Matemática B – 6º año opción ingeniería Liceo Nº 6 Nocturno Documentación del curso – Año 2009

Matemática B – 6º año opción ingeniería

Liceo

Nº

6 Nocturno

Documentación del curso – Año 2009

6º I

₁

+ 6º I

₂

P

ROGRAMA ANALÍTICO SINTÉTICO

PRIMERA PARTE

• Sistema de abscisas:

Magnitud de un vector. Razón simple de tres puntos en un eje. Par de puntos conjugados armónicos. Punto medio de un segmento. Simétrico de un punto respecto de otro punto. Distancia entre dos puntos en un eje.

• Sistema de coordenadas cartesianas en el plano:

Distancia euclidiana. Segmentos: condición de paralelismo, condición de ortogonalidad.

• Recta.

Ecuación de la recta determinada por dos puntos, forma simétrica x x y y

x x y y

− −

=

− −

2 2

2 1 2 1 (para rectas oblicuas). Forma punto pendiente y m x x= ( − ₀)+y₀. Forma explícita

y mx n= + _{. Forma general:} ax by c+ = _{. Condición de} paralelismo y condición de perpendicualridad.

SEGUNDA PARTE

• Familias y haces de rectas.

• Circunferencia. Ecuación cartesiana (x−α +)2 (y−β = ρ)2 2 _y ecuación normal x2+y2+D x Ey F+ + =0. Discusión de la ecuación anterior.

• Posición de una recta respecto a una circunferencia.

• Potencia de un punto respecto a una circunferencia. Eje radical de dos circunferencias.

• Circunferencias ortogonales. Definición. Condición de ortogonalidad.

• Haces de circunferencias.

simetría paralelo a uno de los ejes coordenados. Determinación de los elementos de una parábola dada por su ecuación.

• Envolvente de una familia de rectas dependientes de un parámetro cuadrático.

NOTA:

R

EPARTIDOS DE PRÁCTICO DEL CURSO

EJERCICIO 1.

En cada caso halle

xA

(todas las soluciones existentes)

(a)

xB =k

y

AB= −4 k

(b)

xB = −3

y

AB=7

(c)

xB =2

y

AB=5

(d)

xB =1, xC= − ∧2 AB=BC

(e)

x_P =2; x_Q = ∧6 AP=3AQ

(f)

x_P =8; PQ= − ∧5 PA AQ: = −2 3:

EJERCICIO 2.

Pruebe que la relación

AB CD AC DB+ +AD BC=0

se

verifica para cualquier conjunto de puntos

{A B C D, , , }

en

un eje de abscisas. (Relación de Euler)

EJERCICIO 3.

Sean

O

,

A

y

B

tres puntos en un eje. Demuestre que

OA2+OB2=AB2+2OAOB

.

EJERCICIO 4.

Sean

O

,

A

,

B

y

P

puntos de un eje tales que

OA OB OC+ + =0

,

P

es un punto cualquiera. Demuestre

que

PA PB PC+ + =3PO

.

EJERCICIO 5.

Si en un mismo eje se tiene:

EJERCICIO 6.

Dados cuatro puntos

A

,

B

,

C

y

D

halle un punto

X

tal

que

XA XB=XC XD

. Discuta existencia e

indeterminación del punto

X

según los puntos dados.

EJERCICIO 7.

Sean

A x: A = λ −2

,

B x: B = − λ3 4

,

C x: C = λ − λ2 2

.

(a)

Determine los valores de

λ

para los cuales

A≺B≺C

.

(b)

Calcule

(ABC)

(en función de

λ

), ¿Parea qué valores

de

λ

no está definida?

(c)

En cada caso halle

λ

para que se cumpla:

(ABC)=6

,

(ABC)= −1

,

(ABC)= −4

.

EJERCICIO 8.

(a)

Halle la abscisa del punto

A

sabiendo que

(MNA)=2

,

M

x =3

y

xN =7

.

(b)

Ídem.

xA =a

,

xM =39

,

xN =7a

y

NA AM: = −1 2:

.

(c)

Ídem.

xM =m

,

xN =n

,

(MNA)=−nm

con

n

m≠ −1

.

EJERCICIO 9.

Sean A B P, , tres puntos y k=(ABP). Calcule en función de k :

(APB), (PAB), (BAP).

EJERCICIO 10.

En cada caso halle

Q

conjugado armónico de

P

_respecto

(a)

xA = −1

,

xP =3

,

xB =5

.

(b)

xA = −1

,

xP =4

,

(ABP)= −2

.

(c)

xA =1

,

(ABP)= −3

,

PQ=5

(d) x_P =2x_A

,

xB =2xP

,

xA +xB =15 EJERCICIO 11.

Se consideran los puntos

A(1 1, )

,

M(3 3, α − β −2 2)

y

( )

B 2α + β +2 11,

.

(a)

Determine

α

y

β

para que

M

sea punto medio de

ABSQQQQQR

.

(b)

Sea

P(4− λ λ −,2 8)

. Halle

λ ∈

para que se verifique

AP ⊥BP

, tomando

B

hallado en la parte anterior.

EJERCICIO 12.

Se consideran los puntos

P(−1 2, )

,

A(5 6, )

y

B(−4 3, )

.

(a)

Halle las coordenadas del punto

C

tal que

P

es

baricentro del triángulo

ABC

.

(b)

Halle las coordenadas del punto

H(α β, )

tal que

AH ⊥BC ∧ BH ⊥AC

.

(c)

Sea

Q

tal que

2HQ=3HP

. Muestre que

(A Q) (B Q)

dist , =dist ,

.

EJERCICIO 13.

Sean

A(−2 2, )

y

B(− −4, 2)

. Halle los puntos

P OX∈

y

EJERCICIO 14.

Sean

A(0 1, )

,

M(λ,0)

con

λ

variable en ,

B(1,−1)

y

( )

C −1 0,

. Halle las coordenadas del punto

P

(en función

de

λ

) de modo que

PA MB

SQQQQQR SQQQQQR

y

P M, y C

estén

alineados. Halle una relación entre las coordenadas del

punto

P

que sea independiente de

λ

.

EJERCICIO 15.

Sean

a b c d, , , ∈

,

P=(a b, )

,

Q=(a c b d+ , + )

y

( )

R= a d b c− , +

. Demuestre que estos puntos son

vértices de un triángulo rectángulo.

EJERCICIO 16.

Sean

A(1 3, )

,

B(4 5, )

,

C(3 3, )

y

D(4 1, )

.

(a)

Halle las ecuaciones de las seis rectas que determinan

esos cuatro puntos.

(b)

Halle las intersecciones de los siguientes pares de rectas:

AB CDy

,

AC BDy

,

ADy BC

.

EJERCICIO 17.

Sean

A(2 0, )

,

B(0 1, )

,

C a( ,0)

,

N(0,b)

y

P(2 1, )

.

(a)

Por

M

se traza una recta paralela a

OY

que corta a

PB

en

J

. Halle

J

.

(b)

Por

N

se traza la recta paralela a

OX

que corta a

PA

en

K

. Halle

K

.

EJERCICIO 18.

Se considera

A(2 0, )

y la recta

r

variable por

O(0 0, )

, que

corta a

s x: = −2

en

P

. Por

A

se traza la perpendicular a

r

que corta a

s

en

H

,

OH

corta a la paralela a

OX

por

P

en un punto

M

. La recta

r

corta a la paralela a

OX

por

H

en

N

. Pruebe que

A M N, ,

están alineados.

EJERCICIO 19.

Determine

h∈

para que la recta de ecuación

( )

hx− h+1 y−3h− =2 0

sea concurrente a con

r:4x−5y=3

y

s x: +2y=4

.

EJERCICIO 20.

Se considera

P(2 2, )

y

r

variable de ecuación

y= − +x n

.

Sean

{ }A = ∩r OX

,

{ }B =OY

,

{ }

A′ =AP OY∩

y

{ }

B′ =BP OX∩

. Pruebe que la recta

A B′ ′

_{es paralela a}

r

para todo

n∈

,

n≠2

.

EJERCICIO 21.

Se considera

P(2 2, )

y

r

variable de ecuación

y= +x n

.

Sean

{ }A = ∩r OX

,

{ }B =OY

,

{ }

A′ =AP OY∩

y

1 1

s P

r

A

H

M

{ }

B′ =BP OX∩

. Pruebe que la recta

A B′ ′

_{pasa por un}

punto fijo para todo

n∈

,

n≠0

.

EJERCICIO 22.

En cada caso se pide investigar si las rectas de la familia

( )rλ

pasan por un punto fijo o si tienen dirección fija, o

ninguna de las dos cosas:

(a)

r_λ:(λ +2)x+ − λ(1 2 )y− − λ =1 8 0

(b)

rλ:(3+ λ)x+ − λ(5 2 )y+ λ − =8 0

(c)

r_λ:(λ −2)x+ λ −(3 6)y+ λ =0

(d)

rλ:

(

2λ − λ −2 2 1

)

x+ λ −(2 1)y+ λ =2 0

EJERCICIO 23.

Sea rk:(1 2− k x) +(k+3)y− −5 3k=0.

(a) Investigue si las rectas de la familia

( )

rk pasan por un punto fijo.

(b) Halle la recta de la familia que es paralela a la recta s y: =x. (c) Halle la recta de la familia que es perpendicular a t x:3 +5y=0

.

(d) Para cada valor de k sea p_k⊥r_k pasando por el punto

( , )

A 2 1 . Escriba la ecuación de la familia de rectas p_k.

(e) Halle las coordenadas del punto de intersección de r_k con p_k y compruebe que dicho punto satisface la ecuación x2+y2=5.

EJERCICIO 24.

Considere la familia de rectas dependientes de dos parámetros λ y a, que pasan por el punto variable P(λ,1) y cuya pendiente (o

coeficiente angular) está dado por a

a λ −

λ −2 . Investigue si existe algún

valor del parámetro a para el cual las rectas que se obtienen al variar

EJERCICIO 25.

Sean A a( ,0) y B(0 2, a). Sea

r

una recta paralela a

AB

por

( , )

P λ 0 , y sea { }M = ∩r OX. Halle la ecuación de la recta

s⊥AP por

M

. Muestre que las rectas s_λ pasan por un punto fijo al variar λ.

EJERCICIO 26.

Sean

r:3x−4y+ =1 0

y

s x y:2 + − =1 0

.

(a) Halle la ecuación del haz de rectas que generan

r

y s.

(b) Halle la ecuación de la recta del haz que pasa por el punto

( , ) P 2 1 .

(c) Halle la ecuación de la recta del haz que es paralela a

:

t x y+ + =3 0.

EJERCICIO 27.

Las rectas x+2y− =1 0, 5x+4y−17=0 y

x−4y+ =11 0 determinan un triángulo. Halle las ecuaciones de las rectas soporte de las alturas de dicho triángulo, sin hallar los vértices.

EJERCICIO 28.

En cada caso halle la ecuación de la circunferencia que satisface las condiciones indicadas:

(a) Pasa por los puntos A( )1 2, , B( )1 3, , C( )2 0, .

(b) l segmento ABSQQQQQR es diámetro, siendo A(− −5 3, ) y B(− −1 1, ).

(c) Su centro pertenece al eje OX , es tangente al eje OY y pasa por el punto P( )1 3, .

(d) Su centro pertenece a la recta de ecuación y=x, es tangente al eje

EJERCICIO 29.

En cada caso halle la ecuación de la familia de circunferencias dada por las condiciones indicadas:

(a) Sus centros pertenecen a la recta de ecuación y=−x y pasan por el punto A( )1 1, .

(b) Son tangentes al eje OX y a la recta de ecuación y a= , a≠0. (c) Sus centros están sobre la recta y=x, y su radio es 1.

(d) Su radio es 1 y pasan por el origen de coordenadas. EJERCICIO 30.

Halle el centro y el radio de las circunferencias dadas por las ecuaciones siguientes:

(a) x2+y2−₁₀x−₆y+₃₀=₀

(b) x2+ y2+ x− y− =

25 25 30 10 6 0

EJERCICIO 31.

Halle los puntos de intersección de la recta y=3x−3 con la

circunferencia x2+y2− x+ y+ =

4 6 3 0.

EJERCICIO 32.

Dada la circunferencia de ecuación x2+y2=_{5, estudie según k la}

posición relativa de dicha circunferencia y la recta de ecuación

x−2y k+ =0. EJERCICIO 33.

Dada la circunferencia de ecuación x2+y2=_{2, discuta según m∈R}

la posición relativa de dicha circunferencia y la recta de ecuación

y= +2 mx.

EJERCICIO 34.

En cada caso halle las ecuaciones de rectas tangentes a la circunferencia dada que pasan por el punto dado:

(b) x2+y2− x− = , H( , )

4 5 0 0 5

(c) x2+y2+ x− y+ = ; G(− , )

2 6 5 0 2 5

(d) x2+y2+ x− y+ = ; O( , )

4 8 10 0 0 0

EJERCICIO 35.

Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por A(7,−5) y es

tangente a la recta x− =y 4 en el punto B(3,−1).

EJERCICIO 36.

Halle la ecuación de la circunferencia de centro C

(

₂,−5

)

2 tangente a la

recta de ecuación 5x−12y=1. EJERCICIO 37.

Halle k para que la recta 2x+3y+ =k 0 sea tangente a la

circunferencia x2+y2+₆x+₄y=_0.

EJERCICIO 38.

Halle las ecuaciones de las rectas de pendiente 5 que son

tangentes a la circunferencia de ecuación x2+y2− x+ y− =

8 2 9 0

EJERCICIO 39.

Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia de ecuación x2+y2+ x− =

6 8 0 que son perpendiculares a la recta

x− +y =

4 31 0.

EJERCICIO 40.

De consideran dos rectas variables r y s tales que r⊥s, A(3 0, )∈r,

( )

B 0 4, ∈s. Sean { }P = ∩r s y M=pmOPSQQQQQR.

EJERCICIO 41.

Se considera la circunferencia de ecuación

x2+y2−₄x−₂y− =_{8 0 y una recta variable r: y mx= . Halle el} lugar geométrico del punto medio de la cuerda determinada en r

por la circunferencia dada.

EJERCICIO 42.

Halle las ecuaciones de las circunferencias que pasan por

los puntos

(3 4, )

y

( )1 2,

, y son tangentes al eje

OX

.

Solución: x2+y2− x− y+ =

6 4 9 0 y x2+y2+10x−20y+25=0.

EJERCICIO 43.

Halle la ecuación de las circunferencias que verifican los siguiente: (a) El centro pertenece a la recta 3x− =y 2, pasa por el punto (4 4, ),

es tangente a OY .

(b) Son tangentes a los ejes de coordenadas y a la recta 3x+4y=15.

Sean A=( )2 0, , A′(4 0, ), M(λ,0) y B(0 3, ).

(a) Halle las ecuaciones de las circunferencias C (A B M, , ) y

(

A B M, ,

)

′ ′

C .

(b) Calcule la razón ρ ρ: ′ de los radios de C y C′. Observe que es

constante.

(c) Halle el lugar geométrico del punto medio del segmento ΩΩSQQQQQR′

determinado por los centros de C y C′. EJERCICIO 44.

Halle la ecuación del lugar geométrico del baricentro del triángulo

OAB tal que A=( )0 2, , B es variable en la circunferencia de ecuación

x2+y2− x=

10 0. O es el origen de coordenadas.

EJERCICIO 45.

Sean A( )0 3, y B(7 0, ). Se considera una recta r variable por el origen de coordenadas, y las rectas a y b respectivamente perpendiculares a r por A y B. Sean { }K = ∩r a, { }L = ∩r b,

M=pmKLSQQQQQR Halle las ecuaciones de los lugares geométricos de

K , L y M .

EJERCICIO 46.

Dada la circunferencia

C

de ecuación

x2+y2− =4 0

.

(a) Halle la ecuación de las circunferencias C ′ que pasan por el origen y cuyo centro pertenece a la recta de ecuación x=1. (b) Pruebe que el eje radical e de C y C ′ pasa por un punto fijo

A que pertenece a las dos circunferencias. Halle las coordenadas del otro punto de corte de e con las dos circunferencias. Sea B . (c) La paralela a OX por B y la perpendicular al eje radical en A se

cortan en un punto R. Halle la ecuación del lugar geométrico de

R. Reconozca y halle elementos.

EJERCICIO 47.

Sean

P

(

0,−3

)

,

I(λ,0)

,

J(0 2, λ)

. Por el punto

J

se traza la

recta

i⊥IP

.

(a) Demuestre que al variar el parámetro λ, el conjunto de las rectas

i, forman un haz propio cuyo centro H se determinará.

(b) Halle el lugar geométrico de L:{ }L = ∩i IP al variar el parámetro λ.

EJERCICIO 48.

Sea

Cλ:x2+y2+ λ −(2 14)x+ −λ(2 )y+25=0

.

(a) Compruebe que las circunferencias de la familia

( )

Cλ forman un

haz de circunferencias disjuntas.

(b)

Halle los puntos límite de este haz.

EJERCICIO 49.

Sean

:x2+y2−₂x−₂y− =_{2 0}

C

y

r y mx: =

.

(a) Plantee la ecuación de las circunferencias que pasan por los puntos de intersección de C y r , y por el punto A(−2 0, ).

(b)

Muestre que las circunferencias halladas en (a) forman un haz, halle su eje radical y puntos base.

EJERCICIO 50.

Se dice que una circunferencia

_C ′

biseca a otra

circunferencia

C

, si la cuerda común a las dos

circunferencias es un diámetro de

C

.

(a) Halle la ecuación de las circunferencias que bisecan a la circunferencia :x2+y2− =

4 0

C y pasan por el punto (−4 0, ).

(b) Muestre que las circunferencias halladas forman un haz, halle su eje radical y sus puntos base.