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Desarrollo de un Modelo Matemático en el Proceso de
Adsorción Aplicado a la Ingeniería Ambiental -Edición Única
Title
Desarrollo de un Modelo Matemático en el Proceso de
Adsorción Aplicado a la Ingeniería Ambiental -Edición
Única
Authors
Javier Ramírez Angulo
Affiliation
Tecnológico de Monterrey, Universidad Virtual
Issue Date
1994-12-01
Item type
Tesis
Rights
Open Access
Downloaded
18-Jan-2017 20:42:36
DESARROLLO DE UN MODELO MATEMÁTICO EN EL PROCESO DE ADSORCIÓN APLICADO A LA INGENIERÍA AMBIENTAL
Tesis presentada
por
JAVIER RAMÍREZ ÁNGULO
Presentada ante la Dirección Académica de la Universidad Virtual del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
como requisito parcial para optar al título de
MAESTRO EN CIENCIAS
Diciembre de 1998
DESARROLLO DE UN MODELO MATEMÁTICO EN EL PROCESO DE ADSORCIÓN APLICADO A LA INGENIERÍA AMBIENTAL
Tesis presentada por
DEDICATORIAS
A mis hijos, a mi esposa y a mi madre.
A mis alumnos y compańeros de trabajo.
AGRADECIMIENTOS
Agradezco al Dr. en Ciencias Ambientales Julio Flores Rodríguez, el papel que desempeńó como asesor de mi proyecto de tesis de posgrado.
Agradezco al Lic. Francisco Chavez Várela, ex-Jefe del Departamento de Ciencias
RESUMEN
DESARROLLO DE UN MODELO MATEMÁTICO EN EL PROCESO DE ADSORCIÓN APLICADO A LA INGENIERÍA AMBIENTAL
DICIEMBRE DE 1998
JAVIER RAMÍREZ ANGULO
INGENIERO QUÍMICO INDUSTRIAL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA AMBIENTAL INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE
MONTERREY
Dirigida por el Dr. Julio Flores Rodríguez
ÍNDICE DE CONTENIDO
CAPÍTULO 1 1
INTRODUCCIÓN 1
CAPÍTULO 2
5
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA
5
2.1 ANTECEDENTES 5 2.2 OBJETIVOS GENERALES 5 2.3 OBJETIVO ESPECÍFICO 5
CAPÍTULO 3 6
MARCO TEÓRICO 6
3.1 PROCESO DE ADSORCIÓN 6 3.2 CAUSAS Y TIPOS DE ADSORCIÓN 7 3.4 ETAPA LIMITADORA DE LA VELOCIDAD 11
3.5 CINÉTICA DE SORCIÓN PARA REACTORES DISCONTINUOS 15
3.6 LAS ECUACIONES DE DIFUSIÓN 19 3.8 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE DIFUSIÓN 2 2 3.9 DIFUSIÓN EN UN CILINDRO Y UNA ESFERA 2 5 3 . 1 0 MÉTODOS DE DIFUSIÓN CUANDO EL COEFICIENTE DE DIFUSIÓN ES CONSTANTE 2 6
3 . 1 1 MÉTODO DE REFLEXIÓN Y SUPERPOSICIÓN 2 6
3 . 1 2 REFLEXIÓN EN UNA FRONTERA 2 8 3 . 1 3 DISTRIBUCIONES INICIALES EXTENDIDAS 2 9
3 . 1 4 CONDICIÓN DE EVAPORACIÓN DE SUPERFICIE 3 0
3 . 1 5 RELACIÓN DE RAÍZ CUADRADA 3 2 3 . 1 6 DIFUSIÓN EN UNA LÁMINA PLANA 3 3
3 . 1 7 ESTADO ESTABLE 3 4 3 . 1 8 CONCENTRACIONES SUPERFICIALES CONSTANTES. DISTRIBUCIÓN INICIAL F(X) 3 7
3 . 1 9 DISTRIBUCIÓN INICIAL UNIFORME. CONCENTRACIONES SUPERFICIALES IGUALES 3 8
3 . 2 0 IMPORTANCIA DEL ALMACENAMIENTO DE GRANOS 3 9
3 . 2 1 CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO 3 9 3 . 2 2 GENERALIDADES SOBRE LA ECOLOGÍA Y LA FILOSOFÍA DE LOS GRANOS Y LAS SEMILLAS 4 3
3 . 2 3 EL CALENTAMIENTO ESPONTÁNEO 5 3 3 . 2 4 PROBLEMAS UNIVERSALES EN EL MANEJO, ALMACENAMIENTO Y CONSERVACIÓN DE LOS GRANOS Y
SEMILLAS 5 4 3 . 2 5 LAS CAUSAS PRINCIPALES DE LAS PÉRDIDAS DE GRANOS ALMACENADOS 5 9
3 . 2 5 L A C A R E N C I A D E A L M A C E N E S A D E C U A D O S 6 1 3 . 2 6 E L A L T O C O N T E N I D O D E H U M E D A D Y D E I M P U R E Z A S D E L G R A N O , E N E L M O M E N T O
D E A L M A C E N A R L O 6 3 3.27 L A P R E S E N C I A D E P L A G A S 6 7
3.28 MICROORGANISMOS 7 0 3 . 3 0 C O M B A T E D E L A S P L A G A S 7 5
3 . 3 1 M A T E R I A L E S P R O T E C T O R E S 8 0 3 . 3 3 P R O P I E D A D E S D E L G R A N O D E A R R O Z 8 4
3 . 3 4 C O M O I N T E R A C T Ú A N E L A I R E Y L A H U M E D A D C O N E L G R A N O 8 7
CAPITULO
4 91
4 . 2 P R E P A R A C I Ó N D E L A S S O L U C I O N E S P A R A E L C O N T R O L D E H U M E D A D 9 5
4 . 3 P R E P A R A C I Ó N D E L O S L O T E S E X P E R I M E N T A L E S %
4 . 4 A L M A C E N A M I E N T O D E L A S M U E S T R A S 9 7 4 . 4 D E T E R M I N A C I Ó N D E L P E S O D E L A S M U E S T R A S D E A R R O Z 9 7
CAPÍTULOS . 99
RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN 99
CAPITULO 6 125
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 125
CAPITULO 7 127
LISTA DE TABLAS
LISTA DE FIGURAS
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN
Cualquier sistema puede ser visto como una caja dentro de la cual hay un
conjunto de componentes interrelacionados y que tiene entradas y salidas cuyos niveles dependen de la permeabilidad de las paredes de la misma conocidos como limites o fronteras, o del grado de apertura del sistema. En las ciencias
ambientales, los sistemas pueden ser visualizados sobre un gran rango. Por ejemplo una hoja de un árbol junto con toda la fauna y flora que vive en ella es
un sistema clasificado como ecosistema por estar enfocado a materia viviente. En el caso del ecosistema de la hoja, sus limites son las superficies exteriores de ella así como su biota. Las entradas al sistema son entonces la luz solar, agua y
los nutrientes que llegan a ella a través de la planta, mientras que las salidas incluyen entre otras cosas la energía reflejada y el material que desprende y cae
al suelo. Los componentes del sistema están relacionados entre sí a través de la pirámide alimenticia en donde por ejemplo los insectos herbívoros que se alimentan de la hoja son a su vez consumidos por insectos carnívoros. Por otro
lado el clima de la tierra puede ser visto como un sistema cuyos limites son la superficie terrestre y el espacio, en donde entra y sale energía, teniendo como
Un sistema se puede subdividir a su vez en subsistemas o sistemas menos
complejos con el fin de poderlo analizar y estudiar, enfocándose solo en aquellos aspectos que sean de un interés directo e ignorar el resto.
El análisis de un sistema es la base de la que se parte para contar con un modelo que
ayude a su estudio con un fin determinado como puede ser la investigación del incremento
de insecticidas en el suelo de una determinada región de cultivo.
Los modelos matemáticos tienen como finalidad establecer las relaciones que
pueden existir entre las diversas variables que componen un sistema dado, mediante una
ecuación desarrollada ya sea de una forma empírica o partiendo de la representación matemática de una ley física, química o biológica asociada con la descripción de un
fenómeno o proceso determinado.
El desarrollo de un modelo matemático puede comprender varias etapas y suposiciones que ayuden a simplificarlo como por son por ejemplo considerar sistemas
isotrópicos, cuerpos de geometría regular y coeficientes de transferencia constantes, esto es particularmente útil cuando se aplica a ecosistemas.
Sin duda alguna el uso de una computadora es de gran utilidad para poder llevar a cabo las etapas necesarias para obtener y probar un modelo matemático ya sea que se use
un lenguaje de programación o una aplicación de un software como es la hoja electrónica
La adsorción de un gas por un sólido poroso es un proceso usado en la ingeniería
ambiental para la prevención de la contaminación del aire y se rige directamente por un parámetro conocido como coeficiente de difusión. En si, la adsorción tiene lugar
únicamente en la superficie del sólido, y después el gas es transportado hacia el interior de! sólido por algún mecanismo de difusión como puede ser la capilaridad, por lo que al proceso en conjunto se le conoce también como absorción, aunque el medio absorbente no
sea un líquido.
Los granos almacenados como son el arroz, el frijol, el maíz, etc. constituyen un
ecosistema de gran importancia para la sociedad, en el que se presenta el proceso de adsorción, ya que la estructura de éstos es sólida y porosa, y tienden a absorber vapor de agua del medio ambiente en el que se encuentren. El aumento del contenido de humedad de
un grano ocasiona una serie de problemas como son el desarrollo de microorganismos y de insectos por mencionar algunos, obligando a someterlos al uso de insecticidas y
fumigantes, con el deterioro ambiental que esto puede ocasionar.
El poder conocer los valores del coeficiente de difusión de vapor de agua en un
grano como es el arroz puede ser de ayuda para cuantificar y predecir la influencia de factores del medio ambiente como son la temperatura y la humedad relativa del aire en la conservación del mismo.
Los granos de arroz tienen una gran capacidad higroscópica y su geometría se puede
permita calcular el coeficiente de difusión del vapor de agua en este cereal, a partir de datos
experimentales y con el uso de una computadora y la hoja de cálculo Excell.
Los resultados que se obtengan de esta investigación pueden servir de indicadores para desarrollar modelos matemáticos en sólidos adsorbentes con geometría más compleja
CAPÍTULO 2
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA
2.1 Antecedentes
La adsorción de vapor de agua es un fenómeno fisicoquímico que tiene lugar en los lugares donde se almacenan granos de cereal, la que depende de la naturaleza del grano, de
la temperatura y de la humedad relativa del ambiente. El contenido de humedad en el interior de un grano de cereal es un factor determinante en el desarrollo de plagas nocivas
para este tipo de productos agropecuarios.
2.2 Objetivos Generales
Este proyecto tiene como objetivo general desarrollar una ecuación matemática que
ayude a describir el proceso de adsorción de vapor de agua en un grano de cereal almacenado.
2.3 Objetivo Específico
Desarrollar un modelo experimental y matemático que permita calcular el
CAPÍTULO 3
MARCO TEÓRICO
3.1 Proceso de Adsorción
El proceso de adsorción fue observado primeramente para gases en el ańo 1773 por C.W. Scheele y luego para las soluciones por Lowitz en el ańo de 1785; actualmente se
reconoce como un fenómeno importante para la mayor parte de los procesos físicos naturales, biológicos y químicos. La adsorción sobre los sólidos, particularmente carbón activo, ha llegado a utilizarse ampliamente para la purificación de aguas y aguas residuales.
La adsorción implica la acumulación en la interfase o la concentración de substancias en una superficie o interfase. El proceso puede ocurrir en una interfase que
separa a dos fases, tales como líquido- líquido, gas- líquido, o líquido sólido.
El material que se concentra en la superficie o se absorbe se llama adsorbato y la
fase adsorbente se llama adsorbente.
Contrariamente, la adsorción es un proceso en el cual las moléculas o átomos de
una fase interpenetran casi uniformemente en los de otra constituyéndose una "solución" con esta segunda. El término sorción incluye la adsorción y absorción conjuntamente, es sólida. Las diferencias fenomenológicas entre la adsorción y absorción para los dos tipos
de reacciones en que una substancia se mueve desde una fase líquida a una sólida,, representa la concentración de la substancia migrante en la fase líquida en contacto con la
3.2 Causas y tipos de adsorción
La adsorción desde una solución a un sólido ocurre como resultado de una de las dos propiedades características de un sistema disolvente-soluto-sólido, o una combinación
de las mismas. La fuerza impulsora primaria de la adsorción puede ser una consecuencia del carácter liofóbico (no afinidad al disolvente) del soluto respecto al disolvente particular,
o una afinidad elevada del soluto por sólido. Para la mayoría de los sistemas encontrados en el tratamiento del agua y agua residual, la adsorción tiene lugar por acción combinada de
las dos fuerzas.
Existen varios factores que pueden influir, en distinto grado, a cada una de las dos causas primarias. Después de considerar la naturaleza de las dos fuerzas impulsoras
primarias se dará una discusión detallada sobre estos factores.
El grado de solubilidad de una sustancia disuelta es, con mucho, el factor más importante para determinar la intensidad de la primera de las dos fuerzas impulsoras. En el contexto presente, podemos considerar "el grado" de solubilidad como el grado de
compatibilidad química entre un soluto y un disolvente.
Cuanta mayor atracción pone una substancia por el disolvente -más hidrofüica en el
caso de una solución acuosa- menos posibilidad tiene de transladarse hacia una interfase
para ser adsorbida. Al contrario, una substancia hidrofóbica- repulsión por el agua- tendrá más posibilidades de ser adsorbida en una solución acuosa. Una gran variedad de
molecular compuesta de grupos hidrofílicos e hidrofóbicos. En este caso, la parte hidrofóbica de la molécula tiende a ser superficialmente activa en la superficie y
adsorberse, mientras que en la parte hidrofílica tiende a permanecer en la fase solución.
El carácter "solubilidad- anfótera" de la substancia da lugar a una orientación de la
molécula en la interfase; la parte hidrofóbica se absorbe en la superficie, y 1 aparte hidrofílica está dirigida hacia la fase solución.
La segunda fuerza impulsora primaria para la adsorción proviene de la afinidad específica del soluto por el sólido. En este contexto, es preferible distinguir entre los tres tipos principales de adsorción. Según el concepto actual más plausible de la adsorción, este
fenómeno superficial puede ser un fenómeno predominante de atracción eléctrica entre el soluto y el adsorbente, de atracción de van der Waals, o una atracción de naturaleza
química.
La adsorción del primer tipo cae de lleno del intercambio iónico y a menudo se denomina adsorción por intercambio. La adsorción por intercambio como el nombre lo
indica, es un proceso mediante el cual los iones de una substancia se concentran en una superficie como resultado de la atracción electrostática en los lugares cargados de la superficie.
Para dos adsorbentes iónicos posibles (potenciales) presentar en igual concentración
y en ausencia de otros efectos de sorción específicos, la carga del ion es el factor
determinante en la adsorción de intercambio. En un sistema que contenga un ion
permanecer por igual en la fase solución por acción de la energía cinética, pero el ion trivalente es atraído mucho más fuertemente hacia un lugar de carga opuesta situado en la superficie del adsorbente. Para iones de igual carga el tamańo molecular (radio de
solvatación) determina el orden de preferencia para la adsorción y por tanto su adsorción, el ion más pequeńo es capaz de acercarse más cerca del lugar de adsorción y por tanto su
adsorción está favorecida. La adsorción que tiene lugar debido a las fuerzas de van der Waals se llama generalmente adsorción "física", término que se ha aplicado en los casos en que la molécula adsorbida no está fija en un lugar específico de la superficie, sino más bien
está libre de trasladarse dentro de la interfase. La adsorción de este tipo se llama algunas veces adsorción "ideal".
Si el adsorbato sufre una iteracción química con el adsorbente, el fenómeno se llama
adsorción "química", adsorción "activa", o "quimisorción". Se considera que las moléculas "adsorbidas químicamente" no está libres para el movimiento en la superficie o dentro de la interfase.
La adsorción física, en general, predomina a temperatura baja, y se caracteriza por
una energía de adsorción relativamente baja, es decir, el adsorbato no está adherido tan
fuertemente el adsorbente como en la adsorción química. Los procesos de adsorción
química exhiben elevadas energías de adsorción, debido a que el adsorbato forma unos enlaces fuertes localizados en los centros activos del adsorbente.
La mayor parte de los fenómenos de adsorción son combinaciones de las tres formas de adsorción: es decir, las distintas fuerzas que actúan en los tipos diferentes de adsorción, a menudo interaccionan dando lugar a la concentración de un soluto determinado en una
interfase. De hecho no es fácil distinguir entre adsorción física y química.
La mayor parte de los procesos de adsorción, que implican moléculas orgánicas
provienen de interacciones específicas entre elementos estructurales idcntificables del adsorbato y adsorbente. Estas interacciones pueden designarse como "adsorciones
específicas" opuestas a la adsorción que ocurre como resultado de las interacciones
culombianas simples.
Estas adsorciones específicas pueden exhibir un rango muy amplio de energía de enlace, desde valores corrientemente asociados con la adsorción "física" y que
corresponden al extremo más bajo del espectro, hasta energías más altas implicadas en ˇa "quimisorción". Por ejemplo, las interacciones adsorbentes de compuestos aromáticos con grupos nitro o hidroxilo con el carbón activo, pueden considerarse como procesos
específicos de adsorción que resultan de la formación de complejos donador- aceptador entre la molécula orgánica y los grupos oxígeno carbonilo superficiales; una vez los lugares
activos están agotados, la adsorción prosigue con la formación de complejos con los anillos de los planos básicos de la estructura microcristalina del carbón (Mattson et al. ,1969)
La velocidad con que las sustancias orgánicas disueltas son eliminadas de las
soluciones acuosas por los absorbentes sólidos es un factor muy importante para la aplicación de este proceso en el control de la calidad del agua.
3.4 Etapa Limitadora de la Velocidad
En la adsorción de materiales de una solución por adsorbentes porosos tales como el carbón granular activado, existen tres etapas consecutivas. La primera de estas etapas es el
transporte del adsorbato a través de una película superficial exterior de adsorbente
("difusión de película").
Se han postulado varias teorías tales como: película, penetración, capa contigua,
para explicar la transferencia de masa en la región que separa la masa principal turbulenta de una solución de una superficie sólida. Sin embargo, la mecánica de fluidos en esta región no está bien entendida.
La teoría de capa contigua tiene en cuenta una distribución de velocidades y es más realista que la teoría de película que considera un flujo laminar alrededor de la partícula. El
término "difusión de película" será usado a lo largo del capítulo para describir generalmente la transferencia de masa en la superficie de la partícula. Sin embargo, con el uso cíe este término no se intenta implicar la existencia de una capa definible ni tampoco
tratar todos los datos por medio de la teoría de la película.
adsorbente después del transporte a través de la película exterior, es la difusión del adsorbato dentro de los poros del adsorbente (difusión porosa). La última etapa es la adsorción del soluto en las superficies anteriores que bordean los espacios porosos y
capilares del adsorbente.
La consideración del valor con que las tensiones interfaciales son disminuidas por los compuestos químicos representativos de los materiales contaminantes orgánicos, nos da una idea de que el propio proceso de adsorción no es probablemente el que controla la
velocidad, y debe existir un proceso mucho más lento que controla la velocidad global de adsorción por el carbón poroso. En ciertas condiciones de trabajo, ei transporte de!
adsorbato a través de la "película superficial" o capa contigua hacia el adsorbente es la capa que controla la velocidad; si la turbulencia es suficiente, el transporte del adsorbato dentro del carbón poroso controla el proceso. Por lo tanto, uno de los parámetros más importantes
que debemos considerar es la naturaleza de la etapa que controla la velocidad de la reacción global, con lo cual, podemos describir en términos adecuados las expresiones de velocidad
y los parámetros cinéticos.
Algunas propiedades del adsorbato son útiles para determinar la naturaleza de la etapa que controla la velocidad. Por ejemplo, si el transporte entre partículas controla la
velocidad de la reacción, el tamańo y la estructura de ion o molécula simple del poluto controla esta velocidad hasta el punto que afecta la movilidad molecular.
La etapa que controla la velocidad de un proceso puede caracterizarse en parte por
la energía de activación observada para el proceso. Un estudio del efecto de temperatura
trabajo, nos permite evaluar la energía de activación y constituye por tanto un nuevo
método para determinar la naturaleza de las reacciones, que controla la velocidad.
Para un proceso en el cual la velocidad global viene controlada por una reacción estrictamente de adsorción, la variación de la velocidad debería ser directamente
proporcional a la concentración del soluto, y para la simple difusión, debemos esperar también que la velocidad sea directamente proporcional a la concentración
Sin embargo, las expresiones matemáticas complejas para el transporte entre partículas indican que la relación entre concentración y velocidad de reacción no será
directamente proporcional (Crank, 1956). Dado que la concentración afecta a un número de parámetros de estas ecuaciones, no es posible predecir una relación exacta concentración-velocidad para esta reacción.
Cuantitativamente, si la difusión del soluto dentro de los poros y capilares del
carbón limita la velocidad, la variación de la velocidad con la concentración no debemos de esperar que sea lineal, mientras que podremos anticipar una proporcionalidad directa para reacciones de adsorción estrictamente.
Esta dependencia de la concentración con la velocidad de reacción puede utilizarse
como un ensayo parcial sobre la hipótesis concerniente a la naturaleza de la etapa o
reacción que controla la velocidad. El efecto de la concentración del soluto sobre la
Para los procesos en que la velocidad controlante es la adsorción sobre las superficies exteriores del adsorbente o el transporte a través de una película superficial
externa, es de esperar que la velocidad varíe con el inverso del diámetro de las partículas adsorbentes para un peso total dado de adsorbente: esto se debe a que en este caso la velocidad es una función de primer orden con respecto al área superficial exterior, la cual a
su vez es inversamente proporcional al diámetro de la partícula.
Por el contrario, según las expresiones matemáticas para las ecuaciones de transporte, la velocidad de difusión del soluto hacia dentro de los poros de una partícula variará con el inverso del diámetro de la partícula elevado a alguna potencia. Entonces
resulta que la variación de la velocidad con el tamańo de la partícula constituye otro método útil para caracterizar el mecanismo que controla la velocidad para un sistema
determinado. La consideración del tamańo de una partícula también es importante para obtener la utilización óptima de una adsorbente en las operaciones de tratamiento.
El hecho de saber cual de los pasos consecutivos de transporte y reacción que se han discutido antes es el que controla la velocidad en la adsorción de los contaminantes del agua por un adsorbente poroso- es decir, si la "difusión de películas" o la "difusión porosa"
ofrecen la mayor resistencia al transporte y por tanto controlan la velocidad de reacción-depende mucho del método que se utiliza para poner en contacto el adsorbente con el agua.
Para un reactor discontinuo que provee un grado elevado de agitación o mezclado,
la difusión porosa es a menudo controlada de la velocidad, aunque no necesariamente para
activo, a través de los cuales circula el agua, la difusión por la película será posiblemente el
factor controlante para flujos normales.
3.5 Cinética de Sorción para Reactores Discontinuos
Como ya se indico antes, la difusión molecular es uno, entre los distintos fenómenos, que contribuyen al establecimiento de las velocidades de transferencia de los
materiales absorbidos desde los lugares exteriores de un adsorbente poroso a las superficies que bordean los espacios porosos más internos.
Para muchas de las aplicaciones de la adsorción y del intercambio iónico, la
velocidad de transporte entre las partículas gobierna la eliminación del soluto de una solución. Por ejemplo, aunque es cierto que las fuerzas adsortivas gobiernan las posiciones de equilibrio obtenidas en la adsorción del fenol y alquibenceno sulfonado sobre carbón
poroso granular, los estudios realizados por investigadores sobre la adsorción de estas sustancias presentes en una solución diluida indicaron que en los sistemas discontinuos con
grado elevado de agitación, la velocidad de adsorción viene controlada principalmente por la velocidad con que el adsorbato se transporta desde el exterior hasta los lugares interiores de las partículas adsorbentes.
Se dispone de más evidencia experimental que soporta la teoría de "difusión" dentro de los poros de los adsorbentes sólidos o resinas como el paso que controla la velocidad en
las resinas de fenolformaldheido están controladas por la difusión dentro y a través de las
partículas resínicas para las condiciones experimentales específicas.
Se ha publicado una buena correlación (concordancia) entre los datos experimentales obtenidos en procesos de intercambio iónico con las predicciones basadas
en la cinética partícula- difusión. Se ha determinado que la difusión porosa de vidrio también ha presentado evidencia experimental sobre la cinética de la difusión porosa para
la adsorción sobre los sólidos porosos.
La importancia del fenómeno de la difusión entre partículas en la determinación de las velocidades de extracción de una variedad de materiales orgánicos e inorgánicos en
unos sólidos porosos ha sido demostrada frecuentemente. El papel e importancia de la difusión porosa en los procesos de intercambio y adsorción para los cuales se utilizan sólidos porosos, ha sido también discutida desde varios puntos de vista teóricos y
operacionales entre otros.
La cinética de la difusión porosa que se deriva de los procesos de transporte entre
partículas se presenta principalmente en los reactores discontinuos operados a unos niveles de mezclado u operación suficientes con el fin de que la resistencia a! transporte por película sea menor que la correspondiente al transporte poroso.
Se ha propuesto que el fenómeno de transporte entre partículas puede derivarse de la
acción neta de varias fuerzas moleculares. Para la mayor parte de los sistemas
concernientes a las aplicaciones de tratamiento del agua y agua residual, estas son:
La adsorción que resulta de la acción de fuerzas atractivas entre el adsorbato y las
superficies de las paredes capilares y las fuerzas repulsivas entre el adsorbato y el
disolvente acuoso, sirve para separar el adsorbato temporalmente de la solución. Esta separación por adsorción retarda la transferencia de una molécula o ion individual del
adsorbato y, al mismo tiempo, reduce la sección transversal del capilar para inhibir la
difusión de otras moléculas.
Una especie molecular individual sufre continuamente un proceso de intercambio en la superficie, adsorbiéndose en la pared y volviendo a la solución dentro del espacio poroso, continuándose el movimiento neto en la dirección de concentración descendiente. El tiempo
de permanencia en la superficie puede incrementarse substancialmente con la formación de micelas bidimensionales en la película adsorbida, y así se inhibe la difusión libre.
El volumen poroso total del adsorbente es relativamente pequeńo comparado con el volumen de solución que debe tratarse. La concentración global del adsorbato contenida en
el volumen poroso puede por tanto alcanzar la concentración de micela crítica para ciertos compuestos orgánicos inmediatamente después del contacto inicial del adsorbente con la solución
A medida que se forman las micelas tridimensionales dentro de los espacios porosos del adsorbente, las micelas, más que las especies moleculares individuales deben
transferirse a través de los capilares. Las micelas, o aglomeraciones de moléculas se
La interacción electrocinética entre el adsorbato y el adsorbente o entre el adsorbato y otros solutos en un sistema dado, puede ser un factor importante n el fenómeno de transporte entre partículas particularmente en el proceso de intercambio iónico. En general,
se considera que las superficies del carbón tienen cargas netas negativas (Bean et al., 1964); y por tanto podemos anticipar alguna interferencia con el movimiento de los iones a través
de los poros del carbón activo.
La difusión molecular puede considerarse con el paso más representativo del proceso del proceso del transporte global, ya que los otros fenómenos fisicoquímicos enumerados tienden generalmente a interferir con el movimiento, dirigido-por-ei-gradiante.
de las especies migrantes. Además el proceso de difusión esta sujeto a una descripción analítica cuantitativa mayor en cualquiera de los otros procesos moleculares debido
principalmente a que la fuerza impulsora de la difusión, el gradiente de concentración, puede ser caracterizado algo mas fácilmente.
La adsorción es corrientemente la fuerza más importante que retrasa la velocidad.
Afortunadamente, este factor puede ser caracterizado e incorporado en el modelo de transporte. Los efectos relativos de las fuerzas restantes son muy difíciles de definir cuantitativamente y solo están sujetos a una descripción genera! y cualitativa en los
sistemas experimentales para los cuales, solamente es posible efectuar mediciones en la masa principal de la solución.
El tratamiento presente de la velocidad global del proceso se lleva a cabo para
de la velocidad. Las limitaciones de este modelo deben ser reconocidos, si consideramos
los factores múltiples implicados en este sistema.
La velocidad para un proceso de difusión puede caracterizarse por medio s del coeficiente de difusión. D, el cual aparece en la expresión de la primera ley de Fick
F= - D(5C / 5x) = D (C, - C2) ñ
Como 5C / 5x + h (C - C:) = 0 , x = 1
Entonces C - C\ = hx
C2- C , 1 + h F
Y F = D h ( C i - C2)
1 + h l
si 5 C / 5 x + h! ( C , - C ) = 0 , x = 0; 6C / 5x + h2 (C - C2) = 0 , x = l
entonces C = hC| [1 + h2 (1 - x)] + h2 C2 (1 + h]X)
hi + h2 + h[h2l
y F = Dh, h2( C , - C2)
hi + h2 + hih2l
3.6 Las Ecuaciones de Difusión
Difusión es el proceso mediante el cual se transporta materia de una parte a otra de
un sistema como resultado de movimientos moleculares aleatorios. Normalmente se ilustra
con el experimento en el que un recipiente cilindrico alargado tiene su parte baja llena con
cuidadosamente, para que no ocurran corrientes de convección. Al principio, la parte coloreada se separa de la clara por una frontera bien definida. Después resulta que la parte
superior se colorea y el color se desvanece hacia arriba, mientras que la parte inferior aparece con un correspondiente color menos intenso . Después de tiempo suficiente, la
solución aparece uniformemente coloreada. Evidentemente hay una transferencia de moléculas de yodo de la parte baja a la alta del recipiente que ocurre debido a la ausencia de corrientes de convección. Se dice entonces que el yodo ha sido difundido en el agua.
Si fuera posible observar moléculas individuales de yodo, lo cual puede lograrse remplazándolas por partículas suficientemente pequeńas para compartir los movimientos moleculares pero lo suficientemente grandes como para ser visibles en el microscopio, se
encontraría que el movimiento de cada molécula es aleatorio. En una solución diluida cada molécula de yodo tiene un comportamiento independiente de las otras, que raras veces
encuentra, y cada una experimenta constantemente una colisión con moléculas de solvente, como resultado de tales colisiones se mueve algunas veces hacia una región de más alta concentración, a veces más baja, sin existir una dirección predilecta en el movimiento de
una hacia otra. El movimiento de una sola molécula se puede describir en términos de la familiar foto "Caminata aleatoria", y aunque es posible calcular la mediana del cuadrado de
la distancia recorrida en un intervalo de tiempo dado, es imposible decir en qué dirección se moverá en ese intervalo de tiempo una molécula cualquiera.
Esta foto de movimientos moleculares aleatorios, en la cual ninguna molécula tiene
una dirección predilecta de movimiento, debe ser ajustada con el hecho de que una
transferencia de moléculas de yodo de una región de alta concentración a una de baja no
puede ser observaba nunca. Considere una sección horizontal cualquiera en la solución y
sección. Aunque no es posible decir de qué manera cualquier molécula de yodo se moverá en un intervalo de tiempo dado, se puede decir que en promedio una fracción definida de las moléculas en el elemento inferior de volumen cruzará la sección desde abajo, y la
misma fracción de moléculas del elemento superior cruzará la sección desde arriba, en un tiempo dado. Entonces, simplemente porque hay más moléculas de yodo en el elemento
inferior que en el superior, hay una transferencia neta del lado inferior hacia el superior de la sección como resultado de movimientos moleculares aleatorios.
3.7 Hipótesis básica de la teoría matemática
La transferencia de calor por conducción también se debe a movimientos
moleculares aleatorios y existe una analogía obvia entre ambos procesos. Esto fue reconocido por Fick (1855), quien por primera vez estableció una base cuantitativa de la difusión adoptando la ecuación matemática de conducción de calor derivada algunos ańos
antes por Fourier. Por lo tanto, la teoría matemática de difusión en sustancias isotrópicas se basa en la hipótesis de que la razón de transferencia de la sustancia difusa a través de un
área unitaria de una sección es proporcional al gradiente de concentración medido normal a la sección, ej:
F=-D5C/8x (1)
donde F es la razón de transferencia por área unitaria de la sección, C es la concentración
de la sustancia que difunde, x es el espacio coordenado medido normal a la sección, y D es
llamada el coeficiente de difusión. En algunos casos, como la difusión en soluciones diluidas, D puede tomarse como constante, mientras que en otros, como en la difusión en
altos polímeros, depende mucho de la concentración. Si F, la cantidad de material difuso, y
como en gramos o moléculas de gramos, entonces es claro que en la ecuación anterior D
es independiente de esta unidad y tiene dimensiones (longitud)- (tiempoW, ejemplo:
c m - s ' . El signo negativo en la ecuación se debe a que la difusión ocurre en dirección
contraria a la que aumenta la concentración.
Debe enfatizarse que el enunciado expresado matemáticamente por la ecuación, es en general consistente sólo para un medio isotrópico. cuyas propiedades de estructura y
difusión en las cercanías de cualquier punto son las mismas para tedas las direcciones. Debido a esta simetría, el flujo de la sustancia difusa en cualquier punto es a lo largo de la
de la normal a la superficie de concentración constante a través del punto. . Esto no es necesariamente cierto para un medio cuyas propiedades de difusión dependen de la dirección en que son medidas.
3.8 Ecuación diferencial de difusión
La ecuación fundamental de difusión en un medio isotrópico se deriva de la
ecuación ( 1 ) considerando un elemento de volumen en forma de un paralepípedo rectangular cuyos lados son paralelos a los ejes de coordenadas y tienen longitudes 2dx, 2dy, 2dz. El centro del elemento está en P(x,y,z) donde la concentración de la sustancia
difusa es C. Sean ABCD y A'B'C'D' las caras perpendiculares a los ejes de x. Entonces la razón a la que la sustancia difusa entra al elemento a través de la cara ABCD en el plano
4dydz ( Fx -SFx 5x ) ,
5 x
donde Fx es la razón de transferencia a través del área unitaria del plano correspondiente a
través de P. De manera similar, la razón de pérdida de la sustancia difusa a través de la
cara A'B'C'D' está dada por:
8x
La contribución a la razón de incremento de la sustancia difusa en el elemento desde
estas dos caras es entonces igual a :
-8dxdydz 8Fx
dx
De forma similar para las otras caras obtenemos:
Pero la velocidad a la cual la cantidad de sustancia que difunde n el elemento se
incrementa también está dada por:
8dxdydz 8C
8t
y por lo tanto se tiene que
4dydz ( Fx + 5Fx dx )
-8dxdydz SFv y -8dxdydz 8Fz
oy ó z o
8C + SFx + SFv + 8Fz = 0 ( 2 )
Si ei coeficiente de difusión es constante, Fx, Fy, Fz están dadas por ( 1 ) y ( 2 ) se
convierte en :
5C = D ( 82
C + 52
C + 52
C ) ( 3 )
8t 8 x2
S y2
8 z2
que al simplificarla se reduce a
8C = D 5~C ( 4 )
8t S x2
en el caso de que la difusión sea unidimensional como cuando hay un gradiente de
concentración sólo a lo largo del eje x. Las expresiones ( 1 ) y ( 4 ) son conocidas como ˇa
primera y segunda leyes de difusión de Fick, dado que primero fueron formuladas por Fick (1855) mediante una analogía directa con las ecuaciones de conducción de calor.
En muchos sistemas como la interdifusión de metales o la difusión de vapores orgánicos en sustancias altas en polímeros, D depende de la concentración de la sustancia
difusa C. En este caso y también cuando el medio no es homogéneo, para que D varíe de punto a punto, la ecuación ( 1 ) se convierte en:
8C = 8 (D8C ) + 8_(D SC) + 8 (D 8 Q
8t 8x 8x 8y 8y Sz 8z
donde D puede ser una función de x, y, y C.
D = f(t),
entonces introduciendo una nueva escala de tiempo T tal que
dT= f(t)dt,
la ecuación de difusión se convierte en:
5C = 52
C_+ 82
C_+ S2
C_ . ( 6 )
8T S x2
5 y2
8 z2
que es igual a la ecuación ( 3 ) para un coeficiente de difusión constante igual a la unidad
3.9 Difusión en un cilindro y una esfera
Otras formas de la ecuación anterior surgen transformando las coordenadas o considerando elementos de volumen de diferente forma. Entonces, si ponemos:
x = r cos9
y = r sin9
o considerando un elemento de volumen de un cilindro de lados dr. rdt. dz, obtenemos la
ecuación para la difusión en un cilindro
SC = 1 f 8 ( 8 C ^ 8 f D SC 8 f S C^ l ( 7 )
| — í rD — 1 + - 4 — + . r D _ ! r
8t r l 8r 5r J 8 6 r 86
)
Sz ^ 8z J Jen términos de coordenadas cilindricas r,6,z. La ecuación correspondiente para una esfera
en términos de coordenadas esféricas r,9,<t> se obtiene escribiendo
x = r sin6 eos <j)
y = r sin6 sin <j>
o considerando un elemento de volumen de una esfera de lado r dr. r d6, r sin 6 d(ˇ>. Es:
Todas estas ecuaciones de difusión pueden expresarse en términos de nomenclatura
de análisis vectorial como :
3.10 Métodos de difusión cuando el coeficiente de difusión es constante
Las soluciones generales para la ecuación de difusión pueden obtenerse mediante una variedad de condiciones iniciales y de frontera cuando el coeficiente de difusión es constante. Tal solución normalmente tiene uno de dos formas estándar. En cualquiera se
comprende una serie de funciones error o integrales relacionadas, en cuyo caso es más adecuada para una evaluación numérica en tiempos pequeńos como en los primeros estados
de la difusión, o en la forma de una serie trigonométrica que converge más satisfactoriamente para valores largos de tiempo. Cuando la difusión ocurre en un cilindro, la serie trigonométrica se reemplaza por una serie de funciones Bessel. De los tres
métodos de solución descritos en este capítulo, los primeros dos ilustran el significado físico de dos tipos estándar de solución. El tercero, empleando la transformada de Laplace,
es esencialmente un método operador mediante el cual ambos tipos de solución pueden obtenerse. Es el más poderoso de los tres, particularmente para problemas más
( 8 )
5C = div (D grad C )
5t
complicados. Los métodos se presentan aquí de la manera más simple posible. Los tratamientos más completos necesarios para hacer la discusión matemáticamente rigurosa se encuentran en trabajos en conducción de calor, como Carslaw y Jaeger (1959).
3.11 Método de reflexión y superposición
Es más fácil ver por diferenciación que:
C = A exp (-x2
/ 4Dt)
ti /2
( 8 )
donde A es una constante arbitraria, es una solución de
6C = D 52
C
5t 5x2
( 9 )
que es la ecuación diferencial para difusión en una dimensión cuando D es constante. La expresión ( 8 ) es simétrica con respecto a x= 0, tiende a 0 conforme x se aproxima a
infinito positiva o negativamente para t>0, y para t= 0 se desvanece en todas partes excepto donde se vuelve infinita. La cantidad total de sustancia M que se difunde en un cilindro de
longitud infinita y sección transversal unitaria está dada por:
y si la distribución de la concentración está dada por la expresión ( 8 ) vemos escribiendo
x2
/4Dt =q 2 , dx=2(Dt) ^2
d Ł , ( 1
que
M=2AE>1/2
j exp (-Ł 2
) dE = 2A (jtD) ^2
( 12 )
La expresión ( 12 ) muestra que la cantidad de substancia difundiéndose permanece
constante e igual a la cantidad originalmente depositada en el plano x=0. Entonces, sustituyendo para "A " de ( 1 2 ) en la ecuación ( 8 ) obtenemos:
C= _M e x p ( - x2
/ 4 D t ) ( 1 3 )
2 ( 7 t D f )1 / 2
y esta es entonces la solución que describe el esparcimiento por difusión de una cantidad
de sustancia M depositada en un tiempo t=0 en el plano x=0.
3.12 Reflexión en una frontera
La expresión ( 13 ) se puede utilizar para construir soluciones de otros problemas en flujo lineal introduciendo el concepto de reflexión en una frontera. Entonces, en el
problema considerado, la mitad de la sustancia de difusión se mueve en la dirección de x positiva y la otra mitad a lo largo de x negativa. Si. como fuera, tuviéramos un cilindro semi-infinito entendiéndose en la región x>0 y con una frontera impermeable en x=0, toda
la difusión ocurre en la dirección de x positiva. Podemos considerar que la solución para x negativas se refleja en el plano x=0 y superpuesta en la distribución original en la región
x>0. Dado que la solución original era simétrica cerca de x=0 la distribución de la concentración para un cilindro semi-infinito está dada por:
C= _M exp (-x2
/4Dt) ( 14)
(7üDt)1 / 2
Este procedimiento de reflexión y superposición es matemáticamente lógico, porque la reflexión en x=0 significa la adición de dos soluciones de la ecuación de difusión. Dado
que esta ecuación es lineal la suma de las dos soluciones es por sí misma una solución, y como es visto en ( 14 ) satisface la condición de que la cantidad total de sustancia de
difusión permanece constante en M. Además, la condición que se debe satisfacer en la frontera impermeable es
dado que esta es la condición matemática para que no haya flujo a través de la frontera.
Como 8C/8x es cero en x=0 en la solución original ( 13 ) es aún claramente cero después de
la reflexión y la superposición.
3.13 Distribuciones iniciales extendidas
Hasta ahora hemos considerado solamente casos en los que toda la sustancia de difusión está concentrada inicialmente en un plano. Más frecuentemente en la práctica, la distribución inicial ocupa una región finita y tenemos un estado inicial tal que está definido por:
Esta es la distribución inicial, por ejemplo cuando una larga columna de agua clara
está en reposo sobre una larga columna de solución, o cuando dos barras largas de metal se
ponen en contacto en sus extremos. La solución a tal problema es fácilmente deducido
considerando la distribución extendida compuesta por un número infinito de fuentes de
línea y superponiendo el número infinito correspondiente de soluciones elementales.
Considerando que la sustancia de difusión en un elemento de ancho Scj sea una fuente de
línea de fuerza CQ8cj. Entonces, de ( 13 ) la concentración en el punto P , la distancia Ł, de
un elemento, en un tiempo t es:
C = C Q , x<0, C=0, x>0, t=0. ( 1 6 )
C08 ^
exp K2
/ 4 D t ) ( 1 7 )
1/2
2(7tDt)
3.14 Condición de evaporación de superficie
En algunos casos la condición de frontera se refiere a la razón de transferencia de sustancia difundida a través de la superficie del medio. Entonces, si una corriente de aire seco pasa sobre la superficie de un sólido que tenga humedad, la pérdida de la humedad ocurre por evaporación de la superficie. De maneara similar, si el sólido está inicialmente seco y el aire contiene vapor de agua, el sólido recoge humedad. En cada caso, la razón de intercambio de humedad en cualquier instante depende de la humedad relativa del aire y de la concentración de la humedad en la superficie del sólido. La suposición más simple es que la razón de intercambio es directamente proporcional a la diferencia entre la concentración actual Cs, en la superficie en cualquier tiempo y la concentración Co la cual estaría en equilibrio con la presión de vapor en la atmósfera remota de la superficie. Matemáticamente esto significa que la condición de frontera en la superficie es
- D 5 C = a ( C0- Cs) , x=0 ( 1 8 )
8x
donde a es una constante de proporcionalidad.
Si la concentración en un medio semi-infinito es inicialmente C2 a través, y el
intercambio en la superficie está determinado por ( 18 ), la solución es
C - C2 =erfc x -exp(hx + h 2
Dt) erfc { x + h ( D t )1 / 2
C0- C2 2(Dt) 1 /
2 2 ( D t )1 / 2
donde h=0(/D . Los casos especiales de concentración cero en el medio inicialmente
(C2=0), y la evaporación en una atmósfera de cero humedad relativa (CQ=0). son
inmediatamente obvias de ( 19 ) . La razón a la que la cantidad total MT de la sustancia
difundida en un medio semi-infinito por unidad de sección transversal cambia está dada por:
dMt_= -(D5C) = a ( C0- Cs) , ( 2 0 )
dt 5xx=0
y, en la sustitución para Cs el valor obtenido para ( 19 ) poniendo x=0, después de integrar
con respecto a t obtenemos para la cantidad total de sustancia de difusión teniendo una unidad de sección de área transversal en la superficie,
Mt= (CorC.2) í e x
P (h 2 o t
)e r f c h
( D t )1 / 2
-1 + 2_ h ( D t )1 / 2
} ( 21 )
h %V2
Si C Q es más grande que C 2 esta cantidad se levanta por el medio ; si C Q es menor
que C 2 e s t
á cantidad se pierde por evaporación de la superficie. La expresión ( 1 9 ) puede
escribirse en términos de cualquiera de los dos parámetros adimensionales
_ x , h ( D t )1 / 2
. o hx ( 2 2 )
2 ( D t )1 / 2
3.15 Relación de raíz cuadrada
La solución del problema de difusión dentro de un medio semi-infinito teniendo concentración inicial cero y la superficie que se mantiene constante, involucra solo el
parámetro adimensional
x ( 2 3 )
2(Dt)l/2
De esto se obtiene que
i)La distancia dé penetración de cualquier concentración dada es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo;
ii)El tiempo requerido para cualquier punto para alcanar una concentración dada es proporcional a la raíz cuadrada de su distancia desde la superficie y varía inversamente
conforme lo hace el coeficiente de difusión.
iii)La cantidad de sustancia difundida entrando al medio a través de la unidad de área de su
superficie varía conforme lo hace la raíz cuadrada del tiempo.
Estas propiedades fundamentales se mantienen en general en medio semi-infinitos, cuando la concentración inicial es uniforme y la concentración en la superficie permanece
difundida es esencialmente confinada a la región x<0 . Claramente no aplican a acasos donde aparecen otros parámetros como el ancho y la extensión de la fuente o la razón de
cambio de la concentración de la superficie, etc.
3.16 Difusión en una lámina plana
Aquí se considerarán varios casos de difusión unidimensional en un medio limitado por dos planos paralelos, por ejemplo x=0, x=l. Esto se aplicará en práctica a la difusión
dentro de una lámina plana de material tan delgada que efectivamente toda la sustancia difusa entra a través de las caras del plano y una cantidad despreciable entre los bordes.
3.17 Estado estable
Considere el caso de la difusión a través de una lámina plana o la membrana de espesor 1 y coeficiente difusión D, cuyas superficies, x=0, x=l, se mantiene a concentraciones C\, C2 respectivamente . Después de un tiempo , se alcanza un estado
estable en el que la concentración permanece constante en todos los puntos de la lámina. La ecuación de difusión en una dimensión de difusión entonces se reduce a
d2
C / d x2
= 0 ( 2 4 )
siempre que el coeficiente de difusión D sea constante. Integrando respecto a x, tenemos:
y con una integración más, tenemos, introduciendo las condiciones en x=0 y x=l.
C-Ci = x ( 2 6 )
C 2 - C 1 1
Ambas ecuaciones (4.2) y (4.3) muestran que la concentración cambia linealmente de C\ a
C2 a través de la lámina. También, la razón de transferencia de la sustancia de difusión es
la misma a través de todas las secciones de la membrana y está dada por:
Si el grosor 1 y las concentraciones en la superficie C\, C 2 , son conocidas, D puede
deducirse de un valor observado de F usando ( 27 ). Arreglos experimentales para medir D
en esta y otras maneras han sido revisadas por Newns (1950).
Si la superficie x=0 se mantiene a concentración constante C\ y en x=l hay
evaporación en una atmósfera para la cual la concentración de equilibrio justo dentro de la
superficie C 2 , es tal que:
F= -DdC/dx = D (C1 -C2)/l ( 27 )
8C/8x + h(C-C2)=0, x=l ( 2 8 )
entonces encontramos que
C2- C i 1+hl'
y
F=DhíCj_IC2l ( 3 0
) 1+hl
Si las condiciones de superficie son
8C/5x + h! (C!-C)=0, x=0; 8C/5x + h2( C - C2)=0, x=l,
( 3 1 )
entonces
O h i Q f l+hod-x)) +h2C2_(l+h1x) ( 3 2 )
h\ + h2 + h i h2l
y
F=Dhlh2ÍCi=C2l ( 3 3 )
h1+ h2+ h1h2l
3.18 Estado no estable
Todas las soluciones aquí presentadas pueden obtenerse ya sea por el método de separación de variables o por la transformada de Laplace . Muchos de los resultados son citados por Barrer (1951), Carslaw y Jaeger (1959), Jacobs (1967), Jost (1952) y otros. El énfasis aquí está en la evaluación numérica
3.19 Concentraciones superficiales constantes. Distribución inicial f ( x )
Si
C=Ci, x=0, t 0, ( 3 4 )
C = C2, x=l, t 0, ( 35 )
C=f(x), 0<x<l, t=0, ( 3 6 )
la solución en forma de una serie trigonométrica es
oo
C=Ci + (C2-Ci)_x_+ 2_ X C2Cosrac-Ci sin nrcx exp (-Dn2
7C2
t/l2
) 1 TÍ 1 n 1
+_2_X s i n M t x e x p (-D7t2n2t/12) J f ( x ' ) s i n m t x ' d x ' ( 3 7 )
En los casos más comunes f(x) es cero o constante para que la integral en ( 37 ) esté rápidamente evaluada. Muy a menudo el problema es simétrico cerca del plano central de la lámina, y las fórmulas entonces son más convenientes si esto se toma como x=0 y las superficies en x= + 1.
3.20 Distribución inicial uniforme. Concentraciones superficiales iguales
Este es el caso de sorción y desorción mediante una membrana. Si la región -1<X<1
está inicialmente a una concentración uniforme CQ, y las superficies se mantienen a una
concentración constante C\, la solución ( 38 ) se convierte en:
Si Mj denota la cantidad total de sustancia difundida que ha entrado a la lámina en el
tiempo t y la cantidad correspondiente después de un tiempo infinito, entonces: C-Cp =1-4 1 (-1)" exp{(-D(2n+l)2
7t2
t7412
} eos (2n+l)7tx ( 3 9 )
C l - Q ) p n = 0
2n+l 21
«
oo
M T . = I - I 8 exp {-D(2n+l)27C2t/412} ( 4 0 )
M, oo n = 0 ( 2 n + l)27 t2
Las soluciones correspondientes más útiles para tiempos pequeńos son:
C-Cn= I ( - L )N ERFC (2N+L)L-X + 1 ( - HN ERFC(2N+L)L+X ( 4 1 )
C ] - C0 n = 0
2 ( D t )1 / 2 n = 0
2(Dt)í/2
y
oo
MT= 2 ( D T )1 / 2
{ T Í -M + 2 1 f - nn IERFC NI } ( 4 2 )
MEO L2 N=0 (DT)L/2
CAPÍTULO 4
ALMACENAMIENTO DE GRANOS
4.1 Importancia del Almacenamiento de Granos
El alimento es un factor limitante para la nutrición de todos los seres vivientes y la lucha constantes para obtenerlo, es una característica biológica de estos organismos. El
C-Cn= I ( - L )N ERFC (2N+L)L-X + 1 ( - HN ERFC(2N+L)L+X ( 4 1 )
C ] - C0 n = 0
2 ( D t )1 / 2 n = 0
2(Dt)í/2
y
oo
MT= 2 ( D T )1 / 2
{ T Í -M + 2 1 f - nn IERFC NI } ( 4 2 )
MEO L2 N=0 (DT)L/2
CAPÍTULO 4
ALMACENAMIENTO DE GRANOS
4.1 Importancia del Almacenamiento de Granos
El alimento es un factor limitante para la nutrición de todos los seres vivientes y la lucha constantes para obtenerlo, es una característica biológica de estos organismos. El
Por lo que se refiere a la América Latina, el ritmo de crecimiento de la población es
mucho más acelerado, comparado con el mundial. En el ańo de 1900 existían 63 millones de personas, y en las seis y media décadas que han transcurrido, esta población es
actualmente de más de 200 millones y se calcula que a fines del siglo, habrá más de 600 millones, si se mantiene el actual ritmo de desarrollo demográfico.
En muchos lugares, la población aumenta más rápidamente que los alimentos que
demanda para subsistir y este fenómeno produce carencias muy serias, las que repercuten en la nutrición del pueblo.
Como es físicamente imposible el consumo inmediato de la producción total de las cosechas de granos alimenticios, el hombre tiene que almacenarlas para consumirlas de acuerdo con sus necesidades nutricionales.
Es común que las áreas de mayor producción de granos se encuentren alejadas de
los centros de consumo, lo cual implica el transporte y almacenamiento de esos productos en lugares estratégicos para su distribución oportuna cuando sean requeridos.
El mejoramiento de la técnica agrícola se ha reflejado en los últimos ańos en
incrementos notables en el rendimiento de las cosechas de granos básicos alimenticios por
unidad de superficie. Los rendimientos de hace 15 ańos de trigo, por ejemplo, de 800 kg/ha, se han triplicado; en el caso del maíz, de un promedio de 450 kg/ha se ha progresado hasta
el doble; en el frijol, de los 300 a 800 kg/ha que se obtenían, en la actualidad se registran rendimientos de 500 a 1000 kg/ha. Estos incrementos son consecuencia de los resultados de
la investigación agrícola, de la apertura de nuevas tierras al cultivo, del mejor
créditos para la actividad agrícola, del uso de fertilizantes, insecticidas, herbicidas y
fungicidas y del mejoramiento de las prácticas agrícolas, para mencionar las causas más principales. Como resultado de lo anterior, se tiene la imperiosa necesidad ce conservar y almacenar mayores volúmenes de granos alimenticios producidos, que forman la reserva
necesaria para la alimentación de la población creciente.
La capacidad del aprovechamiento industrial de los granos y cereales es limitada y no es posible establecer, por ahora, las instalaciones que permitan industrializar volúmenes muy superiores a la capacidad actual, en las épocas de recolección o cuando los
rendimientos sean altos. La inversión que representa la maquinaria industrial, muy específica, que sólo se emplea por cortas temporadas durante el ańo, constituye un renglón
oneroso que aumenta los costos de producción. Por lo tanto, se hace absolutamente necesario almacenar estos granos, mientras van siendo industrializados, según las necesidades y la capacidad de las instalaciones.
La balanza económica gobernada por la ley de la oferta y la demanda, sugiere la conveniencia de tener existencias de granos y cereales en almacenamiento para evitar las
variaciones de los precios y para asegurar el abastecimiento oportuno de esos productos cuando haya escasez d e ellos. Esto guiará al gobierno, e,n su política de producción de
granos y de los cereales que convengan a la economía del país, para asegurar el mercado al agricultor y al consumidor, y para el abastecimiento uniforme del producto necesario.
.- Independientemente del uso de los granos y cereales, ya sea como alimento para el hombre y para los animales domésticos, así como para semilla que asegure la producción
almacenen en forma ventajosa y por periodos variables de tiempo, para que se utilicen y
consuman de acuerdo con las necesidades de la población.
El almacenamiento de los granos alimenticios, es un proceso costoso que trae implícito fuertes gastos y problemas de carácter muy complejo, pero es un requisito
necesario y de una importancia decisiva para la nutrición humana. Los granos y cereales destinados a ser usados como semillas, como alimento o para la industria, están sujetos
durante el periodo crítico de su almacenamiento a pérdidas variables, adicionales a las naturales, causadas principalmente por factores físicos o bióticos.
Los problemas relativos a la conservación de los granos son muy complejos, por la
concurrencia de factores físicos, químicos, mecánicos y biológicos y puede decirse que muchos de estos factores son específicos de ciertas regiones ecológicas del mundo; sin embargo, gran parte de la resolución de ellos descansa en la investigación y ene el
conocimiento de las causas que los originan.
4.3 Generalidades Sobre la Ecología y la Filosofía de los Granos y las Semillas
4.3.1 El Grano y sus Propiedades
«
Los granos y las semillas son partes constitutivas de organismos vivientes que
respiran y utilizan el oxígeno del aire, producen bióxido de carbono, agua y energía que se traduce en calor. Estas partes constitutivas tienen sus actividades vitales reducidas a un mínimo, es decir, se encuentran en estado de vida latente, por lo que, a simple vista, dan la
Por razón de ser partes de organismos vivos, presentan resistencia a la descomposición por microorganismos y permiten que se les almacene en grandes
volúmenes, por tiempos variables y sin deterioro o descomposición, siempre que las condiciones ambientales sean favorables para su conservación.
4.3.2 El Grano y el Medio Ambiente
Todos los organismos vivientes están sujetos a la influencia de factores físicos, químicos y bióticos del medio ambiente que los rodea. En el caso de los granos y de las
semillas, los factores físicos tienen una influencia decisiva sobre su conservación.
A los factores físicos como la temperatura y la humedad se les reconoce gran importancia, desde el punto de vista del almacenamiento, manejo y conservación de los granos y de las semillas, por la forma tan directa y trascendental en que ejercen su influencia sobre estos órganos vegetales.
Existen, entre otras, tres propiedades de los granos y de las semillas que determinan, en gran parte, su comportamiento o reacción ante los factores ecológicos mencionados, estas propiedades son:
a) La baja conductividad térmica;
a) La baja conductividad térmica. Cada grano o semilla tiene, característicamente, una determinada conductividad térmica, es decir, cierta velocidad con la que el calor pasa de las
zonas calientes hacia las más frías en la masa del grano, siendo diferente y específica, para los diversos tipos de granos o semillas. En el caso de los conductores sólidos, como los
metales, el calor se desplaza del punto de calentamiento con una velocidad mas o menos uniforme en todas direcciones e independientemente del tamańo y forma del conductor en particular. En el caso de los granos y de las semillas, la situación es diferente y la forma, el
tamańo y la textura determinan, en parte, la velocidad y conductividad térmica. En general, esta conductividad en los granos y semillas es muy baja y se puede compara a la que posee
el suelo o las maderas blandas. Esto aclara y explica que, una vez producida una zona de calor en cualquier parte de la masa del grano el calor se transmitirá con mucha lentitud hacia las áreas frías. Esta es la razón fundamental por la cual la temperatura alta causa
tantos dańos en los volúmenes de granos que se encuentran almacenados. Una concentración de calor genera una alta temperatura, la cual es dańina para la integridad
física de la materia viviente.
Generalmente, los granos se almacenan en grandes volúmenes y dada su característica de baja conductividad térmica^ cualquier elevación anormal de la temperatura puede ocasionar serios dańos en los granos. En las semillas almacenadas a grapel, las áreas
calientes por lo general se forman como resultado del alto contenido de humedad del grano que propicia el incremento del metabolismo, la presencia de insectos y poblaciones de
a) La baja conductividad térmica. Cada grano o semilla tiene, característicamente, una determinada conductividad térmica, es decir, cierta velocidad con la que el calor pasa de las zonas calientes hacia las más frías en la masa del grano, siendo diferente y específica, para los diversos tipos de granos o semillas. En el caso de los conductores sólidos, como los metales, el calor se desplaza del punto de calentamiento con una velocidad mas o menos uniforme en todas direcciones e independientemente del tamańo y forma del conductor en particular. En el caso de los granos y de las semillas, la situación es diferente y la forma, el tamańo y la textura determinan, en parte, la velocidad y conductividad térmica. En general, esta conductividad en los granos y semillas es muy baja y se puede compara a la que posee
el suelo o las maderas blandas. Esto aclara y explica que, una vez producida una zona de calor en cualquier parte de la masa del grano el calor se transmitirá con mucha lentitud hacia las áreas frías. Esta es la razón fundamental por la cual la temperatura alta causa tantos dańos en los volúmenes de granos que se encuentran almacenados. Una concentración de calor genera una alta temperatura, la cual es dańina para la integridad física de la materia viviente.
Generalmente, los granos se almacenan en grandes volúmenes y dada su
característica de baja conductividad térmicas cualquier elevación anormal de la temperatura puede ocasionar serios dańos en los granos. En las semillas almacenadas a grajiel, las áreas calientes por lo general se forman como resultado del alto contenido de humedad del grano
que propicia el incremento del metabolismo, la presencia de insectos y poblaciones de hongos y bacterias. La respiración y la producción de calor del grano, combinadas con las
condiciones de calor excesivo, la muerte y la descomposición del grano o de la semilla se
producen concierta aceleración.
En las prácticas generales de manejo de los granos y de las semillas, debe tomarse muy en cuenta la conductividad térmica específica en la masa de cada tipo de grano para
los fines de conservación. Hay diferentes prácticas que indican la forman de inactivar o impedir estos núcleos calientes, exponiendo esas áreas a temperaturas más frías mediante
la aireación, eliminando así dichos núcleos y evitando el desarrollo de altas temperaturas, que finalmente deteriorarían los granos. Este mismo hecho indica la necesidad del conocimiento de las variaciones de temperaturas en los granos almacenados, para usar esta
información en los procedimientos a seguir para efectuar acondicionamientos prácticos, efectivos y económicos, con la finalidad de conservar mejor los granos y las semillas en
buenas condiciones durante el almacenamiento.
b) Respecto a la capacidad de absorción del agua por los granos y las semillas. Se sabe
que la presencia de agua en la masa del grano implica la combinación de ésta con el material sólido y seco, el cual es variable dentro de determinados límites. El agua se
encuentra retenida en los granos y semillas en tres formas diferentes: el agua libre, retenida en los espacios intergranulares, la cual posee propiedades específicas, siendo las moléculas de las sustancias que la soportan. Las que sirven para fijarla en esos sitios; el agua
absorbida, que se encuentra más asociada con la materia absorbente, existiendo aquí una interrelación entre las moléculas del agua y las de las sustancias que constituyen el grano,
