Geometria PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD RESUELTOS

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(1) x  2y  z  0 1. Dados la recta r:  y el punto P(1, 0, 1) exterior a r:     x 2y z 2  a) Hallar la ecuación en forma general del plano  que contiene a r y a P b) Hallar la ecuación (como intersección de dos planos) de la recta s que pasa por P y es paralela a la recta r. Solución:  x  2y  z  0 a) Dos puntos de la recta r:   x  2y  z  2 xz0 y0   z  1 , x  1  A(1, 0, 1)  x  z  2  2y  z  1 x 1   2y  z  3.  z  1 , y  1  B(1, 1, 1).   Se tienen los vectores directores AB  (2, 1, 0) y AP  (2, 0, 0) La ecuación implicita del plano que pasa por el punto P(1, 0, 1) con   vectores AB  (2, 1, 0) y AP  (2, 0, 0) será:.

(2) 2 2 x 1 1 0 y  0    z 1  0 0 0 z 1    b) s es paralela a r: us  ur  AB  (2, 1, 0) s. x 1 y z 1   2 1 0.  x 1 y  2  1 x  2y  1  0 x 1 y z 1      s 2 1 0  z 1  0 x 1  z 1  2 0  x  2y  z  0 2. Dada la recta r:  y los puntos P(1,  2, 0) y Q (0, 1, 3): x z  0 a) Hallar la ecuación del plano  que contiene a r y es paralelo a PQ b) Hallar la ecuación de la recta s perpendicular a r que pasa por Q e interseca a r. Solución:  x  2y  z  0 a) Las ecuaciones paramétricas de la recta r:  x z  0  x  2y  0 z0  x0  xz 2 y 1  x z 0.  x  0 , y  0  A(0, 0, 0).  x  1 , z  1  B(1, 1, 1). Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto  A(0, 0, 0) con vector director AB  (1, 1, 1): x    r  y   z   .

(3) La ecuación implicita del plano que pasa por el punto A(0, 0, 0)   con vectores AB  (1, 1, 1) y PQ  (1, 3, 3) será: 1 1 x 1 3 y  0    y  z  0 1 3 z b) Sea H  r  s. Como Hr se tiene (x, y, z)  ( ,  , )  HQ  ( , 1   , 3  )   Siendo r  s  AB  HQ  (1, 1, 1)  ( , 1   , 3  )  0 .   4 4 4 4  4 1 5 entonces HQ    , 1  , 3      ,  ,  3 3 3  3 3 3  3. Las ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por el punto   4 1 5  Q (0, 1, 3) con vector director HQ    ,  ,  , o bien,  3 3 3  v s  (4,  1, 5) , serán:  x  4  s  y  1   z  3  5 .

(4)      rango(u, v)  rango(u, v, AB)  1  Coincidentes.      rango(u, v)  1  rango(u, v, AB)  2  Paralelas.      rango(u, v)  2  rango(u, v, AB)  Secantes.      rango(u, v)  2  rango(u, v, AB)  3  Se cruzan.

(5) 3. Encuentra un valor de a  0 para que las rectas:  x  y  5z  3 y 3 z y x 1   a 2   2x  z  1 sean paralelas. Para el valor de a que has encontrado, calcula la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.. Solución:  x  y  5z  3 a) Las ecuaciones paramétricas de la recta r:    2x  z  1 x  y  2 z 1   2x  0.  x  0 , y  2  A(0, 2, 1). y  5z  4 x 1  z 3.  z  3 , y  11  B(1, 11,3). Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto x     A(0, 2, 1) con vector director AB  (1, 9, 2): r  y  2  9  z  1  2  s  x 1 . C(1, 3,0) y 3 z    a 2  v s  (1, a, 2).   Como r  s  Los vectores AB  (1, 9, 2) y v s  (1, a, 2) son proporcionales:. 1 9 2    a9 1 a 2. La ecuación implicita del plano que pasa por el punto A(0, 2, 1) con vectores   AB  (1, 9, 2) y AC  (1, 1,  1) será: 1 1 9. 1. x y  2  0    11x  y  10z  8  0. 2 1 z  1.

(6) x 1 y 1 z 2   2 3 1 a) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r. b) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es 4. Dada la recta r definida por:. perpencicular a r.. Solución: a) r:. x 1 y 1 z 2   2 3 1.  A(1,  1, 2) , ur  (2, 3, 1) La ecuación implicita del plano que pasa por el punto O(0, 0, 0)   con vectores directores AO  (1, 1,  2) y ur  (2, 3, 1) será: 1 2 x   1 3 y  0    7x  3y  5z  0 2 1 z   b) Si r   '  n '  ur  (2, 3, 1) La ecuación implicita del plano  ' será: 2x  3y  z  D  0 Como O(0, 0, 0) es un punto del plano ', sustituyendo: D  0 La ecuación implicita del plano  '  2x  3y  z  0.

(7) 5. Dados los puntos A(2, 1, 1) y B(0, 0, 1), halla los puntos C en el eje OX tales que el área del triángulo de vértices A, B y C es 2.. Solución:.   AC x AB A 2 2  AC  (x  2,  1,  1)  AB  (2,  1, 0)  i.  j.  k.      AC x AB  x  2 1 1   i  2 j  xk  (1, 2,  x) 2 1 0   AC x AB  (1)2  22  (x)2 .   AC x AB A  2. 5  x2 2  2. 5  x2. 5  x2  4. 5  x 2  16  x   11 Los puntos pedidos son: ( 11, 0, 0) y ( 11, 0, 0) 6. Considera las rectas: x  y z 4  0 x  2  0 r y s  x  2y  7  0 y  5  0 a) Estudia la posición relativa de r y s.  b) Halla un punto P de r y otro punto Q de s tales que el vector PQ sea perpendicular a ambas. c) ¿Cuántos cuadrados se pueden construir teniendo un vértice en el punto P y un lado en la recta s?. Calcula su área.. Solución: a) Dos puntos y un vector director de la recta r son:.

(8) x  y  4 z0   y 3 , x 1 x  2y  7. A(1, 3, 0). x  z  4 y0  x  7 , z  3 B(7, 0, 3) x 7     AB  (6,  3, 3)  ur  (2,  1,1)  Adviértase que también se podría haber calculado un vector director de la recta r de la siguiente forma: x  y z 4  0 r  x  2y  7  0 x  y z 4  0 r  x  2y  7  0   i j.  n1  (1, 1,  1)       ur  n1 x n2 n2  (1, 2, 0)  k.       ur  n1 x n2  1 1 1  2 i  j  k  (2,  1,1) 1 2 0 x  2  0 Las ecuaciones paramétricas de la recta s   son: y  5  0 x  2  s  y  5 z   .   C(2,  5, 0) , v s  C(0, 0, 1). Se tienen los vectores:  ur  (2,  1,1)  v s  C(0, 0, 1)  CB  C(5, 5, 3).

(9) 2. 0 5. 1 0 5  15  0  1. 1 3. Los vectores son linealmente independientes. Las rectas se cruzan. b) Los puntos de las recta r y s tienen la forma:. x  7  2  r   y   z  3   . x  2  s  y  5 z   .  P(7  2 ,   , 3  ) Q (2,  5, ) PQ  (5  2 ,  5   ,   3  )     Si PQ  r  PQ . ur  (5  2 ,  5   ,   3  ). (2,  1, 1)  0 2(5  2)  (5  )  (  3  )  0    6  8  0 (1).     Si PQ  s  PQ . us  (5  2 ,  5   ,   3  ). (0, 0, 1)  0 0(5  2)  0 (5  )  (  3  )  0    3    0 (2).   1   6  8  Resolviendo el sistema (1) y (2):   2   3 Sustituyendo en P(7  2 ,   , 3  ) y Q (2,  5, ):.  P(5,1, 2) y Q (2,  5, 2) y PQ (3,  6, 0) c) Se pueden construir dos cuadrados que tengan un vértice en P y un lado en la recta s. La longitud de los cuadrados  es PQ.  PQ  9  36  45.  2 A cuadrado  PQ  45u2.

(10)   7. a) Prueba que si dos vectores u y v tienen el mismo módulo,   entonces los vectores u+v y u  v son ortogonales.   b) Considera los vectores x  (1, 2, 3) e y  (2, 3,  1)   1) Son linealmente independientes los vectores x  y y x  y 2) Calcula el área del paralelogramo que tiene tres vértices consecutivos en los puntos (1, 5, 2) , (0, 0, 0) y (3,  1, 4). Solución:     a) u  (u1 ,u2 , u3 ) , v  (v1 , v2 , v 3 ) , u  v  u  v  (u1  v1 ,u2  v2 , u3  v 3 )  u  v  (u1  v1 , u2  v2 , u3  v 3 )     Si u  v  u  v  (u  v). (u  v)  0   (u1  v1 , u2  v2 , u3  v 3 ). (u1  v1 , u2  v2 ,u3  v 3 )  0   (u1  v1 ). (u1  v1 )  (u2  v 2 ). (u2  v 2 )  (u3  v 3 ). (u3  v 3 )  0   u12  v12  u22  v22  u23  v23  0  2 2    (u12  u22  u23 )  (v12  v 22  v 23 )  0  u  v  0 pues u  v   b) 1) x  (1, 2, 3) , y  (2, 3,  1)   x  y  (1, 5, 2) , x  y  (3,  1, 4) 1 5  1 5 2 rango   2 ya que 0    3  1 4  3  1     Por tanto, x  y e x  y son linealmente independientes. . . c) BA  (1, 5, 2) , BC  (3,  1, 4).   AParalelogramo  BA x BC.

(11)  i.  j.  k.      BA x BC  1 5 2  22 i  10 j  14k  (22,  10, 14) 3 1 4   AParalelogramo  BA x BC  222  (10)2  142 . 780 u2.    8. Dados los vectores u  (a, b, 1) , v  (3, 4, 1) y w  (1, 2, c), determina el valor de los parámetros a, b , c   de manera   que los vectores v y w sean perpendiculares y además    u x w  v , donde x denota el producto vectorial.   ¿Qué ángulo forman u y v en dicho caso?. Solución:    u  (a, b, 1) , v  (3, 4, 1) , w  (1, 2, c)      Si v  w  v.w  0  (3, 4, 1) . (1, 2, c)  0    3  8  c  0  c  5  i.  j.  k.       u x v  a b 1  (5b  2) i  (5a  1) j  (2a  b)k 1 2 5   u x v  (5b  2, 5a  1, 2a  b)  5b  2  3 b 1/ 5     Si u x w  v  5a  1  4  a3/5 2a  b  1    En este caso u y v son perpendiculares:   3 1  9 4 u . v   , , 1  . (3, 4, 1)   1 0 5 5 5 5 .

(12) x  y  2  0 9. Dadas las rectas: r   y  z  1 a) Determinar su posición relativa. x  2 s y z5 0. b) En caso de cortarse, determinar el ángulo que forman y el punto de corte. Solución: x  y  2  0 a) Un punto A y un vector director de r    z  1  i.  j.  k.       ur  n1 x n2  1 1 0   i  j  ur  (1,  1, 0) 0 0 1 y  2  0 x0   z  1. y 2. A(0, 2,  1) x  2 Dos puntos B y C y un vector director de s   y z5 0 x  2 z0   y5 y  5  0  x 2 y0   z  5  z  5  0 . B(2, 5, 0). C(2, 0,  5).   BC  (0,  5,  5)  v s  (0,  1,  1)  Por otra parte, AB  (2, 3,1).

(13) 1 1 0 Los vectores son linealmente      ur , v s , AB   0 1 1  0  dependientes y ur , v s no son 2 3 1 proporcionales Las rectas son secantes       ur . v s  ur v s cos(u r vs )   ur . v s  (1,  1, 0). (0,  1,  1)  1   ur  2 , v s  2     ur . v s cos(ur v s )    ur v s. . 1 1   2 2. 2.   o (u r v s )  120.  10. Resolver la siguiente ecuación vectorial: x  (2, 1,  1)  (1, 3, 5)  sabiendo que x  6 , donde el símbolo  significa producto vectorial.. Solución:  Si x  (a,b, c)  (a, b, c)  (2,1,  1)  (1, 3, 5)   i j.  k.    a b c  (b  c) i  (a  2c) j  (a  2b)k  (1, 3, 5) 2 1 1.  3a c  2 b  c  1 sistema con      a  2c  3  infinitas soluciones  a  2b  5  a5  b   2  La solución debe verificar x  a2  b2  c2  6 a2  b2  c2  6 sustituyendo, queda:.

(14) a  1 2 2   a5  3a 2 a      6  3a  8a  5  0   5  2   2  a  3 2. obteniéndose los resultados:  a  1, b  2, c  1.  x1  (1,  2,1). 5 5 2  a , b , c 3 3 3.  5 5 2 x2   ,  ,  3 3 3. 11. Se consideran las rectas: x y 1 z  3 x 2 y z 1 r   y s   1 2 2 3 1 1 a) Justificar razonadamente que ambas rectas se cruzan. b) Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas.. Solución: a) Un punto y un vector director de cada recta: r.  x y 1 z 3    ur  (1,  2, 2) , A(0,1, 3) 1 2 2. s. x 2 y z 1   3 1 1.   v s  (3, 1,  1) , B(2, 0,  1).  AB  (2,  1,  4).    Si r y s se cruzan, los vectores ur , v s y AB serán linealmente independientes, en consecuencia, su determinante debería ser distinto de cero..

(15) 1 2. 2. 3. 1  35  0  r y r se cruzan. 1. 2 1 4 b) Denotando por t a la perpendicular común.  i.  j.  k.    w t  1 2 2  7 j  7 k 3 1 1   w t  (0, 7, 7)  w t  (0,1, 1).   El plano  que contiene a w t y a la recta r: ur  (1,  2, 2) , A(0, 1, 3): 0. 1. x.   1 2 y  1  0    4x  y  z  2  0 1. 2. z3. Un punto Q de la recta t será Q    s, se halla sustituyendo las ecuaciones paramétricas de la recta s en :.  x  2  3 x 2 y z 1  s  y     3 1 1 z  1      4x  y  z  2  0    4(2  3)    (1  )  2  0 14  11  0   . 11 14. 33 11 11    5 11 3  Q 2  ,  , 1    Q  , ,   14 14 14   14 14 14 .

(16) La ecuación de la recta t perpendicular a las rectas r y s, con el   5 11 3  vector director w t  (0, 1,1) y el punto Q  , ,  , será:  14 14 14 . 5  x   14   11 t  y   14   3  z  14   x  y  z  0 12. Dados el plano  : x  y  2z  5  0 y la recta r   2x  y  z  10 a) Calcula el punto de intersección entre el plano y la recta. b) Encuentra la ecuación continua de la recta s contenida en el plano , que es perpendicular a r y corta a la recta r.. Solución:   n1  (1, 1, 1)  x  y  z  0 a) r    2x  y  z  10  n2  (2,  1, 1)  i.  j.  k.    ur  n1 x n2  (1, 1, 1) x (2,  1,  1)  1 1 1  (2, 1,  3) 2 1 1 y  z  0  z  5 , y  5 A(0,  5, 5) para x  0   y  z  10  x  2  Las ecuaciones paramétricas de r   y  5    z  5  3 Para hallar un punto P  r   se sustituyen las ecuaciones paramétricas de la recta r en el plano   : x  y  2z  5  0  2  (5  )  2(5  3)  5  0.

(17) 5  10  0    2 y el punto P(4,  3,  1)   s    v s  n b)     s  r  v s  ur Como s   y s corta a r, el punto P  s  i.  j.  k.    v s  ur x n  2 1 3  (1,  7,  3) 1 1 2 La ecuación continua de s: s . x 4 y 3 z 1   1 7 3. 13. Un plano  determina sobre la parte positiva de los ejes OX, OY y OZ tres segmentos de longitudes 2, 3 y 4 m, respectivamente. a) Halle la ecuación del plano . b) Halle la ecuación de la recta r que contiene a los puntos A(2, 0, 3) y B(0, 6, a) y estudie la posición relativa de  y r según los valores de a. c) Para el caso a  2, halle el punto donde se cortan  y r.. Solución: a) El plano  pasa por los puntos A(2,0, 0) , B (0,3, 0) y C(0,0, 4)  AB  (  2,3, 0)  AC  (  2,0, 4)   El plano  se halla con A(2,0, 0) , AB  (2,3, 0) y AC  (2,0, 4):.

(18) 2 2 x  2  3. 0. y. 0. 4. z.  0    6x  4y  3z  12  0. b) La ecuación paramétrica de la recta r que pasa por los  puntos A(2,0,3) , B(0, 6, a) , con AB  (2, 6, a  3) será:  x  2  2  r   y  6  z  3  (a  3)   Para hallar la posición relativa de r y , se sustituyen las ecuaciones de r en el plano :   6x  4y  3z  12  0  6(2  2)  4 (6)  33  (a  3)    12  0  3   3a   9  Si a  1 no existe valor de   r   9  3  3a Si a  1  r y  se cortan 9 c) Si a  2     1 3 3.2 . sustituyendo los valores a  2 y   1 en la recta r: x  2  2  r   y  6 z  31 . se cortan en P(4,  6, 4).

(19) 14. Dados los puntos P1 (1, 3,  1) , P2 (a, 2, 0) , P3 (1, 5, 4) y P4 (2, 0, 2), se pide: a) Hallar el valor de a para que los cuatro puntos estén en el mismo plano. b) Hallar los valores de a para que el tetraedro con vértices en P1 , P2 , P3 , P4 tenga volumen igual a 7. c) Hallar la ecuación del plano cuyos puntos equidisten de P1 y de P3 .. Solución: a) Sean los puntos P1 (1, 3,  1) , P2 (a, 2, 0) , P3 (1, 5, 4) y P4 (2, 0, 2)  La ecuación del plano  que pasa por P1 , P3 y P4 con P1 P3  (0, 2, 5),  P1 P4  (1,  3, 3) y P4 (2, 0, 2):. 0. 1. x 2.   2 3. y. 5. z 2. 3.  0    21x  5y  2z  38  0. Ahora se impone la condición que P2 (a, 2, 0) verifique la ecuación: 21.a 5.2  2.0  38  0  21a  28  a . 28 4  21 3. b)  P1 P2  (a  1,  1, 1)  P1 P3  (0, 2, 5)  P1 P4  (1,  3, 3).    1 1 VTetraedro  det P1 P2 , P1 P3 , P1 P4  6 6. . . a1 0. 1. 1. 2 3  7 . 1. 5. 3.  21a  28  42  a . 70 10  21 3.

(20) c) Si ' equidista de P1 y de P3 , entonces M, el punto medio de  P1 P3 , pertenece a ': M. P1  P3  3   1, 4,  2  2.    El plano ' es perpendicular a P1 P3 , en consecuencia, n'  P1 P3  (0, 2, 5) La ecuación del plano ' es de la forma: 2y  5z  D  0 3  Como M  1, 4,   ' tiene que verificar la ecuación del plano:  2 3 31 31 2.4  5.  D  0  D    '  2y  5z   0 2 2 2  '  4y  10z  31  0. 3x  y  z  6  0 15. Dados el plano  : x  y  z  1  0 y la recta r:   2x  y  2  0 a) Estudia la posición relativa de r y . Calcula la distancia de r a  b) Calcula la ecuación general o implícita del plano que contiene a r y es perpendicular a .. Solución: a)  : x  y  z  1  0  3x  y  z  6  0  n1  (3, 1, 1) r:    2x  y  2  0 n 2  (2,1, 0)   3x  y  z  6  0  n1  (3, 1, 1) r:    2x  y  2  0 n 2  (2,1, 0) .

(21)    i j k    ur  n1 x n2  3 1 1  (1, 2, 1) 2 1 0 Un punto de r, por ejemplo, si y  0:  3x  z  6  0 y0   x 1 , z 3 2x  2  0. A(1, 0, 3). x  1    Ecuaciones paramétricas de r  y  2  z  3    Para hallar la posición relativa de r y , se sustituyen las ecuaciones paramétricas de r en el plano :  : (1  )  2   (3  )  1  0   3  0 Como la ecuación no tiene solución, r y  no tienen puntos comunes. En consecuencia, r   La distancia entre r y , con A(1, 0, 3) y  : x  y  z  1  0, es: dist(r, )  dist(A, ) . 1.1  1.0  1.3  1 12  12  (1)2. . 3  3u 3.  c) Como '    n  '   ' se determina con A, ur y n. 1. 1. '  2. 1. 1. x 1 y  0  '  x  z  4  0. 1 z  3.

(22) 16. a) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano  determinado por los puntos A(1, 0, 2) , B(2, 1, 3) y C(3, 0, 0) b) Calcula los posibles valores de a para que el punto P(a, a, a) equidiste de la recta r y del plano π del apartado anterior.. Solución:.   a) A(1, 0, 2) , B(2, 1, 3) , C(3, 0, 0)  AB  (1, 1, 1) , AC  (2, 0,  2)    i j k    n  AB x AC  1 1 1  (2, 4,  2) 2 0 2  n  (1, 2,  1)   Como r    ur  n  (1, 2,  1) Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por O(0, 0, 0)  con vector director ur  (1, 2,  1): x    r  y  2   z    b).  La distancia del punto P a la recta r:.

(23)   ur x OP    Areaparalelogramo  ur x OP  ur . d  d  dist(P, r)   ur    i j k   ur x OP  1 2 1  (3a, 0,  3a) a a a   ur x OP .  ur  (1)2  22  (1)2  6. 9a2  9a2  3a 2.   ur x OP 3a 2 d  dist(P, r)    a 3 ur 6 Para calcular la ecuación del plano  se toma el punto C(3, 0, 0)   y los vectores AB  (1, 1, 1) y AC  (2, 0,  2) 1. 2. x 3.  1. 0. y. 1 2. z.  0    x  2y  z  3  0.  La distancia del punto P al plano : dist(P, ) . 1. a  2. a  1. a  3 12  (2)2  12.  dist(P, )  dist(P, r) . . 3 6  2 6. 6 2 a 3  a 2 2.

(24) 17. Dado el punto P(1, 1, 1) y el plano  : x  y  z  5 a) Calcula las ecuaciones continuas de la recta perpendicular al plano  que pasa por el punto P. b) Calcula el punto simétrico de P respecto del plano .. Solución: a) P(1, 1, 1) ,  : x  y  z  5.   r    ur  n  (1, ‐1, 1) r. x 1 y 1 z 1   1 1 1. b) El punto O  r   se calcula sustituyendo las ecuaciones paramétricas de r en la ecuación del plano. x  1    r  y  1   z  1    3  4   . : x  y  z  5 (1  )  (1  )  (1  )  5 4 7 1 7  O ,  ,  3 3 3 3. 11 x 1 7  x    2 3 3  P  P'  y  1 1 5 O     y 2 3 3  2 11 z 1 7  z  2  3 3  11 5 11  El punto simétrico de P respecto de  es P'  , ,   3 3 3.

(25) 18. Dado el punto P(1, 1, 3) y la recta 2x  y  2z  3  0 r x  y  4  0 encuentre la ecuación general del plano  que es perpendicular a la recta r y que cumple dist(P, )  3. Solución:  2x  y  2z  3  0  n1  (2,  1,  2) a) P(1, 1, 3) , r    x  y  4  0  n 2  (1,  1, 0)     i j k     r    ur  n  n1 x n2  2 1 2  (2,  2,  1) 1 1 0.   2x  2y  z  D  0. Como dist(P, ) . 7  D  9 . 2.1  2.1  1.3  D (2)2  (2)2  (1)2. 7  D  9  D  16 7  D  9  D  2. Hay dos planos que verifican las condiciones:   2x  2y  z  16  0  '  2x  2y  z  2  0. 3 . 7  D 3 3.

(26) 19. Dados los puntos P(4, 2, 1) y Q (3, 3, 1), encuentra los dos puntos, R1 y R2 , del plano   x  y  2z  3  0 tales que PQR1 y PQR2 son triángulos equiláteros.. Solución: a) P(4, 2, 1) , Q (3, 3, 1) ,   x  y  2z  3  0 Sea R(x, y,z) un punto del plano    PQ  (1, 1, 0)  PQ  2  PR  (x  4, y  2, z  1)  QR  (x  3, y  3, z  1) Para que el triángulo PQR sea equilátero, se tiene que cumplir:    PQ  PR  QR  2  PR  (x  4)2  ( y  2)2  ( z  1)2  2. (1).  QR  (x  3)2  ( y  3)2  ( z  1)2  2. (2). Como R  verifica la ecuación: x  y  2z  3  0. (3). Operando, resulta el sistema: x 2  y2  z2  8x  4 y  2z  19  0  2 2 2  x  y  z  6x  6 y  2z  17  0  x  y  2z  3  0  Restando la 2ª ecuación de la 1ª, resulta:  2x  2y  2  0  2x  2y  2  0 2x  2y  2  0    x  y  2z  3  0  2x  2y  4z  6  0 x  y  2z  3  0  x  y  1  x  1  y.  z2.

(27) Con z  2, x  1  y en x 2  y2  z2  8x  4 y  2z  19  0 (1  y)2  y2  4  8 (1  y)  4 y  4  19  0 y  3 x  4 y2  5 y  6  0   y  2 x  3 Los puntos pedidos son: R1 (4, 3, 2) y R2 (3, 2, 2)     20. a) Si v  6 , w  10 y v  w  14 , calcula el ángulo que forman   los vectores v y w. b) Calcula las ecuaciones paramétricas y la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(1, 5, 0) y B(0, 1, 1) y es paralelo a la recta 3x  2y  3  0 r  2y  3z  1  0. Solución:     a) v  6 , w  10 , v  w  14 Por el teorema del coseno: a2  b2  c2  2bc cos Aˆ 142  62  102  2.6.10.cos Aˆ  196  136  120.cos Aˆ cos Aˆ . 1  Aˆ  120º 2.  b) A(1, 5, 0) , B(0, 1, 1) , AB  (1,  4,1)   3x  2y  3  0  n1  (3, 2, 0) r  2y  3z  1  0 n  2  (0, 2,  3)     i j k     ur  n1 x n2  3 2 0  (6, 9, 6) / ur  (2, 3, 2) 0 2 3.

(28) Ecuación paramétrica plano : x    2    y  1  4   3    z  1    2 La ecuación general del plano  que pasa por el punto B(0,1, 1)   con vectores directores AB  (1,  4, 1) y ur  (2, 3, 2): 1 2 x   4 3 y  1  0 1 2 z 1. .   11x  4 y  5z  9  0. 21. Se considera el plano   x  2y  z  1  0, la recta x 2 y 1   z  3 y el punto A(1, 0, 2). 3 2 a) Obtener la ecuación del plano 1 que pasa por el punto A, r. es paralelo a la recta r y es perpendicular al plano . b) Determinar, si es posible, un plano perpendicular a  que pase por A y que no sea paralelo a r.. Solución:  a) El vector normal n al plano  está contenido en el plano 1 . Siendo el plano 1  r un vector paralelo   al vector director ur de la recta r (ur' ) está contenido en el plano 1 . Un vector perpendicular al plano 1    será n1  ur x n r.  x 2 y 1   z  3  ur  (3, 2, 1) 3 2.

(29)    x  2y  z  1  0  n  (1, 2,1)    i j k      n1  ur x n  3 2 1  4 j  8k  (0,  4, 8) 1 2 1 La ecuación del plano 1 que pasa por el punto A(1, 0, 2) con vector  normal n1  (0,  4, 8) será: 0. (x  1)  4.(y  0)  8.(z 2)  0  1   y  2z  4  0 b) Un punto de r . x 2 y 1  z3 3 2. es B(2, 1, 3).  Se impone que el vector AB pertenezca al plano 2 . De este modo, corta a la recta r en el punto B, y el nuevo plano 2 y r no son paralelos..  AB  (2,1, 3)  (1, 0, 2)  (1,1,1)   Como 2    x  2y  z  1  0  v 2  n  (1, 2, 1). Otro vector de 2  será AB  (1, 1, 1), y un punto del plano es B(2,1, 3). x 2 y 1 z 3 2  1 1 1  0  2  x  2y  3z  5  0 1 2 1.

(30) 22. a) Hallar la recta que corta a las rectas: x  2y  2  0 s 2y  z  5  0 y que pasa por el punto A(2, 0,  7) b) Calcular la distancia del punto A a la recta r. x y 2 z 1  r  2 3 3. y. Solución: a)Para estudiar la posición relativa de las rectas r y s  Un punto P y un vector director ur de la recta r: x y 2 z 1 r    P(0, 2, 1) 2 3 3.  ur  (2,  3, 3).  Un punto B y un vector director v s de la recta s: x  2y  2  0 y  1 s  si x  0   B(0,  1, 7) 2y  z  5  0 z  7      i j k     v s  1 2 0  2 i  j  2k  (2,  1, 2) 0 2 1    Sean ur  (2,  3, 3) , v s  (2,  1, 2) y PB  (0,  1, 7)  (0, 2, 1)  (0,  3, 6) 2 3 3 2 1 2  0  Las rectas r y s se cruzan 0 3 6  Sea t la recta que corta a las rectas r y s y que pasa por A El plano  que pasa por A y contiene a s:   x  2y  2  0 El punto A(2, 0,  7) cumple la ecuación del plano   x  2y  2  0  Se calcula el punto P    r.

(31) x  2   Las ecuaciones paramétricas de r   y  2  3  z  1  3  Sustituyendo r en el plano , resulta:   x  2y  2  0  2   2(2  3 )  2  0    Sustituyendo el valor  . 3 en r: 2. 3 2. 5 11   P  3,  ,  2 2  .  Las ecuaciones paramétricas de la recta t que pasa por los puntos   5 11  5 25   A(2, 0,  7) y P  3,  ,  con AP   5,  ,  : 2 2  2 2    x  2  5   5 t  y     2  25  z  7    2. . t. x 2 y z7   5 5 / 2 25 / 2.    b) S  ur x PA  h. ur   u x PA h  d(A, r)  r  ur  (2,  3, 3) PA  (2, 0,  7)  (0, 2, 1)  (2,  2,  8)    i j k      ur x PA  2 3 3  30 i  10 j  10k  (30, 10,  10) 2 2 8   ur x PA  302  102  (10)2  1100  10 11  ur  22  (3)2  32  22  2 . 11.   ur x PA 10 . 11 10 d(A, r)  h     5 2 ur 2 2 . 11.

(32) 23. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen de coordenadas y pasa por los focos de la elipse. x 2 y2  1 25 9. Solución: x2 y2   1  a2  25 , b2  9 25 9 Al ser una elipse se cumple que: a2  b2  c2  25  9  c2  c   4 Los focos de la elipse son: (4, 0) y (4, 0) El radio de la circunferencia es 4. Su ecuación es: x2  y2  r2  x2  y2  16. 24. Calcular el ángulo que forma la recta r  con el plano   2x  5y  7z  11  0. x 3 y 1 z 1   2 5 1. Solución: ang(r, )         n . ur  n . ur . cos(nπˆ ur )   n . ur sen   cos(90  )    n . ur r.   x 3 y 1 z 1    ur  (2, 5,  1)  ur  22  52  (1)2  30 2 5 1.   n  (2,  5, 7)  n  22  (5)2  72  78.   n . ur  (2,  5, 7). (2, 5,  1)  4  25  7  28   n . ur 28    35o 22' sen   cos(90  )     n . ur 78 . 30.

(33) 25. Dado el punto P(1,  2, 2). Calcula la ecuación de la recta r' x  2    simétrica de r  y  1   z  2  . respecto del punto P.. Solución: Sean A y B dos puntos de la recta r, se calculan las coordenadas de sus simétricos A' y B' respecto del punto P. Es decir, P es el punto medio de los segmentos AA' y BB'. La recta r' es la que une los puntos A' y B' x  2     r  y  1   z  2   .   0  x  2 y  1 z  0  A(2,1, 0).   1  x  1 y  2 z  2  B(1, 2, 2). 2a 1b 0c 1  2 2  A(2, 1, 0) y A'(a, b, c)  2 2 2  P(1,  2, 2)    B(1, 2, 2) y B'(d, e, f)  1  d 2e 2f  1  2 2 2 2 2  con lo que A'(0,  5, 4) y B'(1,  6, 2)  A'B'  (1,  1,  2) x    r'  y  5   z  4  2  .

(34) 26. Dados el plano   x  y  z  1 , la recta (x, y, z)  (1, 0, 0)   (0, 1,1), y el punto P(1, 1, 0), se pide: a) Hallar la ecuación de una recta s que sea perpendicular a r y pase por P. b) Hallar el punto P', simétrico de P respecto de r. c) Hallar el punto P'', simétrico de P respecto de .. Solución: a) Se halla el plano 1 , perpendicular a r que pasa por P: x  1    r  y    ur  n1  (0, 1,1) z   . 1  y  z  D  0. P1. . 1  0  D  0  D  1  1  y  z  1  0. Sustituyendo r en 1 resulta: 1  y  z  1  0      1  0   . 1 2.   1 1   1 1 Q (1,  , )  Q  1, ,   QP   0, ,    2 2  2 2   1 1  La ecuación de la recta s que pasa por P(1, 1, 0) con QP   0, ,   :  2 2. x  1   s  y  1   2   z    2. b) El punto Q es el punto medio del P  P' segmento PP' : Q  2.

(35)  1a  a1 1  2  1 1b P  P' Q     b  0  P'(1, 0, 1) 2 2 2 1 c  2  2  c  1.  c)   x  y  z  1  n  (1,1, 1)   Sea la recta PP'': vPP''  n  (1, 1,1) x  1    tPP''  y  1   z    El punto M es el punto medio del segmento PP'': M    PP'' Sustituyendo tPP'' en  resulta:   x  y  z  1  (1  )  (1  )    1    . 1 3. 2 2 1 M(1   , 1   , )  M , ,   3 3 3 Las coordenadas del punto P'': 1  2 1d  d 3 2 3   2 1e P  P'' 1    M  e 2 2 3 3 2  1 f     f   3 2 3. 1 1 2  P''  , ,   3 3 3.

(36) 27. a) Determina el centro y el radio de la esfera: x 2  y2  z2  2x  4 y  8z  4  0 b) Determina el centro y el radio de la circunferencia intersección de la esfera del apartado anterior con el plano z  0.. Solución: a) La ecuación de una esfera de centro C(a, b, c) y radio r es: (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  r2 x2  2ax  y2  2b y  z2  2zx  a2  b2  c2  r2  0 Comparando con la ecuación: x2  y2  z2  2x  4 y  8z  4  0 2a  2  a1  2b  4  b  2       2c  8  c  4 2 a2  b2  c2  r2  4 r  1  4  16  4  25  r  5 El centro de la esfera es el punto C(1,  2,  4) y el radio r  5 b) Primero se calcula la ecuación de la circunferencia resolviendo el sistema: x 2  y2  z2  2x  4 y  8z  4  0  x2  y2  2x  4 y  4  0  z0  La ecuación de la circunferencia de centro C(a,b) y radio r: (x  a)2  (y  b)2  r2  x 2  2ax  y2  2b y  a2  b2  r2  0 Comparando con la ecuación: x2  y2  2x  4 y  4  0  2a  2 a1     b  2  2b  4 a2  b2  r2  4 r2  1  4  4  r  3   El centro de la circunferencia es el punto C(1, ‐2) y radio r  3.

(37) 2x  y  z  3  0 28. Halla la distancia entre el punto P(2, 1, 3) y la recta r:  x  y  z  2  0. Solución:  La recta r en forma paramétrica: x  1  2 o o 2x  y  z  3  0 1 2  x  1  2z  r:     r: y  1  3  x  y  z  2  0 y  x  z  2  1  3z z  También se podía haber hecho: 2x  y  z  3  0 z0 2x  y  3 r:     x  1 y  1  A(1,  1, 0) x  y  z  2  0 x  y  2      i j k  2x  y  z  3  0  n  (2,  1,  1)   ur  1 1 1  (2, 3, 1) r:   x  y  z  2  0  n'  (1,  1,1) 2 1 1    El plano  que pasa por P(2, 1, 3) y es perpendicular a r: n  ur  (2, 3,1)   2(x  2)  3(y  1)  (z  3)  0    2x  3y  z  10  0 x  1  2   El punto de corte del plano   2x  3y  z  10  0 con r: y  1  3  z  11 2(1  2 )  3(1  3 )    10  0    14.  36 19 11  El punto de corte Q (1  2  ,  1  3  , )  Q  , ,   14 14 14  2 2 2   8 5 31  75  8   5   31   d(P, r)  d(P, Q)  PQ   , ,          14  14 14 14   14   14   14 .

(38) 29. Calcula la distancia del punto P(1, 2, 3) a la recta r:. x 1 y z 2   2 2 1. Solución: r:.   x 1 y z 2    A(1, 0, 2) ur  (2, 1, 2) AP  (2, 2,1) 2 1 2.  Utilizando la expresión vectorial la distancia del punto P a la recta r:    i j k 2 2 1 2 1 2.   AP x ur (2, 2, 1) x (2, 1, 2) (3,  6, 6)     d(P,r)   ur (2, 1, 2) (2, 1, 2) (2,1, 2) . 32  (6)2  62 (2)2  12  22. . 9 3 3.  La distancia del punto a la recta es independiente del punto de la recta que se tome y del vector director.  x  1  2   r: y   z  2  2 .   B(3, 1, 4) vr  (4, 2,  4).  BP  (4, 1,  1).    i j k 4 1 1 4 2 4.   BP x vr (4, 1,  1) x (4,  2,  4) (6, 12,  12)    3 d(P,r)   vr (4,  2,  4) (4,  2,  4) (4,  2,  4).

(39) 30. a) Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos de ecuaciones 3x  4 y  5  0 y 2x  2y  z  9  0 b) ¿Qué puntos del eje OY equidistan de ambos planos?. Solución: a) Si P(x, y, z) es uno de los puntos del lugar geométrico, entonces: 3x  4 y  5 32  (4)2. . 2x  2y  z  9 22  (2)2  12. 3x  4 y  5 2x  2y  z  9  5 3. . . 9x  12y  15  10x  10 y  5z  45. 3 3x  4 y  5  5 2x  2y  z  9 . 9x  12y  15  10x  10 y  5z  45.  x  2y  5z  30  0 resultando  19x  22y  5z  60  0 Son los planos bisectores del diedro que determinan los dos planos dados. b) Un punto del eje OY tiene la forma P(0, y, 0). La distancia de P a cada uno de los planos ha de ser igual, es decir: 4 y  5 32  (4)2. . 2y  9 22  (2)2  12. . 4 y  5 2y  9  5 3. 12y  15  10 y  45  y  15  3 4 y  5  5 2y  9 . 12y  15  10 y  45.  30  Hay dos puntos P1 (0,  15, 0) y P2  0, , 0   11 .  y. 30 11.

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