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Capítulo II

Cinemática de la partícula

2.1-Vector posición

El concepto de movimiento tiene un significado relativo, pues hace referencia a la modificación de la posición relativa de los cuerpos entre sí. Por consiguiente, para describir el movimiento de un cuerpo el primer paso es establecer un sistema de referencia respecto del cual se determinan los movimientos. Una forma idealizada del sistema de referencia es un sistema de coordenadas: Una terna de ejes cartesianos, ortogonales y rígidos, respecto de los cuales se refieren las coordenadas de los puntos de un cuerpo cualquiera. Dar las coordenadas de un punto P significa ubicar el punto unívocamente en el espacio respecto del sistema de referencia. Por ejemplo: dando las distancias x_p,y_p,z_p (Figura 2.1) a los planos coordenados. Es decir, la posición está fijada por tres números, en un orden determinado. En física hay magnitudes para cuya descripción se necesita más información que la que puede dar un simple número, por ejemplo las magnitudes vectoriales. La distancia entre dos puntos es un escalar; no así la posición de un punto como hemos visto. La posición también puede representarse geométricamente por un segmento dirigido, que va desde el origen del sistema de coordenadas al punto en cuestión

→

OP(ver Figura 2.1).Este segmento dirigido está caracterizado por la dirección de la recta que pasa por los puntos O y P, por el sentido de esta recta de O hacia P, y por la distancia

____

OP(longitud del segmento). Un segmento dirigido se denomina vector.

Figura 2.1 En nuestro caso

→

OP, es el vector posición o radio vector →

r (para más simplicidad). La distancia

____

OP se llama módulo o magnitud del vector y se representa por → r o simplemente por r (letra en negrita), que es una notación muy frecuente en los libros de texto.

Observemos en la Figura 2.1 que la representación de la posición de un punto por sus coordenadas o por su vector posición es totalmente equivalente. Las coordenadas son las proyecciones del radio vector sobre los ejes. Tales proyecciones se denominan componentes del vector. Se les asigna su signo positivo o negativo, según tengan su sentido en las coordenadas crecientes o decrecientes, respectivamente. Las proyecciones del vector

→

rserán designadas como (r_x,r_y,r_z) o simplemente (x,y, z). La relación entre el módulo del vector r y las componentes es:

Podemos también establecer las relaciones entre las componentes y la dirección y sentido del vector, utilizando los ángulos que forma el vector con cada uno de los tres ejes coordenados. Estos ángulos reciben el nombre de ángulos directores o cosenos directores (ver Figura 2.2). Mediante consideraciones geométricas elementales, se obtiene:

cos

_{2 2 2} z y x

x x

r

r

r

r

r

r

+

+

=

=

→

α

cos

_{2 2 2} z y x

y y

r

r

r

r

r

r

+

+

=

=

→

β

_(2.2)

cos

_{2 2 2} z y x

z z

r

r

r

r

r

r

+

+

=

=

_→

γ

Fácilmente, a partir de (2.2), se comprueba la siguiente relación entre los cosenos de estos ángulos:

cos2α+cos2 y+cos2 z=1 (2.3) Esto significa que únicamente dos de los tres cosenos directores son independientes. En otras palabras: si para un vector dado conocemos los ángulos α y β, el tercer ángulo

γ no podrá ser cualquiera, deberá satisfacer la ecuación (2.3)

Figura 2.2

______________________________________________________________________

Ejercicio de aplicación 1:

Daremos a continuación un ejemplo de aplicación.

Sea el caso de la Figura 2.2, donde gráficamente la escala del dibujo es tal que

r

x tiene

una longitud de 10 cm,

r

yuna longitud de 20 cm y

r

z de 30 cm. Si el vector →

r

representa una velocidad tal que

r

=

r

=

50

km

/

h

→

; encontrar los valores de las

componentes de la velocidad

r

_x

,

r

_y

y

r

_z, expresadas en km/h.

Plantearemos dos formas diferentes de resolver el problema.

r

=

r

=

r

_x2

+

r

_y2

+

r

_z2

=

10

2

+

20

2

+

30

2

=

50

km

/

h

→

(1)

Pero además el problema me dice:

r

_y

=

2

r

_x (2) y

r

_z

=

3

r

_x (3)

Tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas (1), (2) y (3) resolver el problema es una cuestión inmediata.

b) La segunda forma es utilizar las ecuaciones de los cosenos directores dada por (2.2). Entonces:

_{2 2 2 2}

1400

10

cos

cm

cm

r

r

r

r

r

r

z y x

x

x

₌

+

+

=

=

→

α

₍₄₎

_{2 2 2 2}

1400

20

cos

cm

cm

r

r

r

r

r

r

z y x

y y

=

+

+

=

=

→

β

₍₅₎

_{2 2 2 2}

1400

20

cos

cm

cm

r

r

r

r

r

r

z y x

z

z

₌

+

+

=

=

→

β

₍₆₎

De (4), (5) y (6) obtenemos los valores de cada uno de los cosenos directores.

Entonces si

r

=

r

=

50

km

/

h

→

, obtenemos que:

γ

γ

β

β

α

α

cos

)

/

50

(

cos

cos

)

/

50

(

cos

cos

)

/

50

(

cos

h

km

r

r

h

km

r

r

h

km

r

r

z y x

=

=

=

=

=

=

Ejercicio de aplicación 2:

Figura 2.3

El vector posición del centro del circulo está dado por r_C =(x₀,y₀) →

. Dado que el radio del círculo es a, podemos fácilmente deducir que la posición del punto A está dada por

el vector r→_A =(x₀−a,y₀), la de B por el vector r→_B =(x₀,y₀ +a), C por el vector

) , (x₀ a y₀

r→_C = + y D por el vector r→_D =(x₀,y₀ −a)

____________________________________________________________________

Para el alumno es familiar el álgebra vectorial por lo que no nos detendremos a estudiarla aquí, ni daremos otros ejemplos. En su lugar veremos algunas definiciones sobre vectores que serán sumamente útiles en el curso de física.

Vectores unitarios y descomposición canónica

Un vector unitario o versor es un vector de módulo 1, sin unidades. Su único fin es el de direccionar, es decir, describir una dirección en el espacio. Los vectores unitarios o versores son una forma de notación muy cómoda para muchas expresiones que incluyen componentes de vectores. En un sistema coordenado x-y-z podemos definir un vector unitario

∧

i sobre el eje-x (con sentido hacia las x〉0), un vector unitario

∧

j sobre el eje-y

(con sentido hacia las y〉0), y un vector unitario

∧

k sobre el eje-z (con sentido hacia las z〉0). De esta forma podemos expresar un vector, mediante su descomposición canónica, en la forma:

∧ ∧ ∧ →

+ + =

= A A A A i A j A k

A ( _x, _y, _z) _{x y z}

∧ ∧ ∧ →

+ + =

= B B B B i B j B k

B ( _x, _y, _z) _{x y z}

Entonces:

± = → →

B

A + + ±

∧ ∧ ∧

)

(A_xi A_y j A_zk + + =

∧ ∧ ∧

) (B_xi B_y j B_zk

∧ ∧

∧

± + ±

+ ±

=(A_x B_x)i (A_y B_y )j (A_z B_z)k

Para calcular el producto escalar o interno podemos plantear lo siguiente:

∧ ∧ ∧

k y j

i, son

perpendiculares entre sí y de módulo 1. Entonces: • = • = • =1

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

k k j j i i

• = • = • =0 ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

Ahora calculamos el producto escalar • =

→ →

B

A + + •

∧ ∧ ∧

)

(A_x i A_y j A_zk + + =

∧ ∧ ∧

) (B_xi B_y j B_zk = • + • + • + ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ i B k A i B j A i B i

A_{x x y x z x}

+ • + • + • + ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ j B k A j B j A j B i

A_{x y y y z y}

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ • + • + •

+A_x i B_zk A_y j B_zk A_zk B_zk Por lo tanto:

• = → →

B

A A_x B_x +A_y B_y +A_zB_z

Para calcular el producto vectorial debemos tener en cuenta las siguientes relaciones entre ∧ ∧ ∧ k y j i, :

→ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ = × = × =

×i j j k k 0 i

( →

0 es un vector nulo, es decir un vector con todas sus componentes iguales a cero). ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ = × − =

×j j i k i ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ = × − =

×k k j i j ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ = × − =

×i i k j k

Ahora podemos expresar el producto vectorial → →

×B

A en términos de las componentes de los vectores y de los vectores unitarios

→ →

×B

A = + + ×

∧ ∧ ∧

)

(A_x i A_y j A_zk + + =

∧ ∧ ∧

) (B_x i B_y j B_zk = × + × + × + ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ i B k A i B j A i B i

A_{x x y x z x}

+ × + × + × + ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ j B k A j B j A j B i

A_{x y y y z y}

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ × + × + ×

+A_x i B_zk A_y j B_zk A_zk B_zk Resultando que: → → ×B A = ∧ ∧ ∧ − + − +

−A B i A B A A j A B A B k B

A_{y z z y}) ( _{z x x z}) ( _{x y y x})

(

El producto vectorial también puede expresarse en forma de determinante:

→ → ×B A = z y x z y x B B B A A A k j i ∧ ∧ ∧

2.2 Cinemática de una partícula

considera. Es decir, si sus dimensiones son despreciables, comparadas con las dimensiones del problema. Por ejemplo: La Tierra puede ser considerada como una partícula en su movimiento orbital como planeta. Sus dimensiones son despreciables frente al radio orbital o al perímetro de la órbita.

La posición de la partícula P en el espacio está determinada por un vector posición → r. Mientras que, el movimiento de la partícula P está determinado si se conoce su posición en función del tiempo, es decir si se conoce

→

ren cada instante: r r(t)

→ →

= (2.4) o, en función de las coordenadas

) (

) (

) (

t z z

t y y

t x x

= = =

(2.5 )

Definimos como trayectoria al lugar geométrico de los puntos que ocupa la partícula en su movimiento.

Para cada valor instantáneo del tiempo, t, tenemos un vector →

rque indica la posición de P sobre la trayectoria (ver Figura 2.4). Por tal motivo x= x(t), y= y(t), z= z(t) son las ecuaciones que describen la trayectoria.

Figura 2.4

2.3- Velocidad en el movimiento rectilíneo

Hay movimientos en los cuales la trayectoria está prefijada de antemano por condiciones físicas, caso de un tren, donde la trayectoria está fijada por los rieles, de un ascensor, etc. En particular la trayectoria puede ser recta y en tal caso el movimiento se denomina rectilíneo.

Supongamos que s₁y s₂ son dos posiciones de la misma partícula en los instantes

2 1 yt

t . Introduciremos ahora una nueva magnitud que denominaremos velocidad, la cual definiremos como:

t s t t

s s v v

∆ ∆ = − − = =

1 2

1 2 __

(2.6) Si la velocidad es positiva la partícula se está moviendo en el sentido de las s crecientes (s₂ >s₁); si es negativa en el sentido de las s decrecientes (s₂ <s₁). El signo de la velocidad depende meramente de la convención adoptada sobre el sentido de las s. La velocidad así definida (2.6) representa un promedio de la rapidez del movimiento entre los instantes t₁ yt₂. Por tal motivo la velocidad definida de acuerdo a (2.6) recibe el nombre de velocidad media (

__

v). En general el valor del cociente ∆s/∆tdependerá de la duración del intervalo ∆t; sólo en el caso de un movimiento uniforme, el cociente

t s ∆

∆ / será constante.

Si hacemos tender ∆t→0, se comprueba experimentalmente que el valor del cociente t

s ∆

∆ / comienza a independizarse de ∆t; tendiendo a tomar un valor que sólo depende del instante en el cual está tomado y se denomina velocidad instantánea de la partícula

dt ds t s v

t _∆ =

∆ =

→

∆lim0 (2.7)

La (2.7) es un resultado experimental que indica que siempre existen intervalos de tiempo ∆t, lo suficientemente pequeños para que los valores de los cocientes

t s ∆

∆ / difieran entre sí en cantidades arbitrariamente muy pequeñas. Esto implica que el movimiento físico es un proceso continuo, que no puede ocurrir a saltos. La típica definición de velocidad como el espacio recorrido en la unidad de tiempo es conceptualmente errónea. La velocidad no es ningún espacio, sino un cierto cociente diferencial, y que la existencia de tal límite es verificable experimentalmente.

Al analizar el gráfico de la función s=s(t), es necesario tener en cuenta varias cuestiones: En primer lugar s(t) debe ser una función continua y derivable. En la Figura 2.5 observamos que v=ds/dtes la pendiente de la tangente a la curva que describe la trayectoria en un instante t. Sin embargo debemos tener cuidado al evaluar geométricamente dicha pendiente, ya que no necesariamente las escalas de los ejes coinciden. Es decir, el valor de v no es tagα = y/xdonde x e y están medidas en centímetros, sino que hay que medir x e y con las unidades utilizadas en los ejes. Por ejemplo x en mm., cm. o km.; mientras que t puede estar medido en segundos., horas. o días. El valor de vserá:

t s u x

u y v

/ /

Figura 2.5

Veamos un ejemplo del proceso de tomar límites y mostrar cómo la velocidad definida de acuerdo a (2.7) tiende a ser independiente de ∆ta medida que ∆t→0. La partícula originalmente estaba en el punto x₁=100cm del origen cuando t₁ =1seg.

Posteriormente para distintos valores de t₂ la partícula se encuentra en distintas posiciones x₂ tal como se muestra en la tabla. En las columnas 5,6 y 7 se calculan

t x y t

x ∆ ∆ ∆

∆ , / respectivamente para los distintos valores de x₂ y t₂.

Conforme ∆ttiende a cero x₂tiende ax₁ y ∆x/∆ttiende al valor límite7.1 cm/seg. Por

lo tanto =

∆ ∆ =

→

∆ _t

x v

t 0

lim 7.1 cm/seg.

2.4 Unidades y dimensiones de magnitudes derivadas.

En física una fórmula es una relación entre números que representan los valores de las magnitudes físicas intervinientes. Es decir, es una relación algebraica entre números. Hemos mencionado que el valor de una magnitud física es el número real que representa cuántas veces la unidad está contenida en la magnitud en cuestión. Las magnitudes independientes son las que se miden en forma directa. La velocidad es una magnitud derivada, que se define por medio de una operación físicas entre magnitudes independientes (distancia y tiempo). El velocímetro de nuestro coche es un instrumento que realiza dicha operación.

La unidad de la velocidad es la que corresponde a un móvil, que con movimiento uniforme, recorre la unidad de espacio en la unidad de tiempo. Evidentemente el

.) (

1 cm

x t₁(seg.) x₂(cm.) t₂(seg.)

.) (

1 2

cm x x x − =∆

.) (

1 2

seg t t t − =∆

) / (

/ seg cm

t x ∆ ∆

100.0 1 seg. 200.0 11.0 100.0 10.0 10.0

100.0 1 seg. 180.0 9.60 80.0 8.60 9.3

100.0 1 seg. 160.0 7.90 60.0 6.90 8.7

100.0 1 seg. 140.0 5.90 40.0 4.90 8.2

100.0 1 seg. 120.0 3.56 20.0 2.56 7.8

100.0 1 seg. 110.0 2.33 10.0 1.33 7.5

100.0 1 seg. 105.0 1.69 5.0 0.69 7.3

100.0 1 seg. 103.0 1.42 3.0 0.42 7.1

número que representa la velocidad cambiará si cambiamos las unidades de longitud y tiempo, aún siendo la velocidad que representa siempre la misma. Por ejemplo si una partícula se desplaza a una velocidad de v= a m/seg., la misma velocidad expresada en millas/hora tendrá otro valor numérico v=a' millas/hora. Efectivamente si tenemos dos sistemas de unidades, tal que, L y T son las unidades originales de longitud y tiempo; mientras que, L’ y T’ son las nuevas unidades. Entonces, tenemos que L =' λL y

T

T'=γ , donde λ y γ son los factores de conversión. El nuevo valor numérico de la velocidad, en unidades L’ y T’ , estará dado por:

γ

λ

γ

λ

v

t

s

t

s

v

=

∆

∆

=

∆

∆

=

'

'

'

(2.8) donde v=∆s/∆t, que es el valor de esa misma velocidad pero expresado en el sistema de unidades primitivo (L y T ). La relación (2.8) nos da la regla de transformación que sufre el número que representa el valor de la velocidad cuando se cambian las unidades. Por ejemplo: v=3m/s., para expresar dicha velocidad en otras unidades, como ser km/hora, tenemos que

)

3600

1

1

(

3600

1

'

3600

/

1

)

10

1

(

10

'

10

3 3 3

h

s

T

T

pues

s

h

y

km

m

L

L

pues

m

km

=

=

=

=

=

=

− − −

γ

λ

Es decir: h Km h Km s h m km s m v

v 3 3.6 10.8

/ 3600 / 1 / 10 ' 3 = × = = −

Simbólicamente las dimensiones de la velocidad se indican como:

[ ] [ ]

[ ]

[ ][ ]

1

− =

= L T

T L

v

Donde

[ ]

L simboliza unidades de longitud y

[ ]

T simboliza unidades de tiempo. Ejercicio de aplicación 3:

Un móvil viaja a una velocidad constante de

h millas

55 . Sabiendo que

m km

milla 1.61 1.61 103

1 = = × , determinar la velocidad del móvil en m/s.

Aplicando la (2.8) en este caso, tendremos que λ =1.61 y γ =3600. Entonces s m s m h s milla m h millas

v 55 0.447 24.6

) / ( 3600 ) / ( 10 61 . 1 ) / ( 55 ' 3 = × = × = ______________________________________________________________________

2.5 Aceleración en el movimiento rectilíneo.

t

v

t

t

v

v

a

∆

∆

=

−

−

=

1 2

1 2 __

(2.9) La aceleración instantánea estará dada por:

2 2 0

lim

dt

s

d

dt

v

d

t

v

a

t

∆

=

=

∆

=

→

∆ (2.10)

Resulta fundamental el hecho que nuevamente se comprueba experimentalmente que este límite existe. Esto significa que físicamente la velocidad es una función continua y que la función s(t) es derivable (al menos) dos veces.

Cuando la aceleración tiene el mismo signo que la velocidad significa que ésta última va en aumento (en valor absoluto); sí en cambio, la aceleración y la velocidad tienen signo opuesto, significa que el valor absoluto de la velocidad disminuye. A este último caso se lo denomina movimiento decelerado o desacelerado (ambos términos están aceptados por la Real Academia Española). Es necesario destacar que para tener un movimiento decelerado o acelerado no es importante el signo de la aceleración en forma aislada (como mencionan algunos textos de física), sino el hecho que la velocidad y aceleración tengan signos opuestos o iguales respectivamente. En algunos libros de texto se denomina rapidez al módulo o valor absoluto de la velocidad.

Simbólicamente y de acuerdo a (2.10) las dimensiones de la aceleración se indican como:

[ ] [ ]

[ ]

[ ][ ]

2 2

−

=

=

L

T

T

L

a

(por ejemplo 2

/s

cm , 2

/hora

km ).

En el caso de la velocidad resulta sencillo el tener una idea de los órdenes de magnitud; basta pasar a Km/h, que es la unidad más familiar para nosotros. En el caso de la aceleración no tenemos una noción tan familiar del orden de magnitud. Una aceleración prototipo podría ser la que sufren los cuerpos en caída libre (980

cm

/

seg

2); pero resulta ser una aceleración muy grande comparada con las aceleraciones de un automóvil o avión.

Se ha derivado la función s(t) con respecto al tiempo, obteniéndose la velocidad instantánea de una partícula con movimiento rectilíneo. Derivando la función s(t) dos veces se obtendrá la aceleración instantánea.

Si se nos ocurriera derivar a(t) se obtiene la derivada de la aceleración respecto al tiempo. Sin embargo, hay una razón fundamental para no realizar esta derivación. La experiencia demuestra que el límite del cociente ∆a/∆tpuede no existir. La aceleración no necesariamente es una función continua, pues un móvil puede pasar bruscamente de una aceleración a₁a una a₂, sin pasar por aceleraciones intermedias; como en el caso de un cohete al encenderse una segunda etapa.

2.6- Integración de las ecuaciones de movimiento rectilíneo

=

ó

ds

=

v

t

dt

⇒

∫

ds

=

∫

v

t

dt

t

d

s

d

t

v

(

)

(

)

(

)

(2.11)

Lógicamente las integrales deben realizarse entre los límites correspondientes:

∫

=

∫

t

t s

s

dt

t

v

ds

0 1

'

)

'

(

_{(2.11 a)} (se utiliza t’ como variable de integración (variable muda) para no confundirla con el límite superior de integración t). Entonces:

=

+

∫

t

t

dt

t

v

s

t

s

0

'

)

'

(

)

(

_{0 (2.12)}

Para poder determinar s(t) es necesario conocer la posición s₀en el instante inicial t₀; es decir, la condición inicial. En el caso particular del movimiento rectilíneo uniforme (v=cte.) y la (2.11) toma una forma simple:

(

)

0 0

(

0

)

0

t

t

v

s

dt

v

s

t

s

t

t

=

+

−

+

=

∫

(2.12 a) que representa la expresión integral del movimiento uniforme.

La aceleración para el movimiento uniforme y rectilíneo es:

a =dv/dt=0 (2.13) para todo t. La (2.13) se denomina expresión diferencial del movimiento uniforme. Supongamos por el momento que conocemos la función v=v(s), o sea la velocidad en función del espacio, como podría ser el caso de los ferrocarriles de montaña donde la velocidad depende de la configuración del terreno.

Entonces:

d

t

v

s

d

v

t

d

s

d

=

∴

=

(2.14) Integrando la última expresión entre los límites correspondientes

∫

=

∫

=

−

s

s

t

t

t

t

dt

s

v

ds

0

0

0

'

)

'

(

'

(2.15)

donde la primera integral es una función de s (posición). De esta forma obtendremos una función t=t(s). Entonces debemos despejar s como función inversa.

Sea ahora el caso en el cual el dato es la aceleración. Es decir, que conocemos la aceleración en función del tiempo, a=a(t). En tal caso:

=

∴

=

+

∫

t

t

dt

t

a

v

t

v

t

a

dt

dv

0

0

(

'

)

'

)

(

)

(

_(2.16)

=

+

∫

t

t

dt

t

v

s

t

s

0

0

(

'

'

)

'

'

)

(

_(2.17)

o más formalmente:

=

+

∫

+

∫ ∫

t

t

t

t t

t

dt

dt

t

a

dt

v

s

t

s

0 0

'

0 0

0

'

(

(

'

'

)

'

'

)

'

)

(

_{(2.17 a)}

Dadas las condiciones iniciales

s

₀ (posición inicial) y v₀ (velocidad inicial) de la partícula, y dada la función a(t), el movimiento queda determinado para todo instante t.

Si por alguna razón no pudiéramos conocer s₀ y v₀ con exactitud, sino sólo aproximadamente, el movimiento futuro no estaría determinado exactamente y sólo podríamos hablar de la probabilidad de hallar la partícula en una región dada, para un intervalo de tiempo dado.

Sea finalmente el caso en que la función dato es a=a(s). Entonces podemos realizar la siguiente sustitución:

v

ds

dv

dt

ds

ds

dv

dt

dv

s

a

(

)

=

=

=

(2.18) Pero recordando del Análisis Matemático la siguiente identidad









=

2

2

1

v

ds

d

v

ds

dv

Obtenemos la relación:

v

a

s

o

d

v

a

s

ds

ds

d

)

(

2

1

)

(

2

1

2 2

₌









=









(2.19) Ahora podemos integrar con facilidad la (2.19) entre los límites correspondientes

−

=

∫

s

s

ds

s

a

v

v

0 2

0 2

'

)

'

(

)

(

2

1

(2.20)

Observemos que en (2.20) aparece

v

2, lo que no nos brinda información directa sobre el signo que tiene la velocidadv. Esta dificultad será discutida en el curso más adelante. Veamos a continuación un ejemplo; correspondiente a un movimiento uniformemente acelerado, al que analizaremos con algún detalle.

Ejemplo: Sea el caso de un movimiento uniformemente acelerado (con aceleración constante). De acuerdo a la (2.17), obtenemos haciendo t₀ =0:

v

=

v

₀

t

+

a

t

(2.21) La velocidad variará linealmente con el tiempo. La (2.17 a) aplicada a este caso daría: _{0 0} 2

2

1

t

a

t

v

s

Si v₀ y a tienen el mismo signo, el término lineal en t y el cuadrático variarán en el mismo sentido, y el móvil se alejará monótonamente de la posición inicial (la distancia

0 s

s− crece monótonamente). Por el contrario, sí v₀ y a tienen signos opuestos, el término lineal predominará sobre el cuadrático para valores de t pequeños; pero a medida que t crece el término cuadrático se “hace sentir” anulando paulatinamente la acción del término lineal por tener signo opuesto. El móvil inicialmente se aleja de s₀, pero paulatinamente se va frenando para posteriormente acercarse nuevamente a la posición inicial, por donde pasará cuando se verifique que ₀ 2

2

1

t

a

t

v

=

, o sea

cuando

t

=

2

v

₀

/

a

. Después de ese instante el término cuadrático es el que prevalecerá y el móvil se alejará indefinidamente de s₀ en el sentido opuesto al inicial. Dejamos momentáneamente de lado esta descripción cualitativa del movimiento y veamos más matemáticamente como resolver el problema. En primer lugar supondremos que a〉0 y v₀〈0, que implica que la (2.22) tome la forma:

_{0 0} 2

2

1

t

a

t

v

s

s

=

−

+

(2.23) donde hemos utilizado − v₀ para destacar el signo negativo de la velocidad. La (2.23) alcanzará un extremo relativo al tiempo t =t' y s=s', cuando se satisfaga:

=

−

v

₀

+

at

'

=

0

dt

ds

(2.24) Es decir:

a

v

t

__ 0

'

=

a

v

s

s

2 0 0

2

1

'

=

−

(2.25) Dicho extremo relativo será un mínimo si _d2_s/_dt2_〉0 _{en t=t', lo que efectivamente} ocurre porque a 〉0 . La velocidad en dicho punto será nula tal como muestra la (2.25) (punto en el cual el móvil invierte su marcha).

Para conocer en que instante t =t'' el móvil vuelve a pasar por s₀ resolvemos la ecuación dada por la (2.23) para s=s₀:

₀ 2

2

1

t

a

t

v

+

−

=0 (2.26) cuyas soluciones son t''=2v₀ /a y t ''=0(la segunda es la solución trivial, pues nos da nuevamente el instante inicial). Es interesante notar a partir de (2.25) que t ''=2t' y que la velocidad del móvil a t=t '' será v(t '')= v₀ , de igual módulo que la velocidad inicial v₀〈0, pero distinto sentido.

______________________________________________________________________ Ejercicio de aplicación 4: Un móvil que se desplaza con velocidad constante, aplica los frenos durante 25 s, y recorre una distancia de 400 m hasta detenerse. Determinar: a) ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos?

De la ecuación (2.16), teniendo en cuenta que la aceleración es constante, y haciendo

0

0

=

t

, tenemos que:

t

a

v

t

t

a

v

dt

a

v

dt

t

a

v

t

v

o t t t t

+

=

−

+

=

=

+

=

+

=

∫

∫

0 0 0 0 0 0

)

(

'

'

)

'

(

)

(

(1*)

(Note el lector que la fórmula que generalmente se encuentra en los textos

v

(

t

)

=

v

₀

+

a

t

sólo es válida en el caso en que la aceleración es constante. La (1*) es un caso particular de la (2.16) cuando a= cte.)

De la ecuación (2.17), teniendo en cuenta que la aceleración es constante, haciendo

0

0

=

t

, y suponiendo que

s

₀

=

0

, obtenemos:

∫

+

∫ ∫

=

+

+

=

t t t t t t

t

a

t

v

dt

dt

t

a

dt

v

s

t

s

0 0 2 0 ' 0 0 0

2

1

'

)

''

)

''

(

(

'

)

(

_(2*)

(Note el lector que la fórmula que generalmente se encuentra en los textos

_{0 0} 2

2

1

)

(

t

s

v

t

a

t

s

=

+

+

es un caso particular de la (2.17 a), obtenida cuando la aceleración es constante y v0

es independiente del tiempo).

De la (1*) tenemos que:

t

v

a

t

a

v

s

v

v

_f=0=

(

25

)

=

₀

−

⇒

=

−

0

Reemplazando este valor de

a

en (2*) tendremos

2

2

2

)

(

400

)

(

₀ 0 0

2 0 0

t

v

t

v

t

v

s

t

t

v

t

v

m

t

s

s

_f

=

=

=

+

−

⇒

_f

=

−

=

Es decir:

v

₀

=

2

(

400

m

)

/(

25

s

)

V0=32m/s

Con éste dato aplicamos nuevamente la ecuación

t

v

a

=

−

0 , de manera tal que:

a = (-32 m/s)/(25 s)

a = -1,28 m/s ²

2.7 La velocidad como ente vectorial

Hasta el momento consideramos exclusivamente el movimiento rectilíneo. En el caso general de un movimiento en el espacio, la posición, en función del tiempo, está dada como en (2.5) por una función vectorial (radio vector)

r r(t) → →

= (2.5) que implicaba

) (

) (

) (

t z z

t y y

t x x

= = =

(2.5 a)

Figura 2.7

Supongamos que tenemos dos posiciones sucesivas en la trayectoria, que denominaremos P y P’, y que corresponden a dos instantes de tiempo t y t’. Dichas posiciones están señaladas por los vectores

→ r y

→ '

r como se muestra en la Figura 2.7. El vector

∆

→

r

=

→

r

'

−

→

r

=

(

x

−

x

'

,

y

−

y

'

,

z

−

z

'

)

, se denomina vector desplazamiento del punto material entre los instantes t y t’. Las componentes de dicho vector, en el sistema cartesiano, estarán dadas por:

z

z

z

r

y

y

y

r

x

x

x

r

z y x

∆

=

−

=

∆

∆

=

−

=

∆

∆

=

−

=

∆

'

'

'

(2.27)

Físicamente el vector desplazamiento no tiene en particular un significado en sí mismo, pues no nos brinda ninguna información sobre el recorrido del móvil entre los puntos P y P’ (es decir, entre los instantes t y t’ ). Simplemente nos dice cuál es la posición del punto respecto a la posición que tuvo en un instante anterior.

Si P’ se va aproximando a P, el vector desplazamiento tiende a confundirse cada vez más con la trayectoria. En particular, si P’→P, el módulo de

→

∆r tiende a confundirse con la distancia ∆s (arco de curva) medida sobre la curva entre t y t’. Al mismo tiempo el vector ∆r ∆t

→

t

r

lím

v

t

∆

∆

=

→

→ ∆ →

0

(2.28)

La dirección de →

ves tangente a la trayectoria. El sentido de →

v representa el sentido del movimiento sobre la trayectoria. El vector

→

ves el vector velocidad.

Figura 2.8 El vector

→

v, de acuerdo a como fuera definido en (2.28), implica la existencia del límite del cociente incremental; expresando de esta forma la continuidad del movimiento en el espacio. Las componentes del vector velocidad, según una terna de ejes cartesianos ubicados sobre el punto de movimiento, estarán dadas por:

dt

dx

t

x

v

t

x

=

∆

∆

=

→ ∆

lim

0

dt

dy

t

y

v

t

y

=

∆

∆

=

→ ∆

lim

0

(2.29)

dt

dz

t

z

v

t

z

=

∆

∆

=

→ ∆

lim

0

______________________________________________________________________

Ejercicio de aplicación 5:

Un bateador en la Figura 2.9, golpea una pelota de modo que ésta adquiere una velocidad inicial v₀ =37.0m/seg con un ángulo respecto al piso 0

0 =53.1

α , en un

lugar donde la gravedad es_{g =9.80m/s}2

a) Calcule la posición de la pelota, el módulo de su velocidad y dirección cuando

. 0 . 2 s t=

b) Determine cuando la pelota alcanza el punto más alto y su altura h en ese punto. c) Obtenga el alcance horizontal R, es decir, la distancia horizontal desde el punto de partida hasta donde la pelota toca el suelo.

Utilizaremos el sistema de coordenadas en el plano (x,y) mostrado en la Figura 2.10. El

vector velocidad

→

0

v puede ser descompuesto en la forma:

v

_0x

=

v

→₀

cos

α

₀= 22.2 m/s. y

v

_0y

v

₀

sen

α

₀

→

=

=29.6m/s.

x=

(

v

→₀

cos

α

₀

)

t

(no hay ninguna aceleración en la direcciónx)

y= _{0 0} 2

2

1

)

(

v

→

sen

α

t

−

g

t

a) Para t=2.0s. tenemos que:

x= 44.4 m. e y= 39.6 m.

Figura 2.9

Empleando la (2.21) en cada dirección tendremos que parat=2.0s. :

.

/

0

.

10

.

/

2

.

22

0 0

s

m

gt

v

v

s

m

v

v

y y

x x

=

−

=

=

=

La componente y de la velocidad es positiva, o sea que la pelota todavía va en ascenso (ver Figura 2.19). El módulo y dirección de la velocidad se obtienen de

0 2

2

2

.

24

)

(

arctan

tan

.

/

3

.

24

=

=

⇒

=

=

+

=

→

y x

y x

y x

v

v

v

v

s

m

v

v

v

α

α

La dirección de la pelota es de 24.20 sobre la horizontal.

b) En el punto más alto, la velocidad vertical v_y =0. ¿Cuándo sucede esto? Llamemos a ese instante t₁. Entonces:

v

_y

=

0

=

v

_oy

−

gt

₁

₁ 0

3

.

2

s

.

g

v

t

=

y

=

La altura h es el valor de y a t=t₁

c) Obtendremos el alcance horizontal en dos pasos. Primero, ¿cuándo cae la pelota al suelo? Esto ocurre cuando y=0, digamos a t=t₂; entonces:

_{0 2 2}2

2

1

0

v

t

g

t

y

=

=

_y

−

Esta es una ecuación cuadrática en t₂ que admite dos soluciones: ₂

0

₂

2

0

6

.

04

s

.

g

v

t

y

t

=

=

y

=

Efectivamente hay dos instantes en los que y=0; el instante inicial t₂ =0 cuando la pelota parte del suelo y t₂ =6.04s. cuando regresa luego de ser golpeada por el bateador. Notemos que t₂ =2t₁, es decir el doble del tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima. El tiempo de ascenso es igual que el de descenso (Esto siempre ocurre si los puntos inicial y final están a la misma altura, despreciando la resistencia del aire). El alcance horizontal R es el valor de x para t =t₂(instante en que la pelota toca el suelo). Entonces:

R

=

v

_0x

t

₂

=

134

m

.

Es interesante calcular la componente vertical de la velocidad cuando la pelota toca el suelo. Esto se calcula fácilmente, de la forma:

v

_y

=

v

_0y

−

g

t

₂

=

−

29

.

6

m

/

s

.

Es decir, v_y(t=t₂) es igual en valor absoluto que v_oy, pero en dirección opuesta.

2. 8 La aceleración como ente vectorial Podemos definir un vector aceleración como:

t

v

a

t

∆

∆

=

→

→ ∆ →

0

lim

(2.30)

donde

→ → →

−

=

∆

v

v

'

v

. Surge una diferencia fundamental con el caso del movimiento

rectilíneo, pues aparece en la expresión (2.30)

→

∆

v

; es decir, la variación del vector velocidad. La aceleración

→

a puede ser distinta de cero, aún si el módulo de

→ v fuese constante, con tal que varíe su dirección. En otras palabras el movimiento podría ser acelerado aún cuando la velocidad en valor absoluto se mantuviera constante. Sea el caso de un movimiento sobre una trayectoria plana como muestra la Figura 2.10. Tenemos dos posiciones sucesivas P1 y P2 en los instantes t1 y t2. El vector aceleración instantánea será:

1 2

1 2 1 2

lim

t

t

v

v

a

t

t

−

−

=

→ →

→ →

(2.31)

Para hacer la diferencia

→ →

− ₁

2 v

v en forma geométrica, hay que llevar ambos vectores a

un mismo origen (ver Figura 2.10). El vector

→

sentido que

→

∆v, en el límite cuando P2→ P1. Supongamos por el momento que

→ →

= ₁

2 v

v = cte; es decir, que el movimiento recorre porciones iguales de trayectoria

en tiempos iguales. En este caso en el límite cuando P2→ P1 (o sea ∆α →0 ver Figura 2.11),

→

∆vsea hace perpendicular a

→

v, siendo su módulo:

∆

=

∆

α

→ →

v

v

(2.32)

(Recordar que si ∆α →0, sen(∆α)→∆α)

Figura 2.10

Por lo tanto, el vector aceleración será perpendicular al vector velocidad, su sentido dirigido hacia la parte cóncava de la trayectoria, siendo su módulo:

t v t v a

∆ ∆ = ∆ ∆ =

→ →

→ _α

(2.33)

Figura 2.11

Observando nuevamente la Figura 2.11 con los vectores velocidad aplicados a los

puntos P1 y P2, vemos que en el límite P2→ P1,

∆

s

=

v

∆

t

→

, o sea

→

∆

=

∆

t

s

/

v

.

ρ

α

α

2 2

→

→ →

→

=

∆

∆

=

∆

∆

=

v

s

v

t

v

a

(2.34)

La aceleración de un movimiento curvo con v =cte →

(movimiento curvilíneo uniforme)

se denomina aceleración centrípeta. Su módulo está dado por la (2.34) y su dirección es perpendicular a la trayectoria, mientras que su sentido es hacia el centro de curvatura.

En el caso general, en que

→

v no es constante, la aceleración no tiene la dirección de la

normal. En este caso se puede descomponer el vector

→

∆ven dos direcciones: una normal a la trayectoria y otra tangente a la misma (ver Figura 2.12), obteniendo los vectores

→

∆

v

_ny

→

∆

v

_t . En el límite P2→ P1,

→

∆v_n es perpendicular a la trayectoria, y de módulo:

∆

=

∆

α

→ →

v

v

_n (2.35)

Por su parte,

→

∆v_t tiene la dirección de la tangente y módulo:

→ →

→ →

∆

=

−

=

∆

v

_t

v

₂

v

₁

v

(variación del módulo de la velocidad) (2.36)

Figura 2.12

El vector aceleración aparece entonces como suma de dos vectores:

→ → →

→ ∆ →

→ ∆ →

→ ∆ →

+

=

∆

∆

+

∆

∆

=

∆

∆

=

t _{c t}

t n

t

t

t

a

a

v

t

v

t

v

a

0 0

0

lim

lim

lim

(2.37)

El primer vector,

→ c

a

(aceleración centrípeta) tiene la dirección normal, el sentido hacia la parte cóncava de la curvatura y el módulo dado por la (2.34). Representa la variación de la dirección de la velocidad. El segundo vector tiene la dirección de la

tangente y módulo dado por

a

_t

d

v

/

dt

→ →

y representa la variación del módulo de la velocidad de la partícula sobre la curva. En resumen:

∧ →

∧ →

→

+

=

t

dt

v

d

n

v

a

ρ

2

(2.38)

donde

∧

t

es el vector unitario tangente, dirigido en sentido del movimiento, y

∧

n

el vector unitario normal, dirigido hacia la parte cóncava (ver Figura 2.13)

Figura 2.13.

Si el movimiento ocurre sobre una recta (trayectoria recta) ρ =∞(radio de curvatura infinito) y sólo puede existir aceleración tangencial. Si ρ =cte tenemos un movimiento

circular. Si

ρ

=

cte

y

→ t

a

=0 estamos frente el caso de un movimiento circular uniforme.

2.9 Velocidad angular

Consideremos el caso de una partícula que en un intervalo de tiempo

∆

t

se desplaza desde un punto P a un punto P’ (ver Figura 2.14). El radio vector barre en ese intervalo de tiempo un ángulo

∆

φ

. Se define la velocidad angular instantánea como:

t

t

∆

∆

=

Ω

→ ∆

φ

0

lim

(2.39)

Figura 2.14

Merece la pena hacer un comentario sobre la velocidad angular: Esta velocidad es más natural para seres humanos y animales que la velocidad lineal. En efecto, tanto los animales como el hombre no tienen percepción sensorial para las velocidades lineales, pero sí para las velocidades angulares. El ojo registra únicamente movimientos o desplazamientos angulares, como consecuencia de proyectar el mundo tridimensional sobre el plano bidimensional de la retina. Al observar el movimiento de un móvil, sólo registramos la velocidad angular, respecto de nuestros ojos; es el cerebro, a través de la experiencia, el que transforma la percepción de los movimientos angulares en velocidades lineales. Lógicamente para ello debemos conocer el tamaño real del objeto en movimiento y con ello la distancia a la que se encuentra.

La relación entre la velocidad angular y la velocidad lineal puede ser determinada de la forma siguiente (ver Figura 2.15):

→ →

→ →

→

=

=

=

=

Ω

r

sen

v

dt

r

sen

dr

dt

r

AP

dt

d

φ

α

α

(2.40)

Figura 2.15

En la noción de velocidad angular, debería incluirse más información que el mero desplazamiento angular en un tiempo dt. Efectivamente, al desplazar el radio vector quedan automáticamente definidos el plano (OPP’) sobre el cual se realiza el desplazamiento y un sentido de giro (sentido del ángulo dφ). Esto significa que la velocidad angular no puede ser representada como una magnitud escalar; es un vector

cuya dirección está dada por la normal al plano (OPP’ ) barrido por el radio vector

→ r; y cuyo sentido deberá relacionarse con el sentido de giro del radio vector en ese plano.

Entonces, definiremos el vector velocidad angular ,

→

Ω, cuyo módulo está dado por la

(2.40) ( Ω =dφ/dt) y dirección normal al plano (OPP’ ) definido por

→ ry

→ dr (o

2

→ → →

→

_×

=

Ω

r

v

r

(2.41)

y que su módulo

→

Ω , está dado por la (2.40).

2.10 Composición de movimientos

Hemos mencionado en la sección 2.1 que el concepto de movimiento es relativo. Supongamos que un cuerpo A se mueve respecto a un cuerpo B. y que éste se mueve respecto de un cuerpo C. Es necesario dar la relación que vincula la descripción de estos dos movimientos con la descripción del movimiento de A respecto de C.

Sea

→

r el vector posición de una partícula respecto de un sistema de coordenadas dado (ver Figura 2.16). Si ahora cambiamos el sistema de referencia con origen en el punto O y sistema de coordenadas (x, y, z ); a un nuevo sistema con origen en O’ y un sistema de coordenadas con ejes paralelos al anterior. El nuevo vector de posición será

→

' r . Evidentemente, de acuerdo a la Figura 2.17, se cumple la relación:

→ → →

+

=

r

R

r

' (2.42)

Figura 2.17 Si ambos sistemas se encuentran en reposo mutuo,

→

R

= es constante, tenemos al derivar

(2.42) que

=

=

→ →

dt

r

d

v

' '

/

→ →

=

v

dt

r

→ →

=

V

dt

R

d

(2.43)

donde

→

V es la velocidad del sistema O( x, y, z ) respecto del O’( x’, y’, z’ ). En este caso tenemos, derivando la (2.42) respecto al tiempo

→ → → →

→ →

+

=

+

=

=

d

r

dt

d

r

dt

d

R

dt

v

V

v

' '

/

/

/

(2.44)

→

'

v es la velocidad de P respecto al sistema fijo O’( x’, y’, z’ ). Se la suele denominar velocidad absoluta, mientras que la velocidad respecto del sistema móvil

→ v, se denomina velocidad relativa, aunque estas denominaciones no son muy adecuadas desde el punto de vista físico. Lo correcto es decir que

→

ves la velocidad respecto del sistema O( x, y, z ) y

→

'

v la velocidad respecto al O’( x’, y’, z’ ).

En síntesis un movimiento dado puede descomponerse en dos o más movimientos independientes superpuestos. Ello equivale a descomponer el vector velocidad en dos o más vectores sumandos. En particular, las tres componentes del vector velocidad

z y x v yv

v , , pueden ser consideradas como las velocidades de tres movimientos independientes según los ejes de coordenadas.

______________________________________________________________________

Ejemplo: Veamos un ejemplo muy simple representado por la Figura 2.17.

Imagine que viaja hacia el norte, por un tramo recto de ruta, a una velocidad de 88 Km/h. Un camión se aproxima, en dirección contraria por el otro carril, a una velocidad de 104 Km/h. Nos preguntamos:

a) ¿Qué velocidad tiene el camión respecto a usted? b) ¿Qué velocidad lleva usted respecto al camión?

c) ¿Cómo cambian las velocidades una vez que los dos vehículos se han cruzado?