Ejemplo de ecuación lineal homogénea

( _dy

dt =f (t;y); y(t0) =y0:

(1)

Teorema (de Picard)

Si R = [t0 a;t0+a] [y0 b;y0+b]y f (t;y);

@f

@y son reales y

continuas en R, entonces existe >0tal que el problema (1) tiene una

única solución en [t0 ;t0+ ].

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.2

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

(t₀,y₀) R

t

y

(t₀-a,y₀-b) (t0-a,y0+b)

Teorema de Picard

( _dy

dt =f (t;y); y(t0) =y0:

(2)

El valor de no es conocido en general, pero podemos obtener un valor mínimo para :

Teorema

Sean f y @f

@y funciones continuas en el rectángulo R =f(t;y) :

t0 a t t0+a, y0 b y y0+bg;y sean

M = max

(t;y)2Rjf (t;y)j; =min a;

b M

Entonces el problema de Cauchy (2) posee una única solución y(t) en el

Ejemplo de ecuación lineal homogénea

dy dt =2ty Solución general:

jy(t)_j=Det2,D 0

y(t) =Cet2,C _2R

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -30 -20 -10 0 10 20 30 t y

y(t)=Cet2

Soluciones de dy/dt=2ty

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -30 -20 -10 0 10 20 30 t y

y(t)=Cet2

Ecuación lineal no homogénea

dy

dt +a(t)y =b(t)

1 Multiplicamos la ecuación por e

R

a(t)dt_:

dy dte

R

a(t)dt_+a(t)yeRa(t)dt _=b(t)eRa(t)dt

2 Usamos la derivada del producto:

d dt ye

R

a(t)dt ₌ dy

dte

R

a(t)dt_+a(t)yeRa(t)dt

3 Entonces:

d dt ye

R

a(t)dt _=b(t)eRa(t)dt

Ecuaciones separables

dy

dt =f (y)g(t)

dy

f (y) =g(t)dt

Z

dy

f (y) =

Z

g(t)dt (3)

Puntos …jos:

f (y) =0

y(t) y

Solución general:

G(t;y;C) =0 (obtenida de (3))

y los puntos …jos

Ecuaciones homogéneas

dy

dt =f (t;y) =F y t

Cambio de variable:

u = y

t

y0 =u0t+u

u0t+u=F y

t =F(u)

du

dt =

F(u) u

Ecuación de Bernoulli

dy

dt +a(t)y =b(t)y n_,n

6

=0;1

Cambio de variable:

u = 1

yn 1

u0 = (1 n) y0

yn

y0

yn +a(t)

1

y1 n =b(t))

1 1 nu

0_{+a(t)u =b(t)}

Ecuación lineal:

Modelos de poblaciones

p =Número de habitantes de una población animal o vegetal:

dp

dt =veloc. de nacimientos-veloc. de fallecimientos

Modelo de Malthus:

dp

dt =ap;a>0

p(t) =p0ea(t t0)

a=0:02 (estimación)

p(1965) =3335 millones (real)

p(2000)_' 3335 106 e0:02(2000 1965)= 6715:9 millones

p(2050)_' 3335 106 _e0:02(2050 1965)_{= 18256 millones}

p(2500)_' 3335 106 e0:02(2500 1965)= 148 billones

Modelos de poblaciones

Modelo de Verhulst (ecuación logística):

dp

dt =ap bp

2_{;a;b >0}

Solución:

p(t) = 1

b a +

1

p0 b

a e a(t t0)

Puntos …jos:

p1 =

a

a=0:029; b =2:695 10 12 (estimación)

a

b =

0:029

2:695 10 12 '10760 millones

Datos de población:

Año Población

1965 3335 millones 2000 6070:6 millones 2015 7500 millones

Predicción: Dato inicial p(1965) =3335 106_:

p(2000)_' 1

2:695 10 12 0:029 +

1

3335 106 2:695 10 12

0:029 e 0:029 (2000 1965) =5955:3 millones

p(2015)_' 1

2:695 10 12 0:029 +

1

3335 106 2:695 10 12

a=0:029; b =2:695 10 12 (estimación)

a

b =

0:029

2:695 10 12 '10760 millones

Datos de población:

Año Población

1965 3335 millones 2000 6070:6 millones 2015 7500 millones

Predicción: Dato inicial p(2015) =7500 106_:

p(2020)_' 1

2:695 10 12 0:029 +

1

7500 106 2:695 10 12

0:029 e 0:029 (2020 2015) =7820 millones

p(2050)_' 1

2:695 10 12 0:029 +

1

7500 106 2:695 10 12

Circuitos eléctricos: Circuito RL en serie

E

Bobina L

Resistencia R +

-Fuente de voltaje

Ley de Ohm: VR =RI

Ley de Faraday: VL =L

dI dt

LdI

Circuitos eléctricos: Circuito RC en serie

E

Condensador C

Resistencia R

+

-Fuente de voltaje

Condensador C

Ley de Ohm: VR =RI

Ley de Coulomb: VC = _C1Q

RdQ dt +

1

Circuitos eléctricos: Circuito RL en paralelo

Caso lineal:

I

A

B

IR IL

Ley de la corriente en el punto A:IR+IL+I =0 Ley de Kirchho¤: LdIL

dt =RIR Opción 1:

LdIL

dt = RIL RI Opción 2:

LdIR

Circuitos eléctricos: Circuito RL en paralelo

Caso lineal:

I

A

B

IR IL

Ley de la corriente en el punto A:IR+IL+I =0 Ley de Kirchho¤: LdIL

dt =RIR Opción 1:

LdIL

dt = RIL RI

Opción 2:

LdIR

Circuitos eléctricos: Circuito RL en paralelo

Caso lineal:

I

A

B

IR IL

Ley de la corriente en el punto A:IR+IL+I =0 Ley de Kirchho¤: LdIL

dt =RIR Opción 1:

LdIL

dt = RIL RI Opción 2:

LdIR

Circuitos eléctricos: Circuito RL en paralelo

Caso no lineal: VR =IR2 4IR

I

A

B

IR IL

Ley de la corriente en el punto A:IR+IL+I =0 Ley de Kirchho¤: LdIL

dt =I

2

R 4IR

LdIR dt = I

2

R +4IR L

Circuitos eléctricos: Circuito RL en paralelo

Caso no lineal: VR =IR2 4IR

I

A

B

IR IL

Ley de la corriente en el punto A:IR+IL+I =0 Ley de Kirchho¤: LdIL

dt =I

2

R 4IR

LdIR dt = I

2

R +4IR L

Teoría cualitativa

dy

dt =f (y)

Pasos:

1 Hallar los puntos …jos:f (y) =0: 2 Dibujar el diagrama de fases.

3 Estudiar el comportamiento de las soluciones a largo plazo en cada

subintervalo.

4 Estudiar la estabilidad de los puntos …jos.

El método de Euler

( _dy

dt =f (t;y) y(t0) =y0

t0<t1 =t0+h <t2=t0+2h< ::: <tN =t0+Nh

yk+1 =yk +hf (tk;yk); k =0;1; :::;N 1

Ejemplo:

y0 =y2; y(0) =1

y1 =1+0:25 12 =1:25

y2 =1:25+0:25 (1:25)2 =1:640 625

y3 =1:640 625+0:25 (1:640 625)2=2:313 538'y(0:75)

El método de Euler

( _dy

dt =f (t;y) y(t0) =y0

t0<t1 =t0+h <t2=t0+2h< ::: <tN =t0+Nh

yk+1 =yk +hf (tk;yk); k =0;1; :::;N 1

Ejemplo:

y0=y2; y(0) =1

y1 =1+0:25 12 =1:25

y2 =1:25+0:25 (1:25)2 =1:640 625

y3 =1:640 625+0:25 (1:640 625)2=2:313 538'y(0:75)

y4 =

El método de Euler

( _dy

dt =f (t;y) y(t0) =y0

t0<t1 =t0+h <t2=t0+2h< ::: <tN =t0+Nh

yk+1 =yk +hf (tk;yk); k =0;1; :::;N 1

Ejemplo:

y0=y2; y(0) =1

y1 =1+0:25 12 =1:25

y2 =1:25+0:25 (1:25)2 =1:640 625

y3 =1:640 625+0:25 (1:640 625)2=2:313 538'y(0:75)

El método de Euler

Ejemplo:

y0=y2; y(0) =1

y3 =2:313 538'y(0:75)

y4 =3:651 653'y(1)

Solución exacta:

y(t) = 1

1 t; 1<t<1

y(0:75) =4

Error(0:75) =_j2:313 538 4_j=1:686 5

h =0:1

t Euler Exacta Error

0 1 1 0

0:4 1:557797 1:666667 0:108 87 0:8 3:239652 5 1:760 3 0:9 4:289186 10 5:710 8 1 6:128898 No existe

1:1 9:885238 No existe 1:2 19:657031 No existe 2:2 No existe No existe

h =0:05

t Euler Exacta Error

0 1 1 0

0:4 1:6052 1:666667 6:146 7 10 2 0:8 3:7932 5 1:206 8

0:9 5:5308 10 4:469 2 1 9:5527 No existe

h =0:01

t Euler Exacta Error

0 1 1 0

0:4 1:6529 1:666667 1:376 7 10 2 0:8 4:6471 5 0:352 9

0:9 8:2786 10 1:721 4 0:99 24:4242 100 75:576 1 30:3897 No existe

1:04 159:7871 No existe 1:14 No existe No existe

h =0:001

t Euler Exacta Error

0 1 1 0

0:4 1:6653 1:666667 1:367 10 3 0:8 4:9603 5 0:039 7 0:9 9:7775 10 0:222 5 0:99 70:3236 100 29:676 1 193:1368 No existe

El método de Euler

( _dy

dt =f (t;y) y(t0) =y0

(4)

Error de discretización global o de truncamiento:

ek =y(tk) yk

Teorema

Sea y(t)la solución de (4), de…nida en [t0;t0+ ]. Si f;

@f

@t;

@f

@y son

continuas en [t0;t0+ ] Ryftk;ykg es la sucesión de aproximaciones

por el método de Euler, entonces

jekj Ckh; 8k =1; :::;N:

El método de Heun

( _dy

dt =f (t;y) y(t0) =y0

t0<t1 =t0+h <t2=t0+2h< ::: <tN =t0+Nh

Aproximaciones en dos etapas:

pk+1 =y(tk) +hf (tk;yk);

yk+1 =yk +

h

2(f (tk;yk) +f (tk+1;pk+1));

El método de Heun

( _dy

dt =f (t;y) y(t0) =y0

Error de discretización global o de truncamiento:

ek =y(tk) yk

Teorema

Sea y(t)la solución de (1), que suponemos de…nida en [t0;t0+ ]. Si

f ₂C2([t0;t0+ ] R)(es decir, tanto f como sus derivadas parciales

hasta el orden dos son continuas) y _ftk;ykges la sucesión de

aproximaciones por el método de Heun, entonces

jekj Ckh2:

El método de Runge-Kutta

( _dy

dt =f (t;y) y(t0) =y0

t0<t1 =t0+h <t2=t0+2h< ::: <tN =t0+Nh

Aproximaciones en cuatro etapas:

yk+1 =yk +

h

6(f1+2f2+2f3+f4)

f1=f (tk;yk)

f2=f tk +

h

2;yk +

h

2f1

f3=f tk +

h

2;yk +

h

2f2

El método de Runge-Kutta

( _dy

dt =f (t;y) y(t0) =y0

Error de discretización global o de truncamiento:

ek =y(tk) yk

Teorema

Sea y(t)la solución de (1). Si f ₂C4_([t

0;t0+ ];R) yftk;ykges la

sucesión de aproximaciones por el método de Runge-Kutta, entonces

jekj Ckh4:

y0 = t y

2 ; y(0) =1

h =0:5; t₂[0;1]

PASO 1: de t =0 a t =0:5

f1 = 0 1₂ = 1₂

y0+ h₂f1 =1+0₂:5 1₂ =0:875

f2 = 0:25 0₂ :875 = 0:3125

y0+ h₂f2 =1+0₂:5 ( 0:3125) =0:921 88

f3 = 0:25 0₂:921 88 = 0:335 94

y0+hf3 =1+0:5 ( 0:335 94) =0:832 03

f4 = 0:5 0:₂832 03 = 0:166 02

y1 =1+

0:5 6

1

y0 = t y

2 ; y(0) =1

h =0:5; t₂[0;1]

PASO 2: de t =0:5 a t=1

f1 = ?₂ =

y1+ h₂ f1=

f2 = ?₂ =

y1+ h₂ f2=

f3 = ?₂ =

y1+h f3 =

f4 = ?₂ =

y2=0:836 426+ 0:5

6 ( 0:168 213 +2 ( 0:022 186 5) +2 ( 0:040 439 5) +0:091 897)

y0 = t y

2 ; y(0) =1

h =0:5; t₂[0;1]

PASO 2: de t =0:5 a t=1

f1 = 0:5 0:₂836 426 = 0:168 213

y1+ h₂ f1=

f2 = ?₂ =

y1+ h₂ f2=

f3 = ?₂ =

y1+h f3 =

f4 = ?₂ =

y2=0:836 426+ 0:5

6 ( 0:168 213 +2 ( 0:022 186 5) +2 ( 0:040 439 5) +0:091 897)

y0 = t y

2 ; y(0) =1

h =0:5; t₂[0;1]

PASO 2: de t =0:5 a t=1

f1 = 0:5 0:₂836 426 = 0:168 213

y1+ h₂ f1=0:836 426+0₂:5 ( 0:168 213) =0:794 373

f2 = 0:75 0₂:794 373 = 0:022 186 5

y1+ h₂ f2=

f3 = ?₂ =

y1+h f3 =

f4 = ?₂ =

y2=0:836 426+ 0:5

6 ( 0:168 213 +2 ( 0:022 186 5) +2 ( 0:040 439 5) +0:091 897)

y0 = t y

2 ; y(0) =1

h =0:5; t₂[0;1]

PASO 2: de t =0:5 a t=1

f1 = 0:5 0:₂836 426 = 0:168 213

y1+ h₂ f1=0:836 426+0₂:5 ( 0:168 213) =0:794 373

f2 = 0:75 0₂:794 373 = 0:022 186 5

y1+ h₂ f2=0:836 426+0₂:5 ( 0:022 186 5) =0:830 879

f3 = 0:75 0:₂830 879 = 0:040 439 5

y1+h f3 =

f4 = ?₂ =

y2=0:836 426+ 0:5

6 ( 0:168 213 +2 ( 0:022 186 5) +2 ( 0:040 439 5) +0:091 897)

y0 = t y

2 ; y(0) =1

h =0:5; t₂[0;1]

PASO 2: de t =0:5 a t=1

f1 = 0:5 0:₂836 426 = 0:168 213

y1+ h₂ f1=0:836 426+0₂:5 ( 0:168 213) =0:794 373

f2 = 0:75 0₂:794 373 = 0:022 186 5

y1+ h₂ f2=0:836 426+0₂:5 ( 0:022 186 5) =0:830 879

f3 = 0:75 0:₂830 879 = 0:040 439 5

y1+h f3 =0:836 426+0:5 ( 0:040 439 5) =0:816 206

f4 = 1 0:816 206₂ =0:091 897

y2=0:836 426+ 0:5

6 ( 0:168 213 +2 ( 0:022 186 5) +2 ( 0:040 439 5) +0:091 897)

y0 = t y

2 ; y(0) =1

h =0:5; t₂[0;1]

y(t) =t 2+3e t2

y(1) =1 2+3e 12 =0:819 592

Error =_j0:819 592 0:819 629_j=3:7 10 5

h =0:25; t₂[0;1]

y4=0:819594

Error =_j0:819 592 0:819594_j=2 10 6

El cociente entre los dos errores es el siguiente:

Error(h=0:5)

Error(h=0:25) =

0:000 037

y0 = t y

2 ; y(0) =1

h =0:5; t₂[0;1]

y(t) =t 2+3e t2

y(1) =1 2+3e 12 =0:819 592

Error =_j0:819 592 0:819 629_j=3:7 10 5

h =0:25; t₂[0;1]

y4=0:819594

Error =_j0:819 592 0:819594_j=2 10 6

El cociente entre los dos errores es el siguiente:

Error(h=0:5)

Error(h=0:25) =

0:000 037

Resumen de los tipos de ecuaciones

1 _{Ecuaciones lineales}

Lineales homogéneas

dy

dt +a(t)y =0 Lineales no homogéneas

dy

dt +a(t)y =b(t)

2 Ecuaciones separables

dy

dt =f (t)g(t)

3 Ecuaciones homogéneas

dy dt =F

y t

4 _{Ecuaciones de Bernoulli}

dy

dt +a(t)y=b(t)y

n_,n

6

Ejemplo

8 < :

y0+ x

9 x2y = 1 9 x2

y(0) =0

La solución es única y existe al menos en ( 3;3):

Multiplicamos la ecuación por

e

R x

9 x2dx _=e 1 2ln(9 x

2

) = p 1 9 x2

d

dt y

1 p

9 x2 = 1

(9 x2₎32

Integramos:

yp 1

9 x2 =

Z ₁

(9 x2₎32

Ejemplo

yp 1

9 x2 =

Z ₁

(9 x2₎32

dx

Cambio de variable x =3sen(u) :

Z ₁

(9 x2₎32

dx =

Z _{3 cos(u)}

(9(1 sen2_(u)))32

du=

Z _{3 cos(u)}

(9(1 sen2_(u)))32

du

= 1 9

Z _cos(u)

(cos2_(u))32

du = 1

9

Z ₁

cos2_(u)du = 1

9tg(u) +C

= 1

9tg arcsen

x

3 +C

Solución:

yp 1

9 x2 = 1

9tg arcsen

x

3 +C

y(x) =

p 9 x2

9 tg arcsen

x

3 +C p

Ejemplo

8 < :

y0₊ x

9 x2y = 1 9 x2

y(0) =0

y(x) =

p 9 x2

9 tg arcsen

x

3 +C p

9 x2

Sea u =arcsen x₃ . Comosen(u) = x₃:

1+tg2(u) = 1 cos2_(u)

tg2(u) = 1+ 1

1 x₉2 =

x2 ₉₊₉

9 x2 =

x2

9 x2

Entonces:

y(x) =

p 9 x2

9

x

p

9 x2 +C p

9 x2 ₌ x 9 +C