UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
“FORMAS DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO QUE SE PROMUEVEN AL
RESOLVER PROBLEMAS NO RUTINARIOS”
T E S I S
Que para obtener el grado de Maestra en Ciencias en Matemáticas y su Didáctica
Presenta:
Elizabeth Barrera Rodríguez
DIRECTORES DE TESIS:
Dr. Fernando Barrera Mora Dr. Aarón Reyes Rodríguez
Resumen
En este trabajo se analizan las videograbaciones del proceso de solución de siete problemas no rutinarios que llevó a cabo un estudiante de quinto año de primaria, con la finalidad de caracterizar las formas de razonamiento desarrolladas. El análisis se centra principalmente en la elección e implementación de las estrategias, es decir la ruta que va desde la comprensión del problema hasta la obtención de la solución. Entre los principales resultados de la investigación se destaca un cambio en las formas de razonamiento del estudiante, ya que durante la solución de los primeros problemas el pensamiento del estudiante se centra en la utilización de estrategias que involucran proporcionalidad, aun cuando tales estrategias no son apropiadas. Además, se observa que el estudiante obtiene información útil para avanzar en la solución de los problemas a partir de sub-tareas, pero pierde de vista esa información. En contraste, en las últimas tareas el estudiante es capaz de identificar los datos, seleccionar la estrategia apropiada y utilizar la información de las sub-tareas por él mismo, sin ayuda del instructor.
Abstract
CONTENIDO
RESUMEN ABSTRACT
CAPÍTULO I. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1.1Introducción
1.2Revisión de la literatura 1.3El problema de investigación
CAPÍTULO II.MARCO CONCEPTUAL 2.1 Las matemáticas y su aprendizaje 2.2 Resolución de problemas
2.3 Aprendizaje con entendimiento 2.4 Razonamiento Matemático
2.5 Integración de los Elementos del Marco CAPITULO III. METODOLOGÍA 3.1 Características de la investigación
3.2 Los instrumentos de recolección de la información 3.3 Características de las actividades
3.3.1 Tarea 1. Ranas saltarinas 3.3.2 Tarea 2. Números triangulares 3.3.3 Tarea 3. Rectángulo
3.3.4 Tarea 4. Diagonales
3.3.5 Tarea 5. Tanque de tortugas 3.3.6 Tarea 6. Cerdos y gallinas 3.3.7 Tarea 7. Saludos
3.4 Análisis preliminar de las tareas 3.4.1 Solución de la tarea ranas saltarinas 3.4.2 Solución de la tarea números triangulares 3.4.3 Solución de la tarea rectángulo
3.4.4 Solución de la tarea diagonales
CAPÍTULO IV. RESULTADOS
4.1 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de las ranas saltarinas 4.2 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de los números triangulares 4.3 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea del rectángulo
4.4 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de las diagonales 4.5 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea del tanque de tortugas 4.6 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de los cerdos y gallinas 4.7 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de los saludos
CAPÍTULO V. CONCLUSIONES
5.1 Respuesta a la pregunta de investigación 5.2 Limitaciones del trabajo
5.3 Propuestas a futuro 5.4 Reflexiones finales REFERENCIAS APÉNDICES
Apéndice A. Transcripción de la tarea 1: Ranas saltarinas Apéndice B. Transcripción de la tarea 2: Números triangulares. Apéndice C. Transcripción de la tarea 3: Rectángulo.
Apéndice D. Transcripción de la tarea 4: Diagonales.
CAPÍTULO I. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1Introducción
De acuerdo con los Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2000), el razonamiento ofrece formas poderosas para desarrollar una comprensión de un amplio rango de fenómenos porque el razonamiento, y en particular el razonamiento lógico, constituye el fundamento de las matemáticas (Ross, 1998). Los estudiantes quienes desarrollan habilidades para razonar y pensar analíticamente tienden a notar patrones y regularidades, además de que tienden a preguntarse cuáles son las razones de que exista un patrón.
El entendimiento está relacionado muy estrechamente con el razonamiento (Figura 1). No puede haber un entendimiento real si no se conocen las razones de por qué las cosas funcionan como lo hacen. Si la habilidad para razonar no se desarrolla en los estudiantes, entonces la actividad matemática consistirá únicamente en seguir o imitar un conjunto de procedimientos, sin pensar y reflexionar por qué esos procedimientos tienen sentido (Ross, 1998). El razonamiento es uno de los instrumentos principales para desarrollar entendimiento y construir nuevo conocimiento matemático, ya que éste es una herramienta para descubrir y explorar nuevas ideas y un medio para justificar resultados (Ball y Bass, 2003). En este contexto, la demostración y justificación de resultados matemáticos son la expresión de tipos particulares de razonamiento.
Figura 1. Relación entre el razonamiento y el entendimiento matemático.
INF
ORMAL
FORMAL
Razonamiento
El razonamiento es una habilidad básica, ya que conocer de memoria o manejar rutinariamente a las ideas y procedimientos matemáticos es insuficiente para usarlos de forma eficiente. Así, el razonamiento es un componente central en el aprendizaje de la disciplina y en la resolución de problemas (Bergqvist, Lithner y Sumpter, 2008) porque razonar lógicamente implica dar sentido a las ideas matemáticas, al identificar elementos comunes que aparecen al analizar diversos casos particulares y determinar cómo esos elementos comunes se conectan con otros conocimientos o experiencias previas. Por otra parte, el razonamiento es fundamental para reconstruir algún conocimiento en caso de que éste se haya olvidado. Por ejemplo, si un estudiante aprendió a dividir fracciones, pero olvidó el algoritmo, puede reconstruir un procedimiento para realizar la división si conoce el significado de fracción y de división.
El resultado de la división de dos números puede interpretarse como cuántas veces cabe el denominador en el numerador, así dividir entre es conceptualmente equivalente a dividir 6 entre 3. Utilizando esta idea de división, el resultado de dividir entre , puede obtenerse representando gráficamente ambas fracciones con una cuadrícula apropiada (figura 1) y dado que cabe una vez y media en , entonces el resultado de dividir entre es igual a
2 1 1 o
2 3
(Barrera y Reyes, 2012).
Figura 2. Representaciones gráficas útiles para dar sentido a la división de fracciones.
misma línea de ideas autores como Lithner (2008), Bergqvist, Lithner y Sumpter (2008) definen al razonamiento como la línea de pensamiento o la forma de pensar adoptada por una persona para producir afirmaciones y obtener conclusiones. Esta línea de pensamiento no necesariamente se basa en la lógica deductiva sino en algún tipo de argumentos que guían el proceso de pensamiento y tienen sentido para la persona.
Aunque el razonamiento en matemáticas generalmente se asocia con el razonamiento formal o demostración; es decir, la justificación de resultados mediante un proceso de deducción lógica basada en un conjunto de supuestos, axiomas, definiciones y otros teoremas, también se puede adoptar una visión amplia en la cual el razonamiento matemático puede tomar muchas formas que van desde explicaciones informales hasta deducciones lógicas y observaciones inductivas. El razonamiento generalmente inicia con la exploración de relaciones, la formulación de conjeturas, las estrategias o rutas fallidas, así como con explicaciones parciales antes de que se obtenga el resultado o solución a un problema (NCTM, 2009).
1.2Revisión de la literatura
La investigación sobre el razonamiento matemático ha seguido diferentes líneas; existen trabajos que han buscado analizar los fundamentos del razonamiento utilizados por los estudiantes al resolver problemas (Lithner, 2000; Lithner, 2003; Bergqvist, Lithner y Sumpter, 2008). El principal resultado de esta línea de investigación es que las consideraciones que llevan a cabo los estudiantes para seleccionar e implementar las estrategias de solución raramente están bien fundamentadas matemáticamente.
sobre el razonamiento requerido al resolver exámenes de matemáticas en el nivel universitario (Bergqvist, 2007), sobre la visión de los profesores de bachillerato acerca del tipo de razonamiento que los estudiantes deben desarrollar al resolver exámenes de cálculo para aprobarlos (Bergqvist, 2012). Los resultados de estas investigaciones indican que los estudiantes hacen un uso frecuente del razonamiento imitativo al resolver problemas (Lithner, 2003), lo cual puede debilitar su entendimiento acerca de los conceptos matemáticos subyacentes en los algoritmos o procedimientos rutinarios (McNeal, 1995).
Investigaciones relacionadas con el razonamiento imitativo y creativo han tratado de identificar las oportunidades que ofrecen los profesores a los estudiantes para desarrollar estos tipos de razonamiento cuando los primeros muestran cómo resolver diversos tipos de problemas (Bergqvist y Lithner, 2012). Los resultados obtenidos muestra que en la mayoría de los casos las exposiciones de los profesores permiten desarrollar un razonamiento algorítmico, pero en una forma inadecuada, ya que no hay una identificación clara y sistemática del tipo de tareas y los métodos apropiados para resolver los problemas que pertenecen a estos tipos o categorías. En esta línea de ideas, algunos trabajos se han enfocado en identificar en qué medida la forma de enunciar las tareas propicia el desarrollo de diferentes tipos de razonamiento (Jonsson, Norqvist, Liljekvist y Lithner, 2014), obteniendo como resultado que las tareas que conducen a los estudiantes a crear sus propias soluciones, es decir, de llevar a cabo un razonamiento creativo, ofrecen mejores oportunidades para que los estudiantes den sentido a las ideas matemáticas.
matemáticos, propiedades y relaciones que involucra la enseñanza y aprendizaje de la demostración. Otros han centrado la atención en los procesos cognitivos de los estudiantes cuando construyen o tratan de entender una demostración. Finalmente, otros se han interesado en el papel de la prueba dentro del currículo matemático, en la práctica en el salón de clase y el papel del profesor en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la demostración (Olivero, 2003) o en la caracterización de las diferentes formas que los estudiantes utilizan para convencerse a sí mismos y convencer a otros de la veracidad de un resultado matemático (Harel y Sowder, 1998).
La mayor parte de las investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de la prueba en matemáticas, anteriores a 1981, evalúan la habilidad de los estudiantes para realizar cadenas de deducción, en problemas llevados a cabo con papel y lápiz; aunque también existen algunos trabajos que toman como base problemas de respuesta abierta, sin limitarse a analizar el éxito o fracaso en la construcción de argumentos deductivos en las producciones escritas de los estudiantes. Los resultados de estas investigaciones indican que incluso los alumnos universitarios no entienden lo que es una demostración (Balacheff, 2000).
1.3El problema de investigación
Este trabajo tiene como propósito documentar los diferentes tipos de razonamiento que desarrolla un estudiante de quinto año de primaria (10 años de edad) al resolver siete problemas matemáticos no rutinarios, es decir tareas para las cuales el estudiante no puede simplemente recordar y aplicar un procedimiento o algoritmo para obtener la solución. El estudiante trabajará con la ayuda del profesor haciendo todo lo posible por pensar en voz alta durante sesiones con duración de hora y media. El análisis de las formas de razonamiento incluye el determinar qué recursos, estrategias y herramientas matemáticas utiliza el estudiantes durante el proceso de solución.
proceso de solución incluirá los tipos de razonamiento, así como la utilización de recursos, estrategias y herramienta para llegar a la solución. El propósito de las tareas es la de crear un contexto que permita al estudiante utilizar diferentes estrategias para resolver los problemas, así como diversas heurísticas y contenidos matemáticos. Así, el objetivo general de este trabajo consiste en identificar y analizar las formas de razonamiento matemático que lleva a cabo un estudiante de quinto año de primaria al resolver diferentes problemas matemáticos no rutinarios.
Objetivos particulares
1. Documentar el tipo de recursos, estrategias y heurísticas que emplea un estudiante de quinto año de primaria al resolver problemas matemáticos no rutinarios.
2. Caracterizar el tipo de procesos cognitivos que desarrolla un estudiante de quinto año de primaria al resolver problemas matemáticos no rutinarios.
3. Determinar si la resolución de problemas matemáticos no rutinarios puede favorecer el desarrollo de un aprendizaje con entendimiento de algunas ideas matemáticas.
Pregunta de investigación
CAPÍTULO II. MARCO CONCEPTUAL
Un marco de investigación es una guía que permite estructurar las diversas etapas del proceso investigativo; desde el planteamiento del problema, el proceso de recolección de la información, la descripción y análisis de los datos, así como a la interpretación de las posibles relaciones entre las variables que determinan el fenómeno de interés. El marco de investigación constituye un recurso que permite articular elementos teóricos así como la experiencia del investigador, para comprender e interpretar desde una perspectiva particular el problema de investigación.
De acuerdo con Eisenhart (1991) existen tres tipos de marcos de investigación: teóricos, prácticos y conceptuales. Se considera que el marco conceptual es de mayor utilidad porque es flexible en el sentido de que puede construirse con base en elementos de diferentes aproximaciones teóricas y de la experiencia del investigador, siempre y cuando exista compatibilidad entre los diversos elementos que lo integran. Un marco conceptual está conformado por un conjunto de conceptos y sus posibles relaciones, así como por justificaciones acerca de por qué esos conceptos y relaciones son útiles para explicar o entender el fenómeno que se estudia (Lester, 2005).
Toda investigación requiere de un marco conceptual ya que éste orientará las acciones que desarrolle el investigador, pues un mismo problema puede analizarse desde diferentes perspectivas; por ejemplo, al analizar por qué los estudiantes muestran bajo rendimiento en las clases de matemáticas se puede optar por centrar la atención en el profesor, así la observación se dirigirá a las actividades que propone y en las acciones que desarrolla en el aula; en cambio, si se adopta una posición sociológica se intentará explicar el fenómeno a partir de las características del contexto social en que se desarrollan los estudiantes, de sus condiciones socioeconómicas o familiares.
El marco conceptual de esta investigación está integrado por algunos elementos del marco de resolución de problemas, particularmente lo que se refiere al concepto de heurística y su relevancia en la actividad matemática (Polya, 2005); el papel de los conocimientos previos o recursos durante el proceso de resolución de un problema (Schoenfeld, 1985). El elemento central del marco lo constituye la caracterización de razonamiento propuesta por Bergqvist, Lithner y Sumpter (2008), la cual es muy similar a la que se establece en diversos documentos de la Asociación Nacional de Profesores de Matemáticas de los Estados Unidos de América (NCTM, 2000; 2009). Un tercer elemento del marco lo constituye el concepto de aprendizaje con entendimiento, así como algunas de las variables que permiten caracterizar a los ambientes que propician el desarrollo de entendimiento matemático (Hiebert et al., 1997).
2.1. Las matemáticas y su aprendizaje
Las matemáticas durante mucho tiempo fueron consideradas como la ciencia de la cantidad y el espacio, sin embargo esta disciplina además de los números y la forma, también estudia el cambio, el azar, el movimiento y la variación o el caos. Para Steen (1988) las matemáticas son la ciencia de los patrones y, en consecuencia, el trabajo de los matemáticos consiste en buscar y examinar patrones abstractos y las teorías matemáticas explican las relaciones entre patrones, los cuales pueden ser patrones numéricos, patrones de forma, patrones de movimiento, patrones de comportamiento, patrones de razonamiento o patrones de repetición (Devlin, 2000).
empleados por los matemáticos profesionales al crear nuevos conocimientos, o al utilizar las matemáticas para comprender el mundo que nos rodea. Es decir, aprender matemáticas significa hacer matemáticas en niveles adecuados al contexto particular de los estudiantes. Reconocemos que una parte importante de la actividad matemática consiste en adquirir fluidez procedimental para aplicar algoritmos y procedimientos rutinarios, pero también es importante que se dé sentido a las ideas o conceptos, y que desarrollen habilidad para construir herramientas conceptuales modificables y reutilizables que les permitan modelar fenómenos mediante el uso del lenguaje matemático (Lesh y Doerr, 2003).
El aprendizaje de la disciplina incluye tanto buscar soluciones como memorizar procedimientos; explorar e identificar patrones y desarrollar habilidad para aplicar fórmulas; establecer conjeturas y desarrollar fluidez al aplicar procedimientos (NCR, 1989). Al estudiar matemáticas resulta relevante que los estudiantes aprendan a formular preguntas y a buscar distintos caminos para abordar y encontrar respuesta a esas preguntas, además de desarrollar una forma de pensar consistente con el quehacer matemático (Santos-Trigo, 2007).
Los nuevos retos en el ámbito laboral requieren que los estudiantes desarrollen flexibilidad para plantear y resolver problemas, habilidad para desarrollar métodos de solución y sistemas conceptuales (modelos) que sean adaptables a diversas situaciones problemáticas, ya que la aparición de nuevas tecnologías ha hecho obsoletas habilidades algorítmicas convencionales que anteriormente se consideraban importantes (Hiebert el al., 1997). Otro aspecto relevante es que los estudiantes deben entender que el aprender matemáticas es un proceso continuo de dar sentido a las ideas o conceptos matemáticos.
2.2. Resolución de problemas
Este marco se enfoca en las fases de resolución de problemas formulados por Pólya (2005), así como algunas de las variables que influyen en el proceso de resolución de un problema identificadas por Schoenfel (1985).
la condición. Necesita hacerse preguntas que le permitan comprender el problema, por ejemplo, ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición?
Segunda. Trazar un plan. Identificar las relaciones que existen entre los diversos elementos, ver cómo se liga la incógnita con los datos a fin de encontrar la idea de la solución, y así establecer un plan de resolución. Se recomienda pensar en problemas conocidos que tengan una estructura parecida a la que se quiere resolver.
Tercera. Ejecución del plan. Se pone en acción el plan concebido, para lograrlo se requiere una serie de circunstancias, es decir conocimientos ya adquiridos, razonamiento y concentración.
Cuarta. Visión retrospectiva, una vez encontrada la solución, revisarla y discutirla. Es importante establecer conexiones del problema en otros contextos.
Schoenfeld (1985) retoma algunas ideas de Pólya sobre la caracterización del proceso de resolver problemas identificando un conjunto de categorías que influyen sobre el proceso de resolución de un problema:
i) Los recursos básicos, comprenden el entendimiento de definiciones, hechos, reglas y procedimientos
ii) Las estrategias heurísticas, incluyen el empleo de diagramas, el análisis de casos particulares, el relajamiento de condiciones y planteamiento de submetas. iii) El control, metacognición: supervisión y toma de decisiones.
iv) Sistema de creencias la visión del mundo de las matemáticas
Es importante mencionar que para este trabajo se consideran solo las dos primeras categorías (i) Los recursos básicos y (ii) las heurísticas.
que se pueden mencionar, explicar, reunir, evidenciar, encontrar ejemplos, generalizar, aplicar conceptos, conjeturar, representar de diferentes maneras un problema.
El aprendizaje con entendimiento alienta la resolución de problemas, propiciando diversas opciones que permitan sustituir procedimientos eficaces por aquellos procedimientos utilizados normalmente. Es decir que haya un reconocimiento más allá de las matemáticas escolares.
La comprensión es crucial para que exista entendimiento, ya que se puede utilizar de forma flexible, adaptarse a nuevas situaciones y se puede utilizar para aprender cosas nuevas. Si queremos que los estudiantes sepan qué es la matemática, deben entender y conocer las matemáticas.
De acuerdo con Hiebert (1997), el aprendizaje con entendimiento se describe teniendo en cuenta cinco dimensiones, cada una de ellas importante, pero si interactúan entre sí cobran mayor relevancia, creando un ambiente para aprender con entendimiento. Las dimensiones son:
1. La naturaleza de las tarea en el aula 2. El papel del profesor
3. La cultura social en el aula
4. Las herramientas matemáticas como apoyo para el aprendizaje 5. La equidad y accesibilidad
En este trabajo se centrará la atención únicamente en la naturaleza de las tareas, el papel del profesor y en las herramientas matemáticas disponibles.
La naturaleza de las tareas en el aula
Las actividades de aprendizaje deben ser oportunidades para explorar las matemáticas y llegar a establecer métodos para resolver problemas. Las actividades de aprendizaje deben tener por lo menos tres aspectos:
La actividad debe representar un reto para el estudiante, que le encuentre sentido al resolverla
La actividad debe involucrar conexiones, se diseñará de tal manera que el estudiante sean capaz de utilizar sus conocimientos previos, para desarrollar una estrategia de solución que le ayude a completar la tarea.
La actividad debe dar la oportunidad al estudiante de reflexionar sobre la importancia de las ideas matemáticas, que el aprender matemáticas es un proceso que incluye el encontrar relaciones para analizarlas y discutir sus conexiones con otras ideas. Esta perspectiva logrará que el estudiante descubra relaciones, discuta ideas, plantee conjeturas y evalué resultados.
El papel del profesor
El papel de profesor es establecer las actividades que serán problemas matemáticos para el estudiante, a fin de que le permitan reflexionar y comunicar ideas matemáticas. El profesor tiene el papel de seleccionar las actividades o tareas para contribuir a una nueva cultura en el aula, donde los estudiantes trabajen sobre nuevos problemas de forma individual para después hacerlo de forma colectiva y así discutir y reflexionar sobre los métodos de solución y respuestas.
El profesor esta activamente comprometido en ayudar a los estudiantes a construir entendimiento.
Las herramientas matemáticas como apoyo para el aprendizaje
2.4. Razonamiento Matemático
Para este trabajo el razonamiento se entenderá como la línea de pensamiento, la forma de pensar utilizada para producir afirmaciones y llegar a conclusiones durante la solución de un problema (Lithner, 2008) que inicia con el entendimiento del enunciado y generalmente finaliza con la obtención de una solución. Es importante señalar que en este trabajo se hará una distinción entre los términos respuesta y solución. Una respuesta es la información solicitada en el problema, mientras que una solución está integrada por una respuesta junto con la justificación de por qué la respuesta es correcta (Lithner, 2008). La solución a un problema que proporciona un estudiante es el insumo básico para analizar el proceso de razonamiento porque esta solución representa un resumen idealizado del mismo. Dado que un investigador no puede tener acceso directo a línea de pensamiento (razonamiento) llevada a cabo por un estudiante, es necesario realizar inferencias a partir de los productos de ese proceso de pensamiento (solución al problema).
Si las matemáticas se consideran sólo como hechos y habilidades aisladas entonces hay poca utilidad para fomentar la comprensión (Hielber, 1997). Una de las actividades centrales del profesor de matemáticas consiste en ofrecer oportunidades a los estudiantes para aprender, a su vez las oportunidades que tienen los estudiantes para aprender se relacionan con las formas de razonamiento que los estudiantes desarrollan al resolver problemas matemáticos (Bergqvist y Lithner, 2012).
Como ya se mencionó, el proceso de razonamiento inicia con el entendimiento de un problema y finaliza con la obtención de la solución, por esta razón y con objeto de facilitar el análisis se llevará a cabo una distinción de cuatro fases principales que dan estructura al proceso:
a) Entendimiento de la actividad o situación problemática b) Elección de la estrategia
c) Aplicación de la estrategia
1. Entendimiento del problema. El resolutor se enfrenta a una situación problemática, por lo que no conoce un camino o ruta que le permita obtener una respuesta de forma inmediata; así que, en primer término debe identificar la información que se le proporciona en el problema determinar si es suficiente, redundante o incompleta. Además debe de identificar de forma precisa cuál es la incógnita o información que se solicita en el problema.
2. Concepción de un plan. Con base en sus conocimientos previos el resolutor tiene que llevar a cabo procesos mentales entre los que se encuentra el recordar, elegir, construir, descubrir, adivinar, entre otros, con la finalidad de determinar las herramientas y los posibles caminos que lo pueden ayudar a avanzar en el proceso de solución.
3. Implementación del plan o estrategia de solución. El resolutor ejecuta la ruta planteada en la fase anterior, lo cual lo puede llevar a obtener una respuesta o a reconsiderar aquello que hizo en alguna de las fases previas.
4. Visión retrospectiva. Una vez obtenida la respuesta se analiza por qué ésta o la ruta de solución son correctas, es decir esta fase permite al resolutor completar la solución del problema.
Figura 3. Representación gráfica del proceso de razonamiento1.
2.5. Integración de los Elementos del Marco
El aprendizaje de las matemáticas se lleva a cabo mediante la resolución de problemas, en este proceso se da la oportunidad de explorar, identificar patrones y desarrollar habilidades para aplicar fórmulas, hacer conjeturas y aplicar procedimientos. Al resolver un problema los recursos básicos y las heurísticas influyen de manera importante para el planteamiento de sub-metas.
El aprendizaje con entendimiento alienta la resolución de problemas, al hablar de entendimiento va más allá de lo que el estudiante conoce, es una forma de pensar en la que puede explicar, evidenciar, generalizar, conjeturar o representar de diferentes maneras un problema, es una forma de razonamiento. El razonamiento y el entendimiento están estrechamente relacionados, el razonamiento es uno de los instrumentos principales para desarrollar entendimiento, este enfoque se engloba en la resolución de problemas desde comprender el problema, ver claramente lo que se pide considerando las partes principales del problema representadas por esquemas, tablas o representaciones gráficas, para trazar un plan y ejecutarlo, es en la ejecución donde entran en juego los elementos del pensamiento matemático: explorar relaciones, obtener regularidades, formular conjeturas, comunicar ideas, justificar resultados, formular problemas y de esta menara demostrar resultados.
1
Adaptado de Lithner (2008).
v1
v2
v3 v4
El razonamiento y el entendimiento parten de lo informal a lo formal, en la parte de lo informal del razonamiento se encuentran las heurísticas que permiten a los estudiantes avanzar en la solución de los problemas y transitar hacia los aspectos formales de las matemáticas involucrados en la elaboración de una demostración.
Figura 4. Integración de los elementos del marco
INFORMAL
FORMAL
Razonamiento
Entendimiento
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Explorar relaciones
Observar regularidades
Formular conjeturas
Justificar resultados
Comunicar ideas
Formular problemas
Heurísticas
Demostración
CAPÍTULO III. METODOLOGÍA
3.1 Características de la investigación
La metodología es de tipo cualitativo, ya que interesa documentar las cualidades del proceso de razonamiento seguido por un estudiante al resolver problemas no rutinarios. Es importante destacar que no interesa cuantificar el número de tareas que resolvió correctamente, sino categorizar en forma cualitativa las características importantes de los procesos de razonamiento llevados a cabo por el estudiante. Los problemas tienen como objetivo proveerle al estudiante elementos que le permitan reflexionar y comunicar ideas matemáticas en el proceso de resolución de problemas, con la finalidad de construir aprendizaje con entendimiento.
3.2 Los instrumentos de recolección de la información
Las tareas con las que se llevará a cabo la investigación son no rutinarias, es decir tareas para las cuales es posible diseñar varios métodos de solución, por lo que requieren que el estudiante lleve a cabo una actividad intelectual que va más allá de la aplicación de reglas, fórmulas o algoritmos. El estudiante abordará las tareas individualmente, tratando de “pensar en voz alta” durante la solución del problema, cada sesión de trabajo durará 90 minutos, una vez por semana, trabajando siete actividades. Cuando el estudiante no pueda avanzar en la solución el profesor ofrecerá algunas sugerencias, o formulará preguntas que centren la atención del estudiante en variables o procesos relevantes que le permitan superar las dificultades a las que se enfrenta, pero sin proporcionar la solución de la tarea.
La principal fuente de evidencia para este trabajo es la observación por lo que se filmaran los procesos de solución de las tareas del estudiante, complementando con las referencias de otras investigaciones sobre razonamiento.
El análisis de los videos servirán para identificar recursos, argumentos, estrategias y formas de razonamiento durante el desarrollo de la tarea, también se pretende observar la intervención del profesor cuando existan dificultades para que el estudiante continúe. Con estos elementos de análisis y observaciones, se determinará el proceso de razonamiento en la solución de problemas por parte del estudiante, especificando qué recursos y estrategias lo promovieron.
3.3 Características de las actividades
Se buscó que las tareas promovieran la participación del estudiante en un proceso de resolución de problemas, que incluye:
a) Introducción a la tarea. El profesor da una introducción para explicar al estudiante en que consiste la tarea.
b) Presentación de la solución. El estudiante presenta la solución donde el profesor tiene la oportunidad de cuestionar para analizar y si es posible orientar a una solución.
c) Analizar los resultados. Se utilizaran filmaciones para analizar la forma en que el estudiante presenta la solución de la tarea, así se puede observar momentos y formas de pensar del estudiante y cómo avanzó en la solución.
d) Presentación de resultados. Caracterizar los aspectos más importantes del razonamiento y explicar los orígenes y las consecuencias de los tipos de razonamiento.
Fig. 5. Ranas saltarinas
Una vez que el estudiante completó la tarea se le solicita contar cuantos movimientos requirió para lograr el objetivo del juego. Posteriormente tiene que analizar otros casos particulares con la finalidad de que conjeture cuántos movimientos son necesarios para completar el juego si se tienen n ranas de cada color.
3.3.2. Tarea 2. Números triangulares. Los números triangulares son aquellos que pueden representar gráficamente mediante una disposición triangular de puntos como se muestra en la figura 6. Los primeros números triangulares son 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36. Cada número triangular se puede calcular como la suma de números enteros consecutivos. El objetivo de la tarea es que el estudiante encuentre una fórmula que le permita calcular el n-ésimo número triangular.
Figura 6. Primeros cinco números triangulares.
Figura 7. Rectángulos
3.3.4. Tarea 4. Diagonales. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono de lados?
3.3.5. Tarea 5. Tanque de tortugas: Emilia quiere llenar un tanque para su tortuga con 4 cubetas de agua. En cada viaje Emilia llena la cubeta desde una fuente y camina hacia el tanque, pero en el camino derrama del contenido de la cubeta. ¿Cuántos viajes tiene que hacer para llenar el tanque?
3.3.6. Tarea 6. Cerdos y gallinas. En una granja se crían cerdos y gallinas, si se contaron un total de 19 cabezas y 60 patas. ¿Cuántos animales hay de cada especie?
3.3.7. Tarea 7. Saludos. En una fiesta, cada persona saludó con un apretón de manos al resto de las personas que se encontraban en la reunión. Si se contó un total de 190 saludos, ¿cuántas personas asistieron a la fiesta?
3.4 Análisis Preliminar de las Tareas
A continuación se presenta la solución de cada tarea, para posteriormente hacer un análisis preliminar de los recursos utilizados para cada tarea.
En la siguiente tabla se muestra el número de movimientos necesarios para cuatro ranas de cada lado, en donde:
V: ranas verdes M: ranas marrón O: Piedra vacía
Para 3 ranas de cada lado se necesitan 15 movimientos.
Un patrón nos permite encontrar la solución para n ranas de cada color.
Realizar otras combinaciones de movimientos posibles para diferentes números de ranas:
Para una rana de cada color
En la siguiente tabla se muestra el número de movimientos necesarios para una rana de cada lado, en donde:
V: ranas verdes M: ranas marrón O: Piedra vacía.
0 V O M 1 O V M 2 M V O 3 M O V
Para una rana de cada lado se necesitan 3 movimientos.
Para dos ranas de cada color
En la siguiente tabla se muestra el número de movimientos necesarios para dos ranas de cada lado, en donde:
V: ranas verdes M: ranas marrón O: Piedra vacía.
0 V V O M M 1 V O V M M 2 V M V O M 3 V M V M O 4 V M O M V 5 O M V M V 6 M O V M V 7 M M V O V 8 M M O V V
Para 2 ranas de cada lado se necesitan 8 movimientos.
Con esta información las combinaciones se puedo organizar en una tabla para identificar algún patrón, si lo hay, donde la primer columna representa el número de ranas ( ) y la segunda columna el número de movimientos ( ).
1 3
2 8
3 15
Se observa que las diferencias van aumentando en dos unidades, es decir ; , entonces la siguiente diferencia debe ser 9, por lo tanto para 4 ranas de cada lado se necesitan 24 movimientos. La sucesión quedará:
3, 8, 15, 24, 35, 48, …
Por lo tanto la representación general es:
1 1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 =10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 =15
así sucesivamente, el número triangular correspondiente al paso será:
Llamaremos S, a esta suma
También se puede representar
Si se suman estas dos representaciones, se tiene:
Entonces:
Despejando tenemos la fórmula general de los números triangulares:
3.4.3 Solución de la tarea rectángulo Solución.
3.4.4 Solución de la tarea diagonales Solución 1.
Cada vértice tiene diagonales, esto es porque las diagonales son las líneas que unen a un vértice con los otros vértices del polígono, excepto cuando estas diagonales forman un lado del polígono, es decir el vértice no tiene diagonal consigo mismo, entonces, el número de diagonales por vértice es número de vértices menos el vértice, menos los dos vértices cuyas diagonales con él forman lados del polígono, entonces .
Como n es el número de vértices, el número de diagonales es igual al número de vértices por el número de diagonales por vértice . Al hacer esto se repite 2 veces el número de diagonales total, ya que al contar todos los vértices, se cuenta cada diagonal dos veces. Por ello la regla general se divide entre dos, obteniendo:
Solución 2.
En un triángulo no hay diagonales:
Un hexágono tiene 9 diagonales:
El polígono de 7 lados tiene diagonales:
Entonces para un polígono de n lados, el número de diagonales es:
De cada vértice salen n-3 diagonales, como hay n vértices, el número de diagonales es:
La regla general para calcular el número de diagonales que tiene un polígono regular de lados es:
3.4.5 Solución de la tarea tanque de tortugas Solución
Se pierde 1/3 de agua entonces la cubeta lleva 2/3 de agua.
El tanque se llena con 4 cubetas es decir 12/3. Utilizando una regla de tres simple:
Entonces el estanque se llena con (12/3)/(2/3)=12/2=6
Emilia tiene que hacer 6 viajes para llenar el estanque.
3.4.6 Solución de la tarea cerdos y gallinas Solución 1.
Teniendo en cuenta que las cabezas deben sumar 19, probar con casos particulares: Supongamos 10 cerdos y 9 gallinas. Calcular la cantidad de patas que tendrá que haber: Cerdos: sabiendo que cada uno tiene 4 patas, el total de patas de cerdos se obtiene multiplicando por la cantidad supuesta de cerdos, es decir,
Gallinas: sabiendo que cada una tiene 2 patas, el total de patas de gallina se obtiene multiplicando por la cantidad supuesta de gallinas, es decir .
El total de patas sería . Faltan 2 pata patas.
Asumiendo que las patas que faltan sean de gallina. Ahora suponer que hay 11 cerdos y 8 gallinas. En este caso, se procede como se hizo anteriormente, resulta que el total de patas es 60, por lo tanto la solución es: 11 cerdos y 8 gallinas.
Solución 2.
Si es la cantidad de cerdos y la cantidad de gallinas, tenemos: patas
cabezas
Como cada cerdo tiene 4 patas por eso se representa con 4c y las gallinas tienen 2 patas por eso se representa 2g.
De la segunda ecuación resulta;
Entonces:
Sustituyendo en la segunda ecuación:
Por lo tanto:
En el corral hay 11 cerdos y 8 gallinas.
3.4.7 Solución de la tarea saludos Solución 1
Haciendo una representación gráfica de cómo las personas saludan, los colores ayudaran a identificar cuantos saludos da cada persona y no confundir las veces de saludos que tenemos:
Para dos personas:
Saludan con un apretón de manos.
Para tres personas:
Una persona saluda a las otras dos personas, el color azul lo representa. Las otras dos personas se saludan entre sí, representada en color verde. Por lo tanto en una reunión de tres personas necesitan 3 apretones de manos.
Una persona saluda a las otras tres personas, el color azul lo representa. Las otras tres personas se saludan entre sí, representada en color verde. Por lo tanto en una reunión de cuatro personas necesitan 6 apretones de manos.
Para cinco personas:
Una persona saluda a las otras cuatro personas, el color azul lo representa. Una de las cuatro personas saluda a las otras tres que no ha saludado, representada en color verde. Una de las tres personas saluda a las otras dos personas, representada en color rojo. Y las otras dos personas se saludan entre sí, representada en color negro. Por lo tanto en una reunión de cinco personas necesitan 10 apretones de manos.
Al representar estos casos, se puede observar una relación con los números triangulares, es decir:
1, 3, 6, 10,…
Entonces para encontrar el número de personas que asistieron a la fiesta, se puede obtener mediante la regla general de los números triangulares, es decir:
De esta expresión, se pueden observar dos soluciones, pero una de ellas es negativa así que no se considera solución para esta tarea, por lo tanto la solución es:
El número de personas que asistieron a la fiesta es 19 personas.
Solución 2.
La expresión cuadrática también se puede resolver mediante la fórmula general cuadrática, identificando cada literal de la fórmula.
√
De la expresión cuadrática ; se identifican las literales:
Sustituyendo en la fórmula:
√ √
De aquí se obtienen las soluciones; primera solución:
La segunda solución:
Por lo tanto la solución para la tarea es la primera, asistieron a la fiesta 19 personas.
Tabla 1. Elementos centrales identificados en el análisis preliminar de las tareas
Tarea Ideas
centrales Heurísticas Recursos
Ranas saltarinas
Casos particulares
Construcción de tablas
Operaciones aritméticas básicas Identificación de patrones
Conexiones con representaciones gráficas y numéricas
Números triangulares
Sumas Representación esquemática de los números triangulares
Operaciones aritméticas básicas Suma de números consecutivos Identificación de patrones
Conexiones con representaciones gráficas y numéricas
Rectángulo Principio de aditividad de las áreas
Representación gráfica de figuras geométricas
Identificación de figuras geométricas Congruencia de triángulos
Diagonales Estrategia algebraica
Representación gráfica de polígonos regulares
Operaciones aritméticas básicas
Identificación de polígonos regulares de n lados
Conexiones con representaciones gráficas y numéricas
Identificación de patrones Tanque de
tortugas
Estrategia de conteo
Operaciones aritméticas básicas Regla de tres simple
Despejes simples de una variable Cerdos y
gallinas
Estrategia algebraica
Representación de la información en una ecuación
Operaciones básicas aritméticas Despejes simples de una variable Despejes simples de una variable Solución de ecuaciones de 1er grado Sustitución de ecuaciones
Saludos Búsqueda de patrones
Construcción de esquemas
Conexiones con representaciones gráficas y numéricas
CAPÍTULO IV. RESULTADOS
En este capítulo se llevará a cabo la caracterización de los aspectos más importantes del razonamiento, identificando las ideas centrales, conocimientos previos, tipo de heurísticas utilizadas y las dificultades observadas en el proceso de resolución de las tareas.
4.1 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de las ranas saltarinas
En primer término el estudiante soluciono el problema de cambiar de posición las ranas, se dio cuenta que el número de movimientos necesarios es 15. Posteriormente el instructor le solicitó encontrar el número de movimientos necesarios para completar el juego con una y dos ranas de cada color. El estudiante obtuvo los siguientes resultados: con una rana de cada lado son necesarios tres movimientos de cada rana, con dos ranas de cada lado el resultado es 8 movimientos. Se pidió al estudiante que organizara los datos en una tabla en una cuyas columnas se colocó número de ranas ( ) y el número de movimientos de cada rana ( ) para completar el juego.
Una vez de que construyó la tabla se le preguntó cuántos movimientos eran necesarios para completar el juego si se contaba con cuatro ranas de cada color (Figura 8). En los resultados de la tabla centro la atención en un solo valor de y el correspondiente valor de y propuso una regla de correspondencia, sin embargo cuando se le pido aplicar esa regla de correspondencia para otros valores de r se dio cuenta que tal regla no proporcionaba el respectivo valor de . El estudiante estaba confundido y no sabía cómo continuar.
El estudiante no fue capaz de identificar la regla, así que se le propusieron otras tablas para identificar qué es lo que se le solicitaba. (Figura 9)
Figura 9. Tablas propuestas por el profesor para identificar patrones
Con el propósito de que el estudiante entendiera lo que se le solicitaba se le propusieron como ejemplo otras dos tablas para identificar la regla de correspondencia la cual era fácil, (Figura 9) en la primera tabla identifica la regla de correspondencia es el doble de , en la segunda tabla que se le puso como ejemplo identifica la regla de correspondencia más 4 (Figura 10)
Figura 10. Identificación de patrones
Figura 11. Función como una máquina
La estrategia que el estudiante utiliza calcular las primeras diferencias de los valores de m, con la finalidad de identificar si estas diferencias sean constantes. Pero se da cuenta que no, ya que al observar las diferencias de los primeros movimientos observa que: De tres a ocho serían cinco pero de ocho a quince ya no sería cinco porque ya ocho más cinco me da trece, y entonces para quince me faltarían dos… por lo que se da cuenta
que las primeras diferencias no son contantes, sin embargo tratar de encontrar el valor correspondiente de 4 para r, conjetura que es 22, es decir sigue pensando o considerando la diferencia constante. En el siguiente dialogo se observa la conjetura: … no sé pero yo como que creo que de ocho a quince pues son siete, luego entonces pues se suman el quince y el
siente más pues siete más quince me da pues 22. (Figura 12)
Figura 12. Identificación de diferencias en la tabla
Sigue utilizando la estrategia de que las diferencias son constantes. Ve toda la información pero en algún momento se olvida de todo lo que ya observó porque sigue insistiendo en que la diferencia es constante, le cuesta trabajo relacionar con los siguientes movimientos.
la relación, y coloca como resultado 35, porque suma 24 más 9 porque las diferencias van incrementándose en dos unidades. Es decir para este proceso recursivo no se le dificulta encontrar el número de movimientos para 5 ranas.
Ahora se le pide que verifique la regla para cualquier número de ranitas, cuántos movimientos se necesitan para 20 ranitas. La idea es que el alumno identifique la regla de correspondencia porque sigue anclado en la cuestión recursiva de obtener el siguiente a partir del anterior. Al enfrentarse a esta situación centra la atención en el últ imo dato que tiene, el de 5 ranas que necesita 35 movimientos al parecer retoma la idea de las tablas que se proporcionaron como ayuda para identificar el patrón y da por hecho que si multiplica 20 por 7 es el número de movimientos para 20 ranas. Al verificar su resultado se da cuenta de que no es correcto. Así que se la pide que encuentre el número de movimientos para 8 ranas y coloca 96.
Se le pide que de forma recursiva encuentre el número de movimientos para 6 y 7 ranas y esto lo hace de forma correcta, después se le pide que encuentre el de 8 ranas pero tiene dificultades y no sabe qué hacer, después de pensar por unos minutos da como resultado 90, pero no es correcto.
Ahora si el número de ranas no es recursivo y se quiere saber el número de movimientos para 20 ranas, al plantearle este situación al estudiante le toma tiempo responder, así que el profesor interviene para que identifique la relación que hay entre el número de la columna de la tabla y la operación que da como resultado el número de movimientos, le pregunta cómo va obteniendo los números de la multiplicación, responde que va dividiendo el número de movimientos entre el número de ranas pero esto no funciona porque se necesitaría saber el número de movimientos para conocer el número de ranas, no logra encontrar una relación hasta que el profesor le ayuda mencionando como se relaciona el 6 con el 8, el 5 con 7 y 4 con 6 con esto el profesor centra la atención en lo factores, en ese momento es cuando identifica que la diferencia es dos por lo que ahora puede terminar y presentar el resultado de movimientos para 20 ranas, y escribe 20 por 22 Figura 14. Cuando dirige la atención a estos números puede identificar cual es la regla general para obtener los valores de , multiplicando por otro número que es dos veces más que .
Figura 14. Identificación de la regla general
Tabla 2. Elementos centrales identificados en el análisis de las ranas saltarinas Ideas
centrales
Conocimientos
previos Heurísticas Dificultades
Considerar primeras diferencias de los valores de m
Operaciones aritméticas básicas
Construcción de tablas
Para identificar patrones
Para representar la regla general. Tiene dificultad aun cuando lo tiene escrito en el pizarrón, le cuesta trabajo identificar la regla.
Si cambian las condiciones se confunde, no sabe qué hacer.
Centra la atención en una parte de la información
4.2 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de los números triangulares.
El profesor dibujo la representación de los primeros 3 números triangulares, se le solicitó que colocara el número 4, 5 y 10 en su representación triangular los construye siguiendo una regularidad colocando como base del triángulo el número de puntos que le indica el número y disminuyendo el número de puntos hasta construir el triángulo, haciéndolo sin ninguna dificultad.
Figura 16. Representación de algunos números triangulares
Al preguntarle cuándo vale el número triangular 10 realiza la suma de los puntos ordenados en el esquema dando como resultado 54, conjetura que para encontrar el número triangular con base 10 es la suma de 10 más 9 más 8 más 7 más 6 más 5 más 4 más 3 más 2 y más 1. El estudiante puede identificar como se van construyendo los números triangulares, el siguiente dialogo lo confirma: Por ejemplo si me dijera diez, diez más nueve más ocho más siete más seis más cuatro, más tres, más dos y más uno, ese sería el
cálculo.
Figura 17. Representación numérica de un número triangular
Ahora se le pide que encuentre el número triangular 100, utiliza una estrategia de proporcionalidad, es decir si ya conoce el número triangular 10 conjetura que hay una relación de proporcionalidad entre los números triangulares, si conoce el número triangular 10 entonces para encontrar el número triangular 100 piensa que como 100 es diez veces diez entonces el número triangular 100 va a ser 10 veces 10. Esta conjeturando que la relación de los números triangulares es proporcional.
Se le solicita nuevamente que dé el valor del número triangular 10, y el estudiante trata de calcular el valor con operaciones mentales, pero para apoyar lo que estaba haciendo mentalmente el profesor le sugiere que lo represente como una suma tal como lo hizo con el número 7, entonces escribe la operación para calcular el número 10 como la suma de los primeros diez números naturales, obtiene como resultado 55 que es correcto, sigue con la idea de proporcionalidad, el siguiente dialogo lo confirma:
Profesor: a ver ¿cómo le hiciste para calcular el número triangular siete?, calcula el número triangular diez
Estudiante: (escribe en el pizarrón la operación para el número triangular diez, escribe 55 como
resultado)luego multiplicaría 55 por diez porque diez es la décima parte de cien y entonces el
número triangular cien es 55, digo 550
Después de unos minutos contesta 110 como resultado, centro su atención en el número triangular 10 tomando en cuenta que 10 es la mitad de 20. Continúa con la idea de proporcionalidad, pierde de vista la información global y sigue anclado en la idea de proporcionalidad, al parecer no toma en cuenta la construcción de los números triangulares ya que pierde elementos cuando muestra el resultado diciendo que multiplicó 10 por 2, 9 por 2, etc…
El profesor vuelve a centrar la atención en casos específicos, haciendo la representación de suma para los primeros números triangulares con su respectiva representación gráfica ya que no sabe cómo continuar. Se le sugiere representar estos datos los organice en una tabla para visualizar mejor la información. Con la construcción de la tabla en cuyas columnas coloca el número natural y su respetivo numero triangular, busca relaciones de los elementos que se encuentran en ella.
Relaciona los números de la columna que indica de que número triangular se está hablando con la segunda columna, utilizo una estrategia multiplicativa, ahora centro la atención en la primer columna y busco una relación entre estos números para encontrar los números de la segunda columna, realizo la multiplicación de los primeros dos números y los dividió entre dos para relacionarlos con el primer número de la segunda columna, después multiplico el segundo número con el tercer número de la primera columna para relacionarlo con el segundo número de la segunda columna. En resumen realizó operaciones con la primera columna para obtener los de la segunda columna.
Figura. 18. Identificación de la relación de las dos columnas
100 por 99 y para 100 lo hace de forma correcta. Logra identificar la regla general aunque no lo expresa de forma algebraica.
Tabla 3. Elementos centrales identificados en el análisis de los números triangulares Ideas
centrales
Conocimientos
previos Heurísticas Dificultades
Los números triangulares son proporcionales
Operaciones aritméticas básicas
Construcción de esquemas
Relacionar
esquemas con sumas
Identificación de patrones
Centra la atención en casos particular y no logra ver la información de forma global
Figura 19. Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado en la resolución de la tarea de los números triangulares
4.3 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea del rectángulo
AEPH también lo divide la diagonal AC entonces sigue utilizando el principio de aditividad de las áreas ya que el triángulo AEP y el triángulo AHP son de áreas iguales. Es capaz de aislar los elementos de la configuración, identifica las figuras que se forman tomando como referencia la diagonal AC. La figura la ve de diferentes formas concentrándose en cada parte que identifica de la figura, va identificando por partes y centrando su atención en cada parte para analizarla.
Con esta información global puede identificar que los triángulos AEP y AHP son iguales porque forman el rectángulo AEPH y tienen la misma área y que los triángulos CPG y CGP también son iguales porque forman el rectángulo CFPG y tienen la misma área y que a ambos rectángulos los divide la diagonal AC. Con esta conclusión dice que el triángulo AEP y el triángulo CPF están asociados con el rectángulo EBFP al igual que el triángulo APH y el triángulo CPG están asociado con el rectángulo HPGD, entonces está haciendo un proceso de inferencia porque a los dos rectángulos se les está quitando la misma área entonces si es igual el área de los rectángulos.
Tabla 4. Elementos centrales identificados en el análisis del rectángulo Ideas
centrales
Conocimientos
previos Heurísticas Dificultades
Principio de aditividad de las áreas
Identificación de figuras geométricas
Construcción de esquemas
Ninguna dificultad
Figura 20. Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado en la resolución de la tarea del rectángulo
4.4 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de las diagonales.
El profesor representa esquemáticamente 5 polígonos diferentes en los cuales es estudiante identifica cuántas diagonales salen de cada vértice y escribe en el de tres vértices 0 diagonales, en el cuatro vértices 2 diagonales, en le cinco vértices 5 diagonales, en el de seis vértices 9 diagonales y en el de siete vértices 11 diagonales. Para obtener la regla general centra su atención en el polígono de cuatro vértices e intenta escribirla pero aún no tiene todos los elementos para emplear una regla, tiene confusión al tratar de escribir la regla.
Identifica cuantas diagonales salen de los polígonos que tiene en el pizarrón, en el polígono de cuatro vértices sale una diagonal de cada vértice, en el polígono de cinco vértices salen dos diagonales de cada lado, en el polígono de seis vértices salen tres diagonales, e incluso en el de diez vértices identifica que salen 7 diagonales de cada vértice pero cuando se extiende a 20 responde 14, lo cual no es correcto, pero después de unos instantes piensa, hace operaciones y corrige dando como resultado 17, el cual es correcto. Es decir identifica patrones de corto alcance pero cuando se salta a 20 no logra identificar el número de diagonales. Esto se observa cuando el profesor le pide que del resultado para el polígono de 100 vértices y responde 50.
conjetura peguntándole que pasa si tiene un polígono de cinco lados, cuántas diagonales salen, a lo que responde que dos pero no es la mitad, cuando lo hace para el polígono de seis lados si se cumple la conjetura pero no así para el de siete lados, por lo tanto no es válida su conjetura y se da cuenta, pero no sabe qué hacer para continuar. El profesor le sugiere que dibuje una tabla en cuyas columnas contenga el lado (L) y el número total de diagonales que sale de cada vértice (V). La tabla la construye sin dificultada hasta el polígono de 7 lados (Figura 21), pero no logra hacer una conexión con los datos de la tabla, por lo que el profesor le pregunta que si sabe el número de lados cómo le hace para encontrar el número de diagonales que salen de cada vértice.
Figura 21. Tabla de lados del polígono y número de diagonales
Después de unos instantes observa una relación de la tabla donde suma la primera fila de columna L más la segunda fila de la columna V es igual a la segunda fila de la columna L, es decir 3 más 1 igual a 4; 4 más 2 igual a 6, etc… pero no le ayuda a encontrar la regla, no logra conectar los resultados de la tabla y por un momento no sabe qué hacer. El profesor le pregunta cómo le hizo para encontrar el número de diagonales para el polígono de 10 lados, a lo que contesta:
Porque de cada lado, entonces digamos son tres vértices los que no se van a unir. Entonces por
ejemplo aquí B no se va a unir con B sólita entonces ya vamos restando un vértice, tampoco se
va a poder unir con A, porque ese ya estaba unido y tampoco con C porque igual ya estaba
Figura 23. Representación algebraica de la regla general
Tabla 5. Análisis de la Tarea 4. Diagonales Ideas
centrales
Conocimientos
previos Heurísticas Dificultades
Operaciones aritméticas básicas
Construcción de esquemas
Relacionar
esquemas con sumas
Para identificar patrones de largo alcance
Comentarios: Logra identificar patrones de corto alcance pero tiene dificultades para identificar los de largo alcance se introducen dos dificultades porque se quita la parte gráfica.
4.5 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea del tanque de tortugas
Inicia con la representación esquemática de las cubetas de agua, utiliza cuatro rectángulos divididos en tercios (Figura 25)
Figura 25. Representación esquemática de las cubetas
Afirma que como está dividida en tercios cada una de las cubetas entonces hay 12 tercios en total, esta afirmación es correcta (Figura 25). Identifica y relaciona todos los datos del problema. Conjetura que cada cubeta tiene dos tercios porque pierde 1 tercio en el camino, la valida mediante el esquema rellenando solo dos tercios ya que el otro tercio lo perdió, y asume que es el primer viaje (Figura 26).
Figura 26. Representación esquemática del primer viaje
cubetas dividirlo entre dos tercios porque cada viaje lleva en realidad dos tercios. Es decir 12/3 entre 2/3.
Tabla 7. Análisis de la Tarea 6. Tanque de tortugas Ideas
centrales
Conocimientos
previos Heurísticas Dificultades
Técnica de conteo.
Operaciones aritméticas básicas
Construcción de esquemas
No tiene dificultades
Comentarios: No pierde de vista la información del problema, tiene la idea clara de cómo resolver la tarea e incluso plantea dos estrategias para encontrar la solución. Puede expresar la regla en forma algebraica, razona con base en la figura. Se observa avance en su proceso de razonamiento pero sigue teniendo dificultad en la información global.
4.6 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de loscerdos y gallinas.
Comienza escribiendo el número de cabezas y de patas. La idea principal que utiliza es el de
proponer un caso particular ya que plantea: 10 cabezas de cerdo y como los cerdos tienen cuatro
patas, multiplica 10 por 4 y le da como resultado 40 patas de cerdo; entonces asume que son 9
cabezas de gallina ya que en total hay 19 cabezas entonces 19 menos 10 son 9, y como las
gallinas tienen dos patas multiplica 9 por dos lo que le da como resultado 18 patas de gallinas.
Con estos resultados asegura que 40 patas de cerdo más 18 patas de gallinas da como resultado
58 patas, pero no es la respuesta, le faltan dos.
Ajusta para continuar con la estrategia de caso particular, ahora plantea con 11 cerdos,
multiplica 11 que son los cerdos por 4 patas son en total 44 patas; como plante que son 11
cerdos entonces asume que deben ser 8 gallinas para un total de 19 cabezas, multiplica 8 por 2
patas de cada gallina y le da como resultado 16 patas, al verificar sus resultados suma 44 patas
de cerdo más 16 patas de gallina es igual a 60 patas.
Tabla 7. Análisis de la Tarea 6. Cerdos y gallinas Ideas
centrales
Conocimientos
previos Heurísticas Dificultades
Casos particulares
Operaciones aritméticas básicas
Construcción de esquemas
No tiene dificultades
Comentarios: Identifica la información del problema, plantea una estrategia de casos particulares en la cual él mismo verifica el resultado y ajusta en un momento dado, no
pierde de vista la información global y puede asumir que es lo que la hace falta para
Figura 29. Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado en la resolución de la tarea de los cerdos y gallinas
4.7 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de los saludos.
Piensa en un caso más sencillo, trasforma el problema de una manera recíproca, quiere ver el comportamiento si conoce el número de personas cuántos saludos, hace un razonamiento reciproco y toma un caso particular el de cinco personas con número triangulares para tratar de encontrar una relación. Al analizar el caso de cinco personas quiere saber qué ocurre de personas a saludos, empieza a relacionar este caso de cinco personas con números triangulares porque empieza a decir si hay cinco personas se pueden relacionar con cuatro, el siguiente con tres, el siguiente con dos y el otro con uno nada más, por lo que si suma 5 más 4 más 3 más 2 más 1 lo está relacionado con números triangulares.
20 y 10 y vuelve a hacerlo con 15 pero como era muy pequeño hizo la prueba con 19 y en ese momento le dio el resultado.
Tabla 8. Análisis de la Tarea 7. Saludos Ideas
centrales
Conocimientos
previos Heurísticas Dificultades
Casos particulares
Operaciones aritméticas básicas
Construcción de esquemas
No tiene dificultades
Comentarios: Identifica la información del problemas haciendo analogía con problemas resueltos con anterioridad, utiliza casos particulares y puede plantear la tarea en una sub-tarea más sencilla para resolver. Realiza operaciones mentales y justifica el resultado.
CAPÍTULO V. CONCLUSIONES
Con la información proporcionada de cada tarea el estudiante no tiene problemas para identificar y analizar los datos, sabe lo que tiene que resolver y formula esquemas o representaciones de la información, aunque en cierto momento llega a perder de vista la información global.
En las primeras actividades el estudiante requiere ayuda del profesor para identificar patrones o regularidades, se observa principalmente porque no tiene experiencia en resolver este tipo de tareas, conforme va resolviendo las tareas se observa un avance significativo al resolver los problemas ya que en las últimas sesiones no necesita la ayuda del profesor, al parecer no tiene noción en resolución de problemas, pero conforme va avanzando observa patrones, regularidades y hace conexiones con la información, llega a conjeturar y validar la conjetura mediante casos particulares. Conforme el estudiante va avanzando en la resolución de las tareas, se pueden observar formas de razonamiento que se pueden describir de la siguiente manera:
1. Se cumple con una situación problemática, la actividad o tarea
2. Elige una estrategia, esta elección es apoyada por sus conocimientos previos, en un sentido amplio puede elegir, recordar, construir o descubrir para resolver la situación problemática. Plantea conjeturas.
3. Reconsideración de la estrategia, si la conjetura no es válida vuelve a plantearse otra estrategia, en determinado momento si no sabe qué hacer el profesor interviene, de esta manera puede identificar nueva información para plantear otra estrategia de solución.
4. Presenta resultados.
