PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

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1 _{Investigación de Operaciones I}

UNIVERSIDAD DE MANAGUA

PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÒN LINEAL POR

METODO GRAFICO CON POM-QM.

Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés

Elaborado por:

Yucep Gutiérrez Baltodano.

Carlos Reynaldo Guevara.

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2 _{Investigación de Operaciones I}

Programación Lineal:

1) La fábrica de Hilados y Tejidos “Salazar” requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T1_{; se dispone de 500 Kg de} hilo A, 300 Kg de hilo B y 108 Kg de hilo C. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de A, 150 gr de B y 72 gr de C; para producir un metro de T1 _{por día se necesitan} 200 gr de A, 100 gr de B y 27 de C.

El T se vende a $400 el metro y el T1_{se vende a $500 el metro. Si se} debe obtener el máximo del beneficio, ¿Cuántos metros de T y T1_se deben fabricar?

1) Definición del Problema:

Objetivo: Maximizar ventas.

 Restricciones:

 500 Kg de hilo A

 300 Kg de hilo B

 108 Kg de hilo C  Produce dos tipos T y T1

 Requerimiento de T

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3 _{Investigación de Operaciones I}

 equerimiento de T1

200 gr de A 100 gr de B 27 gr de C

Venta:

T…… $400 T1_…..$500

Concepto T T1 _Disponible

Hilo A 125 gr 200 gr ≤500,000 gr

Hilo B 150 gr 100 gr ≤300,000 gr

Hilo C 72 gr 27 gr ≤108,000 gr

Ventas $400 $500

2)

Formulación del modelo matemático Lineal:

F.O Max. Z= 400x1 + 500x2

Sujeto a:

125x1 + 200x2 ≤500,000

150x1 + 100x2 ≤300,000

72x1 + 27 x2 ≤108,000

x1 ≥ 0

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4 _{Investigación de Operaciones I}

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5 _{Investigación de Operaciones I}

2) La empresa Whitt Windows tiene solo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas: Con marco de madera y con marco de aluminio, la ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marca de aluminio. Doug hace marcos de madera, y puede terminar 6 al día, Linda hace 4 marcos de aluminio al día. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día, cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada de aluminio usa 8 pies cuadrados de vidrio. La compañía desea determinar: ¿Cuántas ventanas de cada tipo debe producir al día para maximizar la ganancia total.

a. Formule el modelo de programación lineal. b. Use el método grafico para resolver el modelo.

1. Definición del Problema:

Objetivo: Maximizar ganancia total

 Restricciones:

 Solamente tiene tres empleados.

 Doug hace marcos de madera 6 al día.

 Linda hace marcos de aluminio 4 al día.

 Bob forma y corta el vidrio. (48 pies cuadrados de vidrio por Día).

 Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio

 Cada de aluminio usa 8 pies cuadrados de vidrio

 Produce dos tipos de ventana marco de madera y marco de aluminio.

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6 _{Investigación de Operaciones I}

 Requerimiento de ventana de aluminio

8 pies cuadrados de vidrio

Ganancia:

Marco de madera…… $60 Marco de Aluminio…..$30

Concepto Madera Aluminio Disponible

Madera 1 0 ≤6 marcos

Aluminio 0 1 ≤4 marcos

Vidrio 6 8 ≤48 pies2

Ventas $60 $30

2. Formulación del modelo matemático Lineal:

F.O Max. Z= 60x1 + 30x2

Sujeto a:

x1 ≤ 6

+ x2 ≤ 4

x1 + x2 ≤48

x1 ≥ 0

(7)

7 _{Investigación de Operaciones I}

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8 _{Investigación de Operaciones I}

3) En una granja agrícola se desea criar conejos y pollos como

complemento en su economía, de forma que no se superen en conjunto las 180 horas mensuales destinadas a esta actividad. Su almacén solo puede albergar un máximo de 1,000 kilogramos de heno. Si se supone que un conejo necesita 20 kilogramos de heno al mes y un pollo 10 kilogramos al mes, que las horas mensuales de cuidado requeridos por un conejo son 3 y por un pollo 2 y que los beneficios que reportaría su venta asciende a C$90 y C$60 por cabeza respectivamente, hallar el número de animales que deben criarse para que el beneficio sea máximo.

1. Definición del Problema:

Objetivo: Maximizar ventas por crianza de animales.

 Restricciones:

 Su almacén solo puede almacenar como máximo 1,000 kg de heno.

 No se superen en conjunto 180 horas mensuales.  Cría Conejos y pollos.

 Requerimiento del Conejo:

20 kg de heno al mes.

3 horas mensuales de cuido al mes.

 Requerimiento del pollo:

10 kg de heno al mes. 2 horas de cuido al mes.

Venta:

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9 _{Investigación de Operaciones I}

Concepto Conejo Pollos Disponible

Heno 20 gr 10 gr ≤1000 Kg

Horas de cuido 3 horas 2 horas ≤180 horas

Ventas $90 $60

2. Formulación del modelo matemático Lineal:

F.O Max. Z= 90x1 + 60x2

Sujeto a:

20x1 + 10x2 ≤1000

3x1 + 2x2 ≤180

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

(10)

10 _{Investigación de Operaciones I}

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11 _{Investigación de Operaciones I}

4) En una fábrica de dulces navideños se preparan dos surtidos para lanzarlos al mercado. El primero deja una utilidad de

C$45.00 y contiene 150 gr de polvorones, 100 gramos de mantecado y 80 gr de roscos de vino. El segundo deja una utilidad de C$56.00 y contiene 200 gramos de polvorones, 100 gramos de mantecados y 100 gr de roscos de vino. Se dispone de un total de 200 kg de polvorones, 130 kg de mantecados y

104 kg de roscos de vino. La empresa de embalaje solo le puede suministrar 1200 cajas. ¿Cuántos surtidos de cada tipo convendría fabricar para que el beneficio sea máximo?

Objetivo: Maximizar ventas de dulces.

 Restricciones:

 200 Kg de polvorones = 200,000 gr

 130 Kg de mantecados = 130,000 gr

 104 Kg de roscos de vino = 104,000 gr

 La empresa solo pude suministrar 1,200 cajas.

 Produce dos tipos de surtidos:

 Requerimiento de 1er surtido. 150 gr de polvorones.

100 gr de mantecado. 80 gr de roscos vino.

 Requerimiento de 2do surtido. 200 gr de polvorones

100 gr de mantecado 100 gr de roscos vino

Venta:

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12 _{Investigación de Operaciones I}

Concepto 1er Surtido 2do Surtido Disponible

Polvorones 150 gr 200 gr ≤200,000 gr

Mantecados 100 gr 100 gr ≤130,000 gr

Roscos de vino 80 gr 100gr ≤104,000 gr

Cajas 1 1 ≤12,000

Ventas C$45 C$56

2)

Formulación del modelo matemático Lineal:

F.O Max. Z= 45x1 + 56x2

Sujeto a:

150x1 + 200x2 ≤200,000

100x1 + 100x2 ≤130,000

80x1 + 100 x2 ≤104,000

x1 +x2 ≤ 12,000

x1 ≥ 0

(13)

13 _{Investigación de Operaciones I}

(14)

14 _{Investigación de Operaciones I}

5) Cierto fabricante produce sillas y mesas para las que requiere la

utilización de dos secciones de producción: la sección de montaje y la sección de pintura. La producción de una silla requiere 1 hora de trabajo en la sección de montaje y de 2 horas en la de pintura. Por su parte, la fabricación de una mesa precisa de 3 horas en la sección de montaje y de 1 hora en la de pintura. La sección de montaje sólo puede estar 9 horas diarias en funcionamiento, mientras que la de pintura sólo 8 horas. El beneficio produciendo mesas es doble que el de sillas. ¿Cuál ha de ser la producción diaria de mesas y sillas para que el beneficio sea máximo?

1.

Definición del Problema:

Objetivo: Maximizar ventas.  Restricciones:

 La producción de una silla requiere 1 hora de montaje y de 2 horas de pinturas.

 La fabricación de una mesa requiere 3 horas de montaje y 1 de pintura.

 La sección de montaje solo funciona 9 horas

 La sección de pintura solo 8 horas

 El beneficio de mesas es doble que el de sillas.  Dos tipos de productos Sillas y mesas.

Concepto Silla(X1) Mesa(X2) Disponible

Montaje 1 2 ≤9

Pintura 3 1 ≤8

2. Formulación del modelo matemático Lineal:

F.O Max. Z= x1 + 2x2

Sujeto a: x1 + 3x2 ≤ 9

2x1 + x2 ≤ 8

(15)

15 _{Investigación de Operaciones I}

x2 ≥ 0

(16)

16 _{Investigación de Operaciones I}

6) En una fábrica se elaboran dos tipos de herramientas A y B. En la

fábrica trabajan 2 obreros durante 8 horas diarias y un supervisor, para comprobar las herramientas una vez construidas, que trabaja 1 hora diaria. Para la construcción de A se emplean 3 horas diarias de mano de obra y precisa de 4 minutos de revisión, para B es necesaria 1 hora diaria de mano de obra y 3 minutos de revisión. Por problemas de producción en la fábrica no se pueden fabricar más de 12 herramientas A y B es de C$400, C$200 respectivamente. Hallar cuantas unidades se deben elaborar cada día de cada una de ellas para obtener un beneficio máximo.

1. Definición del problema:

Objetivo: Maximizar ventas de herramientas.

 Restricciones:

 Trabajan 2 obreros 8 horas diarias.

 Trabaja 1 supervisor para comprobar las herramientas

 La herramienta trabajan 1 hora diaria.

 No se pueden fabricar más de 12 herramientas diarias,

 Dos tipos de Herramientas A Y B

Requerimiento de A:

 3 horas diarias de mano de obra.

 4 minutos de revisión. Requerimiento para B:

 1 hora diaria de mano de obra.

(17)

17 _{Investigación de Operaciones I}

Concepto Herramienta A Herramienta B Disponible

Mano de obra 3 1 ≤ 16 horas

Tiempo de revis. 4 3 ≤ 60 min

# De Herramien. 1 1 ≤ 12 herram

Ventas C$400 C$200

2)

Formulación del modelo matemático Lineal:

F.O Max. Z= 400x1 + 200x2

Sujeto a:

3x1 + x2 ≤ 16

4x1 + 3x2 ≤ 60

x1 + x2 ≤ 12

x1 ≥ 0

(18)

18 _{Investigación de Operaciones I}

(19)

19 _{Investigación de Operaciones I}

7. Una empresa produce dos tipos de mesas: un estilo

colonial y otro estilo nórdico. Las utilidades que se obtienen

de su venta son de $20 por la colonial y $22 por la nórdica.

Para esta semana ya hay un pedido de 10 mesas de tipo

nórdico. El gerente de producción quiere realizar la

planeación de su producción semanal sabiendo que

solamente cuenta con 450 horas para la construcción y 200

horas para barnizarlas. En el siguiente cuadro se indican las

horas necesarias para realizar cada una de las tareas y la

utilidad para ambas mesas.

Objetivo: Maximizar utilidad de venta de producción.

X1: cantidad de mesas de tipo colonial a producir

X2: cantidad de mesas de tipo nórdico a producir

 Restricciones:

Pedido: 10 mesas nórdico 450 horas de construcción 200 horas de barnizado.

Venta:

(20)

20 _{Investigación de Operaciones I}

Concepto Colonial Nórdica Disponible

Pedido 0 1 ≥ 10

Construcción 6 8 ≤ 450

Barnizado 5 2 ≤ 200

Ventas $20 $22

2)

Formulación del modelo matemático Lineal:

F.O Max. Z= 20x1 + 22x2

Sujeto a:

+ x2 ≥ 10

6x1 + 8x2 ≤ 450

5x1 + 2x2 ≤ 200

x1 ≥ 0

(21)

21 _{Investigación de Operaciones I}

3)

Solución del modelo

:

(22)

22 _{Investigación de Operaciones I}

8. Una empresa ensambladora de productos de

comunicación debe programar su producción semanal.

Debido a problemas de liquidez, le interesa minimizar sus

costos semanales, ya que le pagan la producción 20 días

después de entregada. Actualmente está armando dos

artículos diferentes, el T14 y el B2; ambos artículos deben

ser armados y probados por personal especializado. La

empresa compradora requiere no menos de 100 aparatos

semanales; del modelo B2 debe entregar no menos que la

cuarta parte de los que entregue del T14, pero en ningún

caso deben superar en más de 150 al número de equipos

T14. En el cuadro se indica el tiempo que requieren los

especialistas para armar y probar cada equipo, expresado

en minutos, así como la disponibilidad de tiempo.

Objetivo: Minimizar costos mensuales.

 Restricciones:

 Pedido: T 14 + B2 ≥ 100 mínimo de equipos

 Mínimo de B2: B ≥ ¼ T mínimo de equipos B2

 Máximo de B2: B ≤ T + 150 máximo de equipos B2

(23)

23 _{Investigación de Operaciones I}

 Pruebas: 30 T + 6 B ≤ 100 (60) minutos

Costos:

T: número de artículos T14 a producir B: número de artículos B2 a producir T14….. $100

B2….…..$60

Equipos T14 B2 Disponible

Pedido 1 1 ≥ 100

Mínimo de B -1/4 1 ≥ 0

Máximo de B -1 1 ≤150

Armados 10 min 12 min ≤ 3,300 min

Pruebas 30 min 6 min ≤ 6,000 min

Costos $100 $60

2)

Formulación del modelo matemático Lineal:

F.O Min. Z= 100x1 + 60x2

Sujeto a:

x1 + x2 ≥ 100

-1/4 x1 + x2 ≥ 0

-x1 + x2 ≤ 150

10x1 + 12 x2 ≤ 3,300

30x1 + 6 x2 ≤ 6,000

x1 ≥ 0

(24)

24 _{Investigación de Operaciones I}

(25)

25 _{Investigación de Operaciones I}

9. Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y

27.5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y

Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg

de harina, 1 kg de azúcar y 1 de mantequilla y para hacer

una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0’5 kg de

azúcar y 1 kg de mantequilla.

El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es $20 y

por una docena de tipo Q es $30. Halla, utilizando las

técnicas de programación lineal, el número de docenas que

tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea

máximo.

Objetivo: Maximizar beneficio total.

 Restricciones:

 150 kg de harina

 22 kg de azúcar

 27.5 kg de mantequilla  Dos tipos de pasteles P y Q

Requerimientos de P

 3 kg de harina

 1 kg de azúcar

 1 kg de mantequilla Requerimientos de Q

 6 kg de harina

 0.5 kg de azúcar

(26)

26 _{Investigación de Operaciones I}

Beneficio:

P….. $20 Q……$30

Equipos P Q Disponible

Harina 3 6 ≤ 150

Azúcar 1 0.5 ≤22

Mantequilla 1 1 ≤27.5

Beneficio $20 $30

2)

Formulación del modelo matemático Lineal:

F.O Max. Z= 20x

1

+ 30x

2

Sujeto a:

3x

1

+ 6x

2

≤ 150

x

1

+ ½ x

2

≤ 22

(27)

27 _{Investigación de Operaciones I}

(28)

28 _{Investigación de Operaciones I}

10. Una compañía fabrica dos modelos de sombrero: Bae y

Viz. La fabricación de los sombreros se realiza en las

secciones de moldeado, pintura y montaje. La fabricación de

cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado, 3 de

pintura y una de montaje. La fabricación del modelo Viz

requiere tres horas de moldeado, 2 de pintura y una de

montaje. Las secciones de moldeado y pintura disponen,

cada una, de un máximo de 1.500 horas cada mes, y la de

montaje de 600.Si el modelo Bae se vende a $100 y el

modelo Viz a 120, ¿qué cantidad de sombreros de cada tipo

ha de fabricar para maximizar las ventas mensual?

Objetivo: Maximizar ventas mensuales.

 Restricciones:

 Moldeado y pintura 1500 horas como máximo

 Montaje 600 horas como máximo.  Dos tipos de sombreros Bae y Viz

Requerimientos de Bae

 2 horas de moldeado

 3 horas de pintura

 1 hora de montaje Requerimientos de Viz

 3 horas de moldeado

 2 horas de pintura

 1 hora de montaje



(29)

29 _{Investigación de Operaciones I}

Bae…. $100

Viz……$120

Equipos Bae Viz Disponible

Moldeado 2 3 ≤ 1500

Pintura 3 2 ≤1500

Montaje 1 1 ≤600

Ventas $100 $120

2)

Formulación del modelo matemático Lineal:

F.O Max. Z= 100x

1

+ 120x

2

Sujeto a:

2x

1

+ 3x

2

≤ 1500

3x

1

+ 2 x

2

≤ 1500

(30)

30 _{Investigación de Operaciones I}

(31)

31 _{Investigación de Operaciones I}

11. Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la

producción de vino es siempre menor o igual que la producción de

vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la

producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de

vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades.

Halla el número de unidades de cada producto que se deben

producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada

unidad de vino deja un beneficio de $80. y cada unidad de vinagre

de $40 .

Objetivo: Maximizar beneficio.

X1= unidades de vino.

X2= unidades de vinagre.

 Restricciones:

 El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades.

 El triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades.

Ventas:

(32)

32 _{Investigación de Operaciones I}

2)

Formulación del modelo matemático Lineal:

F.O Max. Z= 80x

1

+ 40x

2

Sujeto a:

2x

1

- x

2

≤ 4

4x

1

+ 3 x

2

≤ 18

x

1

≥ 0

x

2

≥ 0

Productos Vino Vinagre Disponible

Producción vino 2 -1 ≤4

Producción

vinagre 4 3 ≤18

(33)

33 _{Investigación de Operaciones I}

(34)

34 _{Investigación de Operaciones I}

12. Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La primera

contiene un 15% de extracto de jazmín, un 20% de alcohol y el

resto es agua y la segunda lleva un 30% de extracto de jazmín, un

15% de alcohol y el resto es agua. Diariamente se dispone de 60

litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. Cada día se

pueden producir como máximo 150 litros de la colonia B. El precio

de venta por litro de la colonia A es de $50 y el de la colonia B es

$60. Hallar los litros de cada tipo que deben producirse

diariamente para que el beneficio sea máximo

Objetivo: Maximizar beneficio.

X1= # de litros de colonia A

X2= # de colonia B

 Restricciones:

 Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol.

 Cada día se pueden producir como máximo 150 litros de la colonia B

Ventas: Colonia A…. $50 Colonia B……$60

Productos Colonia A Colonia B Disponible

Jazmín 15% 30% ≤60

Alcohol 20% 15% ≤50 Producción

máxima B 0 1 ≤150

(35)

35 _{Investigación de Operaciones I}

2)

Formulación del modelo matemático Lineal:

F.O Max. Z= 50x

1

+ 60x

2

Sujeto a:

0.15 x

1

+ 0.3 x

2

≤ 60

0.2 x

1

+ 0.15 x

2

≤ 50

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