(
)
1 2 2 5 5
2 2 4
r d
rg gh rg h
− − = ⇒ = =
h
2
1 0
Cátedra: Física I Gravitación
24)-Calcule la masa de la Tierra (suponiéndola esférica), si la aceleración de la gravedad sobre la superficie de la misma es g = 9,8 m/s2, la constante de gravitación universal es G = 6,67 10−11
Nm2/kg2, y el radio terrestre es R = 6380 km. Resp.: 5,47 1024 kg 2
24 2T T T 5.98x10 T
M gR
g G M Kg
R G
= ⇒ = =
25)-Determinar el módulo de la fuerza gravitatoria entre una bola de billar de 0.2 kg de masa y una pelota de baloncesto de 0.6 kg, cuando la distancia entre sus centros es de 0.5 m. Resp.: 3 10−11 N
11 1 2
2 3.2x10
m m
F G N
r
−
= =
26)-Al igual que las demás fuerzas, las fuerzas gravitatorias se suman vectorialmente. Considere un cohete que viaje desde la Tierra a la Luna a lo largo de la línea recta que une sus centros. ¿A qué distancia la fuerza que ejerce la Tierra sobre el cohete es igual y opuesta a la fuerza que ejerce la Luna sobre el cohete? Datos: la masa de la Luna es 7,35 1022 kg, la masa de la Tierra es 5,47 1024 kg, y el
radio de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es 3,84 108 m. Resp.: 3,46 108 m
(
)
(
)
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
1 1 0
2 2 4 1 1 1 1
1 1
2
T L
c T c L c L
Tc Lc TL Tc
Tc TL TL Tc Tc
T L
Tc TL Tc T L
TL TL
Tc Tc
L T L L
TL TL TL
L L L T L L T L
Tc TL
L T
F F
m M m M m M
G G G
r r R r
r R R r r
M M
r R r M M
R R
r r
M M M M
R R R
M M M M M M M M
r R
M M
=
= =
−
− +
= ⇒ = ⇒
−
− − + =
± − − ±
= =
−
8 8 8
1 1
Por
4.23x10 3.35x10
3.35x10
que el otro es mayor que el radio tierra luna
L T
Tc
m m
M M
r m
= ⇒
−
=
27)-Determinar el campo gravitatorio resultante (magnitud y dirección) debido a los campos individuales de la Tierra y del Sol en un punto P sobre la línea recta entre la Tierra y el Sol. La distancia entre la Tierra y P es igual al radio orbital de la Luna alrededor de la Tierra (3,84 108 m).
Datos: masa del Sol, 1,99 1030 kg; masa de la Tierra, 5,47 1024 kg; radio orbital de la Tierra alrededor
del Sol, 1,496 1011 m. Resp.: 3,26 10−3 N/kg, dirección de la recta que va desde la Tierra al Sol.
(
)
2 32S 2T S 2T 3.49x10
SP TP ST TP TP
M M M M N
G G G Kg
R R R R R
−
℘= − = − =
−
28) ¿Por qué en un punto del espacio que rodea a un cuerpo la aceleración gravitatoria sobre cualquier otro cuerpo depende sólo de r? Razone la respuesta
El campo gravitacional se define como la fuerza gravitacional por unidad de masa y como la
fuerza gravitacional depende del producto de las masas y r entonces el campo gravitacional
Cátedra: Física I
9
Tiro oblicuo
29) Un proyectil es lanzado desde un punto O (origen) con una velocidad inicial v0y un ángulo
α
respecto del plano horizontal, como muestra la figura. Determinar la ecuación de la parábola de tiro
( )
y y x= .
( )
0 0
0 0
2 2
0 0
0 0
0
2
2 2
0
sen cos
1 sen 1
2 2
cos
despejo t de x y reemplazo en y
cos
tan
2 cos y
x
y
x
v v
v v
y v t gt v t gt
x v t v t
x t
v
gx y x x
v α α
α α
α
α
α =
=
= − = −
= =
=
= −
30) a) Determinar en el problema anterior la altura máxima alcanzada por el proyectil en función de
0
v y α. Es decir ym = f v
(
0,α)
.b) demostrar que el valor 02
2 v
g es la altura máxima absoluta que se puede alcanzar con una velocidad inicial (v0) dada.
a) Buscamos el máximo, entonces derivada nula.
( )
2 0
2 2
0
2 2 2 2 2 2
0 0 0
cos sen
tan 0
cos
sen sen sen
2 2
c
c
m c
gx v
dy x
dx v g
v v v
y y x
g g g
α α
α
α
α α α
= − = ⇒ =
= = − =
b) el máximo absoluto (es decir para cualquier ángulo de lanzamiento) se obtiene cuando sen2α=1
entonces el máximo absoluto es 02
2 ma
v y
g =
Cátedra: Física I
(
)
0 0
0 0
0 0
0 0
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
2 0
2 2 2 2 2
0 0 0 0
sen cos
cos sen
cos sen 2 sen
cos sen 2 sen 2 sen
como
1 sen
2
1
2 sen 2 se
2 y
x
x x
y y
x y
v v
v v
v v v
v v gt v gt
v v v v v g t v gt
v g t v gt v g t v gt
y v t gt
v v g t v gt v g gt v
α α
α α
α α α
α α α α
α
α =
=
= =
= − = −
= + = + + − =
= + + − = + −
= −
= + − = + − 2
0
nαt v 2gy
= −
32) Demuestre que un proyectil con una velocidad inicial v0, puede alcanzar un objetivo sobre el
terreno, a una distancia x l l= < max, mediante dos ángulos diferentes α1 y α2, tal que 2 2 1
π
α = −α
( )
( )
(
)
2
1 2 2
0 1
2
1
1 2 2 2 1 1 2 1
0 1 0 0
2 1 1 1 1 1
2 2
0
tan
2 cos 0
sen 2
tan 0 sen cos sen 2
2 cos 2 2
sen 2 sen 2 sen 2 sen cos 2 sen 2 cos sen 2
2
sen 2
gx y x x
v y l
gl gl gl
l
v v v
gl v
α
α
α
α α α α
α π
α α π α π α α π α
α
= −
=
− = ⇒ = = ⇒ =
= − = − = − = ⇒
=
33) Dada la velocidad inicial de un proyectil, v0 =100ms, determinar la región inalcanzable por el mismo y la ecuación de la curva que la delimita. Grafique la solución utilizando una hoja de cálculo (Excel o cualquier otra) ( g = 9.8m/s2 )
Cátedra: Física I
11
(
)
(
)
2
2 2
0
2 2
0
2 2 3 2
0 0
2 2 2 2
4
2 2 2 4 2 2
0 0
2 2
2 4 2 2
0 0
, , 0
, , 0
tan 0
2 cos
1 sen 0 1 tan 0 tan
cos cos
1 cos 1 cos 1 1 1
tan 1 cos
cos cos cos tan 1 1
2 f x y df x y
d
gx y x
v
v
gx gx
x
v v gx
g x
v v g x
g x
v v g x
y x
gx v
α α α
α
α
α α α
α α
α α
α α
α α α α
=
=
− + =
− + = ⇒ − + = ⇒ =
− −
= = = − ⇒ = = =
+ + +
+
− + 02 04 2 2
2 2
0 0
0
2
v v g x
y
g g v g
+
= ⇒ = −
0 250 500 750 1000
0 200 400
y
(m
)
Cátedra: Física I
Tiro vertical a gran distancia
34) Se dispara un proyectil verticalmente, desde la superficie d la Tierra, con una velocidad inicial de 2 km/s. ¿Qué velocidad tendrá el proyectil a una distancia de 6580 km respecto al centro de la Tierra? Resp.: ≈0 km/ s
(
)
0 0
0
2
2
2 2
0
0 2
0 0
al aumentar r disminuye la aceleracion
' '
1 2
1 1
2 0.45
T
v R
T
v R
R
T T T
R
T M a
r
dv dv dr dv
a v vdv adr
dt dr dt dr
vdv adr M
v dv dr
r
M M M
v v
r R R
km
v M v s
R R γ
γ
γ γ γ
γ =
= = = ⇒ =
⇒ = − ⇒
⇒ = − ⇒
− = = − ⇒
= − + =
∫
∫
35) Calcule la velocidad mínima con que se debe lanzar un satélite desde la superficie de la Tierra, para que alcance una órbita de 350 Km ( 6380 ; 2 4x105 3 2
T
R= km Mγ =gR = km s− )
Resp.: 2.6 km/ s
De la ecuación del problema 34) como se requiere la mínima velocidad v=0.
2
0 0
0 0
1 1 1 1
0 2γMT R R v v 2γMT R R 2550,02ms 2,55kms
= − + ⇒ = − − = =
36) ¿Cuál es la velocidad mínima para escapar totalmente de la atracción gravitatoria terrestre? RT =6380 km y g =9.8 m s-2
Resp.:=11.2Km/ s
De la ecuación del problema 34) Para que escape de la atracción gravitatoria R= ∞ y como se requiere la mínima velocidad v=0.
2 0 0 2
0 0
0 0
1 1
2
2 2
0 11181,9 11,18
T
T T
v M v
R R
M v v M m km
s s
R R
γ
γ γ
= − + ⇒
= − + ⇒ = = =
Movimiento oscilatorio:
Cátedra: Física I
13
max 2
2 max
)
43.95 )
2 2 0.781
)
10 0.1
)
0.8
)
6.46 a
F N
k m
x b
m
T s
k c
A cm m
d
k m
v A A s
m e
k m
a A A s
m
π π
ω
ω
ω
= =
= = =
= =
= = =
= = =
38)- Sea el caso de un resorte en posición vertical, con el extremo superior unido a un soporte rígido y del otro extremo se cuelga un bloque de 5 kg, dejando que descienda suavemente hasta alcanzar su posición de equilibrio. Se mide el estiramiento del resorte, resultando 180 mm. Luego el bloque se estira hacia abajo una distancia adicional de 75 mm y se libera partiendo del reposo. Determinar (a) la constante elástica del resorte; (b) la amplitud del movimiento; (c) el período del movimiento. Resp.: (a) 272,2 N/m; (b) 75 mm; (c) 0.85 s
)
272.22 )
75 )
2 2 0.85
a
F mg N
k m
x x
b
A mm
c
m
T s
k
π π
ω
= = =
=
= = =
39)-Un explorador lunar instala un péndulo simple de 860 mm de longitud. Para pequeños desplazamientos determina que su período es de 4,6 s. Determinar la aceleración debida a la gravedad sobre la superficie de la Luna. Resp.: 1.6 m/s2
2
2
2 2 2 1.604
l l
l l
L m
T g L s
g T
π π π
ω
= = ⇒ = =
Cátedra: Física I
2 2 ; 2
divido
2
3.96
2
t m
t m
m
m t t
m t
t m m
t
L L
T T
g g
L g
T g T T g s
T L g g
g
π π π
ω
π
π
= = =
= = ⇒ = =
41)-Un cuerpo de masa m1 está suspendido de un resorte. Si se lo aparta de su posición de equilibrio
una distancia ∆l1, comienza a oscilar con un período τ1
a) Si para el mismo cuerpo el desplazamiento desde la posición de equilibrio es ∆l2 , con
2 1
l l
∆ > ∆ ¿Cómo será el nuevo período de oscilación respecto a τ1?
b) Si se sustituye el cuerpo de masa m1 por uno de masa m2 , tal que m2 >m1 .¿Cómo será el nuevo
período de oscilación respecto a τ1?
1 1
1 2
1 2
1 1
2 2
2 2
)
2
2
)
2
2 a
m k m
k b
m k m
k
τ π
τ τ
τ π
τ π
τ τ
τ π
=
⇒ =
=
=
⇒ >
=
42)-Demostrar que x(t) = Asen(ωt+δ) es una solución de la ecuación d2x/dt2 = −kx/m, y que (k/m)1/2
tiene dimensiones de recíprocos de tiempo.
( )
(
)
(
)
(
)
2 2
sen cos
sen
Con lo cual se verifica que:
o sea que
x t A t
x A t
x A t
x x
k m ω δ
ω ω δ
ω ω δ
ω
ω
= +
= +
= − +
= −
=
[ ]
[ ]
[ ]
21 1
k N
m mKg s s
