Documento examen UD 8 y 9, "Dinámica", 14/5/2019 FyQ1º

Soluciones_1º CB__14/5/2019

Departamento de Física y Química

1.-

Estamos observando a dos patinadoras sobre hielo de 62 kg y 70 kg que se están moviendo en la misma dirección con velocidades de 26 m·s-1 _{y 12 m·s}-1_{, respectivamente. Determina la velocidad final de ambas si quedan abrazadas después del}

choque: (CE 8.4)

a) si chocan frontalmente; (0,7 puntos)

b) si la patinadora con mayor velocidad alcanza a la otra; (0,7 puntos)

c) Halla el impulso lineal que habrá recibido la primera de las patinadoras en el encuentro del apartado a). (0,6 puntos) a) Estrategia de resolución. Para determinar la velocidad final solicitada

deberíamos seguir los pasos habituales para resolver los problema de dinámica: 1º hacemos un dibujo: en este caso las dos patinadoras antes y después del encuentro (derecha);

2º hacemos un diagrama de fuerzas (derecha)

3º elegimos un sistema de referencia, por ejemplo, el eje Y es positivo hacia arriba y el eje X es positivo hacia la derecha; descomponemos las fuerzas que no estén dirigidas en el sistema elegido: no hay ninguna.

4º convertimos las unidades al S. I.: todas las magnitudes están expresadas en el SI.

5º aplicamos el segundo principio de la dinámica a las patinadoras, fijándonos en este caso en la cantidad de movimiento o momento lineal en vez de en la aceleración, y en la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre los dos cuerpos considerándolos como un sistema o conjunto:

∑ F⃗ =dp⃗

dt ⇒ ∑ F⃗ sistema=

dp⃗ sistema dt

Como la resultante de las fuerzas que actúan sobre el conjunto es nula, podemos afirmar que la cantidad de movimiento del sistema permanece constante, siendo la misma antes y después del encuentro:

∑ F⃗ sistema= 0⃗ ⇒

dp⃗ sistema

dt = 0⃗ ⇒ p⃗ sistema= constante⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ p⃗ antes= p⃗ después

De este modo podemos calcular la velocidad del conjunto tras el encuentro:

p

⃗ _antes= p⃗ _después⇒ p⃗ _1antes+ p⃗ _2antes = p⃗ _{conjuntodespués}

Como el movimiento se produce en el eje X podemos quitar el carácter vectorial del momento lineal:

m1· v1+ m2· v2= (m1+ m2) · v

Donde m1 = 62 kg, v1 = 26 m·s-1, m2 = 70 kg, v2 = – 12 m·s-1 (encuentro frontal) y v es la velocidad del conjunto, las dos

patinadoras abrazadas:

m₁· v₁+ m₂· v₂= (m₁+ m₂) · v

v =m1· v1+ m2· v2

m₁+ m₂ =

62 kg · 26 m · s−1_{+ 70 kg · −12 m · s}−1

62 kg + 70 kg = 5,85 m · s−1

Por tanto, el conjunto se moverá a una velocidad de 𝟓, 𝟖𝟓 𝐦 · 𝐬−𝟏 _{en el mismo sentido que la primera patinadora.}

b) Estrategia de resolución. Este apartado se resuelve igual que el anterior con la única diferencia que una de las patinadoras alcanza a la otra, es decir, que se mueven en el mismo sentido: v2 = 12 m·s-1.

Así:

p

⃗ _antes= p⃗ _después⇒ p⃗ _1antes+ p⃗ _2antes= p⃗ _{conjuntodespués}

m₁· v₁+ m₂· v₂= (m₁+ m₂) · v

v =m1· v1+ m2· v2

m₁+ m₂ =

62 kg · 26 m · s−1_{+ 70 kg · 12 m · s}−1

62 kg + 70 kg = 18,6 m · s

−1

Por tanto, el conjunto se moverá a una velocidad de 𝟏𝟖, 𝟔 𝐦 · 𝐬−𝟏 _{en el mismo sentido de las dos patinadoras.}

c) Estrategia de resolución. Para hallar el impulso lineal solicitado, I , lo relacionaremos con la variación de la cantidad de movimiento o del momento lineal, Δp⃗ :

I = Δp⃗

P1

⃗⃗⃗ P⃗⃗⃗ 2

N₂ ⃗⃗⃗⃗ N₁

⃗⃗⃗⃗

F21 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ F12

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

P1

⃗⃗⃗ P⃗⃗⃗ 2

N₂ ⃗⃗⃗⃗ N₁

⃗⃗⃗⃗

F₂₁ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ F12

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Departamento de Física y Química No es necesario el carácter vectorial puesto que el movimiento se desarrolla en una única dirección:

I = Δp = pdespués− pantes

I = Δp1= p1después− p1antes

I = m1· v1después− m1· v1antes = m1· (v1después− v1antes) = 62 kg · (5,85 m · s−1− 26 m · s−1) = −1249 N · s

Así, el impulso lineal que notará la primera patinadora es −𝟏𝟐𝟒𝟗 𝐍 · 𝐬, es decir, en sentido contrario a su movimiento inicial (observar que su velocidad ha disminuido).

2.-

a)Calcula la distancia que recorren a los 2 segundos los objetos de la figura de la derecha si parten del reposo, así como la tensión de la cuerda si m = 12 kg y m’ = 8 kg. (1,25 puntos)

b) Determina la masa m1 que habría que añadir al objeto m’ para que el sistema se mueva con una aceleración de 5 m·s-2.

(Considera despreciables las masas de la polea y de la cuerda). (0,75 puntos) (CE 8.1 – 8.2)

a) Estrategia de resolución. Debemos seguir los pasos habituales para resolver este tipo de problemas: 1º hacemos un dibujo (derecha): ya venía hecho en el enunciado del problema;

2º hacemos un diagrama de fuerzas (derecha);

3º elegimos un sistema de referencia, teniendo en cuenta que el sistema se moverá una masa hacia arriba, m’, y la otra hacia abajo, m, el eje Y es positivo hacia arriba para m’ y hacia abajo para m; 4º convertimos las unidades al S. I.: ya lo están.

5º aplicamos el segundo principio de la dinámica, ∑ F⃗ = m · a⃗ , a cada uno de los dos cuerpos: • Cuerpo m’): escribimos la expresión vectorial (no es necesario), para después escribir las componentes correspondientes al sistema de referencia elegido 

T′

⃗⃗⃗ + P_{⃗⃗⃗ = m}′ ′_{· a}⃗⃗⃗ ′

T′ − P′ = m′ · a′

• Cuerpo m): escribimos la expresión vectorial (no es necesario), para después escribir las componentes correspondientes al sistema de referencia elegido 

T

⃗⃗ + P⃗⃗ = m · a⃗

P − T = m · a

• Debemos tener en cuenta que, según el sistema de referencia elegido:

T′ = T a′ = a P′ = m′ · g

P = m · g

Si sumamos las dos expresiones podemos hallar la aceleración y la tensión:

T − P′_{= m}′_{· a}

P − T = m · a} ⇒ P − P

′_{= m}′_{· a + m · a}

m · g − m′ · g = (m₁+ m₂) · a

a =m · g − m′ · g

m + m′ =

m − m′

m + m′· g = 2 m · s

−2

A partir de la aceleración, que es constante, es decir, que los dos cuerpos siguen un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, podemos determinar la distancia que recorren a los dos segundos, s, que en este caso coincidirá con el desplazamiento, x:

distancia = s = ∆y = v_o· t +1

2 a · t 2

Hay que tener en cuenta que v_o = 0, t_o= 0, t = 2 s y a = 2 m · s−2_:

distancia = s = Δy = 0 · (2 s − 0) +1

2· 2 m · s

−2_{· (2 s − 0)}2_{= 4 m}

La tensión:

T − P′_{= m}′_{· a}

T = m′_{· a + P}′

P′

⃗⃗⃗ _P⃗⃗

T′ ⃗⃗⃗

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T = m′_{· a + m}′_{· g}

T = m′ · (a + g) = 8 kg · (2 m · s−2_{+ 10 m · s}−2_{) = 96 N}

Es decir, la distancia recorrida a los dos segundos por los dos cuerpos es de 𝟒 𝐦 y la tensión del hilo de 96 N.

b) Estrategia de resolución. Para determinar la masa m1 que habría que añadir al objeto m’ para que el sistema se mueva con una

aceleración de 5 m·s-2 _{debemos seguir el mismo procedimiento del apartado a):}

1º hacemos un dibujo (derecha): ya venía dado en el enunciado del problema salvo la masa añadida; 2º hacemos un diagrama de fuerzas (derecha);

3º elegimos un sistema de referencia, teniendo en cuenta que el sistema se moverá una masa hacia arriba, m, y la otra hacia abajo, m’+m1, el eje Y es positivo hacia arriba para m y hacia abajo para

m’+m1;

4º convertimos las unidades al S. I.: ya lo están.

5º aplicamos el segundo principio de la dinámica, ∑ F⃗ = m · a⃗ , a cada uno de los dos cuerpos, considerando ahora el cuerpo m’ formado por m’ y m1, y teniendo en cuenta que ahora el sistema

debería moverse en sentido contrario para poder hacerlo con la aceleración indicada al añadir otro cuerpo a la masa más pequeña:

• Cuerpo m’+m1): escribimos la expresión vectorial (no es necesario), para después escribir las

componentes correspondientes al sistema de referencia elegido 

T

⃗⃗ + P⃗⃗⃗ = (m_T ′_{+ m} 1) · a⃗

PT− T = (m′+ m1) · a

• Cuerpo m): escribimos la expresión vectorial (no es necesario), para después escribir las componentes correspondientes al sistema de referencia elegido 

T

⃗⃗ + P⃗⃗ = m · a⃗

T − P = m · a

Si sumamos las dos expresiones podemos hallar la aceleración y la tensión:

PT− T = (m′+ m1) · a

T − P = m · a } ⇒ PT− P = (m

′_{+ m}

1) · a + m · a

(m′_{+ m}

1) · g − m · g = (m′+ m1) · a + m · a

m′_{· g + m}

1· g − m · g = m′· a + m1· a + m · a

m1· g − m1· a = m′· a + m · a + m · g − m′· g

m1· (g − a) = (m′+ m) · a + (m − m′) · g

m₁=(m

′_{+ m) · a + (m − m}′_{) · g}

g − a

m₁=(8 kg + 12 kg) · 5 m · s

−2_{+ (12 kg − 8 kg) · 10 m · s}−2

10 m · s−2_{− 5 m · s}−2 = 28 kg

De este modo, la masa m1 que habrá que añadir a m’ debe ser de 28 kg.

3.-

Se acerca la feria de Dos Hermanas (¡qué bien!). Se dice por ahí que en la calle del “infierno” se va a montar una atracción consistente en un cable de acero (10 m de longitud) de cuyo extremo se enganchará un habitáculo con una asiento para dos atrevidos pasajeros. El artilugio girará con movimiento circular uniforme (20 rpm) en un plano perpendicular al suelo. (CE 8.1 – 9.1)

a) Calcula la tensión del cable en el momento en el que el habitáculo (60 kg) con sus dos pasajeros (75 kg cada uno) pase por el punto más bajo de su trayectoria. (0,6 puntos)

b) Determina la fuerza que una de las personas ejerce sobre el asiento en ese mismo punto. (0,7 puntos)

c) Halla la velocidad angular mínima a la que tendría que girar el artilugio para que los pasajeros pudiesen perder el conocimiento (se desmayasen), algo que suele ocurrir cuando la aceleración supera los 7g (7 veces las aceleración de la gravedad). (0,7 puntos)

P_T

⃗⃗⃗ P⃗⃗

T⃗⃗

T⃗⃗

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Departamento de Física y Química a) Estrategia de resolución. Para calcular la tensión del cable en el momento en el que el

habitáculo con sus dos pasajeros pase por el punto más bajo de su trayectoria haremos uso del procedimiento habitual (¡qué pesao!) para resolver los problemas de dinámica:

1º hacemos un dibujo (derecha): el cable que sujeta la cabina que gira en un plano vertical; 2º hacemos un diagrama de fuerzas (derecha);

3º elegimos un sistema de referencia, teniendo en cuenta que el sistema en el punto más bajo de su movimiento tendrá una aceleración centrípeta dirigida hacia arriba, hacia el centro de la trayectoria que sigue el objeto, el eje Y es positivo hacia arriba;

4º convertimos las unidades al S. I.:

ω = 20 rpm ·2π rad

1 rev ·

1 min

60 s = 2,09 rad · s

−1

7g = 7 · g = 70 m · s−2

5º aplicamos el segundo principio de la dinámica, ∑ F⃗ = m · a⃗ , al conjunto de todos los cuerpos

considerándolos como uno solo (60 kg + 2 · 75 kg = 210 kg), y teniendo en cuenta que la aceleración que nota el conjunto es centrípeta que está relacionada con la velocidad angular de la atracción, a_c= ω2_{· r:}

T

⃗⃗ + P⃗⃗⃗ = m_{T T}· a⃗

T − P_T= m_T· a_c

T = mT· ac+ PT

T = mT· ω2· r + mT· g

T = 210 kg · (2,09 rad · s−1₎2_{· 10 m + 210 kg · 10 m · s}−2_{= 1,1 · 10}4 _N

De este modo la tensión que soporta y ejerce el cable en las circunstancias indicadas es de 𝟏, 𝟏 · 𝟏𝟎𝟒 _𝐍.

b) Estrategia de resolución. Para obtener la fuerza que una de las personas ejerce sobre el asiento en ese mismo punto seguiremos nuevamente el procedimiento habitual para resolver este tipo de ejercicios, teniendo en cuenta que la fuerza que se nos solicita es la misma que el asiento hace sobre la persona en sentido (normal):

1º hacemos un dibujo (derecha): un pasajero entado en el asiento del artilugio; 2º hacemos un diagrama de fuerzas (derecha);

3º elegimos un sistema de referencia, teniendo en cuenta que el sistema en el punto más bajo de su movimiento tendrá una aceleración centrípeta dirigida hacia arriba, hacia el centro de la trayectoria que sigue el objeto, el eje Y es positivo hacia arriba;

4º convertimos las unidades al S. I.: ya lo están.

5º aplicamos el segundo principio de la dinámica, ∑ F⃗ = m · a⃗ , a una de las personas, y volviendo a tener en cuenta que la aceleración que nota dicha persona es centrípeta y que está relacionada con la velocidad angular de la atracción, a_c= ω2_{· r:}

N

⃗⃗ + P⃗⃗⃗ = m_{P P}· a⃗

N − P_P= m_P· a_c

N = m_P· a_c+ P_P

N = mP· ω2· r + mP· g

N = 75 kg · (20,9 rad · s−1₎2_{· 10 m + 75 kg · 10 m · s}−2_{= 4050 N}

De este modo la tensión que soporta el cable en las circunstancias indicadas es de 4050 N.

c) Estrategia de resolución. Para halla la velocidad angular mínima a la que tendría que girar el artilugio para que los pasajeros pudiesen perder el conocimiento (se desmayasen), algo que suele ocurrir cuando la aceleración supera los 7g (7 veces las aceleración de la gravedad) solamente es necesario relacionar esa aceleración, que sería centrípeta como hemos estado viendo hasta ahora, con la velocidad angular de rotación de la atracción y el radio de curvatura de la misma, ac= ω2· r, teniendo en

cuenta un valor mínimo de ac = 7·g. De este modo, a partir de ese valor despejaremos la velocidad angular: ac= ω2· r

ω = √ac

r = √

7 · g

r = √

70 m · s−2

10 m = 2,65 rad · s

−1

En revoluciones por minuto:

P𝑇 ⃗⃗⃗⃗ T ⃗⃗

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2,65 rad · s−1_· 1 rev 2π rad·

60 s

1 min= 25 rpm

Esto quiere decir que el artilugio tendría que girar a una velocidad angular mínima de 𝟐, 𝟔𝟓 𝐫𝐚𝐝 · 𝐬−𝟏 _{(25 rpm) para que}

los pasajeros se desmayasen, notasen una aceleración centrípeta mínima de 7g.

4.-

Se quiere comprobar la leyenda urbana que se cuenta por ahí sobre lo que sucede con las fuerzas que se ejercen sobre los objetos que se mueven en los planos inclinados. Para ello se coloca un bloque de 10 kg en la parte más alta de uno de ellos de 20 m de longitud y que forma 30º con la horizontal. Halla: (CE 8.1 – 8.2)

a) el coeficiente de rozamiento estático mínimo que debería haber entre las superficies para que el bloque no deslice; (0,75 puntos)

b) la velocidad con la que el objeto llegará al pie del plano inclinado si el coeficiente de rozamiento dinámico es 0,30; (1,25 puntos)

a) Estrategia de resolución. Para hallar el coeficiente de rozamiento estático mínimo que debería haber entre las superficies para que el bloque no deslice llevaremos a cabo el procedimiento habitual para resolver los problemas de dinámica:

1º hacemos un dibujo: una masa situada en un plano inclinado (derecha);

2º hacemos un diagrama de fuerzas (derecha); 3º elegimos un sistema de referencia, por ejemplo, el eje Y es perpendicular a la superficie del plano y positivo hacia arriba; el eje X paralelo al plano y positivo hacia abajo en el sentido del posible

movimiento. Descomponemos las fuerzas que no estén dirigidas en el sistema elegido: en este caso debemos descomponer el peso del bloque:

|P⃗⃗⃗ | = |P⃗⃗ | · sen𝛼 = m · g · sen 30_x o

|P⃗⃗⃗ | = |P⃗⃗ | · cosα = m · g · cos 30_y o

4º convertimos las unidades al S. I.: ya lo están.

5º aplicamos el segundo principio de la dinámica, ∑ F⃗ = m · a⃗ , al bloque situado en el plano inclinado:

∑ F⃗ = m · a⃗ ⇒ N⃗⃗ + P⃗⃗ + F⃗⃗⃗ = m · a⃗ r

{(1)Eje X: Px− Fr= m · a

(2)Eje Y: N − Py= 0

Debemos tener en cuenta que en la situación estática la aceleración es cero y la fuerza de rozamiento se denomina estática y está relacionada con un coeficiente de rozamiento estático:

|F⃗⃗⃗ | = |F_r ⃗⃗⃗⃗⃗ | = μ_{r𝑒 𝑒}· |N⃗⃗ | = μ_𝑒· |P⃗⃗⃗ |_y

De este modo:

{(1)Eje X: m · g · sen 30 o_{− F}

r𝑒= 0

(2)Eje Y: N = Py= m · g · cos 30o

De la primera ecuación, (1), combinada con la segunda, (2), obtendremos el coeficiente de rozamiento solicitado:

m · g · sen 30o_{− F} r𝑒= 0

m · g · sen 30o_{= μ} 𝑒· |P⃗⃗⃗ |y

m · g · sen 30o_{= μ}

e· m · g · cos 30o

μ_e=sen 30

o

cos 30o = tg 30o= 0,58

Así que el coeficiente de rozamiento estático que deberían tener las superficies del bloque y del plano inclinado para que aquel no deslice es de 0,58.

b) Estrategia de resolución. Para calcular la velocidad con la que el objeto llegará al pie del plano inclinado si el coeficiente de rozamiento dinámico es 0,30 seguiremos de nuevo el procedimiento habitual para este tipo de ejercicios, hallando la aceleración

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⃗⃗

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Departamento de Física y Química con la que bajará el bloque y, a partir de ella y del

hecho de que el movimiento será rectilíneo uniformemente acelerado, obteniendo la velocidad solicitada a partir del desplazamiento en el plano,

v2_{− v}

o2= 2 · a · Δx:

1º hacemos un dibujo: una masa situada en un plano inclinado (derecha);

2º hacemos un diagrama de fuerzas (derecha); 3º elegimos un sistema de referencia, por ejemplo, el eje Y es perpendicular a la superficie del plano y positivo hacia arriba; el eje X paralelo al plano y positivo hacia abajo en el sentido del movimiento. Descomponemos las fuerzas que no estén dirigidas

en el sistema elegido: en este caso debemos descomponer el peso del bloque:

|P⃗⃗⃗ | = |P⃗⃗ | · senα = m · g · sen 30_x o |P⃗⃗⃗ | = |P⃗⃗ | · cosα = m · g · cos 30_y o

4º convertimos las unidades al S. I.: ya lo están.

5º aplicamos el segundo principio de la dinámica, ∑ F⃗ = m · a⃗ , al bloque situado en el plano inclinado:

∑ F⃗ = m · a⃗ ⇒ N⃗⃗ + P⃗⃗ + F⃗⃗⃗ = m · a⃗ _r

{(1)Eje X: Px− Fr= m · a

(2)Eje Y: N − Py= 0

Debemos tener en cuenta que en esta situación la fuerza de rozamiento se denomina dinámica y está relacionada con un coeficiente de rozamiento dinámico:

|F⃗⃗⃗ | = |Fr ⃗⃗⃗⃗⃗ | = μrd d· |N⃗⃗ | = μd· |P⃗⃗⃗ |y

De este modo:

{(1)Eje X: m · g · sen 30 o_{− F}

rd= m · a

(2)Eje Y: N = P_y= m · g · cos 30o

Podemos hallar la aceleración a partir de la expresión (1) combinada con la (2):

a =Px− Frd

m =

m · g · sen 30o_{− μ}

d· m · g · cos 30o

m = g · sen 30

o_{− μ}

d· g · cos 30o= 2,4 m · s−2

También podríamos haber calculado las fuerzas para sustituirlas en la expresión:

Py= m · g · cos 30o= 50 N Px= m · g · sen 30o= 86,7 N F_rd= μ_d· m · g · cos 30o _{= 26 N}

a =Px− Frd

m =

50 N − 26 N

10 kg = 2,4 m · s

−2

Con este resultado podemos calcular la velocidad con la que llega al pie del plano, suponiendo que describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (aceleración constante), v2_{− v}

o2= 2 · a · Δx, y teniendo en cuenta que según el sistema de

referencia vo = 0, Δx = 20 m y a = 2,4 m·s-2:

v2_{− v}

o2= 2 · a · Δx

v = √vo2+ 2 · a · Δx

v = √02_{+ 2 · 2,4 m · s}−2_{· 20 m = 9,8 m · s}−1

De este modo, sabemos que llegará al pie del plano inclinado con una velocidad de 9,8 m·s-1_.

5.-

El escepticismo sigue en aumento en el grupo C de 1º de bachillerato. Por ello, parte de su alumnado prepara un experimento para comprobar una de las leyes que les han contado en clase, y sitúan un muelle en el techo del aula. Observan que adquiere

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⃗⃗

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Departamento de Física y Química una longitud de 25 cm cuando se le cuelga una masa de 500 g y al pender de él otra masa de 1500 g el resorte mide 40 cm. A partir de la experiencia calculan: (CE 8.1 – 8.3)

a) El valor de la constante elástica del muelle. (0,6 puntos) b) La longitud original del mismo. (0,6 puntos)

c) El alargamiento del muelle cuando una alumna muy espabilada tira hacia arriba con un cuerpo de 150 g colgado del resorte con una aceleración de 2,5 m·s-2_{. (0,8 puntos)}

a) y b) Estrategia de resolución. Para hallar el valor de la constante elástica del muelle, k, y de la longitud original del mismo, lo,

debemos hacer uso de la relación entre la deformación o elongación y la fuerza que se ejerce sobre un resorte que nos indica la ley de Hooke:

Faplicada= k · ∆l

O también:

F_elástica= −k · ∆l

Donde l es la deformación, elongación o alargamiento del resorte.

De todos modos, como en todos los problemas de dinámica, deberíamos seguir los pasos habituales para resolverlo:

1º hacemos un dibujo: una masa colgada de un muelle que cuelga del techo (derecha); 2º hacemos un diagrama de fuerzas (derecha);

3º elegimos un sistema de referencia, por ejemplo, el eje Y es positivo hacia arriba; descomponemos las fuerzas que no estén dirigidas en el sistema elegido: no hay ninguna. 4º convertimos las unidades al S. I.:

l1 (longitud con la primera masa, m1) = 25 cm = 0,25 m;

l2 (longitud con la segunda masa, m2) = 40 cm = 0,40 m;

m1 = 500 g = 0,500 kg;

m2 = 1500 g = 1,500 kg;

5º aplicamos el segundo principio de la dinámica, ∑ F⃗ = m · a⃗ , al objeto colgado del resorte: Cuerpo 1:

∑ F⃗ = m · a⃗ ⇒ F_e1− P1= m1· a = 0

F_e1= P₁

k · ∆l₁= m₁· g

k · (l1− lo) = m1· g

Cuerpo 2:

∑ F⃗ = m · a⃗ ⇒ F_e2− P2= m2· a = 0

F_e2= P₂

k · ∆l₂= m₂· g

k · (l₂− l_o) = m₂· g

Las dos expresiones escritas presentan como incógnitas las magnitudes solicitadas. Por tanto, para determinarlas debemos resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

k · (l1− lo) = m1· g k · (l2− lo) = m2· g }

Al no tratarse de ecuaciones lineales el procedimiento habitual para resolver el sistema sería despejas una de las incógnitas de una de las ecuaciones, para después sustituirla en la otra. Sin embargo, en este caso, debido a la forma de las ecuaciones, se podría optar por dividirlas para, de alguna forma eliminar una de las incógnitas y poder calcular la otra. Así:

k · (l₁− l_o) = m₁· g k · (l₂− l_o) = m₂· g} ⇒

k · (l1− lo) k · (l2− lo)

=m1· g m2· g

⇒(l1− lo) (l2− lo)

=m1

m2

De este modo, nuestro objetivo ahora es despejar y hallar lo:

m2· l1− m2· lo= m1· l2− m1· lo

m₂· l₁− m₁· l₂= m₂· l_o− m₁· l_o

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l_o=m2· l1− m1· l2

m₂− m₁ =

1,500 kg · 0,25 m − 0,500 kg · 0,40 m

1,500 kg − 0,500 kg = 0,175 m = 17,5 cm

Para determinar la constante elástica podemos despejarla de cualquiera de las dos ecuaciones:

k = m1· g

l1− lo

=0,500 kg · 10 m · s

−2

0,25 m − 0,175 m = 66,7 N · m

−1

Otra forma de resolver estos dos apartados sería utilizar el razonamiento y la ley de Hooke. Según los datos que tenemos cuando la masa que se cuelga es de 0,500 kg la longitud del resorte es de 0,25 m, mientras que cuando se cuelga una masa de 1,500 kg la longitud del muelle es de 0,40m. Por tanto, si nos fijamos en la diferencia entre ambas masas, 1 kg, podemos ver que dicha masa ha producido un alargamiento de 0,40 m – 0,25 m = 0,15 m. Esto nos indica que el peso correspondiente a esa masa, 10 N y el alargamiento producido nos permitiría hallar la constante elástica del resorte:

Faplicada = k · ∆l ⇒ k =

Faplicada

∆l =

10 N

0,15 m= 66,7 N · m

−1

Continuando con el razonamiento, podemos afirmar que si 1 kg produce una deformación de 0,15 m; 0,500 kg, la mitad de masa, provocará la mitad de alargamiento, 0,075m. En consecuencia, la longitud original será 0,25 m – 0,075 m = 0,175 m.

En definitiva, la constante elástica del muelle es 66,7 N·m-1 _{y la longitud original del resorte es 0,175m o 17,5 cm.}

c) Estrategia de resolución. Para calcular el alargamiento del muelle cuando una alumna tira hacia arriba de un cuerpo de 150 g con una aceleración de 2,5 m·s-2_{, seguiremos otra vez los pasos habituales para resolver los problemas dinámicos:}

1º hacemos un dibujo: del objeto sujeto por el muelle (derecha); 2º hacemos un diagrama de fuerzas (derecha);

3º elegimos un sistema de referencia, teniendo en cuenta que el cuerpo se mueve verticalmente, el eje Y es positivo hacia arriba; descomponemos las fuerzas que no estén dirigidas en el sistema elegido: no hay ninguna.

4º convertimos las unidades al S. I.: m = 150 g = 0,150 kg.

5º aplicamos el segundo principio de la dinámica, ∑ F⃗ = m · a⃗ , al objeto para hallar la deformación solicitada:

∑ F⃗ = m · a⃗ → F_e− P = m · a → k · ∆l − m · g = m · a → ∆l =m · a + m · g k

∆l =m · a + m · g

k =

0,150 kg · 2,5 m · s−2_{+ 0,150 kg · 10 m · s}−2

66,7 N · m−1 = 0,028 m

Por tanto, la deformación que experimenta el muelle en estas circunstancias es de 0,028 m.