Apuntes de Álgebra: Expresiones
Algebraicas
Parte I
Polinomios
SECCIÓN 1
Generalidades sobre polinomios
La suma y diferencia de monomios no semejantes no es posible expresarla como un único monomio. Esta especial circunstancia fuerza la aparición de nuevas expresiones algebraicas. Un polinomio es justamente la suma y/o diferencia de monomios no semejantes. Por ejemplo, polinomios son:
3x5 2x3+6x7 2
3y
3+4x5 4 7z+3
1.1. Ordenación de un polinomio
Ordenar un polinomio consiste en reubicar sus monomios de forma que estos aparezcan en orden decreciente de sus grados. Esta disposición permite apreciar mejor los elementos más importantes de un polinomio, y los distribuye adecuadamente con el fin de poder realizar cualquier operación con expresiones de este tipo. Esta reordenación está permitida por la conmutatividad de la suma de números reales. Veamos algunos ejemplos:
Polinomio Polinomio Ordenado 4x 5x3+5x2 x5 x5 5x3+5x2+4x 9+4y2 3y+7y3 7y3+4y2 3y+9
1.2. Polinomio completo
Algunas veces en un polinomio ordenado no aparecen monomios de grado intermedio. Por ejemplo, el poli-nomio 9x3 x+7;por orden decreciente, tiene un monomio de grado 3, otro de grado 1, y un último de grado 0, pero no tiene monomio de grado 2. Completar este polinomio consistirá en colocarle un monomio de grado 2, que para no variar la expresión original, deberá ser de coeficiente 0. Esto no altera la expresión original en ningún caso. Así, el polinomio completo del anterior sería el polinomio 9x3+0x2 x+7:Algunos ejemplos más son los siguientes:
Polinomio Polinomio Completo 7x4 5x2+6 7x4+0x3 5x2+0x+6
8x4 3x3 8x4 3x3+0x2+0x+0
SECCIÓN 2
Elementos notables en todo polinomio
En todo polinomio debemos distinguir los siguientes elementos de especial relevancia que procedemos a reflejar a continuación.
1. Término de un polinomio. Llamaremos término de un polinomio a cualquiera de sus monomios. Para especificar al monomio al que nos referimos, diremos su grado. Así, el polinomio 7x4 5x2+6;tiene tres términos, uno de grado 4, 7x4, otro de grado 2, 5x2, y otro de grado cero, 6.
3. Coeficiente líder de un polinomio. Es el coeficiente del término de mayor grado del mismo. Por ejemplo, el polinomio 8x3 x2+3x 5 tiene por coeficiente líder al 8.
4. Grado de un polinomio. Es el mayor de los grados de todos sus términos. Así, el polinomio 3x4 5x2+ 7x 9 tiene grado 4.
Nota 1. En general, para referirnos a un polinomio determinado, hemos tenido que escribirlo por completo cada vez que lo hemos necesitado. Para simplificar esto, es usual representar a los polinomios con una notación que indique la indeterminada o indeterminadas con las que está construído. Por ejemplo es usual representar por P(x), Q(x), R(x), etc. (y lo leeremos pe de equis, ku de equis, erre de equis, ...), a los polinomios en la indeterminada x. Para realizar alguna referencia a ese polinomio, podremos sustituirlo por esta representación en vez de escribirlo por completo. Ejemplos los tenemos en los siguientes: P(x) =7x4 5x2+6; Q(x) = 3x4 5x2+7x 9;etc. También usaremos esta notación para referirnos a un polinomio cualquiera, arbitrario.
Nota 2. Si representamos por P(x) a un polinomio arbitrario, notaremos por gr(P)al grado del polinomio P(x):
SECCIÓN 3
Valor numérico de un polinomio
Sea P(x) un polinomio. El valor numérico de P(x)en x=a es el valor real que se obtiene de sustituir en el polinomio P(x) la indeterminada x por el número real a, y realizar las operaciones indicadas en él. Lo representaremos por P(a). Por ejemplo, dado el polinomio P(x) =2x2 23x+7;y por ejemplo x=2, entonces:
P(2) =2 22 2
3 2+7=8 4
3+7=15 4 3=
41 3 :
SECCIÓN 4
Principio de identidad de polinomios
Para poder determinar si dos polinomios son iguales, se hace necesario un criterio que nos ayude a decidir una tal identificación, y aunque no es del todo trivial demostrar lo que presentamos aquí, sí es muy intuitivo a la luz de la razón. En general, para poder determinar si dos polinomios P(x) y Q(x) son iguales, hay que tener presente en primer lugar que estos polinomios:
1. Están reducidos al máximo, es decir, no aparecen en él dos o más términos semejantes (de igual grado).
2. Están ordenados, como siempre, en orden decreciente de los grados de sus términos.
En tal caso, se establece el siguiente principio de identidad de polinomios, que afirma:
Proposición 1. (principio de identidad de polinomios) Sean n;m2N:Sean también
P(x) = anxn+an 1xn 1+:::+a1x+a0
Q(x) = bmxm+bm 1xm 1+:::+b1x+b0
dos polinomios con coeficientes reales en la indeterminada x. Entonces, estos polinomios son idénticos si se verifican las siguientes dos condiciones:
1. gr(P) =gr(Q) () n=m
La segunda condición nos indica que los polinomios deben ser iguales coeficiente a coeficiente, o lo que es lo mismo, deben tener iguales coeficientes en sus términos semejantes.
Una manera de entender cómo se aplica el principio anterior es mostrando algunos ejemplos clarificadores.
Ejemplo 1. Determinar el valor que debe tomar el número real a para que los polinomios:
P(x) = ax3+3x2+x 1 Q(x) = 3x2+x 1
sean idénticos.
Solución. Observemos, por el principio de identidad de polinomios, que los polinomios anteriores deben tener igual grado, lo cual no puede ser si fuese a6=0:Esto obliga lógicamente a que sea a=0, en cuyo caso el lector apreciará de inmediato que los polinomios son idénticos, al ser de igual grado, y serlos también coeficiente a coeficiente en sus términos semejantes.
Ejemplo 2. ¿Son iguales los polinomios:
P(x) = 4x2+2x 3 Q(x) = 4+2x 3x2 ?
Solución. A simple vista vemos que ambos polinomios tienen los mismos coeficientes, pero observemos que si ordenamos el polinomio Q;los polinomios son de igual grado, pero no tienen iguales los coeficientes de sus términos semejantes, pues mientras el coeficiente principal de P es 4, el de Q es 3. Por tanto estos dos polinomios son distintos.
SECCIÓN 5
Operaciones con polinomios
Las operaciones que vamos a estudiar a continuación con polinomios se fundamentan en las ya estudiadas con monomios y en las operaciones aritméticas fundamentales. Por supuesto, también se basarán en las propiedades de las operaciones citadas.
5.1. Suma de polinomios
Dados dos polinomios P(x)y Q(x), se define el polinomio suma(P+Q)(x)como otro polinomio dado por:
(P+Q)(x) =P(x) +Q(x):
Esta suma podemos realizarla de dos formas:
a) Directamente (horizontalmente), colocando las dos expresiones polinómicas y por asociatividad y con-mutatividad, agrupando los monomios de igual grado. Ejemplo:
Dados los polinomios P(x) =3x3 7x+3 y Q(x) = 3x4+3x2 8x+5;su suma será:
(P+Q)(x) = (3x3 7x+3) + 3x4+3x2 8x+5
= 3x3 7x+3+ ( 3)x4+3x2 8x+5 = 3x4+3x3+3x2 7x 8x+3+5 = 3x4 +3x3 +3x2 15x +8
Como vemos, se han agrupado los términos de igual grado (ordenándolos en orden decreciente de sus grados) y los hemos sumado/restado teniendo en cuenta las operaciones con monomios ya estudiadas.
Ejemplo 3.
3x3 7x +3
3x4 +3x2 8x +5
3x4 +3x3 +3x2 15x +8
Notemos que los términos que faltan se han representado colocando un espacio en su lugar. Esto también se puede hacer completando los polinomios en cuestión. En cualquier caso, el resultado por cualquiera de los procedimientos es el mismo, como no podía ser de otra manera.
Nota 3. La Suma de polinomios cumple las propiedades Asociativa, Conmutativa, Existencia de elemento neutro, el polinomio de grado 0, 0(x) =0;llamado polinomio nulo o polinomio idénticamente nulo, y Existencia de Elemento Simétrico u Opuesto (como veremos en el apartado siguiente, todo polinomio P tiene un opuesto,
P, tal que P+ ( P) =0)
5.2. Resta de polinomios
Definición 1. (Polinomio Opuesto) Dado un polinomio P(x), llamaremos polinomio opuesto de P y lo repre-sentaremos por P, al polinomio que se obtiene cambiando todos y cada uno de los signos de los coeficientes del polinomio P.
Ejemplo 4. Dado el polinomio P(x) =3x3 6x2+4x 9;su polinomio opuesto es:
P(x) = 3x3+6x2 4x+9
Nota 4. Es evidente que la suma de un polinomio y su opuesto es el polinomio nulo.
Definición 2. (Polinomio Diferencia) Dados dos polinomios P(x) y Q(x), se define el polinomio diferencia (P Q)(x)como otro polinomio dado por: (P Q)(x) =P(x) + ( Q(x)). Es decir, sumaremos al polinomio «minuendo» el opuesto del polinomio «sustraendo».
Podemos observar que la diferencia de dos polinomios no es más que un caso particular de suma de poli-nomios. Para restar dos polinomios deberemos obtener primero el polinomio opuesto del polinomio sustraendo y sumarlo al polinomio minuendo. Veamos algún ejemplo.
Ejemplo 5. Obtener la diferencia de los polinomios P(x) =2x3 7x2+6x 7 y Q(x) = 4x3+7x2 9:
Su diferencia será:
2x3 7x2 +6x 7
4x3 7x2 +9
6x3 14x2 +6x +2
por lo que P(x) Q(x) =6x3 14x2+6x+2:
5.3. Producto de polinomios
La definición del producto de dos polinomios es consecuencia de la propiedad distributiva de números reales, que también sigue siendo cierta para expresiones algebraicas cualesquiera, en particular con polinomios y más particularmente, con monomios en una indeterminada. El producto de dos polinomios P(x) y Q(x) es otro polinomio(P Q)(x)dado por:
(P Q)(x) =P(x) Q(x);
1. Directamente: usando la propiedad distributiva con todos y cada uno de los monomios de cada polinomio “factor”, y agrupando después los términos semejantes. Veamos algún ejemplo. Dados los polinomios:
P(x) = 2x2 3x+4 Q(x) = 3x+6
entonces su producto será:
P(x) Q(x) = 2x2 3x+4 (3x+6)
= 6x3+12x2 9x2 18x+12x+24 = 6x3+3x2 6x+24
2. Convencionalmente (Algoritmo): usando igualmente la propiedad distributiva y colocando los términos como si estuviésemos realizando una multiplicación con números enteros de varias cifras. Cada término de un factor se multiplica por todos y cada uno de los términos del otro factor, colocándolos teniendo en cuenta que después se procederá, como en un producto aritmético convencional, a sumar los resultados obtenidos. Los resultados semejantes se colocarán en una misma columna para agruparlos mediante su suma. Por ejemplo, dados los polinomios
P(x) = 2x3 3x2+6x 5 Q(x) = 3x2 8x+2;
entonces su producto es:
2x3 3x2 +6x 5
3x2 8x +2
4x3 +6x2 +12x 10 16x4 +24x3 48x2 +40x 6x5 9x4 +18x3 15x2
6x5 25x4 +46x3 57x2 +52x 10 Es decir:
P(x) Q(x) =6x5 25x4+46x3 57x2+52x 10:
Nota 5. El producto de polinomios cumple las propiedades Asociativa, Conmutativa, Existencia de elemento neutro (El polinomio de grado 0,(1(x) =1)y Distributiva.
Nota 6. Hemos podido observar que el grado del polinomio producto es siempre la suma de los grados de los polinomios factores, es decir, si P y Q son polinomios con coeficientes reales cualesquiera, entonces gr(P Q) = gr(P) +gr(Q).
Nota 7. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales, que representaremos porR[x], provisto de la adición y la multiplicación definidas anteriormente, tiene estructura de Anillo Conmutativo.
5.4. División (cociente) de polinomios
En una división tradicional entre números naturales, o división entera, se tenía asociada una “prueba de la división”, o más formalmente llamada, Algoritmo de la división. Según esta regla, en una división de la forma
D d
r c
donde D=dividendo, d=divisor, c=cociente, r=resto, se debe cumplir que:
D=d c+r
especif-5.4.1. Algoritmo de la división en polinomios
Dados dos polinomios P(x);Q(x)2R[x];con, por ejemplo, gr(P) gr(Q), entonces existen dos polinomios R(x);S(x)2R[x]cumpliendo las siguientes condiciones:
1. gr(R)<gr(Q)
2. gr(P) =gr(Q) +gr(C)
3. P(x) =Q(x) C(x) +R(x)(es decir, dividendo es igual a divisor por cociente más el resto).
A los polinomios C(x)y R(x)se les llama polinomios cociente y resto, respectivamente, de dividir P entre Q. Además, estos polinomios P y Q son únicos.
5.4.2. Obtención del cociente y el resto de una división
Para obtener el cociente y el resto en una división de polinomios, usaremos un procedimiento análogo al de la división con números enteros.
Primero debemos asegurarnos de que el grado del dividendo sea mayor o igual que el grado del divisor, así como que los polinomios estén ordenados. Después, colocaremos estos polinomios como en una división con números enteros, teniendo en cuenta que si el dividendo no está completo, colocaremos un espacio para cada término o términos que faltan. Después, dividiremos el monomio de mayor grado del dividendo entre el monomio de mayor grado del divisor. El cociente so colocará en el espacio correspondiente al cociente en una división tradicional. Multiplicaremos este monomio por todos y cada uno de los monomios del divisor y se los restaremos al dividendo, para lo cual cambiaremos de signo los resultados obtenidos y, colocándolos debajo de los términos semejantes, los sumaremos con los términos de dicho dividendo. Obtendremos un resultado al que le añadiremos el primer término que por orden haya quedado libre en el dividendo. Si lo obtenido es de grado mayor o igual que el grado del divisor, realizaremos la misma operación descrita anteriormente, dividiendo su término de mayor grado entre el término de mayor grado del divisor, añadiendo el término obtenido al cociente, y multiplicando este término por los términos del divisor para restárselos al polinomio obtenido bajo el dividendo, y así sucesivamente hasta llegar a un polinomio cuyo grado sea menor estricto que el grado del divisor. Este polinomio último será el polinomio resto, y el cociente será el polinomio que se haya obtenido tras la reiterada división en el lugar ubicado para él.
La mejor manera de visualizar todo lo anterior es realizando un ejemplo que lo aclare:
Ejemplo 6. Dividir: 3x3 4x2+7x 2 : x2 3x+2 :
Solución.
3x3 4x2 +7x 2 x2 3x+2
3x3 +9x2 6x 3x+5
0 5x2 +x 2
5x2 +15x 10
16x 12
De donde obtenemos que el cociente es C(x) =3x+5 y el resto es R(x) =16x 12:
Ejemplo 7. Dividir:(5x3 3x2+7):(2x2 x 1):
Solución.
5x3 3x2 +7 2x2 x 1
5x3 +52x2 +52x 52x 12
0 12x2 +5
2x +7 1
2x2 1 2x
1 2
2x +132
sí podemos decir es que si el polinomio divisor es mónico, es decir, su coeficiente líder es 1 (o incluso si es 1), entonces los coeficientes que aparecen en una división de polinomios con coeficientes enteros son todos enteros también.
5.5. Regla de Ruffini
Paolo Ruffini fue un matemático y médico nacido en el siglo XVIII en la localidad italiana de Valentano. Es famoso por la regla que recibe su nombre, un algoritmo numérico conocido como regla de Ruffini, que permite obtener el cociente y el resto de una división de un polinomio arbitrario (con una indeterminada, x) por otro de la forma x a;a2R:Sin embargo, diremos que Ruffini es un matemático muy desconocido, del que se ha llegado a constatar un hecho de gran relevancia dentro de la historia del Álgebra: al parecer, Paolo Ruffini llegó a probar la irresubilidad por radicales de las ecuación quíntica (de quinto grado), y por tanto las de grado superior.
Paolo Ruffini (1765-1822)
La regla aludida parte de una tabla de doble entrada sobre la que se colocan los coeficientes del polinomio dividendo, supuesto que está completo (de lo contrario habrá que completarlo), y el opuesto del término inde-pendiente del divisor. Sobre la tabla se realizan unas operaciones de suma y multiplicación que conducen a la obtención de los coeficientes del polinomio cociente y el resto. Téngase presente que como el divisor en una división realizada mediante esta regla es de grado 1, necesariamente el resto es un polinomio de grado 0, es decir, un número real. Este resto, como decimos, se obtiene igualmente mediante esta regla, que describiremos muy pronto con ejemplos. Por otra parte, utilizando el algoritmo de la división, es fácil advertir que el poli-nomio cociente debe poseer el mismo grado disminuido en una unidad que el grado del dividendo. En efecto, al realizar una división de un polinomio P(x)por otro de la forma(x a), se tiene que:
P(x) = (x a) C(x) +R(x):
Si gr(P) =n2N;Como gr(x a) =1 y gr(R(x)) =0;entonces necesariamente es gr(C(x)) =n 1:Esta circunstancia la tendremos presente al realizar la regla de Ruffini, que ya sí pasamos a describir con algunos ejemplos:
Ejemplo 8. Obtener mediante la regla de Ruffini el cociente y el resto de la división(x3 2x2+7x 6):(x 3):
Solución. Procedemos a colocar los coeficientes del polinomio dividendo y el opuesto del término independi-ente del divisor de la siguiindependi-ente manera:
1 2 7 6
3
Al término independiente cambiado de signo (en el ejemplo el 3), lo llamaremos coeficiente multiplicador. El primer coeficiente del dividendo se traslada siempre tal cual sobre la última fila de esta tabla:
1 2 7 6
A continuación multiplicamos el coeficiente multiplicador por el coeficiente que se ha bajado, y colocaremos el resultado en la segunda fila, debajo del siguiente coeficiente del polinomio dividendo, el cual se le sumará, colocando el resultado inmediatamente debajo:
1 2 7 6
3 3
1 1
Reiteraremos estas acciones sucesivamente hasta llegar al último coeficiente:
1 2 7 6
3 3 3 30
1 1 10 24
Observemos que el último coeficiente obtenido se ha resaltado. Esto se debe a que dicho coeficiente es pre-cisamente el resto de la división solicitada. Los coeficientes anteriores, además, determinan los coeficientes del polinomio cociente. Como ya se ha advertido con anterioridad, el grado del cociente de una división de este tipo es precisamente el grado del dividendo disminuido en una unidad. En nuestro ejemplo, el grado del cociente será entonces 2. Por tanto, afirmamos que el polinomio cociente es el polinomio C(x) =x2+x+10;
que es el polinomio que se construye con los coeficientes 1, 1 y 10 obtenidos en el algoritmo del ejemplo. Comprobemos mediante una división convencional que los datos concuerdan con la realidad:
x3 2x2 +7x 6 x 3
x3 +3x2 x2+x+10
0 x2 +7x
x2 +3x
10x 6
10x +30
24
Ejemplo 9. Obtener mediante la regla de Ruffini el cociente y el resto de la división:
( 6x5+2x3+7x2 9x+3):(x+2):
Solución. La tabla correspondiente, supuesto el polinomio completo, es:
6 0 2 7 9 3
2 12 24 44 102 222
6 12 22 51 111 225
Por tanto, el cociente es el polinomio C(x) = 6x4+12x3 22x2+51x 111, y el resto es R(x) =225:
SECCIÓN 6
Identidades notables. Potencia de un binomio
Existen algunas reglas sencillas para obtener una potencia de un binomio, que de forma simplificada podríamos representar por (a+b)n;para cualquier n2N:En particular, en el caso de que n=2 es fácil obtener las siguientes reglas:
Proposición 2. (Identidades Notables) Las siguientes relaciones se satisfacen, para un binomio determinado por las expresiones a y b :
2. (a b)2=a2 2ab+b2
3. (a+b)(a b) =a2 b2
Solución. En cada caso daremos dos pruebas: una algebraica y otra geométrica.
1. (a+b)2= (a+b)(a+b) =a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2:Geométricamente, observemos el siguiente
cuadrado:
En él es fácil apreciar que su lado es de longitud a+b, luego su área completa es(a+b)2:Este área, según apreciamos en el gráfico, se descompone como la suma de las áreas de los cuadrados y rectángulos en que queda subdividido. Es fácil apreciar entonces que
(a+b)2=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2:
2. (a b)2= (a b)(a b) =a2 ab ba+b2=a2 2ab+b2:El lector puede obtener fácilmente una
prueba geométrica a partir del siguiente diagrama:
3. Para finalizar, obsérvese que(a+b)(a b) =a2 ab+ba b2=a2 b2;identidad que también es fácil de obtener (lo dejamos para el lector) a partir del siguiente diagrama:
En general, se puede obtener una expresión para una potencia cualquiera de un binomio. Antes de entrar en detalles, vamos a estudiar un triángulo numérico conocido con el nombre de Triángulo de Tartaglia, que nos permitirá obtener de una forma asequible el desarrollo de cualquier potencia aludida.
Definición 3. (Triángulo de Tartaglia) El Triángulo de Tartaglia es un triángulo numérico como el que sigue:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
.. .
En este triángulo se observan unas regularidades que pasamos a detallar:
(a) Cada fila, salvo la primera, empieza y acaba en 1.
(b) El triángulo es simétrico respecto de los valores centrales.
(c) A partir de la 2afila, cada número distinto de 1 se obtiene como la suma de los dos números consecutivos que hay encima de él en la fila anterior.
(d) El triángulo construído mediante este procedimiento, es infinito.
El triángulo anterior tiene un especial interés por lo que sigue. Al calcular el desarrollo de las diversas potencias de un binomio genérico a+b obtenemos:
(a+b)0= 1
(a+b)1= 1a+1b
(a+b)2= 1a2+2ab+1b2 (a+b)3= 1a3+3a2b+3ab2+1b3 (a+b)4= 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1a4 (a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 (a+b)6= 1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6
.. .
En general, advertimos que en cada desarrollo está determinado por unos coeficientes que son precisamente las cantidades que aparecen en el triángulo de Tartaglia. Las regularidades visibles en los desarrollos anteriores son, aparte de los coeficientes descritos, las siguientes:
1. Cada desarrollo está compuesto por términos de la forma Caibn i;donde C es precisamente un coeficiente que se determina mediante el triángulo de Tartaglia, e i es un número natural que varía desde 0 hasta el número natural n:
2. Los exponentes del primer término del binomio, a, van disminuyendo de 1 en 1 conforme avanzamos en el desarrollo, hasta llegar a un exponente 0, en donde el término a desaparece.
3. Los exponentes del segundo término del binomio, b, van aumentando de 1 en 1, desde un exponente 0 en el primer término (es decir, el término b no aparece), hasta llegar al último término con exponente n.
Estas regularidades nos permiten obtener desarrollos de la potencia de un binomio de exponente un número natural arbitrario.
Solución. Observemos que en el triángulo de Tartaglia, los coeficientes del desarrollo de la potencia de expo-nente 7 lo encontraremos en la octava fila:
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
Con los coeficientes obtenidos, el desarrollo solicitado es:
(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7
Ejemplo 11. Desarrollar(x y)4:
Solución. Observemos que(x y)4= (x+ ( y))4;de modo que:
(x y)4 = (x+ ( y))4=x4+4x3( y) +6x2( y)2+4x( y)3+ ( y)4= = x4 4x3y+6x2y2 4xy3+y4
El resultado es fácil de obtener a partir del desarrollo de(x+y)4sin más que cambiar los signos de los términos de este desarrollo de forma alternada (+y , y así sucesivamente).
Ejemplo 12. Desarrollar(a b)5:
Parte II
Descomposición factorial de Polinomios
SECCIÓN 7
Introducción
Gracias al teorema fundamental de la aritmética sabemos que todo número entero puede descomponerse como producto de factores primos de forma única (salvo el orden de los factores). Como veremos, esta descom-posición factorial es también posible realizarla en el contexto de los polinomios. Pero para ello deberemos presentar diversos conceptos equivalentes a los estudiados en el ambiente de los números enteros. Así, por ejemplo, definiremos el concepto equivalente de número primo para polinomios, aunque será necesario recurrir a la idea de divisibilidad y trasladarla también a este ambiente.
En este apartado, pretendemos presentar reglas que permitan expresar un polinomio como producto de fac-tores “primos”, que aquí llamaremos irreducibles. En general, no siempre podremos obtener, en una primera aproximación, un desarrollo factorial de un polinomio con factores irreducibles. Pero en situaciones ele-mentales existen herramientas sencillas que sí nos facilitarán este desarrollo. De ellas nos ocuparemos aquí. Además, será necesario concretar qué conjunto de coeficientes numéricos será el soporte de los polinomios que trabajaremos, pues, según sea ese conjunto, el desarrollo factorial podrá alterarse, aunque no de una manera drástica.
Definición 4. Dados dos polinomios P(x);Q(x)2R[x], diremos que P(x) es divisible por el polinomio Q(x) si la división P(x): Q(x)es exacta, es decir, el resto de la división citada es 0. En tal caso, por el algoritmo
de la división, sabemos que existirá otro polinomio C(x)cumpliendo que P(x) =Q(x)C(x). En esta situación, como P(x)se obtiene como el producto de los polinomios Q(x) y C(x), también se dice que tanto Q(x)como C(x)son factores de P(x), o que P(x)se descompone como producto de Q(x)y C(x).
Ejemplo 13. El polinomio P(x) =x2 3x+2 es divisible por el polinomio x 1 (es fácil comprobarlo por ejemplo mediante la regla de Ruffini). El cociente de la división es x 2, de modo que x2 3x+2= (x 1)(x 2);y decimos que tanto x 1 como x 2 son factores del polinomio P.
Definición 5. (Polinomio irreducible) Un polinomio P(x) con coeficientes reales, en particular fraccionar-ios o enteros, se dice que es irreducible, si no es posible descomponerlo como producto de polinomfraccionar-ios de grado menor estricto que el del polinomio P(x). Si un polinomio no es irreducible, se dirá que es reducible o
descomponible.
Ejemplo 14. Los polinomios de grado 1 son evidentemente irreducibles, pues si se pudiesen descomponer como producto de polinomios de grado menor estricto, el grado de los mismos sería necesariamente 0. Pero el producto de polinomios de grado 0 es siempre otro polinomio de grado 0.
Ejemplo 15. El polinomio P(x) =x2+1 es irreducible. No lo probamos, pero hemos de decir que ello es consecuencia de que este polinomio no posee raíces reales.
Ejemplo 16. El polinomio Q(x) =x2+x+1 es irreducible. El motivo es el mismo que el del ejemplo anterior.
Definición 6. (Raíz de un polinomio) Sea P(x)2R[x], y sea también a2R. Diremos que a es raíz del poli-nomio P(x)si se cumple que el valor numérico de P(x)cuando x=a es nulo, es decir, P(a) =0.
Ejemplo 17. El polinomio P(x) =x2 5x+6 tiene por raíces x=2 y x=3. En efecto:
P(2) =22 5 2+6=4 10+6=0:
Los siguientes resultados sobre raíces de polinomios son muy importantes para el desarrollo de los con-tenidos que abarcaremos aquí:
Teorema 1. (del resto) Sea P(x)2R[x]y sea también a2R. Entonces el resto de dividir P(x)entre(x a)es el número real P(a).
Solución.Si dividimos P(x)entre x a, el Algoritmo de la división nos asegura que:
P(x) = (x a)C(x) +R(x)
donde C(x)y R(x)son, respectivamente, el cociente y el resto de esta división. El valor numérico de P(x)en
x=a será entonces:
P(a) = (a a)C(a) +R(a) =R(a)
Pero R(x)es un polinomio de grado menor estricto que el polinomio divisor, que tiene grado 1. Por tanto R(x)
tiene grado 0 y es un número real, con lo que R(x) =R(a) =P(a), como queríamos probar.
Este teorema nos permite obtener de otra forma distinta los valores numéricos de polinomios. En efecto, dado el polinomio P(x) =x3 4x2+3x 5, podemos obtener P(2)sin sustituir la indeterminada por 2. Según el teorema anterior, el resto de dividir P(x)entre x 2 es justamente P(2). Este resto se puede obtener por la regla de Ruffini:
1 4 3 5
2 2 4 2
1 2 1 7
Por tanto, P(2) = 7:
Teorema 2. (del factor) Si a es raíz del polinomio P(x), entonces el polinomio(x a)es un factor de P(x). Dicho de otro modo, existe un polinomio C(x)tal que P(x) = (x a)C(x):
Solución. Si a es raíz de P, el teorema del resto nos asegura que el resto de dividir P(x)entre x a es P(a), pero P(a) =0 por ser a raíz de P. El Algoritmo de la división nos asegura entonces que
P(x) = (x a)C(x) +R(x) = (x a)C(x)
y por tanto(x a)es un factor del polinomio P.
Teorema 3. (fundamental) Todo polinomio P(x)con coeficientes reales se puede descomponer como producto de polinomios irreducibles de forma única (salvo el orden de los factores) y salvo constantes (que llamaremos
unidades). A esta descomposición se la llamará la descomposición factorial del polinomio P(x).
Nota 8. El Teorema del factor es cierto en su enunciado recíproco, es decir, si un polinomio P(x) se puede descomponer de la forma: P(x) = (x a) C(x), para ciertos a2Ry C(x)2R[x], entonces el número real a es raíz de P. La demostración es trivial. Por otra parte, el teorema del factor nos permite introducir un concepto importante asociado a las raíces de un polinomio. Para entender este concepto, y antes de definirlo, consideremos la situación siguiente:
Problema 1. Dado el polinomio P(x) =x2 2x+1, comprobar que x=1 es raíz de P y encontrar su factor-ización asociada según el teorema del factor.
En efecto: P(1) =12 2 1+1=1 2+1=0. La factorización asociada será:
P(x) = (x 1) C(x)
Fijémonos en que en la descomposición de P obtenemos dos factores(x 1), que corresponderían a la raíz 1 por cada uno de ellos, como se desprende de la nota anterior. Es como si la raíz x=1 lo fuese dos veces, o sea, doble.
El ejemplo siguiente presenta una situación parecida:
Ejemplo 18. El polinomio P(x) =x3+3x2+3x+1 tiene por raíz a x= 1.
En efecto: P( 1) = ( 1)3+3( 1)2+3( 1) +1= 1+3 3+1=0. Por tanto, la descomposición que nos daría el teorema del factor para P sería:
P(x) = (x+1)C(x);
donde C(x)es el cociente de dividir P entre x+1. Es fácil comprobar que este cociente es x2+2x+1, que es el desarrollo de(x+1)2. Por tanto, tenemos que:
P(x) = (x+1) (x+1)2= (x+1)3
De nuevo tenemos que la raíz 1 sería raíz de P “tres veces”, o sea, triple.
Generalizando, podemos presentar la siguiente:
Definición 7. (multiplicidad de una raíz) Sea P(x) un polinomio con coeficientes reales, y sea a2R. Dire-mos que la raíz a de P tiene multiplicidad k, donde k2Ncon k 1, si el factor x a aparece en la descom-posición factorial de P un total de k veces, es decir, P(x) = (x a)k C(x), para un cierto polinomio C(x). En los casos de multiplicidad 2, 3, 4, etc, podremos decir que la raíz correspondiente es “doble”, “triple”, “cuádruple”, etc., respectivamente.
Nota 9. El teorema fundamental presenta un hecho que vamos a aclarar a continuación. Cuando en él se cita que la descomposición factorial de un polinomio es única salvo “unidades”, nos referimos a la unicidad a la que se refiere el ejemplo siguiente:
El polinomio P(x) =x+2 es evidentemente irreducible por ser de grado 1. Pero es fácil de entender que se puede expresar de varias formas distintas, como sigue:
x+2=3 1 3x+
2 3 =5
1 5x+
2 5 =:::
pero todas ellas son equivalentes pues se pueden reducir a la misma expresión. Los factores que anteceden a cada polinomio de grado 1 se corresponden con las unidades de las que se habla en dicho enunciado.
Niels Henrik Abel (1802 - 1829) Paolo Ruffini (1765-1822)
embargo, no fue hasta el siglo XIX cuando, de manera independiente, el matemático italiano Paolo Ruffini y el matemático noruego Niels Henrik Abel (a quien se concedió finalmente la paternidad de la irresubilidad de la quíntica por radicales), probaron que para polinomios de grado 5 o superior no podían existir expresiones similares (con radicales) generales para determinar todas sus raíces. De todo lo anterior, nos quedaremos con algunos resultados que sí son de interés general para la obtención de las raíces de un polinomio, que no pro-baremos.
Proposición 3. Todo polinomio de grado n2N, con n 1, tiene a lo sumo n raíces distintas.
Proposición 4. Todo polinomio de grado impar tiene como mínimo una raíz real. Si es de grado par, puede no tener ninguna.
Proposición 5. Si un polinomio de grado par posee raíces reales, entonces las tiene en número par (contando que se puedan repetir, es decir, teniendo en cuenta su multiplicidad).
7.1. Obtención de las raíces enteras o fraccionarias de un polinomio con
coefi-cientes enteros.
Cuando un polinomio posee coeficientes enteros1, existen dos criterios que nos permiten buscar las posibles raíces enteras o fraccionarias del mismo, si es que las tiene. En general, buscar raíces no enteras ni fraccionarias puede ser laborioso, aunque en algunos casos concretos y si los coeficientes del polinomio así lo permiten, puede ser relativamente fácil. Veamos a continuación cuáles son los criterios (que no probaremos) que nos permitirán buscar posibles raíces enteras o fraccionarias , así como técnicas de búsqueda de otras raíces, cuando estemos frente a polinomios con coeficientes enteros.
7.1.1. Posibles raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros.
Proposición 6. Sea P(x)2Z[x]. Entonces si P(x) posee raíces enteras, éstas se hallan entre los divisores enteros del término independiente de P(x).
Como vemos, este precidimiento de búsqueda no nos asegura que podamos encontrar raíces enteras de un polinomio. Sólo nos proporciona “el lugar” en dónde debemos buscar.
Ejemplo 19. Encontrar las posibles raíces enteras del polinomio P(x) =x3 3x2+3x 1:
Solución. Si P posee raíces enteras, éstas se hallan entre los divisores de 1.
Div( 1) =f 1g:
Podemos probar por la regla de Ruffini (aplicando el teorema del resto) para ver si+1 ó 1 son raíces de P. Empezamos por x=1:
1 3 3 1
1 1 2 1
1 2 1 0
Por tanto 1 es raíz de P. Si probamos para x= 1:
1 3 3 1
1 1 4 7
1 4 7 8
podemos comprobar que 1 no es raíz de P.
Ejemplo 20. Encontrar las posibles raíces enteras del polinomio P(x) =x2 3x+2:
Solución. Los divisores del término independiente son: Div(2) =f 1; 2g. Probaremos por Ruffini:
1 3 2
1 1 2
1 2 0
1 3 2
1 1 4
1 4 6
1 3 2
2 2 2
1 1 0
1 3 2
2 2 10
1 5 12
De donde deducimos que tanto 1 como 2 son raíces de P.
7.1.2. Posibles raíces fraccionarias de un polinomio con coeficientes enteros.
Proposición 7. Sea P(x)2Z[x]. Entonces si P(x) posee raíces fraccionarias, éstas se hallan entre las frac-ciones que tienen por numerador un divisor entero del término independiente de P, y como denominador un divisor entero del coeficiente líder de P.
De nuevo, ésta técnica sólo nos dice “dónde buscar” posibles raíces fraccionarias, no nos asegura que un polinomio cualquiera pueda tenerlas o no.
Ejemplo 21. Buscar las raíces fraccionarias del polinomio P(x) =6x2+11x+3:
Solución. Si P posee raíces fraccionarias, éstas se hallan entre las fracciones descritas en el apartado 7.1.2. Como Div(3) =f 1; 3g; Div(6) =f 1; 2; 3; 6g, las fracciones candidatas a raíces fraccionarias son:
1 2 3 6
1 11= 1 12 13 16
3 31= 3 32 33 = 1 36 = 12
Y netamente tenemos las posibles raíces fraccionarias (propiamente dichas) siguientes:
1 2;
1 3;
1 6;
3 2
Además, la regla de Ruffini nos muestra que 13 y 32 son raíces de P. En efecto:
6 11 3
1
3 2 3
6 9 0
6 11 3
3
2 9 3
6 2 0
Ejemplo 22. Buscar las posibles raíces fraccionarias del polinomio P(x) =21x3+46x2+7x 2:
Solución. Div( 2) =f 1; 2g; Div(21) =f 1; 3; 7; 21g. Las posibles raíces fraccionarias las
obten-dremos con los divisores anteriores:
1 3 7 21
1 11= 1 13 17 211
2 21= 2 23 27 212
Las fracciones propias que nos quedan son:
1 3,
1 7,
1 21,
2 3,
2 7,
2 21
7.2. Ejemplos de obtención de raíces irracionales en casos sencillos
1. El polinomio es de la forma ax2+b, para ciertos a;b2R.
En tal caso, las únicas raíces posibles son
x=
r
b a
Por tanto, si el radicando da lugar a una cantidad positiva, tenemos dos raíces reales que pueden ser irracionales (también pueden ser racionales).
2. El polinomio es de la forma axn+b, para ciertos a;b2R. En esta situación, las únicas raíces posibles son
x= n
r
b a si n es impar, o
x= n
r
b a si n es par.
7.3. La regla de los signos de Descartes.
Existe una regla sencilla demostrada por el matemático francés René Descartes para determinar con cierta exactitud el número de raíces positivas de un polinomio, si las tiene. La regla, llamada Regla de los signos de Descartes, afirma que el número de raíces positivas de un polinomio es el número de variaciones de signo de sus coeficientes (supuesto el polinomio ordenado), o este número disminuido en un entero par. Es fácil probar de esta regla que el número de raíces negativas de un polinomio P(x)es precisamente el número de variaciones de signo de los coeficientes del polinomio P( x), o este número disminuido en un entero par.
René Descartes
Veamos algunos ejemplos de su aplicación:
Ejemplo 23. Estimar cuántas raíces positivas puede tener el polinomio P(x) =x3+3x2+3x+1:
Solución. Observemos que la sucesión de signos del polinomio ordenado es: +, +, +, +. En esta serie no existe ninguna variación de los signos, por lo que el polinomio P no puede tener de ninguna manera raíces positivas (las que tiene deben ser forzosamente negativas).
Ejemplo 24. Determinar cuántas raíces positivas y cuántas negativas puede tener el polinomio
Solución.La sucesión de signos de Q es:+; ;+; ;+; , por lo que existe un total de 5 variaciones de signo de los coeficientes de Q. Esto significa que Q puede tener 5 raíces, positivas, o quizá 3, o bien 1 (en particular, no puede tener un número par de raíces positivas). Por otra parte, como
Q( x) = 6( x)5 2( x)4+3( x)3 8( x)2+3( x) 2
= 6x5 2x4 3x3 8x2 3x 2
deducimos que Q no posee raíces negativas, pues Q( x)no presenta variaciones de signo en sus coeficientes (son todos negativos).
7.4. Descomposición factorial
En la práctica, la descomposición factorial de polinomios puede ser complicada. En el caso de que un polinomio de una indeterminada sea particularmente de coeficientes enteros, y sólo en casos sencillos, podemos aplicar las reglas estudiadas para obtener su descomposición factorial. Aquí presentamos algunas sugerencias.
1. En primer lugar, si el polinomio es de coeficientes enteros, probaremos a buscar sus posibles raíces enteras. Sabemos por el teorema del factor que por cada raíz tenemos un factor de grado uno asociado a la misma.
2. En segundo lugar, procederemos a buscar posibles raíces fraccionarias. En todo momento debemos tener presente que la regla de Ruffini nos permite, por un lado, obtener raíces, y por otro, realizar las divisiones correspondientes a los factores relacionados con dichas raíces. Deberemos entonces tener en cuenta el algoritmo de la división en todo momento al realizar la factorización mediante esta conocida regla.
3. Para tener una estimación de cuántas raíces positivas y negativas posee el polinomio, podemos acudir a la regla de los signos de Descartes. Esta regla no nos determina las raíces de un polinomio, pero sí nos ayuda a conocer el carácter de las mismas.
4. En el caso de que el polinomio no posea término independiente, siempre procederemos a sacar factor común la indeterminada de menor grado que aparezca. En tal caso, el polinomio quedará descompuesto como un producto de un monomio por un polinomio que sí posee término independiente. El monomio será de la forma xp;para un cierto número natural p. Es evidente que este factor corresponde a la raíz 0 con una multiplicidad igual a p.
5. A veces es apreciable a simple vista que el polinomio puede descomponerse teniendo en cuenta las fórmulas de los productos notables. Si esto es así, la descomposición factorial se simplifica notoriamente.
Veamos ejemplos que aclaren las sugerencias anteriores.
Ejemplo 25. Descomponer factorialmente el polinomio P(x) =x3 5x2+8x 4:
Solución. Observemos que el polinomio es de coeficientes enteros. Buscaremos entonces posibles raíces enteras. Tenemos que Div( 4) =f 1; 2; 4g;y buscaremos aquí posibles raíces enteras mediante la regla de Ruffini (aplicando el teorema del resto):
1 5 8 4
1 1 4 4
1 4 4 0
Esta regla nos asegura que 1 es raíz, pero también que P(x) =x3 5x2+8x 4= (x 1)(x2 4x+4). Para
seguir buscando raíces enteras, procederemos a buscarlas sobre el nuevo polinomio x2 4x+4, pues cualquier raíz suya también es obviamente raíz de P(x):
1 4 4
1 1 3
Como 1 no es raíz del nuevo polinomio, procedemos seguidamente a buscar sobre él nuevas raíces:
1 4 4
1 1 5
1 5 9
Luego 1 no es raíz. Seguimos probando:
1 4 4
2 2 4
1 2 0
2 2
1 0
Podemos apreciar que 2 es una raíz doble: reiterando el proceso anterior, 2 es raíz del cociente obtenido en la penúltima división, pero también del de la última, por lo que 2 es raíz doble del polinomio original. De todo lo anterior, podemos de forma encadenada razonar que:
P(x) = (x 1)(x2 4x+4) = (x 1)(x 2)(x 2) = (x 1)(x 2)2;
o bien decir que como 1 es una raíz (simple) de P, y 2 es una raíz doble de P, por el teorema del factor será:
P(x) = (x 1)(x 2)2;
o sea, un factor(x 1)por la raíz 1, y un factor(x 2)2por la raíz 2 doble.
Ejemplo 26. Descomponer factorialmente el polinomio Q(x) =x3 7x+6:
Solución.Como el polinomio es de coeficientes enteros, buscaremos para empezar posibles raíces enteras entre los divisores del término independiente. Observemos que Div(6) =f 1; 2; 3; 6g. Tras varios cálculos, las raíces que se obtienen son:
1 0 7 6
1 1 1 6
1 1 6 0
2 2 6
1 3 0
3 3
1 0
(Obsérvese cómo hemos completado el polinomio al empezar con la regla de Ruffini). Puesto que el último coeficiente obtenido en el cociente de la última división es un 1, el teorema del factor nos asegura que dado que 1, 2 y 3 son raíces de P, entonces(x 1);(x 2)y(x+3)son factores de su descomposición, y por tanto:
P(x) = (x 1)(x 2)(x+3):
Ejemplo 27. Descomponer factorialmente el polinomio P(x) =12x4+20x3 11x2 5x+2:
Solución. El polinomio es de coeficientes enteros, por lo que empezaremos buscando posibles raíces, de entre los elementos de Div(2) =f 1; 2g:
12 20 11 5 2
2 24 8 6 2
12 4 3 1 0
Se comprueba inmediatamente que no existen más raíces enteras del polinomio P. Pasamos entonces a buscar posibles raíces fraccionarias. Como Div(12) =f 1; 2; 3; 4; 6: 12g, tenemos que las posibles raíces fraccionarias de P se encuentran entre las fracciones:
1 2 3 4 6 12
1 11 12 13 14 16 121
2 21 22 23 24 26 122
por lo que netamente se tienen las siguientes candidatas a raíces fraccionarias:
1 2;
1 3;
1 4;
1 6;
1 12;
2 3
con las que empezamos a probar sobre el polinomio obtenido en (1):
12 4 3 1
1
2 6 1 1
12 2 2 0
1
2 6 2
12 4 0
1
3 4
12 0
De todo lo anterior, deducimos que 12; 12 y13 también son raíces de P. Como el último coeficiente obtenido es 12, la regla de Ruffini nos confirma que deberá aparecer en la descomposición del polinomio P, y conjuntamente con el teorema del factor, podemos asegurar ya que la descomposición de P es:
P(x) =12(x+2) x 1
2 x+
1
2 x
1 3
Para terminar, si deseamos obtener una descomposición con polinomios con coeficientes enteros, observemos que el producto de los denominadores de las raíces fraccionarias obtenidas es precisamente 12. Podemos entonces multiplicar convenientemente cada factor para que quede con coeficientes enteros:
P(x) = 2 2 3 (x+2) x 1
2 x+
1
2 x
1 3
= (x+2) 2 x 1
2 2 x+
1
2 3 x
1 3
= (x+2)(2x 1)(2x+1)(3x 1)
Ejemplo 28. Obtener la descomposición factorial de P(x) =x2 1:
Solución. En este caso, es fácil advertir que x2 1=x2 12= (x+1)(x 1):De esta manera, hemos obtenido la factorización sin más que usar una de las fórmulas de los productos notables. Observemos que de la descom-posición obtenida se deduce que tanto 1 como 1 son raíces del polinomio.
Ejemplo 29. Obtener la descomposición factorial de Q(x) =4x2 25:
Solución. Aquí no es difícil darse cuenta de que 4x2 25=22x2 52= (2x)2 52= (2x+5)(2x 5):La
de-scomposición obtenida, mediante una de las fórmulas de los productos notables (la de la diferencia de cuadra-dos), es una descomposición con factores irreducibles (son de grado 1), factores que corresponden a las raíces
5 2y
5 2:
Solución. Como no tenemos término independiente, se procede a sacar factor común la x de menor grado que aparezca:
R(x) =x6 x2=x2(x4 1):
Podemos apreciar que el factor x4 1 se descompone de forma directa:
x4 1= (x2)2 12= (x2+1)(x2 1) = (x2+1)(x+1)(x 1):
Por tanto, la descomposición de R(x)es:
R(x) =x2(x+1)(x 1)(x2+1):
Recordemos que el factor x2+1 es irreducible. La descomposición anterior nos muestra que 0 es una raíz doble, y que 1 y 1 son raíces simples.
Ejemplo 31. Descomponer factorialmente el polinomio: P(x) =x2 6x+9:
Parte III
Fracciones Algebraicas
SECCIÓN 8
Conceptos básicos
Definición 8. Una fracción algebraica en la indeterminada x (o cualquier otra letra) es una expresión de
la forma P(x)
Q(x), donde tanto P como Q son polinomios con coeficientes reales en la indeterminada x. Al igual que en el caso de los polinomios, este tipo de expresiones simbolizan para un determinado valor de la indeterminada x un número real, siempre que el polinomio Q(x)no sea el polinomio nulo, es decir, Q(x)6=0. Al polinomio P(x)se le denomina polinomio numerador, mientras que al polinomio Q(x)se le llama polinomio denominador.
Una fracción algebraica P(x)
Q(x) se dirá que es propia si gr(P) gr(Q). En caso contrario, se dirá que es impropia.
Ejemplo 32. Son ejemplos de fracciones algebraicas las siguientes:
(a) 3x 5
4x2+2x 3 (b)
4x5 13x+7 2x2+3x
La fracción algebraica del apartado (a) se corresponde con una fracción propia, mientras que la del apartado (b) sería impropia.
Definición 9. Al conjunto de todas las fracciones algebraicas en la indeterminada x con coeficientes reales lo simbolizaremos porR(x). Observemos que R(x)es distinto deR[x];que es el anillo de los polinomios con coeficientes reales en la indeterminada x. Estudiaremos aquí también la estructura algebraica de este conjunto, y veremos queR(x)tiene estructura de cuerpo conmutativo, llamado el cuerpo de fracciones deR[x].
Definición 10. Dos fracciones algebraicas P(x) Q(x);
R(x)
S(x) 2R(x)se dice que son equivalentes, y lo
representare-mos escribiendo que P(x) Q(x)
R(x)
S(x) si se verifica la siguiente condición:
P(x) Q(x)
R(x)
S(x) ,P(x) S(x) =Q(x) R(x)
Nota 10. Nótese cómo la definición de equivalencia de fracciones algebraicas es completamente análoga a la equivalencia establecida para fracciones con números enteros, de manera que podremos decir aquí también que dos fracciones (algebraicas) son equivalentes cuando los productos en cruz son iguales. En adelante, para nosotros dos fracciones algebraicas equivalentes son iguales:
P(x) Q(x)
R(x) S(x) )
P(x) Q(x)=
R(x) S(x)
Ejemplo 33. Las fracciones algebraicasx+1 2 y
x2+2x+1
2x+2 son equivalentes. En efecto:
(x+1)(2x+2) =2x2+4x+2=2(x2+2x+1)
Ejemplo 34. Las fracciones algebraicasx 2 x 3 y
x2 4x+4
x2 5x+6 son equivalentes igualmente:
SECCIÓN 9
Obtención de fracciones equivalentes a una dada
Podemos obtener fracciones algebraicas equivalentes a una dada de dos formas:
1. Amplificando la fracción. Si P(x)
Q(x)2R(x), y R(x)2R[x], entonces la fracción
P(x) R(x)
Q(x) R(x)es equivalente
a P(x)
Q(x). Esto es obvio pues los productos en cruz son claramente iguales (téngase presente que el producto de polinomios es conmutativo).
2. Reduciendo la fracción. Si P(x)
Q(x)2R(x)y R(x)2R[x]cumple ser un divisor común de los polinomios P(x)y Q(x), entonces la fracción
C1(x) C2(x)
= P(x): R(x) Q(x): R(x)
es equivalente a P(x)
Q(x). En efecto, si el polinomio R es un divisor de P y de Q, entonces existen polinomios C1(x)y C2(x)tales que P(x) =R(x) C1(x)y Q(x) =R(x) C2(x). Es evidente de esta manera que
C1(x) C2(x)
C1(x) R(x) C2(x) R(x)
= P(x) Q(x):
Ejemplo 35.
x 1 x 2
| {z }
Fracción Reducida =(x
2 2x+1):(x 1) (x2 3x+2):(x 1) =
x2 2x+1 x2 3x+2
| {z }
Fracción Original =(x
2 2x+1) (x+1) (x2 3x+2) (x+1) =
x3 x2 x+1 x3 2x2 x+2
| {z }
Fracción Amplificada
9.1. Fracción irreducible o canónica de una fracción algebraica
Con el procedimiento de reducir una fracción, llamaremos fracción irreducible (o canónica) de la fracción P(x)
Q(x) 2R(x);a la fracción P0(x)
Q0(x) 2R(x) que siendo equivalente a la fracción
P(x)
Q(x); los polinomios que la componen son del menor grado posible. La manera de obtener la fracción irreducible de una fracción alge-braica, consiste en dividir cada término de la fracción por el mayor divisor común a ambos. La manera más operativa de realizar esta operación consistirá en descomponer factorialmente los polinomios numerador y de-nominador de la fracción, y simplificar aquellos factores que sean comunes a ambos. Lo describimos con ejemplos.
Ejemplo 36. Obtener la fracción irreducible de la fracción x
3+3x2+3x+1 x2+3x+2 .
Solución. Para obtener su fracción irreducible deberemos previamente factorizar los polinomios numerador y denominador: Se puede comprobar fácilmente que sus descomposiciones son las siguientes:
x3+3x2+3x+1 = (x+1)3 x2+3x+2 = (x+1) (x+2)
Por tanto:
x3+3x2+3x+1
x2+3x+2 =
(x+1)3 (x+1)(x+2) =
(x+1)2 x+2 =
x2+2x+1
Ejemplo 37. Obtener la fracción irreducible de la fracción x
2 5x+6 x2 4x+4.
Solución. Es fácil comprobar que:
x2 5x+6
x2 4x+4=
(x 2)(x 3)
(x 2)2 =
x 3
x 2 :
SECCIÓN 10
Operaciones con fracciones algebraicas
En el conjunto de las fracciones algebraicas con coeficientes reales, en la indeterminada x;tenemos establecidas las siguientes operaciones que, como se podrá comprobar, están bien definidas y son cerradas enR(x).
10.1. Suma o Adición
Dadas dos fracciones algebraicas P(x) Q(x);
R(x)
S(x) 2R(x), se define su suma como una nueva fracción algebraica P(x)
Q(x)+ R(x)
S(x) dada por:
P(x) Q(x)+
R(x) S(x) =
P(x) S(x) +Q(x) R(x) Q(x) S(x)
Nota 11. La fracción algebraica suma se obtiene análogamente a como se hacía con números racionales. De igual forma se reduce a común denominador, de manera que, aunque no se haya establecido previamente, la suma de fracciones con igual denominador arroja una fracción con denominador idéntico y con numerador la suma de los numeradores de los sumandos, es decir,
P(x) Q(x)+
R(x) Q(x)=
P(x) +R(x) Q(x) :
También se puede aquí reducir a común denominador determinando el mínimo común múltiplo de los denomi-nadores, tal y como se obtenía en el apartado de factorización de polinomios.
1. 5x 2 3x2 +
x2+4 3x2 =
x2+5x+2 3x2
2. x 5 2x+1+
3x 1
x =
(x 5)x+ (2x+1)(3x 1)
x(2x+1) =
x2 5x+6x2+x 1 2x2+x =
7x2 4x 1 2x2+x
3. 3x 2 x(x 1)2+
x+1 x2(x 1) =
(3x 2)x+ (x+1)(x 1) x2(x 1)2
| {z }
mcm(x(x 1)2;x2(x 1))
= 4x
2 2x 1 x4 2x3+x2
10.1.1. Propiedades algebraicas de la suma
En el conjunto de las fracciones algebraicas en la indeterminada x con coeficientes reales provisto de la op-eración suma definida anteriormente se cumplen las siguientes propiedades:
Asociativa P Q+ R S+ T U = P Q+ R S + T U;8
P Q;
R S;
T
U 2R(x)
Conmutativa P Q+ R S = R S+ P Q;8
P Q;
R
S 2R(x)
Existencia de Elemento Neutro 8P
Q2R(x);9 E
E0 2R(x), tal que
P Q+
E E0 =
E E0+
P Q=
P
Q. Evidentemente, la fracción E
E0 es la fracción nula, es decir, la fracción
0 1 =0.
Existencia de elemento simétrico (opuesto) 8P
Q2R(x);9 P0
Q0 2R(x);tal que
P Q+
P0 Q0 =
P0 Q0+
P
Q=0. Es fácil probar que la fracción
P0(x) Q0(x) =
P(x) Q(x) = P(x) Q(x) = P(x) Q(x) ;
y se la llama la fracción opuesta de la fracción P(x) Q(x).
10.2. Resta o Diferencia (Sustracción)
Dadas dos fracciones algebraicas P(x) Q(x);
R(x)
S(x) 2R(x), se define su diferencia como una nueva fracción
alge-braica P(x) Q(x)
R(x)
S(x) dada por:
P(x) Q(x)
R(x) S(x) =
P(x) S(x) Q(x) R(x) Q(x) S(x)
La diferencia está bien definida como operación, aunque no posee propiedades notables. Otra manera de definir la diferencia entre fracciones algebraicas es la siguiente:
La diferencia entre las fracciones algebraicas P(x) Q(x);
R(x)
S(x) 2R(x)es otra fracción algebraica P(x) Q(x) R(x) S(x) dada por: P(x) Q(x) R(x) S(x) = P(x) Q(x)+ R(x) S(x) donde P(x)
Q(x) es la fracción opuesta de la fracción P(x) Q(x).
De igual forma que en el caso de la suma, cuando las fracciones algebraicas que deseamos restar poseen idéntico denominador, la diferencia se realizará restando directamente los numeradores manteniendo el mismo denominador, o sea:
P(x) Q(x) R(x) Q(x) = P(x) R(x) Q(x)
y por supuesto también podremos reducir a común denominador obteniendo el mínimo común múltiplo de los denominadores.
1. 8x 6 2x2 5x+6
6x2+4x 2x2 5x+6 =
6x2+4x 6 2x2 5x+6
2. x 5 2x+1
3x 1
x =
(x 5)x (2x+1)(3x 1)
x(2x+1) =
x2 5x 6x2+x 1 2x2+x =
10.3. Producto o Multiplicación
Dadas dos fracciones algebraicas P(x) Q(x);
R(x)
S(x) 2R(x), se define su fracción algebraica producto como una nueva
fracción algebraica P(x) Q(x)
R(x)
S(x) 2R(x)dada por:
P(x) Q(x) R(x) S(x) = P(x) R(x) Q(x) S(x)
El resultado de multiplicar dos fracciones algebraicas es una nueva fracción algebraica que está bien definida en tanto que como debe ser Q(x)6=0;S(x)6=0, entonces es también Q(x) S(x)6=0.
Nota 12. El producto de fracciones algebraicas es análogo al producto de fracciones con números enteros. De la misma forma no es necesario en el producto reducir a común denominador las fracciones. Hacerlo suele llevar a realizar un producto mal efectuado.
1. 5x 2 3x2
x2+4 3x2 =
(5x 2)(x2+4) 3x2 3x2 =
5x3 2x2+20x 8 9x4
2. x 5 2x+1
3x 1
x =
(x 5)(3x 1) (2x+1)x =
3x2 16x+5 2x2+x
10.3.1. Propiedades algebraicas del producto
En el conjunto de las fracciones algebraicas en la indeterminada x con coeficientes reales provisto del producto definido anteriormente se cumplen las siguientes propiedades:
Interna El producto es una buena operación: el producto de fracciones algebraicas es, según la definición, otra fracción algebraica. El producto de fracciones algebraicas es, en sentido estricto, una operación.
Asociativa P Q R S T U = P Q R S T U; 8
P Q;
R S;
T
U 2R(x)
Conmutativa P Q R S = R S P Q; 8
P Q;
R
S 2R(x)
Existencia de elemento neutro 8P
Q 2R(x);9 E
E0 2R(x) tal que
P Q
E E0 =
E E0
P Q =
P
Q. Evidentemente, la
fracción E
E0 es la fracción unidad, es decir, la fracción
1 1=1.
Existencia de elemento simétrico (inverso) 8P
Q2R(x); P Q6=0;9
P0
Q0 2R(x)tal que
P Q
P0 Q0 =
P0 Q0
P
Q=1. Es fácil probar que la fracción aludida es:
P0(x) Q0(x) =
Q(x) P(x) =
1 P(x) Q(x)
y se la denomina fracción inversa de la fracción P(x) Q(x). Distributiva P Q R S+ T U = P Q R S+ P Q T U;8
P Q;
R S;
T
U 2R(x):
10.4. División (Cociente)
Dadas dos fracciones algebraicas P(x) Q(x);
R(x)
S(x) 2R(x), se define su cociente como una nueva fracción algebraica dada por:
P(x) Q(x) :
R(x) S(x) =
P(x) S(x) Q(x) R(x):
Observemos que el cociente de fracciones algebraicas podría haberse definido por:
P(x) Q(x) :
R(x) S(x) =
P(x) Q(x)
S(x) R(x);
siendo SR((xx))la fracción inversa de la fracción RS((xx)):
Por otra parte, recordemos que el cociente de fracciones algebraicas puede representarse, a su vez, en notación fraccionaria, en cuyo caso se define:
P(x) Q(x):
R(x) S(x) =
P(x)
Q(x)
R(x)
S(x)
= P(x) S(x) Q(x) R(x);
por lo que también podemos aplicar aquella regla mnemotécnica utilizada en las fracciones con números en-teros: el cociente de fracciones algebraicas es una nueva fracción algebraica, en donde el numerador es el producto de los extremos, y el denominador es el producto de los medios.
Por último, decir que la división de fracciones algebraicas no posee propiedades relevantes que merezcan un análisis detenido.
SECCIÓN 11
Valor verdadero de una fracción algebraica
Definición 11. Sea QP((xx)) una fracción algebraica con coeficientes reales, y sea a2R:Se define el valor
ver-dadero de PQ((xx)) cuando x=a, al valor real, si existe, QP((aa)); teniendo en cuenta que si simultáneamente es
P(a) =Q(a) =0; entonces el valor verdadero es el número real, si existe, Pbb(a)
Q(a);donde b
P(x) b
Q(x) es la fracción
irreducible (o canónica) de la fracción QP((xx)):
La definición anterior muestra la existencia de casos en los que a priori no es posible obtener valores numéricos (el valor en el que se evalúa la expresión PQ((xx)) es simultáneamente raíz de los polinomios P(x) y Q(x)).
Veamos algunos ejemplos de cómo obtener el valor verdadero.
Ejemplo 38. Dada la fracción F(x) =xx22 2x3x++12;obtener F(0), F(1)y F(2).
Solución. Observemos que F(0) =0022 2 03 0++12 =12:Por otra parte,
F(1) =1
2 2 1+1
12 3 1+2=
0 0:
Como se ha visto en la definición, deberemos calcular el verdadero valor a partir de la fracción irreducible de
F(x):Dejamos al lector los detalles de la descomposición factorial de los polinomios intervinientes. Es fácil comprobar que
F(x) = (x 1)
2
(x 1)(x 2) =
x 1
