LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS

LA ELIPSE

EJERCICIOS

RESUELTOS

Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria

Matemáticas III Bloque VII

La ecuación de la curva es del tipo , para la cual se necesita tener el valor de b, el semieje menor. Puesto que se conocen a y c,

b se determina de la expresión que las relaciona:

1. Para encontrar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto (0, 3) y semieje mayor igual a 5, por las coordenadas del foco se sabe que el eje focal es

el eje y, y que la distancia del centro al foco es c = 3. Además, a = 5.

1

2 2

2 2

= +

a y b

x

2 2

2

_a

_c

b

₌

₋

2 2

2 _{5 3}

− =

b

16

2

=

b

₁₆

₂₅

1

2 2

=

+

y

2. Se pueden determinar todos los elementos que caracterizan a la elipse del ejemplo anterior y

representarla en el plano coordenado:

Centro: C(0, 0)

Eje focal: eje y

Vértices: V(0, 5) y V’(0, –5)

Focos: F(0, 3), F’(0, –3)

Distancia focal: 2c = 6

Longitud del eje mayor: 2a = 10

Longitud del eje menor: 2b = 8

Longitud de cada lado recto:

Excentricidad:

( )

5 32 5

16 2

= 2

2b a =

2 2 ₃

= < 1 5

c a b e

a a

−

3. La ecuación de la elipse con vértices V(4, 0) y V’(–4, 0) y excentricidad ¾ se puede obtener de la siguiente

manera:

Por los vértices se sabe que es una elipse con centro en el origen, que su eje focal es el eje x, y que a = 4.

Por la definición de la excentricidad: por lo tanto, , y c = 3.

Entonces

La ecuación es

a c e ₌

4 4

3 c

=

2 2

2 _{a c}

b = −

b

=

4

−

3

=

7

1

7

16

2 2

=

+

y

4. Para la elipse cuyo eje mayor coincide con el eje x y pasa por los puntos (4, 3) y (6, 2), al considerar la

fórmula

Como los puntos deben satisfacer la ecuación, se tiene: Para (4, 3):

Para (6, 2):

Éste es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: a y b. Para resolverlo se puede despejar b2 _{de las dos}

ecuaciones e igualar los valores para determinar el valor de a2_:

1 2 2 2 2 = + b y a x 1 3 4 2 2 2 2 = + b

a 2 2

16 9

1... (1)

a + b =

1 2 6 2 2 2 2 = + b

a 2 2

36 4

1... (2)

a + b =

Cont….ejemplo 4.

De (1): De (2):

1 9

16

2 2 + _b =

a

2 2 2

2

₉

16

b

₊

a

₌

a

b

(

)

2 _{16 a 9a}

b _{− = −}

2 2 2 2 2 9 9 ... (3) 16 16 a a b a a = − = − − 1 4 36 2 2 + _b =

a

2 2 2

2

₄

36

b

₊

a

₌

a

b

(

)

2 _{36 a 4a}

b _{− = −}

Cont….ejemplo 4.

Igualando (3) y (4):

Este valor se sustituye, por ejemplo, en (4):

La ecuación de la elipse es:

Para definir sus elementos se requiere conocer el valor de c.

36 4 16 9 2 2 2 2 − = − a a a

a ₉

₍

_{) (}

₎

− = −

2 2

9a ₋324a ₌ 4a ₋64a

5

a

₋

260

₌

0

260 2 = = a

( )

1

13

52

=

+

y

x

2

_a

_c

Cont….ejemplo 4.

Los elementos de la elipse son:

Centro: C(0, 0)

Eje focal: Eje x

Vértices: V( , 0) y V’( , 0)

Focos: F( , 0), F’( , 0)

Distancia focal:

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje menor:

Longitud de cada lado recto:

Excentricidad:

52 − 52

39 ₋ 39

2c =2 39

2a = 2 52

2b = 2 13

2

2b

a = 2

1 52

26

=

a b a

a c e

2 2

−

=

= 39

52

Cont….ejemplo 4. GRÁFICA

V'(- 52 , 0) V( 52 , 0)

( 39,0)

5. Para la elipse cuyos vértices son V(6, 4) y V’(–2, 4) y sus focos los puntos F(5, 4) y F’(–1, 4), encontrar su

ecuación, elementos y gráfica.

Como los vértices y los focos tienen la misma

ordenada, la elipse tiene su eje mayor paralelo al eje x, de manera que la fórmula a utilizar es:

El centro de la elipse está en el punto medio de los vértices (y de los focos) por lo tanto sus

coordenadas son

(

)

(

)

2 2

2 2

=

−

+

−

b k y

a h x

1 2

2

x

x

x

₌

+

₌

( )

2 2 6

=

−

Cont…..ejemplo 5

•  La distancia del centro a cualquiera de los vértices es el valor de a, de modo que:

•  Y c es la distancia del centro a cualquiera de los focos:

•  Para determinar la ecuación es necesario conocer el valor de b:

1 2

2

y y

y ₌ + ₌ 4

2 4 4

= +

4

2

6

₋

₌

=

a

3

2

5

₋

₌

=

c

2 2

2

_a

_c

Para

x = 0

y₁ = 6.3 y₂ = – 1.7

(0, 6.3) (0, –1.7)

Para x = 4

y₁ = 6.3 y₂ = – 1.7

(4, 6.3)

(4, –1.7)

Para x = 2

y₁ = 6.65 y₂ = 1.35

(2, 6.65)

(2, 1.35) (0 2)2 ( 4)2

1 16 7 y − − + =

(

)

4y2 ₋ y _{+ =} y = 8±₂ 21

(4 2)2 ( 4)2

1 16 7

y

− −

+ = ₁₆4 ( ₇4) 1

2

=

−

+ y

(2 2)2 ( 4)2 1 16 7 y − − + = ( ) 2 4 0 1 16 7 y ₋ + =

( 4)2

1 7

y −

6. Para la elipse cuyos vértices son los puntos (–3, 7) y (–3, –1) y la longitud de cada lado recto es 2 encontrar la ecuación, sus

elementos y su gráfica

Como los vértices tienen la misma abscisa la

elipse es vertical ya que el eje mayor, y el focal, son paralelos al eje y. La ecuación que le

corresponde es:

El centro es el punto medio del eje mayor Su abscisa es la misma de los vértices y su

ordenada es

(

)

(

)

2 2

2 2

=

−

+

−

a k y b

h x

'

VV

1 2 2

y y

y ₌ + ₌

( )

2 1 7

=

−

+

_→

_{C(-3, 3)}

Cont…..ejemplo 6.

La longitud de su eje mayor es la distancia entre sus vértices:

Como la longitud de cada uno de sus lados rectos es 2, se tiene:

y la longitud de su eje menor es 2b = 4 La ecuación de esta elipse es:

Para determinar las coordenadas de los focos se calcula el valor de c a partir de la expresión:

a = 4 →

( )

2a = − − =

2

2

= 2

b

a

( )

4 2

2b2 ₌ 4

2 8 2

= =

b

b

₌

2

(

)

(

)

16 3 4

3 2 2

=

−

+

+ y

x

2 2

2

_b

_c

Cont….ejemplo 6.

•  Por lo tanto, los focos son los puntos:

•  su excentricidad es:

2 2

2

_a

_b

c

₌

₋

(

3, 3 2 3

)

F

₋

₊

F

' 3, 3 2 3

(

−

−

)

2

3

4

3

2

=

=

=

7. Encontrar la ecuación de la elipse que tiene centro en (1, 2), uno de los focos es (6, 2) y pasa por el punto (4, 6),

Como el centro y el foco tienen la misma ordenada, el eje focal y el eje mayor son paralelos al eje x. Por tanto, la ecuación que corresponde a esta curva es:

Al sustituir las coordenadas del centro (h, k) = (1, 2):

Hay que determinar a2 _{y b}2_.

(

)

(

)

2 2 2

2

=

−

+

−

b k y a

h x

(

)

(

)

2

2 2

= −

+ −

b y a

Cont….ejemplo 7.

Como el punto (4, 6) pertenece a la elipse, satisface su ecuación:

Para obtener una ecuación con una sola incógnita, se hace la sustitución

(

)

(

)

2

2 2

=

−

+

−

b

a

1

16

9

2 2

+

_b

=

a

2 2 2

Cont…ejemplo 7.

Para determinar su gráfica se localizan los

vértices, los focos y el centro, y se sabe que su eje mayor mide 2a = 2(4) = 8 y su eje menor,

de manera que los puntos de intersección de la elipse con su eje menor son

Cada uno de sus lados rectos mide:

Otros puntos de la elipse, con valores aproximados de la ordenada, son:

2b = 2 7

(

)

B ₊ B' 2, 4 2 7

(

)

2

2b

a = 4 3.5

14

8) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0, 3) y F’(0, –3), y cada uno de sus lados rectos igual a 9.

Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal es el eje y. El centro se encuentra en el punto

medio entre ellos: C(0, 0).

•  La distancia c es:

•  El lado recto es:

3 3

0_{− =}

=

c

2 2 2

b ₌ a ₋ c

9

2 2

−

=

a

b

,

9 2 2

= =

•  Sustituyendo:

•  El valor negativo de a no se considera puesto que a es una longitud. Por tanto a = 6.

(

)

2 2 = − a a

0

18

9

2

a

₋

a

₋

₌

2

18 2

4 9

9 ± − 2 − −

− − = a 4 15 9 4 144 81 9 _± = + ± = a

₆

4

24

=

=

a

2 3 4

6

2 = − = −

•  La ecuación de la elipse es:

9

2

−

=

a

b

27

9

36

2

=

−

=

b

1

36

27

2 2

=

+

y

9) Los focos de una elipse son los puntos

F

(3, 8) y

F

’(3, 2) y la longitud de su eje

menor es 8. Encuentra la ecuación de la

elipse, las coordenadas de sus vértices y su

excentricidad.

•  El eje focal es paralelo al eje y.

•  El centro tiene la misma abscisa que los focos: h = 3.

 La distancia entre los focos es:

k = 2 + c = 2 + 3 = 5 → C(3, 5)

  2b = 8 b = 4

8 2

3 2

c ₌ − ₌

2 2

2

_b

_c

•  Ecuación de la elipse:

•  Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10);

V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3, 0)

•  Excentricidad:

(

)

(

)

₁

25

5

16

3

=

−

+

−

y

x

c

e

a

=

=

10) Encuentra la ecuación del lugar

geométrico de los puntos cuya distancia al

punto (4, 0) es igual a la mitad de su

distancia a la recta

x

– 16 = 0 e interpreta el

resultado.

•  Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0):

•  Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x – 16 = 0:

1

d ₌

₍

_{) (}

₎

0 4 _{+ −}

− y

x

2 d ₌

2

1 16 +

El lugar geométrico descrito es una elipse horizontal con centro en el origen, eje mayor igual a 2(8) = 16 y eje menor igual a

1 2

1 2

d = d

(

)

1

16 2 x−

(

)

(

)

x _{− +} y ₌ x ₋

(

)

4 1 16

8 2 2

2 + − = + +

− x y x x

x 1 2 8 64

4 x x

= − +

2 2

3

48

4 x + y =

_{( )}

2 2

3

1 4 48 48

x y

+ =

1

11) Un arco con forma de semi-elipse tiene una altura máxima de 45m y un claro de 150m.

Encuentra la longitud de dos soportes verticales situados de manera que dividan en claro en tres espacios iguales.

Si el eje x es la base del arco (el eje focal de la elipse) y el origen es su punto medio, la

ecuación es del tipo , con el

semieje mayor, a = 75 y el semieje menor, b = 45. Para que el claro se divida en tres partes

iguales, la distancia de los soportes a cada vértice y entre ellos debe ser de 50m.

1

2 2

2 2

= +

b y a

•  La ecuación es:

1

2025

5625

2 2

=

+

y

Para determinar la altura de los soportes, se

hace x = 25 en la ecuación y se despeja el valor de y:

Puesto que y es una longitud (la altura de los postes), se toma sólo la raíz positiva.

(

)

1

5625 2025

y ±

+ = 1

2025 5625

625 2

= + y

1 2025

9

1 2

=

+ y

9 8 2025

2

=

y

1800 9

16200 2

= =