Monterrey, Nuevo León a 06 de diciembre del 2010.
INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY P R E S E N T E .
-Por medio de la presente hago constar que soy autor y titular de la obra denominada " Prácticas de uso de la tecnología para el desarrollo de competencias en modelación de funciones de una variable real'', en lo
sucesivo LA O B R A , en virtud de lo cual autorizo a el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (EL INSTITUTO) para que efectúe la divulgación, publicación, comunicación pública, distribución, distribución pública, distribución electrónica y reproducción, así como la digitalización de la misma, con fines académicos o propios al objeto de EL INSTITUTO.
El Instituto se compromete a respetar en todo momento mi autoría y a otorgarme el crédito correspondiente en todas las actividades mencionadas anteriormente de la obra.
Prácticas de Uso de la Tecnología para el Desarrollo de
Competencias en Modelación de Funciones de una Variable
Real-Edición Única
Title Prácticas de Uso de la Tecnología para el Desarrollo de Competencias en Modelación de Funciones de una Variable Real-Edición Única
Authors Juan Guillermo Montes Esparza
Affiliation Tecnológico de Monterrey, Universidad Virtual Issue Date 2010-12-01
Discipline Ciencias Sociales / Social Sciences
Item type Tesis
Rights Open Access
Downloaded 18-Jan-2017 17:45:39
Universidad Virtual
Escuela de Graduados en Educación
Prácticas de uso de la tecnología para el desarrollo de competencias en
modelación de funciones de una variable real
Tesis que para obtener el grado de: Maestría en Tecnología Educativa
presenta:
Juan Guillermo Montes Esparza
Asesor tutor:
Mta. Natalia Isabel Herrera Baker
Asesor titular:
Dra. Ruth Rodríguez Gallegos
ii
Índice
Resumen... 1
Capítulo 1 Planteamiento del problema... 2
1.1 Introducción... 2
1.2 Marco conceptual ………... 2
1.3 Antecedentes de la problemática... 3
1.4 Preguntas de investigación... 8
1.5 Objetivos de investigación... 9
1.6 Justificación de la investigación... 9
1.7 Limitaciones y delimitaciones de la investigación...10
Capítulo 2 Revisión de la literatura... 13
2.1 Introducción... 13
2.2 Definición de términos... 14
2.3 Marco teórico... 18
2.4 Criterios de selección... 19
2.5 Influencia de la tecnología en la didáctica de la matemática... 20
2.6 Modelación matemática... 25
2.7Construcción del conocimiento matemático... 30
2.8 Concepción particular de modelación y competencias en modelación... 34
Capítulo 3 Metodología... 38
3.1 Introducción………..…... 38
3.2 Método de investigación... 38
3.3 Población y muestra... 40
3.4 Tema, categorías e indicadores de estudio... 42
3.5 Fuentes de información………... 45
3.6 Técnicas de recolección de datos………... 47
3.7 Prueba piloto………... 47
3.8 Aplicación de instrumentos………... 48
3.9 Captura y análisis de datos………... 50
3.10 Aspectos éticos………... 52
Capítulo 4 Análisis de resultados... 53
4.1 Introducción………..…... 53
4.2 Presentación de resultados…... 54
4.2.1 Uso de tecnología...…... 54
4.2.2 Competencias en modelación y funciones de una variable real... 65
4.2.3 Modelación y optimización: caso naranjas... 78
4.2.4 Modelación y optimización: caja sin tapa... 94
iii
4.3.1 Análisis: Tecnología... 106
4.3.2 Análisis: Competencias en modelación y funciones de una variable real... 112
4.3.3 Análisis: Funciones de una variable real………... 115
5 Conclusión del capítulo 4……….... 117
Capítulo 5 Conclusiones... 119
5.1 Introducción... 119
5.2 Discusión y conclusiones... 119
5.2.1 Funciones de una variable real…... 120
5.2.2 Competencias en modelación…... 122
5.2.3 Tecnología.…... 123
5.3 Recomendaciones……….…... 126
Referencias... 129
Anexos………... 134
Anexo 1... 134
Anexo 2... 139
Anexo 3... 140
Anexo 4... 141
Anexo 5... 142
Anexo 6... 143
Anexo 7... 152
Anexo 8... 155
Anexo 9... 158
Anexo 10... 159
Anexo 11... 165
Anexo 12... 166
Anexo 13... 169
1
Prácticas de uso de la tecnología para el desarrollo de competencias en
modelación de funciones de una variable real
Resumen
En el presente trabajo se indagó sobre el desarrollo de competencias en modelación en la
construcción del concepto función de un variable real con el uso de nuevas tecnologías.
En la revisión de la literatura se encontró que en los cursos de Cálculo Diferencial es
práctica común incluir el tema de funciones privilegiando la representación algebraica,
generalmente la representación algebraica de la función la sugiere el docente y a partir de
ella transitar a su representación gráfica. Sin embargo cuando los alumnos son expuestos
a modelar una situación real con una representación algebraica, las estrategias que
emplean no les permiten obtenerla. En este trabajo se propuso el uso de tecnología para
facilitar y motivar al alumno en el desarrollo de competencias de modelación como una
opción para que de manera integral se logre la construcción del concepto de función de
una variable real. Se diseñaron cuatro actividades de aprendizaje para alumnos que
cursaban Cálculo Diferencial con el propósito de indagar sobre el proceso de
construcción de diferentes representaciones de una función de una variable. Los
principales hallazgos de la investigación confirmaron que entre los alumnos prevalece la
costumbre de esperar y/o solicitar una expresión algebraica de parte del profesor, lo que
dificulta la obtención por cuenta propia la construcción de una expresión algebraica a
partir de contextos reales. Los alumnos manifestaron una clara preferencia por el uso de
nuevas tecnologías como apoyo a su aprendizaje, por las representaciones tabular y
gráfica para modelar un problema y describir el comportamiento de la función que lo
2
Capítulo 1
Planteamiento del problema
1.1 Introducción
El presente capítulo dará inicio con el marco contextual en torno al problema de
investigación, los antecedentes que lo generaron hasta la propuesta de preguntas de
investigación.
También se exponen al lector diversos argumentos que justifican la selección de
tecnología y modelación al considerarlos elementos importantes dentro de la
investigación y cómo el uso de múltiples representaciones del concepto de función,
favorecen la construcción del mencionado concepto.
La investigación se realizó con los alumnos del cuarto semestre en el Colegio de
Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de México (CECyTEM), plantel
Ecatepec, que cursaban Cálculo Diferencial.
1.2 Marco contextual
La investigación se realizó en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del
Estado de México (CECyTEM), plantel Ecatepec. El CECyTEM recibe recursos
Federales, Estatales y Municipales, fue creado como respuesta a las fuertes demandas
sociales de los servicios educativos de nivel medio superior en las zonas aledañas al
Distrito Federal, así como de las necesidades del sector productivo de la región para
3
1.3 Antecedentes de la problemática
Generalmente en el análisis de funciones, se privilegia un tipo de representación
de la función sobre otro. Mochón (2000) considera que realizar el análisis de funciones
empleando solamente aspectos algebraicos no resulta en una verdadera comprensión del
comportamiento de las funciones.
Una de las posibles causas de privilegiar la representación algebraica de la función es
que genera mayor comodidad durante la exposición del docente y porque se tiene la idea
que es la representación más importante de la función.
Es común que los programas de Cálculo Diferencial sigan un orden determinado:
Números Reales, Desigualdades, Funciones, Límites, Continuidad y Derivadas. Si los
contenidos previos garantizaran la comprensión de los subsiguientes no habría ningún
problema, pero la evidencia muestra que los alumnos logran comprensiones parciales de
cada contenido al estudiarlos por separado, sin establecer alguna articulación entre ellos.
Ese aprendizaje distorsionado y sin relación entre los contenidos limita la aplicación
práctica de los mismos en situaciones reales fuera del ambiente escolar (Castillo y
Montiel, 2007).
Con el ingreso de las nuevas Tecnologías de la Información y Comunicación
(TIC) al ambiente educativo, se pensó que diversos problemas de enseñanza- aprendizaje
de las matemáticas se resolverían, en particular el de las múltiples representaciones de
una función. Si bien las TIC tuvieron su fase de crítica y rechazo por parte de varios
actores relacionados con la educación, actualmente se reconocen como instrumentos
didácticos que permiten un mejor proceso de enseñanza y aprendizaje pero que también
4 En un primer intento por utilizar la nueva tecnología educativa en oferta, se dieron
a conocer las bondades de recursos tecnológicos principalmente la computadora y
software pero sin el apoyo didáctico apropiado para emplearlos.
Luego del primer encuentro entre el sector educativo y las nuevas TIC, se
reconoció que el docente no podía ser reemplazado de su función y que el alumno debería
adoptar otro papel. Para el docente poco apoco se delineaba una nueva actividad:
diseñador de situaciones didácticas asistidas con tecnología y el alumno dejaría de ser
solamente un operador de software para resolver ejercicios rutinarios. Ahora el alumno a
partir de las actividades diseñadas por el docente, participa en la construcción de
conocimiento y conceptos matemáticos (Robert y Pouyanne, 2005).
Entre otros beneficios al emplear computadoras y software se encuentran la
rapidez al realizar operaciones y gráficas, dos representaciones básicas de las funciones.
El interés por el uso de las nuevas TIC en la enseñanza de las matemáticas lo
investigó Slavit (1993) de manera indirecta, a partir de las ilustraciones de los libros de
texto de Cálculo, según su estudio realizado en 1992 observó que hasta antes del uso
extendido de las computadoras como medio para graficar, de los 5369 ejercicios
propuestos en 30 libros de Cálculo, solo 999 se relacionaban con la representación
gráfica, según lo reportan Ibarra, Bravo y Grijalva (2001).
El incremento en el interés por la representación gráfica de conceptos importantes
del Cálculo, por ejemplo el concepto de función, permite enfocar la atención a nuevas
representaciones de la función comúnmente inconexas entre sí, lo que dará origen a una
5 función ahora se puede observar en una pantalla y de esa manera el alumno logrará
reconstruir el concepto de función.
Quienes están a favor del empleo de tecnología en el desarrollo del concepto de
función, mantienen la opinión que la capacidad de utilizar diferentes representaciones del
objeto matemático llamado función, permiten asimilar el concepto, hacerlo propio.
Por ejemplo, los investigadores Hitt (2001) y Duval (1999) coinciden al afirmar
que la comprensión de un concepto matemático se adquiere cuando se emplean al menos
dos registros de representación. La rapidez y naturalidad para pasar de un registro a otro
es una medida de la comprensión del concepto. La importancia de lo mencionado
anteriormente radica en que actualmente se puede utilizar la computadora y software para
graficar para operar más fácilmente al menos dos representaciones de un objeto
matemático como la función.
El advenimiento de las computadoras personales y el software para facilitar
diversos modos de representación de conceptos matemáticos ha permitido rescatar el
interés en una representación visual. De acuerdo a Hitt (1997), citado por Ibarra et al.
(2001) el predominio de lo algebraico sobre lo visual tiene sus orígenes en la época
griega, donde la importancia de lo deductivo dejó de lado el aspecto visual, continuando
esa tendencia anti-ilustrativa de la matemática por más de veintitrés siglos.
El uso de tecnología es una decisión que toma el docente con la finalidad de que los
alumnos aprendan de manera más rápida, tal vez mejor y como elemento motivador.
Abundan las críticas en el sentido de que la matemática fue creada de manera
independiente a las nuevas tecnologías. Y si las nuevas TIC se admiten en los cursos de
6 desventajas de su uso, sin pretender que serán el único remedio a las dificultades de
enseñanza (Artigue, 2004).
En los años sesenta y setenta se presenta una crisis en la enseñanza de las
matemáticas. En la búsqueda de soluciones, investigadores de diversos países realizan
esfuerzos para proponer modificaciones pertinentes en los cursos de matemáticas. Es en
Francia donde un grupo de investigadores en matemáticas escolares desarrollan la
didáctica de las matemáticas con mayor coherencia y mejor sustento teórico (Artigue,
1995).
De ese grupo de investigadores surgieron diversos enfoques sobre la didáctica de
las matemáticas. Artigue refiere que actualmente prevalecen tres visiones sobre la
didáctica de las matemáticas: 1) la cognitiva de Vergnaud; 2) la de los saberes de
Chevallard y 3) la de situaciones de Brousseau. Este trabajo de investigación se realizó
teniendo como marco la Teoría de las Situaciones Didácticas (Brousseau, 1986).
En la práctica docente existe interés por abordar los contenidos, en particular
sobre el tema de funciones de una variable real, de manera tal que puedan interesar a los
alumnos. Los ejercicios de funciones propuestos en los textos no llaman su atención,
entre las soluciones a ese problema se han planteando problemas de optimización donde
se pueda emplear la modelación. Se esperaba que en el proceso de solución los alumnos
distinguieran diversas funciones y pudieran analizar las características principales de las
mismas por medio de diferentes representaciones.
El proceso de modelación empezaba usando lo que Guin, Ruthven y Trouche
7 científica. Al concluir la actividad el docente procedía a la revisión haciendo uso de
tecnología ya sea una calculadora graficadora o software para graficar.
Generalmente se solicitaba hacer uso de EXCEL para automatizar y realizar de
manera rápida los cálculos. Con la tabla ya organizada se identificaban las columnas
correspondientes a la variable independiente y dependiente para trazar la gráfica
correspondiente.
Durante el proceso de construcción de diferentes representaciones de la función
se realizaba el análisis de las funciones, por ejemplo dominio, rango, máximos o
mínimos. Se intervenía en la solución de los problemas planteados sin emplear con
frecuencia el llamado efecto Topaze, circunstancia en donde el estudiante llega a la
solución de un problema, pero no ha sido por sus propios medios, sino porque el profesor
asume la resolución del problema (Brousseau, 1986).
Al momento de medir el aprendizaje de los alumnos sobre el concepto de
funciones se notaban dificultades para obtener una representación algebraica y no
quedaba claro el gran poder que tienen las fórmulas en el análisis de funciones.
La problemática que se presenta en el tema de funciones tiene manifestaciones
diferentes y también serán diversas las propuestas para resolverla: recurrir a diversas
representaciones de la función, analizar funciones a partir de elementos particulares de
cada representación, emplear tecnología para obtener las representaciones con mayor
rapidez, hacer uso de la modelación como estrategia para construir funciones y
principalmente que el docente construya diseños didácticos pertinentes a partir de un
8 El poder transitar entre diferentes tipos de representaciones de las funciones
genera beneficios a corto plazo para los alumnos entre otros poder reconocer aplicaciones
de las funciones en situaciones reales, cotidianas y concretas y como antecedente en el
desarrollo del concepto de variación muy necesario para los cursos de cálculo (Mochón,
2000).
1.4 Preguntas de investigación
La pregunta de investigación fue elaborada a partir de varios supuestos teóricos y la
problemática que enfrenta el investigador en su contexto.
La pregunta principal es ¿Cuáles son las prácticas de uso de la tecnología que
promueven el desarrollo de competencias de modelación en el estudio de funciones de
una variable real?
En la pregunta principal se pueden identificar al menos dos constructos teóricos
de estudio: a) funciones de una variable real y competencias en modelación y b) prácticas
de uso de tecnología. Durante el trabajo de investigación se obtuvo información empírica
que permitió responder a la pregunta planteada triangulándola para asegurar un grado
aceptable de validez.
Para definir elementos particulares que están presentes en los constructos
generales se plantearon las siguientes preguntas:
• ¿Qué características debe tener la tecnología empleada para facilitar el
aprendizaje del concepto de función de una variable real?
• ¿Qué tipo de representaciones de la función de una variable real son favorecidas
9
• ¿Qué diseños didácticos son los más apropiados si se pretende que el concepto de
función sea construido por medio de la modelación?
1.5 Objetivos de investigación
Objetivo principal
Obtener información empírica que permita identificar las prácticas de uso de
tecnología y modelación que propicien un mejor aprendizaje del concepto de función
vinculando sus diversas representaciones.
Objetivos secundarios
Establecer criterios de selección de tecnología para el desarrollo de competencias
matemáticas en modelación.
Identificar las ventajas y desventajas de cada recurso tecnológico en la construcción
del concepto de función.
Identificar los conceptos más importantes de una función al estar trabajando con
diferentes representaciones de la función.
Seleccionar la representación matemática adecuada a cada concepto importante de
función.
1.6Justificación de la investigación
La investigación se considera importante porque en general permite obtener
información sobre las estrategias más adecuadas que permitan el aprendizaje de función,
10 para el diseño de situaciones didácticas optimizadas que permitan construir el concepto
de función a partir de problemas de modelación.
La investigación beneficiará particularmente a los estudiantes que cursan Cálculo
Diferencial ya que podrán reconstruir el concepto de función de una variable real de
manera integral con el desarrollo de competencias en modelación, la que generalmente se
le veía como un agregado de los cursos de Cálculo donde se podían aplicar los conceptos
de función, pero de manera desvinculada.
La aplicación de las actividades permitirá a los alumnos transitar entre diferentes
representaciones de la función al mismo tiempo que trabaja modelación, las experiencias
logradas harán ver la función como un solo concepto mientras que cada una de las
diferentes representaciones de la función aportarán elementos particulares para la
construcción sólida del concepto y mayores habilidades para modelar problemas
extraescolares.
1.7Limitaciones y delimitaciones
Limitación económica: fue la principal porque no se contó con el presupuesto para
realizar problemas de modelación utilizando sensores de movimiento y temperatura.
Limitación espacial: se contaba con la autorización para el uso del laboratorio de
cómputo, pero finalmente la investigación se realizó en el salón de clase.
Limitación temporal: la investigación en campo se inició a partir del 15 de febrero
del 2009 que es cuando inició el semestre en el CECyTEM Ecatepec y terminó la
11 Delimitación temática: se estudió solo el tema de funciones de una variable real y
sus diferentes representaciones, debido a limitaciones de tiempo establecidas en la
planeación del profesor que apoyó en la investigación. El investigador tampoco
profundizó en otros temas, solo se enfocó en las diferentes representaciones de la función
a partir de las actividades de modelación.
Delimitación metodológica: aunque las características de la investigación son del
tipo mixto, predominan las que lo acercan más al enfoque cuantitativo.
Delimitación poblacional: en la aplicación de las actividades participaron dos
profesores, un docente que permitió la observación de su clase y el propio investigador.
A partir de una entrevista piloto a un docente, se elaboró en un cuestionario para
los alumnos y cuatro docentes del turno vespertino. Los estudiantes que participaron
fueron los alumnos de un grupo a cargo del profesor que apoyará la investigación y los
demás fueron alumnos de los grupos asignados al investigador.
Además de los instrumentos propios de la investigación cualitativa, observación y
entrevista, se pudo filmar el trabajo del docente que apoyó la investigación. Se tomaron
varias fotografías de los productos logrados por los alumnos, principalmente de las cajas
sin tapa, también los alumnos registraron en video algunas actividades realizadas ya que
por limitación de tiempo y espació varios equipos las tuvieron que realizar en casa.
La mayor parte de los registros se consideraron fuentes importantes de
información y permitieron el análisis de las actividades de modelación encomendadas.
Las actividades de modelación y los respectivos reportes por escrito que entregaron los
12 Se aplicó un cuestionario a los alumnos y docentes participantes en la
investigación, este instrumento permitió explorar el contexto de los colaboradores en
cuanto a la disposición de computadora, acceso a Internet y uso de recursos educativos
digitales. No se aplicaron herramientas sofisticadas para el análisis de las respuestas, solo
se elaboraron gráficas y tablas a partir de la información recabada (Hernández, Fernández
13
Capítulo 2
Revisión de la literatura
2.1 Introducción
En este capítulo se presenta una selección de diversos artículos que permiten
conocer el trabajo que varios investigadores han desarrollado acerca del tema de la
investigación titulada: prácticas de uso de la tecnología para el desarrollo de
competencias en modelación de funciones de una variable real.
Para formar el marco teórico de este estudio se ha revisado de manera profunda la
literatura al respecto, seleccionando la que se considera más importante para la
investigación tomando como criterio de selección, los artículos más recientes y de
autores que aparecen frecuentemente citados en publicaciones arbitradas nacionales e
internacionales. La búsqueda de información proviene de la necesidad de conocer el
trabajo previamente realizado por investigadores para posteriormente fundamentar
teóricamente la presente investigación.
Se hace énfasis en la resolución de situaciones didácticas para construir el
concepto de función de una variable real a partir de las diferentes representaciones de la
función. Entendiendo la modelación como una estrategia para generar conocimiento y no
como un complemento práctico de las matemáticas escolares para realizar aplicaciones.
El empleo de tecnología, software Graphmatica obedece a la rapidez y ayuda para
las representaciones numérica, gráfica y algebraica de la función sin dejar a un lado el
14 Se insiste en que la construcción del conocimiento matemático requiere de la
habilidad para transitar entre diversas representaciones de un concepto. El caso de la
función no es la excepción ya que generalmente se prefiere la representación algebraica
de la función, limitando así un aprendizaje verdadero acerca de las funciones de variable
real.
Se finaliza el capítulo dos con una interpretación y selección personal de lo que
significa modelación y competencias en modelación, retomando las ideas de los autores
que más se asemejan con la realidad del docente investigador. También se detalla la
manera en que fueron medidas las competencias de modelación en base a una escala
descriptiva y el ciclo de modelación.
2.2Definición de términos
Didáctica: La Didáctica y su definición no son asuntos nuevos, Brousseau (1986)
registra en el año de 1640 una definición de didáctica dada por Comenius: “el arte de
enseñar” o “conjunto de medios y procedimientos que tienden a hacer conocer, a hacer
saber algo”. “Actividades didácticas, es decir, las actividades que tienen por objeto la
enseñanza (Brousseau, l986, p. 5).
En una conferencia que realizó en Chile, Brousseau (2004) expresó que la
Didáctica es una ciencia que estudia la difusión del los conocimientos útiles al hombre
que vive en sociedad. La Didáctica tiene como principales objetivos: la producción,
difusión y aprendizaje de los conocimientos, extendiendo el interés hasta las instituciones
15 Didáctica de las matemáticas: La Didáctica de las matemáticas estudia las
actividades que tiene por objeto la enseñanza de las matemáticas (Brousseau, 1986).
“En la Didáctica de las matemáticas, lo que debe ser aprendido es generalmente un
concepto matemático” (Brousseau. 2004, p.2).
Modelo matemático: “Un modelo matemático es cualquier sistema completo y
compatible de ecuacionesmatemáticas, diseñadas para que se correspondan con alguna
otra entidad, su prototipo. Tal prototipo puede ser una entidad física, biológica, social,
psicológica o conceptual, tal vez, incluso, otro modelo matemático" (Suárez, 2002, p.4).
Modelación: “Cosa que debe ser imitada”, “”representación”, “es en sí misma
conocimiento”, “es una práctica social” “es considerada como una herramienta didáctica
que ayudará al estudiante a hacer representaciones adecuadas y eficientes del objeto
matemático” (Cordero, 2006, p. 3).
Visualización: “Habilidad para representar, transformar, generar, comunicar,
documentar y reflejar información visual. …proceso mental demasiado útil en diversas
áreas del conocimiento matemático y científico” (Cantoral y Montiel, 2001, p. 2).
Representación matemática: signos para representar un concepto u objeto
matemático, en este trabajo se refiere a las diversas formas en que puede estudiarse una
función de una variable real, descripción verbal o escrita, representación numérica o
tabular, representación gráfica y representación algebraica por medio de una fórmula
(Cordero, 2006).
Concepto matemático: “no definible en sí mismo, aunque sí ejemplificable
16 Es una síntesis de la evolución, diferenciación, combinación acumulativa de ideas
y transformaciones constantes del lenguaje verbal al operacional y del lenguaje
operacional al lenguaje verbal (Lanner y Faulin, 2002, p. 195).
“Concepto matemático lo consideramos como síntesis evolutiva histórico-cultural
del modo en que el ser humano conoce determinados aspectos de la realidad” (Faulin,
2002, p. 186).
Objeto matemático: Para Cordero (2006) un objeto matemático es un concepto
mental que se hace visible mediante una representación matemática. También se
“considera como objeto matemático cualquier tipo de entidad real o imaginaria a la que
nos referimos cuando realizamos, comunicamos o aprendemos matemáticas” (Godino,
Recio, Roa, Ruiz y Pareja, 2005).
Saber Matemático: conocimiento generado por investigadores y matemáticos
también llamado saber erudito (Brousseau, 1986, p.5).
Efecto Topaze: Es una intervención del docente para acercar al alumno a la
respuesta correcta de un problema, una vez que percibe que el alumno no la obtendrá por
sí mismo (Brousseau, 1986).
Situaciones didácticas: Brousseau (1986) participó en el desarrollo de la Teoría
de las Situaciones Didácticas que es el apoyo teórico por el cual se pueden diseñar
actividades didácticas, poner a prueba instrumentos de enseñanza o mejorarlos para el
aprendizaje de la matemática. Una situación didáctica es la que estudia las relaciones
establecidas entre los elementos indicados para lograr aprendizaje, bajo el supuesto que el
aprendizaje se logra por la interacción frecuente entre el estudiante y el contenido
17 Transposición didáctica: proceso de cambio o modificaciones al conocimiento de
matemáticas generado por expertos fuera de la escuela y que es necesario para hacer más
fácil la enseñanza en el salón de clase (Brousseau, 1986, p. 5). Una de las desventajas del
cambio están el olvido de las razones que originaron el concepto matemático generando a
la vez desconcierto en los alumnos al no percibir la necesidad de apropiarse o construir
un determinado concepto.
Contrato didáctico: reglas que rigen la relación didáctica entre el alumno y el
profesor (Brousseau, 1986, p.15).
Competencia matemática: según el proyecto 2003 del Programa Internacional
para la Evaluación de Estudiantes, Programme for International Student Assessment
(PISA), la competencia matemática también llamada alfabetización matemática es “la
capacidad individual para identificar y comprender el papel que desempeñan las
matemáticas en el mundo, emitir juicios bien fundados, utilizar las matemáticas y
comprometerse con ellas, y satisfacer las necesidades de la vida personal como ciudadano
constructivo, comprometido y reflexivo” (Rico, 2007, p.49).
Para Collado, Guzner y Kaczurisky (2005) la competencia matemática es una
conducta que se manifiesta en el saber hacer y proceder de manera exitosa cuando se
realicen tareas que incluyen un proyecto matemático. El éxito depende de los
conocimientos, saberes y habilidades que una persona emplee cuando interactúe con la
18
2.3 Marco teórico
La práctica docente de más de un profesor de matemáticas, inicia y a veces se
mantiene de acuerdo a la experiencia que vivió como alumno o creencias muy
particulares sobre la enseñanza y aprendizaje sin un sustento teórico firme (Orton, 2003).
Sin pretender iniciar un debate sobre los dos enfoques de aprendizaje usualmente
empleados en la enseñanza de las matemáticas, el conductista y el cognitivo y para no
extraviarse entre las diferentes corrientes de cada enfoque, en el presente trabajo se
citarán las teorías didácticas construidas por la llamada escuela francesa, pero
seleccionando solo una de ellas, la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau.
Entre los diversos grupos de investigación para la enseñanza de las matemáticas
en los años sesenta y setenta, destaca el grupo francés por fundamentar de manera sólida
su propuesta para la llamada didáctica de las matemáticas. La didáctica de las
matemáticas es producto de la investigación para buscar establecer la relación y
dependencia entre tres elementos involucrados la enseñanza de las matemáticas: profesor,
estudiante y el saber.
El grado de éxito de la escuela francesa se puede medir de manera indirecta por
el nivel de influencia que ejercieron no solo los matemáticos, sino la capacidad de
convocatoria de otros profesionistas: físicos, psicólogos, sociólogos y docentes de
diferentes niveles educativos. Los institutos de investigación en la enseñanza de las
matemáticas, Instituts de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques (IREM),
fueron la culminación concreta lograda por el grupo multidisciplinario de profesionistas
19 Los investigadores de los IREM desarrollaron métodos para mejorar la didáctica
de las matemáticas, producto de ese trabajo surgieron nuevas metodologías como la
ingeniería didáctica.
Desde mediados de los años setenta, la didáctica de las matemáticas ha permitido
obtener datos empíricos para construir teorías cuya influencia ha llegado hasta el diseño
curricular de varios países, sin embargo es en Francia donde se tiene un mejor nivel de
unidad y teorización (Artigue, 1995).
A manera de resumen se presentan tres puntos de vista actuales sobre la didáctica
de las matemáticas, con cierto grado de interrelación y complementarias entre sí,
(Artigue, 1995).
• Cognitiva, con Vergnaud y su teoría de campos conceptuales.
• Saberes, con Chevallard y su teoría de la transposición didáctica.
• Situaciones, con Brousseau y su teoría de las situaciones didácticas.
2.4 Criterios de selección
Entre las principales razones para adoptar la teoría de situaciones didácticas de
Brousseau en el presente trabajo de investigación, destacan:
• El gran desarrollo teórico generado a partir de datos empíricos.
• El empleo de estrategias en la enseñanza como los ajustes de los saberes a situaciones
escolares.
• La propuesta de escenarios didácticos para la construcción de conceptos matemáticos.
Los cuatro instrumentos de investigación (actividades de modelación) fueron
20 concepto de función, por medio de las modelación y empleando tecnología: computadora
y software Graphmatica para graficar.
2. 5 Influencia de la tecnología en la didáctica de la matemática
La llegada de las nuevas Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC)
generó diversas posiciones sobre su utilidad en diferentes campos disciplinares.
Actualmente en el campo educativo las TIC son vistas como medios que permiten
mejorar los procesos de enseñanza-aprendizaje y los esfuerzos de investigadores se
enfocan en el desarrollo de metodologías para lograrlo (Castillo, 2008).
Producto de las investigaciones desarrolladas principalmente en el marco de
teorías constructivistas, se logrado establecer que es necesario un cambio en las
estrategias de enseñanza-aprendizaje para que sean más eficientes y que consideren al
alumno como parte central de proceso.
El desarrollo de las competencias en modelación con uso de tecnología en los
alumnos depende en gran medida de la intervención del profesor y aunque se espera que
los docentes cuenten con el perfil adecuado para lograrlo, Castillo (2008) sugiere una
lista de competencias que un docente debe tener o estar dispuesto a obtenerlas y que no se
limite al manejo de contenidos sino que pueda aprovechar los recursos tecnológicos para
mejorar su práctica docente:
• Competencias tecnológicas para seguir su formación profesional empleando la red.
• Competencias didácticas que le permitan conocer diversas teorías de aprendizaje,
desarrollar ambientes adecuados de aprendizaje, diseñar y recursos y tareas para el
21
• Competencias tutoriales que incluyen habilidades de comunicación para crear entornos
de trabajo adecuados.
• Competencias pedagógicas que le permitan incorporar las nuevas TIC que apoyen el
aprendizaje de sus alumnos.
• Competencias para colaboración y trabajo en red.
Si bien las bondades de las nuevas TIC en el proceso de aprendizaje son descritas
ampliamente en el trabajo de Castillo (2008) también se detallan las desventajas y las
formas inadecuadas de su uso, concluyendo que son un medio pero no garantía que al
emplearlas se resuelva el problema de aprendizaje, en particular de las matemáticas.
Compartiendo la visión de mejora con el uso de tecnología para la enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas Fernández (2000) advierte sobre los riesgos que implica
el uso de tecnología.
Por ejemplo, el uso de software solo para resolver ejercicios rutinarios de
matemáticas no permite optimizar las ventajas de esa tecnología, lo que obliga a cambiar
el punto de vista de que ésta por sí misma resolverá problemas de aprendizaje. Es
necesario considerar a la tecnología como un medio que requiere del diseño de nuevas
estrategias del docente para su uso en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
El diseño de la estrategia adecuada permitirá al docente proponer actividades de
mayor nivel cognitivo a sus alumnos para desarrollar su creatividad. En el actual proyecto
de investigación se consideró el tema de la función de variable real desde un enfoque
diferente al tradicional que comúnmente consiste en clasificar las funciones, evaluar,
operar, determinar dominio, rango desde un punto de vista algorítmico prefiriendo
22 Se trabajaron cuatro actividades, dos de modelación de problemas de
optimización, las cuatro con la intención de identificar el tipo de función, la forma, sus
intervalos reales de variación desde diferentes representaciones de la función: numérica y
visual principalmente, apoyándose en el uso de Graphmatica y como parte final la
representación algebraica no como la exigencia de los programas de estudio sino como
necesidad de contar con una fórmula para poder analizar de manera diferente a las
funciones de variable real.
En el proceso de solución se observa el desarrollo de habilidades y destrezas de
modelación empleando funciones, llevar una situación real a otra representación para su
estudio. Para facilitar el proceso se sugirió el uso de Graphmatica. Al final se recaba
información sobre el grado de construcción del concepto de función en los alumnos
participantes.
Con respecto al uso de tecnología, Fernández (2000) concluye que existe
evidencia del efecto positivo en el aprendizaje de las matemáticas en base a
documentación de diversos casos donde observa ventajas y desventajas del uso de nuevas
TIC.
Ventajas:
• Permite al docente tomar el papel de formador en vez de informador.
• Genera motivación en los alumnos.
• Permite que cada alumno aprenda a su propio ritmo.
Desventajas:
• Deshumanización del sistema educativo.
23
• Los alumnos ya no realizan esfuerzo alguno para realizar cálculos.
• El conocimiento obtenido con poco esfuerzo se olvida rápidamente.
• Se pierde la comunicación con el estudiante en lo referente a la dirección y control del
aprendizaje.
• Una excesiva dependencia hacia la computadora y software limita el interés por
diferentes representaciones de un problema matemático.
Continuando con Fernández (2000) y su trabajo titulado Perfeccionamiento de la
enseñanza-aprendizaje del tema límite de funciones con el uso de un asistente
matemático, en el que describe las bondades del uso de software matemático como
Derive para crear ambientes gráficos y mejorar la comprensión de otros temas de
matemáticas, el estudio hace referencia al tema de límite de funciones, que es de gran
dificultad para los alumnos si se aborda desde el enfoque algorítmico, dificultad que
puede reducirse al incorporar el aspecto gráfico y de visualización permitiendo realizar
diversas aproximaciones al concepto de límite por descubrimiento y exploración.
Además de las ventajas en el aprendizaje de límite propiciadas por el uso del
Derive y una estrategia didáctica para su uso, la autora describe también el período en el
que se utilizó el software sin una planeación adecuada y solamente se empleó para
resolver ejercicios rutinarios.
Las experiencias documentadas por Fernández (2000) permiten vislumbrar los
problemas en la enseñanza de la matemática al emplear software para graficar, éste no
debe verse como un medio solo para trazar gráficas o realizar cálculos sin que medie la
24 situaciones de aprendizaje y no como un sustituto del razonamiento y el trabajo de los
docentes.
Se tomaron en cuenta las observaciones de Fernández (2000) para diseñar las
actividades del presente trabajo de investigación. De tal manera que el uso de tecnología
no sea el fin en sí mismo sino como medio para enriquecer el aprendizaje y lograr otros
niveles cognitivos al construir el concepto de función.
Es recomendable mantener una visión realista sobre el uso de de nuevas TIC en la
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, donde se reconozcan ventajas y desventajas,
sin embargo se encontró en la literatura información sobre actitudes extremas con
respecto al empleo de tecnología. Los investigadores Ortiz, Castro y Rico (2004),
reportan los resultados de un estudio con metodología cuantitativa en donde se manifiesta
la tendencia de los profesores a trabajar el curso de álgebra lineal de la manera tradicional
y mantener una actitud de rechazo y negación a incorporar nuevas herramientas que
permitan mejorar su actividad, en respuesta los autores declaran que el adoptar
tecnología y nuevas estrategias de enseñanza modificarían de manera positiva la actitud
de sus alumnos hacia las matemáticas.
Pero una vez que se acepta el uso de tecnología y en particular software para
graficar no puede concluirse que dejaran de aparecer otros problemas de aprendizaje.
Dolores (2004) reporta que los estudiantes no manifiestan una buena comprensión de
características importantes de la gráfica de una función, como dominio, imagen,
intervalos de crecimiento o decrecimiento. Se observa que los alumnos asocian
posiciones de la gráfica a partir de los signos de la fórmula y con frecuencia afecta su
25 Las recomendaciones a partir de las experiencias descritas por Dolores (2004) se
tomaron en cuenta para el diseño de actividades con el uso de tecnología: emplear
calculadoras graficadoras o software que permitan al alumno obtener de manera rápida la
representación gráfica de la función y realizar con éxito el análisis de las gráficas de
funciones requiere de un apropiado diseño didáctico.
Si la representación gráfica de la función se había obtenido a partir de una
expresión algebraica y una tabla de valores de pares ordenados, con la aparición de las
nuevas tecnologías se puede considerar que la actividad actual de los alumnos consistirá
en interpretar lo que ve desplegado en las pantallas de una computadora o una
calculadora graficadora. La interpretación de la representación gráfica es una actividad
cognitiva más importante que la operación de algoritmos de manera mecánica (Moreno y
Waldegg, 2004).
Desde el punto de vista de Moreno y Waldegg (2004) el uso de tecnología en la
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas puede provocar que se abandone la
preferencia de los aspectos algorítmicos para dar paso al desarrollo de otras
representaciones de la función. Tomando en cuenta que la tecnología no es la finalidad en
la enseñanza de las matemáticas sino que se le considera como “amplificador” de la
capacidad cognitiva de los usuarios.
2. 6 Modelación matemática
Villalba (2002) en su artículo El nacimiento del cálculo, invita a la reflexión sobre el proceso de generación de ideas innovadoras en las matemáticas desde las de Tales de
26 del Cálculo. Describe la inseguridad de Newton para aceptar sus propias conclusiones,
señala que no existe una línea definida para construir un concepto matemático, en
ocasiones se descartan, otras veces se reformulan o se les añaden nuevos componentes. El
mensaje finalmente es que los conceptos matemáticos como hoy se conocen han pasado
por un largo proceso de consolidación.
Es hasta cierto punto normal y cotidiano en la práctica educativa de los docentes,
emplear el producto terminado y presentarlo a los alumnos. En particular en un curso de
Cálculo Diferencial donde la acción del docente está dirigida en función del programa de
contenidos y de los libros de texto. No es la intención descartar la utilidad de esa forma
de proceder porque gran parte de los alumnos resuelven ejercicios rutinarios, sin embargo
cuando se trata de aplicar los conceptos se presenta una gran dificultad entre las reglas
aprendidas, el conocimiento adquirido de esa manera y cómo aplicarlo para resolver
problemas.
Esa dificultad para relacionar lo aprendido con situaciones reales no solamente se
observa en contextos extra-escolares, también en diversos cursos y niveles educativos, ya
que la enseñanza de las matemáticas comúnmente se les presenta a los alumnos de tal
manera que no tienen significado. Por otro lado hay disciplinas que utilizan fórmulas
matemáticas pero sin conexión con una situación real. Ante tales condiciones en los
párrafos siguientes se pretende presentar diversos trabajos que consideran a la
modelación como una solución al problema de la descontextualización de las
matemáticas.
Cordero (2006), expone diversas concepciones al respecto de la modelación y
27 trabajo matemático, sin embargo debe ser vista como un conocimiento matemático por
derecho propio. También expone que el conocimiento matemático no debe ser anterior a
la aplicación necesariamente, sostiene la afirmación que se puede construir conocimiento
matemático paralelamente a la aplicación por medio de la modelación.
Cordero (2006) describe de manera muy amplia el concepto de modelación a
partir de variación de parámetros, su importancia en la enseñanza de las matemáticas y la
relación que tiene con la tecnología, además de realizar propuestas para cambios en la
estructura curricular.
Con respecto a la tecnología y los diversos significados, Cordero (2006) encuentra
que para un sector de la población, la tecnología es el producto práctico del
conocimiento científico pero señala que para matemáticas tiene otro significado,
menciona la tecnología educativa como proveedora de medios para lograr aprendizaje.
Hace referencia a dispositivos tecnológicos como sensores y dispositivos que permiten
graficar la relación entre dos variables de un experimento y cuyo uso adecuado permite
desarrollar habilidades cognitivas.
Bosch, Gascón e Higueras (2006) refieren que desde la década de los ochenta se
ha incrementado la investigación en torno al impacto que la modelación pudiera tener en
los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, consideran también que la
modelación no debiera ser entendida como una aplicación de las matemáticas sino como
una forma de generar conocimiento matemático.
Es de tal grado el interés por la modelación que actualmente se escucha con
28 modelación es considerada como una competencia básica y necesaria para cualquier
persona.
Relacionada a la competencia de modelación aparece otra llamada
matematización que consiste en construir un modelo matemático a partir de una situación
o problema de un contexto real (Rico, 2007). Para lograr la competencia de modelación
se requiere que la solución de problemas y la modelación sean objetos explícitos de
enseñanza y aprendizaje no solamente como alternativas en el desarrollo de los cursos de
matemáticas.
Pasando al terreno de las aplicaciones, Rodríguez (2008) menciona la herramienta
matemática específica de las ecuaciones diferenciales que se puede emplear para modelar
situaciones presentes en problemas de la Física y dentro de los cursos de matemáticas.
En su artículo describe los pasos para modelar el funcionamiento de un
desfibrilador en una situación concreta: calcular la probabilidad de que una persona
sobreviva a un problema cardiaco en la calle si es atendido con un desfibrilador. Asocia
el desfibrilador con un circuito eléctrico donde la resistencia representa la equivalente de
un cuerpo humano y la capacitancia el nivel de carga eléctrica que recibirá, el modelo en
cuestión es una ecuación diferencial.
Describe el proceso de modelación con un esquema que inicia con una situación
real y lo lleva al terreno o dominio matemático. En la parte media del proceso se
encuentra el dominio pseudo concreto, no es un proceso en un solo sentido sino que tiene
retroalimentación. En cierta forma es parecido al proceso de matematización que
29 Si para los alumnos de nivel licenciatura, las ecuaciones diferenciales son la
herramienta adecuada para modelar situaciones reales, en el nivel medio superior también
se cuenta con herramientas adecuadas para realizar modelación: las funciones de una
variable real incluidas en los cursos de Cálculo Diferencial empleadas e identificadas
bajo el nombre de problemas de aplicación.
Para la ejecución de proyecto de investigación se elaboraron y presentaron
situaciones reales para modelación con funciones de una variable real a los participantes,
quienes eran alumnos de cuarto semestre que cursaban la materia de Cálculo diferencial.
Autores como Valero, Barba y Castillo (2009) consideran que los problemas de
modelación no son recientes, en su artículo sobre modelación inician con una breve
introducción donde ubican los problemas de optimización en los orígenes de la
humanidad. Actualmente los contextos social, económico y educativo son una fuente de
problemas de optimización y representan una gran oportunidad para poner en práctica la
modelación.
Bajo el supuesto de que se puede comprender y construir un objeto matemático a
través de sus representaciones, Valero et al. (2009) plantean un conjunto de situaciones
didácticas para optimizar, que van desde una representación concreta y tangible en un
modelo real, hasta el empleo de una calculadora graficadora que les permite hacer otras
representaciones del problema.
En su investigación de tipo cualitativo titulada Modelos matemáticos a través de
proyectos, Aravena, Caamaño y Giménez (2008), sustentan varias razones para emplear la modelación como estrategia para desarrollar habilidades metacognitivas, las que
30
• Como motivación.
• Como una forma de evitar aprendizajes incorrectos.
• Como argumento formativo.
• Como favorecedora de una competencia crítica.
• Como argumento de utilidad de las matemáticas.
De las ventajas descritas anteriormente al emplear la modelación como estrategia
para la construcción de conceptos matemáticos podría esperarse una amplia difusión en
los salones de clase y estrategia favorita empleada por los docentes. Mochón (2000) y
Alcalá (2002) coinciden acerca de que la modelación no es aceptada ampliamente en las
aulas, todavía existe la idea que las matemáticas consisten solamente en un conjunto de
operaciones con símbolos.
2.7 Construcción del conocimiento matemático
El fracaso escolar generalizado en las matemáticas, desde el punto de vista de
Alcalá (2002), se debe a que la exposición del docente usando pizarrón, gis, papel y lápiz
no es ni la mejor ni única forma de ejercer la enseñanza de las matemáticas. También
menciona que es preocupante que ello suceda a pesar de que los docentes asistan a cursos
de actualización, de que reciban apoyo de otras disciplinas como la psicología y
pedagogía y que conozcan la oferta de material didáctico. Atribuye entonces el fracaso a
diversas creencias acerca de las matemáticas no siempre bien fundadas, una de ellas es la
de creer que el conocimiento matemático escolar puede ser transmitido y en consecuencia
31 Alcalá (2002) agrega que las matemáticas no son solo un conjunto de operaciones
o algoritmos por transferir a loa alumnos. Expone en su trabajo que para tener éxito en el
aprendizaje de las matemáticas es necesario dar significados a los símbolos con los que se
trabaja, que matemáticas no es el estudio de los símbolos empleados en ellas sino solo los
medios para representar formas de pensamiento.
Para que se acepte a la modelación como el enfoque adecuado para construir
conocimiento y aprendizaje de las matemáticas, Mochón (2000) sugiere que se deben
modificar al menos cuatro ideas erróneas acerca de las matemáticas.
• Las matemáticas no se usan en la vida diaria.
• Las matemáticas son abstractas.
• Las matemáticas son exactas.
• Las matemáticas solo son para genios.
Aunque también considera que el enfoque de enseñanza basado en problemas
puede ayudar a un mejor aprendizaje y comprensión de las matemáticas, es la modelación
la que emplea en su trabajo para que las matemáticas adquieran significado.
Su propuesta de trabajo consiste en logar una representación matemática a partir
de una situación real:
Situación real → Representación numérica → Representación gráfica
Mochón (2000) se cuestiona sobre la utilidad de las fórmulas o la representación
gráfica a lo que responde que son adecuadas cuando la representación numérica es muy
complicada, extensa o se requiere calcular directamente un valor y para predecir el
32 La falta de contacto con la modelación en el salón de clase, origina que la
interpretación y análisis de gráficas que representan situaciones reales y hasta cierto
punto cotidianas, como las que aparecen en revistas, periódicos o sitios de Internet se
efectúen de manera superficial e inadecuada, como lo muestran los resultados del trabajo
de investigación de corte cualitativo de Dolores y Cuevas (2007) titulado Lectura e
interpretación de gráficas socialmente compartidas.
Dolores y Cuevas (2007) obtuvieron información la cual muestra que los alumnos
participantes su investigación carecen de habilidades en la matemática funcional, definida
como aquella que permitirá emplear los conocimientos obtenidos en otros contextos que
nos sean los escolares, reconstruyéndolos para interpretar gráficas que se difunden fuera
del medio escolar. Según Dolores y Cuevas (2007), la escasa habilidad de interpretación
de las gráficas la atribuyen a que no se ha desarrollado en los estudiantes el pensamiento
visual o bien que se prefiere el pensamiento algorítmico porque el visual requiere de
procesos cognitivos superiores.
El trabajo de investigación Registros de representación, el aprendizaje de
nociones relativas a funciones: voces de los estudiantes de Guzmán (1998), reporta las dificultades de los alumnos para la comprensión del concepto de función al atribuirles las
mismas características a diferentes representaciones.
Acostumbrados a trabajar de manera algorítmica con la representación algebraica
de la función o fórmula, asocian los signos a determinado eje o cuadrante pero cuando se
representa la función de manera gráfica usando software para graficar, se manifiestan
33 mencionan por ejemplo que los alumnos esperan que la gráfica de y = (x + 1)2 se
desplace hacia la derecha por asociar el signo “+” a ese sentido.
Guzmán (1998) concluye que hay preferencia por la representación algebraica y
solo un porcentaje reducido de los alumnos opta por la representación gráfica, queda la
duda si se debe a falta de pericia para trabajar con la representación gráfica o bien se debe
a que para los estudiantes es más importante la representación algebraica.
Privilegiar una representación algebraica sobre otras no es una situación que se
presente de manera local. Los investigadores Aravena, Caamaño y Giménez (2008)
también describen una problemática semejante. Producto de su investigación realizada
en su país con respecto a la enseñanza de las matemáticas, también concluyeron que se
privilegian los procesos algorítmicos dando como resultado una baja habilidad en el
manejo de conceptos matemáticos importantes, situación que genera dificultades de los
alumnos para aplicar lo aprendido en el aula a otras situaciones fuera del contexto
escolar.
Para contrarrestar la problemática expuesta Aravena et al. (2008) recomiendan
que para la apropiación y/o construcción de conceptos matemáticos se requiere presentar
una problemática que los contextualice, que interese a los alumnos, que busquen entre sus
conocimientos previos todos aquellos que servirían para afrontar la problemática, al
encontrar que no son suficientes o adecuados entonces surge la necesidad de construir
34
2.8 Concepción particular de modelación y competencias en modelación
La revisión de literatura, la amplitud y diversidad de puntos de vista sobre el tema
de investigación son indispensables como parte del sustento teórico del presente trabajo.
Sin embargo es necesario describir la forma en que la influencia de varios autores permite
una visión y marco particular de los temas tratados.
Haciendo referencia a la pregunta principal de investigación: ¿Cuáles son las
prácticas de uso de la tecnología que promueven el desarrollo de competencias de
modelación en el estudio de funciones de una variable real? Se pueden identificar al
menos dos constructos teóricos de estudio: a) prácticas de uso de la tecnología y b)
competencias en modelación además del tema principal que es la construcción del
conocimiento matemático: función de una variable real, descrito en una sección anterior.
Para la construcción del concepto de función es necesario diseñar una situación
didáctica adecuada que interese al alumno y le permita transitar entre diversas
representaciones del concepto.
De acuerdo con Hitt (2001) un concepto es primordialmente mental y para que se
construya requiere de varias experiencias. El problema radica en que los conceptos
requieren para su manejo que se les represente de manera externa. En el caso de las
funciones se conocen diversos tipos de representaciones: la verbal, tabular, gráfica y
algebraica. Cada representación del concepto muestra aspectos parciales de la función,
por lo que es necesario transitar entre diversas representaciones del concepto de función
para la formación del concepto de función.
Siguiendo la propuesta de Hitt (2001) se considerará que el alumno ha construido
35 información más importante así como elegir la más conveniente cuando emplee el
concepto en situaciones prácticas.
Para Moreno y Waldegg (2004) la tecnología además de ser un amplificador es
generador de las capacidades cognitivas de los seres humanos y ha modificado el
sentido de diversas actividades de operación y cálculo en matemáticas. Actualmente las
tecnología permite explorar diversas representaciones de la función pero principalmente
la gráfica a partir de la representación algebraica que difícilmente se realizarían
empleando papel y lápiz. Al disponer de varios recursos tecnológicos como hojas de
cálculo, software para graficar y sensores los alumnos tienen mayor posibilidad de
resolver problemas planteados seleccionando el recurso tecnológico apropiado,
aumentando el tiempo dedicado al análisis gracias al menor tiempo invertido en la
realización de operaciones monótonas.
En el presente trabajo de investigación se parte del supuesto que el uso de
tecnología: software Graphmatica es un elemento motivador y facilitador de la
representación de la función en dos aspectos: el numérico y el gráfico. Se espera que
análisis de las características de las representaciones anteriores permita a los participantes
de investigación la obtención de la representación algebraica de la función. La capacidad
para obtener y transitar entre diversas representaciones de la función será la evidencia de
la construcción del concepto de función.
En la propuesta para la construcción del concepto de función se decidió que la
modelación no es un subproducto de la matemática sino la estrategia de aprendizaje
pertinente para la construcción de conocimiento matemático y no solo como una forma de
36 matematización que consiste en construir un modelo matemático a partir de una situación
o problema de un contexto real. Se pretende reconstruir el concepto de función a partir de
la interacción con los contenidos propuestos en la situación didáctica, es predecible un
cierto grado de dificultad en la construcción del concepto de función. Se evitará en lo
posible el efecto Topaze pero se intervendrá señalando a los alumnos que es normal la
dificultad que enfrenten ya que los conceptos matemáticos como hoy se conocen han
pasado por un largo proceso de modificaciones hasta llegar a su consolidación.
Una razón más para elegir la modelación es que permite desarrollar habilidades
metacognitivas que a su vez permitirían construcción de conceptos matemáticos y el
aprendizaje de la matemática.
Son diversas las definiciones de competencia matemática pero se prefiere aquella
que la considera como una conducta que se manifiesta en el saber hacer y proceder de
manera exitosa cuando se realicen tareas que incluyen un proyecto matemático. El éxito
depende de los conocimientos, saberes y habilidades que una persona emplee cuando
interactúe con la situación matemática planteada.
Las competencias de modelación tienen que ver con el nivel se logra cumplir un
ciclo básico de modelación. Se parte de una situación real planteada y por medio de una
simplificación, idealización y estructuración se construye un modelo real, posteriormente
se transforma ese modelo en uno matemático por medio del proceso de matematización.
El ciclo de modelación no termina ahí ya que se trabaja con el modelo matemático, se
interpreta y finalmente se valida contrastándolo con la situación real planteada. Para
37 niveles sugerida por Henning y Keune (2005): reconocer y comprender la modelación,
modelación independiente y meta-reflexión sobre la modelación.
Los problemas de optimización planteados en las situaciones didácticas tienen por
objetivo presentar contextos que permitan explorar características particulares de las
funciones de variable real, como los puntos máximos y mínimos, intervalos de variación
del dominio y rango que servirán de referente en los temas posteriores incluidos en el
38
Capítulo 3
Metodología
3.1 Introducción
En el presente capítulo se describe la metodología seleccionada para llevar a cabo
la investigación, las razones que llevaron a su selección, determinar el contexto para
realizar el investigación, la elección de los participantes de la misma, herramientas para
seleccionar las fuentes de información, como tabla de triple entrada y los instrumentos
adecuados para la recolección de información en función de la metodología adoptada.
Con el objetivo de elaborar instrumentos efectivos para la recolección de
información se puso a prueba un guión de entrevista y un cuestionario para detectar
posibles incongruencias y realizar las correcciones pertinentes antes de su aplicación
definitiva además de estimar el tiempo para su aplicación.
Se mencionarán los procesos como la triangulación para validar el análisis de los
datos obtenidos y la interpretación (Ramírez, 2008).
3.2 Método de investigación
El debate entre las visiones cualitativa y cuantitativa al realizar una investigación
parece continuar en la actualidad, aunque ambos enfoques tuvieron influencia en el
presente trabajo finalmente se eligió el enfoque cuantitativo en la modalidad de estudio
descriptivo, que consiste en un proceso que detalla como son y se manifiestan los
39 Si bien la investigación es de corte cuantitativo, resulta conveniente retomar
herramientas de recolección de datos y análisis de información del enfoque cualitativo,
enfoque que guarda cierto grado de similitud con los estudios descriptivos. “La
investigación descriptiva busca especificar propiedades, características y rasgos
importantes de cualquier fenómeno que se analice. Describe tendencias de un grupo o
población” (Hernández, Fernández y Baptista, 2006, p. 103).
Se emplearon instrumentos como los cuestionarios para recabar información sobre
el contexto que rodea a los participantes de la investigación en el aspecto tecnológico, si
tienen o no computadora personal, si cuentan con acceso a Internet en casa por citar los
indicadores más sobresalientes.
Sin embargo no se emplearon herramientas estadísticas complejas para definir
parámetros de variabilidad o si los datos mantienen una distribución normal, solo se
usaron gráficas y tablas con sus respectivos porcentajes, sin pretender generalizar
resultados ya que los estudios descriptivos según Hernández et al. (2006) solo ofrecen la
posibilidad de hacer predicciones básicas o de poco grado de generalización.
Los criterios para la selección del tipo de metodología definieron de acuerdo las
características de la pregunta de investigación, al número de de participantes en las
actividades de modelación, emplear un proceso de indagación flexible y analizar una
realidad subjetiva. Con tales indicadores se pudo justificar la parte cualitativa de la
investigación.
Para justificar la parte cuantitativa, el argumento principal fue definir algunas
regularidades del contexto tecnológico que rodea a los alumnos participantes, indagar el
40 acudir a un café Internet o a las computadoras de la escuela, tendencias de usos de
Internet, disposición al uso de nuevas tecnologías.
3.3 Población y muestra
Se seleccionó al Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de
México, plantel Ecatepec (CECyTEM Ecatepec) como el lugar en que se llevará a cabo la
investigación. La población la integran 53 docentes en total, 44 grupos y 1892 alumnos,
la mitad en el turno matutino y la otra mitad en el turno vespertino, las edades oscilan
entre los 15 y 19 años.
En el turno vespertino se cuenta con cuatro docentes que imparten exclusivamente
matemáticas y tres docentes del área de Contabilidad que imparten matemáticas y otras
materias.
Participaron seis docentes en la presente investigación, tres respondiendo a un
cuestionario piloto, otro brindando una entrevista. Para la aplicación de instrumentos a
los alumnos participaron dos docentes que imparten matemáticas, uno de ellos aceptó que
se hiciera observación de su clase cuando aplicó los instrumentos de investigación a los
alumnos y el sexto docente participante, que también imparte matemáticas, fue el propio
investigador y los alumnos a su cargo.
Entre las razones para seleccionar a los colaboradores de la investigación están el
carácter proactivo del profesor participante que aceptó la observación de su clase y su
apertura a nuevas estrategias que permitan desarrollar de mejor manera su trabajo.
También los cuatro docentes que participaron en la entrevista y cuestionarios
