Método de los Elementos Finitos aplicados a la Ecuación de Difusión Ambipolar
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(2) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. B. IB. LI. O. T. E. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. Walter Gilmer Aguirre Pardo Teéfono: 044239707 Celular: 966658760 e-mail: waguirrepardo@gmail.com. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(3) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. B. IB. LI. O. T. E. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. A mi madre, a mis hermanos con mucho cariño y amor, y a la memoria de mi padre.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(4) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC. A. S. Presentación. S. Señores Miembros del Jurado:. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. En cumplimiento de las normas dispuestas en el Reglamento de Grados y Tı́tulos de la Universidad Nacional de La Libertad - Trujillo, presento a su consideración el informe de Práctica Pre-Profesional intitulado: “ Método de los Elementos Finitos aplicados a la Ecuación de Difusión Ambipolar ” con el propósito de optar el tı́tulo de Licenciado en Matématicas. Mi agradecimiento se extiende a todos los profesores que han contribuido con sus enseñanzas en mi formación profesional. De manera especial al profesor Luı́s Lara Romero por su asesoramiento en la elaboración del presente informe.. B. IB. LI. O. T. E. Trujillo, Diciembre del 2014.. El Autor.. i. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(5) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC. A. S. Índice general. Resumen. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Notaciones. S. Presentación. Introducción. 1. Material y Método. I. IV. VI. VII. 1. 1.1. Ecuaciones parabólicas y elı́pticas . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.3. Lema de Lax Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. E. 1.4. Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. O. T. 1.5. Método de los elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. LI. 1.6. Procesos de electricidad en semiconductores con impurezas . . . 23. B. IB. 1.7. Formulación de la ecuación de difusión ambipolar . . . . . . . . 24. 2. MEF aplicado a la ecuación de difusión ambipolar. 30. 2.1. Formulación variacional del Problema de difusión Ambipolar . . 30 2.2. MEF aplicado a la ecuación de difusión ambipolar . . . . . . . . 34 2.3.. Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. Conclusiones. 44. ii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(6) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Bibliografı́a. 45 46. B. IB. LI. O. T. E. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. Anexo. iii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(7) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. B. IB. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Campo de los números reales Espacio vectorial real N-dimensional Espacio de funciones medibles cuadrado integrable en Ω Espacio de Hilbert sobre R Espacio Dual de H Derivada parcial de u con respecto a x Derivada parcial de u con respecto a t Producto interno en H Espacio de Sobolev de Primer Orden en Ω Producto interno en L2 Norma en L2 Producto interno en H 1 (Ω) Norma en H 1 (Ω) Producto interno en H m (Ω) Norma en H m (Ω) Subespacio de H 1 (Ω) tal que H 1 (Ω) 3 u = 0 en ∂Ω Producto interno en H01 (Ω) Norma en H01 (Ω) Subespacio de un espacio de Hilbert H Número natural ≥ 2 Aplicación Proyección de una función f sobre K Forma Bilineal Continua y Coerciva funcional lineal continua Aplicación de Riesz Concentración de Electrones Libres (cm−3 ) Concentración de huecos(cm−3 ) Campo Eléctrico (V /cm) Conductividad (Ω−1 /cm) Constante de Boltzman=1,381 × 10−23 J/K Temperatura ambiente=300K Constante de Difusión de Electrones Libres(cm2 /s) Constante de Difusión de huecos(cm2 /s). E. LI. O. T. R RN L2 (Ω) H H0 u0 ut hu, viH H 1 (Ω) hu, viL2 kukL2 hu, viH 1 kukH 1 hu, viH m kukH m H01 (Ω) hu, viH01 kukH01 Vσ Nσ PK f a(., .) l(.) R(.) n p E σ k T Dn Dp. IC. A. S. Notaciones. iv. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. S. IC. A. S. Movilidad de electrones libres (cm2 /V s) Movilidad de huecos (cm2 /V s) Carga del Electrón (1,6 × 10−19 C) Densidad de corriente eléctrica de arrastre de electrones(A/cm2 ) Densidad de corriente eléctrica de arrastre de huecos(A/cm2 ) Densidad de corriente de difusión de electrones(A/cm2 ) Densidad de corriente de difusión de huecos(A/cm2 ) Corriente de Electrones Libres (A/cm2 ) Corriente de Huecos (A/cm2 ) Tiempo de vida media de los Electrones Libres(s) Tiempo de vida media de los Huecos(s) Nodo j−ésimo valor de x en la frontera i Número de Elementos Finitos en Ω Número de Nodos en Ω Elemento finito ésimo espacio Ω × (0 < t < T ) Función Base j-ésima Función Base j-ésima sobre Ωe Función Base j-ésima sobre Ωe Coordenada j-ésima Derivada de nj con respecto a t Función de Aproximación Vector de Coordenadas.. B. IB. LI. O. T. E. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. µn µp q JnCON D JpCON D JnDIF JpDIF Jn Jp τn τp xj xΓ i M N Ωe , e = 1, ..., M ΩT ϕj ϕej (e) ϕj nj (nj )t uN [n]. v. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(9) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC. A. S. Resumen. B. IB. LI. O. T. E. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. El presente trabajo de investigación permite hallar la solución aproximada de un problema de una ecuación en derivadas parciales, la cual se conoce con el nombre de ecuación de difusión ambipolar. Para encontrar esta solución se utiliza el método de aproximación numérica de los elementos finitos, siendo imprescindible considerar principios de fı́sica, de ecuaciones diferenciales, del análisis funcional y del álgebra lineal, entre otras. Se tiene la formulación de la ecuación de difusión ambipolar, ası́ como el planteamiento del problema de Neumann; se asume que no se dispone de la solución exacta de este problema, de modo que se considera un segundo planteamiento llamado planteamiento variacional con respecto al planteamiento convencional, por consiguiente se resuelve el problema de forma correcta unicamente en ciertos puntos, obteniéndose de esta manera un problema discreto, que consiste en sistema lineal de primer orden, cuya resolución determina la solución numérica del problema. Finalmente se visualiza la solución basados en la elaboración de un programa en MATLAB.. vi. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(10) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC. A. S. Introducción. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Un problema fı́sico concreto que pertenece al campo de la microelectrónica se modela con la ecuación diferencial parcial de difusión ambipolar de tipo parabólico, con condiciones de frontera de Neumann. Este problema está definido en un dominio Ω × (0, T ], donde Ω = (0, 1) ⊂ R, y está dado por: ∂2p p 1 ∂p − ∂x 2 + Dτ = − D ∂t ∂p ∂x (0, t) = −Φ(t) . ∂p (1, t) ∂x. x ∈ Ω, 0 < t ≤ T 0<t≤T. 0<t≤T. = Φ(t). x∈Ω. p(x, 0) = ψ(x). O. T. E. En este problema se representa la intensidad de corriente eléctrica a lo largo de una barra a través de una concentración de electrones o huecos, donde D es una constante promedio de huecos y electrones, τ es el tiempo de vida medio en inyección de alto nivel en el material. La condición de frontera de Neumann indica la transferencia de energı́a en los costados, y la condición inicial viene a ser la distribución de energı́a ψ(x), que depende unicamente de la posición en la sección transversal.. B. IB. LI. En la actualidad hay una gran variedad de métodos numéricos para resolver una ecuación diferencial parcial, tales como el Método de Diferencias Finitas, Método de los Volúmenes Finitos, Método de los Elementos de Contorno, Métodos de Operadores de Referencia, Métodos Libres de Malla, Método de Los Elementos Finitos, entre otros. El objetivo es hallar una aproximación numérica para el problema de difusión ambipolar, sin embargo este problema es equivalente a un problema unidimensional formulado variacionalmente por: (. Hallar u ∈ Hc1 (Ω) a(u, v) = l(v),. tal que ∀v ∈ Hc1 (Ω). vii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(11) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. B. IB. LI. O. T. E. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. donde Hc1 (Ω) es un subespacio del espacio de Sobolev H 1 (Ω). Ahora, el objetivo es hallar una solución aproximada para el problema variacional utilizando el Método de los Elementos Finitos (MEF), y determinar la concentración de carga eléctrica a lo largo de su dominio Ω ⊂ R. Entonces el problema es el siguiente: ¿Es posible encontrar una solución numérica del problema de difusión eléctrica utilizando el método de los elementos finitos?. En principio dada la naturaleza de la ecuación de difusión ambipolar se ha investigado si los miembros de esta ecuación diferencial parcial parabólica pueden ser expresados mediante imagen de algún espacio del análisis funcional. Se logra encontrar un operador lineal cuyo argumento está en un espacio de Sobolev y cuya imagen representa un miembro de la ecuación, luego en virtud de una formulación variacional del problema original se construye una forma bilineal y un funcional lineal que constituyen la base para poder aplicar el Lema de Lax Milgram herramienta fundamental en este trabajo, que garantiza la existencia y unicidad de la solución considerando ciertas condiciones de frontera que deben ser satisfechas. Por consiguiente existe una caracterización abstracta del problema y su solución se encuentra en espacios de dimensión infinita, es por ello que ahora es posible dividir el dominio en subdominios y obtener una formulación discreta del problema, como consecuencia resulta en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Finalmente hallando la solución de este sistema es posible proporcionar la solución del problema.. viii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(12) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Material y Método. A. S. Capı́tulo 1. Ecuaciones parabólicas y elı́pticas. LI. O. 1.1.. T. E. Se muestra en principio los espacios de Sobolev, espacios vectoriales, cuyos elementos son funciones definidas sobre dominios de Rn , tal que las derivadas parciales de estas funciones satisfagan ciertas propiedades de integrabilidad según Lebesgue y tengan norma finita. Estos espacios contienen a la solución aproximada numérica que se intenta obtener del problema variacional. Para resolver este problema se requiere de una herramienta básica y fundamental que se conoce como el Lema de Lax Milgram, que se ve también en este capı́tulo, y que garantiza la existencia y unicidad de la solución del problema de Neumann. Ası́ mimo, se muestra el método de los elementos finitos unidimensionales en el dominio Ω del problema original. La formulación del problema de difusión ambipolar permite conocer sus constantes en la ecuación diferencial parcial que son útiles para solucionar el problema, ası́ como para determinar el espacio que contiene a la solución aproximada.. B. IB. Definición 1.1.1 Sea U ⊂ Rn abierto y acotado. Decimos que el operador ∂ + L es parabólico si existe una constante θ > 0 tal que diferencial parcial ∂t n X. aij (x, t)ξi ξj ≥ θ|ξ|2. i,j=1. para todo (x, t) ∈ U × (0, T ], T (f ijo) > 0 , ξ ∈ Rn . donde la ecuación diferencial parcial y el operador L están dados de la forma ut + Lu = f en U × (0, T ], 1. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(13) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Lu = −. n X. aij (x, t)uxx +. i,j=1. n X. bi (x, t)ut + c(x, t)u. i,j=1. respectivamente, para coeficientes dados aij , bi , c (i, j = 1, ..., n). La ecuación diferencial parcial es parabólica si el operador diferencial parcial es parabólico.. A IC. 1 1 u = − ut Dτ D. (1.1). S. −uxx +. S. Ejemplo 1.1.1 Sea la ecuación diferencial parcial:. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. en (0, 1) × (0, T ], con coeficientes positivos conocidos D y τ . Entonces la ecuación (1.1) es una ecuación parabólica. En efecto, Si se suma a la ecuación (1.1) el término D1 ut , se multiplica luego por D y se aplica la propiedad conmutativa, se obtiene 1 ut − Duxx + u = 0, τ. esta ecuación ası́ obtenida se puede reescribir, considerando un operador lineal L, como ut + Lu = 0. donde Lu = −Duxx + τ1 u.. ut + Lu = 0 ⇐⇒ (. ∂ + L)u = 0, ∂t. B. IB. LI. O. T. E. Además. sin embargo, para aplicar la definición 1.1.1, tomamos n = 1, pues la variable espacial x está en el abierto (0, 1) ⊂ R1 , ası́, obtenemos: a11 ξ1 2 = Dξ1 2 ≥ θξ1 2 , de manera que existe D ≥ θ > 0.. 2. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Definición 1.1.2 Sea U ⊂ Rn abierto y acotado. Decimos que el operador diferencial parcial L es elı́ptico si existe una constante θ > 0 tal que n X. aij (x)ξi ξj ≥ θ|ξ|2. i,j=1. para todo x ∈ U , y para todo ξ ∈ Rn .. A. 1 1 u = − ut Dτ D. S. es elı́ptica para un tiempo fijo to ∈ (0, T ]. En efecto, consideremos una función v de argumento z = y proponemos la función desconocida u como. IC. −uxx +. S. Ejemplo 1.1.2 La ecuacion diferencial parcial. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ u(x, t) = v(. es decir,. |x−xo |2 , T −t. (1.2). xo ∈ (0, 1);. |x − xo |2 1 ) T −t T −t. 1 . T −t Ahora, hallamos las derivadas parciales de u que intervienen en la ecuación (1.2): u(x, t) = v(z). 1. Si derivamos u con respecto a x, obtenemos. 2(x − xo ) 1 T −t T −t 2(x − xo ) 1 = vz , T −t T −t. IB B. 1 ∂z ) ∂x T − t. = vz. LI. O. T. E. ux = vz .(. luego derivamos ux con respecto a x, esto es, uxx =. −4 vzz z (T − t)2. (1.3). 2. La derivada de u con respecto a t es ut = −. (x − xo )2 1 1 vz − 2 (T − t) T − t (T − t)2. (1.4). 3. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Por consiguiente, sustituyendo (1.3) y (1.4) en la ecuación −uxx + γu − εut = 0 obtenemos −4 ε γ ε v+ v=0 vzz z + vz z + 2 2 (T − t) T −t (T − t) T −t. κ1 zvzz + κ2 zvz + κ3 v = 0,. κ1 =. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. donde los coeficientes son valores fijos conocidos, es decir,. IC. A. S. obviamente, para t = to se tiene la ecuación elı́ptica:. −4 , (T −to )2. κ2 =. ε , (T −to )2. 1 con γ = Dτ ε = − D1 . Aquı́ existe a11 (z) = −κ1 z =. 1.2.. γ+ε T −to. κ3 =. 4|x−xo |2 (T −to )3. ≥ θ > 0.. Espacios de Sobolev. Definición 1.2.1 Sea Ω = (0, 1) ⊂ R y sea el conjunto de funciones medibles en Ω Z L2 (Ω) = {u : Ω −→ R medible/ |u(x)|2 dx < ∞}. Ω. Entonces se dice que:. E. 1. L2 (Ω) es el conjunto de funciones medibles cuadrado integrable,. B. IB. LI. O. T. 2. L2 (Ω) es un espacio de Hilbert, con el producto interno definido como hu, viL2 :=. Z. uvdx.. Ω. cuya norma asociada está dada por Z. kukL2 = (. |u(x)|2 dx)1/2 .. Ω. Definición 1.2.2 Sea Ω ⊂ R . Se dice que el espacio de Sobolev de Primer Orden, representado por H 1 (Ω) es el conjunto de la forma:. H 1 (Ω) = {u/u ∈ L2 (Ω), u0 ∈ L2 (Ω)} 4. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. El producto interno en H 1 (Ω) se define como hu, viH 1 :=. Z. (uv + u0 v 0 )dx. Ω. con norma asociada dada por Z. (u2 + (u0 )2 )dx)1/2 .. S. kukH 1 = (. IC. A. Ω. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Definición 1.2.3 Sea Ω ⊂ RN . Se dice que el espacio de Sobolev de Orden m, representado por H m (Ω) es el conjunto de la forma: H m (Ω) = {u/Dα u ∈ L2 (Ω) ∀α, |α| ≤ m} ∂ |α| ∂x1 α1 ...∂xN αN. Dα =. donde. ,. |α| = α1 + ... + αN .. Definición 1.2.4 El espacio de Sobolev H m (Ω) se encuentra dotado de un producto interno representado por hu, viH m =. Z. X. Ω. (Dα u)(Dα v)dx. |α|≤m. Z. kukH m = (. Ω. X. (Dα u)2 dx)1/2. |α|≤m. LI. O. T. E. cuya norma asociada es. B. IB. Son espacios de Hilbert los espacios definidos por Hβ1 (Ω) := {u ∈ H 1 (Ω)/u0 (0) + βu0 (1) = u(0) − βu(1) = 0 }. donde β es una constante real. Ejemplo 1.2.1 Es un espacio de Hilbert el siguiente: H11 (Ω) = {u ∈ H 1 (Ω)/u0 (0) + u0 (1) = u(0) − u(1) = 0 }. 5. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. La virtud de que este espacio sea de Hilbert, se justifica teniendo presente que dado el operador lineal: T : H 1 (Ω) −→ H 1 (Ω) × L2 (Ω) u 7−→ T (u) := (u0 (0) + u0 (1), u(0) − u(1)). A. S. el espacio H11 es el espacio nulo de T , es decir, H11 (Ω) = N (T ). Además N (T ) es un espacio vectorial cerrado, entonces H11 (Ω) es completo.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. f : H −→ R.. S. IC. Definición 1.2.5 (Funcional Lineal ) Sea H un espacio de Hilbert sobre R. Decimos que una funcional lineal f en H es una aplicacion lineal. Definición 1.2.6 (Funcional Lineal Acotada) Se dice que una funcional lineal f : H −→ R es acotada si existe una constante k ≥ 0, tal que ∀ u ∈ H se verifica |f (u)| ≤ kkuk. Ejemplo 1.2.1 Sea dado el espacio W = H 1 (Ω) con producto interno y norma Z. kukH 1 = (. (u2 + (u0 )2 )dx)1/2 .. Ω. Entonces la aplicación l : W −→ R. u 7−→ l(u) =. Z. wudx; w ∈ W. Ω. T. E. es una funcional lineal y acotada.. LI. O. Es decir, la linealidad de las integrales garantiza la linealidad de l, ahora por la desigualdad de H ölder Z. B. IB. |l(u)| ≤ (. Ω. 2. w dx). 1/2. (. Z. 2. u dx). Ω. 1/2. ≤ kwkL2 (. Z Ω. (u2 + (u0 )2 )dx)1/2 = kwkL2 kukW .. De allı́ que l es acotada. Definición 1.2.7 (Forma Bilineal ) Sean V y W dos espacios de Hilbert sobre R. Decimos que una aplicación dada de la forma: a : V × W −→ R es una forma bilineal si ∀ v1 , v2 ∈ V, ∀ w1 , w2 ∈ W y ∀ λ1 , λ2 ∈ R se verifica: 6. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.. a(λ1 v1 + λ2 v2 , w) = λ1 a(v1 , w) + λ2 a(v2 , w),. 2.. a(v, λ1 w1 + λ2 w2 ) = λ1 a(v, w1 ) + λ2 a(v, w2 ).. S. Definición 1.2.8 (Forma Bilineal Acotada ) Sean V y W espacios normados. Decimos que la forma bilineal a : V × W −→ R es acotada si existe una constante β ≥ 0 tal que ∀ u, v ∈ V se verifica:. IC. A. |a(u, v)| ≤ βkukV kwkW .. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Definición 1.2.9 ( Forma Bilineal Coerciva ) Sea H un espacio de Hilbert. Decimos que la forma bilineal a : H × H −→ R es coerciva si existe una constante α ≥ 0 tal que ∀ u ∈ H se verifica: a(u, u) ≥ αkuk2H .. Ejemplo 1.2.2 Sea el conjunto Ω = (0, 1) ⊂ R, el espacio de Sobolev H 1 (Ω), y un subespacio vectorial representado como S1 ⊂ H11 (Ω) × H11 (Ω) definido por S1 = {(u, v) ∈ H11 × H11 / v = λu, λ ∈ R}.. Entonces la aplicación a definida por a : S1 −→ R. a(u, v) :=. Z. Ω. !. +γ. Z. uvdx. Ω. ∂Ω. T. E. es bilineal.. ∂u ∂u ∂v dx − v ∂x ∂x ∂x. LI. O. Se muestra la propiedad de la linealidad de a(u, v) con respecto a la variable u. En efecto: ∂u1 ∂u2 ∂u1 ∂v ∂u2 ∂v a(λ1 u1 + λ2 u2 , v) = (λ1 + λ2 )dx − λ1 v + λ2 v ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x Ω. B. IB. Z. +γ. Z Ω. = λ1 +λ2. !. Ω. !. Ω. ∂u2 ∂v ∂u2 dx − λ2 v ∂x ∂x ∂x. Z. ∂Ω. (λ1 u1 + λ2 u2 )vdx. ∂u1 ∂v ∂u1 dx − λ1 v ∂x ∂x ∂x. Z. !. + λ1 γ. Z Ω. ∂Ω. + λ2 γ ∂Ω. Z Ω. u1 vdx u2 vdx. 7. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. = λ1 a(u1 , v) + λ2 a(u2 , v). La linealidad con respecto a la variable v, se obtiene aplicando el mismo razonamiento. Observación 1. En el ejemplo 1.2.2 el subespacio:. A. S. {v : v = λu, u ∈ H11 (Ω)} ≡ H11 (Ω). IC. es un espacio vectorial.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Teorema 1.2.1 ( Proyección sobre un convexo cerrado ) Sean un espacio de Hilbert H, y un conjunto convexo cerrado no vacı́o K ⊂ H . Entonces existe un único u ∈ K tal que |f − u| = mı́n kf − vk v∈K. para toda f en H. Además, u se caracteriza por la propiedad : . u∈K. . hf − u, v − uiH ≤ 0, ∀ v ∈ K. Se escribe u = PK f. T. E. Prueba: Ver [2].. LI. O. Teorema 1.2.2 Sean un espacio de Hilbert H y un conjunto convexo cerrado no vacı́o K ⊂ H, entonces se verifica:. B. IB. |PK f1 − PK f2 | ≤ |f1 − f2 |. donde f1 , f2 ∈ H. Prueba: Ver [2]. Teorema 1.2.3 Sea M ⊂ H un subespacio vectorial cerrado. Sea f ∈ H. Entonces u = PM f se caracteriza por (. u∈M hf − u, v − uiH = 0, ∀ v ∈ M. (1.5). 8. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Prueba: Ver [2]. Teorema 1.2.4 ( Teorema de representación de Riesz-Fréchet ) Toda funcional lineal acotada l en un espacio de Hilbert H puede ser representada en términos del producto interno, a saber,. IC. A. donde f depende únicamente de l y tiene norma: kf kH = klkH 0. S. l(v) =< f, v >H. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Prueba: Ver [2].. Teorema 1.2.5 ( Teorema de Representación de Riesz ) Sea H un espacio de Hilbert y h : H × H −→ R una forma bilineal acotada. Entonces h tiene una representación h(x, y) =< Sx, y >H donde S : H −→ H es un operador lineal acotado. S es únicamente determinado por h y tiene norma: kSk = khk Prueba: Sea H1 = H2 = H y consideramos x fijo, entonces por el Teorema de Riesz se expresa: h(x, y) =< y, z >=< z, y > y se dice que z es único, z ∈ H2 .. S : H1 −→ H2. LI. O. T. E. Además x es un argumento de h, entonces la variable x define un operador. IB. x 7−→ z = Sx. B. sustituyendo z = Sx en h(x, y), se obtiene h(x, y) =< Sx, y >. Se muestra que S es lineal < S(αx1 + βx2 ), y >= h(αx1 + βx2 , y) = h(αx1 , y) + h(βx2 , y) 9. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. = αh(x1 , y) + βh(x2 , y) α < Sx1 , y > +β < Sx2 , y > < αSx1 , y > + < βSx2 , y > < αSx1 + βSx2 , y > entonces. S. S(αx1 + βx2 ) = αSx1 + βSx2. IC. A. ∀ y ∈ H2. S. Vemos que S es acotado. Trivial el caso S = 0. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Por definición de norma se tiene. | < Sx, y > | |h(x, y)| = sup kxkkyk x,y6=0 x,y6=0 kxkkyk. khk = sup. Se considera el elemento particular y = Sx, entonces. | < Sx, Sx > | | < Sx, y > | ≥ sup kxkkyk kxkkSxk Sx,y6=0 x,y6=0 sup. |kSxk2 | kSxk = sup = kSk Sx,y6=0 kxkkSxk x6=0 kxk sup. por consiguiente. E. khk ≥ kSk. | < Sx, y > | ≤ kSxkkyk. IB. LI. O. T. Por otra parte de la desigualdad de Schwarz. B. se obtiene | < Sx, y > | kSxkkyk ≤ sup kxkkyk x,y6=0 kxkkyk x,y6=0 sup. es decir khk ≤ kSk. 10. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. se concluye que khk = kSk Se muestra que S es único. Asumiendo que hay un operador lineal T : H −→ H tal que ∀ x, y ∈ H se tiene. S. h(x, y) =< Sx, y >=< T x, y >. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Sx − T x = 0, ∀ y ∈ H. IC. luego. S. < Sx − T x, y >= 0. A. resulta. por lo tanto. S = T.. 1.3.. Lema de Lax Milgram. El siguiente Teorema se conoce como el Lema de Lax Milgram. T. E. Teorema 1.3.1 Sean H un espacio de Hilbert real y a : H × H −→ R una 0 forma bilineal continua y coerciva. Entonces ∀ l ∈ H y ∀ v ∈ H, existe un único u ∈ H tal que se verifica: a(u, v) = l(v). (1.6) (1.7). B. IB. LI. O. 1 klk α y, si además a(., .) es simétrica, entonces kuk ≤. donde. mı́n π(v) = π(u). (1.8). 1 π(u) = a(u, u) − l(u) 2. (1.9). v∈H. Prueba: Según el teorema 1.2.4 existe un único f ∈ H, ∀ v ∈ H tal que l(v) = hf, viH. (1.10). 11. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. donde la plicación de Riesz está definida como: 0. R : H −→ H l 7→ R(l) = f Por otra parte, ∀u ∈ H fijo, la aplicación. A. S. v −→ a(u, v). C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. es una forma lineal continua sobre H, luego en virtud del teorema de representación de Riesz existe un operador lineal A : H −→ H y un elemento de H, denotado por Au, ∀ v ∈ H tal que a(u, v) = hAu, viH. (1.11). En principio se demuestra la siguiente relación, ∀ v ∈ H : a(u, v − u) ≥ l(v − u). (1.12). de las ecuaciones (1.10) y (1.11) se obtiene. hAu, v − uiH ≥ hf, v − uiH. E. por consiguiente. O. T. hf − Au, v − uiH ≤ 0. B. IB. LI. luego, se multiplica por una constante ρ > 0 cuyo valor se fijará más adelante, seguidamente sumando y restando u en la primera componente, resulta ∀v ∈H : h ρ(f − Au) + u − u , v − u iH ≤ 0 ahora se elige f = ρ(f − Au) + u entonces por el teorema 1.2.1, ∀ f ∈ H, se verifica: . u∈H. . h f − u, v − uiH ≤ 0, ∀ v ∈ H 12. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. y se escribe u = PK f prosiguiendo, se define la aplicación S : H −→ H v 7−→ Sv := PK (ρ(f − Av) + v). IC. A. S. Se demuestra que si se elige adecuadamente ρ > 0, entonces S es una contracción estricta, es decir, existe λ < 1 tal que ∀ v1 , v2 ∈ H se verifica:. S. kSv1 − Sv2 k ≤ λkv1 − v2 k. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. ahora por el teorema 1.2.2, se obtiene. kSv1 − Sv2 k = kPK (f1 ) − PK (f2 )k ≤ kf 1 − f 2 k = kρ(f − Av1 ) + v1 − (ρ(f − Av2 ) + v2 )k = kv1 − v2 − ρ(Av1 − Av2 )k. elevando al cuadrado ambos miembros. kSv1 − Sv2 k2 ≤ kv1 − v2 k2 − 2ρhv1 − v2 , A(v1 − v2 )i + ρ2 kA(v1 − v2 )k2 (1.13) 0. se define una funcional lineal Au ∈ H por. E. Au : H −→ R. O. T. v 7−→ Au (v) = a(u, v). |Au (v)| = |a(u, v)| ≤ M kukkvk |Au (v)| ≤ M kuk v6=0 kvk. B. IB. LI. luego. kAu k = sup. entonces. |hAu, viH | ≤ M kuk kvk v6=0. sup. de modo que en particular para v = Au, se obtiene kAuk =. hAu, AuiH |hAu, viH | ≤ sup ≤ M kuk kAuk kvk v6=0 13. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. de acuerdo a la definición 1.2.9, se obtiene −a(u, v) = −Au u = −hAu, ui ≤ −αkuk2 usando la coercitividad y acotamiento de a kSv1 − Sv2 k2 ≤ kv1 − v2 k2 − 2ραkv1 − v2 k2 + ρ2 M 2 kv1 − v2 k2. IC. de allı́ que si se fija ρ > 0 tal que k 2 = 1 − 2ρα + ρ2 M 2 < 1. A. S. = (1 − 2ρα + ρ2 M 2 )kv1 − v2 k2. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. entonces ρ ∈]0, 2αM −2 [. Por lo tanto, se concluye que S admite un punto fijo único, es decir Sv = v. Luego por el teorema 1.2.3 existe un único u ∈ H ∀ v ∈ H, que satisface la ecuación en (1.5), es decir hf − u, v − uiH = 0.. Teorema 1.3.2 Sean Vσ un subespacio de dimensión finita de un espacio de Hilbert V y a : Vσ × Vσ −→ R una forma bilineal continua y coerciva. Entonces 0 ∀ l ∈ Vσ y ∀ vσ ∈ Vσ , existe un único uσ ∈ Vσ tal que se verifica: a(uσ , vσ ) = l(vσ ). (1.14). T. E. además, si l es de la forma. l(vσ ) =. Z. Ω. fΩ vσ dx. kuσ kV ≤. 1 kf kL2 α. B. IB. LI. O. con f ∈ L2 (Ω), entonces. donde α es la constante en (1.7). Más aún, si a es simétrica, entonces mı́n π(vσ ) = π(uσ ). vσ ∈Vσ. (1.15). donde π es dado por 1 π(u) = a(u, u) − l(u). 2 Prueba: Ver [1]. 14. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4.. Método de Galerkin. Se considera el problema con valor en la frontera, PVF, o problema con valor en la frontera y condicion inicial, PVIF, que se llamará simplemente problema P; es decir, el problema P consiste de: Lu = f. (1.16). S. en Ω. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. en ∂Ω. S. Bu = g. IC. A. con condición de frontera. (1.17). donde L es un operador lineal que tiene como dominio de definición el conjunto UL = {u : u ∈ C 2 (Ω),. Bu = g. en. ∂Ω}. (1.18). El método de Galerkin es uno de los métodos para resolver de modo aproximado el problema P en mención . Este método consiste en lo siguiente: 1. Se define un sistema arbitrario de funciones linealmente independiente en un espacio de Hilbert H. {ϕi }N i=1. σ Vσ := span{ϕi }N i=1 ⊂ H,. LI. O. T. E. 2. Se define el subespacio de H. B. IB. el cual contiene, como elementos, las combinaciones lineales de la forma: uσ =. Nσ X. di ∈ R. dj ϕj (x). i = 1, ..., Nσ. j=1. donde las funciones ϕj se llaman funciones base. El valor de σ = 1/Nσ 3. Se resuelve el problema P en el espacio Vσ en lugar del espacio H. Por sustitución de un elemento uσ en la ecuación EDP del problema P se genera un valor R(uσ ) que se llama residuo, y tiene la forma:. 15. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. R(uσ ) = R(x; d) = R(x; d1 , d2 , ..., dNσ ) = Luσ − f 6= 0. kLuσ − f k = mı́n kLvσ − f k. S. vσ ∈Vσ. IC. A. S. de modo que para obtener la solución aproximada del problema P es posible elegir coordenadas d1 , d2 , ..., dNσ de manera que el residuo en alguna norma se minimice, a saber. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. esto es relativamente sencillo de resolver, haciendo uso de la proyección ortogonal, es decir R(uσ ) ⊥ vσ. para. todo. vσ ∈ Vσ. si y solo si. R(uσ ) ⊥ ϕi. luego. RP σi =. para. Z. Ω. todo. R(uσ )ϕi dΩ = 0. i = 1, 2, ..., Nσ. i = 1, 2, ..., Nσ. (1.19). esta última integral definida sobre Ω se llama residuo ponderado σ i-ésimo. T. E. 4. Se obtiene un sistema de Nσ ecuaciones y Nσ incognitas di , cuya solución se encuentra resolviendo un sistema de ecuaciones lineales o un sistema de ecuaciones diferenciales lineales.. B. IB. LI. O. Ejemplo 1.4.1 Sea el conjunto Ω = (0, 1) ⊂ R. Resolver el problema PVF dado de la siguiente manera: −(1 + x)u00 (x) − u0 (x) = x. x∈Ω. u(0) = u(1) = 0 Se define el operador lineal L de la forma:. L := −. ∂ ∂2 − ∂x2 ∂x. se muestra los conceptos correspondientes a este método de la siguiente manera: 16. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1. se define un conjunto de dos funciones linealmente independientes de la forma: ϕ1 (x) = x(1 − x) ϕ2 (x) = x2 (1 − x). 2 X. A. uσ =. S. σ 2. Sea el espacio de Hilbert H01 (Ω). Se define el espacio V1/2 = span{ϕi }N i=1 ⊂ H01 tal que. dj ϕj (x). IC. j=1. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. 3. Se sustituye uσ en la EDP del problema PVF resultando Luσ (x) 6= f (x). de donde se genera. R(uσ ) = Luσ − f 6= 0. = −(1 + x)uσ 00 − uσ 0 − x. por otra parte las derivadas uσ 0 y uσ 00 están dadas por uσ 0 = d1 (1 − 2x) + d2 x(2 − 3x) uσ 00 = −2d1 + 2d2 (1 − 3x). de modo que por sustitución en el residuo se obtiene. E. R(uσ ) = d1 (1 + 4x) + d2 (−2 + 2x + 9x2 ) − x. RP σ1 =. =. 1. Z 0. Z. Ω. R(x; d)ϕi dΩ = 0. [d1 (1 + 4x) + d2 (−2 + 2x + 9x2 ) − x]x(1 − x)dx = d1 (1/2) + d2 (17/60) = 1/12. B. IB. LI. O. T. 4. Se obtienen los residuos ponderados de la forma:. RP σ2 = =. Z 0. 1. Z Ω. R(x; d)ϕ2 dΩ = 0. [d1 (1 + 4x) + d2 (−2 + 2x + 9x2 ) − x]x2 (1 − x)dx = d1 (17/60) + d2 (7/30) = 1/20. 17. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 5. Se resuelve el sistema: !. !. !. 1/2 17/60 d 1/12 · 1 = 17/60 7/30 d2 1/20. el cálculo muestra que d = (0,145038167. 0,038167938)T. S. la solución aproximada del PVF es:. Método de los elementos finitos. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. 1.5.. S. IC. A. uσ (x) = x(1 − x)(0,145038167 + 0,038167938x). El método de los elementos finitos es un método de aproximación numérica para encontrar la solución aproximada de un problema de valor en la frontera PVF o problema PVIF. Este método hace uso de todas las premisas del método de Galerkin, ası́ como utiliza las funciones de peso igual a las funciones base, no obtante estas funciones están definidas por tramos. A continuación se describe este método y se supone que se tiene un espacio de Hilbert H que contiene a la solución exacta del problema P:. 1. Discretización y mallado En virtud de tomar las funciones base sobre Ω, se toma en cuenta lo siguiente:. B. IB. LI. O. T. E. a) El dominio Ω es subdividido en M subdominios o elementos Ωe que son llamados elementos finitos, y se verifica: M [. Ω=. Ωe. e=1. b) Los elementos finitos determinan el conjunto de los elementos finitos Eh = {Ω1 , Ω2 , ..., ΩM } c) Para todo Ωi , Ωj ∈ Eh distintos se verifica: o. o. Ωi ∩ Ωj = ∅ d) Cada Ωe ∈ Eh es un subintervalo. e) El recubrimiento Ch = {Ω1 , Ω2 , ..., ΩM } de Ω se llama malla de Ω 18. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. f ) El conjunto de la forma P = {xi }i=1 M +1 es una partición de Ω g) El diámetro he = Diam(Ωe ) de cada Ωe satisface la desigualdad: Diam(Ωe ) ≤ kP k. A. S. h) Los extremos de cada Ωe se llaman nodos, teniendo dos de ellos por cada elemento Ωe ; estos son:. S. IC. xe y xe+1. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. i) El número total de nodos N el igual al número de elementos finitos más uno N =M +1 j) Para elementos finitos de diámetro uniforme el valor de h se toma de la forma h = he = 1/M k) Si Ω = (0, 1) y h = he para todo e = 1, ..., M , entonces cada nodo se expresa por xj = (j − 1)h, j = 1, ..., M + 1.. B. IB. LI. O. T. E. 2. Función de interpolación y funciones base en un subespacio Ndimensional Una de las caracterı́sticas particulares de este método es que la función de aproximación se asume estar definida en los nodos de manera incógnita, de modo que de manera natural en el caso unidimensional se utiliza polinomios de grado uno. A continuación se puede ver lo siguiente: a) Función de interpolación Sea el elemento finito Ωe ⊂ Ω. El polinomio de grado uno que interpola a una función φ en sus dos extremos y satisface las condiciones φ(xe ) = ne y φ(xe+1 ) = ne+1 se define de la forma: Ωe ⊂ R −→ R x 7−→ φ(x) = α1 + α2 x de donde se obtiene: φ(x) = ne φee (x) + ne+1 φee+1 (x) 19. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. φee (x) =. xe+1 − x xe+1 − x = xe+1 − xe h. φee+1 (x) =. x − xe x − xe = xe+1 − xe h. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. b) Funciones base A partir de la interpolación se obtiene dos funciones que corresponden a elementos finitos adyacentes, de manera que teniendo presente estos conceptos se define las funciones base en el resto del dominio asumiendo el valor cero. Cada función base se define de la siguinte forma y verifica las siguientes propiedades: 1) Cada función base φj es acotada y continua sobre Ω y está definida de la siguiente forma:. φj : Ω ⊂ R −→ R. φj (x) =. j = 1, ..., N. 1,...,j−2 φj (x) = 0 x−xj−1 j−1 φj (x) = h φjj (x) = j+1,...,N. φj. si. x1 ≤ x ≤ xj−1. si. xj−1 ≤ x ≤ xj. xj+1 −x h. si. xj ≤ x ≤ xj+1. (x) = 0. si. xj+1 ≤ x ≤ xN. E. 2) La caracterı́stica esencial de las funciones base φj es: (. 1 0. si j = i si j = 6 i. 6. 1 A A A. B. IB. LI. O. T. φj (xi ) = δji =. . h 0 = x1. .... h x2. .... h. xj−1. φj (x) A A A A. xj. h A ... h ... xN = 1 xj+1. Figura 1: Función base global ϕj sobre Ω. 20. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3) Las funciones base se encuentran por interpolación en cada elemento Ωj , pudiéndose definir las funciones base φj y φj+1 sobre Ωj de la siguiente manera: x − xj h x j+1 − x (j) φj (x) = h (j). S. φj+1 (x) =. 6. φjj (x) A. j. IC. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. A A A A A A h A. A. φj+1 (x) . S. 1. h. 0 = x1. .... h. x2. .... xj. xj+1. .... h. xj+2. .... h xN = 1. Figura 2: Funciones base φj y φj+1 sobre el elemento finito Ωj del espacio Vσ .. 3. Representación de un vector del Subespacio Vσ y propiedad fundamental Sea σ = 1/N . Se define el subespacio Vσ ⊂ H de la forma: (1.20). E. Vσ = span{φj (x)}N j=1 .. LI. O. T. Este nuevo espacio finito dimensional contendrá las soluciones aproximadas del problema P. En forma explicita se tiene lo siguiente:. B. IB. a) Una función vN ∈ Vσ puede ser representado como: vN (x) =. N X. nj φj (x). x ∈ Ω,. (1.21). j=1. donde nj ∈ R se llaman Coordenadas de vN . b) En cada elemento finito Ωe la función vN (x) puede redefinirse de la forma: (e). vN (x) :=. e+1 X. (e). nj φj (x). (1.22). j=e. 21. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(33) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. en estas condiciones se obtiene: (1) vN (x). si x ∈ Ω1 .... vN (x) = ......... v (N −1) (x) si x ∈ Ω N −1 N. v4. IC. A. S. (1.23). 6. v 3 (x). S. HH. HH 4 H. . C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. v42 (x) . . n1. v41 (x) (( ((( n2 ((((. x1. n3. x2. HH H. x3. H. n4. x4. -. X. Figura 4: Forma poligonal de la función v4 sobre Ω de V1/4 .. R(uσ ) = R(x; n) = R(x; n1 , n2 , ..., nN ) = Luσ − f 6= 0.. Luego mediante los residuos ponderados se obtiene la propiedal fundamental:. B. IB. LI. O. T. E. Ahora bien, se considera similarmente como en el caso del método de Galerkin el residuo de la forma:. RP σi (n) =. Z Ω. R(uσ )φi dΩ = 0,. RP σi (n1 , n2 , ..., nN ) =. Z Ω. (Luσ − f )φi dΩ = 0.. por consiguiente se resuelven de manera equivalente las integrales definidas en las ecuaciones de la forma: 22. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(34) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Z Ω. φi Luσ dΩ =. Z Ω. φi f dΩ. i = 1, 2, ..., N. (1.24). Finalmente se resuelve un sistema de N ecuaciones lineales o un sistema de N ecuaciones diferenciales lineales con N incognitas correspondiente al espacio Vσ .. A. N X. IC. vN (x, t) =. (x, t) ∈ ΩT. nj (t)φj (x). (1.25). C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. j=1. 1.6.. S. Observación 2. Exactamente (1.17) quiere decir. Procesos de electricidad en semiconductores con impurezas. En un semiconductor están presentes los procesos siguientes: 1. Conducción de Electricidad. Se presenta de la siguiente manera: a) Conducción extrı́nseca por huecos mayoritarios, creados en la banda de valencia por ausencia de electrones que han sido excitados y agregados a las impurezas aceptoras en el material de tipo-p. b) Conducción extrı́nseca por electrones mayoritarios, suministrados por las impurezas donadoras en material tipo-n.. B. IB. LI. O. T. E. c) Conducción intrı́nseca por electrones y huecos intrı́nsecos o térmicos. En general están presentes los tres procesos, pero según sea el material y la temperatura, uno de ellos predominará. La ecuación de la conductividad se aplica como en el caso general pero teniendo en cuenta que el número de electrones y huecos no son necesariamente iguales, y está dada por: JCON D = JnCON D + JpCON D = σE, donde JnCON D = σn E = nqµn E JpCON D = σp E = pqµp E.. 23. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(35) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Ası́, JCON D = q(nµn + pµp )E.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. ∂n ,x ∈ Q ⊂ R ∂x donde Q es el dominio donde se da este proceso. JnDIF = qDn. IC. A. S. 2. Difusión de Electricidad. Se llama difusión al flujo dado por el exceso de portadores que en una cierta región tiende a distribuirse o fluir uniformemente por todo el material debido a su movimiento térmico. En un semiconductor la corriente de difusión está dada por la ecuación:. Relación de Einstein Existe una relación que une los coeficientes de difusión Dn y Dp que dependen del dopaje y la temperatura del semiconductor con los coeficientes de movilidad µn y µp llamada relación de Einstein: Dp kT Dn = = , µn µp q. donde kT /q se define como tensión térmica.. Formulación de la ecuación de difusión ambipolar. O. T. E. 1.7.. B. IB. LI. Se considera una barra de material semiconductor tipo-n, en la cual se satisfacen las ecuaciones de densidad de corriente de electrones libres y de huecos; es decir: ∂n , ∂x ∂p Jp = qµp pE − qDp . ∂x. Jn = qµn nE + qDn. (1.26) (1.27). Se ve que la concentración de portadores en el interior de un semiconductor es función del tiempo y de la distancia; para esto se utiliza el principio de que la carga no se crea ni se destruye. En efecto: 24. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(36) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Sea un elemento de volumen infinitesimal, de superficie A y longitud ∆x, en el interior del cual la concentración media de huecos es p.. I. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. huecos /cm3. S. Sea τp el tiempo de vida media de los huecos; τpp representará los huecos por segundo que se pierden por recombinación en un volumen unidad.. I+dI. x+∆x. E. x. Superficie A. LI. O. T. Figura 5: Elemento de volumen infinitesimal correspondiente a la conservación de carga. La descripción de este fenómeno es el siguiente:. B. IB. Proceso de Recombinación (R ) :. El número de Coulombs por segundo que disminuye en el interior del volumen está dado por R = qA(∆x)(. p ). τp. (1.28). Proceso Térmico (T ) :. 25. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(37) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Si g es la velocidad de generación térmica de pares electrón-hueco por unidad de volumen, el número de Coulombs por segundo que aumenta en el interior del volumen es T = qA(∆x)(g). (1.29). Proceso de Deriva (De ) :. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Proceso de variación en el Tiempo (Σ) :. S. IC. A. S. La corriente en el interior del semiconductor varı́a con la distancia. La corriente que entra al volumen en x es Ip , y la que sale en x + ∆x es Ip + ∆Ip ; luego el número de Coulombs por segundo que disminuye en el interior del volumen es De = ∆Ip . (1.30). Debido a los tres efectos mencionados anteriormente, la densidad de huecos varı́a con el tiempo; y el número de Coulombs por segundo que aumenta en el interior del volumen está dado por Σ = qA(∆x)(. ∂p ). ∂t. (1.31). Principio de Conservación de la Carga : La carga se conserva con respecto a los tres efectos antes mencionados, y respecto al cambio en el tiempo, es decir. (1.32). T. E. Σ = −R + T − De ∂p p qA(∆x)( ) = −qA(∆x)( ) + qA(∆x)(g) − ∆Ip . ∂t τp. B. IB. LI. O. Ahora, la corriente de huecos es la suma de la corriente de difusión y la corriente de arrastre, es decir ∂p + Aqµp pE, (1.33) ∂x donde E es la intensidad del campo eléctrico en el interior del volumen. Ip = AJp = −AqDp. Además, si el semiconductor está en equilibrio térmico con su medio y no se aplica ningún campo, la densidad de huecos tendrá un valor constante po . En estas condiciones, Ip =. ∂p = 0, ∂t. (1.34). 26. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(38) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. por consiguiente de la ecuación (1.32) g=. po . τp. (1.35). S. La ecuación (1.35), indica que son iguales en equilibrio térmico las velocidades a las que los huecos se generan termicamente y a las que se pierden por recombinación.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. De las ecuaciones (1.32),(1.33) y (1.35) se obtiene la Ecuación de Conservación de Carga, o de Continuidad de huecos:. qA(∆x)(. qA(∆x)(. p po dIp ∂p ) = −qA(∆x)( ) + qA(∆x)( ) − (∆x) ∂t τp τp dx. (1.36). ∂(pE) p − po ∂p ∂ 2p ) = −qA(∆x)( (∆x) ) + AqDp 2 (∆x) − Aqµp ∂t τp ∂x ∂x ∂p p − po ∂(pE) ∂ 2p + . = D p 2 − µp ∂t τp ∂x ∂x. (1.37). Mediante el mismo razonamiento para una concentración de electrones con ∂n + Aqµn nE, ∂x. (1.38). E. In = AqDn. B. IB. LI. O. T. se obtiene, la Ecuación de Continuidad de Electrones Libres: ∂n n − no ∂ 2n ∂(nE) + = D n 2 + µn . ∂t τn ∂x ∂x. (1.39). Luego, en condiciones de inyección de alto nivel y casi neutralidad resulta p − po = n − no , n ≈ p, τ = τp = τn . Entonces de las ecuaciones (1.37) y (1.39), se obtiene: ∂n n − no ∂ 2n ∂(nE) + = Dp 2 − µp , ∂t τ ∂x ∂x. (1.40). 27. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(39) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ∂n n − no ∂ 2n ∂(nE) + = D n 2 + µn , ∂t τ ∂x ∂x. (1.41). A. (1.43). IC. 1 ∂n n − no ∂ 2n µn ∂(nE) ( + )= . + 2 Dn ∂t τ ∂x Dn ∂x. S. dividiendo la ecuación (1.40) por Dp y la ecuación (1.41) por (Dn ), se obtiene: 1 ∂n n − no ∂ 2n µp ∂(nE) ( + )= , (1.42) − 2 Dp ∂t τ ∂x Dp ∂x. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Sumando las ecuación (1.42) y (1.43), en virtud de la Relación de Einstein, se obtiene: Dn Dp ∂ 2 n ∂n n − no + =2 . ∂t τ Dn + Dp ∂x2. (1.44). Dp y n = n − n0 , la ecuación (1.44) se escribe: Sea D = 2 DDnn+D p. d2 n dn n + = D 2. dt τ dx. (1.45). Por otra parte, de las ecuaciones (1.26) y (1.27) y aplicando la relación de Einstein, se obtiene: pJn nJp ∂np − =q . (1.46) Dn Dp ∂x. Jp ∂p Jn − = 2q . Dn Dp ∂x. (1.47). B. IB. LI. O. T. E. De la hipótesis de inyección de alto nivel ,n ≈ p, se obtiene:. Ahora, se considera una transferencia de energı́a en la frontera, entonces se obtiene: Jn Jp ∂p = − en ∂Ω, ∂x 2qDn 2qDp. (1.48). se considera además la condición inicial: p(x, 0) = ψ(x) x ∈ Ω.. (1.49). 28. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(40) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Por lo tanto, se obtiene la formulación fuerte del problema de difusión ambipolar, que consiste en encontrar una función p(x, t) ∈ C 2 (ΩT ) que verifica el sistema: p ∂2p 1 ∂p − ∂x 2 + Dτ = − D ∂t ∂p ∂x (0, t) = −Φ(t). (1.50). x ∈ Ω.. p(x, 0) = ψ(x). S. 0<t≤T. = Φ(t). A. ∂p (1, t) ∂x. B. IB. LI. O. T. E. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. . 0<t≤T. IC. (PVIF) . x ∈ Ω, 0 < t ≤ T. 29. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(41) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. A. S. Capı́tulo 2. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. MEF aplicado a la ecuación de difusión ambipolar El método de los elementos finitos es uno de los métodos más utilizados en la ingenierı́a por su simple implementación, debido que su desarrollo implica trabajar con matrices simétricas y sistemas lineales. Para resolver el problema de difusión se empieza cogiendo la ecuación diferencial parcial de (1.50), seguidamente, mediante los espacios de Sobolev, traducimos este problema a un problema variacional, finalmente resolvemos el problema variacionalmente en un espacio de dimensión finita, contenido en el espacio de Sobolev considerado de inicio.. Formulación variacional del Problema de difusión Ambipolar. O. T. E. 2.1.. B. IB. LI. A continuación se muestra la formulacional variacional del problema PVIF (1.50) como una condición necesaria para poder aplicar el Lema de LaxMilgram, y ası́ garantizar la existencia y unicidad de la solución del problema PVIF. Para empezar se supone que se tiene como espacio de solución el espacio de Hilbert H11 (Ω). Dado que se tiene la ecuación diferencial de (1.50), que está definida sobre Ω = (0, 1) ⊂ R, para t > 0, la cual puede ser reescrita como: ∂ − ∂x donde fΩ = ε. ∂u ∂t. !. ∂u + γu = fΩ ∂x. y las constantes reales son γ =. 1 Dτ. (2.1) , ε = − D1 .. 30. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(42) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. entonces, se procede a multiplicar esta ecuación (2.1) por v ∈ H11 (Ω), e integrar sobre Ω, obtieniéndose ∂ − v Ω ∂x Z. !. Z Z ∂u dx + γvudx = vfΩ dx. ∂x Ω Ω. S. IC. se define una forma bilineal dada por:. A. S1 (Ω) = {(u, v) ∈ H11 (Ω) × H11 (Ω)/ v = λu, λ ∈ R}. S. Ahora bien, siendo. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. a : S1 (Ω) −→ R !. Z ∂u dx + γvudx, ∂x Ω. ∂ a(u, v) = − v Ω ∂x Z. (2.2). también una funcional lineal, como:. l : H11 (Ω) −→ R l(v) =. Z. Ω. dx, donde fΩ = ε ∂u ∂t. ∂u ∂t. vfΩ dx. (2.3). ∈ L2 (Ω) y ε es un número real negativo .. (PV). Hallar . u ∈ H11 (Ω), Ω ⊂ R. tal que a(u, v) = l(v),. (2.4). ∀ v ∈ H11 (Ω). LI. O. T. E. Por consiguiente, el problema se traduce en un nuevo problema llamado problema variacional PV:. B. IB. De modo que, para garantizar la existencia y unicidad de la solución de este problema se utilizará el Lema de Lax Milgram; se verá en primer lugar si las aplicaciones a(u, v) y l(v) satisfacen los antecedentes de dicho Lema. En efecto: 1.. a(u, v) es acotada: Haciendo uso de las propiedades de valor absoluto en las integrales, se obtiene |a(u, v)| ≤ |. Z. 0 0. v(u ) dx| + |γ. Ω. Z. uvdx|. Ω. 31. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(43) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ≤(. Z. 0 2. (u ) dx). 1/2. Z. (. Ω. Z. ≤(. 0 2. (v ) dx). 1/2. Ω. 0 2. (u ) dx). Ω. 1/2. Z. (. 0 2. (v ) dx). 1/2. |u||v|dx. Ω. Z. 0. + M |u (xΓi )| + γ(. 2. u dx). Z. + M |u (xM )| + γ(. v 2 dx)1/2. (. Ω. Ω. Z. 0. 1/2. 2. u dx). 1/2. Ω. Z. (. v 2 dx)1/2. Ω. IC. Ω. Z. S. Ω. |u0 ||v 0 |dx + | (vu0 )|∂Ω | + γ. A. Z. ≤. Z. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Z. S. donde M = max{v(0), v(1)} y |u0 (xM )| = max{|u0 (xΓi )|} |a(u, v)| ≤ (. 0 2. 2. 1/2. (u + (u ) )dx). Ω. Z. M (N1 )(. (v 2 + (v 0 )2 )dx)1/2 +. (. Ω. Z. (u0 )2 dx)1/2 + γ(. Ω. Z. (u2 + (u0 )2 )dx)1/2 (. Ω. (v 2 + (v 0 )2 )dx)1/2. Ω. ≤ kukH11 kvkH11 + M N1 kukH11 kvkH11 + γkukH11 kvkH11 ≤ (1 + M N1 + γ)kukH11 kvkH11. 2.. a(u, v) es coerciva:. Se considera una partición Θ = {ai , bi , ci , di } de Ω y los intervalos de la forma (ai , bi ) ⊂ (0, 1) tal que ∀i = 1, N2 se verifica. E. Z. bi. 2. u dx ≤. Z. bi. (uu0 )0 dx. (2.5). ai. T. ai. LI. O. también los de la forma (ci , di ) ⊂ (0, 1) tal que ∀i = 1, N3 se verifica. B. IB. Z. di. (uu0 )0 dx ≤. ci. Z. di. u2 dx. (2.6). ci. de la ecuación (2.5) existe un número natural N = γ − 1 tal que Z. bi. 0 0. (uu ) dx ≤ (γ − 1). ai. Z. bi. u2 dx. (2.7). u2 dx. (2.8). ai. de la ecuación (2.6) mayorando se obtiene Z. di. 0 0. (uu ) dx ≤ (γ − 1). ci. Z. di. ci. 32. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(44) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. sumando las integrales y las inecuaciones (2.7) y (2.8) se obtiene 1. Z. 0 0. (uu ) dx ≤ (γ − 1). 1. Z. 0. u2 dx. (2.9). 0. luego 1. (uu ) dx + γ. 1. 2. u0 dx −. 1. Z. Z. 1. u2 dx. (2.10). 0. u0 2 dx. A. 0. 1. Z. (uu0 )0 dx + γ. 1. Z. u2 dx ≥. 0. 0. 0. u dx ≥. Z. 1. Z. u2 dx +. 2. u0 dx. 0. 1. 2. u0 dx − (uu0 )|∂Ω + γ. 0. 1. Z. u2 dx ≥. Z. 0. 1. (2.11). 0. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Z. 2. 0. R1. sumando la integral. 1. S. 0. Z. IC. −. 0 0. S. Z. u2 dx +. Z. 0. 1. 2. u0 dx. (2.12). 0. por lo tanto. a(u, u) = −. Z. 00. u(x)u (x)dx + γ. Ω. 3.. Z. Ω. u2 (x)dx ≥ kukH11. (2.13). l(v) es acotada: R Si se toma w = ρ ∂u y l(v) = Ω wvdx. Entonces l es una funcional lineal ∂t acotada, es decir |l(v)| ≤ ρk. ∂u k kvkH11 = ckvkH11 ∂t L2. T. E. k l es acotada, con contante c = ρk ∂u ∂t L2. LI. O. Por lo tanto se satisface las hipótesis del teorema 1.3.1 , entonces existe un único u ∈ H11 (Ω) que es solución del problema PVIF.. B. IB. Una de las consecuencias que se derivan a partir de esta caracterización es que la forma bilineal a(u, v) es simétrica. Se muestra a continuación este hecho: a(u, v) =. Z. uv 00 dx + γ. Ω. =. Z Ω. (uλ)u00 dx + γ. Z. Z. uvdx =. Ω. Z Ω. (uλ)udx =. u(λu)00 dx + γ. Ω. Z. vu00 dx + γ. Ω. Z. u(λu)dx =. (2.14). vudx = a(v, u). (2.15). Ω. Z Ω. 33. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(45) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2.. MEF aplicado a la ecuación de difusión ambipolar. S. IC. A. S. Para aplicar el método de los elementos finitos a la ecuación de difusión ambipolar se comienza discretizando el dominio Ω en 3 subdominios Ωe , generándose un total de 3 elementos finitos, posteriormente se siguen todos los pasos en el capitulo 1 y se ve una equivalencia de la propiedad fundamental con la ecuación presente en el Lema de Lax Milgram, finalmente se generaliza para M elementos finitos, garantizando una mejor aproximación de la solución exacta de un problema de difusión ambipolar.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. 1. Discretización y mallado. a) El dominio Ω = (0, 1) es subdividido en M = 3 elementos finitos de la forma: Ω1 = (0, 1/3], Ω2 = [1/3, 2/3], Ω3 = [2/3, 1), donde M [. Ω = [0, 1] =. Ωe .. e=1. b) El conjunto de los elementos finitos es: Eh = {Ω1 , Ω2 , Ω3 }. c) Se verifica: (0, 1/3) ∩ (1/3, 2/3) = (1/3, 2/3) ∩ (2/3, 1) = (0, 1/3) ∩ (2/3, 1) = φ. d) Cada Ωe es un subintervalo de (0,1).. e) La malla de Ω es: Ch = {[0, 1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1]}.. E. f ) El conjunto P = {0, 1/3, 2/3, 1} es una partición de Ω.. O. T. g) Se verifica : Diam(Ωe ) = 1/3 ≤ kP k = 1.. LI. h) Los nodos de Ω1 son 0 y 1/3, de Ω2 son 1/3 y 2/3, de Ω3 son 2/3 y 1.. B. IB. i) Se está tomando elementos finitos de diámetro uniforme h = he = 1/3. ∀e.. j) Se está trabajando en este modelo con diámetro uniforme, entonces xj = (1/3)(j − 1). j = 1, ..., 4.. 2. Funciones base en un subespacio 4-dimensional. 34. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(46) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. a) Las funciones base están definidas de la siguiente forma:. 1/3−x h. 0 < x ≤ 1/3. si. 1/3 ≤ x ≤ 2/3. si. 2/3 ≤ x < 1. x h. si. 0 < x ≤ 1/3. 2/3−x h. si. 1/3 ≤ x ≤ 2/3. ϕ1 (x) = 0. ϕ12 (x) = . ϕ2 (x) = . C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. ϕ22 (x) = 3. A. ϕ21 (x) = 0 3. IC. ϕ1 (x) = . S. si. S. ϕ11 (x) = . ϕ2 (x) = 0. si. 2/3 ≤ x < 1. ϕ13 (x) = 0 . si. 0 < x ≤ 1/3. x−1/3 h. si. 1/3 ≤ x ≤ 2/3. 1−x h. si. 2/3 ≤ x < 1. si. 0 < x ≤ 1/3. si. 1/3 ≤ x ≤ 2/3. si. 2/3 ≤ x < 1. ϕ3 (x) = . ϕ23 (x) = 3 ϕ3 (x) =. ϕ14 (x) = 0 . ϕ4 (x) = . E. ϕ24 (x) = 0 3 x−2/3 ϕ4 (x) =. h. B. IB. LI. O. T. se ve que ϕj es continua y para todo x ∈ Ω se verifica |ϕj | ≤ 1 para todo j = 1, ..., 4.. b) se obtiene en los nodos: ϕ1 (1/3) = ϕ1 (2/3) = ϕ1 (1) = ϕ2 (0) = ϕ2 (2/3) = ϕ2 (1) = ϕ3 (0) = ϕ3 (1/3) = ϕ3 (1) = ϕ4 (0) = ϕ4 (1/3) = ϕ4 (2/3) = 0, ϕ1 (0) = ϕ2 (1/3) = ϕ3 (2/3) = ϕ4 (1) = 1.. c) Por interpolación en el primer tramo o primer elemento finito Ω1 se definen las funciones base ϕ1 y ϕ2 mediante la regla de correspondencia:. 35. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(47) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. (1). φ1 (x) =. 1/3 − x h. (1). ϕ2 (x) =. x−0 h. respectivamente.. IC. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Vσ = span{ϕj (x)}4j=1. S. Se define el subespacio Vσ ⊂ H11 (Ω) de la forma:. A. S. 3. Representación de un vector del Subespacio Vσ y propiedad fundamental. (2.16). Este nuevo espacio para σ = 1/4 contendrá la solución aproximada del problema variacional PV (1.50), cuyos elementos se definen a continuación: a) Una función v4 ∈ Vσ puede ser representado como: v4 (x) =. 4 X. x∈Ω. nj ϕj (x). (2.17). j=1. donde nj ∈ R son las Coordenadas de v4. b) En cada elemento finito Ωe para e = 1, 2, 3, la función v4 (x) puede redefinirse de la forma: (e). v4 (x) :=. e+1 X. (e). nj ϕj (x). (2.18). E. j=e. B. IB. LI. O. T. de modo que se obtiene:. (1) 1 1 v4 (x) = n1 ϕ1 (x) + n2 ϕ2 (x). v4 (x) = . (2) v4 (x) (3) v4 (x). = =. n2 ϕ22 (x) n3 ϕ33 (x). + +. n3 ϕ23 (x) n4 ϕ34 (x). si x ∈ Ω1 si x ∈ Ω2 si x ∈ Ω3. (2.19). 4. Función de Aproximación u4 (x) y propiedad fundamental Estamos en condiciones de tomar una función u4 (x) del espacio Vσ y sustituirlo en la ecuación correspondiente a la propiedad fundamental. En efecto, se tiene lo siguiente: Z Ω. ϕi Lu4 dΩ =. Z Ω. ϕi f dΩ. i = 1, 2, ..., N. 36. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(48) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Ahora bien, se puede ver que en virtud del Lema de Lax Milgram se admite reescribir esta última relación de forma equivalente: < Lu4 , ϕi >L2 =< f, ϕi >L2 i = 1, ..., N. (2.20). S. a(u4 , ϕi ) = l(ϕi ). IC. A. 5. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales Se desarrolla las integrales para i = 1, ..., 4 de modo que resulta:. Z. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Z. S. a) para la función base ϕ1 , se obtiene:. Ω. −. Z. Ω. 00. ϕ1 [−(u4 ) + γu4 ]dx = ε. ϕ1 (u4 )00 dx + γ. Z. ϕ1 u4 dx = ε. Ω. Z. Ω. ϕ1 (u4 )t dx. (2.21). ϕ1 (u4 )t dx. (2.22). Hallando por separado cada una de estas integrales de la ecuación (2.22), se obtiene:. I1 =. 0. Ω. Z. 0. (u4 ) (ϕ1 ) dx− (ϕ1 (u4 ) )|∂Ω =. 1. 0. 0. 4 X. nj. j=1. (ϕ1 )0 (ϕ1 )0 dx+n2. Z. 1. 0. Z. 0. 1. 1. (ϕj )0 (ϕ1 )0 dx− (ϕ1 (u4 )0 )|0. (ϕ2 )0 (ϕ1 )0 dx−ϕ1 (1)(u)0 (1)+ϕ1 (0)(u)0 (0). T. E. = n1. Z. B. IB. LI. O. = n1. = n1. 3 Z X. e=1 Ωe. Z Ω1. (e) (e) (ϕ1 )0 (ϕ1 )0 dx+n2. (1). (1). (ϕ1 )0 (ϕ1 )0 dx+n2. Z. e=1 Ωe. (1). Ω1. I1 = n1. 3 Z X. (e). (e). (1). (3). (ϕ2 )0 (ϕ1 )0 dx−ϕ1 (1)u0 (1)+ϕ1 (0)u0 (0). (1). (3). (1). (ϕ2 )0 (ϕ1 )0 dx−ϕ1 (1)u0 (1)+ϕ1 (0)u0 (0). 1 1 − n2 + Φ1 (x) h h. (2.23). en la segunda integral resulta: I2 = γ. Z Ω. u4 ϕ1 dx. 37. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
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