CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERESES

CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERESES

Dos portaaviones asignados a una escuadrilla de entrenamiento habían estado de maniobras en un mar tempestuoso durante varios días. La visibilidad era nula y había niebla, de modo que el capitán permanecía sobre el puente supervisando todas las actividades.

Cuando ya estaba oscureciendo, el vigía que estaba en el extremo de proa informó:

-Hay una luz a estribor

-Rumbo directo, o se desvía hacia la popa? Preguntó el capitán

El vigía respondió:

-Directo a nosotros capitán.

Ello significa que el curso del portaaviones lo estaba conduciendo a una colisión con aquel buque.

El capitán llamó al encargado de enviar señales Morse:

-Envíe un mensaje: “Estamos a punto de chocar; aconsejamos cambiar 20 grados el rumbo”.

Llegó de inmediato otra señal de respuesta: “Aconsejamos que ustedes cambien de rumbo unos 20 grados”.

El capitán dice: “Contésteles: “Habla el capitán; cambien su rumbo 20 grados. ¡Es una orden¡

Soy marinero de segunda clase – fue la respuesta- Mejor cambie su rumbo 20 grados como le he sugerido.

El capitán montado en cólera. Replicó:

-Conteste: “Soy un portaaviones. ¡Cambie su rumbo 20 grados¡”

TASAS DE INTERÉS:

El interés es un derecho que se paga por la utilización del dinero en un determinado tiempo. El interés repone al dueño del dinero la ganancia que hubiese obtenido en otra inversión que sacrifico por prestar o invirtió en otro negocio.

1) INTERES NOMINAL

Es la tasa de interés que capitaliza varias veces durante su período de pago.

La diferencia fundamental con la tasa de interés efectiva es que los períodos de liquidación de los intereses no siempre coinciden con los períodos de inversión que se tienen en una determinada inversión.

r Interés nominal por período de referencia ip = =

m Número de períodos de composición por Períodos de referencia.

En donde ip es la tasa de interés periódica de liquidación.

2) INTERES EFECTIVO

Es la Tasa de interés que capitaliza una sola vez durante su período de pago. La tasa de interés nominal no tiene en cuenta el número de veces que se liquidan los intereses dentro del período para expresar la rentabilidad de una inversión. En cambio, la tasa efectiva considera el impacto que tiene, sobre la rentabilidad, la frecuencia con que se liquiden los intereses, teniendo en cuenta que éstos empiezan a ganar intereses y así se incrementan el retorno efectivo de la inversión.1

1





1





 



m

efectivo

m

r

i

En donde:

i = Interés efectivo del período {ya sea meses, trimestres, año} m = Número de capitalizaciones del período {si es inversión}

Número de pagos o subperíodos del período {si es un préstamo} r = Interés nominal del período { ya sea meses, semestres, años}.

la anterior fórmula es aplicada para cualquier período de tiempo {n}, {años, semestres, trimestres, meses, días} con tal que {n} e {i} estén definidos en los mismos términos, incluyendo la CAPITALIZACIÓN.

En los intereses se debe tener en presente:

1

1) Período de pago: será la frecuencia de las entradas y/o pagos dentro del intervalo del año. Se asocia con los pesos y con el número de períodos.

2) Período de Capitalización: Período en el cual los interese se suman al monto del antiguo capital. Se asocia con la tasa de interés.

3) Tipo de interés: es el interés expresado en términos de tiempo.

34% anual capitalización semestralmente Tipo interés Período de capitalización.

CONSIDERACIONES PARA MANEJO DE INTERESES:

Para poder utilizar las fórmulas de interés compuesto, hay que tener presente que n {períodos} e i{intereses} deben estar expresados en la misma base, y que los períodos de capitalización y el período de pago deben estar expresados en los igual período de tiempo.

Por este motivo, los tres factores que conforman un interés como el período de pago, período de capitalización y el tipo de interés deben estar en igual período de tiempo. Ejemplo: el tener un interés trimestral, capitalización trimestralmente y hacer depósitos trimestrales.

La diferencia fundamental entre el interés nominal y el interés efectivo es el período de capitalización. En el interés nominal se presenta más de una capitalización en el período de pago y en el efectivo solo una capitalización en el período de pago y en el efectivo solo una capitalización en el período de pago. El interés efectivo será mayor que el nominal.

MANEJO DE INTERESES NOMINALES: CONVERTIR INTERÉS NOMINAL EN INTERES PERIODICO:

34% ANUAL CAPITALIZABLE TRIMESTRALMENTE

Tipo interés Período capitalización

Al llevar el interés nominal a periódico, lo que afecto es el tipo de interés y no el período de capitalización.

34% Anual = 8.5% trimestral

4

Ya que en un año ocurren cuatro capitalizaciones, dividimos por cuatro para convertir el tipo de interés anual en interés trimestral.

LOS INTERESES NOMINALES SON LOS ÚNICOS QUE SE PUEDEN DIVIDIR Ó MULTIPLICAR

En este caso vamos a modificar el período de capitalización. Esto solo se puede hacer con los intereses efectivos y se logra por medio de la fórmula.

{ 1/4} i = { 1+0.42} -1 e

i = 9.16% Trimestral e

Cuando vamos de un interés efectivo mayor a uno mayor, la potencia será fraccionaria. Cuando de un interés efectivo menor a uno mayor la potencia es entera.

3) TASA DE INTERÉS DISCRETA:

Es la tasa de interés que se aplica cuando el tiempo o período de capitalización es un variable discreta, es decir el período está medido en intervalos fijos de tiempo tales como año, semestres , trimestres, meses, día. Es el caso de tasa de interés tales como 24% semestral, 48% anual.

4) TASA DE INTERÉS CONTINUO:

Es aquella tasa cuyo período de capitalización sea lo más pequeño posible. Así, por ejemplo, se habla de 40% capitalizable continuamente y significa que es una tasa expresada anualmente y su período de capitalización puede ser lo más pequeño posible. Matemáticamente el número de períodos de capitalización durante el tiempo de la operación financiera crece indefinidamente. A diferencia del interés discreto, en el interés continuo la tasa se presenta en forma nominal.

Para determinar la equivalencia entre el valor presente y el valor futuro para un inversión única con interés capitalizable continuamente durante n años, tenemos:

r * n F = P * e -r * n P = F * e

Ejemplo 1 :

Cuanto debo depositar hoy en una institución financiera que paga un interés del 27% anual capitalizable continuamente, si el saldo a favor dentro de dos años debe ser $ 2.500.000.

-0.27*2 P= 2.5000.000*e P= 1.456.870.63 5) TASA VENCIDA:

Es aquella tasa de interés que capitaliza al final del período.

6) TASA ANTICIPADA:

Es aquella que capitaliza al principio del período.

Vencido

i

i

i

Anticipado

i

i

i

:::::::

1

:::::

1

































En la primera fórmula dado un interés vencido hallar un interés anticipado. En la segunda es dado un interés anticipado, hallar un interés vencido. El principio en el cual se basa el cálculo es el siguiente: Ejemplo 2:

Supongamos que nos vaya a hacer un préstamo de $100 y nos cobran un interés del 30% anual anticipado.

$100 1 0

$100 Al final del período $30 debo pagar el valor prestado en el período cero

Como el interés es anticipado, lo cobro

al momento de hacer el préstamo

Resumiendo tenemos el siguiente diagrama: $70

1 0

$100 Al calcular el interés que nos cobran tenemos que: n

F = P {1+i } 1 100 = 70 {1+i }

i = 42.86% Tasa de interés vencida

Al aplicar la fórmula tenemos lo siguiente: i = 0.30 = 42.86%

v 1-0.30

Al anterior análisis se obtiene partiendo de una tasa efectiva ya sea vencida o anticipada y llegando a otra tasa efectiva anticipada o vencida Pero también podemos estar interesados en calcular una tasa efectiva anual i, equivalente a una tasa nominal J cobrada por períodos anticipados. Para ello tenemos la siguiente expresión:

1

)

1

(

1

_





























m

r

i

En donde: r = Tasa nominal anual i = Tasa efectiva anual

m= Número de subperíodos por período { por año}

a = Factor o tasa de interés por anticipado aplicado a cada subperíodo.

Cuando se conoce el factor o tasa de interés a, que se va a aplicar por anticipado, puesto que a= J/m {Factor de interés por anticipado}, la expresión se reduce a:

1

)

1

(

1

_

















a

i

Cuando deseamos saber el factor de interés por anticipado equivalente a una tasa efectiva anual, y usamos la siguiente expresión:



























)

1

(

1

1

i

a

Se recomienda que al utilizar estas fórmulas, se considere el número exacto de días. Por lo tanto m = 365/d siendo “d” el número de días que se cobran por anticipado.

Ejemplo 3:

Una corporación financiera concede un préstamo cobrando el 42% anual capitalizado trimestre anticipado. Cuál es la tasa efectiva anual equivalente?

1

i = - 1 0.42 4 1 - 4

i= 55.86% Efectivo anual Ejemplo 4:

Cual es la tasa efectiva anual equivalente a un crédito que cobra el 5% mensual por anticipado? En este ejemplo la tasa de interés es efectiva pero pagada por anticipado.

i= 85.05% efectivo anual Ejemplo 5:

Qué factor debe aplicarse a un crédito concedido al 10% efectivo anual pasa a cancelar los intereses por anticipado correspondientes a un trimestre de 90 días?

1 a = 1 -

{90 /365} {1+0.1}

a = 2.32 % trimestral

7) INTERÉS REAL

Tasa de interés que se logra una vez descontados impuestos y la inflación. Si se tiene una inversión de $1.000.000 que devuelve al final de un período $1.400.000; podemos concluir que el rendimiento de la inversión fue del 40%.

Ahora sí en ese mismo período se presentó una tasa de inflación del 23% quiere decir que al comparar los bienes que compra en el inicio del período y los que compra al final de período necesitará tener en su bolsillo de un 23% adicional en unidades monetarias.

Existe la creencia que con restar 40% - 23% = 17% este es el valor del rendimiento real. Veamos porqué no:

$1.400.000

$ 1.23 0 1 0 1 $ 1.000.000

$ 1

Para comprobar que la tasa real de interés no es del 17%, vamos a combinar los pesos disponibles en la inversión y el costo de los bienes y servicios. esto es, los pesos sólo tienen valor en términos de poder adquirir los distintos bienes y servicios. Miremos entonces la cantidad de bienes y servicios que se puedan adquirir, con los pesos disponibles al principio del período y al final:

$ 1.400.000/1.23 = 1.138.211 artículos 0 1

$ 1.000.000 / $1 = 1.000.000 artículos

Mediante la aplicación de matemáticas financieras tenemos que:

Si se invierten P pesos hoy a una tasa de interés efectiva i% dentro de año tendremos F = P*{1+i} Por otra parte si el peso pierde su capacidad de compra a una tasa de inflación if con P pesos de hoy se compran los mismos bienes y servicios que F = P {1+i} dentro de un año. Si reemplazamos f de esta última acción en la primera tenemos que:

P{1+i} 1 + i real =

P {1+i}

{1+i}

i real = -1 {1+if}

i - if 0.40 - 0.23

i real = i real = = 13.82% 1 + if 1 + 0.23

8 ) CALCULO RENDIMIENTO EN MONEDA EXTRANJERA:

Se compone básicamente de la devaluación del peso con respecto a esa moneda y de los intereses generados. El rendimiento no se puede calcular por medio de la suma del interés más la devaluación. Suponga que usted realiza hoy una inversión de US $1 que reconoce un interés { Prime rate, Libor} 9%. Suponga además que el valor del dólar hoy es de $800 y la tasa esperada de devaluación es de 6.76% anual.

Se puede suponer que el rendimiento efectivo anual de esta inversión es {6.76%+9} = 15.76% lo cual no es cierto. Hagamos los cálculos en moneda extranjera y luego la convertimos en pesos colombianos para así calcular la tasa de interés anual:

939.48

US $ 1.09 1024 0 1 0 1

US $ 1 $ 880

US $ 1.09 * $ 939.48/USO = 1024

La tasa efectiva de interés en pesos colombianos de esta operación en dólares es de 16.36% que es superior al 15.76% calculado anteriormente.

i efectivo { ME} = { 1+ devaluación} { 1+ interés } -1

= interés + devaluación + devaluación * interés

= 0.09 + 0.0676 + 0.09*0.0676 = 16.36% en pesos colombianos.

Lo anterior concluye que el rendimiento o costo de operación en moneda extranjera, está determinado por los intereses, la devaluación y las devaluación de los intereses.

Si la tasa de devaluación y la tasa de inflación son iguales, el rendimiento real de la inversión en pesos es igual a la tasa de interés de la moneda extranjera.

A medida que la tasa de inflación sea superior a la tasa de devaluación el interés real disminuye y viceversa.

Conclusión: Se justifica invertir en el extranjero cuando la tasa de inflación sea menor que la tasa de devaluación; pero por lo general estas dos tienden a ser similares.

9 ) TASAS SUCESIVAS DE INTERESES:

r = ( 1 + i1) ( 1 + i2 ) -1

Se presenta cuando liquidamos los interese por un determinado concepto sobre el capital y una tasa adicional por otro concepto sobre el capital y el interés del principal.

Una aplicación es la corrección monetaria en las cuales los interese se liquidan sobre el monto del saldo {ajustado}. Por ello si tenemos un depósito de ahorro, al retirarlo se liquida en primer lugar la corrección monetaria y luego los intereses sobre el saldo ajustado.

Ejercicio 6:

Valor del depósito inicial: $ 500.000. Tasa de corrección monetaria: 23% anual Tasa de interés: 4.5% anual

Saldo final del ahorro más intereses? r= (1+0.23) * (1+0.045) - 1 r= 28.54%

APLICACIONES DE LA CALCULADORA FINANCIERA PARA

CONVERSION DE INTERESES NOMINALES Y EFECTIVOS

Ejemplo 7

Deseo convertir un interés del 34% anual capitalizable trimestralmente en: a) Interés efectivo anual

b) Interés efectivo mensual

Veamos la aplicación por fórmula y por calculadora financiera: A) Por Fórmula:

0.34 4

ieA= ( 1 + --- ) - 1 4

ieA= 38.59 % Interés efectivo anual

Ahora hallemos a partir del interés efectivo anual el interés efectivo mensual. (1/12)

Iem = ( 1 + 0.3859 ) - 1

iem = 2.7566% Interés efectivo mensual. B) Por calculadora Casio Fc-100 - Fc200 - Fc1000 4 EFF 34 = 38.58% Interés efectivo anual

12 APR 38.58 = 33.07 Interés anual capitalizado mensualmente

33.07 / 12 = 2.7566% Interés anual capitalizado anualmente ( Efectivo anual)

C) Por calculadora HP 19 IIB FIN

CONVI EFECT 34...% Nom 4... P

% EFE.... 38.586 Interés efectivo anual

12...P

Ejemplo 8

Convertir un interés del 5% anual capitalizable diariamente ( 365 días). En un interés efectivo mensual.

A) Por calculadora FC-200 y 1000

365 EFF 5 = 5.127% Interés anual capitalizable anualmente 12 APR 5.127 = 5.01 Interés anual capitalizable mensualmente 5.01/12 = 0.418 Interés mensual capitalizable mensualmente. B) Por calculadora HP 19 IIB

FIN CONVI EFECT 365...P 5...% NOM

% EFE..5.127 % Interés anual capitalizable anualmente 12...P

% NOM...5.01 Interés anual capitalizable mensualmente 5.01/12...0.418% Interés mensual capitalizado mensualmente.

RESUMEN SOBRE EL MANEJO DE INTERESES EN CALCULADORA

FINANCIERA

HP 19 IIB

CASIO

FC-100 , FC-200 Y FC-1000

___ INPUT

FIN => CONVI =>EFF =>CONT => NOM / EFEC / P

=> EXIT

SHIF - AC – EXE



Ejemplo 9

Dado el siguiente interés del 36 A Cap. M, expresarlo en interés efectivo anual

HP 19 IIB

CASIO

FC-100 , FC-200 Y FC-1000

___ INPUT

FIN => CONVI =>EFF =>CONT => NOM / EFEC / P . 36 ? 12 => 42.57 Rta. iea

SHIF - AC - EXE

=> 12 SHIF EFF  36 => EXE

=> 42.57 Rta. . iea

Ejemplo 10

Dado el siguiente interés del 9.8 T Cap. M, expresarlo en terminos efectivo trimestral

HP 19 IIB

CASIO

FC-100 , FC-200 Y FC-1000

___ INPUT

FIN => CONVI =>EFF =>CONT => NOM / EFEC / P . 9.8 ? 3 => 10.1236 Rta. iet

SHIF - AC - EXE

=> 3 SHIF EFF  9.8 => EXE

=> 10.1236 Rta. . iet

Ejemplo 11

Dado un interés del 36 A Cap.M Anticipado, encontrar una tasa de interés efectivo mensual * Cuando es anticipado colocamos el número correspondiente a periodos con signo (-) negativo.

HP 19 IIB

CASIO

FC-100 , FC-200 Y FC-1000

___ INPUT

FIN => CONVI =>EFF =>CONT => NOM / EFEC / P . 36 ? -12 => 44.12 Rta. ieaV

SHIF - AC - EXE

=> -12 SHIF EFF  36 => EXE

Ejemplo 12

Dado una tasa de interés del 40 A Cap. T, hallar la tasa de interés efectiva mensual

Las calculadoras siempre darán el interés expresado anualmente, para expresarlo mensual mente debemos seguir los siguientes pasos :

a) Procedimiento normal en calculadora hallando el interés efectivo

HP 19 IIB

CASIO

FC-100 , FC-200 Y FC-1000

___ INPUT

FIN => CONVI =>EFF =>CONT => NOM / EFEC / P . 40 ? 4 => 46.41 Rta. iea

SHIF - AC - EXE

=> 4 SHIF EFF  40 => EXE

=> 46.41 Rta. . iea

b) Procedimiento para hallar nuevamente un interés nominal así:

HP 19 IIB

CASIO

FC-100 , FC-200 Y FC-1000

___ INPUT

FIN => CONVI =>EFF =>CONT => NOM / EFEC / P . ? 46.41 12 => 38.7361 Rta. i A Cap. M

SHIF - AC - EXE

=> 12 SHIF APR  46.41 => EXE

=> 38.7361 Rta. . i A Cap M

c) Como el interés lo deseamos mensual y ya está convertido nuevamente a nominal , siendo este el único que se puede dividir, entonces tendremos:

Ejemplo 13

Dado una tasa de interés del 36 A Cap. T, hallar una tasa de interés efectivo mensual a) Procedimiento normal en calculadora hallando el interés efectivo

HP 19 IIB

CASIO

FC-100 , FC-200 Y FC-1000

___ INPUT

FIN => CONVI =>EFF =>CONT => NOM / EFEC / P . 36 ? 4 => 41.15 Rta. iea

SHIF - AC - EXE

=> 4 SHIF EFF  36 => EXE

=> 41.15 Rta. . iea

b) Procedimiento para hallar nuevamente un interés nominal así:

HP 19 IIB

CASIO

FC-100 , FC-200 Y FC-1000

___ INPUT

FIN => CONVI =>EFF =>CONT => NOM / EFEC / P . ? 41.15 12 => 34.9650 Rta. i A Cap. M

SHIF - AC - EXE

=> 12 SHIF APR  41.15 => EXE

=> 34.9650 Rta. i A Cap M

c) Como el interés lo deseamos mensual y ya está convertido nuevamente a nominal , siendo este el único que se puede dividir, entonces tendremos:

UTILIZACION DE LAS TASAS DE INTERES EN LOS

PLANTEAMIENTO FINANCIEROS

Hemos visto anteriormente, que las tasas de interés están compuestas por el TIPO DE INTERES y el PERIODO DE CAPITALIZACION. También definimos que la tasa de interés que se utilice para la resolución de cualquier planteamiento financiero debe ser efectiva, es decir que tipo de interés y el periodo de capitalización estén expresadas en los mismos términos: 36 % anual capitalizado anualmente.

Al utilizar estas tasas de interés, tenemos otro ingrediente para analizar: El PERIODO DE PAGO. Siempre el interés debe estar expresado en los mismos términos que el periodo de capitalización. Veamos algunos planteamientos financieros:

1) CONSIDERANDO SOLO PAGOS UNICOS

En los planteamientos financieros, puede presentarse que estas tres variables no estén expresadas en iguales términos:

* Tipo de Interés

* Periodo de Capitalización PC

* Periodo de Pago. PP

Para que estén en iguales términos, pueden existir dos posibilidades:

a) Convertir el periodo de pago en los mismos términos en que está expresado el periodo de capitalización.

b) Convertir el periodo de capitalización en los mismos términos en que está expresado el periodo de pago.

Veamos algunos ejemplos de aplicación de estas posibilidades: Ejemplo 14

.

0 3 años 100 i = 12% Trimestral

A. CONVERTIR PC A PP

iea = (1 + 0.12)12 - 1 = 60.10% anual 3

MENÚ FINANCE 1 F2

SHIFT - AC - EXE 3 n - F1

COMP PV = -24.37

B. CONVERTIR PP A PC

0 36 MESES 100

i = 12% Trimestral

12% / 3 = 4% Mensual MENÚ FINANCE 1 F2

SHIFT - AC - EXE 36 n - F1

100 FV - F5 4% i - F2

COMP PV = -24.37

Ejemplo 15

Dado el siguiente planteamiento financiero, determinar el valor futuro si presto $ 1’000.000 al 40% anual y debo cancelar dentro de 12 meses.

1.000.0000

0 12 meses

F = ? i = 40% Anual

A. CONVERTIR PP A PC MENÚ FINANCE 1 F2

SHIFT - AC - EXE 1 n - F1

1.000.000 FV - F3 40% i - F2

B. CONVERTIR PC A PP

1.000.0000

12 meses

F = ?

iem = (1+0.4) 1/12 - 1 = 2.84 % Mensual

MENÚ FINANCE 1 F2

SHIFT - AC - EXE 12 n - F1

1.000.000 FV - F3 2.84% i - F2

COMP VF = -1.339.409,49 Aprox -1.400.000

Ejemplo 16

Debo pagar una deuda a 3 meses pago $100 y a 6 meses pagó $100 quiero saber el valor presente?

VP =?

0 1 2 3 4 5 6 meses

100 100 i = 45% Anual

A. CONVERTIR PP A PC

VP =?

1 TRIM 2 TRIM

100 100

MENÚ FINANCE 1 F5

SHIFT - AC - EXE 0 CFJ - F2 -100 CFJ - F2 -100 CFJ - F2 11.25% i - F1

NXT COMP PV = -170,68

B. CONVERTIR PC A PP

iem = (1 + 0.45/4)1/3 - 1 = 3.61% Mensual

VP =?

0 1 2 3 4 5 6 meses

100 100

MENÚ FINANCE 1 F5

SHIFT - AC - EXE

0 CFJ - F2

0 CFJ - F2

0 CFJ - F2

-100 CFJ - F2

0 CFJ - F2

0 CFJ - F2

-100 CFJ - F2

3.61 % i - F1

NXT COMP PV = -170,74

Este mismo ejemplo en calculadora se puede abreviar de la siguiente forma: 0 CFJ - F2 Es el valor del periodo cero.

0 CFJ - F2

2 Nj Quiere decir que se repite dos veces.

-100 CFJ - F2

0 CFJ - F2

2 Nj

-100 CFJ - F2

3.61 % I - F1

Ejemplo 17

Resolver el siguiente planteamiento financiero

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

100 100 200 i = 42% Anual

A. CONVERTIR PP A PC 42% /4 = 10.5 % Trimestral

iem = (1+0.105/4)1/3 - 1 = 3.38 Mensual

MENÚ FINANCE 1 F5

SHIFT - AC - EXE

-100 CFJ - F2

0 CFJ - F2

0 CFJ - F2

0 CFJ - F2

0 CFJ - F2

-100 CFJ - F2

0 CFJ - F2

0 CFJ - F2

0 CFJ - F2

-200 CFJ - F2

0 CFJ - F2

3.38 % i - F1