MATEMATICAS FINANCIERAS Las matemáticas

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MATEMATICAS FINANCIERAS Las matemáticas

La matemática es una de las ciencias lógico deductivas más antiguas que se ocupa especialmente de las propiedades que observan los entes abstractos y también de las relaciones que entre estos se establecen para así desarrollar cálculos, cuentas y mediciones.

Matemáticas financieras

Historia

Reseña histórica y evolución

Las matemáticas han sido aplicadas a muchas áreas de las finanzas a través de los años.

No hay mucha información acerca de la historia de las matemáticas financieras, ni de cuál era el problema que se intentaba solucionar con ellas, lo que se cree es que se dieron como un desarrollo involuntario, pero necesario, que complementaba algunas transacciones comerciales o determinados pagos,

Por ejemplo los que habían de realizar los aldeanos a sus señores feudales en la época del feudalismo en Europa.

Las matemáticas financieras aparecieron inicialmente con los intereses, se cree que "alguien" se dio cuenta que si otro le debía dinero o vacas o cabras o lo que fuera, él debía

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En la segunda mitad del siglo XX hemos asistido a una notable evolución de la economía financiera, que sólo ha sido posible mediante la aplicación sistemática y con intensidad creciente del pensamiento matemático.

Una vez más, las matemáticas han permitido formular con rigor los principios de otra ciencia, y han proporcionado un método de análisis que conduce al establecimiento de propiedades y relaciones que, lejos de ser triviales, incorporan un alto nivel de complejidad, son fáciles de contrastar desde el punto de vista empírico y tienen aplicación práctica inmediata.

La prueba más clara de lo anterior se encuentra en la teoría de los mercados financieros, los planteamientos de Markowitz, Sharpe, Fama, Black, Scholes y Merton, entre otros muchos, cambiaron radicalmente los análisis que se hacían hasta entonces.

Este nuevo enfoque, que coincide con el nacimiento de la teoría de los mercados eficientes, permite que disciplinas como la teoría de la optimización, el cálculo de probabilidades, el cálculo estocástico, la teoría de ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales, etc., pasen a ser de vital importancia en el estudio de problemas de valoración de activos financieros, selección de inversiones o equilibrio en los mercados de capitales.

Otro paso importante se da cuando Ross introduce el concepto de arbitraje, verdadera piedra angular en el estudio de la valoración de activos y el equilibrio de mercados.

Arbitraje (economía) En economía y

finanzas, arbitraje es la práctica de tomar ventaja de una

diferencia de precio entre dos o más mercados: realizar una combinación de transacciones complementarias que

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Fueron numerosos economistas y matemáticos los que consiguieron extender este concepto y caracterizar la ausencia de arbitraje a través de la existencia de funciones lineales de valoración neutral al riesgo o la teoría de la martingala.

Vemos que disciplinas como el análisis funcional o la teoría de la medida pasan a jugar un papel esencial para probar resultados fundamentales de la economía financiera.

Un mundo como el financiero, en constante crecimiento y evolución, está generando problemas que tienen cada vez mayor complejidad.

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CONCEPTO

Rama de la matemática que se ocupa de abordar temas financieros y el valor del dinero para hallar la mejor alternativa de inversión

Mayormente, es una ciencia que trabaja con números, figuras geométricas y símbolos.

La matemática financiera es una rama dentro de la ciencia matemática que se ocupa excluyentemente del estudio del valor del dinero a través del tiempo y de las operaciones financieras, es decir, no es otra cosa que la aplicación de las matemáticas en el ámbito de las finanzas para así por ejemplo dilucidar cuál es la mejor opción a la hora de la inversión.

Al estudiarse el valor del dinero en el tiempo y combinando cuestiones como el capital, la tasa y el tiempo, se podrá lograr un interés o rendimiento y entonces, diversos métodos de evaluación puestos en práctica nos indicarán cuál es la mejor decisión de inversión a tomar.

Objetivos y recursos.

Básicamente, las matemáticas financieras se centrarán en el cálculo del valor, el tipo de interés o la rentabilidad que pueden aportar los diversos productos que existen en los mercados financieros, tales como los

 bonos,

 los depósitos,

 CDT

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 el descuento de papel,

 el cálculo de seguros,

 las acciones,

 las divisas

 los metales

 entre otros.

Será imprescindible el abordaje de las siguientes herramientas, que se rigen en el sustento de esta rama de las matemáticas,

 como el interés simple

 y el compuesto,

 la renta temporal,

 el valor futuro y el presente,

 la renta infinita,

 la renta constante y

 la renta creciente,

 los préstamos y el cuadro de amortización.

 otros

Factoring

Leasing

Las inversiones son el pilar sobre el que esta parte de las matemáticas se sustenta, en tanto, la inversión es una acción que se efectúa con el fin de lograr

una ganancia o un beneficio.

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La buena inversión es el objetivo.

Las inversiones son sin dudas de las prácticas más corrientes en las economías de mercado y son las que permiten la movilización de recursos con

simpleza y facilidad desde sectores que son menos productivos a otros que lo son más.

Este procedimiento es especialmente estudiado a través del mercado de capitales, que se centrará en el logro de una ganancia, y en evitar bajo cualquier consigna, una pérdida de la inversión efectuada.

Por caso y para lograr esto es que se ponen en práctica ciertas estrategias.

Uno de los más corrientes es el de analizar el valor intrínseco de un activo.

Por ejemplo las acciones van cambiando sus valores en el mercado de acuerdo a diversas coyunturas.

Existen profesionales avezados que se dedican a seguir estos cambios y a evaluar el precio de las acciones, de acuerdo a parámetros y a patrones que se presentan, por ejemplo, a lo largo del

seguimiento de un año.

Otro tema que es central en el interés de esta rama es el aumento de capital de una empresa e implica justamente a cualquier tipo de incremento del capital social, ya sea inversión de dinero en la empresa, o la capitalización de reservas.

Aplicación

Cabe destacar, que las matemáticas financieras se hallan en estrecha vinculación con la contabilidad, ya que la información que toma para llevar a cabo sus evaluaciones es justamente aquella que ha sido asentada en los libros contables oportunamente.

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Su aplicación es eminentemente práctica.

Para comprender mejor el alcance de la misma será preciso echar luz también sobre el concepto de operaciones financieras, que resulta ser el reemplazo de uno

o más capitales por uno o más de uno que es equivalente en un diferente momento temporal, a partir de la implementación de una ley financiera.

CAMPOS DE APLICACION DE LA MATEMÁTICA FINANCIERA

La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Se relaciona multidisciplinariamente con:

CONTABILIDAD.

Suministra en momentos precisos o determinados, información razonada, en base a registros técnicos

Permitiéndonos tomar la decisión más acertada en el momento de realizar una inversión.

DERECHO

Ya que las leyes regulan las ventas, los instrumentos financieros y la forma en que se pueden adquirir:

-Contratos de compra venta -Hipotecas

-Préstamos a interés

ECONOMÍA

Brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un negocio o empresa, podrían obtener mayores beneficios económicos

CIENCIA POLÍTICA

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Auxiliando a esta disciplina en la toma de decisiones en cuento a inversiones, presupuestos, ajustes económicos y negociaciones que beneficien a toda la población

INFORMÁTICA

Permite optimizar procedimientos manuales relacionados con movimientos económicos, inversiones y negociaciones

SOCIOLOGÍA

Ya que proporciona a la sociología las herramientas necesarias para que las empresas produzcan más y mejores beneficios económicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad.

DERECHO CIVIL

Ya que a partir de la lógica matemática se trata de dilucidar y sistematizar conceptos filosóficos que se emplean en las relaciones personales o patrimoniales.

Para distinguir el razonamiento bueno, correcto, del malo, incorrecto

Marketing

Emplea la creación y estructura de un proceso en toma de decisiones. Donde se exploran las ventajas, y se demuestra mediante una validación la utilidad del marketing como soporte para este tipo de decisiones.

ADMINISTRACIÓN

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¿Cuál es la importancia de los fundamentos matemáticos?

 Las matemáticas financieras se utilizan en la vida diaria de las personas y empresas,

 Permiten comprender y manejar la relación entre el dinero y el tiempo.

 Se aplican principalmente en operaciones bancarias y bursátiles, así como en áreas económicas y financieras,

En todas ellas

 Cualquier transacción se hace en base a comparaciones de los intereses, los capitales, las tasas, los tiempos y todas las demás variables implicadas.

 Los fundamentos matemáticos como la regla del redondeo, el uso de los exponentes y logaritmos, son indispensables para realizar con éxito los cálculos necesarios en dichas comparaciones, permitiendo que el administrador financiero tome una decisión rápida y acertada

Redondeo ¿Cómo se aplica el redondeo y para qué?

Cuando se realizan operaciones con números en el área financiera, generalmente se obtienen números con decimales, algunos de ellos con gran cantidad y que no aportan información que sea relevante.

Para trabajar con la cantidad de decimales deseados se aplica el redondeo, que consiste en evaluar el decimal que ocupa el lugar siguiente al número de decimales con los que se quiere trabajar.

Ejemplo

Si el valor es mayor o igual a 5, se incrementa en una unidad el último dígito fijado, de lo contrario sólo se trunca la cifra. Por ejemplo, se desea redondear al tercer decimal las siguientes cantidades:

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MATEMATICAS FINANCIERA Tema No.1: Conceptos básicos. a) Concepto de Interés y rentabilidad b) El valor del dinero en el tiempo c) La equivalencia.

El principio básico de las Matemáticas Financieras: es el de la preferencia por la liquidez, según

el cual, a igualdad de cantidad de bienes, aquellos bienes más cercanos en el tiempo son preferidos a los disponibles en momentos más lejanos.

Esta preferencia por la liquidez tiene un precio o valor objetivo.

El precio de la preferencia por la liquidez se

establece en el mercado de la financiación (también llamado mercado del dinero) y se conoce como interés.

Concepto de Interés y rentabilidad. Concepto de interés

El interés se puede definir, por tanto, como el precio por el uso del dinero durante un período de tiempo.

También se puede decir que el interés es la retribución por el aplazamiento en el tiempo del consumo.

Interés como porcentaje % Tanto por ciento:

En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción que tiene el número 100 como denominador. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde por ciento significa “de cada cien unidades”.

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El porcentaje se denota utilizando el símbolo %, que matemáticamente equivale al factor 0,01 y que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación.

Por ejemplo, "treinta y dos por ciento" se representa mediante 32 % y significa 'treinta y dos de cada cien'. También puede ser representado como:

y, operando:

El 32 % de 2000, significa la parte proporcional a 32 unidades de cada 100 de esas 2000, es decir:

640 unidades en total.

Aplicaciones del tanto por ciento

El porcentaje o tanto por ciento (%), es una de las aplicaciones más usadas de las proporciones o razones.

El porcentaje es una forma de comparar cantidades, es una unidad de referencia que relaciona una magnitud (una cifra o cantidad) con el todo que le corresponde (el todo es siempre el 100). Considerando como unidad la centésima parte del todo.

Ejemplos:

1 centésimo =

5 centésimos =

50 centésimos =

Nota importante. No olvidar que las fracciones deben expresarse siempre lo más pequeñas posible, deben ser fracciones irreductibles.

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¿Qué significa 25 %?: Significa que de un total de 100 partes se han tomado 25, o sea ¼ (25/100 al simplificar por 5, se reduce a ¼).

Cálculo de Porcentaje

El Porcentaje o Tanto por ciento se calcula a partir de variables directamente proporcionales (significa que si una variable aumenta la otra también aumenta y viceversa).

En el cálculo intervienen cuatro componentes: Cantidad Total ---- 100 %

Cantidad Parcial ---- Porcentaje Parcial Ejemplo

(Cantidad total) $ 1.000 - equivale al - 100 % (porcentaje total) (Cantidad parcial) $ 500 - equivale al - 50 % (porcentaje parcial)

Existen tres situaciones o tipos de problemas que pueden plantearse. Éstos son : 1.- Dada una cantidad total, calcular el número que corresponde a ese porcentaje (%) parcial:

Ejemplo: ¿Cuál (cuanto) es el 20% de 80?

CantidadPorcentaje

Total 80 100

Parcial x 20

Para resolverlo, se hace:

Resolvemos la incógnita (x):

Haciendo la operación, queda:

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Respuesta: el 20 % de 80 es 16.

2.- Calcular el total, dada una cantidad que corresponde a un porcentaje de él . Ejemplo: Si el 20 % de una cierta cantidad total es 120 ¿Cuál es el total?

x 100

120 20

Resolvemos la incógnita (x):

Simplificando, queda:

Respuesta: 120 es el 20 % de un total de 600.

3.- Dado el total y una parte de él calcular qué % es esa parte del total. Ejemplo: ¿Qué porcentaje es 40 de 120?

120 100

40 x

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Simplificando y haciendo la división, queda:

Respuesta: 40 es el 33,33 % de 120.

El interés se mide como un porcentaje sobre el bien o dinero prestado, por ello es conocido como tipo de interés (o también como tanto de interés).

La compensación económica que supone el interés se exige principalmente por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital durante un tiempo.

Esta falta de disponibilidad del capital tiene un coste de oportunidad en la medida que el capital podría ser invertido en cualquier tipo de actividad que produjese un rendimiento durante ese tiempo en que está siendo prestado.

Rentabilidad.

La rentabilidad es una condición de aquello que es rentable: es decir, que genera renta (provecho, utilidad, ganancia o beneficio).

Ejemplo cual es la rentabilidad de un capital de $ 140.000 que se invirtió durante en 20 años y al final produjo $180.000

Rentabilidad es igual R % =VF/VA -1 *100

Osea R en % $180.000/$140.000 = 1.2857 – 1*100

R= 28.57%

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Otro ejemplo

Olga tiene un negocio de perfumes. Su distribuidor mayorista le vende los perfumes a 80 dólares y ella los vende a 120 dólares. ¿Qué rentabilidad obtiene Olga al vender un perfume?

Solución: El precio de venta es 120 dólares.

Apliquemos la fórmula:

R = ((120 -80)/120) * 100

R = (40/120) * 100

R = 0.3333 * 100

R = 33.33 %

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El dinero y la inflación

La inflación es la subida generalizada de los precios a lo largo del tiempo

Para que exista inflación el incremento de los precios tiene que ser generalizado, no basta con que suban los precios de algunos bienes y servicios, y además sostenido en el tiempo.

Fuente: Con salsa y picante, octubre 2010

El proceso contrario, esto es, la bajada generalizada y persistente de los precios, se denomina deflación.

La función básica del dinero es servir como medio de pago de los bienes y

servicios que consumimos habitualmente. En este sentido, se puede afirmar que el valor del dinero depende de la cantidad de bienes que se pueden adquirir con él, que a su vez está determinada por los precios de esos bienes. A esta clara relación entre el valor del dinero y los precios de los bienes y servicios se refiere el término poder adquisitivo, o poder de compra, del dinero.

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que con la misma cantidad se pueden comprar menos cosas, al ser éstas más caras. A mayor inflación, menor poder adquisitivo del dinero, y al contrario, si hay deflación el dinero vale más, tiene mayor poder de compra.

La inflación se mide mediante una tasa anual, en el caso de España por la

variación porcentual del IPC (Índice de Precios al Consumo), que elabora el INE. Según el grado de intensidad de la inflación se distinguen tres tipos:

 Inflación moderada: subidas leves de los precios, en torno al 2 o 3%.

 Inflación galopante: fuertes aumentos de precios, por encima del 10% anual.

 Hiperinflación: subidas de precios superiores al 100%. Implica una pérdida tan fuerte del valor del dinero que el sistema monetario puede quebrar. El descontrol de los precios provoca desconfianza entre los ciudadanos, que recurren al trueque o a refugiarse en monedas extranjeras.

Variables nominales y reales

Si existe inflación el dinero pierde poder adquisitivo, por lo que conviene distinguir entre variables nominales y reales:

 V. Nominales: no tienen en cuenta el efecto de la inflación.

 V. Reales: descuentan el efecto de la inflación, indicando el poder adquisitivo del dinero.

Esta distinción es válida para cualquier variable medida en dinero, en unidades monetarias, y se utiliza sobre todo a la hora de analizar las tasas de variación de dichas variables. Cuando hay inflación, el valor real es siempre inferior al valor nominal, ya que a éste se le "descuenta" la tasa de inflación, es decir, se deflacta.

Para calcular la tasa de variación real (VR) a partir de la tasa de variación

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Por ejemplo, supongamos una economía en la que en el año 2010 hubo una tasa de inflación del 4%. Los salarios de los trabajadores han aumentado en ese año un 3% en términos nominales. ¿Cuál ha sido la variación real de los salarios?

En este caso, al descontar el efecto de la inflación, observamos que realmente los salarios han disminuido un 1%, aunque nominalmente hayan crecido un 3%.

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El tipo de interés real es del 1,9%, frente al 6% del tipo nominal.

Equivalencia financiera

¿QUE ES LA EQUIVALENCIA FINANCIERA?

El principio de equivalencia financiera establece que dos sumas de dinero invertidas en fechas distintas, son equivalentes cuando, analizados en un mismo

momento o tiempo conservan la misma cuantía.

Si al ser valorados ambos capitales no cumplen la equivalencia o no son iguales,

una de las dos sumas de dinero tendrá preferencia sobre la otra y por lo tanto será

el elegido.

Teniendo en cuenta lo anterior ambos capitales son equivalentes cuando no hay

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La importancia de tener en cuenta el tiempo en una equivalencia financiera es que

el dinero no vale lo mismo en momentos diferentes del tiempo, lo que lleva a analizar

su valor partiendo de los conceptos que se plantearan a continuación.

¿CÓMO SE APLICA LA EQUIVALENCIA FINANCIERA EN LA VIDA COTIDIANA?

Conocer el concepto de equivalencia financiera permite resolver situaciones y operaciones financieras donde hay un intercambio de capitales financieros entre dos personas o entre una persona y una entidad financiera donde queda pactado la

cantidad de dinero que se intercambiaran entre ambas partes y las fechas en que

se producirá el intercambio de estas cantidades.

La equivalencia financiera permite analizar, por ejemplo:

1. Si se prefiere recibir $ 500.000 hoy si se tiene la posibilidad de invertirlos al

4% mensual durante seis meses o mejor recibir dentro de 6 meses $

600.000.

2. Analizar si es lo mismo disponer de $ 100 a fecha de hoy que dentro de un

año.

En el entorno económico actual, en casi todas las operaciones financieras se

prefiere más el dinero hoy que el dinero mañana, esto debido al valor temporal del

dinero ya que no es lo mismo disponer de $ 100 a fecha de hoy que dentro de un

año.

Precisamente este es el origen del tipo de interés que no es más que el costo o el

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poder calcular equivalencias entre uno o varios capitales financieros se hace

necesario acudir a los regímenes financieros que permitirán calcular el precio y la

equivalencia entre capitales para la toma de decisiones.

Interés = C x i x T Interés =500000*0.04*6 Interés = 120.000

EQUIVALENCIA DE CAPITALES

Un modelo matemático representativo de estas ideas, consiste en la siguiente ecuación:

VF = VA + compensación por aplazar consumo

Donde:

VF = Suma futura poseída al final de n períodos, Valor Futuro. VA = Suma de dinero colocado en el período 0, Valor Actual.

El valor actual (VA) es equivalente a una mayor cantidad en fecha futura (VF), siempre y cuando la tasa de interés sea mayor a cero.

Por ejemplo, al cabo de un año $ 100 invertido al 9% anual, es $ 109. Entonces decimos: el valor futuro de $ 100 dentro de un año, al 9% anual, es $ 109. En otras palabras: el valor actual de $ 109 dentro de un año, al 9% anual, es $ 100.

Es decir $ 100 es equivalente a $ 109 dentro de un año a partir de hoy cuando la tasa de interés es el 9% anual. Para una tasa de interés diferente al 9%, $ 100 hoy no es equivalente a $ 109 dentro de un año.

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anteriores:

$ 100 hoy es equivalente a $ 100/1.09 = $ 91.74, hace un año (anterior) $ 100 hoy y $ 109 dentro de un año (posterior)

Estas tres sumas de dinero son equivalentes entre sí al 9% de capitalización o descuento diferenciada por un año.

Las fórmulas financieras que permiten calcular el equivalente de capital en un momento posterior, son de Capitalización Simple o Compuesta, mientras aquéllas que permiten calcular el equivalente de capital en un momento anterior las

conocemos como fórmulas de Descuento Simple o Compuesto. Estas fórmulas permiten también sumar o restar capitales en distintos momentos.

EJEMPLO 1 DE EQUIVALENCIA FINANCIERA.

Suponga que un banco le otorga un préstamo de $ 200 hoy y usted acuerda con

esta entidad pagarlos en un tiempo futuro, por ejemplo 30 días. Aquí la devolución

de este dinero se pacta para una fecha posterior a 30 días. Este lapso de tiempo es

lo que da origen a una operación financiera, donde habrá que pagar algo más por

el dinero prestado (tasa de interés). De esta manera se producen dos operaciones

simultáneas:

1. Préstamo del dinero, el cual se debe devolver bajo las mismas condiciones

a cuando fue otorgado.

2. Precio del dinero a devolver por el plazo acordado: Tipo de Interés

Para que esta operación sea financieramente equivalente deben cumplirse las siguientes condiciones:

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2. Que a la operación se le aplique una determinada ley financiera (Interés simple, interés compuesto)

3. Que la prestación y la contra prestación sean equivalentes financieramente.

Es decir que al banco le sea indiferente los $ 200 a hoy que los mismos $

200 más el interés a recibir dentro de 30 días.

En el ejemplo anterior existe una equivalencia financiera debido a que los $ 200 más los intereses que esta entidad recibirá en 30 días traídos a valor presente o

fecha de hoy son equivalentes.

La equivalencia permite analizar el valor del dinero en el tiempo y este análisis se realiza con los tipos de interés que es el costo o el alquiler que se paga por este

dinero en el tiempo. Dicho de otra manera, los tipos de interés pueden considerarse

como el alquiler del dinero, tanto si se presta como si se pide.

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Tema Nº 2: Clases de interés y fórmulas básicas. a) Interés Simple

b) Interés Compuesto

c) Acumulación de un monto inicial d) Valor presente de un monto futuro.

El interés y el dinero

El concepto de interés tiene que ver con el precio del dinero. Si alguien pide un préstamo debe pagar un cierto interés por ese dinero. Y si alguien deposita dinero en un banco, el banco debe pagar un cierto interés por ese dinero.

Componentes del préstamo o depósito a interés

En un negocio de préstamo o depósito a interés aparecen:

El capital, que es el monto de dinero inicial, prestado o depositado.

La tasa, que es la cantidad de dinero que se paga o se cobra por cada 100 en concepto de interés; también llamada tanto por ciento.

El tiempo, durante el cual el dinero se encuentra prestado o depositado y genera intereses.

El interés, que es la cantidad de dinero cobrado o pagado por el uso del capital durante todo el tiempo.

El interés, como precio por el uso del dinero, se puede presentar como interés simple o como interés compuesto.

El interés simple

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En relación a un préstamo o un depósito mantenido durante un plazo a una misma tasa de interés simple, los cálculos de cualquier de esos elementos se realizan mediante una regla de tres simples. Es decir, si conocemos tres de estos cuatro elementos podemos calcular el cuarto:

El interés (I) que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial (C), al tiempo (t), y a la tasa de interés (i):

Esto se presenta bajo la fórmula:

FORMULA I = C · i · t

Donde i está expresado en tanto por uno y t está expresado en años, meses o días.

Tanto por uno es lo mismo que .

Entonces, la fórmula para el cálculo del interés simple queda:

si la tasa anual se aplica por años.

si la tasa anual se aplica por meses

si la tasa anual se aplica por días

Recordemos que cuando se habla de una tasa de 6 por ciento (o cualquier porcentaje), sin más datos, se subentiende que es anual.

Ahora, si la tasa o porcentaje se expresa por mes o por días, t debe expresarse en la misma unidad de tiempo.

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Ejercicio Nº 1

Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25.000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.

Resolución:

Aplicamos la fórmula

Pues la tasa se aplica por años. Que es igual a I = C • i • t

En la cual se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06

I = C • i • t I = 25.000 • 0,06 • 4 = 6.000

Respuesta

A una tasa de interés simple de 6% anual, al cabo de 4 años los $ 25.000 han ganado $ 6.000 en intereses.

Ejercicio Nº 2

Calcular el interés simple producido por 30.000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %.

Resolución:

pues la tasa se aplica por días.

Que es igual a I = C • i • t

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Respuesta

El interés simple producido al cabo de 90 días es de 369,86 pesos

Ejercicio Nº 3

Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, 970 pesos. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año?

Resolución:

Pues la tasa se aplica por años.

En la cual se ha de expresar el 2 % en tanto por uno, y se obtiene 0,02

Nótese que aquí conocemos el interés y desconocemos el capital.

Reemplazamos los valores:

Despejamos C:

Respuesta

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Ejercicio Nº 4

Por un préstamo de 20.000 pesos se paga al cabo de un año 22.400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?

Resolución:

Como conocemos el capital inicial y el capital final (sumados los intereses) podemos calcular el monto de los intereses, haciendo la resta.

22.400 − 20.000 = 2.400 pesos son los intereses cobrados

pues la tasa se aplica por años.

Despejamos i:

Recordemos que i es la tasa expresada en tanto por uno , por lo cual debemos multiplicar por cien para obtener la tasa en tanto por ciento:

0,12 • 100 = 12

Respuesta

La tasa de interés anual es del 12 %.

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Un capital de 300.000 pesos invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 12.000 pesos. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido?

Resolución:

Se subentiende que la tasa es 8 % anual, pero no sabemos el tiempo durante el cual ha estado invertido el capital.

Podemos usar la fórmula

suponiendo que la tasa (anual) se ha aplicado por año:

Reemplazamos los valores:

Calculamos t

Respuesta

El tiempo durante el cual el capital ha estado invertido es de 0,5 año (medio año); es decir, 6 meses.

También pudimos calcular pensando en que la tasa anual de 8 % se aplicó durante algunos meses:

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Calculamos

Ahora despejamos t

Respuesta

El tiempo durante el cual el capital ha estado invertido es 6 meses.

Matemática financiera

MONTO SIMPLE

Definición: el monto simple es el valor final resultado de adicionar el interés generado de la operación al capital primario.

Formula del monto Simple

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Ejemplo de cálculo del monto simple

1. Determine el monto de un capital de $800,000 resultado de invertirlo a un 10% anual durante 2 años a interés simple.

2- ¿Qué capital una persona debe invertir si desea disponer dentro de dos años de $250,000.00 Si le pagan 9% de interés anual?

3- ¿Determinar cuál fue el tipo de interés aplicado a un préstamo que fue saldado con un pago de $90,000 al término de 9 meses. Si el préstamo fue de RD$75,000.

4- Un capital de $100,000 invertido a interés simple de 12% anual asciende a RD$150,000 ¿determine cuál fue el tiempo que estuvo invertido?.

Solución1.

2.

(33)

3.

4.

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS PARA QUE EL ALUMNO LOS RESUELVA

Ejercicios resueltos sobre interés simple

Vamos a resolver algunos ejercicios sobre interés simple para que te quede más claro todo lo que acabo de explicar:

Ejercicio 1

¿Cuál es el interés simple generado en un plazo fijo, por un capital de 10000 €, al 4% trimestral durante 2 años?

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Ejercicio 2

Hace 4 años de pidió un préstamo de 7000 € y la cantidad pagada al terminar el periodo del préstamo han sido 9500 €. ¿Qué tipo de interés se le aplicó?

R/ 8.92%

Ejercicio 3

Después de 3 años, un banco ha pagado en concepto de interés la cantidad de 840 € a una persona por depositar un plazo fijo. La tasa de interés ha sido del 2% anual. ¿Cuál fue el capital inicial con el que se hizo el depósito?

R/ $ 14.000

Ejercicio 4

Encuentre el interés simple sobre $ 1.250 para 2 años al 5%.

R/ Interes $ 125

Ejercicio 5

Si $ 1.250 se acumula a $ 1.362,50 en 2 años a la tasa de interés simple. ¿Cuál es la tasa?

R/ 4.5%

Ejercicio 6

¿En cuanto tiempo $ 500 se acumularán a $ 525 al 4% de interés simple?

R/ n= n = 1.25

O 1 ¼ de años, o 1 año y 3 meses

Ejercicio 7

4. Encuentre el interés simple sobre $ 285 para 1 1/2 años al 4 3/4 %.

O sea al 4.75%

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5. Encuentre el interés simple cobre $ 530 para 4 meses al 4 ½ $

R/ I=7.95

Otros ejercicios

Calcular el interés simple comercial de: 1. $2.500 durante 8 meses al 8%. 2. $60.000 durante 63 días al 9%. 3. $12.000 durante 3 meses al 8½ %.

4. $15.000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre. Del mismo 5 Un capital de 5.000 $ se colocan en un banco al 4% mensual durante 8 bimestres. Indicar el valor del interés y del monto final ganado.

Ejercicios de monto soluciona r

1.Calcular el monto de un capital de $ 150,000, con una tasa de interés de 25% simple anual en un tiempo de 9 meses.

R/ El monto sería de $178,125

2.¿Cuál será el monto producido por un Capital de $40,000 en un año y 7 meses y 21 días al 24%?

R/ El monto será de $55,760

3. Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagará tiene como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda al plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del

vencimiento?

Solución

Organizamos

(36)

Se nos pregunta ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del vencimiento?, para resolver el problema debemos a)saber cuanto pagaría la persona a los 90 días b) descubrir cuanto pagaría 70 días después de la fecha de vencimiento.

Remplazamos

Parte a: C= $14,000

n= 3 meses (lo convertimos a años. 1 año=12 meses)r=8% tasa de interés (convertido a decimales nos quedaría 0.08

Ma = C(1+nr)

Ma= 14,000 [1+ (3/12) (0.08) ]

Ma= $114,280

Parte b:

P= $14,280 (porque a lo que debíamos pagar debemos sumarle los 70 días) n= 70 días (lo convertimos a años. 1 año=365 días)

r= 10% tasa de interés (convertido a decimales nos quedaría 0.10)

Mb = P (1+nr)

Mb =14,280 [1+ (70/365) (0.10) ]

Mb = $14,553.86

(37)

El interés compuesto

El interés compuesto representa el costo del dinero , beneficio o utilidad de un capital inicial

(C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t) , en el cual los intereses que se

obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al

capital inicial; es decir, se capitalizan , produciendo un capital final (C f ) .

Para un período determinado sería

Capital final (C f ) = capital inicial (C) más los intereses.

Veamos si podemos generalizarlo con un ejemplo:

Hagamos cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual).

Año Depósito

inicial Interés Saldo final

0 (inicio) $1.000.000 ($1.000.000 x 10% = ) $100.000 $1.100.000

1 $1.100.000 ($1.100.000 × 10% = ) $110.000 $1.210.000

2 $1.210.000 ($1.210.000× 10% = ) $121.000 $1.331.000

3 $1.331.000 ($1.331.000 × 10% = ) $133.100 $1.464.100

4 $1.464.100 ($1.464.100 × 10% = ) $146.410 $1.610.510

5 $1.610.510

Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta llegar al monto final.

Resulta simple, pero hay muchos cálculos; para evitarlos usaremos una fórmula de tipo general:

En inversiones a interés compuesto, el capital final (C f ) , que se obtiene a partir de un capital

inicial (C) , a una tasa de interés (i) , en un tiempo (t) , está dado por la fórmula:

Recordemos que i se expresa en forma decimal ya que corresponde a .

Y donde t corresponde al número de años durante los cuales se mantiene el depósito o se paga

una deuda.

Como corolario a esta fórmula:

A partir de ella, puesto que el interés compuesto final (I) es la diferencia entre el capital final y el

(38)

Sacamos factor común C:

También podemos calcular la tasa de interés despejando en la fórmula de C f :

En los problemas de interés compuesto i y t deben expresarse en la misma unidad de tiempo

efectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentes períodos de tiempo.

Periodos de interés compuesto

El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser semestral, trimestral, al mes, al día,

etc. ¡Pero si no es anual debería informarse!

Así, si la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de interés anual

durante t años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión son semestres, trimestres,

días, etc., solo hay que convertir éstos a años.

Por ejemplo, si i se expresa en tasa anual y su aplicación como interés compuesto se valida en

forma mensual, en ese caso i debe dividirse por 12

. En seguida, la potencia t (el número de

años) debe multiplicarse por 12 para mantener la unidad mensual de tiempo (12 meses por el número de años).

Si los periodos de conversión son semestrales, i se divide por 2 ya que el año tiene dos semestres

(lo cual significa que los años los hemos convertido a semestres), por lo mismo, luego habrá que

multiplicar la potencia t (el número de años) por 2 (el número de semestres de un año):

Suponiendo una tasa anual de 10%, hacemos del siguiente modo:

(39)

Si los periodos de conversión son trimestrales, i se divide por 4 ya que el año tiene 4 trimestres (lo cual significa que los años los hemos convertido a trimestres) por lo mismo, luego habrá que

multiplicar la potencia t (el número de años) por 4 (el número de trimestres que hay en un año).

Del siguiente modo:

será igual a

En general, en todos los casos donde haya que convertir a semestres, trimestres, meses, o días

se multiplica por n semestres, trimestres, meses o días el 100 de la fórmula que es igual

a . La potencia t (en número de años) se debe multiplicar por el mismo

valor de n , en cada caso, así, suponiendo una tasa anual de 10%:

será igual a

El interés compuesto: Ejercicios de práctica.

Ejercicio Nº 1

Averiguar en qué se convierte un capital de 1.200.000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.

Resolución:

Aplicando la fórmula

Reemplazamos con los valores conocidos:

En tasa de interés compuesto

(40)

Tiempo en años (t) = 5

Respuesta:

El capital final es de 1.763.194 pesos.

Ejercicio Nº 2

Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10 % se ha convertido en 1.583.945 pesos. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente.

Resolución:

Capital final (Cf) = 1.583.945

En tasa de interés compuesto

Despejando C:

Respuesta:

Redondeando la cifra resultante, el capital inicial fue de 800.000 pesos.

Ejercicio Nº 3

Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de 1.500.000 pesos para que al cabo de 4 años se haya convertido en 2.360.279 pesos.

Resolución:

(41)

Capital inicial (C ) = 1.500.000

Despejamos (1 + i) 4

Redondeamos a 0,12 y multiplicamos por 100 (recuerda que i siempre se expresa

como

0,12 • 100 = 12 %

Respuesta:

La tasa de interés compuesto anual ha sido de 12 %.

Ejercicio Nº 4

Digamos que pretendemos tener $2.000.000 dentro de 5 años. Si el banco paga una tasa de 10% anual ¿cuánto necesitamos como capital inicial?

Tasa de interés compuesto

(42)

Respuesta:

Un capital inicial de $ 1.241.842,64 crecerá hasta $ 2.000.000 si lo invertimos al 10% durante 5 años.

Otro ejemplo

En general, si conocemos el capital final o valor futuro y queremos conocer el capital inicial o

valor presente: Como sabemos que si multiplicamos un valor presente ( C ) por (1 + i) t _{nos da}

el valor futuro o capital final(Cf) , podemos dividir directamente el capital final (Cf) por la tasa

de interés compuesta (1 + i) t _{para obtener el valor presente o actual.}

Veamos un caso:

¿Cuánto hay que invertir ahora para tener $10.000.000 dentro de 10 años al 8% de interés?

A partir de la fórmula

Reemplazamos por los valores conocidos

(43)