vectores ( 5 ) pdf

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1. Dirección y sentido

Cuando nos encontramos en un cruce con distintas direcciones, como indica la figura de abajo, y suponiendo que todos se mueven a una misma velocidad, es decir por ejemplo a 40 km/h, nos damos cuenta de la importancia de la dirección y sentido. Como observamos y dijimos, no es lo mismo ir a 40 km/h al norte, que, irnos con el mismo modulo ( 40 Km/h ),pero en dirección oeste !!

Entonces, existe una necesidad de relacionar la magnitud de un vector ( 40 km/h) con la dirección y sentido de los movimientos.

Vector

Si notamos un conjunto de rectas paralelas, estas tienen algo en común: tienen la misma dirección

Si a estas direcciones se les agrega una flecha en sus extremos, asociamos con el sentido.

A B

Sentido de A para B

A B

Sentido de B para A

Un segmento orientado, además de tener una dirección y sentido, tiene una medida ( un número real no negativo ), llamado

Modulo.

Vector: ( del latin conductor ), es un ente matemático que reúne en si modulo, dirección y sentido.

Representación vectorial

││

Representación de un vector

Grafica Algebraica Modulo

A A, B, F1 │A│

Iguales: Cuando tienen el mismo modulo, la misma dirección y el mismo sentido

Opuestos: Cuando tienen el mismo modulo, la misma dirección, más son de sentidos contrarios

Eje horizontal

Sentido

Dirección

Modulo

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Elementos de un vector

Un vector está comprendido por los siguientes elementos:

La Dirección:Está determinada por la recta de soporte y puede ser vertical, horizontal e inclinada u oblicua.

La orientación: o sentido, está determinada por la flecha y puede ser horizontal hacia la derecha o hacia la izquierda, vertical hacia arriba o hacia abajo e inclinada ascendente o descendente hacia la derecha o hacia la izquierda.

El punto de aplicación: está determinado por el punto origen del segmento que forma el vector.

La longitud o módulo: es el número positivo que representa la longitud del vector.

Descomposición de un vector

Un vector tal como V, que se encuentra en forma oblicua con respecto a un sistema ortogonal, y cuya dirección forma un ángulo α con respecto a la horizontal positiva, puede ser proyectada ortogonalmente por medio del extremo del vector dado, en los ejes X e Y, obteniendo sus componentes rectangulares Vx y Vy.

Por descomposición analítica, tenemos:

Las proyecciones Vx y Vypueden ser

positivas, negativas o nulas

Adición de vectores

Considerando los vectores a y b,

representados respectivamente por los segmentos orientados AB y AC, con A como punto común. El vector R representado por el segmento orientado BC, cuyo origen B es el extremo del primero y la extremidad C es la extremidad del segundo. Si el extremo de uno de los vectores coincide con el origen del otro, se suman vectorialmente y si coinciden origen con origen o extremo con extremo, se restan vectorialmente.

Ecuación vectorial

Conforme a la dirección y sentido en que las fuerzas son aplicadas, el efecto producido es diferente, es decir, el modulo del vector resultante varia. El sgte. ejemplo nos ilustra la situación planteada.

Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas de módulos 4 N y 3 N. Determine la

intensidad de la fuerza resultante

cuando:

a) Tienen la misma dirección y el mismo sentido

b) Tienen la misma dirección y sentidos contrarios

c) Tienen direcciones perpendiculares d) Forman entre sí, un ángulo de 60º

Resolución

a) F1 F2

R V Vy Vx α

Vx = V . cos α

Vy = V . sen α

A

C a

b

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Dirección: la misma que F1 y F2

R = F1+ F2 Sentido: la misma que F1 y F2

Intensidad: R = F1 + F2 3 N + 4 N = 7N

b) F1

F2

R

Dirección: la misma que F1 y F2

R = F1- F2 Sentido: la misma que F1

Intensidad: R = F1 - F2 4 N - 3 N = 1N

c) F1 q

R

p F2

Dirección:

√

Sentido: de p para q

Intensidad: √

√

d)

F1 q

R

60º

p F2

√

Dirección: Es la recta que contiene a pq

Sentido: de p para q

Intensidad:

√

√

Con estos ejemplos se verifican la

importancia física de las direcciones y sentidos de los vectores aplicados a un cuerp

Método analítico: Regla del paralelogramo

Para dos vectores concurrentes tales como

a y b, se puede obtener el vector suma (equivalente a la resultante), a través de la regla del paralelogramo. El módulo de la resultante se obtiene aplicando el teorema o ley del coseno.

Resultante de vectores

A) vectores colineales: son aquellos que se encuentran sobre una misma línea recta y pueden ser:

a a

b

R

α

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a) vectores de la misma dirección y sentido ( α = 0º )

b) vectores de la misma dirección y sentidos opuestos ( α = 180º )

B) Vectores ortogonales entre sí ( α = 90º )

a R

b

Resolución por descomposición Ejemplo: Dado los vectores a, b y c

concurrentes en o, determine la resultante

Cuando se tienen 3 o más vectores, conviene realizar el planteamiento por descomposición de vectores en eje ortogonales, de forma a ubicar dichas componentes como colineales, es decir:

a

b

a b

R2 = a2 + b2 + 2 a b cos α … pero cos 0º = 1 R2 = a2 + b2 + 2 a b ... R2 = ( a + b)2 Por tanto………. R = a + b

R

a

b

a

b R

R2 = a2 + b2 + 2 a b cos α … pero cos180º = -1 R2 = a2 -2ab + b2 R2 = ( a - b)2 Por tanto………. R = a - b

a

b

R2 = a2 + b2 + 2 a b cos α … pero cos 90 º = 0 por tanto…….. R2 = a2 + b2

a b

c

α δ

Φ

a

c

α δ

Φ b

𝑎𝑥 𝑎 cos ∝

𝑏𝑥 𝑏 cos 𝛿

𝑐𝑥 𝑐 cos ∅

𝑎𝑦 𝑎 𝑠𝑒𝑛 ∝

𝑏𝑦 𝑏 𝑠𝑒𝑛 ∝

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Considerando a partir de ahora solo las componentes, tenemos el grafico de esta manera:

De acuerdo al grafico obtenido, ahora se debe determinar una resultante sobre el eje de las X, pues si nos fijamos son colineales y de la misma forma, una resultante sobre el eje Y.

Por tanto: Rx = ax – bx – cx Ry = ay + by – cy

Como estos son vectores, necesariamente deben tener modulo, dirección y sentido, ubicamos arbitrariamente como positivos estos vectores resultantes parciales:

Por último, si nos fijamos, estos vectores son ortogonales, por tanto:

Rx

R2 = Rx2 + Ry2

Y para calcular la dirección: Tg Φ = Ry / Rx

bx cx _C y by ay ax Ry Rx Ry Φ

R2 = Rx2 + Ry2

Y para calcular la dirección:

Tg Φ = Ry / Rx

Mediciones en el mar

Para determinar el rumbo y el tiempo de navegación se emplea el transportador, con el que se miden los ángulos sobre las cartas. Existen varios modelos, pero el más usado suele ser cuadrado o rectangular, para facilitar el paralelismo con los meridianos y paralelos de la carta; generalmente está construido con material transparente y provisto de un hilo que elimina el uso de reglas; las escalas de graduación varían, pero se emplea más la sexagesimal.

En las cartas náuticas están dibujadas las "rosas" que permiten los rumbos y para ello se utilizan las reglas paralelas: dos reglas unidas por medio de una articulación, que se pueden cambiar fácilmente de lugar en la carta y relacionar los datos que proporcionan las rosas.

Actualmente el compás, el transportador y las reglas han sido unidos en un solo instrumento, el tecnígrafo, que tiene mayor facilidad en su manejo y alcanza mayor precisión, lo cual es importante, porque una falla en los cálculos puede tener consecuencias graves.

Los principales instrumentos de

observación son los prismáticos, el sextante y el radar. Los prismáticos deben ser de poco aumento y de gran luminosidad para que no cansen la vista; los más comunes suelen ser los de 7 x 30 y 7 x 50 y tienen una cubierta de hule para protegerlos, sobre todo en días del mal tiempo.

Para medir la altura de los astros sobre el horizonte y concretamente la del Sol, se utiliza el sextante, instrumento que permite medir la distancia angular entre dos puntos cualesquiera usando un rayo de luz reflejada que hace ángulo con el de luz incidente, lo cual sirve para conocer la altura, la declinación y la latitud aproximada, y hace que de esta manera pueda calcularse la posición exacta de la embarcación.

Después de la aparición del sextante los sistemas de navegación sufrieron un estancamiento y fue hasta la segunda Guerra Mundial cuando se iniciaron los grandes progresos, pudiéndose hacer la

navegación cada vez con mayor

exactitud gracias a la aparición del radar.

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Resuelvo

Trabajos en clase

1. Dados F1= 2u y F2= 10u que forman entre si un angulo de 160º. El ángulo que forma la

resultante con F1 es aproximadamente de:

a) 40º b) 60º c) 120º d) 140º e) 155º

2. El modulo de la resultante de dos vectores perpendiculares de 3 u y 4 u, es:

a) 5 u b) 7 u c) 10 u d) 12 u e) 1 u

3. El modulo de la suma y diferencia de dos vectores colineales de 100u y 50u es:

a) 80 u y 70 u b) 25 u y 75 u c) 150 u y 50 u d) 100 u y 0

e) 0 y 50 u

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4. Dos vectores de intensidades iguales, de dirección 30º uno de otro, da una resultante de dirección respecto a uno de ellos de:

a) 0º b) 15º c) 30º d) 60º e) otro

5. Calcule el módulo de la resultante (en N) de dos fuerza de 6N y 8N respectivamente y que forma un ángulo de 60°.

a) 16 N b) 12,67 N c) 32,23 N d) 17,21 N e) 31,43 N

6. Según la figura, halle | – |, si A=8 y B=6.

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7. Consideremos un sistema de dos vectores paralelos y del mismo sentido, que están en relación como 2 es a 3 y que la suma entre ellos vale 50N

a) 10N y 20N

b) 20N y 30N

c) 30N y 30N d) 30N y 40N e) 30N y 20N

8. Dados v1 = 5u y v2 = 8u que forman entre sí un ángulo de 143º. El ángulo que forma el vector

suma con es aproximadamente de:

a) 37º b) 71,5º c) 74º d) 90º e) 106º

9. Una persona recorre 3 cuadras hacia el este luego recorre 4 cuadras hacia el oeste. Del punto de partida se encuentra a:

a) 1 cuadra b)3 cuadras c) 4 cuadras d) 5 cuadras e) 7 cuadras

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10. Los módulos de las fuerzas indicadas en la figura sonF1 = 30N, F2 = 20N y F3 = 10N. Determine la resultante de los mismos.

a) 14,2N

b) 18,6N F2 c) 25N

d) 21,3N

e) 28,1N F1 60º

F3

11. Los sucesivos desplazamientos efectuados con un móvil cuando se mueve del punto "P" al punto "Q": son 40km hacia el norte, 40 km hacia el este y 10 km hacia el sur. Para retornar de "Q" a "P", la menor distancia a recorrer, es:

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Aprendo más

1. La resultante máxima y mínima de dos

vectores A = 8 u y B = 10 u, son:

a) 18 y 4 u b) 6 y 12 u c) 8 y 16 u d) 2 y 18 u

2. Determine el modulo del vector

resultante :

a) 38 b) 48 c) 50 d) 53 e) 55

c= 20 b= 12

a = 10

60º

3. Si

c

b

a

resultante de dichos vectores indicados en la figura tiene módulo igual a:

a) 10u

b

c) 20

2

u

d) 10

2

u

a

c

4. Determine el modulo del vector

resultante:

a) 5√3 b) 10√3 c) 2√3 d) 4√3 e) 8√3

5. Una persona recorre 3 cuadras hacia

el Norte, luego recorre 3 cuadras hacia el Oeste y por último una cuadra al Norte. El vector desplazamiento tiene módulo:

a) 1 cuadra b) 3 cuadras c) 4 cuadras d) 5 cuadras

e) 7 cuadras

6.

Dos vectores

A



y

B



de módulos

10u y 2u respectivamente forman

entre sí un ángulo igual a 120º. La

resultante forma con el vector de

menor un ángulo de módulo:

a) 70º53'

b) 88º32'

c) 10º53'

d) 109º7'

e) 8º14'

7.

Para el esquema de vectores

podemos afirmar que

:

a) D= T + L L

b) L= D – T

c) T= L – D D T d) T= L + D

e)

8. Los módulos de dos vectores

A

B

formándose entre ellos un ángulo de 135º. EL ángulo formado por la resultante con el vector de menor módulo, es aproximadamente, igual a:

a) 114º b) 12º c) 135º 7. d) 21º e) 45º

6 N 10 N

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9. Para A = 6u, B = 10u, C = 15,49u, el

módulo de

A



B

a) 4,12u b) 8,58u c) 5,66u d) 9,3u e) 15,4u

10. Para A = 6u, B = 10u y





60

º

ángulo que

C

A

a) 10º 30’ b) 18º 50’ c) 13º 25’ d) 38º 12’ e) 21º 47’

11. Para A = 6u, B = 10u y





60

º

a) 10,29 u b) 17,32 u c) 14 u d) 16 u e) 8,71 u

12. Dos fuerzas perpendiculares, cuyos módulos están en la relación 3:4 actúan en un mismo punto dando una fuerza resultante igual a 10N. La fuerza de menor módulo es, en N, igual a:

a) 3N b) 4N c) 6N d) 8N e) 5N

13. Dos vectores concurrentes de

módulos iguales a F, dan una resultante de módulo igual a ½ F. El ángulo que

forman entre sí los vectores es

aproximadamente igual a:

a) 29° b) 151° c) 139º d) 141º e) n.d.a.

14. Un vector

A

cartesianas Ax = -2u y Ay = 8u. El vector

opuesto -

A

por:

a) b) c) e)

15. Dos vectores forman un ángulo de

100º . Sus módulos son de 10u y 3u.

Determinar el módulo de la

diferencia entre los vectores:

a) 8,47u b) 10,92u c) 12,5u d) 9,92u e) 11,3u

16. La relación entre los módulos de

dos vectores perpendiculares es 3/4. El ángulo que la resultante forma con el vector de mayor módulo es:

a) 37º b) 53º c) 67º d) 33º e) 23º

17. Dos vectores de módulos iguales a

123,57 u forman entre sí un ángulo de 47º. Los ángulos que forma la suma con cada uno de ellos son respectivamente:

e) 47º y 47º

a) 47º y 0º b) 35,2º y 11,8º c) 23,5º y 23,5º

b) 0º y 47º c) 47º y 47º d) 23,5º y 23,5º

e) 47º y 47º e) 47º y 47º

18. Los módulos de dos vectores

A

y

B

formándose entre ellos un ángulo de 135º. EL ángulo formado por la resultante con el vector de menor módulo, es aproximadamente, igual a:

a) 114º b) 12º c) 135