(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)(13)
(14)(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
Problemas resueltos Luis Zegarra Agramont
ALGEBRA
LINEAL
Problema 1.
Dado el sistema
B +B B
" # $ B œ ,
%B ,B #B B œ -
" # $ % B -B #B #B œ +
" # $ %B B B
" # $ B œ + , -
%i) Determine los valores de
+ß ,
y para que el sistema dado admita como
-solución a:
\ œ
>
, para un valor del parámetro fijo.
>
"
"
#
!
!
"
"
#
Ô ×
Ô
×
Ö Ù
Ö
Ù
Ö Ù
Ö
Ù
Õ Ø
Õ
Ø
ii) Determine condiciones entre
+ß ,
y para que el sistema dado tenga solución
-exáctamente con un parámetro, luego encuentre una solución particular y la
solución del sistema homogeneo asociado en este caso.
Solución.
i)
\ œ
>
Ê \ œ
ß
qué
\
sea solución del sistema
"
"
" >
#
!
#
!
"
>
"
#
" #>
Ô ×
Ô
×
Ô
×
Ö Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ Ø
Õ
Ø
Õ
Ø
dado es que lo satisfaga es decir,
Ô
× Ô
× Ô
×
Ö
Ù Ö
Ù Ö
Ù
Ö
Ù Ö
Ù Ö
Ù
Õ
Ø Õ
Ø Õ
Ø
"
+
"
"
" >
,
"
,
#
"
#
- "
-
#
#
>
+
"
"
"
"
" #>
+ ,
-œ
Í
Resolviendo resulta:
+ œ
#$
ß , œ
"
ß - œ
"$
y
> œ
*
##
""
##
##
ii) Se debe anular una fila completa de la siguiente matriz, para obtener
exáctamente un parámetro en la solución,
Ô
×
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ
Ø
"
+
"
"
ã
,
"
,
#
"
ã
- "
-
#
#
ã
+
"
"
"
"
ã + ,
-µ † † †
luego se debe tener
Ô
×
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ
Ø
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
"
#+ -
!
!
ã
#, +
!
, -
!
"
ã
+
-!
+ $, #-
"
!
ã
#+ ,
$-!
+ #, #- "
!
!
ã
$ +
-ß
" "
$ $
" "
$ $
Ð+ #, #- " œ ! • $ + - œ !Ñ Ê + œ - • , œ
a
b
"#a
- "
b
así
resulta la solución
\ œ
>
ß >
parámetro.
#,
-!
$- "
!
-"
- $
- "
Ô
×
Ô
×
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ
Ø
Õ
Ø
a
b
a
b
a
b
a
b
" $ " '
" $ " ' " #
Problema 2.
Dado el sistema
#B B
" # B
$ B œ
&'
B B (B 5B %B
" # $ % &œ $
$B B B
" # $ B
%œ
:
a) Determine y de modo que
5
:
\ œ ÖB ß B ß B ×ß
F # % &y en este caso obtenga
P
y
.
Y
b) Resuelva por
PY
para la base
\ œ ÖB ß B ß B ×
F # $ &Solución.
a)
\ œ ÖB ß B ß B × Ê F œ
, la exigencia de
\
supone
F
"
!
"
"
5
%
"
"
!
F # % & F
Ô
×
Õ
Ø
no
Se debe hacer préviamente
T F œ
ß
con
T œ
"
!
"
"
!
!
"
"
!
!
!
"
"
5
%
!
"
!
Ô
×
Ô
×
Õ
Ø
Õ
Ø
con el fín de no imponer condiciones no necesarias para
5ß
excepto
5 Á $ß
así
y
Y œ
P œ
"
!
"
"
!
!
!
"
"
"
"
!
!
!
5 $
"
5
"
Ô
×
Ô
×
Õ
Ø
Õ
Ø
b) Nótese que la matriz
F
asociada a la base
\ œ ÖB ß B ß B ×
F # $ &es singular, por
lo que es imposible resolver el sistema con esta exigencia.
Problema 3.
Dada la matriz
E œ
"
#
$
*
#
$
&
"%
$
%
(
"*
%
&
*
#%
&
'
""
#*
Ô
×
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ
Ø
a) Determine una base para el subespacio
M7 E
.
b) Determine una base para el subespacio
O/< E [ ß
donde
[ œ Ö Bß Cß Dß > Î #B C #> œ ! ×
a
b
Solución.
a) El espacio
M7 E
está generado por los vectores columna de
Eß
entonces
1
E œ
µ
µ
‡
"
#
$
*
#
$
*
"
#
$
*
#
$
&
"%
!
"
"
%
!
"
"
"
$
%
(
"*
!
#
#
)
!
!
!
!
%
&
*
#%
!
$
$
"#
!
!
!
!
&
'
""
#*
!
%
%
"'
!
!
!
!
Ô
× Ô
× Ô
×
Ö
Ù Ö
Ù Ö
Ù
Ö
Ù Ö
Ù Ö
Ù
Ö
Ù Ö
Ù Ö
Ù
Ö
Ù Ö
Ù Ö
Ù
Õ
Ø Õ
Ø Õ
Ø
a b
luego, una base para
M7 E
es {
a
"ß #ß $ß %ß & ß #ß $ß %ß &ß ' ×
b a
b
b) De
a b
‡ ß O/< E œ Ö Bß Cß Dß > Î B D (> œ !
a
b
C D > œ ! ×
por tanto
O/< E [ œ Ö Bß Cß Dß > Î B D (> œ !
a
b
C D > œ !
Así,
a
− O/< E [ Í
œ Bß Cß Dß > Î
"
!
"
(
ã !
!
"
"
"
ã !
#
"
!
#
ã
!
!
!
a
b
Ô
×
Õ
Ø
de donde resolviendo se obtiene,
B œ >ß C œ
%
"%
> D œ
,
"(
>
$
$
$
con lo que
O/< E [ œ Ö %ß "%ß "(ß $ ×
a
b
¡
y una base del subespacio
O/< E [
,
es
Ö %ß "%ß "(ß $ ×
a
b
.
Problema 4.
En
T
#sobre , dadas las bases
‘
W œ Ö "ß " >ß " > ×
"a
b
#y
W œ Ö # >ß $ß " > ×
# #a) Determine la matriz
T
de cambio de base, de:
W Ä W Þ
# "b) Si [
: > Ó
œ
ß
determine:
: >
y
Ò: > Ó
"!
#!
$!
a b
Ô ×
a b
a b
Õ Ø
W# W1
Solución.
a)
# > œ $ † " " † Ð" >Ñ ! † " >
a
b
a
b
#$ œ $ † " ! † Ð" >Ñ ! † " >
a
b
#" > œ # † " # † Ð" >Ñ " † " >
#a
b
a
b
#de donde T œ
ß
$
$
#
"
!
#
!
!
"
Ô
×
Õ
Ø
b) De inmediato : > œ "! † # > #! † $ $! † " >
a b
a
b
a
#b
œ ""! "!> $!>
#por tanto se debe tener
""! "!> $!> œ "&! † " Ð (!Ñ † Ð" >Ñ $! † " >
#a
b
#Ê
Ò: > Ó
œ
"&!
(!
$!
a b
Ô
×
Õ
Ø
W1
Otra forma, es
À
Ò: > Ó
œ T Ò: > Ó
œ
œ
$
$
#
"!
"&!
"
!
#
#!
(!
!
!
"
$!
$!
a b
a b
Ô
×Ô × Ô
×
Õ
ØÕ Ø Õ
Ø
W1 W#
Problema 5.
requiere 10 hrs. de diseño, 4 de armado, 5 de pulido y 2 hrs. de detalles
T ß
"Þ
T ß
#requiere
#
hrs. de diseño, de armado, de pulido y hrs. de detalles
$
"
"
Þ
T ß
$requiere 1 hrs. de diseño, de armado, de pulido y hrs. de detalles
#
!
"
Þ
T ß
%requiere hrs. de diseño, de armado, de pulido y hrs. de detalles
&
$
"
%
Þ
Los recursos que se disponen son: 610 hrs. de diseño, 334 hrs. de armado, 288 hrs.
de pulido y 172 hrs. para detalles.
a) Determine el nivel de producción de modo, de ocupar todos los recursos.
b) Los costos por hora para el diseño es de $10, los costos por hora para el armado
es de $20, los costos por hora en las máquinas de pulido es de $12 y por terminar
los detalles se cobra $5 la hora. Calcular usando matrices el costo por unidad para
elaborar los productos:
T ß T ß T
" # $y
T
%.
c) Hay más demanda por el producto
T
%que por el producto
T ß
"esto obliga a
cambiar el nivel de producción acostumbrado. Se impone la producción de 20 de
T ß #!
"de
T ß &
#de
T
$y 25 de
T Þ
%Determine usando matrices, si es necesario
adquirir más recursos.
Solución.
a)
"!B #B B &B œ '"!
" # $ %%B $B #B $B œ $$%
" # $ %&B B
" # B œ #))
%#B B B %B œ "(#
" # $ %\ œ E , Í \ œ
&!
$!
"!
)
"Ô ×
Ö Ù
Ö Ù
Õ Ø
Se deben producir 50 unidades de
À
T ß $!
"de
T ß "!
#de
T
$y 8 de
T Þ
%b)
E - œ
œ
"!
%
&
#
"!
#&!
#
$
"
"
#!
*(
"
#
!
"
"#
'#
&
$
"
%
&
"%#
>Ô
×Ô × Ô
×
Ö
ÙÖ Ù Ö
Ù
Ö
ÙÖ Ù Ö
Ù
Õ
ØÕ Ø Õ
Ø
c) E \ œ
œ
Ê
"!
#
"
&
#!
$(!
%
$
#
$
#!
##&
&
"
!
"
&
"%&
#
"
"
%
#&
"'&
wÔ
×Ô × Ô
×
Ö
ÙÖ Ù Ö
Ù
Ö
ÙÖ Ù Ö
Ù
Õ
ØÕ Ø Õ
Ø
adquirir más recursos.
Problema 6.
Gas-Chile, tomó los siguientes datos sobre la eficiencia de combustible (97 octanos)
en Km / lt. para automóviles (de alto rendimiento) en un tramo de la carretera del
Norte.
Año
Km
/
lt.
1996
15.5
1997
15.9
1998
16.7
1999
17.1
2000
17.8
2001
18.2
2002
18.3
2003
19.2
2004
20.0
a) Encuentre una recta que ajuste por mínimos cuadrados y grafíquela (B œ !
representa a 1996 ,
† † † B œ )
,
representa a 2004). Analice si la recta parece
razonable para los datos.
b) Suponga que la tendencia se mantiene, ocupe tal tendencia para predecir el año en
que el promedio será de 25.
Solución.
a)
E œ
ß E E œ
ß
"
!
"
"
"
#
"
$
"
%
"
&
"
'
"
(
"
)
*
$'
$'
#!%
Ô
×
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ
Ø
”
•
ÐE EÑ
œ
#!%
$'
ß ] œ
$'
*
"&Þ&
"&Þ*
"'Þ(
"(Þ"
"(Þ)
")Þ#
")Þ$
"*Þ#
#!Þ!
> " "&%!
”
•
Ô
×
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ
Ø
\ œ ÐE EÑ E ] œ
"&Þ%)(
Ê C œ !Þ&$( B "&Þ%)(
!Þ&$(
> " >
”
•
La recta es razonable pués la pendiente es positiva lo que indica crecimiento.
b)
C œ #& Ê #& œ !Þ&$( B "&Þ%)( Í B œ "(Þ(" Ê
Entre los años
#!"$
y
#!"%.
Problema 7.
Sea
X À
‘
$Ä
‘
$una transformación lineal definida por
X Bß Cß D œ 5B $Cß B #C Dß 5B C D
a
b a
b
a) Determine de modo que
5
.37 O/<X œ "
b) Considere
5 œ "
y encuentre una base para la
M7 X ß
¿es
X
invertible? en caso
afirmativo determine una fórmula para X
"Þ
c) Encuentre la matriz representativa de
X
con respecto a las bases
W Ä W ß
" #donde
W œ Ö "ß "ß ! ß "ß "ß # ß !ß "ß # ×
"a
b a
b a
b
y
W œ Ö !ß "ß " ß #ß "ß ! ß "ß "ß $ ×
#a
b a
b a
b
.
Considere también
5 œ "
.
Solución.
a)
a
− O/<X Í
œ Bß Cß D Î
µ
5
$
!
ã !
"
#
"
ã !
5
"
"
ã !
!
!
a
b
Ô
×
Õ
Ø
luego
Ô
× Ô
×
Õ
Ø Õ
Ø
5
$
!
ã !
%5 $
!
!
ã !
"
#
"
ã !
"
#
"
ã !
5 "
"
!
ã !
5 "
"
!
ã !
µ
ß
.37 O/<X œ " Ê %5 $ œ ! Í 5 œ
$
%
E œ
Í E
œ
Ê
"
$
!
"
$
$
"
#
"
#
"
"
"
"
"
$
#
&
Ô
×
Ô
×
Õ
Ø
"Õ
Ø
" (
X
"a
Bß Cß D œ
b
"(a
B $C $Dß #B C Dß $B #C &D
b
c) X "ß "ß !
a
b
œ %ß "ß # œ ) !ß "ß "
a
b
a
b
""$a
#ß "ß !
b
"!$a
"ß "ß $
b
X "ß "ß # œ #ß &ß # œ "% !ß "ß "
a
b a
b
a
b
""$a
#ß "ß !
b
"'$a
"ß "ß $
b
X !ß "ß #
a
b
œ $ß !ß " œ # !ß "ß "
a
b
a
b
$&a
#ß "ß !
b
"$a
"ß "ß $
b
luego
F œ
)
"%
#
Ô
×
Ö
Ù
Õ
Ø
"" "" &
$ $ $
"! "' "
$ $ $
Problema 8.
Dada
E œ
5
#
"
#
"
:
"
#
!
Ô
×
Õ
Ø
a) Determine y de modo que
5
:
sea un vector propio para
E
.
"
"
"
Ô ×
Õ Ø
b) Sea
W
la base de vectores propios de la matriz , para los valores de y que
E
5
:
determinó en a). Determine
T
matriz de cambio de base de
W
a
W ß
wsiendo
W
wla
base canónica de
‘
$y verifique que
T
"ET œ Hß H
matriz diagonal
Solución.
a)
Ô
×Ô ×
Ô ×
Õ
ØÕ Ø
Õ Ø
5
#
"
"
"
#
"
:
"
"
"
#
!
"
"
œ >
Í
5 # " œ >
# " : œ > Í > œ $ Ê 5 œ ! • : œ #
" # œ >
Ô
× Ô
,
×
y
Ô ×
Õ
Ø Õ
Ø
Õ Ø
"
"
"
#
!
"
"
"
"
asociados a , y
> >
" #>
$respectivamente luego
ß
T œ
ß T
œ
y
E œ
"
"
"
"
#
"
!
#
"
#
!
"
$
!
$
#
"
#
"
"
"
#
#
#
"
#
!
Ô
×
Ô
×
Ô
×
Õ
Ø
Õ
Ø
Õ
Ø
" " '
T
ET œ
$
!
!
!
"
!
!
!
$
"
Ô
×
Õ
Ø
Problema 9.
Encuentre la matriz de proyección
T
[¼sobre la recta
[ ß
¼donde
[ œ Ö Bß Cß D Î B C #D œ ! ×
a
b
y verifique que T T
[ [¼œ !
Solución.
De inmediato
[
œ ØÖ "ß "ß # ×Ù Ê E œ
y,
"
"
#
¼
a
b
Ô
×
Õ
Ø
T
œ E E E
E œ
"
Ê T
œ M T
Í
'
"
"
#
"
"
#
#
#
%
[¼
a
>b
" > [ $ [¼Ô
×
Õ
Ø
y fácilmente se verifica que
T
œ
"
'
&
"
#
"
&
#
#
#
#
[Ô
×
Õ
Ø
T T
[ [¼œ !
Problema 10.
Demuestre que si
! !
>!
‘
entonces
! !
>tiene
"#
8 3
œ "ß
œ
ß + −
ß
T œ
+
+
ã
+
Ô ×
Ö Ù
Ö Ù
Õ Ø
rango 1 y que
T
es la matriz de proyección al espacio { } .
Ø
!
Ù
Demostración.
T œ
µ
µ
+
+ +
â
+ +
+ +
+
â
+ +
â
â
â
â
+ +
+ +
â
+
+
+
â
+
+
+
â
+
â
â
â
â
â
â
â
â
+
+
â
+
!
!
â
!
+
+
â
+
!
!
â
!
Ô
× Ô
× Ô
×
Ö
Ù Ö
Ù Ö
Ù
Ö
Ù Ö
Ù Ö
Ù
Õ
Ø Õ
Ø Õ
Ø
" #
" # " 8 # " ## # 8
8 " 8 # #8
" # 8 " # 8
" # 8
" # 8
si se consideran algunos
la demostración es similar.
Ê < T œ " ß
a b
+ Á !
3De inmediato
E œ
y
+
+
ã
+
Ô ×
Ö Ù
Ö Ù
Õ Ø
" #
8
+ + †††+
E E E
a
>b
"E œ
> "EE œ T Þ
>" #
# #
8 #
Problema 11.
Dada
X À Q
8‚8Ä Q
8‚8una función definida por
X E œ E E
a b
>a) Demuestre que
X
es una transformación lineal.
b) Averigue si
X
es biyectiva
Þ
c) Encuentre una base para el
O/< X ß
considere
X À Q
$‚$Ä Q
$‚$Þ
Solución.
a) X E F œ E F E F œ E E F F œ X E X F
a
b a
b
>a
b a
>b a
>b
a b
a b
X 5E œ 5E 5E œ 5E 5E œ 5 E E
a b a b
>a b
>a
>b
b)
a E − O/< X Í X E œ E E œ ! Í + œ !ß a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þß 8
a b
> Q 33pero
+ + œ !ß a 3 Á 5ß 3ß 5 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8
35 53de aquí se sigue
+ œ + ß
35 53+
53parámetro no necesariamente nulo, lo que prueba que el
O/< X Á
{ }, por
)
tanto
X
no es biyectiva.
c)
a E − O/< X Í X E œ E E œ ! ß
con
E œ
Ê
+
+
+
+
+
+
+
+
+
a b
Ô
×
Õ
Ø
> "" "# "$ #" ## #$ $" $# $$
Q
+
""œ +
##œ +
$$œ ! • +
"#œ + ß +
#" "$œ +
$"y
+
#$œ +
$#luego
0
0
0
E œ
+
+
+
+
+
+
Ô
×
Õ
Ø
#" $"
#" $#
$" $#
E œ +
+
+
!
"
!
!
!
"
!
!
!
"
!
!
!
!
!
!
!
"
!
!
!
"
!
!
!
"
!
#" $" $#
Ô
×
Ô
×
Ô
×
Õ
Ø
Õ
Ø
Õ
Ø
š
Ô
× Ô
× Ô
×
›
Õ
Ø Õ
Ø Õ
Ø
!
"
!
!
!
"
!
!
!
"
!
!
!
!
!
!
!
"
!
!
!
"
!
!
!
"
!
ß
ß
Problema 12.
Sea
X À
‘
$Ä
‘
%ß
una
X ÞPÞ
definida por
E œ
"
"
"
#
%
)
$
*
#"
%
"'
%!
Ô
×
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ
Ø
con respecto a
À W Ä W
" #donde:
W œ Ö "ß "ß " ß !ß "ß " ß !ß !ß " ×
"a
b a
b a
b
W œ Ö "ß "ß "ß " ß !ß "ß !ß " ß "ß !ß "ß ! ß "ß #ß "ß # ×
#a
b a
b a
b a
b
a) A partir de
W
#encuentre una base ortonormal para
‘
%.
b) Determine la matriz representativa de
X ß
con respecto a bases canónicas de
‘
$Ä
‘
%respectivamente.
c) Encuentre una base para el
O/< X
y otra para la
M7 X Þ
Solución.
a)
"
"œ Ð"ß "ß "ß "Ñß
"
#œ Ð!ß "ß !ß "Ñß
"
$œ Ð"ß !ß "ß !Ñ
"
%œ "ß #ß "ß # Ð"ß "ß "ß "Ñ œ
Ð "ß "ß "ß "Ñ
$
"
#
#
a
b
Base ortonormal para
‘
%"
"
"
"
" # $ %
œ Ö
"
ß
"
ß
"
ß
"
×
#
È
#
È
#
#
b)
F œ T EU ß
donde
T œ
ß U œ
"
!
"
"
"
"
!
#
"
!
"
"
"
"
!
#
"
!
!
"
"
!
"
"
"
"Ô
×
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ
Ø
Ô
×
Õ
Ø
F œ
")
$'
'#
##
%%
($
'
"#
#!
#'
&#
)*
Ô
×
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ
Ø
c) Una base para M7 X œ Ö *ß ""ß $ß "$ ß '#ß ($ß #!ß )* ×
a
b a
b
Una base para O/< X œ Ö "ß "ß ! ×
a
b
Dadas
E œ
ß ] œ
%
#
"
#
+
$
#
#
"
,
#
#
&
%
-&
#
%
&
.
Ô
×
Ô ×
Ö
Ù
Ö Ù
Ö
Ù
Ö Ù
Õ
Ø
Õ Ø
Determine una base para el subespacio
[
definido por:
sea compatible
[ œ
+
,
Î E \ œ ]
a \ œ
B
-
.
B
B
B
˜
”
•
Ô ×
Ö Ù
Ö Ù
™
Õ Ø
" # $ %Solución.
E \ œ ] Í
Ô
× Ô
×
Ö
Ù Ö
Ù
Ö
Ù Ö
Ù
Õ
Ø Õ
Ø
%
#
"
#
À
+
%
#
"
#
À
+
$
#
#
"
À
,
"
!
$
$
À
, +
#
#
&
%
À
-
#
!
'
'
À
- +
&
#
%
&
À
.
"
!
$
$
À
. +
µ
µ
!
#
""
"!
À
%, $+
"
!
$
"!
À
+ ,
!
!
!
!
À
+ #,
-!
!
!
!
À
#+ , .
Ô
×
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ
Ø
E \ œ ]
Í
+ #, - œ !
#+ , . œ !
es compatible
luego
a \ − [ Í \ œ
”
+
,
•
-
.
Î - œ + #,
. œ #+ ,
\ œ
+
,
œ +
"
!
,
!
"
+ #,
#+ ,
"
#
#
"
”
•
”
•
”
•
Ô
[ œ
"
!
ß
!
"
"
#
#
"
˜
”
• ”
•
™ ¡
es L.I. por tanto una base para
˜
”
"
!
• ”
!
"
•
™
Problema 14.
Si
Ö@ ×
3es una base para un espacio vectorial V sobre , si
- Á !
y
3œ7
3œ"
‘
? œ - @ , @
4 4 4 7con
4 œ "ß #ß $ß † † † † Ð7 "ÑÞ
Demuestre que
Ö? ×
4 4œ"es linealmente independiente pero no una base para V.
4œ7"
Solución.
Si
!
por demostrar
3œ"7"
3 3 3
+ ? œ
)
+ œ ! a 3 œ "ß #ß † † † † ß 7 "
De la hipótesis se tiene
!
(
3œ" 7"3
+ - @ , @ Ñ œ
3 3 7)
Ô
!
!
4œ" 3œ" 7" 7"
4 4 3
+ - @ Ð
+ ,3
Ñ @ œ
7)
Como
Ö@ ×
3 3œ"- Á ! Ê
note que para
3œ7
es L I. y
+ œ ! a 3 œ "ß #ß † † † † ß 7 "
3estos valores se verifica que !
3œ" 7"
3
+ ,
3œ !
No es una base pues son solo
7 "
vectores y la dimensión de
Z
es .
7
Problema 15.
Discutir según sean los valores de los parámetros reales y el sistema lineal de
+ ,
8 "
ecuaciones con
8 "
variables, y resolver el sistema cuando sea
compatible.
B
" + B
8"œ +
B
# + B
8"œ +
Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ
B + B
8 8"œ +
+ Ð
!
B Ñ B
œ ,
3œ" 8
3 8"
Solución.
¸ ¸
E œ
"
!
!
†
†
†
!
+
!
"
!
†
†
†
!
+
!
!
"
†
†
†
!
+
†
†
†
†
†
†
†
†
!
!
!
†
†
†
"
+
+
+
+
†
†
†
+
"
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
œ
"
!
!
†
†
†
!
+
!
"
!
†
†
†
!
+
!
!
"
†
†
†
!
+
†
†
†
†
†
†
†
†
!
!
!
†
†
†
"
+
!
!
!
†
†
†
!
" 8+
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
#â
¸ ¸
E œ " 8 +
#Si
" 8 + Á
#0
Ê + Á „
"y cualquier real el sistema tiene única solución
,
8È
que resulta ser
B œ B œ † † † † † œ B œ
Ð8 "Ñ +
y
B
œ
, 8 +
8 + "
" 8 +
" # 8 # 8" #
#
Si
+ œ „
È"8y
, œ "
el sistema tiene infinitas soluciones (con un parámetro) que
resulta ser:
B œ „
"
Ð" B
Ñß 3 œ "ß #ß † † † † ß 8à B
parámetro.
8
3
È
8" 8"Si
+ œ „
"
y
, Á "
Ê <ÐEÑ œ 8 Á 8 " œ <ÐE À ,Ñ Ê
el sistema es
8
È
incompatible.
Problema 16.
Si
E œ
calcular, siempre que se pueda
F
si:
"
$
$
!
"
!
!
#
"
Ô
×
Õ
Ø
"
F œ ) E # E E
#% "! )Solución.
Nótese que
E
es involutiva (
E œ M Ñß
# $luego
F œ &M Ê F
$ "œ M
"& $Problema 17.
Sea
0 À T Ä T
una función definida por
0 Ð:ÐBÑÑ œ
.
Ð:ÐBÑÑ
.B
$ #
b) Hallar
.
(
ocupando la matriz que obtuvo en a).
.B
% (B 'B ")B Ñ
# $
Solución.
a) Note que
0
es una T.L. pues:
0 Ð:ÐBÑ ;ÐBÑÑ œ Ò :ÐBÑ ;ÐBÑ Ó œ : ÐBÑ ; ÐBÑ œ 0 Ð:ÐBÑÑ 0 Ð;ÐBÑÑ
w w w0 Ð5 :ÐBÑÑ œ Ò 5 :ÐBÑ Ó œ 5 : ÐBÑ œ 5 0 Ð:ÐBÑÑ
w wAsí,
0 Ð"Ñ
œ
! œ ! † B ! † ÐB #Ñ
#! † #
0 Ð" BÑ œ " œ ! † B ! † ÐB #Ñ Ð Ñ † #
# "#
0 Ð" B Ñ œ # B œ ! † B # † ÐB #Ñ Ð #Ñ † #
# #0 Ð B Ñ
$œ $ B œ $ † B ! † ÐB #Ñ
# #! † #
de aquí se obtiene
E œ
!
!
!
$
!
!
#
!
!
#
!
Ô
×
Õ
"Ø
#
b) Sea
:ÐBÑ œ % (B 'B ")B ß
# $como
Ò 0 Ð:ÐBÑÑ Ó œ E Ò :ÐBÑ Ó
se tiene
W# W"
:ÐBÑ œ "( † " Ð (Ñ † Ð" BÑ Ð 'Ñ † Ð" B Ñ ") † B
# $Ò 0 Ð:ÐBÑÑ Ó œ
œ
!
!
!
$
&%
!
!
#
!
"#
!
#
!
"(
(
'
")
W#
Ô
×
Ô
×
Õ
Ø
Õ
Ø
Ô
×
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ
Ø
" $"
# #
luego
ß
.
(
% (B 'B ")B Ñ œ &% † B Ð "#Ñ † ÐB #Ñ
$"
† #
.B
#
# $ #
œ &% B "# B (
#Problema 18.
E œ
"
!
,
!
,
$
+
, #
"
Ô
×
a) Determine y tal que
+ ,
sea un vector propio de
EÞ
#
"
!
Ô ×
Õ Ø
b) Determine y tal que
+ ,
> œ
"#sea un valor propio de
E
"(no invierta )
E
c) Si
+ œ !
determine de modo que
,
E
no sea diagonalizable.
Solución.
a)
Ô
×Ô ×
Ô ×
Õ
ØÕ Ø
Õ Ø
Ú
Û
Ü
"
!
,
#
#
!
,
$
"
"
+
, #
"
!
!
œ >
Ê
+ œ
> œ "
, œ "
$ #
b)
> œ
"
valor propio de
E
Ê > œ #
es un valor propio de
Eß
así
#
"
Ô
×Ô ×
Ô ×
Õ
ØÕ Ø
Õ Ø
"
!
,
B
B
!
,
$
C
C
+
, #
"
D
D
œ Ð #Ñ
Ê + œ ! ” , œ ! ” , œ #
c) Para que
E
no sea diagonalizable se debe pedir que un valor propio, tenga
multiplicidad algebraica 2 o 3 en este caso, y luego verificar su multiplicidad
geométrica(que debe ser diferente)
Notemos que
T Ð>Ñ œ Ð> "Ñ Ò Ð> ,Ñ Ð> "Ñ $ Ð, #Ñ Ó Ê > œ "
E "obligando
a que
> œ " Ê Ð" ,Ñ † ! $Ð, #Ñ œ ! Ê , œ #ß
#por tanto resulta
> œ > œ "
" #para
, œ #
cuya multiplicidad algebraica es 2 y su geométrica es 1
Por otra parte tambien se pueden obtener raíces repetidas imponiendo que
Ð> ,Ñ Ð> "Ñ $ Ð, #Ñ œ !
tenga su discriminante nulo, es decir
J
œ Ð, "Ñ %Ð #, 'Ñ œ ! Ê , œ &ß
#en este caso:
> œ "ß > œ > œ #
" # $y su multiplicidad geométrica es 1.
Finalmente nótese que en este caso la multiplicidad algebraica de un valor propio no
puede ser 3, pues como
> œ "
"para que
> œ "
#necesáriamente
, œ #
y esto
implica que > œ #Þ
$Dado
[ œ Ö \ − Q
&‚"Î E \ œ ! ×
, donde
1
2
2
E œ
"
"
#
- "
+
,
-#
#
+
+ , %
%
Ô
×
Õ
Ø
a) Determine los valores de
+ß ,
y de modo que la dimensión del subespacio
-[
sea: i) 3 ii) 4.
b) Encuentre tres valores para
+ß ,
y
-
para los cuales la dimensión de
[
sea 2,
exiba una base en tal caso.
Solución.
a)
1
2
2
E œ
µ
"
"
#
- "
+
,
-#
#
+
+ , %
%
Ô
×
Õ
Ø
Ô
×
Õ
Ø
"
"
"
#
-!
+ "
, "
!
!
!
!
#+ #
+ ,
%
Para obtener
.37 [ œ $ß
es necesario que se anule la fila 2 o la fila 3 (pero no
ambas) en caso que sea la fila 2
Ê + œ " œ ,
lo que obliga a que
- Á #Þ
Si se anula la fila 3
Ê + œ " œ , • - œ #
y en este caso la dimensión de
[
es 4.
b) Basta tomar por ejemplo:
+ œ , œ - œ !
(no es el único caso), así:
Ô
× Ô
×
Õ
Ø Õ
Ø
"
"
"
#
!
"
!
!
#
!
!
"
"
!
!
!
"
!
!
#
!
!
#
!
%
!
!
"
!
#
µ
Ê
B œ #B
B œ
#B
B œ #B
" % # & $ &Así
a \ − [ Í \ œ
œ B
B
Ê
#B
#
!
#B
!
#
#B
!
#
B
"
!
B
!
"
Ô
×
Ô
×
Ô
×
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ
Ø
Õ
Ø
Õ
Ø
% & & % &
una base para
[
resulta ser
,
#
!
!
#
!
#
"
!
!
"
š
›
Ô
× Ô
×
Ö
Ù Ö
Ù
Ö
Ù Ö
Ù
Ö
Ù Ö
Ù
Ö
Ù Ö
Ù
Õ
Ø Õ
Ø
Problema 20.
Sea
X À Z Ä [
una transformación lineal
a) Demuestre que
O/< X ß
es un subespacio de
Z Þ
b) ¿Es verdad? que si
Ö@ ×
3 3œ83œ"es una base para
Z
entonces
Ö X Ð@ Ñ ×
3 3œ83œ"lo es para
[ Þ
Solución.
a) Como
X Ð
)
ZÑ œ
)
[Ê
)
Z− O/< X Ê O/< X Á gÞ
a ß
− O/< X Ê X Ð Ñ œ
X Ð Ñ œ
! "
!
)
"
)
[ [Sumando miembro a miembro resulta:
X Ð Ñ X Ð Ñ œ
!
"
)
[Ê X Ð Ñ œ
!
"
)
[Ê Ð Ñ − O/< X ß
!
"
Tambien se tiene
5 X Ð Ñ œ 5
!
)
[œ
)
[Ê X Ð5 Ñ œ
!
)
[Ê Ð5 Ñ − O/< X Þ
!
b) Es falso, pues basta tomar la base canónica de
‘
$y si se supone que
no es una base
X Ð"ß !ß !Ñ œ # X Ð!ß "ß !Ñ Ê Ö X Ð"ß !ß !Ñß X Ð!ß "ß !Ñß X Ð!ß !ß "Ñ ×
para el espacio de llegada de X Þ
Problema 21.
Sea
[ œ Ö Ð"ß "ß "ß "ß "Ñ ß Ð"ß #ß $ß %ß &Ñ ß Ð"ß %ß *ß "'ß #&Ñ ×
determine
una
base ortogonal para [ Þ
Solución.
"
"œ Ð"ß "ß "ß "ß "Ñ
"
#œ Ð"ß #ß $ß %ß &Ñ
"&&Ð"ß "ß "ß "ß "Ñ œ Ð #ß "ß !ß "ß #Ñ
"
$œ Ð"ß %ß *ß "'ß #&Ñ ""Ð"ß "ß "ß "ß "Ñ 'Ð #ß "ß !ß "ß #Ñ
œ Ð#ß "ß #ß "ß #Ñ
luego una base ortogonal para
[
resulta
Ö Ð"ß "ß "ß "ß "Ñß Ð #ß "ß !ß "ß #Ñß Ð#ß "ß #ß "ß #Ñ ×
Problema 22.
Sea
X À
‘
%Ä
‘
%una transformación lineal definida por
X ÐBß Cß Dß >Ñ œ Ð Bß Ð $B C $D >Ñß ÐB $C D >Ñß
") ")")
Ð (B C D $>ÑÑ
a) Determine la matriz
E
representativa de
X
con respecto a las bases canónicas
de
‘
%b) Determine los valores y vectores propios de EÞ
c) Justifique ¿porque?
E
es diagonalizable y calcule
lim
E
8Ä_8
Solución.
a) De inmediato E œ
)
!
!
!
$
"
$
"
"
$
"
"
(
"
"
$
")
Ô
×
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ
Ø
b)
> œ " Ê
"!
"œ Ð#"ß #ß &ß $!Ñ
> œ
# ")Ê
!
#œ Ð!ß "ß "ß "Ñ
> œ
$ "#Ê
!
$œ Ð!ß "ß "ß #Ñ
> œ
% "#Ê
!
%œ Ð!ß "ß "ß !Ñ
œ
#"
!
!
!
#
"
"
"
&
"
"
"
$!
"
#
!
"
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
Ô
×
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ
Ø
Ô
×Ô
×
Ö
ÙÖ
Ù
Ö
ÙÖ
Ù
Ö
ÙÖ
Ù
Õ
ØÕ
Ø
" )
" #
Ð"Ñ #
" #"
* " " " #" $ $ $ " " " "
# ' ' $
" " "
' # #
8 8
8 8
tomando el límite resulta finalmente
=
Ô
×
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ
Ø
"
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
# #" & #"
$! #"
Problema 23.
Determine
5ß
(si es posible) de modo que los conjuntos
W œ Ö "ß #ß "ß " ß #ß !ß "ß " ß $ß 5ß !ß # ×
"a
b a
b a
b
W œ Ö %ß %ß &ß " ß !ß %ß $ß " ×
#a
b a
b
generen al mismo subespacio de
‘
%.
Solución.
Como
W
#tiene solo 2 vectores L.I., entonces genera un subespacio de dimensión
#
por tanto debemos probar dos cosas:
1) Determinar
5
de modo que
W
"sea L.D. y que para dicho valor sean
exactamente
#
vectores L.I.
2) Se debe probar que los generadores L.I. de
#
W"
generen al mismo espacio que
los dos generadores de
W
#para el valor de
5
encontrado.
En efecto 1)
B "ß #ß "ß " B #ß !ß "ß " B $ß 5ß !ß # œ Ð!ß !ß !ß !Ñ
"a
b
#a
b
$a
b
B ß B ß
" #y
B
$no todos nulos a la vez implica
5 œ #
2) Por probar que
Ö "ß #ß "ß " ß #ß !ß "ß " × œ Ö %ß %ß &ß " ß !ß %ß $ß " ×
a
b a
b
¡
a
b a
b
¡
a ÐBß Cß Dß >Ñ − Ö "ß #ß "ß " ß #ß !ß "ß " × Í
a
b a
b
¡
#B C %> œ ! • #B D $> œ ! "
a b
#B C %> œ ! • #B D $> œ ! #
a b
Como
a b a b
" œ #
entonces ambos conjuntos generan al mismo subespacio.
Problema 24.
Sea
Q8‚8
sobre ,
‘
a) Sea
[ © Q
8‚8sobre , definido por
‘
[ œ Ö E − Q
8‚8Î ><E œ ! ×
demuestre que és, un subespacio de
Q8‚8
y luego determine su dimensión.
b) Demuestre que
Q
8‚8es suma directa de los conjuntos: de las matrices simétri
cas y de las antisimétricas.
Demostración.
a) i)
! − [
Qpués
>< Ð! Ñ œ ! Ê [ Á Þ
Q9
ii)
a Eß F − [ Ê ><E œ ! • ><F œ !
Como
><ÐE FÑ œ ><E ><F œ ! ! œ ! Ê ÐE FÑ − [ Þ
iii)
a E − [ Ê ><E œ ! • a 5 −
‘
se tiene
><Ð5EÑ œ 5 ><E œ 5 † ! œ ! Ê E − [ Þ
Por tanto
[
es un subespacio de
Q
8‚8.
b) Se deben probar dos cosas, siendo
[ ß [
" #subespacios de
Q
8‚8, con
[ œ ÖE − Q
" 8‚8Î E œ E × • [ œ ÖE − Q
> # 8‚8Î E œ E ×
>1)
[ [
" #œ Ö × • #Ñ [ [
)
" #œ Q
8‚8"Ñ a E − Ð[ [ Ñ Í E − [ • E − [ Í E œ E • E œ E
" # " # > >sumando
estas dos ecuaciones miembro a miembro resulta
# E œ !
QÍ E œ !
QÊ
[ [
" #œ Ö ×Þ
)
#Ñ
Como
a E − Q
8‚8Í E œ ÐE E Ñ ÐE E Ñ
"# > "# >en donde
"#
ÐE E Ñ − [
> "•
"#
ÐE E Ñ − [ Ê [ [
> # " #œ Q
8‚8Þ
Problema 25.
\ œ
>
>
>
%
$
#
"
"
!
"
#
!
"
!
"
"
#
#
#
!
!
"
#
Ô
×
Ô ×
Ô
×
Ô
×
Ö
Ù
Ö Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ
Ø
Õ Ø
Õ
Ø
Õ
Ø
" # $
a) Determine una base ortogonal para O/< EÞ
b) Describa el espacio M7 EÞ
c) Determine las condiciones entre
+ß ,ß -ß .
y de modo que
/
c
+
,
-
.
/
d
>− M7 E
>Solución.
a) Una base para el
O/< X
es
,
por Gram Schmidt
$
#
!
"
"
!
#
#
!
"
œ
Ô × Ô
×
Ö Ù Ö
Ù
Ö Ù Ö
Ù
Ö Ù Ö
Ù
Ö Ù Ö
Ù
Õ Ø Õ
Ø
"
"œ
à
"
#œ
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Ù
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Ö
Ù
Ö Ù
Ö
Ù
Ö Ù
Ö
Ù
Õ Ø
Õ
Ø
Õ Ø
Õ
Ø
luego una base ortogonal es
œ
,
Ô × Ô
×
Ö Ù Ö
Ù
Ö Ù Ö
Ù
Ö Ù Ö
Ù
Ö Ù Ö
Ù
Õ Ø Õ
Ø
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b) Como .37 O/< X œ # Ê .37 M7 X œ & # œ $ Ê M7 X œ
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Õ Ø
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Õ
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Ê
µ † † † µ
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Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Ö
Ù
Õ
Ø
Õ
Ø
Ê $+ - #. œ ! • #+ , #. / œ !
Problema 26.
Sean
: B
a b
y
; B
a b
polinomios en
T Þ
#Averiguar si:
a
:ÐBÑà ;ÐBÑ œ : ! ; ! : " ; "
b
a b a b
a b a b
es un producto interior en T Þ
#Solución.
No es un producto interior pués por ejemplo, si : B œ B B Ê
a b
#a
:ÐBÑà :ÐBÑ œ : ! : ! : " : " œ ! Ð " "Ñ œ ! • : B Á !
b
a b a b
a b a b
# #a b
lo que contradice que si
a
:ÐBÑà :ÐBÑ œ
b
0
Ê : B
a b
debe ser 0.
Problema 27.
Sea
Ö
! !
"ß
#ß Þ Þ Þ ß
!
8×
una base ortonormal para un espacio con producto
Z
interior. Demuestre que si es un vector cualquiera de
!
Z ß
entonces
|| ||
!
#! !
5œ" 8
5 #
œ
!a
à
b
Solución.
!
œ
!
+
!
œ
!a
! ! !
à
b
+ œ
a
! !
à
b
5œ" 5œ"8 8
5 5 5 5
note que
5 5|| ||
!
#! !
(
!
! ! !
! !
! !
por propiedad
5œ" 5œ"8 8
5 5 5 5
œ
a
à
b
œ
à
!
a
à
b
Ñ œ
!
a
à
ba
à
b
distributiva del producto interno, por tanto se tiene que || ||
!
#! !
5œ"8
5 #
