Algebra Lineal Ejercicios Resueltos Luis Zegarra

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(1)

Problemas resueltos Luis Zegarra Agramont

ALGEBRA

LINEAL

Problema 1.

Dado el sistema

B  +B  B

" # $

 B œ ,

%

B  ,B  #B  B œ -

" # $ %

 B  -B  #B  #B œ +

" # $ %

B  B  B

" # $

 B œ +  ,  -

%

i) Determine los valores de

+ß ,

y para que el sistema dado admita como

-solución a:

\ œ

 >

, para un valor del parámetro fijo.

>

"

 "

#

!

!

"

"

#

Ô ×

Ô

×

Ö Ù

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Õ Ø

Õ

Ø

ii) Determine condiciones entre

+ß ,

y para que el sistema dado tenga solución

-exáctamente con un parámetro, luego encuentre una solución particular y la

solución del sistema homogeneo asociado en este caso.

Solución.

i)

\ œ

 >

Ê \ œ

ß

qué

\

sea solución del sistema

"

 "

"  >

#

!

#

!

"

>

"

#

"  #>

Ô ×

Ô

×

Ô

×

Ö Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ Ø

Õ

Ø

Õ

Ø

dado es que lo satisfaga es decir,

Ô

× Ô

× Ô

×

Ö

Ù Ö

Ù Ö

Ù

Ö

Ù Ö

Ù Ö

Ù

Õ

Ø Õ

Ø Õ

Ø

"

 +

 "

"

"  >

,

"

,

#

 "

#

- "

-

 #

#

>

+

"

"

 "

 "

"  #>

+  , 

Í

(2)

Resolviendo resulta:

+ œ

#$

ß , œ 

"

ß - œ 

"$

y

> œ

*

##

""

##

##

ii) Se debe anular una fila completa de la siguiente matriz, para obtener

exáctamente un parámetro en la solución,

Ô

×

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

"

 +

 "

"

ã

,

"

,

#

 "

ã

- "

-

 #

#

ã

+

"

"

 "

 "

ã +  , 

-µ † † †

luego se debe tener

Ô

×

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

"

#+  -

!

!

ã

#,  +

!

,  -

!

"

ã

+ 

-!

+  $,  #-

"

!

ã

#+  , 

$-!

+  #,  #-  "

!

!

ã

$ + 

" "

$ $

" "

$ $

Ð+  #,  #-  " œ ! • $ +  - œ !Ñ Ê + œ  - • , œ 

a

b

"#

a

-  "

b

así

resulta la solución

\ œ

 >

ß >

parámetro.

#, 

-!

$-  "

!

-"

-  $

-  "

Ô

×

Ô

×

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

Õ

Ø

a

b

a

b

a

b

a

b

" $ " '

" $ " ' " #

Problema 2.

Dado el sistema

#B  B

" #

 B

$

 B œ

&

'

B  B  (B  5B  %B

" # $ % &

œ  $

$B  B  B

" # $

 B

%

œ

:

a) Determine y de modo que

5

:

\ œ ÖB ß B ß B ×ß

F # % &

y en este caso obtenga

P

y

.

Y

b) Resuelva por

PY

para la base

\ œ ÖB ß B ß B ×

F # $ &

Solución.

a)

\ œ ÖB ß B ß B × Ê F œ

, la exigencia de

\

supone

F

"

!

"

 "

5

 %

"

"

!

F # % & F

Ô

×

Õ

Ø

no

(3)

Se debe hacer préviamente

T F œ

ß

con

T œ

"

!

"

"

!

!

"

"

!

!

!

"

 "

5

 %

!

"

!

Ô

×

Ô

×

Õ

Ø

Õ

Ø

con el fín de no imponer condiciones no necesarias para

excepto

5 Á $ß

así

y

Y œ

P œ

"

!

"

"

!

!

!

"

 "

"

"

!

!

!

5  $

 "

5

"

Ô

×

Ô

×

Õ

Ø

Õ

Ø

b) Nótese que la matriz

F

asociada a la base

\ œ ÖB ß B ß B ×

F # $ &

es singular, por

lo que es imposible resolver el sistema con esta exigencia.

Problema 3.

Dada la matriz

E œ

"

#

$

*

#

$

&

"%

$

%

(

"*

%

&

*

#%

&

'

""

#*

Ô

×

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

a) Determine una base para el subespacio

M7 E

.

b) Determine una base para el subespacio

O/< E  [ ß

donde

[ œ Ö Bß Cß Dß > Î #B  C  #> œ ! ×

a

b

Solución.

a) El espacio

M7 E

está generado por los vectores columna de

entonces

1

E œ

µ

µ

"

#

$

*

#

$

*

"

#

$

*

#

$

&

"%

!

 "

 "

 %

!

"

"

"

$

%

(

"*

!

 #

 #

 )

!

!

!

!

%

&

*

#%

!

 $

 $

 "#

!

!

!

!

&

'

""

#*

!

 %

 %

 "'

!

!

!

!

Ô

× Ô

× Ô

×

Ö

Ù Ö

Ù Ö

Ù

Ö

Ù Ö

Ù Ö

Ù

Ö

Ù Ö

Ù Ö

Ù

Ö

Ù Ö

Ù Ö

Ù

Õ

Ø Õ

Ø Õ

Ø

a b

luego, una base para

M7 E

es {

a

"ß #ß $ß %ß & ß #ß $ß %ß &ß ' ×

b a

b

b) De

a b

‡ ß O/< E œ Ö Bß Cß Dß > Î B  D  (> œ !

a

b

C  D  > œ ! ×

por tanto

O/< E  [ œ Ö Bß Cß Dß > Î B  D  (> œ !

a

b

C  D  > œ !

(4)

Así,

a

− O/< E  [ Í

œ Bß Cß Dß > Î

"

!

"

(

ã !

!

"

"

"

ã !

#

"

!

 #

ã

!

!

!

a

b

Ô

×

Õ

Ø

de donde resolviendo se obtiene,

B œ  >ß C œ

%

"%

> D œ 

,

"(

>

$

$

$

con lo que

O/< E  [ œ Ö  %ß "%ß  "(ß $ ×

 

a

b

¡

y una base del subespacio

O/< E  [

,

es

Ö  %ß "%ß  "(ß $ ×

a

b

.

Problema 4.

En

T

#

sobre , dadas las bases

W œ Ö "ß "  >ß "  > ×

"

a

b

#

y

W œ Ö #  >ß $ß "  > ×

# #

a) Determine la matriz

T

de cambio de base, de:

W Ä W Þ

# "

b) Si [

: > Ó

œ

ß

determine:

: >

y

Ò: > Ó

"!

#!

$!

a b

Ô ×

a b

a b

Õ Ø

W# W1

Solución.

a)

#  > œ $ † "   " † Ð"  >Ñ  ! † "  >

a

b

a

b

#

$ œ $ † "  ! † Ð"  >Ñ  ! † "  >

a

b

#

"  > œ # † "   # † Ð"  >Ñ  " † "  >

#

a

b

a

b

#

de donde T œ

ß

$

$

#

 "

!

 #

!

!

"

Ô

×

Õ

Ø

b) De inmediato : > œ "! † #  >  #! † $  $! † "  >

a b

a

b

a

#

b

œ ""!  "!>  $!>

#

por tanto se debe tener

""!  "!>  $!> œ "&! † "  Ð  (!Ñ † Ð"  >Ñ  $! † "  >

#

a

b

#

Ê

Ò: > Ó

œ

"&!

 (!

$!

a b

Ô

×

Õ

Ø

W1

Otra forma, es

À

Ò: > Ó

œ T Ò: > Ó

œ

œ

$

$

#

"!

"&!

 "

!

 #

#!

 (!

!

!

"

$!

$!

a b

a b

Ô

×Ô × Ô

×

Õ

ØÕ Ø Õ

Ø

W1 W#

Problema 5.

(5)

requiere 10 hrs. de diseño, 4 de armado, 5 de pulido y 2 hrs. de detalles

T ß

"

Þ

T ß

#

requiere

#

hrs. de diseño, de armado, de pulido y hrs. de detalles

$

"

"

Þ

T ß

$

requiere 1 hrs. de diseño, de armado, de pulido y hrs. de detalles

#

!

"

Þ

T ß

%

requiere hrs. de diseño, de armado, de pulido y hrs. de detalles

&

$

"

%

Þ

Los recursos que se disponen son: 610 hrs. de diseño, 334 hrs. de armado, 288 hrs.

de pulido y 172 hrs. para detalles.

a) Determine el nivel de producción de modo, de ocupar todos los recursos.

b) Los costos por hora para el diseño es de $10, los costos por hora para el armado

es de $20, los costos por hora en las máquinas de pulido es de $12 y por terminar

los detalles se cobra $5 la hora. Calcular usando matrices el costo por unidad para

elaborar los productos:

T ß T ß T

" # $

y

T

%

.

c) Hay más demanda por el producto

T

%

que por el producto

T ß

"

esto obliga a

cambiar el nivel de producción acostumbrado. Se impone la producción de 20 de

T ß #!

"

de

T ß &

#

de

T

$

y 25 de

T Þ

%

Determine usando matrices, si es necesario

adquirir más recursos.

Solución.

a)

"!B  #B  B  &B œ '"!

" # $ %

%B  $B  #B  $B œ $$%

" # $ %

&B  B

" #

 B œ #))

%

#B  B  B  %B œ "(#

" # $ %

\ œ E , Í \ œ

&!

$!

"!

)

"

Ô ×

Ö Ù

Ö Ù

Õ Ø

Se deben producir 50 unidades de

À

T ß $!

"

de

T ß "!

#

de

T

$

y 8 de

T Þ

%

b)

E - œ

œ

"!

%

&

#

"!

#&!

#

$

"

"

#!

*(

"

#

!

"

"#

'#

&

$

"

%

&

"%#

>

Ô

×Ô × Ô

×

Ö

ÙÖ Ù Ö

Ù

Ö

ÙÖ Ù Ö

Ù

Õ

ØÕ Ø Õ

Ø

c) E \ œ

œ

Ê

"!

#

"

&

#!

$(!

%

$

#

$

#!

##&

&

"

!

"

&

"%&

#

"

"

%

#&

"'&

w

Ô

×Ô × Ô

×

Ö

ÙÖ Ù Ö

Ù

Ö

ÙÖ Ù Ö

Ù

Õ

ØÕ Ø Õ

Ø

(6)

adquirir más recursos.

Problema 6.

Gas-Chile, tomó los siguientes datos sobre la eficiencia de combustible (97 octanos)

en Km / lt. para automóviles (de alto rendimiento) en un tramo de la carretera del

Norte.

Año

Km

/

lt.

1996

15.5

1997

15.9

1998

16.7

1999

17.1

2000

17.8

2001

18.2

2002

18.3

2003

19.2

2004

20.0

a) Encuentre una recta que ajuste por mínimos cuadrados y grafíquela (B œ !

representa a 1996 ,

† † † B œ )

,

representa a 2004). Analice si la recta parece

razonable para los datos.

b) Suponga que la tendencia se mantiene, ocupe tal tendencia para predecir el año en

que el promedio será de 25.

Solución.

a)

E œ

ß E E œ

ß

"

!

"

"

"

#

"

$

"

%

"

&

"

'

"

(

"

)

*

$'

$'

#!%

Ô

×

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

(7)

ÐE EÑ

œ

#!%

 $'

ß ] œ

 $'

*

"&Þ&

"&Þ*

"'Þ(

"(Þ"

"(Þ)

")Þ#

")Þ$

"*Þ#

#!Þ!

> " "

&%!

Ô

×

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

\ œ ÐE EÑ E ] œ

"&Þ%)(

Ê C œ !Þ&$( B  "&Þ%)(

!Þ&$(

> " >

La recta es razonable pués la pendiente es positiva lo que indica crecimiento.

b)

C œ #& Ê #& œ !Þ&$( B  "&Þ%)( Í B œ "(Þ(" Ê

Entre los años

#!"$

y

#!"%.

Problema 7.

Sea

X À

$

Ä

$

una transformación lineal definida por

X Bß Cß D œ 5B  $Cß B  #C  Dß 5B  C  D

a

b a

b

a) Determine de modo que

5

.37 O/<X œ "

b) Considere

5 œ "

y encuentre una base para la

M7 X ß

¿es

X

invertible? en caso

afirmativo determine una fórmula para X

"

Þ

c) Encuentre la matriz representativa de

X

con respecto a las bases

W Ä W ß

" #

donde

W œ Ö "ß "ß ! ß "ß  "ß # ß !ß "ß # ×

"

a

b a

b a

b

y

W œ Ö !ß "ß " ß #ß "ß ! ß  "ß "ß $ ×

#

a

b a

b a

b

.

Considere también

5 œ "

.

Solución.

a)

a

− O/<X Í

œ Bß Cß D Î

µ

5

$

!

ã !

"

 #

"

ã !

5

"

 "

ã !

!

!

a

b

Ô

×

Õ

Ø

luego

Ô

× Ô

×

Õ

Ø Õ

Ø

5

$

!

ã !

%5  $

!

!

ã !

"

 #

"

ã !

"

 #

"

ã !

5  "

 "

!

ã !

5  "

 "

!

ã !

µ

ß

.37 O/<X œ " Ê %5  $ œ ! Í 5 œ 

$

%

(8)

E œ

Í E

œ

Ê

"

$

!

"

$

$

"

 #

"

#

 "

 "

"

"

 "

$

#

 &

Ô

×

Ô

×

Õ

Ø

"

Õ

Ø

" (

X

"

a

Bß Cß D œ

b

"(

a

B  $C  $Dß #B  C  Dß $B  #C  &D

b

c) X "ß "ß !

a

b

œ %ß  "ß # œ  ) !ß "ß " 

a

b

a

b

""$

a

#ß "ß ! 

b

"!$

a

 "ß "ß $

b

X "ß  "ß # œ  #ß &ß  # œ "% !ß "ß " 

a

b a

b

a

b

""$

a

#ß "ß ! 

b

"'$

a

 "ß "ß $

b

X !ß "ß #

a

b

œ $ß !ß  " œ  # !ß "ß " 

a

b

a

b

$&

a

#ß "ß ! 

b

"$

a

 "ß "ß $

b

luego

F œ

 )

"%

 #

Ô

×

Ö

Ù

Õ

Ø

"" "" &

$ $ $

"! "' "

$ $ $

Problema 8.

Dada

E œ

5

#

"

#

 "

:

"

#

!

Ô

×

Õ

Ø

a) Determine y de modo que

5

:

sea un vector propio para

E

.

"

"

"

Ô ×

Õ Ø

b) Sea

W

la base de vectores propios de la matriz , para los valores de y que

E

5

:

determinó en a). Determine

T

matriz de cambio de base de

W

a

W ß

w

siendo

W

w

la

base canónica de

$

y verifique que

T

"

ET œ Hß H

matriz diagonal

Solución.

a)

Ô

×Ô ×

Ô ×

Õ

ØÕ Ø

Õ Ø

5

#

"

"

"

#

 "

:

"

"

"

#

!

"

"

œ >

Í

5  #  " œ >

#  "  : œ > Í > œ $ Ê 5 œ ! • : œ #

"  # œ >

(9)

Ô

× Ô

,

×

y

Ô ×

Õ

Ø Õ

Ø

Õ Ø

"

"

"

 #

!

"

"

 "

"

asociados a , y

> >

" #

>

$

respectivamente luego

ß

T œ

ß T

œ

y

E œ

"

"

"

"

 #

"

!

#

"

 #

!

"

$

!

 $

#

 "

#

"

 "

"

#

#

#

"

#

!

Ô

×

Ô

×

Ô

×

Õ

Ø

Õ

Ø

Õ

Ø

" " '

T

ET œ

 $

!

!

!

 "

!

!

!

$

"

Ô

×

Õ

Ø

Problema 9.

Encuentre la matriz de proyección

T

[¼

sobre la recta

[ ß

¼

donde

[ œ Ö Bß Cß D Î B  C  #D œ ! ×

a

b

y verifique que T T

[ [¼

œ !

Solución.

De inmediato

[

œ ØÖ "ß  "ß  # ×Ù Ê E œ

y,

"

 "

 #

¼

a

b

Ô

×

Õ

Ø

T

œ E E E

E œ

"

Ê T

œ M  T

Í

'

"

 "

 #

 "

"

#

 #

#

%

a

>

b

" > [ $ [¼

Ô

×

Õ

Ø

y fácilmente se verifica que

T

œ

"

'

&

"

#

"

&

 #

#

 #

#

[

Ô

×

Õ

Ø

T T

[ [¼

œ !

Problema 10.

Demuestre que si

! !

>

!

entonces

! !

>

tiene

"

#

8 3

œ "ß

œ

ß + −

ß

T œ

+

+

ã

+

Ô ×

Ö Ù

Ö Ù

Õ Ø

rango 1 y que

T

es la matriz de proyección al espacio { } .

Ø

!

Ù

Demostración.

(10)

T œ

µ

µ

+

+ +

â

+ +

+ +

+

â

+ +

â

â

â

â

+ +

+ +

â

+

+

+

â

+

+

+

â

+

â

â

â

â

â

â

â

â

+

+

â

+

!

!

â

!

+

+

â

+

!

!

â

!

Ô

× Ô

× Ô

×

Ö

Ù Ö

Ù Ö

Ù

Ö

Ù Ö

Ù Ö

Ù

Õ

Ø Õ

Ø Õ

Ø

" #

" # " 8 # " ## # 8

8 " 8 # #8

" # 8 " # 8

" # 8

" # 8

si se consideran algunos

la demostración es similar.

Ê < T œ " ß

a b

+ Á !

3

De inmediato

E œ

y

+

+

ã

+

Ô ×

Ö Ù

Ö Ù

Õ Ø

" #

8

+ + †††+

E E E

a

>

b

"

E œ

> "

EE œ T Þ

>

" #

# #

8 #

Problema 11.

Dada

X À Q

8‚8

Ä Q

8‚8

una función definida por

X E œ E  E

a b

>

a) Demuestre que

X

es una transformación lineal.

b) Averigue si

X

es biyectiva

Þ

c) Encuentre una base para el

O/< X ß

considere

X À Q

$‚$

Ä Q

$‚$

Þ

Solución.

a) X E  F œ E  F  E  F œ E  E  F  F œ X E  X F

a

b a

b

>

a

b a

>

b a

>

b

a b

a b

X 5E œ 5E  5E œ 5E  5E œ 5 E  E

a b a b

>

a b

>

a

>

b

b)

a E − O/< X Í X E œ E  E œ ! Í + œ !ß a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þß 8

a b

> Q 33

pero

+  + œ !ß a 3 Á 5ß 3ß 5 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8

35 53

de aquí se sigue

+ œ  + ß

35 53

+

53

parámetro no necesariamente nulo, lo que prueba que el

O/< X Á

{ }, por

)

tanto

X

no es biyectiva.

c)

a E − O/< X Í X E œ E  E œ ! ß

con

E œ

Ê

+

+

+

+

+

+

+

+

+

a b

Ô

×

Õ

Ø

> "" "# "$ #" ## #$ $" $# $$

Q

+

""

œ +

##

œ +

$$

œ ! • +

"#

œ  + ß +

#" "$

œ  +

$"

y

+

#$

œ  +

$#

luego

0

0

0

E œ

 +

 +

+

 +

+

+

Ô

×

Õ

Ø

#" $"

#" $#

$" $#

E œ +

 +

 +

!

 "

!

!

!

 "

!

!

!

"

!

!

!

!

!

!

!

 "

!

!

!

"

!

!

!

"

!

#" $" $#

Ô

×

Ô

×

Ô

×

Õ

Ø

Õ

Ø

Õ

Ø

(11)

š

Ô

× Ô

× Ô

×

Õ

Ø Õ

Ø Õ

Ø

!

 "

!

!

!

 "

!

!

!

"

!

!

!

!

!

!

!

 "

!

!

!

"

!

!

!

"

!

ß

ß

Problema 12.

Sea

X À

$

Ä

%

ß

una

X ÞPÞ

definida por

E œ

"

"

"

#

%

)

$

*

#"

%

"'

%!

Ô

×

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

con respecto a

À W Ä W

" #

donde:

W œ Ö "ß "ß " ß !ß "ß " ß !ß !ß " ×

"

a

b a

b a

b

W œ Ö "ß "ß "ß " ß !ß  "ß !ß " ß "ß !ß  "ß ! ß "ß #ß "ß # ×

#

a

b a

b a

b a

b

a) A partir de

W

#

encuentre una base ortonormal para

%

.

b) Determine la matriz representativa de

X ß

con respecto a bases canónicas de

$

Ä

%

respectivamente.

c) Encuentre una base para el

O/< X

y otra para la

M7 X Þ

Solución.

a)

"

"

œ Ð"ß "ß "ß "Ñß

"

#

œ Ð!ß  "ß !ß "Ñß

"

$

œ Ð"ß !ß  "ß !Ñ

"

%

œ "ß #ß "ß #  Ð"ß "ß "ß "Ñ œ

Ð  "ß "ß  "ß "Ñ

$

"

#

#

a

b

Base ortonormal para

%

"

"

"

"

" # $ %

œ Ö

"

ß

"

ß

"

ß

"

×

#

È

#

È

#

#

b)

F œ T EU ß

donde

T œ

ß U œ

"

!

"

"

"

 "

!

#

"

!

 "

"

"

"

!

#

"

!

!

"

"

!

"

"

"

"

Ô

×

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

Ô

×

Õ

Ø

F œ

 ")

 $'

'#

 ##

 %%

($

 '

 "#

#!

 #'

 &#

)*

Ô

×

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

c) Una base para M7 X œ Ö *ß ""ß $ß "$ ß '#ß ($ß #!ß )* ×

a

b a

b

Una base para O/< X œ Ö  "ß "ß ! ×

a

b

(12)

Dadas

E œ

ß ] œ

%

#

 "

#

+

$

#

#

 "

,

#

#

&

 %

-&

#

 %

&

.

Ô

×

Ô ×

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Ö Ù

Õ

Ø

Õ Ø

Determine una base para el subespacio

[

definido por:

sea compatible

[ œ

+

,

Î E \ œ ]

a \ œ

B

-

.

B

B

B

˜

Ô ×

Ö Ù

Ö Ù

Õ Ø

" # $ %

Solución.

E \ œ ] Í

Ô

× Ô

×

Ö

Ù Ö

Ù

Ö

Ù Ö

Ù

Õ

Ø Õ

Ø

%

#

 "

#

À

+

%

#

 "

#

À

+

$

#

#

 "

À

,

 "

!

$

 $

À

,  +

#

#

&

 %

À

-

 #

!

'

 '

À

-  +

&

#

 %

&

À

.

"

!

 $

$

À

.  +

µ

µ

!

#

""

 "!

À

%,  $+

"

!

 $

 "!

À

+  ,

!

!

!

!

À

+  #, 

-!

!

!

!

À

 #+  ,  .

Ô

×

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

E \ œ ]

Í

+  #,  - œ !

 #+  ,  . œ !

es compatible

luego

a \ − [ Í \ œ

+

,

-

.

Î - œ  +  #,

. œ #+  ,

\ œ

+

,

œ +

"

!

 ,

!

"

 +  #,

#+  ,

 "

#

#

 "

Ô

[ œ

"

!

ß

!

"

 "

#

#

 "

  ˜

• ”

™ ¡

es L.I. por tanto una base para

˜

"

!

• ”

!

"

(13)

Problema 14.

Si

Ö@ ×

3

es una base para un espacio vectorial V sobre , si

- Á !

y

3œ7

3œ"

? œ - @  , @

4 4 4 7

con

4 œ "ß #ß $ß † † † † Ð7  "ÑÞ

Demuestre que

Ö? ×

4 4œ"

es linealmente independiente pero no una base para V.

4œ7"

Solución.

Si

!

por demostrar

3œ"

7"

3 3 3

+ ? œ

)

+ œ ! a 3 œ "ß #ß † † † † ß 7  "

De la hipótesis se tiene

!

(

3œ" 7"

3

+ - @  , @ Ñ œ

3 3 7

)

Ô

!

!

4œ" 3œ" 7" 7"

4 4 3

+ - @  Ð

+ ,3

Ñ @ œ

7

)

Como

Ö@ ×

3 3œ"

- Á ! Ê

note que para

3œ7

es L I. y

+ œ ! a 3 œ "ß #ß † † † † ß 7  "

3

estos valores se verifica que !

3œ" 7"

3

+ ,

3

œ !

No es una base pues son solo

7  "

vectores y la dimensión de

Z

es .

7

Problema 15.

Discutir según sean los valores de los parámetros reales y el sistema lineal de

+ ,

8  "

ecuaciones con

8  "

variables, y resolver el sistema cuando sea

compatible.

B

"

 + B

8"

œ +

B

#

 + B

8"

œ +

Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ

B  + B

8 8"

œ +

+ Ð

!

B Ñ  B

œ ,

3œ" 8

3 8"

Solución.

¸ ¸

E œ

"

!

!

!

+

!

"

!

!

+

!

!

"

!

+

!

!

!

"

+

+

+

+

+

"

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

(14)

œ

"

!

!

!

+

!

"

!

!

+

!

!

"

!

+

!

!

!

"

+

!

!

!

!

"  8+

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

â

#

â

¸ ¸

E œ "  8 +

#

Si

"  8 + Á

#

0

Ê + Á „

"

y cualquier real el sistema tiene única solución

,

8

È

que resulta ser

B œ B œ † † † † † œ B œ

Ð8  "Ñ +

y

B

œ

,  8 +

8 +  "

"  8 +

" # 8 # 8" #

#

Si

+ œ „

È"8

y

, œ "

el sistema tiene infinitas soluciones (con un parámetro) que

resulta ser:

B œ „

"

Ð"  B

Ñß 3 œ "ß #ß † † † † ß 8à B

parámetro.

8

3

È

8" 8"

Si

+ œ „

"

y

, Á "

Ê <ÐEÑ œ 8 Á 8  " œ <ÐE À ,Ñ Ê

el sistema es

8

È

incompatible.

Problema 16.

Si

E œ

calcular, siempre que se pueda

F

si:

"

$

$

!

"

!

!

 #

 "

Ô

×

Õ

Ø

"

F œ ) E  # E  E

#% "! )

Solución.

Nótese que

E

es involutiva (

E œ M Ñß

# $

luego

F œ &M Ê F

$ "

œ M

"& $

Problema 17.

Sea

0 À T Ä T

una función definida por

0 Ð:ÐBÑÑ œ

.

Ð:ÐBÑÑ

.B

$ #

(15)

b) Hallar

.

(

ocupando la matriz que obtuvo en a).

.B

%  (B  'B  ")B Ñ

# $

Solución.

a) Note que

0

es una T.L. pues:

0 Ð:ÐBÑ  ;ÐBÑÑ œ Ò :ÐBÑ  ;ÐBÑ Ó œ : ÐBÑ  ; ÐBÑ œ 0 Ð:ÐBÑÑ  0 Ð;ÐBÑÑ

w w w

0 Ð5 :ÐBÑÑ œ Ò 5 :ÐBÑ Ó œ 5 : ÐBÑ œ 5 0 Ð:ÐBÑÑ

w w

Así,

0 Ð"Ñ

œ

! œ ! † B  ! † ÐB  #Ñ 

#

! † #

0 Ð"  BÑ œ  " œ ! † B  ! † ÐB  #Ñ  Ð  Ñ † #

# "

#

0 Ð"  B Ñ œ # B œ ! † B  # † ÐB  #Ñ  Ð  #Ñ † #

# #

0 Ð B Ñ

$

œ $ B œ $ † B  ! † ÐB  #Ñ 

# #

! † #

de aquí se obtiene

E œ

!

!

!

$

!

!

#

!

!

 #

!

Ô

×

Õ

"

Ø

#

b) Sea

:ÐBÑ œ %  (B  'B  ")B ß

# $

como

Ò 0 Ð:ÐBÑÑ Ó œ E Ò :ÐBÑ Ó

se tiene

W# W"

:ÐBÑ œ "( † "  Ð  (Ñ † Ð"  BÑ  Ð  'Ñ † Ð"  B Ñ  ") † B

# $

Ò 0 Ð:ÐBÑÑ Ó œ

œ

!

!

!

$

&%

!

!

#

!

 "#

!

 #

!

"(

 (

 '

")

W#

Ô

×

Ô

×

Õ

Ø

Õ

Ø

Ô

×

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

" $"

# #

luego

ß

.

(

%  (B  'B  ")B Ñ œ &% † B  Ð  "#Ñ † ÐB  #Ñ 

$"

† #

.B

#

# $ #

œ &% B  "# B  (

#

Problema 18.

E œ

"

!

 ,

!

,

$

+

,  #

"

Ô

×

(16)

a) Determine y tal que

+ ,

sea un vector propio de

#

"

!

Ô ×

Õ Ø

b) Determine y tal que

+ ,

> œ 

"#

sea un valor propio de

E

"

(no invierta )

E

c) Si

+ œ !

determine de modo que

,

E

no sea diagonalizable.

Solución.

a)

Ô

×Ô ×

Ô ×

Õ

ØÕ Ø

Õ Ø

Ú

Û

Ü

"

!

 ,

#

#

!

,

$

"

"

+

,  #

"

!

!

œ >

Ê

+ œ 

> œ "

, œ "

$ #

b)

> œ 

"

valor propio de

E

Ê > œ  #

es un valor propio de

así

#

"

Ô

×Ô ×

Ô ×

Õ

ØÕ Ø

Õ Ø

"

!

 ,

B

B

!

,

$

C

C

+

,  #

"

D

D

œ Ð  #Ñ

Ê + œ ! ” , œ ! ” , œ  #

c) Para que

E

no sea diagonalizable se debe pedir que un valor propio, tenga

multiplicidad algebraica 2 o 3 en este caso, y luego verificar su multiplicidad

geométrica(que debe ser diferente)

Notemos que

T Ð>Ñ œ Ð>  "Ñ Ò Ð>  ,Ñ Ð>  "Ñ  $ Ð,  #Ñ Ó Ê > œ "

E "

obligando

a que

> œ " Ê Ð"  ,Ñ † !  $Ð,  #Ñ œ ! Ê , œ  #ß

#

por tanto resulta

> œ > œ "

" #

para

, œ  #

cuya multiplicidad algebraica es 2 y su geométrica es 1

Por otra parte tambien se pueden obtener raíces repetidas imponiendo que

Ð>  ,Ñ Ð>  "Ñ  $ Ð,  #Ñ œ !

tenga su discriminante nulo, es decir

J

œ Ð,  "Ñ  %Ð  #,  'Ñ œ ! Ê , œ  &ß

#

en este caso:

> œ "ß > œ > œ  #

" # $

y su multiplicidad geométrica es 1.

Finalmente nótese que en este caso la multiplicidad algebraica de un valor propio no

puede ser 3, pues como

> œ "

"

para que

> œ "

#

necesáriamente

, œ  #

y esto

implica que > œ  #Þ

$

(17)

Dado

[ œ Ö \ − Q

&‚"

Î E \ œ ! ×

, donde

1

2

2

E œ

"

 "

#

- "

+

,

-#

 #

 +

+  ,  %

%

Ô

×

Õ

Ø

a) Determine los valores de

+ß ,

y de modo que la dimensión del subespacio

-[

sea: i) 3 ii) 4.

b) Encuentre tres valores para

+ß ,

y

-

para los cuales la dimensión de

[

sea 2,

exiba una base en tal caso.

Solución.

a)

1

2

2

E œ

µ

"

 "

#

- "

+

,

-#

 #

 +

+  ,  %

%

Ô

×

Õ

Ø

Ô

×

Õ

Ø

"

 "

 "

#

-!

+  "

,  "

!

!

!

!

 #+  #

+  ,

% 

Para obtener

.37 [ œ $ß

es necesario que se anule la fila 2 o la fila 3 (pero no

ambas) en caso que sea la fila 2

Ê + œ " œ ,

lo que obliga a que

- Á #Þ

Si se anula la fila 3

Ê + œ " œ , • - œ #

y en este caso la dimensión de

[

es 4.

b) Basta tomar por ejemplo:

+ œ , œ - œ !

(no es el único caso), así:

Ô

× Ô

×

Õ

Ø Õ

Ø

"

 "

 "

#

!

"

!

!

#

!

!

 "

 "

!

!

!

"

!

!

 #

!

!

#

!

%

!

!

"

!

#

µ

Ê

B œ  #B

B œ

#B

B œ  #B

" % # & $ &

Así

a \ − [ Í \ œ

œ B

 B

Ê

 #B

 #

!

#B

!

#

 #B

!

 #

B

"

!

B

!

"

Ô

×

Ô

×

Ô

×

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

Õ

Ø

Õ

Ø

% & & % &

(18)

una base para

[

resulta ser

,

 #

!

!

#

!

 #

"

!

!

"

š

Ô

× Ô

×

Ö

Ù Ö

Ù

Ö

Ù Ö

Ù

Ö

Ù Ö

Ù

Ö

Ù Ö

Ù

Õ

Ø Õ

Ø

Problema 20.

Sea

X À Z Ä [

una transformación lineal

a) Demuestre que

O/< X ß

es un subespacio de

Z Þ

b) ¿Es verdad? que si

Ö@ ×

3 3œ83œ"

es una base para

Z

entonces

Ö X Ð@ Ñ ×

3 3œ83œ"

lo es para

[ Þ

Solución.

a) Como

X Ð

)

Z

Ñ œ

)

[

Ê

)

Z

− O/< X Ê O/< X Á gÞ

a ß

− O/< X Ê X Ð Ñ œ

X Ð Ñ œ

! "

!

)

"

)

[ [

Sumando miembro a miembro resulta:

X Ð Ñ  X Ð Ñ œ

!

"

)

[

Ê X Ð  Ñ œ

!

"

)

[

Ê Ð  Ñ − O/< X ß

!

"

Tambien se tiene

5 X Ð Ñ œ 5

!

)

[

œ

)

[

Ê X Ð5 Ñ œ

!

)

[

Ê Ð5 Ñ − O/< X Þ

!

b) Es falso, pues basta tomar la base canónica de

$

y si se supone que

no es una base

X Ð"ß !ß !Ñ œ # X Ð!ß "ß !Ñ Ê Ö X Ð"ß !ß !Ñß X Ð!ß "ß !Ñß X Ð!ß !ß "Ñ ×

para el espacio de llegada de X Þ

Problema 21.

Sea

[ œ  Ö Ð"ß "ß "ß "ß "Ñ ß Ð"ß #ß $ß %ß &Ñ ß Ð"ß %ß *ß "'ß #&Ñ × 

determine

una

base ortogonal para [ Þ

Solución.

(19)

"

"

œ Ð"ß "ß "ß "ß "Ñ

"

#

œ Ð"ß #ß $ß %ß &Ñ 

"&&

Ð"ß "ß "ß "ß "Ñ œ Ð  #ß  "ß !ß "ß #Ñ

"

$

œ Ð"ß %ß *ß "'ß #&Ñ  ""Ð"ß "ß "ß "ß "Ñ  'Ð  #ß  "ß !ß "ß #Ñ

œ Ð#ß  "ß  #ß  "ß #Ñ

luego una base ortogonal para

[

resulta

Ö Ð"ß "ß "ß "ß "Ñß Ð  #ß  "ß !ß "ß #Ñß Ð#ß  "ß  #ß  "ß #Ñ ×

Problema 22.

Sea

X À

%

Ä

%

una transformación lineal definida por

X ÐBß Cß Dß >Ñ œ Ð Bß Ð  $B  C  $D  >Ñß ÐB  $C  D  >Ñß

") ")

")

Ð  (B  C  D  $>ÑÑ

a) Determine la matriz

E

representativa de

X

con respecto a las bases canónicas

de

%

b) Determine los valores y vectores propios de EÞ

c) Justifique ¿porque?

E

es diagonalizable y calcule

lim

E

8Ä_

8

Solución.

a) De inmediato E œ

)

!

!

!

 $

 "

$

 "

"

$

 "

 "

 (

 "

 "

$

"

)

Ô

×

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

b)

> œ " Ê

"

!

"

œ Ð#"ß  #ß &ß  $!Ñ

> œ

# ")

Ê

!

#

œ Ð!ß "ß "ß "Ñ

> œ

$ "#

Ê

!

$

œ Ð!ß "ß "ß  #Ñ

> œ 

% "#

Ê

!

%

œ Ð!ß  "ß "ß !Ñ

(20)

œ

#"

!

!

!

 #

"

"

 "

&

"

"

"

 $!

"

 #

!

"

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

Ô

×

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

Ô

×Ô

×

Ö

ÙÖ

Ù

Ö

ÙÖ

Ù

Ö

ÙÖ

Ù

Õ

ØÕ

Ø

" )

" #

Ð"Ñ #

" #"

* " " " #" $ $ $ " " " "

# ' ' $

" " "

' # #

8 8

8 8

tomando el límite resulta finalmente

=

Ô

×

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

"

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

# #" & #"

$! #"

Problema 23.

Determine

(si es posible) de modo que los conjuntos

W œ Ö "ß #ß  "ß " ß #ß !ß "ß " ß $ß 5ß !ß # ×

"

a

b a

b a

b

W œ Ö  %ß %ß  &ß  " ß !ß  %ß $ß  " ×

#

a

b a

b

generen al mismo subespacio de

%

.

Solución.

Como

W

#

tiene solo 2 vectores L.I., entonces genera un subespacio de dimensión

#

por tanto debemos probar dos cosas:

1) Determinar

5

de modo que

W

"

sea L.D. y que para dicho valor sean

exactamente

#

vectores L.I.

2) Se debe probar que los generadores L.I. de

#

W"

generen al mismo espacio que

los dos generadores de

W

#

para el valor de

5

encontrado.

En efecto 1)

B "ß #ß  "ß "  B #ß !ß "ß "  B $ß 5ß !ß # œ Ð!ß !ß !ß !Ñ

"

a

b

#

a

b

$

a

b

B ß B ß

" #

y

B

$

no todos nulos a la vez implica

5 œ #

2) Por probar que

 

Ö "ß #ß  "ß " ß #ß !ß "ß " × œ Ö  %ß %ß  &ß  " ß !ß  %ß $ß  " ×

a

b a

b

¡  

a

b a

b

¡

a ÐBß Cß Dß >Ñ − Ö "ß #ß  "ß " ß #ß !ß "ß " × Í

 

a

b a

b

¡

#B  C  %> œ ! • #B  D  $> œ ! "

a b

(21)

#B  C  %> œ ! • #B  D  $> œ ! #

a b

Como

a b a b

" œ #

entonces ambos conjuntos generan al mismo subespacio.

Problema 24.

Sea

Q8‚8

sobre ,

a) Sea

[ © Q

8‚8

sobre , definido por

[ œ Ö E − Q

8‚8

Î ><E œ ! ×

demuestre que és, un subespacio de

Q8‚8

y luego determine su dimensión.

b) Demuestre que

Q

8‚8

es suma directa de los conjuntos: de las matrices simétri

cas y de las antisimétricas.

Demostración.

a) i)

! − [

Q

pués

>< Ð! Ñ œ ! Ê [ Á Þ

Q

9

ii)

a Eß F − [ Ê ><E œ ! • ><F œ !

Como

><ÐE  FÑ œ ><E  ><F œ !  ! œ ! Ê ÐE  FÑ − [ Þ

iii)

a E − [ Ê ><E œ ! • a 5 −

se tiene

><Ð5EÑ œ 5 ><E œ 5 † ! œ ! Ê E − [ Þ

Por tanto

[

es un subespacio de

Q

8‚8

.

b) Se deben probar dos cosas, siendo

[ ß [

" #

subespacios de

Q

8‚8

, con

[ œ ÖE − Q

" 8‚8

Î E œ E × • [ œ ÖE − Q

> # 8‚8

Î E œ  E ×

>

1)

[  [

" #

œ Ö × • #Ñ [  [

)

" #

œ Q

8‚8

"Ñ a E − Ð[  [ Ñ Í E − [ • E − [ Í E œ E •  E œ E

" # " # > >

sumando

estas dos ecuaciones miembro a miembro resulta

# E œ !

Q

Í E œ !

Q

Ê

[  [

" #

œ Ö ×Þ

)

Como

a E − Q

8‚8

Í E œ ÐE  E Ñ  ÐE  E Ñ

"# > "# >

en donde

"#

ÐE  E Ñ − [

> "

"#

ÐE  E Ñ − [ Ê [  [

> # " #

œ Q

8‚8

Þ

Problema 25.

(22)

\ œ

 >

 >

 >

%

$

#

 "

"

!

 "

#

!

"

!

"

 "

#

#

 #

!

!

"

 #

Ô

×

Ô ×

Ô

×

Ô

×

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

Õ Ø

Õ

Ø

Õ

Ø

" # $

a) Determine una base ortogonal para O/< EÞ

b) Describa el espacio M7 EÞ

c) Determine las condiciones entre

+ß ,ß -ß .

y de modo que

/

c

+

,

-

.

/

d

>

− M7 E

>

Solución.

a) Una base para el

O/< X

es

,

por Gram Schmidt

$

#

!

 "

"

!

#

#

!

"

œ

Ô × Ô

×

Ö Ù Ö

Ù

Ö Ù Ö

Ù

Ö Ù Ö

Ù

Ö Ù Ö

Ù

Õ Ø Õ

Ø

"

"

œ

à

"

#

œ

"!"%

œ

"(

$

#

$

 "

!

 "

!

 (

"

!

"

 &

#

#

#

%

!

"

!

(

Ô ×

Ô

×

Ô ×

Ô

×

Ö Ù

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Õ Ø

Õ

Ø

Õ Ø

Õ

Ø

luego una base ortogonal es

œ

,

Ô × Ô

×

Ö Ù Ö

Ù

Ö Ù Ö

Ù

Ö Ù Ö

Ù

Ö Ù Ö

Ù

Õ Ø Õ

Ø

$

 "

!

 (

"

 &

#

%

!

(

b) Como .37 O/< X œ # Ê .37 M7 X œ &  # œ $ Ê M7 X œ

$

Þ

c)

\ œ

 >

 >

Í

%

$

#

"

!

 "

"

!

 $

!

 #

ã

%

!

"

!

!

"

!

!

"

ã

"

 "

#

#

!

!

 #

"

 #

ã

 "

!

!

"

Ô

×

Ô ×

Ô

×

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

Õ Ø

Õ

Ø

Ô

×

Õ

Ø

(23)

Ê

µ † † † µ

"

!

!

ã

+

"

!

!

ã

+

!

"

!

ã

,

!

"

!

ã

,

 $

!

 #

ã

-

!

!

!

ã

$+  -  #.

!

!

"

ã

.

!

!

"

ã

.

 #

"

 #

ã

/

 #

"

 #

ã #+  ,  #.  /

Ô

×

Ô

×

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Ö

Ù

Õ

Ø

Õ

Ø

Ê $+  -  #. œ ! • #+  ,  #.  / œ !

Problema 26.

Sean

: B

a b

y

; B

a b

polinomios en

T Þ

#

Averiguar si:

a

:ÐBÑà ;ÐBÑ œ : ! ; !  : " ; "

b

a b a b

a b a b

es un producto interior en T Þ

#

Solución.

No es un producto interior pués por ejemplo, si : B œ  B  B Ê

a b

#

a

:ÐBÑà :ÐBÑ œ : ! : !  : " : " œ !  Ð  "  "Ñ œ ! • : B Á !

b

a b a b

a b a b

# #

a b

lo que contradice que si

a

:ÐBÑà :ÐBÑ œ

b

0

Ê : B

a b

debe ser 0.

Problema 27.

Sea

Ö

! !

"

ß

#

ß Þ Þ Þ ß

!

8

×

una base ortonormal para un espacio con producto

Z

interior. Demuestre que si es un vector cualquiera de

!

Z ß

entonces

|| ||

!

#

! !

5œ" 8

5 #

œ

!a

à

b

Solución.

!

œ

!

+

!

œ

!a

! ! !

à

b

+ œ

a

! !

à

b

5œ" 5œ"

8 8

5 5 5 5

note que

5 5

|| ||

!

#

! !

(

!

! ! !

! !

! !

por propiedad

5œ" 5œ"

8 8

5 5 5 5

œ

a

à

b

œ

à

!

a

à

b

Ñ œ

!

a

à

ba

à

b

distributiva del producto interno, por tanto se tiene que || ||

!

#

! !

5œ"

8

5 #

œ

!a

à

b

Figure

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