LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS

31  2933  Descargar (6)

Texto completo

(1)

LA ELIPSE

EJERCICIOS

RESUELTOS

Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria

Matemáticas III Bloque VII

(2)

La ecuación de la curva es del tipo , para la cual se necesita tener el valor de b, el semieje menor. Puesto que se conocen a y c,

b se determina de la expresión que las relaciona:

1. Para encontrar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto (0, 3) y semieje mayor igual a 5, por las coordenadas del foco se sabe que el eje focal es

el eje y, y que la distancia del centro al foco es c = 3. Además, a = 5.

1

2 2

2 2

= +

a y b

x

2 2

2

a

c

b

=

2 2

2 5 3

− =

b

16

2

=

b

16

25

1

2 2

=

+

y

(3)

2. Se pueden determinar todos los elementos que caracterizan a la elipse del ejemplo anterior y

representarla en el plano coordenado:

Centro: C(0, 0)

Eje focal: eje y

Vértices: V(0, 5) y V’(0, –5)

Focos: F(0, 3), F’(0, –3)

Distancia focal: 2c = 6

Longitud del eje mayor: 2a = 10

Longitud del eje menor: 2b = 8

Longitud de cada lado recto:

Excentricidad:

( )

5 32 5

16 2

= 2

2b a =

2 2 3

= < 1 5

c a b e

a a

(4)
(5)

3. La ecuación de la elipse con vértices V(4, 0) y V’(–4, 0) y excentricidad ¾ se puede obtener de la siguiente

manera:

Por los vértices se sabe que es una elipse con centro en el origen, que su eje focal es el eje x, y que a = 4.

Por la definición de la excentricidad: por lo tanto, , y c = 3.

Entonces

La ecuación es

a c e =

4 4

3 c

=

2 2

2 a c

b = −

b

2

=

4

2

3

2

=

7

1

7

16

2 2

=

+

y

(6)

4. Para la elipse cuyo eje mayor coincide con el eje x y pasa por los puntos (4, 3) y (6, 2), al considerar la

fórmula

Como los puntos deben satisfacer la ecuación, se tiene: Para (4, 3):

Para (6, 2):

Éste es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: a y b. Para resolverlo se puede despejar b2 de las dos

ecuaciones e igualar los valores para determinar el valor de a2:

1 2 2 2 2 = + b y a x 1 3 4 2 2 2 2 = + b

a 2 2

16 9

1... (1)

a + b =

1 2 6 2 2 2 2 = + b

a 2 2

36 4

1... (2)

a + b =

(7)

Cont….ejemplo 4.

De (1): De (2):

1 9

16

2 2 + b =

a

2 2 2

2

9

16

b

+

a

=

a

b

(

2

)

2

2 16 a 9a

b =

2 2 2 2 2 9 9 ... (3) 16 16 a a b a a = − = − − 1 4 36 2 2 + b =

a

2 2 2

2

4

36

b

+

a

=

a

b

(

2

)

2

2 36 a 4a

b =

(8)

Cont….ejemplo 4.

Igualando (3) y (4):

Este valor se sustituye, por ejemplo, en (4):

La ecuación de la elipse es:

Para definir sus elementos se requiere conocer el valor de c.

36 4 16 9 2 2 2 2 − = − a a a

a 9

(

a2 36

) (

4 a2 16

)

− = −

2 2

9a 324a = 4a 64a

5

a

2

260

=

0

5 52

260 2 = = a

( )

36 52 52 4 36 4 2 2 2 − = − = a a b 13 16 208 2 = = b

1

13

52

2 2

=

+

y

x

2 2

2

a

c

(9)

Cont….ejemplo 4.

Los elementos de la elipse son:

Centro: C(0, 0)

Eje focal: Eje x

Vértices: V( , 0) y V’( , 0)

Focos: F( , 0), F’( , 0)

Distancia focal:

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje menor:

Longitud de cada lado recto:

Excentricidad:

52 − 52

39 39

2c =2 39

2a = 2 52

2b = 2 13

2

2b

a = 2

1 52

26

=

a b a

a c e

2 2

=

= 39

52

(10)

Cont….ejemplo 4. GRÁFICA

V'(- 52 , 0) V( 52 , 0)

( 39,0)

(11)

5. Para la elipse cuyos vértices son V(6, 4) y V’(–2, 4) y sus focos los puntos F(5, 4) y F’(–1, 4), encontrar su

ecuación, elementos y gráfica.

Como los vértices y los focos tienen la misma

ordenada, la elipse tiene su eje mayor paralelo al eje x, de manera que la fórmula a utilizar es:

El centro de la elipse está en el punto medio de los vértices (y de los focos) por lo tanto sus

coordenadas son

(

)

(

)

1

2 2

2 2

=

+

b k y

a h x

1 2

2

x

x

x

=

+

=

( )

2

2 2 6

=

(12)

Cont…..ejemplo 5

•  La distancia del centro a cualquiera de los vértices es el valor de a, de modo que:

•  Y c es la distancia del centro a cualquiera de los focos:

•  Para determinar la ecuación es necesario conocer el valor de b:

1 2

2

y y

y = + = 4

2 4 4

= +

4

2

6

=

=

a

3

2

5

=

=

c

2 2

2

a

c

(13)

Para

x = 0

y1 = 6.3 y2 = – 1.7

(0, 6.3) (0, –1.7)

Para x = 4

y1 = 6.3 y2 = – 1.7

(4, 6.3)

(4, –1.7)

Para x = 2

y1 = 6.65 y2 = 1.35

(2, 6.65)

(2, 1.35) (0 2)2 ( 4)2

1 16 7 y − − + =

(

)

4 1 1 7 4 2 − = − y 3 4 = 4 21 16 8 2 = + − y y 0 43 32

4y2 y + = y = 8±2 21

(4 2)2 ( 4)2

1 16 7

y

− −

+ = 164 ( 74) 1

2

=

+ y

(2 2)2 ( 4)2 1 16 7 y − − + = ( ) 2 4 0 1 16 7 y + =

( 4)2

1 7

y

(14)
(15)

6. Para la elipse cuyos vértices son los puntos (–3, 7) y (–3, –1) y la longitud de cada lado recto es 2 encontrar la ecuación, sus

elementos y su gráfica

Como los vértices tienen la misma abscisa la

elipse es vertical ya que el eje mayor, y el focal, son paralelos al eje y. La ecuación que le

corresponde es:

El centro es el punto medio del eje mayor Su abscisa es la misma de los vértices y su

ordenada es

(

)

(

)

1

2 2

2 2

=

+

a k y b

h x

'

VV

1 2 2

y y

y = + =

( )

3

2 1 7

=

+

C(-3, 3)

(16)

Cont…..ejemplo 6.

La longitud de su eje mayor es la distancia entre sus vértices:

Como la longitud de cada uno de sus lados rectos es 2, se tiene:

y la longitud de su eje menor es 2b = 4 La ecuación de esta elipse es:

Para determinar las coordenadas de los focos se calcula el valor de c a partir de la expresión:

a = 4 →

( )

1 8 7

2a = − − =

2

2

= 2

b

a

( )

4 2

2b2 = 4

2 8 2

= =

b

b

=

2

(

)

(

)

1

16 3 4

3 2 2

=

+

+ y

x

2 2

2

b

c

(17)

Cont….ejemplo 6.

•  Por lo tanto, los focos son los puntos:

•  su excentricidad es:

2 2

2

a

b

c

=

c2 = 16 − 4 = 12 c = 12 = 2 3

(

3, 3 2 3

)

F

+

F

' 3, 3 2 3

(

)

2

3

4

3

2

=

=

=

(18)
(19)

7. Encontrar la ecuación de la elipse que tiene centro en (1, 2), uno de los focos es (6, 2) y pasa por el punto (4, 6),

Como el centro y el foco tienen la misma ordenada, el eje focal y el eje mayor son paralelos al eje x. Por tanto, la ecuación que corresponde a esta curva es:

Al sustituir las coordenadas del centro (h, k) = (1, 2):

Hay que determinar a2 y b2.

(

)

(

)

1

2 2 2

2

=

+

b k y a

h x

(

1

)

(

2

)

1 2

2

2 2

= −

+ −

b y a

(20)

Cont….ejemplo 7.

Como el punto (4, 6) pertenece a la elipse, satisface su ecuación:

Para obtener una ecuación con una sola incógnita, se hace la sustitución

(

4 1

)

(

6 2

)

1 2

2

2 2

=

+

b

a

1

16

9

2 2

+

b

=

a

2 2 2

(21)

Cont…ejemplo 7.

Para determinar su gráfica se localizan los

vértices, los focos y el centro, y se sabe que su eje mayor mide 2a = 2(4) = 8 y su eje menor,

de manera que los puntos de intersección de la elipse con su eje menor son

Cada uno de sus lados rectos mide:

Otros puntos de la elipse, con valores aproximados de la ordenada, son:

2b = 2 7

(

2, 4 2 7

)

B + B' 2, 4 2 7

(

)

2

2b

a = 4 3.5

14

(22)

8) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0, 3) y F’(0, –3), y cada uno de sus lados rectos igual a 9.

Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal es el eje y. El centro se encuentra en el punto

medio entre ellos: C(0, 0).

•  La distancia c es:

•  El lado recto es:

3 3

0 =

=

c

2 2 2

b = a c

9

2 2

=

a

b

,

9 2 2

= =

(23)

•  Sustituyendo:

•  El valor negativo de a no se considera puesto que a es una longitud. Por tanto a = 6.

(

9

)

9

2 2 = − a a

0

18

9

2

a

2

a

=

( ) ( ) ( )( ) ( )2

2

18 2

4 9

9 ± − 2 − −

− − = a 4 15 9 4 144 81 9 ± = + ± = a

6

4

24

1

=

=

a

2 3 4

6

2 = − = −

(24)

•  La ecuación de la elipse es:

9

2

2

=

a

b

27

9

36

2

=

=

b

1

36

27

2 2

=

+

y

(25)

9) Los focos de una elipse son los puntos

F

(3, 8) y

F

’(3, 2) y la longitud de su eje

menor es 8. Encuentra la ecuación de la

elipse, las coordenadas de sus vértices y su

excentricidad.

•  El eje focal es paralelo al eje y.

•  El centro tiene la misma abscisa que los focos: h = 3.

 La distancia entre los focos es:

k = 2 + c = 2 + 3 = 5 → C(3, 5)

  2b = 8 b = 4

8 2

3 2

c ==

2 2

2

b

c

(26)

•  Ecuación de la elipse:

•  Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10);

V’(h, k a) = (3, 5 – 5) = (3, 0)

•  Excentricidad:

(

)

(

)

1

25

5

16

3

2 2

=

+

y

x

c

e

a

=

=

(27)

10) Encuentra la ecuación del lugar

geométrico de los puntos cuya distancia al

punto (4, 0) es igual a la mitad de su

distancia a la recta

x

– 16 = 0 e interpreta el

resultado.

•  Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0):

•  Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x – 16 = 0:

1

d =

(

) (

2

)

2

0 4 +

y

x

2 d =

2

1 16 +

(28)

El lugar geométrico descrito es una elipse horizontal con centro en el origen, eje mayor igual a 2(8) = 16 y eje menor igual a

1 2

1 2

d = d

(

x − 4

)

2 + y2 = ( )

1

16 2 x

(

4

)

2 2 1

(

16

)

2 4

x + y = x

(

32 256

)

4 1 16

8 2 2

2 + − = + +

x y x x

x 1 2 8 64

4 x x

= − +

2 2

3

48

4 x + y =

( )

2 2

3

1 4 48 48

x y

+ =

1

(29)

11) Un arco con forma de semi-elipse tiene una altura máxima de 45m y un claro de 150m.

Encuentra la longitud de dos soportes verticales situados de manera que dividan en claro en tres espacios iguales.

Si el eje x es la base del arco (el eje focal de la elipse) y el origen es su punto medio, la

ecuación es del tipo , con el

semieje mayor, a = 75 y el semieje menor, b = 45. Para que el claro se divida en tres partes

iguales, la distancia de los soportes a cada vértice y entre ellos debe ser de 50m.

1

2 2

2 2

= +

b y a

(30)

•  La ecuación es:

1

2025

5625

2 2

=

+

y

(31)

Para determinar la altura de los soportes, se

hace x = 25 en la ecuación y se despeja el valor de y:

Puesto que y es una longitud (la altura de los postes), se toma sólo la raíz positiva.

(

25

)

2 2

1

5625 2025

y ±

+ = 1

2025 5625

625 2

= + y

1 2025

9

1 2

=

+ y

9 8 2025

2

=

y

1800 9

16200 2

= =

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...