INTRODUCCION A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA pdf

(1)

M

ATEMÁTICA

PARA

INGENIEROS

F

ORMACIÓN

POR

COMPETENCIAS

INTRODUCCION A LA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

(2)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Las ciudades de Lima y Ayacucho no están unidas directamente

por una carretera principal, pero cada una de ellas está

conectada con las ciudades de Huancavelica e Ica (según la

figura). Huancavelica está a

250 km al este y a

250 km al sur

de Lima. Ica está a

200 km al este y a

100 km al sur de Lima

.

Camino a Ayacucho

2

SITUACIÓN MOTIVADORA

• ¿Es posible calcular la

distancia más corta entre

Lima y Ayacucho?

(3)

Dirección de Estudios Generales

3

LOGROS DE APRENDIZAJE



Elabora representaciones gráfica y simbólica de la recta

mediante diversas estrategias.



Resuelve problemas de contexto real a través de las

(4)

MATEMATICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Introducción

a la

(5)

Y

X

5

Plano cartesiano y coordenadas de un punto

a

P

(𝒂; 𝒃)

b

II (- ; +)

I (+ ; +)

III (- ; -)

IV (+ ; -)

Cuadrantes

_abscisa _ordenada

Eje de ordenadas

Origen

(0; 0)

(6)

6

Ejemplos para mostrar en clase

Resolución:

Y

X

(7)

7

Ejemplos para mostrar en clase

Resolución

:

Resolución

:

(8)

Y

X

Distancia entre los puntos A y B:

8

Distancia entre dos puntos

𝒅 𝑨, 𝑩 =

𝒙

_𝟐

− 𝒙

_𝟏 𝟐

_{+ 𝒚}

(9)

Y

X

El punto

𝑃

divide al segmento AB en la razón:

Abscisa del punto P:

Ordenada del punto P:

El orden es importante

9

División de un segmento en una razón dada

𝒂𝒌

𝒃𝒌

𝐴𝐵

𝑃𝐵

=

(10)

10

Ejemplos para mostrar en clase

Resolución:

Ejemplo 3

. Calcule las coordenadas de los dos puntos que dividen el

segmento de extremos

𝑃 y

𝑄 en tres segmentos de igual longitud,

donde

(11)

Resolución:

11

Ejemplo para que analice el estudiante

Ejemplo 4:

La ordenada de un punto del plano es 8 y su distancia al

punto 𝐵(5; −2) es 2 41 , calcule la abscisa del punto.

Paso 1. Entender el problema:

Se pide un punto del plano, llámese 𝑃 𝑥; 𝑦 del cual se conoce su ordenada.

𝑑 𝑃; 𝐵 = 2 41

Paso 2. Completar los datos del problema:

Como se tiene la ordenada 𝑦 = 8, en punto queda 𝑃 𝑥; 8 , solo resta calcular 𝑥.

Paso 3. Calcular la abscisa pedida:

𝑑 𝑃; 𝐵 = 2 41 ⇔ 𝑥 − 5 2 _{+ 8 + 2} 2 _{= 2 41}

⇔ 𝑥 − 5 = 8

⇔ 𝑥 − 5 = 8 𝑥 − 5 = −8 ⇔ 𝑥 = 13 𝑥 = −3.

(12)

Resolución:

12

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo

5:

Determine

las

coordenadas del centroide (punto

𝐶

en la figura adjunta) de la placa

metálica en forma de letra

𝐿, si se

sabe que divide al segmento

𝐴𝐵 en

la razón

𝐴𝐶_𝐶𝐵

=

5₄

.

Se pide un punto de un segmento dada una razón, desde la gráfica se puede hallar las coordenadas de los extremos. Conociendo los extremos se aplicará la fórmula necesaria.

(13)

13

Ejemplos para que analice el estudiante

Paso 3. Calcular las coordenadas del punto 𝐶 𝑥; 𝑦 :

Para eso usamos la fórmula de la división de un segmento dada una razón

𝑥 = 𝑎𝑥_𝑎+𝑏2+𝑏𝑥1 , y = 𝑎𝑦_𝑎+𝑏2+𝑏𝑦1, donde 𝑎 = 5, 𝑏 = 4.

⇒ 𝑥 = 5(7)+4(1)₄₊₅ , y = 5(1)+4(4)₄₊₅

⇒ 𝑥 = 39₉ , y = 21₉

(14)

MATEMATICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

La Recta

en el

(15)

15

ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA

• El ángulo de inclinación (o simplemente inclinación) de una

recta

𝐿

es el ángulo

𝛼

medido en sentido antihorario desde el

semieje X positivo hacia la recta

𝐿

y menor que

180 °.

Medida del ángulo de inclinación de la recta

La pendiente una recta

𝑳

no vertical se define

como:

𝒎 = 𝐭𝐚𝐧 𝜶

• La ángulo de inclinación de un segmento se define como la

inclinación de la recta que lo contiene.

• La pendiente de un segmento no vertical se define como la

pendiente de la recta que lo contiene.

L

x y

𝜶

(16)

Sea

L

una recta

no vertical

que pasa por

𝑃

₁

(𝑥

₁

, 𝑦

₁

)

y

𝑃

₂

(𝑥

₂

, 𝑦

₂

)

(

𝑥

₁

≠ 𝑥

₂

). Entonces la pendiente de

L

( y en

consecuencia del segmento

𝑃

₁

𝑃

₂

) es

m

=

16

TEOREMA(PENDIENTE DE UNA RECTA)

x

y



=

2 1

y

x



x y

L

P

₂

(

x

₂

;

y

₂

)

.

P

₁

(

x

₁

;

y

₁

)

.



y



x

(17)

17

La pendiente respecto a la posición de la recta en el plano

De acuerdo al ángulo de inclinación

𝛼

de la recta

𝐿

se afirma que:



𝑚 > 0

si y solo

𝛼

es agudo.



𝑚 < 0

si y solo

𝛼

es obtuso.



𝑚 = 0

si y solo

𝛼 = 0

.



Las

rectas verticales

no tienen pendiente definida.

Y

X

Y

X

Y

X

(18)

Forma punto-pendiente

: La recta

L

que pasa por el

punto

𝑃

₁

(𝑥

₁

; 𝑦

₁

)

y tiene pendiente

m

, tiene por

ecuación

18

ECUACION DE LA RECTA

y

–

y

₁

=

m

(

x

–

x

₁

)

x y

X

Y

𝑃

₁

(

x

₁

;

y

₁

)

(19)

19

ECUACION DE LA RECTA

Forma simétrica: La recta

L

cuyas intersecciones con

los ejes

X e Y son

(𝑎; 0)

y

(0, 𝑏)

respectivamente, donde

𝑎 ≠ 0

y

𝑏 ≠ 0

,

tiene por ecuación

Y

X

𝑳

𝒃

𝒂

𝑥

𝑎

+

𝑦

(20)

20

Ejemplos para mostrar en clase

Resolución:

Ejemplo 6.

Para cada uno de los siguientes casos:

Caso 1:

Punto de paso 𝑃(1; 2) y pendiente 𝑚 =

3

4

Caso 1:

Punto de paso 𝑃(−1; 2) y pendiente 𝑚 = −3

a) Determine la ecuación de la recta en las formas punto-pendiente y

simétrica.

(21)

x y

Forma ordenada en el origen

: La ecuación de una

recta de pendiente

𝑚

y ordenada en el origen

𝑏

, es:

y =

m

x +

b

L

21

ECUACION DE LA RECTA

(22)

Ecuación general de la recta

:

De acuerdo a Lehmann (1989-p. 65) se tiene que:

I. La ecuación de una recta cualquiera en el plano cartesiano es de la

forma:

𝐀𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎,

donde

𝐴 ≠ 0

o

𝐵 ≠ 0

. Recíprocamente:

II. Toda ecuación

𝐀𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

, donde

𝐴 ≠ 0

o

𝐵 ≠ 0

, representa

una recta en el plano.

22

ECUACION DE LA RECTA

La ecuacion

𝐀𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

es llamada

ecuacion general de la recta

.

En consecuencia, a partir de la ecuación general de la recta se tiene:

(23)

Dirección de Estudios Generales                 x y

Recta horizontal

x = a

Recta vertical

23

Casos particulares

y = b

Ecuación:

x = a

Ecuación:

                x y

y =

b

X Y

(24)

Para determinar los puntos de intersección de la gráfica

de una recta de ecuación

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

con los ejes

coordenados

𝑋

e

𝑌

se procede de la siguiente manera:

Con el eje

𝑋

,

se reemplaza

𝑦 = 0

en la ecuación y se determina

𝑥

. Es

decir, si

𝑦 = 0

, entonces

𝑥 = 𝑎

.

Intersección :

(𝑎; 0)

24

Intersecciones con los ejes de coordenadas

Con el eje

𝑌

, se reemplaza

𝑥 = 0

en la ecuación y se determina

𝑦

. Es

decir, si

𝑥 = 0

, entonces

𝑦 = 𝑏

.

Intersección:

(0; 𝑏)

(𝟎; 𝒃)

(𝒂; 𝟎)

X

Y

X

(25)

Resolución:

25

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 7:

Dadas las rectas

𝐿

₁

: 𝑦 = 3𝑥 − 1 y

𝐿

₂

: 𝑦 = 𝑥 + 3 , determine

la ecuación de una tercera recta cuya pendiente es

1

2

y pase por el punto

de intersección de 𝐿

₁

y 𝐿

₂

.

Se pide la ecuación de una recta de la cual se conoce la pendiente 1₂. Entonces solo necesitamos un punto de paso, este punto es el punto de intersección de las rectas mencionadas.

Paso 2. Calcular el punto de intersección:

𝐿₁ ∩ 𝐿₂: 𝑦 = 3𝑥 − 1_{𝑦 = 𝑥 + 3 ⇒ 𝑥 = 2, 𝑦 = 5}

Paso 3. Calcular la ecuación de la recta:

(26)

Resolución:

26

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 8:

En la figura se muestran tres rectas con sus respectivas

ecuaciones. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃 y

por el punto medio del segmento 𝑄𝑅.

Se pide la ecuación de una recta que pasa por dos puntos 𝑃 = 𝐿₁ ∩ 𝐿₂ y el punto medio de 𝑄𝑅,

(27)

27

Ejemplos para que analice el estudiante

Paso 2. Calcular los puntos de intersección de las rectas:

𝑃 = 𝐿₁ ∩ 𝐿₂: _{−2𝑥 + 7𝑦 = 22 ⇒ 𝑥 = −4, 𝑦 = 2 ⇒ 𝑃(−4; 2)}𝑥 − 𝑦 = −6

{𝑄} = 𝐿₁ ∩ 𝐿₃: _{−6𝑥 + 𝑦 = −14 ⇒ 𝑥 = 4, 𝑦 = 10 ⇒ 𝑄(4; 10)}𝑥 − 𝑦 = −6

{𝑅} = 𝐿₂ ∩ 𝐿₃: _{−6𝑥 + 𝑦 = −14 ⇒ 𝑥 = 4, 𝑦 = 3 ⇒ 𝑅(3; 4)}−2𝑥 + 7𝑦 = 22

Paso 3. Calcular el punto medio del segmento 𝑄𝑅:

𝑀 = 4 + 3

2 ;

10 + 4

2 =

7 2; 7

Paso 4. Calcular la ecuación de la recta que pasa por 𝑃 y 𝑅:

La recta pedida pasa por el punto 𝑃(−4; 2) y su pendiente es 𝑚 = 𝑚_𝑃𝑀 = 7−27 2+4

= 2₃,

(28)

La distancia del punto

𝑷(𝒙

_𝟎

; 𝒚

_𝟎

)

a la recta

𝐿

de ecuación

𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

esta dado por:

28

Distancia de un punto a una recta

𝒅 =

𝑨

𝒙

𝟎 + 𝑩

𝒚

𝟎 + 𝑪

𝑨

𝟐 _{+ 𝑩}

𝟐 P

(

x

₀

;

y

₀

)

d

x y

L

(29)

29

Ángulo entre dos rectas

Sean

𝐿

₁

y

𝐿

₂

dos rectas que se intersectan y con

inclinaciones

𝛼

y

𝛽

respectivamente. Entonces ellas

forman dos ángulos

𝜃

₁

y

𝜃

₂

, que son medidos en

sentido antihorario y menores que

180°

(ver figura),

donde:

• 𝜃

₁

tiene lado inicial

𝐿

₁

y lado final

𝐿

₂

; y

• 𝜃

₂

tiene lado inicial

𝐿

₂

y lado final

𝐿

₁

.

x y





1



1

l

2

l

2



(30)

Ángulo entre dos rectas

Teorema:

Sean

𝐿

₁

y

𝐿

₂

rectas no verticales con

pendientes

𝑚

₁

y

𝑚

₂

respectivamente

.

Si

𝜃 ≠ 90°

es el

ángulo entre las dos rectas que tiene por lado inicial

𝐿

₁

y lado final

𝐿

₂

, entonces

2 1 1 2

tan

1 .

m

m m









Observación:

Cuando se desconoce

el lado inicial y final del ángulo

𝜃

entre

dos rectas, entonces se cumple:

(31)

Resolución:

31

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 9 :

Calcule la medida del ángulo obtuso que forma la

rectas 𝑙

₁

con pendiente 𝑚 con la recta 𝑙

₂

con pendiente

𝑚−1

(32)

Resolución:

32

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 10:

Determine las ecuaciones de las rectas que pasan por el

punto

𝑃(2; −1) y que forman cada una un ángulo de

45° con la recta

𝑙

representada por 2𝑥 − 3𝑦 + 7 = 0.

Paso 1. Hacer una gráfica del problema.

Paso 2. Para ambas rectas se conoce un punto de paso, entonces se procede a

calcular sus pendientes:

Si 𝑙: 2𝑥 − 3𝑦 + 7 = 0 → m₀ = 2₃

Usando la fórmula del ángulo entre dos rectas, se tiene

tan 45° = 𝑚 −

2 3 1 + 2𝑚₃

Donde 𝑚 es la pendiente de cualquier recta pedida

(33)

33

Ejemplos para que analice el estudiante

Observación:

Note que se está usando el valor absoluto y con eso se trabaja para ambas rectas pedidas

.

tan 45° = 𝑚−

2 3

1+2𝑚₃ ⇒ De donde 3 + 2𝑚 = 3𝑚 − 2

⇔ 3 + 2𝑚 = 3𝑚 − 2 3 + 2𝑚 = −3𝑚 + 2 ⇔ 𝑚₁ = 5 𝑚 = −1₅

Paso 3.

Luego las ecuaciones buscadas son:

𝑙₁: 𝑦 + 1 = 5 𝑥 − 2 , 𝑙₂: 𝑦 + 1 = −1

5(𝑥 − 2)

O bien, cuya forma general es:

𝑙₁: 5𝑥 − 𝑦 − 11 = 0, 𝑙₂: 𝑥 + 5𝑦 + 3 = 0

(34)

x y

Decimos que dos rectas

𝐿

₁

y

𝐿

₂

son paralelas

(

𝐿

₁

// 𝐿

₂

) si

tienen el mismo ángulo de inclinación

.

m

₁

= m

₂

34

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS

Rectas paralelas

:

Sean

𝐿

₁

y

𝐿

₂

dos rectas no

verticales con pendientes

𝑚

₁

y

𝑚

₂

respectivamente.

Entonces

𝐿

₁

// 𝐿

₂

si y sólo si

Y

Teorema

X

𝐿

₂

(35)

Teorema

Sean

𝐿

₁

y

𝐿

₂

dos rectas no

verticales con pendientes son

𝑚

₁

y

𝑚

₂

respectivamente.

Entonces

𝐿

₁



𝐿

₂

si y sólo

35

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS

m

₁

. m

₂

= -1

x y

Rectas perpendiculares

:

Decimos que dos rectas

𝐿

₁

y

𝐿

₂

son perpendiculares

(

𝐿

₁



𝐿

₂

) si el ángulo entre ellas es recto.

(36)

Resolución:

36

Ejemplos para mostrar en clase

(37)

37

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 12:

La recta 𝐿: 𝑥 + 𝑦 = 4 se muestra en la figura, calcule:

a) La distancia del origen de coordenadas a la recta 𝐿.

b) El perímetro del rectángulo 𝑃𝑄𝑅𝑆.

c) El área de la región sombreada

.

Resolución:

Paso 1. Para el item a) basta con aplicar la fórmula «distancia de un punto a una recta», el punto es el origen 𝑂 0; 0 y

la recta es 𝐿: 1𝑥 + 1𝑦 − 4 = 0.

𝐷 𝑂, 𝐿 = 1 0 +1 0 −4₁₂₊₁₂ = 4₂ = 2 2.

Paso 2. Para el item b): Se pide el perímetro pedido, se necesita

𝑑 𝑃; 𝑄 , 𝑑 𝑅; 𝑆 , 𝑑 𝑃; 𝑆 y 𝑑 𝑄; 𝑅 .

Se observa que 𝑑 𝑃; 𝑄 = 𝑑 𝑅; 𝑆 y 𝑑 𝑃; 𝑆 = 𝑑 𝑄; 𝑅 = 𝑑(𝑃; 𝐿).

Paso 3. Calculando 𝑑 𝑃; 𝑄 y 𝑑 𝑃; 𝑆 :

𝑑 𝑃; 𝑄 = 0 − 2,5 2 _{+ 2,5 − 0} 2 _{= 2,5 2.}

𝑑 𝑃; 𝐿 = 1 0 + 1 2,5 − 4

(38)

38

Ejemplos para que analice el estudiante

Paso 4. Calcular el perímetro del rectángulo:

Perímetro=𝑑 𝑃; 𝑄 + 𝑑 𝑅; 𝑆 + 𝑑 𝑃; 𝑆 + 𝑑 𝑄; 𝑅 = 6,5 2.

Paso 5. Item c) Calcular el área de la región sombreada 𝐴_𝑆:

𝐴_𝑆 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝐿 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 − Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑃𝑄𝑅𝑆.

Para el área del triángulo se necesitan los interceptos con los ejes, estos son (4; 0) y

0; 4 .

Entonces

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝐿 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 = 4(4)

2 = 8

Para el área del rectángulo:

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑃𝑄𝑅𝑆 = 𝑑 𝑃; 𝑄 . 𝑑(𝑃; 𝐿)=3,75.