ECUACIONES DIFERENCIALES OBJETIVO
Identificar una ecuación diferencial, identificar las soluciones y resolver ecuaciones diferenciales de primer orden de variables separables
Modelar situaciones problemáticas relacionadas con crecimiento o decrecimiento exponencial, esparcimiento de un rumor, de una moda, de una epidemia, entre otras.
Aplicar la ley de enfriamiento de Newton. DEFINICIÓN:
Una ecuación diferencial es una ecuación (o igualdad ) que contiene una o mas derivadas de una funcion desconocida de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
CLASIFICACIÓN
Se clasifican de acuerdo a : A) AL TIPO
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Una ecuación diferencial es ordinaria si contiene derivadas de una funcion de una sola variable independiente, dicha ecuación lleva la notación ordinaria
dx dy
,y',f'o 2
2
dx y d
, y''
EJEMPLO . xy dx dy =
y
''
+
y
=
0
Una ecuación diferencial es parcial si contiene derivadas de una funcion de dos o mas variables independientes lleva la notación parcial
x
∂
∂
EJEMPLO =0
∂ ∂ + ∂ ∂
y u x u
B) AL ORDEN
Es el orden de la mayor derivada que aparece en la ecuación Es de primer orden si solo tiene primera derivada
Es de segundo orden si tiene segunda derivada dx
y d2
o y''
B) DE ACUERDO AL GRADO : es el exponente de la mayor derivada
EJEMPLO
0
)
''
(
5
)
'
(
y
3−
y
2+
y
=
'' y
es de segundo grado porque 2 es el exponente de la mayor derivada
EJEMPLOS
de ordinarias de primer grado
SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
La solucion es una funcion de la forma y = f(x)en forma explicita si satisface la ecuación al reemplazar y y sus derivadas o tambien la relacion G(x, y) = 0 Si al derivarla implícitamente la satisface
EJEMPLO
EJEMPLO
2 x
e
y= es una solución EXPLICITA de la ecuación diferencial xy dx dy
2 = .
Porque la derivada de la exponencial es al reemplazar la derivada y la
2
x
e
y
=
y
'
=
2
xe
x2y se satisface la ecuación porque da una igualdad
xy
xy
2
2
=
SOLUCIONES IMPLÍCITAS una relación G(x, y) = 0
EJEMPLO
La ecuación de primer orden
y
x
dx
dy
=
−
tiene como solucion la familia C
y
x2 + 2 = por lo tanto se deriva implícitamente y se despeja el dy dx
Así 2 +2 =0 dx dy y
x entonces
y
x
dx
dy
2
2
−
=
y simplificando se cumpley
x
dx
dy
=
−
LA SOLUCIÓN GENERAL de una ecuación diferencial
Al resolver una ecuación diferencial de orden 2, se obtiene una familia biparametrica de curvas o funciones que contienen 2 parámetros
c
1c
2. Al resolver una ecuación diferencial de primer orden, se obtiene una familia de curvas uníparamétricas o funciones que contienen un solo parámetros o constantec
1SOLUCIÓN PARTICULAR
Una solución de una ecuación diferencial que no contiene parámetros arbitrarios se llama solución particular.
EJERCICIO 2.
Determine si la funcion
y
=
2
e
−x+
xe
−x es solucion de la ecuación diferencialy
''
+
2
y
'
+
y
=
0
SOLUCION : Se deriva dos veces y se reemplaza y y sus derivadas en la ecuación
x x
xe
e
y
=
2
−+
−x x
x
e
xe
e
y
'
=
−
2
−−
−+
−x x
xe
e
y
'
=
−
−−
−x x
x
e
xe
e
y
''
=
−+
−−
− =x
xe
y
''
=
−Reemplazando en la ecuación
x
xe
− +2(
−
e
−x−
xe
−x)
+2
e
−x+
xe
−x=0ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ECUACIONES SEPARABLES
Definición :
Una ecuación diferencial es separable si es de la forma
) (
) (
y g
x f dx dy =
o )
( ). (x g y f
dx dy
= es decir productos de x con y o cociente de x con y
La solución de éste tipo de ecuaciones se puede expresar de la siguiente manera
Se hace separación de variables juntando en lados contrarios de la igualdad los términos de x con el dx y en el otro lado de la igualdad los términos que tengan y con el dy y luego se integra en ambos lados de la ecuación con respecto a la variable indicada en cada caso por lo tanto se obtiene :
∫
g
(
y
)
dy
=
∫
f
(
x
)
dx
o∫
=∫
f x dx yg dy
) ( )
1-EJEMPLO Resolver xy
dx dy
= separando variables xdx y
dy
= e integrando xdx y
dy
∫
∫
= =c x y= +
2 ln
2
esta es una solucion implícita,aplicando exponencial para despejar y y obtener una solucion explicita se obtiene :
c
x
y
=
+
2
ln
2
c x y
e
e
=
+2
2 ln
por lo tanto
c x
e
y
=
+2
2
aplicando propiedades de exponentes y cambiando c por c e
c x
e
e
y
2
2
=
2
2
x
ce
y
=
familia uníparamétrica de soluciones2-EJEMPLO
x y dx
dy = +1
separando variables
x
dx
y
dy
=
+
1
integrandoln
y
+
1
=
ln
x
+
c
Aplicando propiedades de logaritmo y cambiando c por lnc se obtiene
c
x
y
1
ln
ln
ln
+
=
+
xc
y
1
ln
ln
+
=
xc
y
+
1
=
xc
3-EJEMPLO 3 3 2 2 − + − − − + = x y xy x y xy dx dy
no es separable entonces se recurre a la factorizacion
agrupando términos semejantes se obtiene ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( − + + − − − + + = x y xy x y xy dx dy factorizando ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( − + − − − + = x x y x x y dx dy ) 1 )( 3 ( ) 1 )( 2 ( + − − + = y x y x dx dy separando variables ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( − + = − + x x dx dy y y ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( − + = − + x dx x y dy y integrando dx x x dy y y ) ) 3 ( 2 ( ( ) 1 1 ( − + = − +
∫
∫
y haciendo división de polinomiosdx x x dy y y ) ) 3 ( 5 ( ) 1 2 ( − + = − +
∫
∫
c
x
x
y
PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Consiste en resolver una ecuación diferencial con condiciones iniciales y de la familia de funciones solucion determinar una solucion particular
EJEMPLO 4- Resolver 2 ) 1 ( ) 1
( − 2 =
= y y
dx dy Separando variables dx y dy = − 2 ) 1 ( integrando
∫
dx y dy∫
= − 2 ) 1 ( c x y− = +− ) 1 (
1
reemplazando las condiciones iniciales se obtiene el valor de la constante c + = − − 1 ) 1 2 ( 1 entonce c=-2 Y la solucion particular es
2 )
1 (
1 = − −
−
x y
y x− + =
− 1 ) 2 ( 1 1 ) 2 ( 1 + − − = x y 5-EJEMPLO
Resolver
y
′
−
xe
x=
0
Solución:Al escribir y′ como
dx dy
, separar las variables e integrar, tenemos:
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES
Crecimiento exponencial
Sea P(t) la cantidad de habitantes en un instante cualquiera , entonces la rapidez con que la población cambia es proporcional a la cantidad de habitantes presentes en dicho instante
El modelo matemático se describe mediante la ecuación diferencial
kP
dt
dP
=
donde la condición inicial es para t=0 P(0)= separando variables
O
P
kdt P dP =
integrando kdt
P dP
∫
∫
= se obtienec kt P = +
ln aplicando exponencial
c kt P
e
e
ln=
+c
e
P
=
ktkt O
e
P
P
=
EJEMPLO
En el pueblo N en el año 1.998 habían 6.500 habitantes, en el año 2.002 habían 6.720 habitantes, si la rapidez con que la población cambia es proporcional a la cantidad de habitantes presentes en dicho instante
- ¿cuántos habitantes habrán en el año 2.008? - ¿cuantos habitantes habían en el año 1.995? - ¿en que año habrán 12.000 habitantes?
kP
dt
dP
=
P(4)=6.720
kt
e
P
=
6
.
500
4
500
.
6
720
.
6
=
e
k4
500
.
6
720
.
6
ke
=
k
4
)
500
.
6
720
.
6
ln(
=
k
=
)
500
.
6
720
.
6
ln(
4
1
K=0,69415
t
e
P
=
6
.
500
0,69314 por lo tanto se reemplaza t por 10) 10 ( 69314 , 0
500 . 6 ) 10
( e
P =
entonces 10 años después habra P(10)=12.998 habitantes
Y 3 años antes habrían
) 3 ( 69314 , 0
500 . 6 ) 3
(− = e −
P
P(-3)=5279 habitantes
t
e
0,69314500
.
6
000
.
12
=
aplicando logaritmoln( 65 120
Los problemas de crecimiento y decrecimiento exponencial aparecen en muchas teorias que involucran crecimiento y cumplen la ecuación diferencial
kx dx dy =
0
) (t x x o
con la condición = donde k es una constante En biología
la rapidez con que en cada instante ciertas bacterias se multiplican es proporcional a la cantidad de bacterias presentes en dicho instante
Para intervalos de tiempos cortos ,la magnitud de una población de animales pequeños ,como de roedores puede predecirse la solucion del problema de valor inicial
En física proporciona un modelo para aproximar la cantidad restante de una sustancia que se desintegra radiactivamente .
también proporciona una modelo para aproximar la temperatura de un cuerpo que se enfría
En química la cantidad restante de una sustancia durante ciertas reacciones
) (T TO
k dt dT
− =
kdt T
T dT
O
∫
∫
=− ) (
c kt T
T − o = +
ln
c kt T
T
e
e
ln − O=
+c
e
T
T
=
O+
ktECUACION DIFERENCIAL DE LA LOGISTICA
Cuando la población es muy grande el modelo de crecimiento
kP
dt
dP
=
no proporciona un modelo muy exacto pues al tener en cuenta los efectos de contaminación, demanda excesiva y competitiva de alimentos, combustible origina un estancamiento en el crecimiento de la población entonces la ecuaciones
)
(
a
bP
P
dt
dP
=
−
donde a>0 es la tasa media constante de natalidad y la tasa media de mortalidad en un instante cualquiera es proporcional a la población P(t) entonces
dt dp P 1
es la tasa de crecimiento por individuo en una población entonces
= dt dP P 1
(tasa media de natalidad) – (tasa media de natalidad)=a-bP
La solucion de la ecuación diferencial es por fracciones parciales después de separar variables
P
(
a
bP
)
dt
dP
=
−
dt
bP
a
P
dP
=
−
)
(
dt
bP
a
P
dP
∫
∫
=
−
)
(
Después de resolver las fracciones parciales y aplicando propiedades de exponencial y logaritmo para despejar P(t) se obtiene :
at
e bc
ac t
P −
+ =
)
( donde c es una constante si la constante
at O o
O
e bP a bP
P
c −
− + =
) (
Un rumor que se difunde en una población M
Sea N=N(t) numero de personas que conocen el rumor en el tiempo t , se supone que los que conocen el rumor lo difunden en forma aleatoria entre la población y que quienes lo escuchan se convierten en difusores del rumor ,si cada conocedor del rumor lo comunica a k individuos por unidad de tiempo (algunos de esos individuos pueden conocer ya el rumor ).En una unidad de tiempo casi cada persona de la población N informa el rumor a k personas entonces el numero total de personas que oyen el rumor en un tiempo unitario es Kn ,sin embargo, estamos interesados solo en nuevos conocedores entonces La proporción de la población que no conoce el rumor es
M N M −
por lo tanto el numero total de nuevos conocedores del rumor es Nk(
M N M −
) que se puede escribir asi :
) (M N N
M
k −
por lo tanto
)
(
M
N
N
M
k
dt
dN
=
−
) (M N KN
dt
dN = −
donde K= M
k
y la solucion de esta ecuación es la funcion logística ct
be M
N −
+ =
1 Ejemplo
En una universidad de 45.00 estudiantes ,un estudiante de sociología esta investigando la difusión de un rumor en el campus ,el determina que 300 estudiantes conocen el rumor , después de una semana determina que 900 lo conocen , hallar el numero de estudiantes que conocerán el rumor después de 4 semanas de comenzada la investigación, suponiendo un crecimiento logístico
Sea N=N(t) numero de estudiantes que conocen el rumor t semanas después de que comienza la investigación entonces
t c
be M
N −
+ =
1 aquí el tamaño de la población es de 45.000 y cuando t=0 N=300 entonces
b
+ =
300 000 . 45 1+b=
1+b=150entonces b=149por lo tanto c
e
N −
+ =
149 1
000 . 45
cuando t=1 entonces N=900
900 000 . 45 149
1+ e−c = entonces
50 149
1+ e−c = por lo tanto 149
49
=
−c
e por lo tanto
t
N
) 149
49 ( 149 1
000 . 45
+
= cuando t=4
4
) 149
49 ( 149 1
000 . 45
+ =
N es aproximadamente 16.000estudiantes que conocen el
rumor después de 4 semanas
