Funciones vectoriales de varias variables

Cap´ıtulo 1

Funciones vectoriales de varias

variables

En esta parte estudiaremos las funciones vectoriales de varias variables, como una generalizaci´on de los resultados obtenidos en los cap´ıtulos anteriores. Desarrollare-mos temas de c´alculo en campos vectoriales importante en la ciencia e ingenieria. Las pruebas de los resultados que se presenta se pueden encontrar en [2], [6] y [8].

Los graficos que se presentan fueron elaborados utilizando el software Derive 6.1 y winplot.

1.1.

Funciones vectoriales de varias variables

Definici´on 1.1.1. Sea F : D⊂ Rn _{→ R}m _{una funci´on definida sobre un conjunto}

D ⊂ Rn_{. Se dice que F es una funci´on vectorial de varias variables. Si F hace}

corresponder a un vector X = (x1, x2, ..., xn) ∈ D un ´unico vector Y ∈ Rm tal que

Y =F(X) = (F1(X), F2(X), ..., Fm(X)).

A las funciones Fi :D⊂Rn→R se les llama funciones coordenadas.

Si n =m, la funci´on F se llama CAMPO VECTORIAL (en Rn_).

1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES 2

Figura 1.1: Estos vectores representan campos de velocidades de la distribuci´on del viento superficial-Regi´on Per´u

NOTA 1.1.1. La idea de visualizar el campo vectorial F es colocar un vector

F(X)∈Rn _{de manera que su punto inicial sea X ∈D.}

Ejemplo 1.1.1. Un campo vectorial en R2 _{est´a definido por}

F(x, y) = (−y, x)

Describa F trazando alguno de los vectores F(x, y).

Figura 1.2:

Soluci´on

(x, y) F(x,y) (1,0) (0,1) (0,1) (-1,0) (-1,0) (0,-1) (0,-1) (1,0)

Ejemplo 1.1.2. Grafique el campo de vectores F(x, y, z) = (−x,−y,−z)

1.2. LIMITES DE UNA FUNCI ´ON VECTORIAL DE VARIAS VARIABLES 3

(x, y, z) F(x,y,z) (1,0,0) (-1,0,0) (1,1,1) (-1,-1,-1) (-1,-1,-1) (1,1,1)

Figura 1.3:

1.2.

Limites de una funci´

on vectorial de varias variables

Definici´on 1.2.1. Sea F una funci´on definida en un conjunto D ⊂ Rn _{a valores}

en Rm _{y sea A ∈ R}n _{un punto de acumulaci´on de D. Diremos que el limite de F}

cuando X tiende a A es L = (l1, l2, ...lm)∈Rm (denotado por l´ımX→AF(X) = L )

si para cada ² > 0 es posible hallar un δ > 0 tal que kf(X)−Ak < ² siempre que

X ∈D y 0<kX−Ak< δ. Simb´olicamente:

l´ım

X→Af(X) =L⇔ ∀² >0∃δ >0/ X ∈D ∧ 0<kX−Ak< δ ⇒ kF(X)−Lk< ²

Teorema 1.2.1. Sea F : D ⊂ Rn _{→ R}m _{donde F = (F}

1, F2, ...Fm).Si A ∈ Rn un

punto de acumulaci´on deDyL= (l1, l2, ...lm)∈Rm diremos que l´ımX→AF(X) =L

si y solo si

l´ım

X→AF1(X) = l1 , Xl´ım→AF2(X) =l2 , . . . , Xl´ım→AFm(X) =lm

Ejemplo 1.2.1. Calcule l´ım (x,y)→(1,2)(x

2_+y2_,2x+y,2y)

Soluci´on

l´ım (x,y)→(1,2)(x

2_+y2_{,2x+y,2y) = ( l´ım} (x,y)→(1,2)x

2_+y2_{, l´ım}

(x,y)→(1,2)2x+y,(x,y)l´ım→(1,2)2y) = (5,4,4)

NOTA 1.2.1.

1.3. CONTINUIDAD DE UNA FUNCI ´ON VECTORIAL DE VARIAS VARIABLES 4

1.3.

Continuidad de una funci´

on vectorial de varias

vari-ables

Definici´on 1.3.1. Sea F :D⊂Rn _→Rm _{una funci´on vectorial de varias variables}

definida en un conjuntoD.

1. F es continua en un punto A∈D si y solo si

∀² >0∃δ >0/ X ∈D ∧ kX−Ak< δ ⇒ kF(X)−Lk< ²

2. F es continua en un punto A∈D que es punto de acumulaci´on de D si y solo si l´ımX→AF(X) = F(A)

Teorema 1.3.1. La funci´on F :D ⊂Rn _{→ R}m _{es continua en A∈ D si y solo si}

cada una de sus funciones componentes es continua en A.

Ejemplo 1.3.1. Pruebe que la funci´on

F(X, Y) =

 

 ³

senx−seny x−y ,e

x_−e−y

x+y

´

, (x, y)6= (0,0) (1,1), (x, y) = (0,0)

es continua en A= (0,0)

Soluci´on

l´ım (x,y)→(0,0)

µ

senx−seny

x−y ,

ex_−e−y

x+y

¶

=

µ

l´ım (x,y)→(0,0)

senx−seny

x−y ,(x,y)l´ım→(0,0)

ex_−e−y

x+y

¶

Calculamos:

l´ım (x,y)→(0,0)

senx−seny

x−y =(x,y)l´ım→(0,0) 2

x−ysen( x−y

2 )cos(

x+y

2 ) = 1 y

l´ım (x,y)→(0,0)

ex_−e−y

x+y =(x,y)l´ım→(0,0)e

−y ex+y −1

x+y = 1

Reemplazando estos ´ultimos resultados en (1) se tiene:

l´ım

1.4. DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCI ´ON VECTORIAL DE VARIAS VARIABLES5

1.4.

Derivadas parciales de una funci´

on vectorial de varias

variables

Definici´on 1.4.1. Sea F :D⊂Rn _→Rm _{una funci´on vectorial de varias variables}

definida en un conjunto abierto D por:

F(x1, x2, ..., xn) = (F1(x1, x2, ..., xn), F2(x1, x2, ..., xn), ..., Fm(x1, x2, ..., xn))

para todo X = (x1, x2, ..., xn) ∈ D. La derivavda parcial de F con respecto a xi se

define por:

∂ F ∂ xi

(X) = l´ım h→0

F(x1, x2, ..., xi+h, ...xn)−F(x1, x2, ..., xn)

h , ∀i= 1,2,3, ..., n

siempre que este limite exista.

1.4.1. Matriz Jacobiana

Definici´on 1.4.2. Sea F :D⊂Rn _→Rm _{una funci´on vectorial de varias variables}

definida en un conjunto abierto D y A ∈D. Se llama matriz Jacobiana de F en

A, denotado por JF(A) a la matriz m×n:

JF(A) =



   

∂ F1

∂ x1

∂ F1

∂ x2 . . .

∂ F1

∂ xn

... ... . . . ...

∂ Fm

∂ x1

∂ Fm

∂ x2 . . .

∂ Fm

∂ xn



   

Si m=n a la determinante de esta matriz se le llama Jacobiano de F.

1.5.

Funci´

on diferenciable

Definici´on 1.5.1. Sea F :D⊂Rn _→Rm _{una funci´on vectorial de varias variables}

definida en un conjunto abierto D y A∈ D.Se dice que F es diferenciable en A si existeJF(A)y adem´as de esto, para todo vectorV = (α1, α2, ...αn)tal queV+A∈D

se cumple que

l´ım V→−→0

(f(A+V))m×1−(f(A))m×1−(JF(A))m×n(V)n×1

||V || =

− →

0

1.6. DIVERGENCIA DE UNA FUNCI ´ON VECTORIAL 6

NOTA 1.5.1. Una funci´on F : D ⊂ Rn _{→ R}m _{definida en un conjunto abierto}

D, es diferenciable en A ∈D si y solo si lo son cada una de sus funciones compo-nentes F1, F2, ..Fm. Se puede entonces estudiar la diferenciabilidad de F en A bien

directamente o bien a trav´es de sus componentes.

Teorema 1.5.1. Sea F : D ⊂ Rn _{→ R}m _{una funci´on vectorial de varias variables}

definida en un conjunto abierto D y continua en A ∈D. Si la matriz Jacobiana de

F es continua en A entonces F es diferenciable en A.

Ejemplo 1.5.1. Sea F(x, y, z) = (xyz, z ex y2

). ¿Es F diferenciable en cualquier punto (x, y, z)∈R3_.

Soluci´on

JF(x, y, z) =



 yz xz xy

2y2_exy2

2xyzexy2

exy2 



Esta matriz es continua en todo R3 _{(pues sus entradas son funciones continuas en}

R3_{) entonces por el teorema anterior F es diferenciable en (x, y, z).}

1.6.

Divergencia de una funci´

on vectorial

Supongamos que tenemos la funci´on con valores vectoriales

F(x, y, z) = P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))

con funciones componentes diferenciables P, Q y R. Entonces la divergencia de F

denotado pordiv F es la funci´on escalar definida como sigue:

div F =∇. F = ( ∂

∂ x, ∂ ∂ y,

∂

∂ z).(P, Q, R) = ∂ P

∂ x + ∂ Q

∂ y + ∂ R

∂ z

NOTA 1.6.1.

El operador ∇ se llamaoperador nabla.

Ejemplo 1.6.1. Si el campo vectorial F est´a dado por:

F(x, y, z) = (x ey_{, z seny , x y Lnz)}

1.7. EL ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL 7

Soluci´on

div F = ∂

∂ x(x e

y_{) +} ∂

∂ y(z seny) + ∂

∂ z(x y Lnz) = e

y_{+z cosy+} x y

z

div F(−3,0,2) = 1 + 2cos(0) + 0 = 3

Teorema 1.6.1. Si F y G son dos funciones vectoriales entonces se cumplen:

∇.(a F +b G) = a∇. F +b∇. G

∇.(f F) = f∇. F +∇f . F

donde f es una funci´on escalar , a y b son constantes.

Definici´on 1.6.1. Una funci´on escalar φ se dice arm´onica si es continua, tiene segundas derivadas continuas y satisfacen la ecuaci´on de Laplace

∂2_φ

∂ x2 +

∂2_φ

∂ y2 +

∂2_φ

∂ z2 =∇

2_{φ = 0}

1.7.

El rotacional de un campo vectorial

El rotacional del campo vectorialF(x, y, z) =P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k

denotado porrot F se difine como:

rot F =∇ ×F =

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

i j k

∂

∂ x ∂ y∂ ∂ z∂

P Q R

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = µ ∂R ∂ y −

∂Q ∂ z ,

∂P ∂ z −

∂R ∂ x,

∂Q ∂ x −

∂P ∂ y

¶

Observaci´on 1.7.1.

∇ ×F no necesariamente es perpendicular a F.

Propiedades

Sean F y Gdos funciones vectoriales y φ una funci´on escalar, entonces:

1. ∇ ×(F +G) =∇ ×F +∇ ×G

2. ∇ ×(∇φ) = 0 siempre que φ sea de clase C2 _enR3_.

3. ∇.(∇ ×F) = 0 siempre que F sea de clase C2 _enR3_.

1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 8

5. ∇ ×(∇ ×F) = ∇(∇. F)− ∇2_F

NOTA 1.7.1.

Un campo vectorial de divergencia nula se dice Solenoidal

Sirot F = 0,el campo F de denominairrotacional.

A×(B×C) = (A . C)B−(A . B)C

Ejemplo 1.7.1. Sea el campo vectorial F = ra_{~r, donde ~r = (x, y, z) y}

r = ||~r|| 6= 0. Encuentre el valor de la constante a, para que F sea un campo solenoidal.

soluci´on

Sabemos que un campo vectorial F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) es solenoidal si su divergencia es nula, es decir,

∇.F(x, y, z) = ∂P

∂x + ∂Q

∂y + ∂R

∂z = 0

Dado queF(x, y, z) = (

P

(x2_+y2 _+z2₎a_{2 x,(x}2_+y2Q_+z2₎a_{2 y,(x}2_+y2R_+z2₎a_{2 z),} derivan-do se tiene:

∂P ∂x = (x

2_+y2 _+z2₎a₂−1_{[(a+ 1)x}2_+y2_+z2_]

∂Q ∂y = (x

2_+y2_+z2₎a

2−1[x2+ (a+ 1)y2+z2]

∂R ∂z = (x

2_+y2_+z2₎a

2−1[x2+y2+ (a+ 1)z2]

Sumando estos resultados se obtiene:

∂P ∂x +

∂Q ∂y +

∂R ∂z = (x

2_+y2_+z2₎a₂−1_{(a+ 3) [x}2_+y2_+z2_]

Por lo tanto, el campo vectorialF es solenoidal si a=−3.

1.8.

Ejercicios Propuestos

1. Trace el campo vectorial F dibujando un diagrama:

a)F(x, y) = (−x,2y) b). F(x, y, z) = (0, z,0) c).F(x, y, z) =j −i

1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 9

2. Encuentre el campo vectorial gradiente def:

a)f(x, y) =Ln(x+ 2y) b). f(x, y, z) = xcos(y/z)

3. a) Trace el campo vectorial F(x, y) = i+xj y luego trace algunas lineas de flujo.¿Qu´e forma parecen tener estas lineas de flujo?

b) Si las ecuaciones param´etricas de las lineas de flujo son x=x(t),y =y(t), ¿cuales ecuaciones diferenciales satisfacen estas funciones? Deduzca que

dy/dx=x.

c) Halle la ecuaci´on de la trayectoria seguida por una part´ıcula, que parte del origen de coordenadas y se mueve en el campo de velocidades dada por F.

4. Razonar la certeza o falsedad de las afirmaciones siguientes:

a) No existe l´ım (x,y)→(0,0)

µ

x2_+y3

x2_+y2, x

2_{, sen(y}2₎

¶

b) Si f(x, y) = (x2_{+y, x−y}2_{) entonces el jacobiano de f en el punto (1,0)} es -1.

c) La funci´onF(x, y) = (p|x y|, xcosy) no es diferenciable en el origen.

d) Sea f : R2 _{→ R}2 _{con f(0,0) = (1,1) y g : R}2 _{→ R con g(x, y) = x}2_+y.

Seah =g◦f. Si la matriz jacobiana de la funci´onf en (0,0) es



 1 1

2 3





entonces ∂h

∂x(0,0) = 4 y ∂h∂y(0,0) = 5.

e) Seanf y g funciones deR2 _→R2 _{conf(1,1) = (2,2). La matriz jacobiana}

de la funci´onf en el punto (1,1) es



 0 1

1 3



_{y la matriz jacobiana de la}

funci´on g en el punto (2,2) es



 1 1

1 2



_{. Entonces la matriz jacobiana de}

la funci´on compuesta g◦f en el punto (1,1) es



 1 2

4 7



_.

5. Se considera el campo vectorialF = (x2_{yz, xy}2_{z, xyz}2_{). Calcule su divergencia} y su rotacional.

6. Seafun campo escalar yF un campo vectorial. Pruebe quediv(f F) = ∇f.F+

1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 10

7. Seaaun vector constanteRel vector posici´on. Se considera el vectorv =a×R. Demuestre que div v= 0

8. Sea f un campo escalar yF un campo vectorial. Pruebe que rot(f F) =∇f×

F +f rotF.

Referenciales

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[2] Apostol Tom, M. C´alculus Vol II. Ed. Reverte. Barcelona 2001.

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[5] De Guzm´an, M. Aventuras Matematicas. Ed. pir´amide. Madrid 2004.

[6] Galindo Soto, F. Gu´ıa pr´actica de c´alculo infinitesimal en varias variables. Ed. Thomson. Madrid 2005.

[7] Garcia Lopez, A. C´alculo II, ed.,CLAGSA, Madrid, 1997.

[8] Lima, E. Curso de An´alise, Volume 2. Ed. Projeto Euclides. IMPA. Rio de Janeiro 1981.

[9] Lima, E. An´alisis Real. Ed. IMCA. Lima 1997.

[10] Llorens fuster, J. Introducci´on a derive 6. Ed. Deisoft, c.b. Valencia Espa˜na 2003.

[11] Pita Ruiz, C.C´alculo Vectorial, ed.,Prentice Hall, Mexico, 1998.

[12] Stewart, J.C´alculo Mutivariable. Cuarta Edici´on Ed. Thomson Learning 2006.

[13] Velasco Sotomayor, G. Problemario de c´alculo multivariable. Ed. Thomson, Learning, Mexico, D.F. 2003.