COMILLAS – Modelos Matematicos de Optimizacion

(1)

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓNINDUSTRIAL

Modelos Matemáticos de Optimización

(2)

I. Investigación operativa y optimización

Historia:

ANTES DE LA II GUERRA MUNDIAL

Farkas

,

Minkowski

,... (XIX);

Markov

(XIX),

Erlang

(20);

Von Neumann

(30)

DURANTE LA II GUERRA MUNDIAL

1935

→

Radar, 1937

_{Radar, 1937}

→

Cooperaci

_Cooperaci

ó

n

1938

→

Rowe

_Rowe

:

Operational Research

:

Bawdsey

RAF,...

→

British Army Operational Group

DESPUES DE LA II GUERRA MUNDIAL

Problemas Log

í

sticos

Dantzig

(

Rand

)

→

Simplex (1947)

_{Simplex (1947)}

Sociedades:

(3)

I. Investigación operativa y optimización

Investigaci

ó

n Operativa:

9 Es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método

científico a los problemas complejos producidos en la dirección y gestión de grandes sistemas de hombres, máquinas,[...] La

principal característica consiste en construir un modelo científico del sistema del cual se pueden predecir y comparar los

resultados de las diversas estrategias, decisiones,...

El objetivo es ayudar a los responsables a determinar su política y actuaciones en forma científica.

9 Tiene por objeto ayudar a decidir, mediante el método científico,

el diseño que optimiza el funcionamiento de sistemas bajo condiciones que suelen implicar el uso de recursos escasos.

(4)

I. Investigación operativa y optimización

Optimizaci

ó

n

:

Determinaci

ó

n de una alternativa de

decisi

ó

n con la propiedad de ser mejor que cualquier

otra en alg

ú

n sentido a precisar

Elementos de un problema de optimizaci

ó

n:

9 Función objetivo: Medida cuantitativa del funcionamiento del

sistema que se desea optimizar (maximizar o minimizar)

9 Variables: Representan las decisiones que se pueden tomar

para afectar el valor de la función objetivo.

• Variables independientes

• Variables dependientes o de estado

9 Restricciones: Representan el conjunto de relaciones

(ecuaciones e inecuaciones) que las variables están obligadas a cumplir

Resolver:

Encontrar valor de las variables que optimiza

la funci

(5)

I. Investigación operativa y optimización

CLASIFICACI

Ó

N DE M

É

TODOS DE OPTIMIZACI

Ó

N:

9

9 a) Cla) Cláásicos (programacisicos (programacióón matemn matemáática)tica)

9

9 b)b) MMetaheuretaheuríísticossticos (aproximaci(aproximacióón)n) (gen(genééticos, recocido ticos, recocido

simulado, b

simulado, búúsqueda heursqueda heuríística)stica)

PROGRAMACIÓN LINEAL (LINEAR PROGRAMMING) LP PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA

(MIXED INTEGER PROGRAMMING)

MIP

PROGRAMACIÓN NO LINEAL

(NON LINEAR PROGRAMMING) NLP PROGRAMACIÓN MULTIOBJETIVO (multiobjective programming) min 0 , , , T x

n n m n m

c x

Ax b x

x c A × b

= ≥ ∈ ∈ ∈ ∈ min , 0 , , , , , T T x

n l n l m n m l m

c x d y Ax By b x y

x Z y c d A × B ×b

+ + =

≥

∈ ∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈

m i n ( ) ( ) 0 ( ) 0

: , : x n n m f x g x h x

l x u

f g h = ≤ ≤ ≤ → → 1

min( ( ),..., ( ))

0

, , , ( ):

k x

n n m n m n

i

f x f x Ax b

x

x c A b

(6)

II. Modelos de optimización

Modelo

:

9 Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un

sistema o de una realidad compleja (por ejemplo, la evolución económica de un país), que se elabora para facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento.(Diccionario de la lengua española. Real Academia Española.)

9 Representación precisa de una realidad

9 Herramienta de ayuda a la toma de decisiones 9 Puede involucrar equipo multidisciplinar

Modelador

:

especifica y desarrolla el modelo

(7)

II. Modelos de optimización

MODELADO

:

9

Ciencia

• Análisis y detección de relaciones entre datos • Suposiciones y aproximaciones a los problemas • Algoritmos específicos de solución

9

Arte

(8)

II. Modelos de optimización

ETAPAS EN EL DESARROLLO DE UN MODELO

:

1.

1. Identificaci

Identificaci

ó

n del problema

2.

2. Especificaci

Especificaci

ó

n matem

á

tica y formulaci

ó

n

3.

3. Resoluci

Resoluci

ó

n

4.

4. Verificaci

Verificaci

ó

n, validaci

ó

n y refinamiento

5.

5. Interpretaci

Interpretaci

ó

n y an

á

lisis de resultados

6.

(9)

II. Modelos de optimización

1.

1. IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA

IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA

Recolecci

ó

n de informaci

ó

n relevante

Definici

ó

n del problema en t

é

rminos vagos

Interpretaci

ó

n y traducci

ó

n a t

é

rminos precisos

Datos

son vitales, suelen ser cuello de botella

Etapa fundamental

(10)

II. Modelos de optimización

2.

2. ESPECIFICACI

ESPECIFICACI

Ó

N MATEM

Á

TICA Y FORMULACI

Ó

N

9 Definición

de variables, ecuaciones, función objetivo,

parámetros

9 Análisis de tamaño y estructura del problema

9 Identificación de

tipo de problema

(LP, MIP, NLP,...)

9 Énfasis en precisión y belleza en la formulación

Tipos de problemas LP según su tamaño

Restricciones Variables

• Caso ejemplo 100 100

• Tamaño medio 10000 10000

• Gran tamaño 100000 100000

(11)

II. Modelos de optimización

3. RESOLUCI

Ó

N

Algoritmo

de obtenci

ó

n de soluci

ó

n

ó

ptima, satisfactoria,...

Diferentes m

é

todos de soluci

ó

n

Diferentes implantaciones del algoritmo elegido

4. VERIFICACI

Ó

N, VALIDACI

Ó

N Y REFINAMIENTO

Eliminaci

ó

n de errores en codificaci

ó

n

Comprobaci

ó

n validez de simplificaciones adoptadas

Comprobaci

ó

n de adaptaci

ó

n a la realidad

Ampliaci

(12)

II. Modelos de optimización

5. INTERPRETACI

Ó

N Y AN

Á

LISIS DE RESULTADOS

Análisis de

sensibilidad

en parámetros de entrada

Robustez de la solución óptima

Detección de soluciones cuasióptimas atractivas

6. USO EXTENSIVO

Etapa fundamental para el éxito de un modelo

Documentación clara, precisa y completa

(13)

III. Formulación de problemas de optimización

PROBLEMA DE TRANSPORTE

9 Minimizar el coste total de transporte de un producto desde unos

orígenes a unos destinos, satisfaciendo la demanda de cada destino sin superar la oferta disponible en cada origen.

9 Se supone todos los orígenes conectados con todos los destinos

9 oferta en el origen , demanda en el destino

9 coste unitario de transporte desde el origen al destino

¿Cómo satisfacer la demanda sin superar la oferta con mínimo

coste?

1 1

a

2

a

m a

1

b

2

b

n b

2

m

1

2

n

i

a

_i

_b

_j

ij

(14)

III. Formulación de problemas de optimización

PROBLEMA DE TRANSPORTE (Solución):

:cantidad transportada de origen a destino

Matriz TU (sol. lineal es entera): ij

x

_i

_j

1 1 1 1

min

1 1,

,

0 ,

ij m n ij ij x i j n ij i j m ij j i ij

c x

x

a

i

x

b

j

n

x

i j

= = = =

≤

=

≥

∀

∑ ∑

∑

…

11

x x₁₂ x₁_n x₂₁ x₂₂ x₂_n x_m₁ x_m₂ x_mn

1 1 1 1

2 1 1 1

m 1 1 1

1 1 1 1

2 1 1 1

n 1 1 1

(15)

III. Formulación de problemas de optimización

PROBLEMA DE TRANSBORDO:

9 Llevar un producto desde orígenes a destinos con puntos

intermedios en una red de N nodos con mínimo coste

9 Cada nodo i unidades ( ):

• nodo origen • nodo destino

• nodo transbordo (ni genera ni consume)

9 coste unitario de transporte de nodo i a nodo j

Solución: i

b

0

i

b

>

0

i

b

<

0

i

b

=

ij

c

0 i i b =

∑

: cantidad a transportar de nodo a nodo

ij

x

i

j

1 1 1 1

min

1, ,

0 ,

ij n n ij ij x i j n n

ij ji i

j j

ij

c x

x

b

i

n

x

i j

(16)

III. Formulación de problemas de optimización

PROBLEMA DE ASIGNACIÓN

9 Asignar la realización de N tareas a N personas (máquinas, etc.).

9 coste de realizar la tarea i por la persona j

9

Objetivo: Minimizar

el coste total de realizar las tareas

sujeto a

• cada tarea debe ser hecha por una sola persona • cada persona debe realizar una única tarea.

ij

c

si se asigna la tarea a la persona 1

, 0 en cualquier otro caso

ij

i j

x = _ ∀i j

 { } 1 1 1 1 m in

1 1, ,

0, 1 ij n n ij ij x i j n ij j n ij i ij c x

x i n

x j n

(17)

III. Formulación de problemas de optimización

PROBLEMA DE LA MOCHILA (KNAPSACK):

9 Maximizar el valor total de la elección de un conjunto de

proyectos.

• Sin sobrepasar el presupuesto disponible b

• coste de cada proyecto • valor de cada proyecto

j

c

j

v

si se realiza el proyecto

1

0 en cualquier otro caso

j

x

=



_



{

}

1

m a x

0, 1

j

n

j j x

j n

j j j

j

v x

c x

b

x

=

≤

∈

∑

(18)

III. Formulación de problemas de optimización

PROBLEMA DE RECUBRIMIENTO (set covering):

9 Existen m características y n combinaciones (subconjuntos) de

características. La elección de una combinación implica realizar todas sus características.

9

Seleccionar combinaciones de modo que se cubra (posea) cada

característica al menos una vez con el mínimo coste

9 Datos:

• Matriz de pertenencia:

• coste de la combinación j

si caracteristica incluida en combinacion 1

0 si no esta incluida

ij

i j

a = _ 

j

c

si se elige la combinación 1

0 en cualquier otro caso

j

j x = _



{ }

1

min

1 1, ,

0,1

j n j j x j n ij j j j

c x

a x

i

m

(19)

III. Formulación de problemas de optimización

Ejemplo:

Asignación de tripulaciones

9 Una compañía aérea asignar tripulaciones para cubrir sus vuelos

9 12 secuencias factibles de vuelos para una tripulación

9 Se permite más de una tripulación en un vuelo, donde la/s

tripulación/es extra viajan como pasajeros, (por convenio laboral la tripulación extra cobra como si estuviera trabajando)

9 El coste de asignación de una tripulación a cada secuencia de

vuelos se da en la última fila en unidades apropiadas

9 Objetivo: minimizar coste total de asignación para cubrir todos

los vuelos

9 Resolver el mismo problema si no se permite más de una

(20)

III. Formulación de problemas de optimización

SE C U E N C IA S F A C T IB L E S

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2

S F – L A 1 1 1 1

S F – D E N V E R 1 1 1 1

S F – SE A T T L E 1 1 1 1

L A – C H IC A G O 2 2 3 2 3

L A – S F 2 3 5 5

CH IC A G O – DE N V E R 3 3 4

CH IC A G O – SE A T T L E 3 3 3 3 4

DE N V E R – S F 2 4 4 5

DE N V E R – C H IC A G O 2 2 2

SE A T T L E – S F 2 4 4 5

SE A T T L E – L A 2 2 4 4 2

CO S T E 2 3 4 6 7 5 7 8 9 9 8 9

(21)

III. Formulación de problemas de optimización

1 si se elige la secuencia

0 en cualquier otro caso

j

x

=



_



5

1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12

min 2x + 3x + 4x + 6x + 7x + 5x + 7x + 8x + 9x + 9x + 8x + 9x

1 4 7 10

2 5 8 11

3 6 9 12

1

0

j

x

j

+

≥

+

≥

∀

+

≥

3 4 11

1 5 12

Soluciones optimas (coste 18): 1 resto 0 1 resto 0 x x x

x x x

= = =

(22)

III. Formulación de problemas de optimización

PROBLEMA DE EMPAQUETADO (set packing):

9

m

proyectos agrupados en

n

lotes

9 Elegir un lote implica realizar todos los proyectos incluidos en él 9 beneficio de elegir el lote

j

9 Matriz de pertenencia del proyecto

i

al lote

j

9 Maximizar el beneficio total de manera que cada proyecto no

puede ser elegido más de una vez j

c

si pertenece a

1

0 si no pertenece

ij

i

j

a

=



_



{ }

1

max

1 1, ,

0,1

j n j j x j n ij j j

c x

a x

i

m

x

= =

≤

=

∈

∑

…

1 si se elige el lote

en otro caso

0

j

x

=



_

(23)

III. Formulación de problemas de optimización

PROBLEMA DE LA PARTICIÓN:

9 Similar a los problemas anteriores excepto en que

exactamente una característica (proyecto) del conjunto de

combinaciones (lotes) que la contienen debe ser elegida.

{

}

1

min o max

1 1,

,

0,1

j

n

j j x

j n

ij j j

j

c x

a x

i

m

x

=

∈

∑

(24)

III. Formulación de problemas de optimización

PROBLEMA DEL VIAJANTE (TSP):

9

Hacer un

recorrido

que pase por N ciudades sin repetir ninguna

y volviendo a la ciudad de partida de manera que la distancia

(coste) total sea mínima

.

9 Uno de los más importantes en programación matemática 9 Muchas formulaciones conocidas para él, ver Williams (1999) 9

c

ij

distancia (coste) entre ciudad i y ciudad j

9

Formulación 1 (clásica):

1 si se va de la ciudad a la ciudad

0 en otro caso

ij

i j

x =_



{ } { }

, min

1

Card( ) 1 1,..., 2 Card( ) 2

0,1

ij ij ij

x

i j ij i

ij j

ij i j U

ij

c x

x j

x i

x U U n U n

x

∈

= ∀

≤ − ∀ ⊂ ≤ ≤ −

∈

∑ ∑

∑

(25)

III. Formulación de problemas de optimización

9

Formulación 2:

1 si se va de la ciudad a la ciudad en el tramo de recorrido

en otro caso

0

ijk

i

j

k

x

=



_



{

}

, , , , , 1

min

1

1 ,

0,1

ijk ij ijk

x

i j k

ijk j k ijk i k ijk j k ijk jik i i ijk

c x

x

i

x

j

x

k

x

j k

(26)

III. Formulación de problemas de optimización

Ejemplo:

secuenciación de trabajos en una máquina

9 Una máquina y 5 trabajos que hay que realizar en ella. 9 Tiempos ejecución:

9 Tiempos de ajuste (set-up) pasar de ejecutar trabajo

i

a trabajo

j

9 Plantear el problema para determinar cuál es el menor tiempo

posible para completar los 5 trabajos y cómo hacerlo. Es un ciclo de trabajo cerrado, se repite y vuelve a comenzar.

9 ¿Cómo se haría para un ciclo de trabajo abierto?

TR1 TR2 TR3 TR4 TR5 15 13 12 14 16

TR1 TR2 TR3 TR4 TR5

TR1 2 5 1 6

TR2 3 4 2 5

TR3 4 2 3 4

TR4 5 3 6 5

(27)

III. Formulación de problemas de optimización

PROBLEMA DE COSTE FIJO:

9 Coste con un término fijo si la variable toma un valor

estrictamente positivo

9

Variable auxiliar binaria:

0

0 ( )

0

j

j j

j j j j

x

f x

k

c x

x

=



=

_

+

>



kj

x_j c_j f_j 1 0 0 0 j j j x y x  >  = _ = 

(

)

, 1 1

min

( )

j j

n n

j j j j j j

x y

j j

f x

k y

c x

= =

=

+

∑

j j

(28)

III. Formulación de problemas de optimización

Ejemplo:

Asignación de grupos térmicos

9 Grupos térmicos a acoplar en cada hora del día (semana) tal que: • Minimizar costes de generación: costes combustible, arranque, parada

• Se suministre la demanda en cada hora

• Se mantenga un cierto nivel de reserva rodante

• Se respeten parámetros (mínimos técnicos, rampas subida y bajada)

Datos:

Dh demanda térmica en la hora h [MW]

R

_{nivel de reserva rodante con respecto a la demanda [p.u.]}

t

a

_{término lineal coste combustible del grupo térmico t [€ /MWh]}

t

b _{término fijo del coste de combustible del grupo térmico t [€ /h]}

t

ca

_{coste de arranque del grupo térmico t [€ ]}

t

cp

_{coste de parada del grupo térmico t [€ ]}

t

P _{potencia máxima del grupo térmico t [MW]}

t

P _{potencia mínima del grupo térmico t [MW]}

t

rs

_{rampa de subida del grupo térmico t [MW/h]}

t

(29)

III. Formulación de problemas de optimización

Variables

ht

P _{potencia producida por el grupo térmico}_t_{en la hora}_h_[MW]

ht

A acoplamiento del grupo térmico t en la hora h [0,1]

ht

AR arranque del grupo térmico t en la hora h [0,1]

ht

PR _{parada del grupo térmico}t_{en la hora}h_[0,1]

(

)

1 1

min H T _t _ht _t _ht _t _ht _t _ht

h t

a P b A ca AR cp PR

= = + + +

∑ ∑

s.a. 1 T ht h t P D = =

∑

∀h _{Satisfacer demanda}

1

( )

T

t ht ht h t

P A P RD

=

− =

∑

∀h _{Nivel de reserva rodante}

t _ht _ht _ht _t

P A ≤ P ≤ A P ∀h t, _{Mínimos, máximos técnicos de cada grupo}

1

ht h t ht ht

A −A₋ = AR −PR ∀h t, _{Acoplamientos, arranques y paradas}

1 t ht h t

P −P ₋ ≤rs ∀h t, _{Rampa de subida}

1 t

h t ht

P ₋ −P ≤rb ∀_{h t}_, _{Rampa de bajada}

0

ht

(30)

III. Formulación de problemas de optimización

MODELADO DE RESTRICCIONES ESPECIALES:

9

DISYUNCIÓN:

de 2 restricciones al menos una debe darse.Debe

cumplirse una, no necesariamente las dos: ó

9 Modelo lineal:

• Variable binaria

• Restricciones:

equivale

9

IMPLICACIÓN:

si se da una condición obligatoriamente ha de

darse la otra

• Equivale a disyunción ( ):

( )

0 f x

≤

g x

( )

≤

0

1 obliga a ( ) 0 y relaja la otra 0 obliga a ( ) 0 y relaja la otra

g x f x δ  ≤ → _{= } ≤ 

{ }

1 2

( )

0,1

( )

(1

)

f x

M

g x

M

δ



_∈



≤

_{− }

( ) 0 ( ) 0 f x > ⇒ g x ≤

(A ⇒ B) ⇔ (noA Bo )

f x

( )

≤

0 o g x

( )

≤

0

1 2 1 2

3x +2x −18 ≤ 0 o x +4x −16 ≤0 1 2 1 _{{ }}

1 2 2

3 2 18

0,1

4 16 (1 )

x x M y

y

x x M y

(31)

III. Formulación de problemas de optimización

MODELADO DE RESTRICCIONES ESPECIALES:

9

CUMPLIR K DE N ECUACIONES:

de N ecuaciones se han de

cumplir al menos K, siendo K<N.

9

SELECCIONAR ENTRE N VALORES

:

Una ecuación con

múltiples posibles cotas (RHS).

1 1 1

2 1 2

1

( , , )

0 ( , , )

0

n

N N

f x

x

M

f x

x

M

f x

x

M

≤

…

{

}

1 1 1 1

2 1 2 2

1 1 ( , , ) ( , , ) 0,1 ( , , ) n N n _i i i

N n N N

f x x M y

f x x M y _y _N _k

y f x x M y

=  _≤   _≤  = −    _∈   _≤ 

∑

… … … 1 2 1

( , , )_n

N

d d f x x

d    = _    … 1 1

( , , )_n N _{i i} i

f x x d y

= =

∑

… 1 1 N i i y = =

(32)

III. Formulación de problemas de optimización

MODELADO DE RESTRICCIONES LÓGICAS:

P

→

Q

No P o Q

P

→

(Q y R)

(P

→

Q) y (P

→

R)

P

→

(Q o R)

(P

→

Q) o (P

→

R)

(P y Q)

→

R

(P

→

R) o (Q

→

R)

(P o Q)

→

R

(P

→

R) y (Q

→

R)

no (P o Q)

no P y no Q

(33)

III. Formulación de problemas de optimización

MODELADO EN PROGRAMACIÓN NO LINEAL:

9

Problemas de producción con elasticidad en los precios y/o costes

• Precios elásticos: cantidad se puede vender relación inversa precio

• p(x) precio unitario de venta para poder vender x unidades. Decreciente y no inferior al coste unitario de producción, c. (Típico, constante a tramos) Afecta a la función objetivo.

• Margen de contribución de la empresa:

• Costes producción: decrecientes (curva de aprendizaje) o crecientes (tiempo extra). Afecta a f. objetivo y restricciones (presupuesto)

9

Problema de transporte con descuentos por volumen

• Descuentos por cantidad: Función coste unitaria escalonada, no creciente

• Coste de embarcar x unidades: poligonal, continua, con pendiente el coste unitario en cada tramo. Agregar:

( )

( ( )

)

P x

=

p x

−

c x

( ) ( )

m n

(34)

III. Formulación de problemas de optimización

MODELADO EN PROGRAMACIÓN NO LINEAL:

9

Selección de una cartera de inversiones

• Rendimiento esperado y riesgo asociado a la inversión.

• Acciones tipo j: rendimiento esperado varianza del rendimiento

covarianza del rendimiento de las tipo i y las j precio unitario por acción

• Presupuesto disponible

• cantidad de acciones de tipo j a incluir en la cartera • Planteamiento típico:

( factor aversión al riesgo)

j

µ

jj

σ

ij

σ

j

X

j

p

b

1 1 1

max ( )

( )

n n n

j j ij i j

j i j

f X

R X

β

V X

µ

X

β

σ

X X

= = =

=

−

=

∑

−

∑∑

1

0,

1,...,

n

j j j

j

P x

B

x

j

n

=

≤

≥

=

(35)

IV. Codificación de problemas de optimización

LENGUAJES DE MODELADO

9

Lenguajes de programación de

propósito general

(C,

FORTRAN, Visual Basic, C++)

9

Lenguajes o entornos de

cálculo numérico o simbólico

(hojas de cálculo, Matlab, Mathematica)

9

Programas para problemas pequeños (QSB, ORSTAT,

LPSolve,...)

9

Lenguajes algebraicos de modelado

(GAMS, AMPL,

XPRESS-MP, OPL, ECLIPSE, ILOG-Concert)

LENGUAJES ALGEBRAICOS DE MODELADO

9

Lenguajes de alto nivel diseñados para el desarrollo e

(36)

IV. Codificación de problemas de optimización

VENTAJAS LENGUAJES ALGEBRAICOS:

9 Formulación compacta modelos grandes y complejos 9 Facilitan desarrollo de prototipos

9 Mejoran productividad de modeladores 9 Estructuran buenos hábitos de modelado

9 Separan datos de estructura y de optimizadores

9 Formulación independiente del tamaño 9 Modelo independiente de optimizadores

9 Facilitan reformulación continua

9 Documentación simultánea al modelo

9 Permiten implantación de algoritmos avanzados

(37)

IV. Codificación de problemas de optimización

DESVENTAJAS LENGUAJES ALGEBRAICOS:

9 No son adecuados para usos esporádicos con problemas de

pequeño tamaño

9 No son adecuados para resolución directa problemas de

tamaño gigantesco

(38)

IV. Codificación de problemas de optimización

MODELADO EN GAMS

9 Estructura general de un modelo de optimización en GAMS

• Declaración de sets y parámetros • Variables

• Ecuaciones • Modelo

• Inclusión y manipulación de datos de entrada • Acotación e inicialización de variables

• Resolución del problema

• Lectura y presentación de resultados

TIEMPO DE EJECUCIÓN DE MODELOS EN GAMS

9 tiempo de creación

• formulación del problema específico 9 tiempo de interfaz

• comunicación entre lenguaje GAMS y optimizador

9 tiempo de optimización

(39)

IV. Codificación de problemas de optimización

EJEMPLO DE TRANSPORTE:

9 Fábricas de envasado

→

i.

9 Mercados de consumo

→

j.

9

a

_i

:

capacidad máxima de producción de cajas en

i.

9

b

_j

:

cantidad de cajas demandadas en mercado

j.

9

c

_ij

:

coste de transporte de cada caja de planta

i

a mercado

j.

Satisfacer la demanda de cada mercado a mínimo coste.

9 Variables:

x_ij: cantidad de cajas enviadas de planta i a mercado j

9 Restricciones:

• Límite de capacidad de producción de cada fábrica

• Satisfacción de la demanda de cada mercado

• Función objetivo:

ij i j

x

≤

a

∀

i

∑

ij j i

x

≥

b

∀

j

∑

m in

ij ij

x i j

COMILLAS – Modelos Matematicos de Optimizacion

Modelos Matemáticos de Optimización

I. Investigación operativa y optimización





Historia:

Historia:

ANTES DE LA II GUERRA MUNDIAL

ANTES DE LA II GUERRA MUNDIAL

Farkas

Farkas

,

,

Minkowski

Minkowski

,... (XIX);

,... (XIX);

Markov

Markov

(XIX),

(XIX),

Erlang

Erlang

(20);

(20);

Von Neumann

Von Neumann

(30)

(30)

DURANTE LA II GUERRA MUNDIAL

DURANTE LA II GUERRA MUNDIAL

1935

1935

→

→

Radar, 1937

Radar, 1937

→

→

Cooperaci

Cooperaci

ó

ó

n

n

1938

1938

→

→

Rowe

Rowe

:

:

Operational Research

Operational Research

:

:

Bawdsey

Bawdsey

RAF,...

RAF,...

→

→

British Army Operational Group

British Army Operational Group

DESPUES DE LA II GUERRA MUNDIAL

DESPUES DE LA II GUERRA MUNDIAL

Problemas Log

Problemas Log

í

í

sticos

sticos

Dantzig

Dantzig

(

(

Rand

Rand

)

_{Radar, 1937}

_Cooperaci

_Rowe

_{Simplex (1947)}