Ejemplo 1.- Diga cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, irracionales,

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(1)

Matemática

Básica

Curso de Nivelación

(2)

Capítulo 1:

LOS NÚMEROS REALES

1.1 SUBCONJUNTOS DE NÚMEROS REALES

Los números 1,2,3… son usados para contar. Normalmente se los conoce como el conjunto de los números naturales, dicho conjunto se lo denota con la letra N, así

N{1,2,3}

Si se suman dos números naturales el resultado es otro natural, pero si se resta el resultado no necesariamente es un número natural. El conjunto de los números enteros

Z{,3,2,1,0,1,2,3}

es cerrado bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación, esto quiere decir que si realizamos cualquiera de estas tres operaciones entre dos números enteros el resultado es un número entero. Pero este conjunto no es cerrado bajo la división, es decir que si dividimos dos números enteros el resultado no necesariamente es un número entero.

El conjunto de los números racionales, Q, formado por todos los números que pueden ser expresados de la forma

m

n , donde n, m son números enteros con m distinto de

cero, es cerrado bajo las cuatro operaciones. Sin embargo no contempla todos los números que se presentan. Por ejemplo 2 que es el perímetro de una circunferencia de radio 1, no es un número racional. Tampoco 2 es un número racional, pues no puede ser representado como el cociente de dos números enteros, este número representa la solución de la ecuación

2

2 

h y geométricamente él es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con los dos catetos iguales a 1. Estos números que no son racionales, pues no pueden ser expresados de la forma

m n

, se llaman números irracionales. Una diferencia entre los números racionales y los irracionales está dada en su representación decimal. Los números racionales pueden ser representados por decimales con una expansión finita ( 0.25

4

1 ) o por números

decimales que se repiten indefinidamente ( 0.16 0.16666 6

1

, 0.09090 0.090 11

1

 ).

En cambio los números irracionales son representados por números decimales que no terminan y que no tienen ninguna periodicidad es decir que no tienen ninguna secuencia que se repita. Podemos aproximar el número 2 estimando los primeros dígitos de la longitud de la diagonal de un cuadrado de 1 por 1. La aproximación de una calculadora que trabaja con 8 dígitos es 21.4142136, la representación decimal de 2 es infinita y no periódica.

Ejemplo 1.- Diga cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, irracionales, racionales y reales: a) -3; b)

3 4

 ; c) 0.2; d)

1

; e) 101. El conjunto de los números reales es la unión

de los números racionales e irracionales. Este conjunto es denotado por la letra R.

El número 2 es un irracional y por tanto real.

(3)

Solución:

a) -3 es un número entero, también es racional pues puede ser escrito como

1 3

y es real.

b) 3 4

 es un número racional pues puede ser escrito como

3 4

. También es real c) 0.2 es un número racional pues puede ser escrito como

10 2

. También es real.

d) 1 es irracional. Observe que como  es irracional su expansión decimal es infinita no periódica al sumarles 1 da como resultado un número cuya expansión también es infinita no periódica. Es un número real

e) 101 es natural, entero, racional y es real.

Ejercicio de desarrollo.- Diga cuales de los siguientes números son naturales, enteros, irracionales, racionales y reales: a) 3 ; b) 22; c) -3.1

Comentario: Algunos autores consideran el 0 como un número natural. Para evitar caer en polémicas nos referiremos al conjunto {0,1,2,3} como el conjunto de los enteros no negativos y a {1,2,3} como el conjunto de los enteros positivos.

Los números reales pueden ser representados en la recta real. Para ello se traza una línea recta y se escoge arbitrariamente un punto en ella, él cual representará el número 0. Se escoge una unidad de medida y a partir del 0 se hacen mediciones de una unidad tanto a la izquierda como a la derecha, los puntos medidos representan los números enteros en el orden dado en la figura: los puntos a la derecha del 0 representarán los números positivos y a la izquierda están representados los números negativos. La representación del número

3 2 4 es un punto que está a dos tercios unidades a la derecha del 4. El número

3 2 4 es

3 14

. Para representar geométricamente a los números racionales positivos podemos valernos de su forma mixta: acb con b<c y a,b,cZ, este número representa a

c b

a , por ejemplo el

número 5 13

puede ser escrito como 2 , la representación es rápidamente obtenida a través 53

del cociente y residuo de la división de 13 entre 5. En general, si C es el cociente y Rel residuo de la división de PD tenemos que

D R C

P  . Ahora es claro que el número

5 3

2 5 13

está representado por el punto en la recta real que está a 3/5 unidades de distancia a la derecha del 2. Para representar número negativos nos podemos valer de la simetría de la recta real. Los números

3 10

 y 331

3 10

son simétricos son respecto al origen. Hay métodos precisos para representar algunos números irracionales a través de construcciones geométricas, sin embargo en este texto se harán representaciones no muy exactas de estos números a través de los primeros dígitos de su representación decimal.

(4)

1.2 Propiedades de los números reales 3

Comentario: Observe que la parte fraccionaria de un número mixto es escrita más pequeña que la parte entera, para distinguirlo de una multiplicación de un entero con una fracción. Ejercicio de desarrollo: Represente los números dados en la recta real: a)2; b) -3.1; c)

7 23

 .

EJERCICIOS 1.1

1) Diga cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, irracionales, racionales y reales: 1.1) 12 1.2) 4; 1.3) 35; 1.4) 0; 1.5) – 6.4; 1.6) 31.

2) Represente aproximadamente los siguientes números en la recta real.

2.1) -12; 2.2)  22; 2.3) - 31; 2.4)

5 1

; 2.5) 2 

; 2.6) 7 4

 ; 2.7)

5

4 3

; 2.8) 3 14  . 3) Diga cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:

3.1) ( ) La diferencia de dos números irracionales puede ser racional. 3.2 ( ) El cociente de dos números irracionales es siempre irracional.

3.3) ( ) Un número irracional no se puede escribir como un cociente de enteros 3.4) ( ) La diferencia entre dos números racionales es un número racional.

1.2 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

A continuación enunciamos las propiedades más importantes de los números reales. Asuma que a,b,c y d son números reales, tenemos entonces:

1.- Propiedad conmutativa de la suma

Propiedad conmutativa de la multiplicación

a b b

a   abba

Ejemplo 3443 2662

2.- Propiedad asociativa de la suma Propiedad asociativa del producto )

( )

(abcabc a(bc)(ab)c Ejemplo (213)72(137) 13(25)(132)5

Comentarios En ambos casos da 22 En ambos casos da 130, pero es más rápido el cálculo de la primera

El elemento neutro es aquél que con la operación que consideremos deja inalterable el número. Esto es:

a*(elemento neutro del operador)=a 3.- Elemento neutro de la suma:

0 es el elemento neutro.

Elemento neutro de la multiplicación: 1 es el elemento neutro

a

a0 a1a

El inverso de un número es aquél que al operarlo con el número, con la operación que estamos considerando, nos produce el elemento neutro de la operación:

a* (el inverso)=elemento neutro. VIDEO 3

(5)

4.- Propiedad del inverso de la suma: Inverso de la multiplicación: Para cada número real a existe un

número real denotado por a tal que:

0

)

(

a

a

Para cada número real a, distinto de cero, existe un número real denotado por

a

1

tal que:

1 1

a a

El inverso de a bajo la suma,a, es llamado también el opuesto o negativo de a. El inverso de la multiplicación también es denotado por

a

1. Esto es

a a1 1. El número 0 no tiene inverso para la multiplicación ya que no existe ningún número que multiplicado por 0 de 1.

5.- Propiedad transitiva: Si ab y bc entonces ac

Ejemplo: Si sabemos que xy y y4 entonces x4

6.- Propiedad distributiva Propiedad distributiva

b a b a c b

a(  )    (bc)abaca

Ejemplo 3(25)3235 (25)32353 Comentarios En todos los casos da 21 En este caso es más fácil

evaluar el lado izquierdo

La propiedad distributiva se cumple cuando el factor suma tiene tres o más términos: d

a b a b a d c b

a(   )     

La resta se define como una suma:

)

(

b

a

b

a

Recuerde que (b) es el inverso u opuesto de b.

Muchas veces usamos la definición para escribir una resta como una suma: 494(9)

Para definir el producto abc usamos la propiedad asociativa

)

(

b

c

a

c

b

a

A continuación listamos algunas propiedades de los números negativos de mucha utilidad:

Propiedades Ejemplos Comentarios

1

a

(

1

)

a

4(1)4 El opuesto se puede reecribir como un producto

2

(

a

)

b

(

a

b

)

a

(

b

)

(2)3(23)2(3) 3

(

a

)(

b

)

a

b

4

(

a

b

)

a

b

(47)47 El signo menos se distribuye 5

a

(

b

c

)

ab

ac

2(45)2425 La distributiva se cumple con la

diferencia también El opuesto de -3

(6)

1.2 Propiedades de los números reales 5

Ejemplo 1.- Demostrar que 344 3

Solución: Tenemos por definición que 34 3(4). Ahora por la propiedad conmutativa 3(4)(4) 3. Por la propiedad transitiva de la suma resulta que

3 ) 4 ( 4

3    , quitando los paréntesis en el lado derecho tenemos la igualdad deseada. En general tenemos que:

x

y

y

x

Ejercicios de desarrollo: Demostrar: a) (yx)(xy); b) (x 3)4(x4) 3

Recordando que

b

b11, la división también puede ser definida como (1) b a b

a  . El

resultado de la división se representa por b a

. Esta expresión se la llama cociente o fracción de a sobre b. El número a es el numerador de la fracción y b el denominador.

Observe que (1) b a b a

, con esta notación podemos interpretar, por ejemplo, que 7 5

es cinco

veces 7 1 .

Si el resultado de la división b

a1 es un número c, esto es c b

a1 , vemos que al multiplicar por b ambos lados de la igualdad tenemos dos proposiciones equivalentes, esto es:

c b

a  si y sólo si acb

Remarcamos que la división no está definida si b0. La primera propiedad del cero permite justificar porque la división entre 0, a0, no está definida.

 Si a0cy a 0 entonces ac00, pero a no es cero.

 00 tampoco está definida. Observa que para cualquier valor c tenemos que

0

0c es decir que 0 entre 0 pudiese dar cualquier valor, lo cual no tiene sentido.

Propiedades del cero 1.- a00

2.- Si ab0 entonces a 0 ó b0. Observa que al

conmutar con el operador diferencia, los términos arrastran los signos.

La división, ab es definida a través de la multiplicación: Si b0, entonces

a

b

a

b

1

donde b1 es el inverso de b para la multiplicación

Recuerde:

La división entre 0,

0 b

, no está definida.

Evalúe en su calculadora la expresión

0 3

o 0

(7)

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS RACIONALES

En el siguiente recuadro presentamos las propiedades más importantes de fracciones. Algunas propiedades son reescrituras de la expresión numérica, las cuáles se usan con frecuencia. Muchas propiedades no solamente se emplean de izquierda a derecha sino se suelen aplicar también de derecha a izquierda.

Propiedades Ejemplos Comentarios

1 b a b a b a      5 3 5 3 5 3    

 El signo menos se puede transferir a cualquier parte de la fracción

2 c b a c b c

a

3 5 3 4 1 3 4 3

1 Suma o diferencia con igual denominador

3 c d

c b d a d b c a       6 7 7 5 6 2 6 5 7 2       42 23 42 35 12

Suma en cruz, recomendable cuando los denominadores no tienen factores comunes

4 d b c a d c b a     27 14 9 3 7 2 9 7 3 2   

 Multiplicación de fracciones

5 b

a c b c a   5 3 2 5 2 3   ; 7 4 7 ) 1 ( 4 ) 1 ( 7 4      Fracciones equivalentes

Ley de Cancelación: c es un factor en el numerador y el denominador

6 c b a c b a c b

a    

1 3 5 2 3 5 1 2 3 5

2     Multiplicación de un número entero por una fracción

7 c b a b c a c b

a

2 5 3 5 2 3 2 5

3 Reescrituras

8 c b a c b

a 1

 5 1 3 2 5 3

2  Reescrituras 9 c b d a d b c a d b c a      21 10 7 3 5 2 5 7 3 2 5 7 3 2     

División aplicando la doble C

10 b c d a b d c a d b c a       9 3 4 1 9 4 3 1 4 9 3 1     

 División a través de una multiplicación

11 b d a d b a d b

a 1

5 6 5 2 3 2 5 1 3 2 5

3

División entre un número y una fracción 12 c b a b c a b c a    1 15 1 5 3 1 1 5 3 1 5 3 1    

División entre una fracción y un número.

Ejemplo 2.- Exprese 1) 3 (

3 x como una suma. Solución: Se usa primero la propiedad distributiva

3 1 3 3 ) 1 3 (

3 x  x  Se reescribe el 3 como una fracción para efectuar el producto VIDEO 4

(8)

1.2 Propiedades de los números reales 7

3 3 1 3

x Se realiza la multiplicación de fracciones

3 3 3

x Se simplifica usando la ley de cancelación. 3

 x

Observe: en este tipo de situación se distribuye y luego se simplifica.

Ejemplo 3.- Calcule las siguientes expresiones numéricas: a) (2)(3); b) 3 5 1 5 3

. Solución:

a) Se reescribe el opuesto como un producto ) 3 )( 2 ( ) 1 ( ) 3 )( 2 (      

 Se usa la propiedad asociativa (1)

(2)(3)

(1)(6)6

b) Podemos usar la propiedad asociativa de la suma asociando los dos primeros términos. Recuerde que la propiedad asociativa es sólo con el operador suma o sólo con el operador producto. No sobre operadores combinados. Entonces reescribimos la resta como una suma:

3 5 1 5 3 3 5 1 5

3

         3 5 1 5 3             

Las fracciones entre paréntesis tienen igual denominador

= 1 3 5 2

Se realiza la suma en cruz

5 17 5 15 2 1 5 3 5 1

2

    

Ejemplo 4.-Simplifique la expresión: ( 4) 2   x

.

Solución: Tenemos la división entre una fracción y un número entero. Se realizará a través de la doble C. Aprovechamos para justificar porque los signos menos se cancelan, reescribiendo cada opuesto como la multiplicación por menos uno

4 ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 4 ( 2         x x

. Se usa la ley de cancelación con (-1) y se reescribe el -4

1 4 2   x

Se aplica la doble C

8 8 ) 4 ( 2

1 x x

x

      EJERCICIOS 1.2

1) Diga la propiedad que justifica la igualdad entre las expresiones dadas:

1.1)

 

9 1 7 2 9 1 7

2    

    

1.2) 2

 

75 2

 

57 ; 1.3)

2 3 3 2 1 1

3        

(9)

2) Diga cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. Justifique 2.1) ( )

ab

ca

bc

; 2.2) ( )

2 1 3

2 1

3 x   x2.3) ( ) Si 3ab0 entonces a0 ó b0

2.4) ( ) abba; 2.5) ( ) 3(xy)3x3y; 2.6) ( )

5 3 2

x x x

; 2.7) ( )

2 1 2

1x  x; 2.8) ( )

2 3 2 3

x

x

; 2.9) ( )

x x

x 2

1 2

;

3) Realice y simplifique las siguientes expresiones numéricas: 3.1)

      

9 1 6

3 ; 3.2) (5)(4)(3); 3.3) ( 4) 3 1 5

1      

; 3.4) 2 3 3

; 3.5)

2 5 3 1 3  ;

3.6) 0(12)(27) ; 3.7) ) 0 213

5 5 1 3 7

(    ; 3.8)

5 6 3

7 2

5

     

; 3.9) 9 83 3 83

; 3.10) 5 0 2

3.11) 0 5 2

4) Exprese ) 3 1 )( 3

( x como una suma o diferencia, según corresponda. Simplifique su respuesta.

5) Exprese 2 5x

como el producto de una fracción numérica por la variable x.

1.3 OPERACIONES COMBINADAS DE NÚMEROS RACIONALES

En una expresión numérica entre números racionales puede aparecer más de una operación. Para evaluar la expresión se toma en cuenta el orden de jerarquía de las operaciones.

1) Primero se resuelve o elimina los paréntesis más internos, o bien haciendo la operación interna o bien aplicando alguna propiedad de los números reales. 2) Luego se procede a realizar las multiplicaciones o divisiones planteadas de

izquierda a derecha y

3) Finalmente las sumas y restas de izquierda a derecha.

Ejemplo 1.- Calcule la siguiente expresión numérica: 3 4 2 1

    

 

Solución: La expresión es un producto entre una diferencia y un número entero. Se puede calcularla de varias maneras. Podemos distribuir primero

4 3 4 2 1 4 3 2

1

   

  . Se realiza la multiplicación de fracciones.

4 3 1 4 2 1

VIDEO 5

Operaciones combinadas.

(10)

1.3 Operaciones combinadas entre números reales 9

10 12 2 12 2

4

Comentario.- En esta parte pudimos también resolver la diferencia de fracciones primero y luego multiplicar por 4. Al realizarlo de la manera como se hizo se eliminó los denominadores y así se evitó resolver la suma de fracciones.

Ejemplo 2.- Realice y simplifique: a) 1 3

5 4 2

 

; b) ) 3 2 2 1 ( 5

2  ; c) 2) 5 3 ( 5 3  

Solución:

a) Tenemos una diferencia. El primer término es un cociente que se tiene que determinar completamente, para ello se calcula la diferencia planteada en el numerador, luego se efectúa la división para finalmente realizar la diferencia de la fracción obtenida con 1.

1 3

5 4 1 2 1 3

5 4 2

    

1 3

5 1 4 5 2

    

1 1 3 5 6 1 3 5

4 10

   

 Se aplica la doble C para resolver la división planteada.

1 5 2 1 3 5

6

 Se simplificó y se realiza la diferencia planteada.

5 3 5

5 1 1

2  

Posteriormente en este texto se realizaran las sumas de fracciones usando la técnica del mínimo común múltiplo de los denominadores.

b) Tenemos una suma de dos términos. Resolvemos el paréntesis efectuando primero la operación dentro del mismo y luego la multiplicación planteada, determinando así completamente el segundo término para luego sumarlo con el primer término. Hemos hecho un bosquejo de los pasos a seguir tomando en cuenta el orden de jerarquía de las operaciones,

) 6

2 2 3 1 ( 5 2 ) 3 2 2 1 ( 5

2      

) 6 1 ( 5 2 

Primero realizamos la multiplicación planteada.

6 5 2 ) 6 1 ( 1 5

2   

6 7 6

5 6 2 

Efectuamos la diferencia

Observa como se escribe todo igual salvo que una expresión es sustituida por otra igual

VIDEO 6

Operaciones combinadas. Consejos y Estrategias.

(11)

c) Esta expresión es similar a la anterior, pero preferimos eliminar los paréntesis usando la propiedad distributiva, pues observamos que en este caso, al aplicarla en este ejemplo, desaparece el denominador

10 10 3 3 2 5 5 3 5 3 ) 2 5 3 ( 5

3           

Ejercicio de desarrollo.- Evalúe cada una de las siguientes expresiones numéricas:

a) 2 1 1 ) 3 1 4 2 ( 2    b) 5 1 ) 3 2 1 ( 5 3  

EJERCICIOS 1.3

1) Evalúe cada una de las siguientes expresiones numéricas

1.1) )

2 1 3 4 ( ) 5 3 5 1

(    ; 1.2) 3 4 2 3 4 1 3 2  

; 1.3) 3 8 2 3 4 1  

; 1.4) 1) 5 1 ( 2

1  ;

1.5) ) 6 5 3 2 2 1 ( 6

2   ; 1.6) ) 2 3 4 1 3 2

(    ; 1.7) )10 3 5 3 2 2 1

(    ; 1.8)

2 1 ) 3 5 1 ( 2

3    ;

1.9) )

2 3 3 4 ( 3

4  ; 1.10) 1 4

3

; 1.11) 1 4 3

; 1.12) 4 1 3   ; 1.13) 2 ) 3 3 1 ( 3 1 

; 1.14)

                              5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1

2) Simplifique las siguientes expresiones: 2.1)

9 1 ) 3

( x ; 2.4) 2 3x.

EJERCICIOS ADICIONALES DEL CAPÍTULO 1) Evalúe cada una de las siguientes expresiones numéricas:

1.1) 5 3 4 5 3 1 2 3

1   

; 1.2) 3 4 5 3 2 5 3 4

3

; 1.3) 223

2 5 3 ) 2 ( 2 1

3    ;

1.4) 2

) 2 5 3 2 ( 2 1 3   

; 1.5) )

3 2 2 1 ( 3 2 3 4    

; 1.6)

3 1 9 ) 5 1 4 1 3 1 2 1 ( ) 3 0 5 (        ;

1.7) )

3 4 5 6 ( 4 3   

; 1.8) ) 3 4 5 6 ( 4 3   

; 1.9)

2 3 2 4 3 2 1      .

2) Diga cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. Justifique 2.1) ( ) Todo número entero es racional.

2.2) ( ) Cero es un número racional;

2.3) ( ) Si ab0 y a0 entonces b0 ;

2.4) ( ) Si ab1 entonces a1 ó b1;

2.5) ( ) Todo punto en la recta real se puede identificar con un número racional; 2.6) ( )

5 1 5 4 4 3 3 2 2

1

; 2.7) ( ) 2 2 x

(12)

11

Capítulo 2:

EXPONENTES Y RADICALES

2.1 EXPONENTES

La potenciación o notación exponencial se usa para abreviar la escritura de productos con los mismos factores:

Notación:   veces n n

a a a

a   , para n un entero positivo y a 0.

Se lee como a elevado a la n o más abreviado: a a la n. El número a es llamada la base y n el exponente o potencia e indica el número de veces que se repite el factor a.

Presentamos a continuación varios ejemplos ilustrativos Ejemplo 1.-

a) 23 2228

b)(5)3 (5)(5)(5)125 c)

243 1 3 3 3 3 3

1 3

1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 5

                

d)

16 1 2 2 2 2

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 4

                                      

e) (ab)2 (ab)(ab) Observaciones:

1.- Si a es negativo entonces an es positivo si n es par y negativo si n es impar, como podemos apreciar en el ejemplo anterior en b y d.

2.- Una expresión como 2xn o simplemente 2xn es una escritura abreviada de 2(xn), de aquí se puede deducir que la convención establece que se realiza primero la potencia y luego la multiplicación por 2.

3.-xn (x)n . La expresión xn representa a (xn) y 2xn es equivalente a )

( ) 2

(  xn . Si se calculan las expresiones 34 y

 

34 en una calculadora se podrá confirmar que son distintas.

Convención: La potencia es la primera operación que se ejecuta frente a multiplicaciones, divisiones, sumas, restas o cambios de signos.

Ejemplo 2.- Evaluar a)233; b)24; c)3(4)3. Solución: a) 233 22754

b) 24(24)16

c) 3(4)33(4)(4)(4)3(64)192

APLICACIÓN

Ejemplo 3.- Una compañía pretende aumentar su producción en los próximos 4 años, duplicando la producción con respecto al año anterior. ¿Exprese la producción anual dentro de 4 años, si este año se ha producido 2500 artículos, usando la notación exponencial?

Solución: Observe que después de un año la producción es 22500.

A los dos años se tendrá el doble del primer año 2(22500)

 

22 2500222500. A los tres años se tendrá el doble del segundo año 2(222500)232500.

A los cuatro años se tendrá el doble del tercer año 2(232500)242500artículos. VIDEO 1

(13)

DEFINICIÓN DE EXPONENTES NEGATIVOS Y CERO.

Los casos con exponentes negativos o cero se definen como sigue:

Comentario:

0

0 no está definido. Ejemplo 3.- a) 8 1 2 1

23  3  ; b) 120  ; c) ( 3)0 1;

d) n n

x x ) 2 ( 1 ) 2 (    

; e) (2x2)0 1.

Ejercicio de desarrollo.- Complete la igualdad:

a) (3)0  b) (x21)2

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

En la siguiente tabla se presentan las propiedades más importantes de exponentes Propiedad Ejemplo Justificación (del 1-4 sólo para el caso

n natural) 1 n m n m

a a

a   

Producto de potencias de igual base 6 4 2 4 2 2 2 2

2    

Se coloca la misma base y se suma los exponentes



 



  veces m veces n m n a a a a a a

a    

n m veces m n a a a a a a         

2 n m nm

a a )   (

Potencia de una potencia

8 4 2 4 2 2 2 ) 2 (   

Se deja la misma base y se multiplica los exponentes.

m n n n n veces m n n n m n a a a a a

a )      (

3

 

n n n

b

a

b

a

Potencia de un producto

 

3 3 3 3

8 2

2b  bb

Es el producto de las potencias.

 

n n

n n b a b a b a b a b

a   veces ) ( ) ( ) ( 4 n n n b a b a      

Potencia de un cociente

25 4 5 2 5 2 2 2 2         n n n b a b b b a a a b a b a b a b a               5 n m m n a a a   1 9 1 3 1 3 3 3 5 5 3   n m n m n m n n m n a a a a a a a a a         1 . 0 6 m n m n a a

a 3 9

3 3 5 3

3 5

  Ejercicio

7 n n

a b b a               4 4 2 3 3 2            

  n

n n n n n n n a b a b b a b a b a                    / 1 / 1 8 n m n m m n a b a b b a    

 1 13 3

2 5 5 2   Ejercicio

Definición: Si a0 se define

a

0

1

y si n es un entero positivo: n n

a a  1 .

VIDEO 2

Propiedades de los exponentes

La definición de

1

0

(14)

2.1 Exponentes 13

Entenderemos que una expresión que consiste en productos, cocientes y potencias de variables está simplificada cuando aparece una sola vez cada variable y una sola vez cada base numérica que no tiene factores comunes con todas las demás bases numéricas. Por ejemplo:3x5 es la expresión simplificada de 3x3x2. La expresión 3x3x2 la pudimos simplificar porque esta escrita como un producto. En general podremos simplificar una expresión donde una base se repite si ella está escrita como un producto o cociente usando las propiedades 1, 5 o 6 de la tabla de propiedades de exponentes.

Ejemplo 4.- Simplifique las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos.

a)

  

2x2y2 223x3y2

; b)

2 3 4 2 2             y x x y

; c)

2        b a a

Solución: Para simplificar expresiones donde hay potencias con bases que son productos y cocientes podemos aplicar las propiedades de la potencia de un cociente o del producto a fin de transformar la expresión en un cociente o producto de bases sencillas que podremos agrupar.

a)

  

2x2y2 223x3y2

22

 

x2 2y2223x3y2 22x4y2223x3y2

2 2 3 4 2 2 3 2

2   xxyy

  2 2 3 4 2 2 3

2    

x y Se suman los exponentes de igual base

4 7

3x y

b) Primero aplicaremos la propiedad de la potencia de un cociente, a fin de llevar la expresión a un cociente.

2 3 2 4 4 2 2 3 4 2 ) ( ) 2 ( ) ( 2 y x x y y x x

y

           

Aplicamos la propiedad de la potencia de una potencia.

6 2 2 4 8 2 y x x y

 Se realiza el producto de fracciones. 6 4 2 8 2 2 y x x y2 2 2 2 4 6 8 2 2 2 x y x y c) 2 2               a b a b a a 2 2 1 a b a

 Al multiplicar y luego simplificar se obtiene el resultado.

a b a b 2 1 2 2  

Falta simplificar, expresando cada factor con exponente positivo. Para ello agrupamos las mismas bases.

Se agrupan los factores con la misma base a fin de simplificar VIDEO 3 Operaciones y simplificaciones entre productos, cocientes y potencias de potencias

Se aplicó la propiedad de la potencia de un producto.

Se usó la propiedad 7 y ahora se aplica la propiedad de la potencia de un cociente

Al pasar y6 al

(15)

Ejercicio de desarrollo.- Simplifique la siguiente expresión. Exprese su respuesta usando exponentes positivos 2 2 1 3 2 2 2                y x x y

El lector habrá podido darse cuenta a través de los ejemplos de la siguiente:

Extensión de las propiedades 3 y 4:

anbm

kankbmk

k

k

x

x 2 6 2

3

3

3   

anbm

k(an)k(bm)kankbmk

mk nk k m n b a b a       15 3 5 6 3 5 2 64 2 2 x x x   

     Ejercicio

Una de las utilidades de los exponentes es que ellos se usan para representar cantidades muy grandes usando la notación científica

EJERCICIOS 2.1

1) Escriba la expresión numérica sin usar exponentes: 1.1) 52; 1.2) 251; 1.3) 52; 1.4)

2 2 5      

; 1.5)

2 2 5     

 ; 1.6)

2 2 5 2      

2) Simplifique las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos. 2.1) aa3; 2.2) 4

1

a a

; 2.3)

 

a2 3; 2.4) a2

 

a0 2

3) Simplifique las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos. 3.1) 2(a4b2)3(3a2b3)2; 3.2)

2

3 3 2

2 2 

          x y xy

; 3.3)

2 3 2

2 2 

        

xyxy

; 3.4)

2 2 2 2        x y xy ;

3.5)

 

2 2 2 2        x y

xy ; 3.6)

3 2 3

2 

              b a a

a ; 3.7)

3 2 3

2 

              b a a a

4) Considere la expresión

6 12

5 x

, a) Exprésela como un cuadrado. b) Exprésela como un cubo 5) Expresar como una potencia: a) 9x2; b) 25x6; c) 27/x6. Diga en cada caso cuál es la potencia.

6) Reescriba la expresión

k m m l c b a       

(16)

2.2 Radicales y exponentes fraccionarios 15

2.2 RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS

Recordemos lo siguiente

De la definición vemos que 2 es una raíz cuarta de 16 pues 24 16. Es claro que la raíz n-ésima de 0 es 0, esto se denota como: n 0 0

. Para los otros valores de b tenemos que hacer consideraciones acerca del signo de b y la paridad del índice, las cuales son mostradas en la siguiente tabla:

n par (ejemplo n=4) n impar(ejemplo n=3)

0 

b Hay dos raíces reales: Una positiva y otra negativa.

La positiva se denota por nb y se llama la raíz principal. La negativa se denota por nb

3 81

4

y4813 son las raíces cuartas de 81 Observe que (3)4 81

Hay una sola raíz real

Se denota por nb y siempre es positiva.

3 27

3  es la raíz cúbica de 27 pues

27 ) 3 ( 3 

0 

b No existen raíces reales:

Por ejemplo si b16, vemos que no existe a tal que a4 16.

Observe que el signo de a4 es positivo

Hay una sola raíz real

Se denota por nb y siempre es negativa.

3 27

3   es la raíz cúbica de -27

porque 27(3)3 

Notación: Si n=2 entonces colocamos a. Observaciones:

1.- 42, 4 es la raíz positiva, el signo se omite. 4 es simplemente 2. 2.- nana para n impar

3.- Para n par tenemos

0

0

a

si

a

a

si

a

a

n n

Por ejemplo (2)2  42(2)2.

Ejemplo 1.- Calcule cada una de las siguientes raíces. Compruebe su respuesta. a) 3

8

 ; b) 4; c) 5

32

Solución:

a) 3 82 pues

 

2 38

; b) 4 no es un número real; c) 5322 pues

 

2 532

.

Definición: Se dice que a es una raíz n-ésima de b si

a

n

b

. VIDEO 4

(17)

En el resto del capítulo, a menos que se diga lo contrario, supondremos que todas las variables representan números positivos. Así pues, cuando el radicando es una potencia con exponente igual al índice de la raíz vale la simplificación.

Ejemplo 2.- Simplifique 3 6 3

b a

Solución: En este caso, podemos reescribir el radicando como una potencia cúbica a fin de simplificar. No siempre se puede. Para ello se aplica la propiedad de potencia de un producto:

3 6 3

b

a 3

 

2 3

b a

 Como el radicando es un cubo, se simplifica el exponente con la potencia

b a2

EXPONENTES RACIONALES

Se quiere extender el concepto de potencia a exponentes fraccionarios de tal manera de preservar las propiedades de los exponentes. Veamos como debería ser la definición de

n

a1/ . Si en la definición a considerar sigue valiendo la propiedad de la potencia de una potencia entonces tendríamos que

 

a1/n na. Los números que elevado a la n son iguales a a son, por definición, las raíces de a. Esto, entonces, motiva la siguiente definición:

Por ejemplo 1/3 3

2

2  . Si tomamos en cuenta que

n m n m 1

la siguiente definición tiene bastante sentido al considerar am/nam1n

 

am 1n.

Ejemplo 3.- Exprese los siguientes radicales como potencia de exponentes racionales. a) 5 x3; b) 8

Solución:

a)5 x3 x3/5 b) 881/2

Ejemplo 4.- Evalúe la expresión

32

1/5

Solución: Una alternativa para evaluar la expresión dada es pasarla a notación con radicales y entonces calcular la raíz.

32

1/5 5322, pues

 

25 32

Ejercicio de desarrollo.-

1) Exprese los siguientes radicales como potencias de exponentes racionales: a)8 2 ; 5 b) x5

2) Evalúe la expresión

 

82/3

Definición.- Sea m, números enteros, n >1. Si n na existe, entonces se define n m

n m

a a / 

Se exceptúa de la definición el caso en que m es negativo y a cero. Si a es negativo la fracción m/n debe estar simplificada.

Definición.- Sea n número entero, n >1. Si na existe, entonces se define n

n a a1/  VIDEO 5

Exponentes racionales.

Hay que restringir la definición en el caso en que a sea negativo a francio-nes reducidas. Observe que

6 2 3

1 . Pero

 

6

 

2 3

1

8 8   

(18)

2.2 Radicales y exponentes fraccionarios 17

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

La siguiente tabla es un resumen de las principales propiedades de los radicales. Se ha colocado en el lado derecho la propiedad escrita en notación con exponente racional. Las demostraciones son omitidas, ellas hacen uso de la definición de la raíz de un número.

Propiedad Ejemplo Escritura en

exponente fraccionario

1

n n nabab

La raíz de un producto es el producto de las raíces.

1) 18 92 9 2 2)3827383 27 3 23333 236

 

n n n

b a b

a 1/  1/  1/

2 n

n n b a b a 3 3 3 3 3 2 3 8 3

8

n n n b a b a / 1 / 1 / 1       

3 n m

a

nm

a

427 8 27

m n n m

a

a  

1 / 1 / 1 ) ( 4

 

n m n m

a a

Si n es par y a es negativo la propiedad no es válida

 

32

 

32 2 23 8

3 5 5 3 5

5 3

       m n n m a

a / ( 1/ )

De la tabla y con algún paso adicional se puede demostrar que las propiedades de los exponentes se siguen cumpliendo en el caso de exponentes fraccionarios.

La última propiedad se usa para evaluar expresiones como 5 32 . Observe como la potencia 3 puede salir fuera del radical. La raiz de una potencia es la potencia de la raíz.

Ejemplo 5.- Evalúe las siguientes cantidades: a) (8000)1/3 b)

0,16

3

Solución: Para realizar este ejercicio más fácilmente podemos intentar expresar los radicandos como producto o cociente de potencias múltiplos del índice de la raíz. Si la expresión tiene exponentes negativos, recuerde deshacerse del signo del exponente o bien aplicando la definición o alguna propiedad.

a) Descomponemos 8000181000.

3 / 1 3 3 3 / 1 ) 10 2 1 ( ) 8000 (    

(1)1/3(23)1/3(103)1/3

1 2 103 2 10 20

3 3 3         

b) Primero usamos la definición de exponentes negativos

3

3

16 , 0 1 16 ,

0   Escribimos

100 16 16 ,

0  , es un cociente de cuadrados perfectos

3 100 16 1        

 Se usa la propiedad del cociente de la raíz

3 100 16 1         

Se intenta expresar cada factor como potencias con exponente múltiplo del índice de la raíz.

(19)

3 3

5 2 1

10 4 1

            

Se simplifica la fracción

8 125

5 2 1 1

3

3 

.

La notación con exponente fraccionario nos puede ayudar a evaluar o simplificar expresiones con radicales, valiendonos de las propiedades de los exponentes.

Ejemplos 6.-

a.- 3 a15 al pasarlo a notación de exponentes fraccionarios queda 3 a15 a15/3 a5

b.- 6 a se puede simplificar el índice con el exponente 3 6a3 a3/6 a1/2, recuerde a0. Así pues 6a3  a

c.- 3 a2  a se puede asociar en una sólo raiz 3 a2  aa2/3a1/2 a2/31/2 a5/6 al pasar a notación con radicales tenemos que 3 a2  a6a5 .

Ejercicio de desarrollo.- Evalúe las siguientes cantidades: a)

 

4003/2; b) 3 0,027; c) 1/2

900

.

Se dice que una expresión con radicales está simplificada si contiene un solo radical y el radicando no contienen factores con exponentes mayores o iguales al índice de la raíz. Para expresar el número de manera única algunos autores consideran la forma simplificada de una expresión si además el radicando no contiene fracciones y no hay radicales en los denominadores. Recuerda si el número es un producto o cociente este debe tener un solo signo radical.

En el siguiente ejemplo mostramos como usando las propiedades de los radicales podemos simplificar la expresión.

Ejemplo 7.- Usando propiedades de radicales, exprese cada una de las siguientes como una expresión con radicales simplificada.

a) 3 3

xy ; b) 5 x8 ; c) 18 2 Solución:

a) El radicando no es una potencia, no podemos simplificar. Aplicamos la propiedad de la raíz de un producto:

3 3

3

3 3

y x

xy   Ahora si podemos simplificar el segundo factor. y3 x Se cambió el orden de los factores.

b) Descomponemos el exponente del radicando, x8, como una suma de un término igual al índice de la raíz y el otro que complete 8.

5 8

x 5 x53 5 x5x3 Se aplica la propiedad de la raíz de un producto.

5 3 5 5

x x

 Se simplifica el índice con el exponente en el primer radical. VIDEO 8

(20)

2.2 Radicales y exponentes fraccionarios 19

5 3

x x

 La expresión ya está simplificada, observe como el exponente del radicando es menor que el índice de la raíz.

c) Se aplica la propiedad de la raíz de un producto de derecha a izquierda 6

36 2 18 2

18     .

Recuerda que cuando la expresión tiene radicales, a veces resulta muy cómodo pasarlos a notación con exponentes fraccionarios y simplificar la expresión usando las propiedades de exponentes.

Ejemplo 8.- Simplifique las expresiones dadas. Evite radicales en su respuesta, use exponentes positivos.

a)

 

x2y3  y5 ; b)

3

4 3

       

x y x

.

Solución: Podemos, primero, pasar las expresiones con radicales a notación de exponente fraccionario.

a)

 

2

5 2 3 2 5 3 2

) (x y y y

y

x  

2 5 2 3 2 3 2

y y x

2 5 2 3

3 

x

y

x

3

y

4.

b)

3

4 3 / 1 3

4 3

              

 

x y x x

y x

 

12 3 3 3 / 1

x

y x

13 3

12 3

1 x y x

xy

 .

Ejercicio de desarrollo.- Simplifique las expresiones dadas. Evite radicales en su respuesta, use exponentes positivos: a)

 

1/3

3 2 4

xy xy

; b) xy

y x2 5)3 (

.

En Cálculo, una disciplina que se estudia en las Matemáticas universitarias, es necesaria la reescritura de expresiones con exponentes y radicales. La siguiente manipulación es frecuente en Cálculo.

Ejemplo 9.- Escriba

3

3 2

x

como cxr donde c es un número real y r un racional. Solución: Una manera de realizar el ejercicio es interpretar la expresión como el resultado de un producto de una fracción numérica por una expresión que sólo depende de la variable. En este caso es claro que

Recuerde que este tipo de expresiones de productos, cocientes o potencias está simplificada si aparece una sola vez cada factor. Para simplificar esta expresión se agrupan las mismas bases sumando los exponentes, pues es un producto.

Se aplicó la propiedad de la potencia de un cociente. Observa como se distribuye el exponente interno multiplicando entre los exponentes internos.

Los exponentes son positivos como pedía el ejercicio.

Se aplica la propiedad de la potencia de un producto

(21)

3 3 2 x 3 1 3 2 x

 Ahora se reescribe el radical en notación de exponente fraccionario

2 / 3 1 3 2 x

 Se pasa la variable al otro lado de la fracción con exponente cambiado de signo

2 / 3

3 2

x

EJERCICIOS 2.2

1) Calcule las siguientes raíces. Compruebe su respuesta. 1.1) 3 125; 1.2) 14425.

2) Evalúe las siguientes expresiones numéricas: 2.1)

16 1

; 2.2)

9 4

; 2.3) 3

8 27

; 2.4) 30,027;

2.5) (0.04)1/2; 2.6) (27000)1/3; 2.7)

(

32

)

1/5; 2.8) 364; 2.9) (32)1/5; 2.10) (0,09)3/2; 2.11) (8000)2/3

3) Simplifique las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos. Evite radicales.

3.1) 3 3 6

27 y

x

; 3.2) x

x 3 27 2

; 3.3) x2y x3y5 ;

3.4) 2 3 3 2 2           x y

xy ; 3.5)

 

2 2 2 2        x y

xy ; 3.6)

3 2 3 2 3                   b a a a ; 3.7) 3 2 3 2 3 2                    b a a

a ; 3.8) 1

2 2 2         b ab a b a

; 3.9) 3 x y

 

x2y 2;

3.10) 2(a b )33a2 b3 ; 3.11) 3

2 2

2x xy y      

; 3.12)

2 1

2       xy y x ;

3.13) 2 1

2

xy xy

xy

. 3.14)

y x y x   3 4

4) Usando propiedades de radicales, exprese cada una de las siguientes como una expresión con radicales simplificada.

4.1) 3 x3 x5y9 ; 4.2) 3 11

x ; 4.3) 3 27

; 4.4) 4

8

y

; 4.5)

3

3 5

y y

.

5) Escriba cada una de las expresiones dadas como cxr donde c es un número real y r un número racional.

5.1) x 3

; 5.2) x

x 3

; 5.3) x5 x2 ; 5.4) 2

(22)

2.3 Manipulación de expresiones numéricas 21

2.3 MANIPULACIÓN DE EXPRESIONES NUMÉRICAS MIXTAS

Anteriormente se estableció el orden de jerarquía de las operaciones cuando en la expresión hay delimitadores, productos, cocientes, sumas y restas. En el caso que existan además exponentes y radicales estos se ejecutan primero que los productos y cociente pero siempre se consideran primero los delimitaroes más internos.

Ejemplo 1.- Evaluar las siguientes expresiones numéricas: a)

3

3 2 2 27

1

     

 ; b) 2 3

2

2 3 2

3 4 1

 

 

; c)

4 3 3 2

1 2 3 2 2

 

  

.

Solución:

a) Resolvemos primero el paréntesis aplicando la propiedad de la potencia de un cociente:

3

3 2 2 27

1

     

= 3

3

3 2 1 2 27

1

Se realiza las potencias =

27 8 1 2 27

1

Se realiza entonces la multiplicación

27 8 2 27

1

Se procede con la diferencia de fracciones

9 5 27 15 27

16

1

Se simplificó

b) La expresión es un cociente. Se calcula simultáneamente el numerador y el denominador de acuerdo al orden de jerarquía. En cada parte de la fracción se calcula primero las potencias indicadas, luego se pasa a resolver las multiplicaciones

8 3 4

9 4 1 2 3 2

3 4 1

3 2

2

 

    

 

24 4

36 1

 

 Se realiza las diferencias de cada parte de la fracción

4 7 20 35  

 Se simplificó

c) La expresión es un cociente. Podemos trabajar simultáneamente las operaciones del numerador y denominador. En el numerador se realiza primero la radicación, para ello debemos resolver la operación indicada en el radicando de acuerdo al orden de jerarquía de las operaciones.

4 3 3 2

1 2 9 2 4

3 3 2

1 2 3 2 2

 

     

  

ORDEN DE JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

1ero.- Se resuelven las operaciones delimitadas por los paréntesis más internos. 2do.- Se ejecutan las potencias y radicales de izquierda a derecha.

3ero.- Se consideran las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha 4to.- Se resuelven las sumas y restas de izquierda a derecha

VIDEO 9

Orden de jerarquía de las operaciones. Evaluación de expresiones numéricas.

(23)

= 12 3 2

1 16

 

Se toma raíz en el numerador y se realiza la resta en el denominador

1 12 3 2

1 4

  

34 9 34

3 3

3 36 2

3

    

Ejercicio de desarrollo.- Evaluar la siguiente expresión numérica:

3

5 6 25

4 2 27

1 

       

Tipificación de errores

Error Comentarios 1

n n n

b a b

a 1/  1/  1/ n n nabab

La propiedad no es con la suma sino con la multiplicación

2

ab

nanbn 3 n m nm

a a

a   Los exponentes de igual base se suman, no se multiplican

4 n n

ab

ab  1 La potencia es la primera operación a considerar, afecta sólo a b

5

b a b a

n n

b

a

ab

n n

b a b a

n n n

Para poder simplificar el radicando debe ser una potencia n-ésima.

n ab n ab )

(

n ab n ab ) (

Para sumar términos que contienen radicales hacemos uso de la definición de radicales semejantes. Se dice que dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando. Por ejemplo 2 5 y 8 5 son dos radicales semejantes. Los números 2 y 8 son conocidos como los coeficientes de cada expresión. Si tenemos planteada una suma entre ellos podemos sumarlos, valiendonos de la propiedad distributiva aplicada en sentido inverso, por ejemplo

2 58 5

28

56 5 Se dice que se sacó raiz de cinco de factor común. Como se observará en el ejemplo, el proceso lo podemos simplificar sumando algebraicamente los coeficientes de los términos y colocando la parte radical.

El proceso de simplificación de una expresión con radical ayuda en una suma a identificar radicales semejantes.

Recuerde que una expresión numérica con radicales como 50 está simplificada si no hay factores cuadráticos en el radicando. Para obtener la forma simplifica de 50 se puede factorizar el radicando de tal manera que aparezca al menos un factor cuadrático en el radicando: 50 225 2 255 2. Esta última es la forma simplificada de raíz de 50. Si tenemos raíces cúbicas entonces está factorizada si no hay factores cúbicos en el radicando. Otra alternativa para determinar la forma factorizada de una radical es factorizar el radicando como producto de factores primos y expresar cada exponente como una suma de VIDEO 10

Suma de términos con radicales. Racionalización.

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES NUMÉRICAS CON RADICALES.

(24)

2.3 Manipulación de expresiones numéricas 23

un término igual a un múltiplo del índice de la raíz más otro número que complete el exponente, menor que el índice. Por ejemplo:

311523 2732 3 26132 3 26 3 232 22318

Si nos piden simplificar una suma de términos con radicales entonces primero simplificamos cada término con radical y luego sumamos términos con radicales semejantes. En el siguiente ejemplo aparentemente no hay radicales semejantes, luego de la simplificación de los términos con radical aparecen radicales semejantes que se pueden agrupar.

Ejemplo 2.- Simplificar la siguiente expresión numérica: 25003 250 105. Solución: Simplificamos cada término con radical, como son raíces cuadradas, sacamos factores cuadráticos factorizando los radicandos

5 10 250 3

2500   = Se busca productos con al menos un factor cuadrático. = 251003 2510 105 Se aplica la propiedad de la raíz de un producto

 25 1003 25 10 105

=51035 10 105 Se realizan los productos indicados =50515 10 10 Se suma radicales semejantes.

5516 10.

Si tenemos una fracción donde en el denominador aparece un radical eventualmente se puede reescribir la expresión sin radicales en el denominador. El proceso en que una fracción con radicales en el denominador se reescribe como una expresión equivalente pero sin radicales en esta parte de la fracción se denomina racionalizar el denominador.

Si el denominador es un monomio, es decir tiene un solo término, el proceso de racionalización es muy sencillo. Una manera es multiplicar la fracción por 1, pero ese uno escrito como el radical con el mismo índice sobre ese mismo radical. El radicando es la potencia de la base con exponente un número que complete al exponente del otro radicando para obtener un múltiplo del índice de la raíz.

Ejemplo 3.- Racionalizar el denominador en las expresiones numéricas dadas: a)

5 72

2 ; b)

4 9

5 3

Solución: a) Se busca completar el índice de la raíz

7 7 2 7

7 2 7 7 7 2 1 7 2 7

2 5 3

5 5 5 3 5 3 5 3 5 2 5 2

5 2      

b) El exponente del radicando del denominador le falta 3 para completar el siguiente múltiplo del índice de la raíz que es 12

4 9

5

3 1 5 3

4 9 4 3 4 3 4 9

5 5

5 3

3 4 3 4 / 12 4 3 4 12

4 3

4 5 3 4

5 3

5 5

3

 Observa que en el denominador quedó 12/4

4 , el exponente se buscó para quedará entero positivo.

Observe como se realiza la suma de términos con el mismo radical: Se suman

algebraicamente los coeficientes, es decir el número que multiplica al radical y se escribe el radical.

RACIONALIZACIÓN.

Figure

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Referencias

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