Funciones vectoriales de varias variables

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Texto completo

(1)

Cap´ıtulo 1

Funciones vectoriales de varias

variables

En esta parte estudiaremos las funciones vectoriales de varias variables, como una generalizaci´on de los resultados obtenidos en los cap´ıtulos anteriores. Desarrollare-mos temas de c´alculo en campos vectoriales importante en la ciencia e ingenieria. Las pruebas de los resultados que se presenta se pueden encontrar en [2], [6] y [8].

Los graficos que se presentan fueron elaborados utilizando el software Derive 6.1 y winplot.

1.1.

Funciones vectoriales de varias variables

Definici´on 1.1.1. Sea F : D⊂ Rn Rm una funci´on definida sobre un conjunto

D Rn. Se dice que F es una funci´on vectorial de varias variables. Si F hace

corresponder a un vector X = (x1, x2, ..., xn) D un ´unico vector Y Rm tal que

Y =F(X) = (F1(X), F2(X), ..., Fm(X)).

A las funciones Fi :D⊂Rn→R se les llama funciones coordenadas.

Si n =m, la funci´on F se llama CAMPO VECTORIAL (en Rn).

(2)

1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES 2

Figura 1.1: Estos vectores representan campos de velocidades de la distribuci´on del viento superficial-Regi´on Per´u

NOTA 1.1.1. La idea de visualizar el campo vectorial F es colocar un vector

F(X)Rn de manera que su punto inicial sea X D.

Ejemplo 1.1.1. Un campo vectorial en R2 est´a definido por

F(x, y) = (−y, x)

Describa F trazando alguno de los vectores F(x, y).

Figura 1.2:

Soluci´on

(x, y) F(x,y) (1,0) (0,1) (0,1) (-1,0) (-1,0) (0,-1) (0,-1) (1,0)

Ejemplo 1.1.2. Grafique el campo de vectores F(x, y, z) = (−x,−y,−z)

(3)

1.2. LIMITES DE UNA FUNCI ´ON VECTORIAL DE VARIAS VARIABLES 3

(x, y, z) F(x,y,z) (1,0,0) (-1,0,0) (1,1,1) (-1,-1,-1) (-1,-1,-1) (1,1,1)

Figura 1.3:

1.2.

Limites de una funci´

on vectorial de varias variables

Definici´on 1.2.1. Sea F una funci´on definida en un conjunto D Rn a valores

en Rm y sea A Rn un punto de acumulaci´on de D. Diremos que el limite de F

cuando X tiende a A es L = (l1, l2, ...lm)Rm (denotado por l´ımX→AF(X) = L )

si para cada ² > 0 es posible hallar un δ > 0 tal que kf(X)−Ak < ² siempre que

X ∈D y 0<kX−Ak< δ. Simb´olicamente:

l´ım

X→Af(X) =L⇔ ∀² >0∃δ >0/ X ∈D 0<kX−Ak< δ ⇒ kF(X)−Lk< ²

Teorema 1.2.1. Sea F : D Rn Rm donde F = (F

1, F2, ...Fm).Si A Rn un

punto de acumulaci´on deDyL= (l1, l2, ...lm)Rm diremos que l´ımX→AF(X) =L

si y solo si

l´ım

X→AF1(X) = l1 , Xl´ım→AF2(X) =l2 , . . . , Xl´ım→AFm(X) =lm

Ejemplo 1.2.1. Calcule l´ım (x,y)(1,2)(x

2+y2,2x+y,2y)

Soluci´on

l´ım (x,y)(1,2)(x

2+y2,2x+y,2y) = ( l´ım (x,y)(1,2)x

2+y2, l´ım

(x,y)(1,2)2x+y,(x,y)l´ım(1,2)2y) = (5,4,4)

NOTA 1.2.1.

(4)

1.3. CONTINUIDAD DE UNA FUNCI ´ON VECTORIAL DE VARIAS VARIABLES 4

1.3.

Continuidad de una funci´

on vectorial de varias

vari-ables

Definici´on 1.3.1. Sea F :D⊂Rn Rm una funci´on vectorial de varias variables

definida en un conjuntoD.

1. F es continua en un punto A∈D si y solo si

∀² >0∃δ >0/ X ∈D ∧ kX−Ak< δ ⇒ kF(X)−Lk< ²

2. F es continua en un punto A∈D que es punto de acumulaci´on de D si y solo si l´ımX→AF(X) = F(A)

Teorema 1.3.1. La funci´on F :D Rn Rm es continua en A D si y solo si

cada una de sus funciones componentes es continua en A.

Ejemplo 1.3.1. Pruebe que la funci´on

F(X, Y) =

 

 ³

senx−seny x−y ,e

xe−y

x+y

´

, (x, y)6= (0,0) (1,1), (x, y) = (0,0)

es continua en A= (0,0)

Soluci´on

l´ım (x,y)(0,0)

µ

senx−seny

x−y ,

exe−y

x+y

=

µ

l´ım (x,y)(0,0)

senx−seny

x−y ,(x,y)l´ım(0,0)

exe−y

x+y

Calculamos:

l´ım (x,y)(0,0)

senx−seny

x−y =(x,y)l´ım(0,0) 2

x−ysen( x−y

2 )cos(

x+y

2 ) = 1 y

l´ım (x,y)(0,0)

exe−y

x+y =(x,y)l´ım(0,0)e

−y ex+y 1

x+y = 1

Reemplazando estos ´ultimos resultados en (1) se tiene:

l´ım

(5)

1.4. DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCI ´ON VECTORIAL DE VARIAS VARIABLES5

1.4.

Derivadas parciales de una funci´

on vectorial de varias

variables

Definici´on 1.4.1. Sea F :D⊂Rn Rm una funci´on vectorial de varias variables

definida en un conjunto abierto D por:

F(x1, x2, ..., xn) = (F1(x1, x2, ..., xn), F2(x1, x2, ..., xn), ..., Fm(x1, x2, ..., xn))

para todo X = (x1, x2, ..., xn) D. La derivavda parcial de F con respecto a xi se

define por:

∂ F ∂ xi

(X) = l´ım h→0

F(x1, x2, ..., xi+h, ...xn)−F(x1, x2, ..., xn)

h , ∀i= 1,2,3, ..., n

siempre que este limite exista.

1.4.1. Matriz Jacobiana

Definici´on 1.4.2. Sea F :D⊂Rn Rm una funci´on vectorial de varias variables

definida en un conjunto abierto D y A ∈D. Se llama matriz Jacobiana de F en

A, denotado por JF(A) a la matriz m×n:

JF(A) =

   

∂ F1

∂ x1

∂ F1

∂ x2 . . .

∂ F1

∂ xn

... ... . . . ...

∂ Fm

∂ x1

∂ Fm

∂ x2 . . .

∂ Fm

∂ xn

   

Si m=n a la determinante de esta matriz se le llama Jacobiano de F.

1.5.

Funci´

on diferenciable

Definici´on 1.5.1. Sea F :D⊂Rn Rm una funci´on vectorial de varias variables

definida en un conjunto abierto D y A∈ D.Se dice que F es diferenciable en A si existeJF(A)y adem´as de esto, para todo vectorV = (α1, α2, ...αn)tal queV+A∈D

se cumple que

l´ım V→−→0

(f(A+V))1(f(A))1(JF(A))m×n(V)1

||V || =

0

(6)

1.6. DIVERGENCIA DE UNA FUNCI ´ON VECTORIAL 6

NOTA 1.5.1. Una funci´on F : D Rn Rm definida en un conjunto abierto

D, es diferenciable en A ∈D si y solo si lo son cada una de sus funciones compo-nentes F1, F2, ..Fm. Se puede entonces estudiar la diferenciabilidad de F en A bien

directamente o bien a trav´es de sus componentes.

Teorema 1.5.1. Sea F : D Rn Rm una funci´on vectorial de varias variables

definida en un conjunto abierto D y continua en A ∈D. Si la matriz Jacobiana de

F es continua en A entonces F es diferenciable en A.

Ejemplo 1.5.1. Sea F(x, y, z) = (xyz, z ex y2

). ¿Es F diferenciable en cualquier punto (x, y, z)R3.

Soluci´on

JF(x, y, z) =

yz xz xy

2y2exy2

2xyzexy2

exy2 

Esta matriz es continua en todo R3 (pues sus entradas son funciones continuas en

R3) entonces por el teorema anterior F es diferenciable en (x, y, z).

1.6.

Divergencia de una funci´

on vectorial

Supongamos que tenemos la funci´on con valores vectoriales

F(x, y, z) = P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))

con funciones componentes diferenciables P, Q y R. Entonces la divergencia de F

denotado pordiv F es la funci´on escalar definida como sigue:

div F =∇. F = (

∂ x, ∂ y,

∂ z).(P, Q, R) = ∂ P

∂ x + ∂ Q

∂ y + ∂ R

∂ z

NOTA 1.6.1.

El operador se llamaoperador nabla.

Ejemplo 1.6.1. Si el campo vectorial F est´a dado por:

F(x, y, z) = (x ey, z seny , x y Lnz)

(7)

1.7. EL ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL 7

Soluci´on

div F =

∂ x(x e

y) +

∂ y(z seny) +

∂ z(x y Lnz) = e

y+z cosy+ x y

z

div F(3,0,2) = 1 + 2cos(0) + 0 = 3

Teorema 1.6.1. Si F y G son dos funciones vectoriales entonces se cumplen:

∇.(a F +b G) = a∇. F +b∇. G

∇.(f F) = f∇. F +∇f . F

donde f es una funci´on escalar , a y b son constantes.

Definici´on 1.6.1. Una funci´on escalar φ se dice arm´onica si es continua, tiene segundas derivadas continuas y satisfacen la ecuaci´on de Laplace

2φ

∂ x2 +

2φ

∂ y2 +

2φ

∂ z2 =

2φ = 0

1.7.

El rotacional de un campo vectorial

El rotacional del campo vectorialF(x, y, z) =P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k

denotado porrot F se difine como:

rot F =∇ ×F =

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

i j k

∂ x ∂ y∂ ∂ z∂

P Q R

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = µ ∂R ∂ y

∂Q ∂ z ,

∂P ∂ z

∂R ∂ x,

∂Q ∂ x

∂P ∂ y

Observaci´on 1.7.1.

∇ ×F no necesariamente es perpendicular a F.

Propiedades

Sean F y Gdos funciones vectoriales y φ una funci´on escalar, entonces:

1. ∇ ×(F +G) =∇ ×F +∇ ×G

2. ∇ ×(∇φ) = 0 siempre que φ sea de clase C2 enR3.

3. ∇.(∇ ×F) = 0 siempre que F sea de clase C2 enR3.

(8)

1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 8

5. ∇ ×(∇ ×F) = (∇. F)− ∇2F

NOTA 1.7.1.

Un campo vectorial de divergencia nula se dice Solenoidal

Sirot F = 0,el campo F de denominairrotacional.

(B×C) = (A . C)B−(A . B)C

Ejemplo 1.7.1. Sea el campo vectorial F = ra~r, donde ~r = (x, y, z) y

r = ||~r|| 6= 0. Encuentre el valor de la constante a, para que F sea un campo solenoidal.

soluci´on

Sabemos que un campo vectorial F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) es solenoidal si su divergencia es nula, es decir,

∇.F(x, y, z) = ∂P

∂x + ∂Q

∂y + ∂R

∂z = 0

Dado queF(x, y, z) = (

P

(x2+y2 +z2)a2 x,(x2+y2Q+z2)a2 y,(x2+y2R+z2)a2 z), derivan-do se tiene:

∂P ∂x = (x

2+y2 +z2)a21[(a+ 1)x2+y2+z2]

∂Q ∂y = (x

2+y2+z2)a

21[x2+ (a+ 1)y2+z2]

∂R ∂z = (x

2+y2+z2)a

21[x2+y2+ (a+ 1)z2]

Sumando estos resultados se obtiene:

∂P ∂x +

∂Q ∂y +

∂R ∂z = (x

2+y2+z2)a21(a+ 3) [x2+y2+z2]

Por lo tanto, el campo vectorialF es solenoidal si a=3.

1.8.

Ejercicios Propuestos

1. Trace el campo vectorial F dibujando un diagrama:

a)F(x, y) = (−x,2y) b). F(x, y, z) = (0, z,0) c).F(x, y, z) =j −i

(9)

1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 9

2. Encuentre el campo vectorial gradiente def:

a)f(x, y) =Ln(x+ 2y) b). f(x, y, z) = xcos(y/z)

3. a) Trace el campo vectorial F(x, y) = i+xj y luego trace algunas lineas de flujo.¿Qu´e forma parecen tener estas lineas de flujo?

b) Si las ecuaciones param´etricas de las lineas de flujo son x=x(t),y =y(t), ¿cuales ecuaciones diferenciales satisfacen estas funciones? Deduzca que

dy/dx=x.

c) Halle la ecuaci´on de la trayectoria seguida por una part´ıcula, que parte del origen de coordenadas y se mueve en el campo de velocidades dada por F.

4. Razonar la certeza o falsedad de las afirmaciones siguientes:

a) No existe l´ım (x,y)(0,0)

µ

x2+y3

x2+y2, x

2, sen(y2)

b) Si f(x, y) = (x2+y, xy2) entonces el jacobiano de f en el punto (1,0) es -1.

c) La funci´onF(x, y) = (p|x y|, xcosy) no es diferenciable en el origen.

d) Sea f : R2 R2 con f(0,0) = (1,1) y g : R2 R con g(x, y) = x2+y.

Seah =g◦f. Si la matriz jacobiana de la funci´onf en (0,0) es

 1 1

2 3

entonces ∂h

∂x(0,0) = 4 y ∂h∂y(0,0) = 5.

e) Seanf y g funciones deR2 R2 conf(1,1) = (2,2). La matriz jacobiana

de la funci´onf en el punto (1,1) es

 0 1

1 3

y la matriz jacobiana de la

funci´on g en el punto (2,2) es

 1 1

1 2

. Entonces la matriz jacobiana de

la funci´on compuesta g◦f en el punto (1,1) es

 1 2

4 7

.

5. Se considera el campo vectorialF = (x2yz, xy2z, xyz2). Calcule su divergencia y su rotacional.

6. Seafun campo escalar yF un campo vectorial. Pruebe quediv(f F) = ∇f.F+

(10)

1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 10

7. Seaaun vector constanteRel vector posici´on. Se considera el vectorv =a×R. Demuestre que div v= 0

8. Sea f un campo escalar yF un campo vectorial. Pruebe que rot(f F) =∇f×

F +f rotF.

(11)

Referenciales

[1] Apostol Tom, M. C´alculus Vol I . Ed. Reverte. Barcelona 2001.

[2] Apostol Tom, M. C´alculus Vol II. Ed. Reverte. Barcelona 2001.

[3] Benazic R. Caminos en Espacios Euclideanos. Ed. Sociedad Matem´atica Peru-ana. Lima 2002.

[4] Edwards, Jr., D. C´alculo con Geometr´ıa Anal´ıtica, ed.,Prentice Hall, Mexico, 1998.

[5] De Guzm´an, M. Aventuras Matematicas. Ed. pir´amide. Madrid 2004.

[6] Galindo Soto, F. Gu´ıa pr´actica de c´alculo infinitesimal en varias variables. Ed. Thomson. Madrid 2005.

[7] Garcia Lopez, A. C´alculo II, ed.,CLAGSA, Madrid, 1997.

[8] Lima, E. Curso de An´alise, Volume 2. Ed. Projeto Euclides. IMPA. Rio de Janeiro 1981.

[9] Lima, E. An´alisis Real. Ed. IMCA. Lima 1997.

[10] Llorens fuster, J. Introducci´on a derive 6. Ed. Deisoft, c.b. Valencia Espa˜na 2003.

[11] Pita Ruiz, C.C´alculo Vectorial, ed.,Prentice Hall, Mexico, 1998.

[12] Stewart, J.C´alculo Mutivariable. Cuarta Edici´on Ed. Thomson Learning 2006.

[13] Velasco Sotomayor, G. Problemario de c´alculo multivariable. Ed. Thomson, Learning, Mexico, D.F. 2003.

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