CADENAS DE MARKOV parte 2

CADENAS DE MARKOV

2 3 4

4 3 2

0 1 0

CONOCIMIENTO PREVIO: MATRIZ

INVERSA

2 3 4 1 0 0

4 3 2 0 1 0

0 1 0 0 0 1

OPERACIONES ENTRE FILAS:

1.MULTIPLICAR O DIVIDIR UNA FILA POR UN NÚMERO 2. SUMAR O RESTAR UNA FILA CON OTRA

2 3 4 1 0 0

0 1 0 0 0 1

4 3 2 0 1 0

POR COMODIDAD

2

1 -2

1

1 -2

-1 0

1

APLICACIÓN

EN CLASE:

MATRIZ

INVERSA

2

1

-2 1

0

0

1

1

-2 0

1

0

-1

0

1 0

0

1

PASO 1

F1/2

1 0,5 -1 0,5 0 0

F2-F1

0 0,5 -1 -0,5 1 0

F3+F1

0 0,5 0 0,5 0 1

PASO 2

PASO 4

PASO 3

F1-(F2*0,5)

1

0

0 1 -1 0

F2*2

0

1 -2 -1 2

0

F3-F2

0

0

1 1 -1 1

1

0

0

1

-1

0

F2+(2*F3)

0

1

0

1

0

2

2

1

-2

1 -1 0

1 0 0

1

1

-2

*

1 0 2

=

0 1 0

-1 0

1

1 -1 1

0 0 1

MATRIZ ORIGINAL MATRIZ INVERSA MATRIZ IDENTIDAD

Tiempos del primer paso/recurrencia

(Corto plazo)

Con los conceptos enunciados hasta el momento podemos calcular la probabilidad, dado que el proceso se encuentra en el estado i, de encontrarse en el estado j después de n periodos P_ij(n)_.

TIEMPOS DE PRIMERA PASADA (t

)

CLASIFICACIÓN DE LOS ESTADOS EN LAS

CADENAS DE MARKOV

Un estado i está comunicado con un estado j si existe una

ruta que lleva de i a j

Estado Recurrente

Un estado i es recurrente si

f

= 1

Es decir, siempre que parta del estado i, podré regresar a él (en un tiempo finito)

Estado Transitorio (no recurrente)

Se dice que el estado i es transitorio si

f

< 1

Es decir, hay manera de abandonar el estado i, de tal modo que nunca regrese a él.

Estado Absorbente:

ESTADO ABSORBENTE

Es un estado de una cadena de Markov tal que cuando el proceso llega a él, ya no puede pasar a otro estado

Un estado es

absorbente si la

probabilidad de que el proceso siga en él es igual a 1

En la siguiente matriz de transición, note que el estado 2 es absorbente, pero el estado 0 NO.

0

1

2

3

0

0

1

0

0

1

0,1 0,5 0,25 0,15

2

0

0

1

0

3

0,2 0,1 0,4 0,3

Estado n+1

P

22

= 1

APLICACIÓN

Los sistemas de cuentas por cobrar establecen los siguientes criterios: Estado 1: Pagado (todas las facturas)

Estado 2: Deudas incobrables, vencidas más de tres meses Estado 3: Vencido, menos de 1 mes

Estado 4: Vencido entre 1 y tres meses

La matriz de probabilidades de transición es la siguiente:

Interpretar los valores de la

P =

1 0 0 0

0 1 0 0

0,6 0 0,2 0,2

0,4 0,1 0,3 0,2

Si se determina el número de personas incluidas en cada una de los cuatro estados, se puede calcular la fracción de ellas que se encontrarán en los cuatro estados en cualquier periodo futuro.

Estas fracciones conforman un vector de probabilidades de estado y se multiplica por la matriz de transición.

¿Cuántas personas (dinero) se encontrarán en cada una de estas categorías?

Para determinarlo se requiere del uso de la MATRIZ FUNDAMENTAL. El proceso requiere dividir la matriz de Transición P, así:

I (Identidad) O (Ceros)

P =

1

0

0

0

0

1

0

0

0,6

0

0,2

0,2

0,4

0,1

0,3

0,2

A B

I: Matriz Identidad

O: Matriz de ceros

MATRIZ DE

TRANSICIÓN

MATRIZ FUNDAMENTAL

-1

1 0

- 0,2 0,2

0 1 0,3 0,2

-1

Inversa de una Matriz de 2 x 2

a b

= d/r -b/r

c d _{-c/r a/r}

Donde: r = ad - cb

-1

F

0,8 -0,2

-0,3 0,8

(I - B): Restar la matriz B de la matriz I -1 : Tomar la inversa de la matriz

resultante de la diferencia de (I – B)

I (Identidad) O (Ceros)

P =

1

0

0

0

0

1

0

0

0,6

0

0,2 0,2

0,4

0,1

0,3 0,2

-1

Inversa de una Matriz a b = d/r -b/r = 1,38 0,34

c d _{-c/r a/r} 0,52 1,38

r = ad - bc

MATRIZ FUNDAMENTAL :

Multiplicar la matriz fundamental por la matriz A

F*A =

0,52 1,38 _{0,4 0,1 0,86 0,14}

Esta matriz indica la probabilidad de que una cantidad en alguno de los estados NO absorbentes termine en alguno de los estados

Absorbentes (pagado o incobrable).

La fila 1 indica las probabilidades de que una cantidad que se encuentra en una categoría de menos de un mes termine en las categorías de pagado o de deuda incobrable. Así, 0.97 : probabilidad de que una cantidad cuyo vencimiento es menor a un mes, se pague y 0.03: probabilidad de que una cantidad cuyo vencimiento es menor a un mes termine como deuda incobrable

INTERPRETAR FILA 2

ANÁLISIS

Si se conoce la cantidad de la categoría menor a un mes y la cantidad en la categoría de “entre uno y tres meses”, se puede calcular la cantidad de dinero que se pagará y la cantidad de dinero que se convertirá en incobrable.

Sea la matriz M la cantidad de dinero que se encuentra en cada uno de los estados NO absorbentes de la siguiente forma:

M = (M1, M2, M3, …, Mn)

N: Número de estados NO absorbentes M1: Cantidad en el primer estado

M2: Cantidad en el segundo estado M3: cantidad en el tercer estado Mn: cantidad en el estado n

EJEMPLO: Existen $2000 en estado de “menos de un mes” y $5000 en el estado de “entre uno y tres meses” 

M = (2000,5000)

(M)*(FA) = 2000 5000 * 0,97 0,03 =

6240 760

Del total de $7000 ($2000+$5000), $6240 serán pagados y $760 pasarán a deudas incobrables

APLICACIÓN: GESTIÓN HUMANA

Daniel, director de Gestión Humana sabe que los cambios de personal pueden ser modelados matemáticamente como cadenas de Markov. Revisando los registros dela empresa pudo establecer la matriz de transición más cercana a la realidad de su sección.

2013 2014 Igual Cargo Promoción Retiro Despido

Igual Cargo

0,5

0,15

0,25

0,1

Promoción

0,6

0,3

0,1

0

Retiro

0

0

1

0

1. ESTANDARIZACIÓN DE LA

MATRIZ

Matriz Identidad Matriz Ceros 2013 2014 Retiro Despido Igual Cargo Promoción

Retiro _{1 0 0 0}

Despido 0 1 0 0

Igual Cargo _{0,25 0,1 0,5 0,15}

Promoción _{0,1 0 0,6 0,3}

Matriz A Matriz B

1 0 0 1 0,5 0,15 0,6 0,3

-[

[

=

-1

2. CÁLCULO DE LA MATRIZ

FUNDAMENTAL

=

[

[

-1

2013

2014

Igual

Cargo Promoción Retiro Despido

Igual Cargo 0,5 0,15 0,25 0,1

Promoción 0,6 0,3 0,1 0

Retiro 0 0 1 0

Despido 0 0 0 1

Organizar la matriz para ubicar la MATRIZ IDENTIDAD

en el extremo superior izquierdo y

la MATRIZ CERO en el extremo superior

3. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA

-1

Inversa de una Matriz

a= 0,5 b= -0.15

= 0.7/0.26 -(-0.15)/0.26 = 2,6923 0,5769 c= -0.6 d= 0.7 _{-(-0.6)/0.26 0.5/0.26} 2,3077 1,9321

r = ad – bc = (0,5)(0,7) – (-0,15)(-0,6) = 0.26

4. CÁLCULO DE LA MATRIZ F*A

F*A =

2,692 0,5769

*

0,25 0,1

=

0,7307

0,2692

2,308 1,9321

0,1

0

_0,7701

_0,2318

[

-0,6 0,7

[

-1

d/r -b/r -c/r a/r

¿Cuál es la probabilidad de que un empleado que

sea promovido:

a)Se Retire?

b) Sea Despedido?

5. ANÁLISIS DE RESULTADOS

0,7307

0,2692

0,7701

0,2318

RETIRO DESPIDO

IGUAL CARGO

PROMOCIÓN 0.7701

(77.01%)

0.2318 (23.18%)

¿Cuál es la probabilidad de que un empleado que esté en el mismo cargo:

a)Se Retire?

b) Sea Despedido?

0.7307 (73.07%)

PRACTICA: NIVELACION SEGUNDA LENGUA

La oficina de humanidades de la facultad de ingeniería es la encargada de aplicar las pruebas de nivelación de una segunda lengua para exonerar al aspirante y permitirle utilizar estos créditos en otras asignaturas. Los resultados de las pruebas pueden clasificarse en uno de los siguientes estados:

1.Aprobación de todas las pruebas y exoneración de los cursos de idiomas

2.No pasa las pruebas en el tercer intento y requiere tomar los cursos de idiomas

3.No pasa las pruebas en el primer intento

4.No pasa las pruebas en el segundo intento.

El coordinador de la ofician ha establecido la siguiente matriz de transición

1 2 3 4

1 1 0 0 0

2 0 1 0 0

3 0,8 0 0,1 0,1

4 0,2 0,2 0,4 0,2

Actualmente hay 400 estudiantes que NO APROBARON todos los exámenes en el primer intento. Además, 100 NO PASARON en el segundo intento. En el largo plazo,

a.¿Cuántos estudiantes estarán EXCENTOS del curso debido a que pasaron los exámenes?.

¿Cuántos

estudiantes

deberán tomar el

curso y cuántos

serán exonerados?

1 2 3 4

1 1 0 0 0

2 0 1 0 0

3 0,8 0 0,1 0,1

4 0,2 0,2 0,4 0,2

I O

A _B

METODOLOGIA:

1.PARTICIONAR la matriz de transición

2.Hallar la MATRIZ FUNDAMENTAL (F)

3.Calcular (F) * (A)

4.Calcular (M)* (FA) -1

Inversa de una Matriz

a b

= d/r -b/r

c d -c/r a/r

Cadenas de Markov irreducibles

Cadena de Markov irreducible, es aquella en la que todos los estados están comunicados entre sí. Esto ocurre cuando Pk _tiene todas sus entradas positivas para algún k natural

Dada la siguiente cadena de Markov con matriz de transición

a b c d



























1

0

0

0

0

1

,

0

5

,

0

4

,

0

1

,

0

9

,

0

0

0

0

0

8

,

0

2

,

0

P

ABSORBENTE (pii = 1) y RECURRENTE (fii = 1)

a, b y c (fii < 1)