u
v
EJERCICIOS DEL TEMA VECTORES
1) Considera el vector w, siguiente:
Dibuja, en cada caso uno de los siguientes casos, un vector v, que sumado con u dé como
resultado w:
a) b) c) d)
2) A la vista de la figura, dibuja un representante de los vectores:
v u
xr=− + ,
y
r
=
u
−
v
,z
r
=
u
+
v
, tr =−u−v, h =−u+2⋅v r,
w
r
=
u
r
−
2
⋅
v
Si tomamos como base
B
=
{ }
u
,
v
, ¿cuáles son las coordenadas de los vectores que has dibujado?3) Dados los vectores
a
(
3
,
−
2
)
,b
(
−
1
,
2
)
, yc
(
0
,
−
5
)
, calcula m y n de modo que c=m⋅a+n⋅b4) Expresa
x
r
(
5
,
−
2
)
como combinación lineal dey
r
(
1
,
−
2
)
y 2 , 2 1 zr
5) ¿Cuáles son las coordenadas del vector
a
(
6
,
−
15
)
en la baseB
=
{
u
r
(
1
,
−
2
)
,
v
r
(
1
,
−
3
)
}
?6) Dados los vectores del dibujo:
a) ¿Cuáles son las coordenadas de ar,
b
r
, cr y
d
r
en la base ortonormal
{ }
i, j r r?
b) Efectúa gráficamente: ar+cr,
b
c
r
r
+
,b
a
r
r
+
,a
b
c
r
r
r
+
+
.c) ¿Cuáles son las coordenadas de los vectores del apartado anterior en la base
{ }
i, j r r?
w
u
u
u
u
d r
b
r
cr
i r
j
7) Sean los vectores
a
(
−
2
,
3
)
, − 2 1 , 5 b r,
c
r
( )
4
,
3
yd
(
5
,
−
1
)
en la base ortonormal B{ }
i, j r r= .
Halla las coordenadas de los vectores siguientes con respecto a dicha base B:
c b a
xr=6 − −5
r
y
=
7
a
+
2
b
+
d
zr=d−c+2a tr =3c−4a8) Sea B
{ }
i, j r r= una base ortonormal. Sabiendo que
a
r
=
−
2
i
+
j
,b
=
2
i
−
3
j
r
,
c
r
=
i
+
j
,j
i
d
=
−
−
3
r
a) ¿Cuáles son las coordenadas de cada vector en B?
b) Calcula las coordenadas de los siguientes vectores en B:
b a x r r r 2 +
= yr =5ar−cr z b cr r r
4 3 + −
= w c d
r r r 2 − =
9) Halla las coordenadas del vector btal que c= ⋅a− ⋅b 2 1
3 , siendo
a
(
−
1
,
3
)
yc
(
7
,
-
2
)
.10) ¿Cuáles de las siguientes parejas de vectores son l.i. y cuáles l.d.?
( )
1
,
2
a
r
y b(
6,−3)
r
c
r
(
−
3
,
2
)
y d(
15,−10)
r
e
r
( )
7
,
2
y f( )
1,5 r
g
r
(
−
3
,
1
)
y h(
−4,−12)
r11) Explica si los siguientes vectores forman una base del plano
a) (1,2) (3,4) b) (2,3) (4,5) (1,0) c) (1,2) (2,4) d) (0,0) (2,5)
En caso afirmativo expresar el vector
x
(-1,2) como combinación lineal de los vectores de dicha base.12) Escribe los vectores
u
r
( )
6
,
0
,v
r
(
−
12
,
−
2
)
yw
r
(
18
,
-
2
)
, como combinación lineal de los de la baseB
=
{
x
r
(
−
2
,
3
) (
,
y
r
8
,
−
5
)
}
.13) Calcula k para que el producto escalar de
a
r
(
3
,
−
5
)
y b( )
k,2 rsea 7.
14) Calcular m para que los vectores
x
(
1
,
−
3
)
ey
(
m
,
−
4
)
a) Sean ortogonales.
b) Tengan −7como producto escalar.
15) Dado el vector
u
r
(
−
5
,
k
)
, calcula k para que:a) ur⊥vr, siendo
v
r
(
4
,
−
2
)
b) El módulo de ur sea 34.16) Halla el ángulo que forman los siguientes pares de vectores:
17) Dado el vector
u
(
6
,
−
8
)
, determina:a) Los vectores unitarios de la misma dirección que
u
.b) Los vectores ortogonales a
u
, que tengan el mismo módulo queu
.c) Los vectores unitarios ortogonales a
u
.18) Calcular un vector ortonormal al
v
r
(
1
,
−
2
)
.19) Dado el vector
u
r
(
4
,
−
3
)
, calcula:a) Un vector ortonormal a él.
b) Un vector paralelo a u del mismo sentido y módulo 2.
c) Un vector paralelo a u de sentido contrario y módulo 2.
20) Considera los vectores
x
r
( )
a
,
3
er
y
(
−
1
,
b
)
. Halla los valores de a y b para quex
ey
sean perpendiculares yx
r
=
5
21) Dados
x
r
( )
5
,
4
,y
r
( )
3
,
2
yz
r
( )
1
,
k
a) Halla el valor de k para que xr y zr formen un ángulo de 90º.
b) Halla el vector unitario con la misma dirección y el mismo sentido que xr
c) Halla el vector unitario con la misma dirección y sentido contrario que
d) Halla un vector de módulo 3 y perpendicular a xr
22) Dados los vectores
u
r
(
−
1
,
4
)
,v
r
( )
3
,
m
yw
r
(
2
,
-
3
)
a) Calcula m para que ur y vr sean perpendiculares.
b) Halla el ángulo que forman ur y wr
23) a) Halla el ángulo que forman los vectores
− 5 4 , 5 3
ar y b
( )
1,1 r.
b) ¿Cuál sería el valor de x para que el vector
u
r
( )
1
,
x
fuera perpendicular al vector ar?24) Calcula x para que los vectores
a
r
( )
3
,
x
y b( )
5,2 rformen un ángulo de 60º.
25) Halla las coordenadas de un vector
x
tal que forme un ángulo de 60º con el vectora
( )
2
,
4
y que tenga el mismo módulo que dicho vector.26) Dados los vectores
v
r
(
−
1
,
7
)
yw
r
( )
x
,
2
, calcular x para que:a) Sean ortogonales b) Sean paralelos
27) Hallar x para que el vector
v
r
(
−
2
,
x
)
a) Sea ortogonal con el vector
t
r
( )
3
,
4
b) Forme un ángulo de 180ºcon el vector
t
r
( )
3
,
4
.28) Dados los vectores
u
r
( )
2
,
1
yv
r
( )
m
,
1
. Calcular m para que:a) ur y vr sean paralelos. b) ur y vr sean perpendiculares.
c) ur y vr formen un ángulo de 45º d) ur y vr tengan el mismo módulo.
29) Dados dos vectores ur y vr tales que
u
r
=
2
,v
r
=
3
y( )
u
r
,
v
r
=
60
º
, Calcular:a)
u
r
+
v
r
b) El ángulo que forma ur con 2⋅vr
c) El ángulo que forma ur con −2⋅vr .
30) Dados los vectores:
u
r
(
2
,
4
)
yv
r
( )
3
,
1
, halla el módulo del vector ur −vr .31) Sean ur y vr dos vectores tales que
u
r
=
9
y(
u
r
+
v
r
) (
⋅
u
r
−
v
r
)
=
17
. Calcula el módulo de vr .32) Dos vectores ur y vr son tales que
u
r
=
10
y vr =10 3 , yu
r
+
v
r
=
20
. Halla el ángulo que forman los vectores ur y vr .33) Sabiendo que
u
r
=
2
yv
r
=
6
y que ángulo que forma ur con vr es de 60º, calcular:u
r
+
v
r
yv
u
r
−
r
.34) Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que A
(
−
1
,
−
2
)
, B( )
3
,
1
y C
( )
1
,
3
.35) Dados los puntos A
(
2
,
−
3
)
, B(
−
1
,
4
)
y C( )
x
,
3
, determina el valor de x para que A, B y C estén alineados.36) a) Calcula las coordenadas del vector cuyo origen es el punto A
(
2
,
−
1
)
y cuyo extremo es elpunto B
( )
4
,
7
.b) Calcula el punto medio del segmento determinado por los puntos A
(
2
,
−
1
)
y B( )
4
,
7
37) a) Calcula las coordenadas del vector que tiene su origen en el punto R
(
1,- 2)
y su extremo en el punto S(
−2, 2)
.b) Calcula el punto medio del segmento RS.
c) Calcula la longitud del segmento RS.
d) Calcula el ángulo que forman los vectores
[ AB
]
(del ejercicio anterior) con[ RS
]
.38) Dados los puntos A
(
−
1
,
3
)
, B( )
2
,
7
y C(
0
,
−
2
)
a) Calcula las coordenadas de
[ CA
]
,[ BA
]
y[ BC
]
y sus módulos.b) Calcula las coordenadas de los vectores paralelos a
[ CA
]
que tengan de módulo 10.c) Calcula las coordenadas de los vectores perpendiculares a
[ CA
]
que tengan de módulo 10.d) Calcula las coordenadas de los vectores ortonormales a
[ CA
]
.39) Dados los puntos A
( )
2
,
1
, B(
−
3
,
4
)
y C(
0
,
−
8
)
:a) Halla el punto medio del segmento de extremos A y B.
b) Halla el simétrico de B con respecto a C.
40) El punto medio del segmento AB es M
(
2
,
-
1
)
. Halla las coordenadas de A, sabiendo queB
(
−
3
,
2
)
.41) Calcula el simétrico de A
( )
1
,
2
respecto de B(
3
,
−
1
)
.42) Averigua las coordenadas del punto P, que divide al segmento de extremos A
(
2
,
−
4
)
y B( )
1
,
3
en dos partes tales que
[ AP
]
es el triple de[ PB
]
.43) Dados los puntos A
( )
2
,
4
y B(
17
,
−
3
2
)
encontrar los puntos M y N que dividen el segmento ABen 3 partes iguales.
44) Calcula el punto C que divide el segmento AB en dos partes tal que una es el triple que la otra,
siendo A
