Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Instituto de Matem´ aticas Problema interesante de L´ ogica

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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Instituto de Matem´

aticas

Problema interesante de L´

ogica

En la isla L´ogica solo habitan dos clases de personas, Caballeros y Bribones (tanto mujeres como hombres reciben esta denomi-naci´on). Los Caballeros tienen la particularidad de que siempre formulan enunciados verdaderos, mientras los bribones siempre formulan enunciados falsos; as´ı en esta isla a todo habitante le resulta imposible decir que es un brib´on, porque un caballero nunca mentir´ıa y dir´ıa que es un brib´on, y un brib´on nunca admitir´ıa verazmente que es un brib´on.

Un encuestador visita cuatro casas, en las que s´olo viven matrimonios (un hombre y su esposa), para censar cuantos Caballeros y cuantos Bribones viven en estas casas. Para ello a cada uno de los maridos le hace una pregunta y recibe una respuesta, de la siguiente forma:

Las respuestas que recibe son las siguientes:

1. Casa 1: A la pregunta ¿cu´al, si alguno lo es, es un caballero, y cu´al, si alguno lo es, es un brib´on?, la respuesta fue Ambos somos bribones.

2. Casa 2: A la pregunta ¿ambos son bribones?, la respuesta fuepor lo menos uno de nosotros lo es

3. Casa 3: A la pregunta ¿qu´e puede decirme sobre s´ı mismo y sobre su esposa?, la respuesta fuesi soy un caballero, entonces tambi´en lo es mi esposa

4. Casa 4: A la pregunta ¿de qu´e clase son usted y su esposa?, la respuesta fuemi esposa y yo, somos de la misma clase; o ambos somos caballeros o ambos somos bribones.

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De Caballeros y Bribones, y los conectivos l´

ogicos

El siguiente problema, y cada uno de sus items (casos), permiten estudiar y comprender los conectivos l´ogicos. Este problema y sus consideraciones son tomados de los libros de Raymond Smullyan (una de las autoridades mundiales en L´ogica Matem´atica) titulados “Juegos por siempre misteriosos” y “¿C´omo se llama este libro?”.

Dos habitantes de la isla L´ogica,A y B, est´an sentados en un parque. Un extranjero pasa por all´ı y le pregunta a A, “¿eres caballero o brib´on?”.

En cada uno de los siguientes casosAda diferentes respuestas que conducen a comprender los conectivos l´ogicos.

1. (Disyunci´on)Primera respuesta “´o soy un brib´on oB es un caballero” ¿Qu´e sonAyB?

Observaci´on: La respuesta es del tipo “op´o q” No es “exclusivo” (qu´e se da una y s´olo una de las condiciones”)

Ejemplo“´o ganar´e el curso o perder´e el curso” se da una y s´olo una de las posibilidades. La disyunci´on es “inclusiva”, es decir se pueden dar ambas posibilidades.

Ejemplo“Para trabajar en una constructora se requiere o t´ıtulo de inveniero civil o tener al menos tres a˜nos de experiencia en construcciones”. (si cumple ambos, puede trabajar), ambas pueden darse.

RespuestaSiAbrib´on se tiene un enunciado falso, por lo que ni Aes brib´on, niB es caballero. As´ı, se tendr´ıa queAno es brib´on, lo cual dice queA es un caballero, lo cual es una contradicci´on. Por lo tanto, Ano es un brib´on, es decirA es un caballero.

De lo anterior, se concluye queAdice la verdad, y por ende se tienen las siguientes posibilidades:

a) Aes brib´on b) B es caballero

como (a) es falsa, entonces (b) debe ser correcta, es decir,B es caballero. Finalmente, llegamos a la conclusi´on de queAyB son ambos caballeros.

2. (Conjunci´on)“Yo soy un brib´on, peroB no lo es”, que no es otra cosa que decir, “Yo soy brib´on yB es caballero”. Este es una respuesta del tipo en que ambas condiciones (proposiciones) deben cumplirse (ser verdaderas), para que la respuesta sea aceptada (verdadera).

Para ilustrar esta situaci´on, supongamos que un caballero realiz´o un viaje fuera de la isla l´ogica y tuvo un hijo con una persona normal (a veces mienten y en ocasiones dicen la verdad), al cual llamaron Le´on. Por su condici´on gen´etica, Le´on tiene la caracter´ıstica de que miente los lunes, martes y mi´ercoles; y dice la verdad el resto de d´ıas de la semana. Bajo esta condiciones ¿qu´e d´ıa de la semana le es posible a Le´on decir: “Ayer ment´ı y ma˜nana mentir´e de nuevo”?

Es claro que el ´unico d´ıa de la semana en el que podr´ıa ser verdadero que Le´on mint´ıo ayer y que mentir´a ma˜nana de nuevo es el martes (es el ´unico d´ıa que hay entre dos d´ıas en los que Le´on le toca mentir). As´ı, el d´ıa que Le´on dijo esto; no puede ser martes, pues ese enunciado es verdadero y Le´on miente los martes, es decir no pudo decir esa proposici´on un martes. Por lo tanto la proposici´on debe ser falsa, y como no la pudo decir en martes, por lo tanto el d´ıa tiene que ser lunes o mi´ercoles.

De esto inferimos que la propisici´on “p y q” es falsa si una de las dos proposiciones es falsa, es decir que es verdadera ´

unicamente en el caso en que ambas proposisiones son verdaderas.

Regresando a la respuesta de A: “Yo soy brib´on y B es caballero”, se tiene que A no puede ser caballero, ya que su enunciado ser´ıa verdadero, en cuyo caso ´el tendr´ıa que ser brib´on. Por lo tanto,Aes brib´on.

De lo anterior, se tiene que la proposici´on es falsa. SiB fuera caballero, entonces el enunciado de Aser´ıa verdadero, de lo cual se sigue queB tambi´en es brib´on. As´ı pues, AyB son bribones.

3. (Condicional)“si yo soy un caballero, entonces lo esB”.

Esta respuesta es del tipo en que la clase deB esta condicionada por la clase deA, y que podemos describir intuitivamente con el siguiente ejemplo:

(*)“Si Juan es culpable, entonces su esposa es culpable”.

Es claro que si: Juan es culpable y (∗) es verdadero, entonces la esposa es culpable.

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Por lo que es claro que si: Juan culpable y esposa inocente entonces (∗) es falso.

Sipverdadero yqfalso, se tiene que (∗) es falso.

Supongamos ahora que la esposa es culpable, sin saber si Juan es culpable o inocente. ¿Dir´ıamos entonces que la proposici´on (∗) es verdadera, o no? Es decir estamos en el caso en quesi Juan es culpable o inocente, su esposa es culpable en cualquier

caso; o lo que se puede espresar como: Si Juan es culpable, entonces su esposa es culpable y si Juan es inocente, entonces su esposa es culpable (Las anteriores dos proposiciones son equivalentes a la siguiente expresi´on: la Cobra le dice a su victima “si os mov´eis atacar´e; y sino os atacar´e”; la cual claramente significa que la Cobra esta diciendole a su victima “os atacar´e”).

As´ı, tenemos que sipes verdadera yqes verdadera, entoncesp→qverdadero; y de igual modo, sipes falso yqverdadero,

entoncesp→qes verdadero.

Hasta ahora, tenemos que:

a) pverdadero yqfalso, concluimosp→qfalso.

b) pverdadero yqverdadero, concluimosp→qverdadero.

c) pfalso y qverdadero, concluimosp→qverdadero.

Finalmente, analicemos qu´e sucede si Juan y su esposa son inocentes, qu´e sucede con la proposici´on (∗); es decir si pes

falso yqes falso, ¿qu´e puede decirse de (∗)?, ¿es (∗) verdadero o falso?

Dado queSi Juan es culpable y su esposa es inocente, entonces (∗) es falso, ¿es el enunciado contrario verdadero?, es decir,

si (∗) es falso, ¿se sigue de ah´ı que Juan ha de ser culpable y su esposa inocente? Dicho de otro modo, ¿es el caso qu´e el

´

unicomodo de que (∗) pueda ser falso consiste en que Juan sea culpable y su esposa inocente?

En el sentido de la l´ogica, de la matem´atica y -en general- de las ciencias, la proposici´on

“Sipentoncesq” se refiere a que “la proposici´onpimplica la proposici´onq”, o sea que no se tiene que “no es el caso que psea verdadero yqsea falso” (la validez depcondiciona la validez de q). As´ı, la ´unica forma quep→qes falso, es si pes

verdadero yqes falso; lo cual en el caso de Juan y su esposa quiere decir que si Juan es inocente y su esposa es inocente, entonces (∗) es verdadero, ya que si Juan es culpable y su esposa es inocente, entonces (∗) es falso.

De lo anterior, tenemos en la ´ultima conclusi´on:

•pfalso yqfalso, concluimos p→q verdadero.

De las cuatro conclusiones sobre la validez de (∗), a partir de la veracidad o falsedad de p y q, se siguen los siguientes

hechos:

a) Sipes falso, entoncesp→qes verdadero.

b) Siqes verdadero, entoncesp→qes verdadero.

c) El ´unico modo en quep→qsea falso, es quepsea verdadero yqfalso.

d) Si la suposici´on de pconduce aqcomo conclusi´on, entonces el enunciado “sipentoncesqqueda establecido”.

Observaci´on importante:El cuarto hecho conduce alM´etodo de demostraci´on directo, el cual establece que para demos-trar si “pentonces q”, se suponepy se muestra que se sigueq.

Volviendo a caballeros y bribones: “si yo soy un caballero entonesB es un caballero”. (Este caso tiene la misma soluci´on siAresponde “si yo soy un caballero, entoncesq”, para cualquier proposici´onq).

SiAes un caballero, entonces el enunciado es verdadero, y por lo tantoAes caballero yB tambi´en lo es (qes verdadero). SiAno es caballero, es decir siAes brib´on, entonces por el hechoi)se tiene que el enunciado “siAes caballero, entonces lo esB (entoncesq)” es una proposici´on verdadera, lo cual contradice queAes brib´on. As´ı, tenemos que Aes caballero y por lo tantoB es caballero (q es verdadero).

Nota: El hecho a) se parafrasea a veces: “una proposici´on falsa implica cualquier proposici´on”. Este enunciado resulta contradictorio para muchos fil´osofos, y dio origen a la famosa prueba de que Russell era el Papa.

Un fil´osofo se asombr´o cuando Russell le dijo que una proposici´on falsa implica cualquier proposici´on. Le dijo “¿quieres decir que del enunciado dos m´as dos es igual a cinco se sigue que t´u eres el Papa?” Russell respondi´o: “si”. El fil´osofo pregunt´o: “¿puedes demostrar esto?” Russell respondi´o: “Ciertamente”, e invent´o en el acto la demostraci´on siguiente:

a) Supongamos que2 + 2 = 5

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c) Transponiendo, obtenemos:3 = 2

d) Sustrayendo uno de ambos lados, obtenemos2 = 1.

Ahora bien, el Papa y yo somos dos. Puesto que dos es igual a uno, entonces el Papa y yo somos uno. Por consiguiente yo soy el Papa.

4. (Bicondicional)“B y yo somos de la misma clase; o ambos somos caballeros o ambos somos bribones”.

Esto quiere decir “Si A es caballero (brib´on), entoncesB es caballero (brib´on)” y “Si B es caballero (brib´on), entonces A es caballero (brib´on)”, es decir se tiene la proposici´on “A es caballero (brib´on) si y s´olo si B es caballero (brib´on)”. Lo anterior, quiere decir que se tiene la proposici´on compuesta “p → q y q → p”, que es la conjunci´on formada por la

proposici´on p→q y por la proposici´onq →p, lo cual a partir de las dos items anteriores es valido si ambas,py q, son

verdaderas o ambas son falsas. El bicondicional se denota porp←→q.

En efecto, si pes verdadero yp→qes verdadero, se tiene que q es verdadero. De manera similar se muestra que siq es

verdadero yq→pes verdadero, entoncespes verdadero.

Si pes falso, entonces p→q es verdadero, independiente de como sea q, por lo cualq →pes verdadero. Pero pfalso y

q→pes verdadero solo siqes falso, por lo cual se tiene queqes falso. El mismo an´alisis muestra que siqes falso y p→q

es verdadero, entonces necesariamentepes falso.

Finalmente, como el condicionalp→q(q→p) es falso ´unicamente cuandopes falsa yqes verdadera (pes verdadera yq

es falsa), entonces se tiene la proposici´on compuesta “p→q yq→p” es falsa si una de las dos proposiciones es falsa, es

decir si se cumple que “pes falsa yqes verdadera” o se cumple que “pes verdadera yqes falsa”.

Regresando a la respuesta de A: “B y yo somos de la misma clase; o ambos somos caballeros o ambos somos bribones”; en este caso no puede determinarse siAes caballero o brib´on, pero si puede determinarse de qu´e clase esB del siguiente modo:

Si B es brib´on, entonces A no podr´ıa afirmar que es de la misma clase que B (brib´on), porque eso ser´ıa equivalente a declarar que es un brib´on, lo cual no puede ser. De lo anterior, se tiene queB es un caballero.

Ahora, siA es caballero, entonces su respuesta es verdadera; y por lo tantoB es un caballero.

De otro lado, siAes un brib´on y se diera queB es un brib´on, entonces el enunciado ser´ıa verdadero, lo cual no es posible; por lo cual necesariamenteB es un caballero, y la respuesta es falsa.

En conclusi´on, independientemente de queAsea caballero o brib´on (lo cual no podemos determinar), se tiene que necesa-riamenteB es caballero.

Todo lo anterior nos conduce a los siguientes hechos:

a) Teorema.Dada una proposici´on p, supongamos que un habitante dice “Soy un caballero si y s´olo si p”. Entoncesp debe ser verdadera, independientemente de que el habitante sea un caballero o un brib´on.

b) p←→qes verdadero ´unicamente sipyqtienen el mismo valor de verdad (ambos son verdaderos o ambos son falsos).

c) Sipyqtienen valor de verdad diferentes (unos es verdadero y el otro es falso), entoncesp←→qes falso.

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Un par de problemas l´ogicos sobre la necesidadde leer bien el enunciado.

1. Un hombre estaba mirando un retrato y alguien le pregunt´o: “¿De qui´en es esa fotograf´ıa?”, a lo que ´el contest´o, “Ni hermanos ni hermanas tengo, pero el padre de ese hombre es hijo de mi padre”.

¿de qui´en era la fotograf´ıa que estaba mirando el hombre?

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