Teor´ıa de funciones de una variable compleja pdf

Felipe Zald´ıvar

Teor´ıa de funciones de una

variable compleja

c

La teor´ıa de funciones de variable compleja tiene una historia ilustre y se halla colocada en un punto privilegiado en el gran ´arbol de la matem´atica: es an´alisis, por supuesto, es geometr´ıa fundamentalmente (variedades complejas) y es topo-log´ıa algebraico-diferencial, pero tambi´en es b´asica para la teor´ıa de n´umeros. Todo matem´atico debe conocer los fundamentos de la teor´ıa de funciones complejas de una variable compleja y estas notas pretenden servir de introducci´on a los funda-mentos de esta teor´ıa: desde la definici´on de derivadas y funciones holomorfas, con los ejemplos m´as importantes discutidos ampliamente (polinomios, funciones racio-nales (especialmente las transformadas de M¨obius), exponencial compleja y ramas del logaritmo complejo, potencias complejas y ra´ıces), integral de l´ınea y teor´ıa de Cauchy (f´ormula integral de Cauchy y el teorema de Cauchy en sus versiones ho-mot´opica y homol´ogica), aplicaciones de estos resultados (Liouville, teorema fun-damental del ´algebra, teorema de la identidad, m´odulo m´aximo, analiticidad de las funciones holomorfas, series de potencias, lema de Schwarz, teorema de Rouch´e, teorema de Runge), singularidades (removibles, esenciales, polos), expansiones de Laurent, residuos, funciones meromorfas, c´alculo de integrales impropias, ceros y polos de funciones meromorfas, el teorema de Casorati-Weierstrass, el teorema de Mittag-Leffler, el teorema de la aplicaci´on de Riemann, algunas funciones especia-les (la funci´on gamma de Euler, la funci´on zeta de Riemann, productos infinitos) y los teoremas de Picard. El enfoque usado en estas notas refleja el gusto del autor por la geometr´ıa compleja y tiene una deuda con los autores y libros que lo introdujeron al tema, especialmente el libro de Heinz [3] y el de Ahlfors [1], y las ense˜nanzas de Z. E. Ramos.

Ciudad de M´exico, Junio de 2011 Felipe Zald´ıvar.

´Indice general

Prefacio. . . V

1. Topolog´ıa del plano complejo. . . 1

1.1. La topolog´ıa del plano complejo . . . 10

1.2. Sucesiones y series de n´umeros complejos . . . 22

1.3. Funciones de una variable compleja . . . 28

1.4. La esfera de Riemann y el plano complejo extendido . . . 33

2. Derivaci´on . . . 37

2.1. Derivadas . . . 37

2.2. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann . . . 43

2.3. La funci´on exponencial y el logaritmo complejo . . . 52

3. Integral de l´ınea . . . 63

3.1. Trayectorias . . . 63

3.2. Integral de Riemann-Stieljes . . . 69

3.3. Integral de l´ınea . . . 74

4. Teor´ıa de Cauchy local. . . 83

4.1. El teorema de Cauchy en una regi´on convexa . . . 83

4.2. Series de potencias . . . 93

4.3. Consecuencias de la teor´ıa de Cauchy local . . . .103

5. Teor´ıa de Cauchy global . . . .113

5.1. El ´ındice de una curva cerrada . . . .113

5.2. El teorema de Cauchy: versi´on homol´ogica . . . .117

5.3. El teorema de Cauchy: versi´on homot´opica . . . .121

5.4. La conducta local de una funci´on holomorfa . . . .128

6. Singularidades. . . .133

6.1. Singularidades aisladas . . . .133

6.2. Series de Laurent . . . .141

VIII ´Indice general

6.3. El teorema del residuo . . . .152

6.4. Integrales impropias y el teorema del residuo . . . .158

7. Aplicaciones conformes. . . .167

7.1. Funciones conformes . . . .167

7.2. Transformadas de M¨obius . . . .175

7.3. El teorema de la aplicaci´on de Riemann . . . .188

Referencias. . . .199

Topolog´ıa del plano complejo

El campo de n´umeros complejos C=R×R tiene como elementos los pares

ordenados de n´umeros reales (a,b) con la sumadefinida componente a compo-nente, i.e., (a,b) + (c,d :) = (a+c,b+d), y el producto definido por la regla (a,b)(c,d):= (ac−bd,ad+bc). Las propiedades de campo se verifican directa-mente (vea el ejercicio1.1), en particular el neutro aditivo es el(0,0)y el neutro multiplicativo es el(1,0). Usaremos letras comou,v,w,zpara representar a n´umeros complejos. Como es usual se definen las operaciones derestaparaz,w∈Ccomo

z−w:=z+ (−w)(sumando el inverso aditivo dew) ydivisi´on z/w, para w6=0, como _wz :=zw−1(producto por el inverso multiplicativo dew).

Recordando que los n´umeros reales se pueden representar geom´etricamente co-mo puntos en una recta, larecta real, y esta recta la podemos incluir en el plano complejo de varias formas, por ejemplo como uno de los ejes coordenados; escoje-mos una de estas inmersiones de_Ren_Cde tal forma que se preserven las operacio-nes de ambos campos y esta inmersi´on es la que identifica la recta real_Rcon el eje horizontal deC, es decir, se define la funci´onϕ:R→Cmedianteϕ(a):= (a,0) paraa∈R. As´ı, el campo de n´umeros realesRest´a incluido naturalmente enC, e

identificaremos al n´umero reala∈Rcon el complejoϕ(a) = (a,0). Como la recta realRha sido identificada con el eje horizontal deC, llamaremos a este eje eleje

realdeC. Por razones hist´oricas al eje vertical deCse le llama eleje imaginario.

Observemos ahora que dado cualquier n´umero complejoz= (a,b)∈C, lo podemos

escribir como

(1) z= (a,b) = (a,0) + (0,b) con(a,0)en el eje real y(0,b)en el eje imaginario:

◦

-6

(a,b)

*

(a,0) (0,b)

•

• ◦

Recordemos ahora que(a,0) =apor la identificaci´on que hicimos antes. Para el otro sumado(0,b), observemos que en el eje real se tiene al neutro multiplicativo 1= (1,0)y si escogemos en el eje imaginario al complejoi:= (0,1)∈_Cal que podemos llamar launidad imaginariaobservamos que

i2= (0,1)(0,1) = (−1,0) =−1,

es decir,i2=−1 por lo quei∈Ces una ra´ız cuadrada de−1, algo que ciertamente

no sucede enRporque el cuadrado de cualquier real es≥0. Notemos ahora que

para todo complejo(0,b)en el eje imaginario se tiene que (0,b) = (b,0)(0,1) =bi

de tal forma que todo n´umero complejo en el eje imaginario es un m´ultiplo real del complejoi. Substituyendo estas observaciones en la igualdad (1) de arriba vemos que todo n´umero complejoz= (a,b)∈Cse puede escribir de la forma:

z= (a,0) + (0,b) =a+bi

cona,b∈_Ry donde el complejoisatisface quei2=−1. El n´umero realase llama laparte realdel complejoz=a+biy el n´umero realbse llama laparte imaginaria del complejoz=a+bi. Se suele usar la notaci´on

a=Re(z) y b=Im(z).

Con esta nueva notaci´on las operaciones de suma y producto enCtoman la forma

siguiente. Para lasuma, dados dos complejosz=a+biyw=c+di, su suma es: z+w= (a+bi) + (c+di) = (a+b) + (b+d)i,

es decir, se suman las partes reales y aparte se suman las partes imaginarias. Para el producto, dados dos complejosz=a+biyw=c+di, su producto es:

zw= (a+bi)(c+di) =ac+adi+bci+bdi2 usando la distributividad =ac+adi+bci−bd porquei2=−1

= (ac−bd) + (ad+bc)i separando partes reales de imaginarias.

Observamos que con esta notaci´on, la f´ormula para el producto de dos complejos es entonces natural. Antes de hacer unos ejemplos con las operaciones deC

introduci-remos un par de conceptos asociados a n´umeros complejos:

Conjugaci´on.Dado un n´umero complejoz=a+bise define suconjugado z:= a−bicambiando el signo de la parte imaginaria dez. Dadosw,z∈_C, as propiedades siguientes de la conjugaci´on son f´aciles de demostrar:

(1) z=z.

(4) Siz6=0, entonces (z−1_{) = (z)}−1_. (5) Siz6=0, entonces w/z=w/z.

(6) z∈_R⇔z=z(es decir, un n´umero complejo es un n´umero real si y s´olo si es igual a su conjugado).

M´odulo.Dado un n´umero complejoz=a+bipens´andolo como un segmento diri-gido en el plano podemos considerar su longitud:

◦

-6

|z|

*

a b •

◦

y a esta longitud le llamamos elm´odulo del complejozy lo denotamos|z|. En la figura anterior observamos que se tiene un tri´angulo rect´angulo con catetosa,by con hipotenusa el m´odulo|z|, de tal forma que, por el teorema de Pit´agoras

|z|2=a2+b2 cona2+b2≥0 enR, por lo que|z|= +

√

a2_+b2_{y as´ı el m´odulo|z|es un n´umero} real positivo. Observemos ahora que siz=a+bientonces

z·z= (a+bi)(a−bi) =a2−(bi)2=a2+b2=|z|2,

por lo que

|z|= +√z·z.

Usando esta expresi´on para el m´odulo de un complejo, dadosw,z∈_C, se verifican f´acilmente las propiedades siguientes:

(1) |z|=|z|. (2) |zw|=|z||w|. (3) Siz6=0, entonces

w z

=

|w| |z|.

(4) |z+w| ≤ |z|+|w|(la desigualdad del tri´angulo).

Los dos conceptos anteriores facilitan ciertas operaciones enC. Por ejemplo

su-pongamos que queremos dividir un complejowentre un complejoz6=0. Entonces

(∗) w

z = wz

zz,

4−i 2+3i=

(4−i)(2+3i) (2+3i)(2+3i)=

(4−i)(2−3i) (2+3i)(2−3i)=

8−12i−2i+3i2 4+9 =5−14i

13 = 5 13−

14 13i.

Observaci´on 1.1.Es importante notar queen el campoCno puede existir una

rela-ci´on de orden compatible con las operaciones de_C, ya que cualquier clase positiva P(en el caso que existiera) debe contener al 1 deCy al cuadrado de cualquier

com-plejo6=0. Sin embargo, para el complejoz=ise tiene quei2=−1 que no puede estar en la (supuesta) clase positivaPdeC, por tricotom´ıa, ya que 1∈P.

Forma polar de un n ´umero complejo.Considere un n´umero complejoz=a+bi:

◦

-6

|z| α

*

a b •

◦

(1) Siz6=0, definimos suargumentocomo el ´anguloαentre el semieje real positivo y el segmento dirigido determinado porα(v´ease la figura anterior). Como es usual, el ´angulo se considera positivo si se mide en sentido contrario al de las manecillas del reloj y negativo en caso contrario. Observe tambi´en que el argumentoα no es ´unico, i.e., la asignaci´onz7→α no es una funci´on ya que podemos reemplazarα porα+2π ´o, en general, porα+2kπ, para cualquierk∈Z. Al complejoz=0∈C

no le asignamos un argumento.

(2) Ahora, siz6=0 yz=a+bi, consideremos el tri´angulo formado pora,by |z| (v´ease la figura anterior) donde observamos que|z| 6=0 y se tiene que:

a=|z|cos(α) y b=|z|cos(α) y por lo tanto

z=a+bi=|z|cosα+i|z|senα=|z|(cosα+isenα),

es decir, z=|z|(cosα+isenα), y a esta representaci´on dezla llamamos laforma polardel complejoz6=0.

Observaci´on 1.2.Para transformarz=a+bi6=0 a la forma polar se necesitan: el m´odulo dez, el cual se obtiene con|z|=√a2_+b2_{, y el argumentoα de z. Para} calcularlo observamos que comoz=a+bi6=0, entoncesa6=0 ´ob6=0. Sia6=0, entoncesα=arctan(b/a), y sib6=0, entoncesα=arccot(a/b). Con estos datos se tiene quez=|z|(cosα+isenα). Por otra parte, para cambiar de la forma polar z=|z|(cosα+isenα)a la formaa+bise calculan cos(α)y sen(α)y se multiplican por|z|.

Ejemplo 1.2.Encuentre la representaci´on polar dez=2+2i. En este ejemplo|z|= √

sigue que

z=|z|(cosα+isenα) =2 √

2(cosπ/4+isenπ/4).

Ejemplo 1.3.Escriba en la formaa+biel complejow=4(cosπ/3+isenπ/3). Esto es directo:

w=4(cosπ/3+isenπ/3) =41 2+i

√

32=2+2 √

3i.

La representaci´on polar de un n´umero complejo es ´util para calcular potencias o ra´ıces. Para esto, consideraremos primero el producto de n´umeros complejos dados en forma polar: dados dos n´umeros complejos en forma polar:

w=|w|(cosα+isenα), z=|z|(cosβ+isenβ), calculemos su producto:

wz=|w|[cosα+isenα]|z|[cosβ+isenβ] =|w||z|[cosα+isenα][cosβ+isenβ]

=|w||z|[cosαcosβ+icosαsenβ+isenαcosβ+i2senαsenβ] =|w||z|[(cosαcosβ−senαsenβ) +i(senαcosβ+cosαsenβ)] =|w||z|[cos(α+β) +isen(α+β)],

(la ´ultima igualdad se obtiene usando identidades trigonom´etricas para el seno y coseno de la suma de dos ´angulos). Resumiendo, se tiene que

(∗) wz=|w||z|[cos(α+β) +isen(α+β)].

La igualdad anterior nos dice que, para multiplicar dos complejos en forma polar: (1) Se multiplican los m´odulos correspondientes.

(2) Se suman los argumentos.

Las observaciones anteriores dan una interpretaci´on geom´etrica del producto de n´umeros complejos y la f´ormula (∗) ser´a ´util para calcular potenciasznconn≥0 entero, de un n´umero complejoz6=0. En efecto, siz=|z|(cosα+isenα), entonces

zn= (|z|(cosα+isenα))n=|z|n[cos(nα) +isen(nα)]

donde la ´ultima igualdad se demuestra f´acilmente por inducci´on sobre n usando la f´ormula para el producto (∗) de arriba. La f´ormula anterior para zn conn≥0 tambi´en es v´alida paran<0. Para probar esto observe que siz6=0 yn<0, entonces zn= (z−1)−ncon−n>0 y siz=|z|(cosα+isenα)entonces

z−1=|z|−1(cos(−α) +isen(−α))

zz−1=|z|[cosα+isenα]|z|−1[cos(−α) +isen(−α)] =|z||z|−1[cosα+isenα][cos(−α) +isen(−α)] =1[cos(α−α) +isen(α−α)]

=1[cos 0+isen 0] =1,

i.e.,|z|−1_[cos(−

α) +isen(−α)] =z−1es, en efecto, el inverso multiplicativo dez. Usando esta f´ormula paraz−1se sigue que siz6=0 yn<0:

zn= (z−1)−n donde−n>0

= |z|−1(cos(−α) +isen(−α))−n = |z|−1−n

[cos(−n(−α)) +isen(−n−α))] =|z|n_{[cos(nα) +isen(nα)].}

Hemos as´ı probado:

Proposici´on 1.1 (F´ormulas de De Moivre). Si z=|z|(cosα+isenα)y n∈Z,

entonces:

zn=|z|n[cos(nα) +isen(nα)].

u t

La f´ormula anterior nos dice que, en forma polar, es muy f´acil calcular potencias de complejos. Veremos a continuaci´on que calcular ra´ıces de complejos tambi´en es sencillo. As´ı, dado un n´umero complejoz=a+biy un enteron>1 queremos encontrar otro n´umero complejowtal quewn_{=z, i.e.,w=}√n_{z. Una primera} pre-gunta que se ocurre es: ¿cu´antos complejoswexisten que sean ra´ıcesn-´esimas dez? Aqu´ı observamos que siz=0 claramente la ´unica ra´ızn-´esima esw=0. Suponga-mos entonces quez6=0 y escrib´amoslo en forma polarz=|z|(cosα+isenα). Co-mo el complejowque buscamos debe satisfacer quewn=z, entonceswdebe ser6=0 tambi´en y por lo tanto lo podemos escribir en forma polar:w=|w|(cosθ+isenθ) de tal forma que para encontrar awdebemos hallar su m´odulo|w|y su argumento θ (y es de esperarse que ´estos aparezcan en t´erminos del m´odulo y argumento dez y del enterondado). Los detalles son como sigue: comown=z, usando la forma polar dewyz, y las f´ormulas de De Moivre, obtenemos:

(∗) |w|n_{[cos(nθ) +isen(nθ)] =|z|(cosα+isenα)}

y la igualdad de estos dos complejos implica que sus m´odulos son iguales, i.e., |w|n_{=|z|, por lo que}

(1) |w|=pn

|z|,

(2) θ=α+2kπ

n conk∈Z.

Las igualdades (1) y (2) definen complejoswcuya potencian-´esima esz, i.e., son ra´ıces n-´esimas de z. Hemos visto que se tiene un tal wpara cada valor del argumento ya que el m´odulo es ´unico. Para determinar cu´antas ra´ıces diferentes hay procedemos como sigue:

Primero. Dado un enterok∈_Z, dividi´endolo entren obtenemosk=nq+r con q,r∈_Zy 0≤r<n. Observamos entonces que;

θ=α+2kπ

n =

α+2(nq+r)π

n =

α+2rπ n +2qπ,

i.e., el argumento correspondiente a(α+2kπ)/nes el mismo que el de(α+2rπ)/n ya que estos difieren por el m´ultiplo 2qπ de 2π. Por lo tanto podemos restringir a k∈_Zal rango 0≤k<n, i.e.,k=0,1,2, . . . ,n−1.

Segundo.Dados dos enteros j6=kentre 0 yn−1, mostraremos que los argumentos α+2jπ

n y

α+2kπ n

dan lugar a complejos diferentes (i.e., no son iguales salvo un m´ultiplo entero de 2π). En efecto, si sucediera que

α+2jπ

n =

α+2kπ n +2tπ

entonces(α+2jπ)/n= (α+2kπ+2tnπ)/npor lo queα+2jπ=α+2kπ+2tnπ, de donde cancelandoα y luego dividiendo entre 2πobtenemos que j=tn+k, i.e., j−k=tn, i.e.,n|j−k. Pero como 0≤ j,k≤n−1, entonces la ´unica posibilidad para quen|j−kes quej−k=0 y por lo tanto j=k. Hemos as´ı probado:

Proposici´on 1.2.Dado un complejo z6=0en forma polar z=|z|(cosα+isenα), entonces z tiene exactamente n ra´ıces complejas wk=|wk|(cosθk+isenθk)cuyos

m´odulos son todos iguales: |wk|= n

p

|z| y cuyos argumentos son: θk=

α+2kπ

n con0≤k≤n−1. Ejemplo 1.4.Calcule las ra´ıces c´ubicas dez=1. En este ejemplo|z|=1, su argu-mento esα=0 yn=3. Siw=|w|[cosθ+isenθ]es una de las 3 ra´ıces c´ubicas de z, entonces:

|w|=p3 |z|= 3 √

1=1 y sus argumentos son

θk=

0+2kπ

3 =

2kπ

por lo que, parak=0,θ0=0/3=0, parak=1,θ1=2/3, y parak=2,θ2=4/3. As´ı, las ra´ıces c´ubicas dez=1 son:

w0=1[cos 0+isen 0], w1=1

h

cos2π 3 +isen

2π 3

i

, w2=1

h

cos4π 3 +isen

4π 3

i

,

es decir,w1=1,w2=1₂+

√

3

2 i,w3=− 1 2−

√

3

2 i. Si graficamos estas tres ra´ıces en el plano complejo obtenemos:

-w1

w2

S S S S o

/

w0=1

y observamos que las tres ra´ıces c´ubicas dez=1 forman un tri´angulo equil´atero. El ejercicio1.11nos dice que esto sucede en el caso general.

Ejercicios

1.1.Demuestre las propiedades de campo de_C.

1.2.Demuestre queϕ:R→Ces inyectiva y preserva las operaciones deRyC. De

esta formaϕidentifica al n´umero reala∈Rcon el n´umero complejo(a,0). Algunas

veces omitimos a laϕde esta notaci´on y escribimosa= (a,0).

1.3.Demuestre queϕ(0) =0 yϕ(1) =1, donde en los lados izquierdos tenemos al 0 y 1 deRy en los lados derechos son los deC. Gracias a esta propiedad no existe

confusi´on al denotar con los mismos s´ımbolos a los ceros y unos deRyC. 1.4.Sia∈Rdemuestre queϕ(−a) =−ϕ(a). Y sia6=0, demuestre queϕ(a−1) = ϕ(a)−1_.

1.5.Seanw,z∈_C. Demuestre que: (1) z=z.

(2) z+w=z+w. (3) zw=z w.

(4) Siz6=0, entonces (z−1_{) = (z)}−1_. (5) Siz6=0, entoncesw

z

=w z.

(6) z∈R⇔z=z(es decir, un n´umero complejo es un n´umero real si y s´olo si es

igual a su conjugado).

(1) |z|=|z|. (2) |zw|=|z||w|. (3) Siz6=0, entonces

w z

=

|w| |z|.

(4) |z+w| ≤ |z|+|w|(la desigualdad del tri´angulo). (5) |z| − |w|

≤ |z−w|.

1.7.Siz=a+bi, demuestre que Re(z) =1

2(z+z) e Im(z) = 1 2i(z−z).

1.8.Considere el conjuntoS⊆Cdefinido por:

S:={z∈C : |z|=1}.

(a) Demuestre queSes cerrado bajo productos, es decir, demuestre que siu,v∈S entoncesuv∈S.

(b)Demuestre queSes cerrado bajo inversos, es decir, demuestre que siu∈S en-toncesu−1∈S.

(c) GrafiqueSen el plano complejo_C.

1.9.Haga las operaciones indicadas y al final exprese el resultado en la formaa+bi: (a) (3+2i) + (5−3i).

(b) (5+7i)−(4−2i). (c) 3i−(−7+2i). (d) 5+ (1₂−3i). (e) (2+3i)(4−2i). (f) 3+4i

5+2i.

(g) 4 2−3i. (h) (2+i)(3+2i)

1−i . (i) (2+i)5_. (j) −1

2+ √

3 2 i

4

. (k) inparan=1,2,3, . . . 1.10.Calcule el m´odulo de los siguientes complejos:

(a) w=2−i. (b) w=√3−i

2+3i.

(c) w= (1+i)6. (d) w=i203.

1.11.Muestre que lasnra´ıcesn-´esimas de 1 son los v´ertices de unn-´agono regular inscrito en el c´ırculo unitario, uno de cuyos v´ertices es 1.

1.12.Calcule las ra´ıces indicadas: 1. Ra´ıces cuadradas dew=i. 2. Ra´ıces cuartas dew=−1+√3i. 3. Ra´ıces sextas dew=1.

1.13.Demuestre que las ra´ıces n-´esimas de z=1 (diferentes de 1) satisfacen la ecuaci´onciclot´omica:

un−1+un−2+· · ·+u+1=0.

1.14.Considere eln-´agono regular inscrito en el c´ırculo unitario en_Cy considere lasn−1 diagonales obtenidas conectando un v´ertice fijo con todos los otros v´ertices. Demuestre que el producto de sus longitudes es n.Sugerencia: suponga que los v´ertices est´an unidos al v´ertice fijo 1 y aplique el ejercicio anterior.

1.15.Sean≥2 un entero y considere el subconjuntoµn⊆Cdefinido por:

µn:={u∈C : un=1}.

(a) Demuestre queµnes cerrado bajo productos, es decir, demuestre que siu,v∈µn

entoncesuv∈µn.

(b) Demuestre queµnes cerrado bajo inversos, es decir, demuestre que siu∈µn

entoncesu−1∈µn.

(c) La gr´afica deµnen el plano complejoCest´a dada en el ejercicio1.11.

1.1.

La topolog´ıa del plano complejo

Usando el m´odulo o valor absoluto de un n´umero complejo, se define una dis-tanciaenCmediante

d(z,w):=dist(z,w) =|z−w|, paraz,w∈_C. De las propiedades del valor absoluto de_Cse sigue que, parau,w,z∈_C:

d(z,w)≥0.

d(z,w) =0 si y s´olo siz=w. d(z,w) =d(w,z)(simetr´ıa).

d(u,w)≤d(u,z) +d(z,w)(desigualdad del tri´angulo), cuyo nombre proviene de la interpretaci´on geom´etrica del hecho de que un lado de un tri´angulo es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados:

u

w

Siz∈Cyr>0 es cualquier real positivo, se definen lasbolasodiscos abiertos

de centrozy radior>0 como

B(z;r):={w∈_C : d(z,w)<r}

•

z r

donde notamos que el disco abiertoB(z;r)no incluye al c´ırculo que lo rodea. Un conjuntoΩ ⊆Cse dice que es unconjunto abiertosi para todoz∈Ω existe un disco abiertoB(z;ε)totalmente contenido enΩ, i.e.,B(z;ε)⊆Ω. En este caso, tambi´en se dice quezes un punto interiorde Ω. Dicho en otras palabras, Ω es abierto si y s´olo si todos sus puntos son interiores:

•

z Ω

Ejemplo 1.5.Una bola abierta B(z;r)es un conjunto abierto. En efecto, si Ω = B(z;r)conr>0 y siw∈B(z;r)es cualquier punto, entoncesd(w,z)<ry escribien-dor=d(w,z) +δ se tiene queδ >0. Ahora, siw=z, se toma el discoB(w;ε) = B(z;r)⊆Ω. Siw6=z, entoncesd(w,z)>0 y si se tomaε:=m´ın{δ,d(w,z)}, en-toncesB(w;ε)⊆B(z;r) =Ω porque para todou∈B(w;ε)se tiene que

d(u,z)≤d(u,w) +d(w,z)<ε+d(w,z)≤δ+d(w,z) =r−d(w,z) +d(w,z) =r por lo qued(u,z)<ry as´ıu∈B(z;r) =Ω.

Las propiedades fundamentales de la familia de conjuntos abiertos deCson: Proposici´on 1.3.(1)Cy/0son conjuntos abiertos.

(2) Si A1, . . . ,An son conjuntos abiertos deC, entonces A1∩ · · · ∩Antambi´en es

abierto.

(3) Si{A_λ}_λ∈Λ es una familia arbitraria de conjuntos abiertos de C, entonces

[

λ∈Λ

Demostraci´on. (1): QueC es abierto es porque cualquier disco sirve y que /0 es

abierto se sigue del argumento usual de vacuidad. Para (2), si A1∩ · · · ∩An= /0,

entonces es abierto por (1). Si existe un z∈A1∩ · · · ∩An, entoncesz∈Ak, para

todoky comoAk es abierto existe una bolaB(z;εk)⊆Ak para cadak. Tomamos

entonces1 _{ε =m´ın{ε1, . . . ,ε}

n}>0 y as´ı B(z;ε)⊆Ak para toda k y por lo tanto

B(z;ε)⊆A1∩ · · · ∩An. Para (3), siz∈SAλ, entonces existe unAλ tal quez∈Aλ y por lo tanto existe un discoB(z;ε)⊆Aλ⊆

S

A_λ. ut

Antes de dar m´as ejemplos de conjuntos abiertos, veamos otra clase de subcon-juntos deC, que son los complementos de los conjuntos abiertos. Un conjuntoA⊆C

es unconjunto cerradosi su complemento_C−Aes abierto. De las leyes de de Mor-gan y de la proposici´on anterior se sigue que:

Proposici´on 1.4.(1)Cy/0son conjuntos cerrados.

(2) Si A1, . . . ,An son conjuntos cerrados deC, entonces A1∪ · · · ∪An tambi´en es

cerrado.

(3) Si {Aλ}λ∈Λ es una familia arbitraria de conjuntos cerrados de C, entonces

\

λ∈Λ

A_λ tambi´en es cerrado.

u t

Ejemplo 1.6.Siz∈Cyr>0 es cualquier real positivo, se definen lasbolasodiscos

cerradosde centrozy radior>0 mediante B(z;r):={w∈C : d(z,w)≤r}:

•

z r

Un disco cerrado es un conjunto cerrado. En efecto, siw∈C−B(z;r), entonces

d(z,w)>ry tomandoε=d(z,w)−r>0 se tiene queB(w;ε)⊆C−B(z;r), ya que

para cualquieru∈B(w;ε)si sucediera qued(u,z)≤r, entonces se tendr´ıa que d(z,w)≤d(z,u) +d(u,w)≤r+d(u,w)

y por lo tantod(u,w)≥d(z,w)−r=ε, en contradicci´on con el hecho de queu∈ B(w;ε). Se sigue qued(u,z)>ry consecuentementeu∈C−B(z;r).

1_{Note que}

Para ver m´as ejemplos de conjuntos abiertos o cerrados en el plano complejo a continuaci´on estudiamos rectas y semiplanos enC:

Rectas en el plano complejo.Seanu,v∈Ccomplejos dados, conv6=0. Pensando

au= (a,b)como un punto en el planoC=R×R, y av6=0 como un segmento

dirigido, podemos considerar a la rectaLque pasa por el puntou y es paralela al segmento dirigidov:

◦

-6

v ◦_u

L

Como de v6=0 s´olo nos interesa su direcci´on, podemos suponer que|v|=1. ¿C´omo describir a la rectaLen t´erminos de los conceptos que tenemos de n´umeros complejos? Para hacer esto, observemos que un punto z∈_Cest´a enLsi y s´olo si existet ∈_Rtal que z=u+tv(por la interpretaci´on geom´etrica de la suma y producto de complejos). As´ı,

L={z∈C : z=u+tv, con t∈R}.

Observamos ahora que, comov6=0, z∈L ⇔ z=u+tvcon t∈R ⇔ z

−u

v =t∈R ⇔ Im

z−u

v

=0,

por lo que la recta L que pasa por el puntou∈C en la direcci´on v6=0, es el

subconjunto del plano complejo dado por L={z∈_C : Imz−u

v

=0}.

Semiplanos abiertos.Seanu,v∈_Cdados, con|v|=1. Queremos ahora describir el conjunto

Hu:={z∈C : Im

z−u

v

>0}.

•) Comencemos con el caso cuandou=0, de tal forma que el conjunto que tenemos ahora es

H0:={z∈C : Im(z/v)>0}.

Escribiendov=cosφ+isenφ (recordando que|v|=1) yz=r(cosθ+isenθ) (conr=|z|), tenemos que

z

por lo que

z∈H0 ⇔ Im(z/v)>0 ⇔ sen(θ−φ)>0 ⇔ φ<θ<π+φ,

y por lo tantoH0es el semiplano a laizquierdade la rectaLque pasa poru=0 paralela av, si recorremosLen la direcci´on dev:

◦

-6

Lu

v

H0

•) Consideremos ahora el caso general Hu:={z∈C : Im

z−u

v

>0}

y observemos queHu=u+H0={u+w: w∈H0},es decir,HuesH0trasladado poru:

◦

-6

◦_u

Lu

Hu

En forma an´aloga se definen los semiplanos abiertos Ku:={z∈C : Im

z−u

v

<0}

a la derecha de la rectaLu:={z∈C : Im z−_vu=0}:

◦

-6

◦

u

Lu

Ku

Ejemplo 1.8.Una rectaLues un conjunto cerrado porque su complemento son dos

semiplanos abiertosHuyKu.

Semiplanos cerrados.Dadosu,v∈Cdados, con|v|=1, lossemiplanos cerrados

son los conjuntos

Hu:={z∈C : Im

z−u

v

≥0} (a la izquierda de la recta correspondiente), y los conjuntos

Ku:={z∈C : Im

z−u

v

≤0} (a la derecha de la recta correspondiente):

◦

-6

◦_u Lu

Hu

◦

-6

◦

u Lu

Ku

Observe que ambos semiplanos cerrados contienen a la recta Lu:={z∈C :

Im z−_vu

=0}.

Ejemplo 1.9.Un semiplanoHcerrado es un conjunto cerrado, vea el ejercicio1.17. Sin embargo, los conjuntos no son como las puertas, es decir, no sucede que dado un conjunto si no es abierto tiene que ser cerrado o puede que sea abierto y cerrado, como es el caso de los conjuntosCy /0. El ejemplo siguiente muestra un conjunto

que no es abierto ni cerrado:

Ejemplo 1.10.El conjuntoΩ siguiente, dado por la intersecci´on de los tres semipla-nos indicados (dos cerrados y uno abierto) no es ni abierto ni cerrado:

Ω

Fronteras.Si Ω ⊆C, un puntow∈Ω es unpunto frontera de Ω si cada disco abiertoB(w;ε)conε>0 y centrado enw, intersectaΩ yC−Ω. LafronteradeΩ, denotada∂ Ωes el conjunto de puntos fronteras deΩ, es decir,

•

w Ω

Interior y cerradura de un conjunto.Se tiene un enfoque alterno para la topo-log´ıa del plano complejo. Una forma de hacerlo es definir, usando las nociones de conjunto abierto y conjunto cerrado, dos operaciones en la familia de subconjuntos de_Ccomo sigue: seaΩ ⊆Ccualquier subconjunto. LacerraduradeΩ, denotado Ω o tambi´enΩ−, es el conjunto

Ω := \

F⊇Ω F

donde la interseci´on corre sobre los conjuntos cerradosFtales queF⊇Ω. Ahora, por la proposici´on1.4, la intersecci´on de cualquier familia de cerrados es cerrada, por lo que la cerraduraΩ es un conjunto cerrado; de hecho, es el menor conjunto cerrado que contiene aΩ. Similarmente, se define elinteriordeΩ, denotadoΩ0, como

Ω0:= [ A⊆Ω

A

donde la uni´on corre sobre los conjuntos abiertosAtales queA⊆Ω. Tambi´en, por la proposici´on1.3, la uni´on de cualquier familia de abiertos es abierta, y as´ı el interior Ω0es un conjunto abierto y es el mayor abierto contenido enΩ. Claramente

Ω0⊆Ω⊆Ω−

y dejamos como el ejercicio1.19probar que:

Proposici´on 1.5.SeaΩ ⊆C. Entonces,

(1)Ω es abierto si y s´olo siΩ0=Ω. (2)Ω es cerrado si y s´olo siΩ−=Ω.

u t Otras propiedades del interior y la cerradura de un conjunto est´an en los ejercicios.

Conexidad.Intuitivamente, un conjuntoΩ ⊆Ces conexo si es de una sola pieza.

Sin embargo, la definici´on m´as razonable es negativa: se dice queΩ esdisconexosi existen abiertosA,B⊆Ctales queA∩Ω6=/0,B∩Ω 6=/0 y se tiene que

Ω = (A∩Ω)∪(B∩Ω).

A B

El conjuntoΩ se dice que esconexosi no es disconexo.

Para poder dar una caracterizaci´on intr´ınseca de los conjuntos conexos, es nece-sario relativizar las nociones de subconjuntos abiertos o cerrados. Supongamos que Ω⊆Ces cualquier conjunto. Se dice que un subconjuntoA⊆Ωesabierto relativo enΩ si existe un conjunto abiertoA0⊆Ctal queA=A0∩Ω. Se dice queA⊆Ω es cerrado relativoenΩ si existe un conjunto cerradoA00⊆_Ctal queA=A00∩Ω. En el ejercicio1.22se piden probar las propiedades an´alogas a las de las proposiciones 1.3y 1.4y en el ejercicio1.23se pide probar que el complemento, enΩ, de un abierto relativo es un cerrado relativo y viceversa.

Proposici´on 1.6.Un conjunto arbitrarioΩ ⊆Ces conexo si y s´olo si los ´unicos

subconjuntos deΩ que son abiertos y cerrados relativos aΩ, sonΩ y/0.

Demostraci´on. Supongamos queΩ es conexo y queA⊆Ω es abierto y cerrado relativo aΩ. Por el ejercicio1.23comoAes cerrado relativo, entoncesΩ−Aes abierto relativo. SiA6=/0 yA6=Ω(por lo queΩ−A6=/0), entoncesΩ=A∪(Ω−A) dondeA=A0∩Ω yΩ−A=A00∩Ω conA0,A00abiertos deCy conAyΩ−Ano vac´ıos disjuntos, lo cual contradice el que Ω es conexo. Se sigue que A=Ω o A=/0. Rec´ıprocamente, si los ´unicos abiertos y cerrados relativos aΩ sonΩ y /0, supongamos queΩ = (A∩Ω)∪(B∩Ω)es una disconexi´on deΩ, es decir,A,B son abiertos de _Cy A∩Ω y B∩Ω son disjuntos no vac´ıos. Entonces,B∩Ω = Ω−(A∩Ω)es cerrado relativo por el ejercicio1.23y as´ı, por hip´otesisB∩Ω es vac´ıo o es todoΩ. ComoB∩Ω 6=/0, entoncesB∩Ω =Ω y por lo tantoA∩Ω =/0, una contradicci´on. Se sigue queΩes conexo. ut En la teor´ıa de derivaci´on, los conjuntos Ω ⊆Cabiertos y conexos juegan un

papel importante, similar al de los intervalos abiertos deR. En el ejercicio1.24se

pide recordar o probar que enRlos subconjuntos conexos son los intervalos.

Usa-remos este hecho en la demostraci´on del teorema1.7, pero antes introducimos los conceptos pertinentes. Dados dos puntosz,w∈_C, denotemos con[z,w]alsegmento de recta conextremo inicial wyextremo final z, es decir,

[w,z]:={tz+ (1−t)w : 0≤t≤1}.

Un pol´ıgonoenCes un conjunto de la formaP=Snk=1[zk,zk+1]donde[zk,zk+1] son segmentos tales que el extremo final de[zk,zk+1]es igual al extremo inicial de [zk+1,zk+2]. Decimos quePes un pol´ıgono que unez1conzny tambi´en usaremos la

z1 z2

zk

zn

•

•

Teorema 1.7.Un conjunto abiertoΩ ⊆Ces conexo si y s´olo si para cualesquiera

dos puntos z,w∈Ω existe un pol´ıgono P⊆Ω que une z con w.

Demostraci´on. Supongamos queΩ es conexo y seaw∈Ω un punto arbitrario y seaz∈Ω cualquier otro punto. Mostraremos que existe un pol´ıgonoP⊆Ωque une wconz. M´as bien, probaremos que el subconjuntoGdeΩ siguiente es todoΩ:

G={z∈Ω : existe un pol´ıgonoP⊆Ω que unewconz} ⊆Ω.

Para comenzar, note quew∈Gya quewse une conwmediante el pol´ıgonoP= [w,w] ={w} ⊆Ω. Se sigue que G6=/0. Para mostrar que G=Ω, a la luz de la proposici´on anterior, basta probar queGes abierto y cerrado relativo aΩ. Primero, Gesabierto relativoya que siz∈Gexiste un pol´ıgonoP= [w=z1, . . . ,zn=z]⊆Ω.

Comoz∈GyΩ es abierto existe un discoB(z;ε)⊆Ω. Como un disco esconvexo (vea el ejercicio1.25), para cualquieru∈B(z;ε)se tiene que[z,u]⊆B(z;ε)⊆Ω y por lo tanto el pol´ıgonoP∪[z,u]⊆Ω y unewconu. Se sigue queu∈G, para todo u∈B(z;ε), es decir,B(z;ε)⊆Gy as´ıGes abierto. Queremos mostrar ahora queGes cerrado relativo, es decir, queΩ−Ges abierto relativo. SiΩ−G=/0, ya acabamos. Si existez∈Ω−G, comoΩ es abierto, existe unB(z;ε)⊆Ω. Supongamos que G∩B(z;ε)6=/0 y seau∈G∩B(z;ε). Comou∈Gexiste un pol´ıgonoP⊆Ωque une wconu. Pero comou∈B(z;ε), entonces (por el ejercicio1.25)[u,z]⊆B(z;ε)⊆Ω y por lo tanto el pol´ıgono P∪[u,z]⊆Ω y une wconz. Se sigue quez∈G, una contradicci´on. Por lo tantoG∩B(z;ε) =/0, es decir,B(z;ε)⊆Ω−Gy as´ıΩ−Ges abierto como se quer´ıa.

Supongamos ahora que para todo par de puntos z,w∈Ω existe un pol´ıgono P⊆Ω que unezconw. SiΩ no fuera conexo, digamosΩ = (A∩Ω)∪(B∩Ω) dondeA,B⊆Cson abiertos no vac´ıos y disjuntos, entonces escojamosz∈A∩Ω y w∈B∩Ω. Por hip´otesis existe un pol´ıgonoP⊆Ω que unezconw. Observe ahora que no puede suceder que todos los segmentos dePest´en contenidos en uno s´olo de los conjuntosAoBya que entonces se tendr´ıa queP⊆AoP⊆B, lo cual contradice el hecho de que los extremosz∈Ayw∈B. Se sigue que existe un segmento[z0,w0] dePtal quez0∈Ayw0∈B. Usando este segmento[z0,w0]defina

S={s∈[0,1] : sw0+ (1−s)z0∈A} ⊆_R,

T={t∈[0,1] : tw0+ (1−t)z0∈A} ⊆R.

definici´on deS y T se tiene queS∪T ⊆[0,1] y sit ∈[0,1] considere el punto tw0+ (1−t)z0∈[z0,w0]⊆Ω. Entonces,tw0+ (1−t)z0∈Ω = (A∩Ω)∪(B∩Ω) por lo quetw0+ (1−t)z0∈Aotw0+ (1−t)z0∈B. En el primer casot∈Sy en el segundo casot∈T y as´ıt∈S∪T, i.e,[0,1]⊆S∪T. Finalmente, note queSyT son abiertos relativos al[0,1]en_R(vea el ejercicio1.26). ut Componentes conexas.A continuaci´on veremos que todo subconjuntoΩ ⊆Cno

vac´ıo se descomponer, en forma ´unica, como uni´on de subconjuntos conexos no vac´ıos y disjuntos entre s´ı. El resultado que garantiza lo anterior es el siguiente:

Proposici´on 1.8.Supongamos que{Ωα ⊆C : α∈Λ}es una familia de subcon-juntos conexos indexada porα∈Λ. SiTα∈ΛΩα6=/0, entonces

S

α∈ΛΩαes conexo. Demostraci´on. PongamosΩ :=S

α∈ΛΩα. Si Ω no fuera conexo, entonces Ω = A∪B, conA,B⊆Ωabiertos relativos no vac´ıos. ComoT

Ωα6=/0, existe unz0∈Ωα, para todoα∈Λ. Podemos suponer quez0∈Ay por lo tantoA∩Ωα6=/0 para todo α ∈Λ. Como losΩα son conexos, lo anterior implica queB∩Ωα =/0 para todo α∈Λ y as´ıB=/0, una contradicci´on. ut Dado un subconjunto arbitrario no vac´ıo Ω ⊆k, si z0∈Ω observe quez0∈ {z0} ⊆Ω y el subconjunto{z0}es conexo. Se sigue que la familia{Ωα}de subcon-juntos conexos deΩ que contienen az0no es vac´ıa. Por la proposici´on1.8anterior la uni´onΩ0:=S_αΩα⊆Ω es conexa y claramente es el mayor subconjunto cone-xo deΩ que contiene az0. Se dice entonces queΩ0es lacomponente conexade Ω que contiene az0. Variandozj∈Ω y sus componentes conexas correspondientes Ωj⊆Ω se tiene que

Ω = [ zj∈Ω

Ωj.

Note ahora que sizj,zk∈Ω, entoncesΩj=ΩkuΩj∩Ωk=/0 ya que siΩj∩Ωk6=/0,

por la proposici´on1.8anterior se sigue queΩj∪Ωkes conexo y contiene azjy azk.

Por la maximalidad de las componentes conexas se debe tener entonces queΩj=

Ωj∪Ωk=Ωk. Se sigue que las componentes conexas deΩ forman una partici´on deΩ.

Corolario 1.9.SiΩ ⊆Ces abierto, entonces las componentes conexas deΩ son abiertas.

Demostraci´on. SeaΩ0⊆Ω una componente conexa y seaz0∈Ω0Comoz0∈Ω y Ωes abierto, existe un discoB(z0;r)⊆Ω. Por la proposici´on1.8, la uni´onB(z0;r)∪ Ω0 es conexa y por la maximalidad de la componente conexa debe ser igual aΩ0. Se sigue queB(z0;r)⊆Ω0y por lo tantoΩ0es abierto. ut

Compacidad.Unacubierta abiertade un conjuntoΩ⊆Ces una familia de

con-juntos abiertos{Uk}deCtales queΩ⊆SkUk. Dicho de otra manera, una cubierta

abierta de Ω es una familia de subconjuntos abiertos relativosVk⊆Ω tales que Ω =SkVk. Un subconjuntoK⊆Cescompactosi toda cubierta abiertaC={Uk}

Ejemplo 1.11.El conjunto vac´ıo /0 es compacto. Todo subconjunto finito{z1, . . . ,zn} ⊆ Ces compacto. Por otra parte, las bolas abiertas no son compactas. Por ejemplo, el

discoB(0; 1) ={z∈_C : |z|<1}tiene la cubierta abiertaC={B(0; 1−1/n) : n∈ N}ya que para todo|z|<1 existe un enteron≥1 tal que|z|<1−1/n. Sin embargo

esta cubierta abierta no tiene una subfamilia finita que cubraB(0; 1).

Proposici´on 1.10.Sea K⊆_Cun conjunto compacto. Entonces, (1)K es cerrado.

(2)Si F⊆K y F es cerrado, entonces F es compacto.

Demostraci´on. (1): Mostraremos queK−⊆K. Si z0∈K−, por el ejercicio 1.21, para todoε>0 se tiene queB(z0;ε)∩K6=/0. Supongamos quez06∈Ky seanUn:= C−B(z0; 1/n)y note que comoB(z0; 1/1)⊇B(z0; 1/2)⊇B(z0; 1/3)⊇ · · ·, entonces U1⊆U2⊆U3⊆ · · ·. Adem´as, comoTn≥1B(z0; 1/n) ={z0}yz06∈K, entonces

K⊆C− {z0}=C−\ n≥1

B(z0; 1/n) =

[

n≥1

(C−B(z0; 1/n)) =

[

n≥1 Un

por lo que losUiforman una cubierta abierta deK. ComoKes compacto y losUi

est´an encadenados, existe un enterontal que

K⊆ n

[

k=1

Uk=Un=C−B(z0; 1/n)

y por lo tantoK∩B(z0; 1/n) =/0, una contradicci´on con lo que se tiene en el segundo rengl´on de la demostraci´on paraε=1/n. Se sigue quez0∈Ky consecuentemente K=K−.

(2): SeaU={Ui}una cubierta abierta deF. ComoF es cerrado,C−Fes abierto

y como F ⊆K entonces U∪ {C−F} es una cubierta abierta de K. Como K es

compacto, existe una subcubierta finita, digamosU1, . . . ,Un,C−F que cubre aK.

Se sigue queU1, . . . ,UncubreF. ut

El teorema de Heine-Borel,1.15, que demostraremos al final de la secci´on si-guiente, caracteriza los subconjuntos compactos del plano complejo.

Ejercicios

1.16.Demuestre que un semiplano abierto es un conjunto abierto.

1.17.Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado.

(b) {z∈C : Re(z)>3/2}.

(c) {z∈C : |z−1| ≤2}.

(d) {z∈_C : |z+1|>2}.

(e) {z∈_C : Im(z)>0,−₂1≤Re(z)≤1 2}. (f) {z∈_C : Im(z)>0,−₂1≤Re(z)≤1

2,|z| ≥1}.

1.19.SeaΩ⊆C. Demuestre que:

(a) Ω es abierto si y s´olo siΩ0=Ω. (b) Ω es cerrado si y s´olo siΩ−=Ω.

1.20.SeaΩ⊆C. Demuestre que:

(a) Ω0=C−(C−Ω)−. (b) Ω−=C−(C−Ω)0. (c) ∂ Ω=Ω−−Ω0. (d) ∂ Ω=Ω−∩(C−Ω)−.

1.21.SeaΩ⊆C. Demuestre que

(a) z∈Ω0si y s´olo si existeε>0 tal queB(z;ε)⊆Ω.

(b) z∈Ω−si y s´olo si para todoε>0 se tiene queB(z;ε)∩Ω 6=/0.

1.22.SeaΩ⊆Ccualquier conjunto. Demuestre que:

(1) (a) Ω y /0 son abiertos relativos enΩ.

(b) SiA1, . . . ,An⊆Ωson abiertos relativos,A1∩ · · · ∩Anes abierto relativo.

(c) Si{Ak} es cualquier familia de subconjuntos deΩ que son abiertos relativos, entoncesS

kAktambi´en es abierto relativo.

(2) (a) Ω y /0 son cerrados relativos enΩ.

(b) SiA1, . . . ,An⊆Ωson cerrados relativos,A1∪ · · · ∪Anes cerrado relativo.

(c) Si{Ak}es cualquier familia de subconjuntos deΩ que son cerrados relativos,

entoncesT

kAktambi´en es cerrado relativo.

1.23.SiA⊆Ω es abierto relativo, demuestre queΩ−A⊆Ω es cerrado relativo. Demuestre tambi´en que siF⊆Ωes cerrado relativo, entoncesΩ−F⊆Ωes abierto relativo.

1.24.Demuestre queI⊆_Res conexo si y s´olo siIes un intervalo.

1.25.Un subconjuntoA⊆Cse dice que esconvexosi para cualesquiera dos puntos

z,w∈Ase tiene que el segmento[z,w]⊆A.

(1) Demuestre que cualquier disco abierto o cerrado es convexo. (2) Demuestre que cualquier semiplano abierto o cerrado es convexo.

(4) Dado un subconjunto A⊆C, como Ces convexo, entonces la familia F de

subconjuntos convexos que contienen aAno es vac´ıa. Por el ejercicio anterior la intersecci´on de todos los miembros deFes convexa y claramente es el menor subconjunto convexo que contiene a Ay se le llama la c´apsula convexade A. ¿C´omo es la c´apsula convexa de un conjunto Acon dos puntos? ¿C´omo es la c´apsula convexa de un conjunto con tres puntos?

1.26.En la parte final de la demostraci´on del teorema1.7, demuestre que los con-juntosSyT son abiertos relativos en[0,1].

1.27.SiΩ ⊆C es abierto, demuestre que sus componentes conexas son abiertas

tambi´en.

1.28.Demuestre que un conjuntoK⊆_Ces compacto si y s´olo si para toda familia de subconjuntos cerradosF={Fk}deKcon la propiedad de que cada subfamilia

finitaFk1, . . . ,FkndeFsatisface queFk1∩ · · · ∩Fkn 6=/0, se tiene que

T

Fk∈FFk6=/0.

1.2.

Sucesiones y series de n ´umeros complejos

Unasucesi´onde n´umeros complejos es una funci´ons:N→C. Sin∈Nusaremos

la notaci´ons(n) =:snpara el valor de la sucesi´onsen el n´umero naturaln. Tambi´en

denotaremos a la sucesi´onscomo{sn}. Observe que sisn=an+ibbdondeanes la

parte real desnybnes la parte imaginaria desn, entonces se tienen dos sucesiones de

n´umeros reales, a saber:{an}y{bn}. Rec´ıprocamente, si se tienen dos sucesiones de

n´umeros reales{an}y{bn}, ´estas determinan una sucesi´on de n´umeros complejos: {an+ibn}.

L´ımites de sucesiones.Dada una sucesi´on{sn}de n´umeros complejos, diremos que {sn}tienel´ımite L∈Csi para cadaε>0 existe unN∈Ntal que|sn−L|<εsiempre quen≥N. Se dice que la sucesi´on{sn}esconvergentey que converge aLy se usa la

notaci´on l´ım{sn}=L. El ejercicio1.28lista algunas de las propiedades elementales

de los l´ımites de sucesiones complejas, cuyas demostraciones son variaciones de las que se conocen para el caso de sucesiones de n´umeros reales. De hecho, observe que si escribimossn=an+ibnen su parte real y su parte imaginaria yL=a+ib,

entonces

l´ım{sn}=L si y s´olo si l´ım{an}=a y l´ım{bn}=b.

Una implicaci´on se sigue de las desigualdades|an| ≤ |sn|y |bn| ≤ |sn|, y la otra

implicaci´on se sigue de la desigualdad del tri´angulo|sn| ≤ |an|+|bn|. Para otras

propiedades usuales de las sucesiones de n´umeros (complejos) v´eanse los ejercicios 1.29al1.31al final de esta secci´on.

Muchas de las propiedades topol´ogicas deCse pueden expresar en t´erminos de

Lema 1.11.Ω⊆Ces cerrado si y s´olo si para toda sucesi´on{an} ⊆Ω, si la

suce-si´on converge, su l´ımite est´a enΩ.

Demostraci´on. SiΩ es cerrado y{zn} ⊆Ω es tal que l´ım{zn}=z∈C, entonces

para todoε>0 existeN∈Ntal que sin>Nse tiene quezn∈B(z;ε). Pero como

zn∈Ω, entonceszn∈B(z;ε)∩Ω, i.e., para todoε>0,B(z;ε)∩Ω 6=/0 y as´ı, por el

ejericico1.21, se sigue quez∈Ω−=Ω porqueΩ es cerrado. Supongamos ahora quez∈Ω−. Por el ejercicio1.21, para todoε>0 existe unzε∈B(z;ε)∩Ω. En particular, paraε=1/n conn∈Nexisten zn∈B(z; 1/n)∩Ω y se tiene as´ı una

sucesi´on {zn} ⊆Ω tal que para cadan se tiene quezn∈B(z; 1/n)y por lo tanto {zn} →z, donde por hip´otesisz∈Ω. Se sigue queΩ−=Ω. ut

SiΩ ⊆C, un puntoz∈Ces unpunto de acumulaci´onopunto l´ımitedeΩ si para todo discoB(z;ε)centrado en zse tiene queΩ∩ B(z;ε)− {z}

6

=/0. Por el ejercicio1.21(b) lo anterior es equivalente a quez∈(Ω− {z})−.

Lema 1.12.SiΩ⊆C, un punto z∈Ces un punto de acumulaci´on deΩ si y s´olo si existe una sucesi´on{zn} ⊆Ω− {z}tal que z=l´ım{zn}.

Demostraci´on. Sizes punto de acumulaci´on deΩ, por definici´on, para ε=1/n conn∈_N, existe unzn∈Ω∩ B(z; 1/n)− {z}

. Para la sucesi´on{zn} ⊆Ω− {z} anterior observe que para todoε>0 escogiendoN∈Ntal que 1/N<εse tiene que sin≥N, entonces|zn−z|<1/n≤1/N<ε, es decir, l´ım{zn}=z. Rec´ıprocamente,

si existe una tal sucesi´on, entonces para todoε>0 existe unNtal que paran≥Nse tiene que|zn−z|<ε, es decir,zn∈Ω∩B(z;ε)y cadazn6=zporque{zn} ⊆Ω− {z}. u t

Proposici´on 1.13.Un conjuntoΩ ⊆Ces cerrado si y s´olo si contiene todos sus

puntos de acumulaci´on.

Demostraci´on. Supongamos queΩ es cerrado. Sizes un punto de acumulaci´on de Ωy si sucediera quez6∈Ω, entoncesz∈C−Ω, que es abierto porqueΩ es cerrado. Entonces,zes punto interior deC−Ω y as´ı existe un discoB(z;ε)⊆C−Ω. Por lo tantoB(z;ε)∩Ω =/0 lo cual contradice el quezsea punto de acumulaci´on. Se sigue quez∈Ω. Rec´ıprocamente, siΩcontiene a todos sus puntos de acumulaci´on, mostraremos que_C−Ωes abierto. En efecto, seaz∈_C−Ω. Entonceszno es punto de acumulaci´on deΩ y por lo tanto existe un discoB(z;ε)tal que /0=B(z;ε)∩ Ω− {z}=B(z;ε)∩Ω (porquez6∈Ω implica queΩ− {z}=Ω) y por lo tanto B(z;ε)⊆C−Ω. Se sigue queC−Ω es abierto. ut

Sucesiones de Cauchy.Si {sn}es una sucesi´on de complejos tal que l´ım{sn}=

L∈_C, observe que para todoε>0 existe unN∈_Ntal que si m,n≥N se tiene que|sm−sn|<ε. En efecto, como l´ım{sn}=L, paraε>0 existe unN∈_Ntal que |sm−L|<ε/2 siempre quem≥N. Se sigue que sim,n≥Nentonces

como se quer´ıa. Una sucesi´on de n´umeros complejos{sn}que satisface la condici´on

anterior, es decir que para todoε>0 existe unN∈Ntal que sim,n≥Nse tiene que |sm−sn|<ε, se dice que es unasucesi´on de Cauchy. Hemos as´ı mostrado que enC

toda sucesi´on convergente es una sucesi´on de Cauchy. Si escribimossn=an+ibn

como antes, un argumento similar al del p´arrafo anterior demuestra que{sn}es de

Cauchy si y s´olo si{an}y{bn}son de Cauchy, como sucesiones de n´umeros reales.

Observe ahora que, como enRtoda sucesi´on de Cauchy es convergente, se tiene

que enCtoda sucesi´on de Cauchy converge a un n´umero complejo. Es decir,Ces

completo. La completez deCes equivalente a la propiedad del teorema de Cantor

siguiente, donde recordamos que siA⊆C, se define sudi´ametrocomo

di´amA:=sup{|z−w| : z,w∈A}.

Teorema 1.14 (Cantor). Si{Fn}es una sucesi´on de conjuntos cerrados no vac´ıos

deCtales que:

(1)F1⊇F2⊇ · · ·, (2) l´ım{di´amFn}=0,

entonces F:= ∞

\

n=1

Fnconsiste de un ´unico punto.

Demostraci´on. Para cadanseazn∈Fnun punto arbitrario. Por (1), sim,n≥Nse

tiene quezm,zn∈FN y por lo tanto|zm−zn| ≤di´amFN. Ahora, por (2), para todo

ε>0 existe unN∈Ntal que sik≥N se tiene que di´amFk<ε. Se sigue que si

m,n≥Nse tiene que|zm−zn|<εy por lo tanto{zn}es una sucesi´on de Cauchy en Cy consecuentemente l´ım{zn}=z∈C. Ahora, comoFn⊆FN para todon≥Ny

comozn∈Fn, entonceszn∈FNpara todon≥N, es decir lacolade la sucesi´on{zn}

est´a contenida enFN y comoFN es cerrado, por el lema1.11se sigue quez∈FN y

por lo tantoz∈Fnpara todony consecuentementez∈Tn∞=1Fn=:Fy as´ıF6=/0. Por

otra parte, siz,w∈F, entoncesz,w∈Fnpara todony por lo tanto|z−w| ≤di´amFn

para todon y como l´ım{di´amFn}=0 se sigue que|z−w|=0, es decir,z=wy

as´ıF contiene un ´unico punto. ut

El teorema siguiente caracteriza los subconjuntos compactos del plano complejo:

Teorema 1.15 (Heine-Borel).Un subconjunto K⊆Ces compacto si y s´olo si es

cerrado y acotado.

Demostraci´on. SiKes compacto, por la primera parte de la proposici´on anterior,K es cerrado. Por otra parte, como los discosB(0;n)conn∈_N, cubren claramenteC,

Supongamos ahora queKes cerrado y acotado. Como es acotado, existe unM>

0 tal queK⊆B(0;M). Se sigue queK⊆B(0;M)⊆[−M,M]×[−M,M] =:C, donde Ces el cuadrado de centro el origen y lado 2M:

-6

C M

−M M

−M

Note queCes cerrado y por la proposici´on1.10basta mostrar queCes compacto para queKlo sea. Supongamos, que existe una cubierta abiertaU={Uα}deCque no contiene una subcubierta finita. DividamosCen los cuatro cuadrados cerrados y con interiores disjuntos siguientes:C1= [0,M]×[0,M],C2= [−M,0]×[0,M],C3= [−M,0]×[0,−M],C4= [0,M]×[0,−M]:

•

-6

C1 C2 C3 C4

Se sigue que alguno de losCj no se puede cubrir con un n´umero finito de losUα. Sin perder generalidad supongamos queC1no se puede cubrir con un n´umero finito de losUαy denotemos este porC(1). Procedemos entonces dividir esteC(1)en cua-tro cuadrados cerrados con interiores disjuntos:C(₁1)= [0,M/2]×[0,M/2],C(₂1)= [M/2,M]×[0,M/2],C₃(1)= [M/2,M]×[M/2,M],C₄(1)= [0,M/2]×[M/2,M]:

•

-6

C(₁4)C₁(3)

C(₁1)C₁(2)

Entonces, alguno de losC(_j1) no se puede cubrir con un n´umero finitos de losUα. Sin perder generalidad supongamos queC₁(1) no se puede cubrir con un n´umero finito de losUαy denotemos este porC(2). Note que el proceso anterior no se puede detener porque si as´ı sucediera todos losC(_jn) correspondientes se cubrir´ıan por un n´umero finito de losUαy por lo tanto tambi´enCquedar´ıa cubierto por este n´umero finito deUα. Hemos as´ı construido una familia de subconjuntos cerrados no vac´ıos encadenados

C⊇C(1)⊇C(2)⊇C(3)⊇ · · ·

donde claramente l´ım{di´amC(n)}=0 y as´ı, por el teorema de Cantor1.14, existe un ´unico puntoz∈T

z∈Uαpara alg´unα, y comoUαes abierto, existe unB(z;δ)⊆Uα. Para estaδ >0, como l´ım{di´amC(n)}=0, existe un enteroN>0 tal que di´amC(n)<δ para todo n≥N, y como z∈C(n), entoncesC(n) ⊆B(z;δ)⊆Uα. Es decir, estosC(n) est´an cubiertos por una ´unicaUα, una contradicci´on. ut

Series de n ´umeros complejos.Si{an}es una sucesi´on de complejos, considere las

sumas parciales:

sn=a1+a2+· · ·+an

y note que estas definen una nueva sucesi´on {sn}, llamada lasucesi´on de sumas

parcialesde{an}. A esta sucesi´on de sumas parciales se le llama laserieo serie

infinitaasociada a la sucesi´on{an}y se denota por {sn}=

∞

∑

an.

Decimos que la serie∑∞n=0anesconvergentey queconvergeaL∈Csi la

suce-si´on de sumas parciales{sn}converge aL. Se usa la notaci´on∑∞n=0an=L, y se dice

queLes lasumade la serie infinita anterior. Se dice que una serie∑∞n=0andivergesi {sn}no tiene un l´ımite enC. Se dice que una serie∑∞n=0anconverge absolutamente

si la serie de m´odulos∑∞n=0|an|es convergente. Las propiedades usuales de las

se-ries de n´umeros (complejos) se encuentran en los ejercicios1.35y1.36al final de esta secci´on.

L´ımite superior y l´ımite inferior.Supongamos que{an}es una sucesi´on de

n´ume-ros reales.

1. Si{an}no est´a acotada superiormente, se define ell´ımite superiorcomo

l´ım sup{an}=∞.

2. Si{an}est´a acotada por arriba, entonces tambi´en lo es la sucesi´on{am+n}n∈N

para cadam. Si ponemos

αm:=sup{am+n : n∈N}

claramente la sucesi´on {αm} es decreciente. Si sucede que l´ım{αm}=−∞se

define

l´ım sup{an}=−∞.

3. Si{an}est´a acotada por arriba y l´ım{αm}=α∈R, se define

l´ım sup{an}=α.

Se tiene la noci´on correspondiente de l´ımite inferior, denotado l´ım inf{an}, y

l´ım inf{an}=

    

−∞ si{an}no est´a acotada inferiormente,

∞ si{an}est´a acotada inferiormente y l´ım{αm}=∞,

α si{an}est´a acotada inferiormente y l´ım{αm}=α∈R.

Ejercicios

1.29.Si{zn}es una sucesi´on convergente enC, demuestre que su l´ımite es ´unico. Si {zn}y{wn}son dos sucesiones convergentes, con l´ımitesL1yL2, respectivamente, demuestre que

(1) La suma de las sucesiones{zn+wn}converge aL1+L2. (2) El productto de las sucesiones{znwn}converge aL1L2.

(3) El cociente (cuando est´a definido) de las sucesiones{zn/wn}converge aL1/L2 siL26=0.

1.30.Demuestre que si{zn}es convergente, entonces es acotada. D´e un

contraejem-plo para mostrar que el rec´ıproco es falso.

1.31.Demuestre que toda sucesi´on acotada tiene una subsucesi´on convergente.

1.32.SiΩ⊆Cdemuestre queΩ−={z∈_C : z es punto de acumulaci´on deΩ}.

1.33.Demuestre queK⊆Ces compacto si y s´olo si todo subconjunto infinito deK

tiene un punto de acumulaci´on enK.

1.34.Demuestre que di´amA=di´amA, para todoA⊆C.

1.35.Demuestre que si∑∞n=0znes convergente, entonces la sucesi´on{zn}converge

a 0. La afirmaci´on rec´ıproca es falsa: considere laserie arm´onica∑∞n=01/n.

1.36.Demuestre que toda serie∑∞n=0znabsolutamente convergente, es convergente.

D´e un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.

1.37.Demuestre que l´ım sup{an}=−∞si y s´olo si l´ım{an}=−∞.

1.38.Demuestre que l´ım sup{an}=∞si y s´olo si existe una subsucesi´on de{an}

cuyo l´ımite es∞.

1.39.Demuestre que l´ım sup{an}=α∈Rsi y s´olo si para todoε>0 el conjunto {n : an≥α−ε}es acotado y el conjunto{n : an>α−ε}es no acotado.

1.40.Siα∈Ry{an} ⊆R, demuestre que l´ım{an}=αsi y s´olo si l´ım sup{an}=

α=l´ım inf{an}.

1.42.Si l´ım sup{an}=αyc>0 es un real, demuestre que l´ım sup{can}=cα. 1.43.Si{an}y{bn}son sucesiones acotadas de n´umeros reales, demuestre que

l´ım sup{an+bn} ≤l´ım sup{an}+l´ım sup{bn}.

l´ım inf{an+bn} ≥l´ım inf{an}+l´ım inf{bn}. 1.44.Demuestre que l´ım inf{an} ≤l´ım sup{an}.

1.45.Si {an} y {bn} son sucesiones de n´umeros reales positivos tales que a=

l´ım sup{an}y 0<b=l´ım{bn}<∞, demuestre que

ab=l´ım sup{anbn}.

1.46.Demuestre que l´ım{n1/n_{}=1.Sugerencia: considere logn}1/n_. 1.47.Demuestre que l´ım_n1_!1

/n =0.

1.48.Suponga que ∞

∑

an=L1y ∞

∑

bn=L2y que cada una de estas series converge

absolutamente. Definacn= n

∑

akbn−k. Demuestre que ∞

∑

cn=L1L2.

1.3.

Funciones de una variable compleja

SiΩ ⊆C, estaremos interesados en funciones f :Ω→Cy en esta secci´on

es-tudiaremos sus propiedades generales b´asicas: su comportamiento bajo l´ımites y su continuidad. Para comenzar, observe que como el codominio de estas funcio-nes es el campo de n´umeros complejos, las funciofuncio-nes anteriores se pueden sumar, restar y multiplicar (y dividir, siempre y cuando el denominador no sea cero). Las definiciones son las usuales: si f,g:Ω →Cson dos funciones, susumaes la

fun-ci´on f+g:Ω →Cdefinida por(f+g)(z) = f(z) =g(z), suproductoes la

fun-ci´on f g:Ω →Cdada por(f g)(z) = f(z)g(z). Laresta f−g:Ω →Cest´a dada

por (f−g)(z) = f(z)−g(z)y el cociente f/g tiene como dominio al conjunto Ω0:={z∈Ω : g(z)6=0}y se define, paraz∈Ω0mediante(f/g)(z) = f(z)/g(z). Si f:Ω→Cyg:∆→Cson dos funciones tales que para todoz∈Ω se tiene que

f(z)∈∆, es decir, laimagendel conjuntoΩ bajo f f(Ω):={f(z) : z∈Ω} est´a contenida en∆, entonces se define lacomposici´on

mediante(g◦f)(z):=g(f(z)), observando que, siz∈Ω, el valor o imagenf(z)∈∆ est´a en el dominio degpor la hip´otesis de que f(Ω)⊆∆.

L´ımites.Si f :Ω →Ces una funci´on yz0es un punto de acumulaci´on deΩ, se dice que un n´umero complejoL∈_Ces ell´ımitede f cuandozse aproxima az0si para todoε>0 existe unδ >0 tal que siempre que 0<|z−z0|<δ yz∈Ω, se tiene que|f(z)−f(z0)|<ε. Como para el caso de funciones reales de variable real, si el l´ımiteLanterior existe, este es ´unico (vea el ejercicio1.49) y lo denotaremos por

L=l´ım

z→z0f(z).

La demostraci´on del resultado siguiente la dejamos como el ejercicio1.50:

Proposici´on 1.16.Sean f,g:Ω →Cdos funciones y z0un punto de acumulaci´on deΩ. Sil´ımz→z0f(z)yl´ımz→z0g(z)existen, entonces:

(1) l´ım

z→z0

(f±g)(z) = l´ım

z→z0

f(z)±l´ım

z→z0

g(z). (2) l´ım

z→z0(f g)(z) = zl´ım→z0f(z)

l´ım

z→z0g(z)

. (3)Si l´ım

z→z0g(z)6=0, entonceszl´ım→z0 f(z)/g(z)

= l´ım

z→z0f(z)

l´ım

z→z0g(z)

.

u t

Continuidad.Una funci´on f :Ω→Cescontinua en el punto z0∈Ω si l´ım

z→z0f(z) =f(z0).

Por definici´on de l´ımite, lo anterior quiere decir que, para todoε>0 existe unδ>0 tal que si|z−z0|<δ yz∈Ω, se tiene que|f(z)−f(z0)|<ε. Interpretando las desigualdades anteriores en t´erminos de discos abiertos, se tiene que f es continua enz0∈Ω si y s´olo si para todo disco abiertoB(f(z0);ε)con centro f(z0), existe un disco abiertoB(z0;δ)con centroz0tal que para todoz∈B(z0;δ)∩Ω se tiene que f(z)∈B(f(z0);ε); es decir, f(B(z0;δ)∩Ω ⊆B(f(z0);ε). Dicho de otra manera, hemos probado que para cualquier disco abiertoB(f(z0);ε)con centro f(z0), existe un disco abiertoB(z0;δ)tal que su intersecci´on conΩ est´a contenida en laimagen inversadel discoB(f(z0);ε):

f−1(B(f(z0);ε)):={z∈Ω : f(z)∈B(f(z0);ε)}. Hemos as´ı probado:

Proposici´on 1.17.Una funci´on f :Ω →Ces continua en el punto z0∈Ω si y s´olo si para todo disco abierto B(f(z0);ε)con centro en f(z0)existe un disco abierto B(z0;δ)tal que B(z0;δ)∩Ω⊆f−1B(f(z0);ε).

u t La demostraci´on del resultado siguiente la dejamos como el ejercicio1.51:

(1) f±g:Ω→Ces continua en z0. (2) f g:Ω →Ces continua en z0.

(3)Si g(z0)6=0, entonces f/g:Ω →Ces continua en z0.

u t Se dice que una funci´on f :Ω →C escontinua si lo es en cada punto de su

dominio.

Teorema 1.19.Una funci´on f :Ω →Ces continua si y s´olo si para todo abierto

U⊆Cse tiene que f−1(U)es abierto enΩ.

Demostraci´on. SiU⊆Ces abierto yz∈ f−1(U), entonces f(z)∈U y comoU

es abierto existe un discoB(f(z);ε)⊆U. Ahora, como f es continua enz, para todoε>0 existe unδ >0 tal que f B(z;δ)∩Ω⊆B(f(z);ε)⊆Uy por lo tanto B(z;δ)∩Ω ⊆f−1(U)y por lo tanto f−1(U)es abierto enΩ. Rec´ıprocamente, si z∈Ω, para todoε>0 por hip´otesis f−1B(f(z);ε)es abierto enΩ, es decir, existe un abiertoV ⊆Ctal que f−1B(f(z);ε) =V∩Ω y as´ız∈V, por lo que existe un discoB(z;δ)⊆V y consecuentementeB(z;δ)∩Ω⊆ f−1B(f(z);ε)y as´ı por la proposici´on anterior f es continua enz, para todoz∈Ω. ut

Corolario 1.20.Sean f :Ω →C y g:∆ →Cfunciones tales que f(Ω)⊆∆ y adem´as f y g son continuas. Entonces, g◦f :Ω →Ces continua.

Demostraci´on. SiU⊆Ces abierto, comog es continua se tiene queg−1(U)es

abierto en ∆, y como f es continua se sigue que (g◦f)−1_{(U) = f}−1_(g−1_U)es

abierto enΩ. ut

Teorema 1.21.Sea f:Ω→Cuna funci´on continua.

(1)SiΩ es conexo, entonces f(Ω)tambi´en es conexo. (1)SiΩ es compacto, entonces f(Ω)tambi´en es compacto.

Demostraci´on. (1): Supongamos queV⊆f(Ω)es abierto y cerrado en f(Ω)y que V6=/0. Entonces, f−1V6=/0 y f−1Ves abierto y cerrado en el conexoΩporque f es continua. Se sigue que f−1V=Ω y as´ıV= f(Ω)y por lo tanto f(Ω)es conexo. (2): Si Ω =/0, entonces f(Ω) = /0 y no hay nada que probar. Supongamos que Ω 6=/0 y sea{Vi}una cubierta abierta de f(Ω), es decir, f(Ω)⊆S_iVi. Entonces, {f−1Vi}es una cubierta abierta deΩ, y comoΩ es compacto, entonces existe una subcubierta finita, digamosΩ ⊆f−1V1∪ · · · ∪f−1Vn. Se sigue que

f(Ω)⊆f f−1V1∪ · · · ∪f−1Vn⊆f(f−1V1∪ · · · ∪f f−1Vn⊆V1∪ · · · ∪Vn

y por lo tantoV1, . . . ,Vnes una subcubierta finita def(Ω). ut

Teorema 1.22.Si f:Ω→Ces continua yΩes compacto, entonces f es uniforme-mente continua.

Demostraci´on. Dadoε>0, como f es continua en cadau∈Ω, existe unδu>0

(que depende deuyε) tal que si|u−v|<2δuse tiene que (1) |f(u)−f(v)|<ε/2.

La familia de discos{B(u;δu)}u∈Ω es una cubierta abierta deΩ y como ´este es compacto existe una subcubierta finita, digamosB(u1;δ1),. . .,B(un;δn). Seaδ =

m´ın{δ1, . . . ,δn}. Entonces, dadosw,z∈Ω tales que|w−z|<δ, como los discos

B(uj;δj)cubrenΩ, entoncesw∈B(uk;δk)para alg´unkentre 1 yn, y por lo tanto |uk−w|<δk. Adem´as,|w−z|<δ≤δk, por lo que

|uk−z| ≤ |uk−w|+|w−z|<2δk

y as´ı, por (1), se sigue que|f(uk)−f(z)|<ε/2. Por otra parte, como|uk−w|<

δk<2δk, por (1) se sigue que|f(uk)−f(w)|<ε/2. Las dos ´ultimas desigualdades implican que

|f(w)−f(z)| ≤ |f(w)−f(uk)|+|f(uk)−f(z)|<ε/2+ε/2=ε

siempre que|w−z|<δ. ut

SiA,b⊆Cson no vac´ıos, se define ladistanciaentreAyBmediante

d(A,B):=´ınf{d(a,b); : a∈A,b∈B}.

En el caso cuandoA={a}consta de un solo punto se defined(a,B):=d({a},B). Note tambi´en que siA={a} yB={b}, entoncesd(A,B) =d(a,b). Tambi´en, si A∩B6=/0, entoncesd(A,B) =0. Sin embargo se puede tener qued(A,B) =0 a´un cuandoA∩B6=/0. Por ejemplo, siA={z= (a,0)∈C}yB={z= (x,ex) =x+iex∈ C}, entoncesBes as´ıntota al eje realApor lo qued(A,B) =0. Note queA∩B=/0

y ambos son cerrados, pero ninguno es compacto.

Proposici´on 1.23.Si A,B⊆Cson no vac´ıos disjuntos, B cerrado y A compacto,

entonces d(A,B)>0.

Demostraci´on. Defina f:C→Rmediante f(z):=d(z,B). Claramente f es

conti-nua. ComoA∩B=/0 yBes cerrado, entonces para todoa∈Ase tiene quef(a)>0. Pero comoAes compacto, por el ejercicio1.55, la funci´on continua f alcanza su m´ınimo enA, es decir, existe una0∈Atal que 0< f(a0) =´ınf{f(z) : z∈A}=

Ejercicios

1.49.Sea f :Ω →Cuna funci´on yz0un punto de acumulaci´on deΩ. Si el l´ımite l´ımz→z0 f(z)existe, demuestre que es ´unico.

1.50.Demuestre la proposici´on1.16.

1.51.Demuestre la proposici´on1.18.

1.52.Seanf :Ω →∆⊆Cyg:∆→Cfunciones. Seaz0un punto de acumulaci´on

deΩ tal que l´ımz→z0 f(z) =w0∈∆y suponga queges continua enw0. Demuestre

que

l´ım

z→z0

(g◦f)(z) =g(l´ım

z→z0

f(z)) =g(w0).

1.53.Sean f :Ω →Cuna funci´on yz0∈Cun punto de acumulaci´on deΩ. De-muestre que

l´ım

z→z0

=L∈C

si y s´olo si para toda sucesi´on{zn} ⊆Ω− {z0}que converge az0se tiene que l´ım{f(zn)}=L.

1.54.SiK⊆_Ces compacto y f:K→_Ces continua, demuestre que existe un punto z0∈Ktal que

|f(z0)|=sup{|f(z)| : z∈K}.

As´ı, en un compacto el m´odulo de una funci´on continua alcanza su m´aximo.

1.55.SiK⊆_Ces compacto y f:K→_Ces continua, demuestre que existe un punto z0∈Ktal que

|f(z0)|=´ınf{|f(z)| : z∈K}.

(En un compacto el m´odulo de una funci´on continua alcanza su m´ınimo).

1.56.D´e un ejemplo de una funci´on continua que no es uniformemente continua.

1.57.Si f,g:Ω →Cson uniformemente continuas, demuestre que f+gtambi´en

lo es.

1.58.Si f :Ω →Ces uniformemente continua y{zn}es una sucesi´on de Cauchy

enΩ, demuestre que{f(zn)}es una sucesi´on de Cauchy enC. 1.59.Demuestre qued(z,Ω) =d(z,Ω−).

1.60.SiΩ ⊆C, un subconjuntoA⊆Ω esdensoenΩ siA−=Ω. Por ejemplo, el conjuntoA={a+bi : a,b∈Q} ⊆Ces denso enC. Suponga que f,g:Ω→Cson

1.61.Un puntoz0∈Ω se dice que esaisladosi existe un discoB(z0;ε), conε>0, tal que Ω∩B(z0;ε) ={z0}. Demuestre que si z0∈Ω, entonces z0 es un punto aislado o un punto de acumulaci´on deΩ.

1.62.Siz0∈Ω es un punto aislado, demuestre que cualquier funci´on f :Ω →Ces

continua enz0.

1.63.Una funci´on fΩ →Cse dice que esLipschitzsi existe una constanteL>0

tal que|f(z)−f(w)| ≤L|z−w|para todoz,w∈Ω. Demuestre que toda funci´on de Lipschitz es uniformemente continua.

1.64.Si /06=A⊆Ω ⊆C, demuestre que la funci´on f :Ω →Cdada por f(z) =

d(z,A)es de Lipschitz.

1.65.Demuestre que la funci´onf :C→Cdada porf(z) =|z|es de Lipschitz. 1.66.Demuestre que la funci´onf :R→Rdada porf(x) =x2no es de Lipschitz.

1.4.

La esfera de Riemann y el plano complejo extendido

Adem´as de los l´ımites de la forma l´ımz→∞f(z) =L∈Co de la forma l´ımz→z0 f(z) = ∞, que ya hemos encontrado, hay muchas otras situaciones donde ser´ıa conveniente trabajar con el s´ımbolo∞como un elemento especial del dominio o codominio de una funci´on y por lo tanto es deseable extender el plano complejoCa˜nadiendo un

punto al infinitoy definir elplano complejo extendidocomo

C∞:=C∪ {∞},

donde∞es un elemento que no est´a enC. As´ı, expresiones como l´ımz→z0 f(z) =∞

tienen sentido dentro deC∞y tambi´en expresiones del estilo l´ımz→∞f(z) =z0con z0∈Coz0=∞. El plano extendidoC∞ser´a de mucha utilidad al poder considerar funciones que tomen el valor ∞. Un ejemplo de tal funci´on es f(z) =1/zdonde

ahora podemos decir que f(0) =∞en el plano complejo extendido. Para que los

l´ımites anteriores tengan sentido dentro deC∞, necesitamos introducir unam´etrica o distanciaen C∞. Siguiendo a Carath´eodory, se introduce la distancia cordalo m´etrica cordalenC∞como sigue. Primero, se identificaCcon el plano coordenado XY enR3, es decir,C={(x,y,0)∈R3}. Despu´es, se identificaC∞ con la esfera unitaria enR3:

S:={(x,y,z)∈R3 : x2+y2+z2=1}.

Para hacer esta identificaci´on, denote conN= (0,0,1)∈_Salpolo nortede la esfera y considere la funci´on

ϕ:S− {N} →C

definida, para un puntoP= (x1,y1,z1)∈S− {N}, como el punto de intersecci´on de

LP:={(x,y,z) = (0,0,1) +t(x1,x2,z1−1) = (tx1,ty1,1−t(z1−1)) : t∈R},

con el planoC:

N

w

• •

X

Y

P ◦

◦

-6

donde un c´alculo rutinario da como resultado el punto

(1) ϕ(P) =

x₁

1−z1

, y1

1−z1

,0

donde notamos que comoP6=N, entonces la coordenadaz16=1. A la funci´onϕse le llama laproyecci´on estereogr´aficade_Sen_C. Queϕes biyectiva es f´acil de ver porque su inversa es la funci´on

ψ:C→S− {N}

definida, para un complejow= (x,y,0)∈C, considerando la rectaLwque pasa por

wyN:

Lw:={(x1,y1,z1) = (0,0,1) +t(x,y,−1) = (tx,ty,1−t) : t∈R},

y que corta aSen el punto

(2) ψ(w) =

2x

1+|w|2, 2y 1+|w|2,

|w|2₋₁ 1+|w|2

.

Un c´alculo sencillo muestra que ϕ y ψ son inversas una de la otra. Finalmente, ambas funciones se extienden a todoSy aC∞definiendo

(3) ϕ(N) =∞ y ψ(∞) =N.

Se introduce entonces ladistancia cordalentre dos puntosw,w0∈C∞como la distancia enR3entre los puntosψ(w),ψ(w0)∈Scorrespondientes, es decir, usando

(2) y (3), se define

donde en el lado derecho se tiene la distancia euclidiana de R3. Que la anterior

definici´on es, en efecto, una m´etrica enC∞es porque la distancia euclidiana es una m´etrica enR3. Note que con esta m´etrica enC∞, siw=x+iy∈Cyw0=∞, usando (3) y (2) se tiene que

dc(w,∞) =dc(ψ(w),ψ(∞)) =dc(ψ(w),N) =p 2

|w|2₊₁,

¡y as´ı el∞ya no est´a tan lejos! Al plano complejo extendidoC∞, o a su represen-taci´on como la esferaS2⊆R3, se le conoce tambi´en como laesfera de Riemann.

Para otra interpretaci´on del plano complejo extendidoC∞v´ease la subsecci´on sobre la recta proyectiva compleja en la p´agina181del cap´ıtulo7.

Ejercicios

1.67.Por definici´on, unc´ırculoenSes la intersecci´on de un planoΠ enR3conS.

Recuerde que un plano enR3tiene una ecuaci´on cartesiana de la formaAx+by+

Cz+D=0. Usando la proyecci´on estereogr´afica (1), demuestre que la proyecci´on de un c´ırculoSenScorresponde a un c´ırculoT en el planoCsi el c´ırculoSno contiene

al polo norte. Demuestre que siScontiene al polo norte, entonces su proyecci´onT enCes una recta.

1.68.Demuestre el rec´ıproco del ejercicio anterior. Es decir, siT es un c´ırculo enC,

bajo la inversa (2) de la proyecci´on estereogr´afica su imagenSenSes un c´ırculo. Si

T es una recta enC, demuestre que su imagen bajo (2) es un c´ırculo enSmenos el

polo norte.

1.69.Seadc:C∞×C∞→C∞la distancia cordal. Demuestre que, en efecto, es una distancia, es decir, satisface las condiciones:

dc(z,w)≥0, ydc(z,w) =0 si y s´olo siz=w.

dc(z,e) =dc(w,z).

dc(z,w)≤dc(z,u) +dc(u,w), para cualquieru∈C∞. 1.70.Siz,w∈_C∞, demuestre que

dc(1/z,1/w) =dc(z,w). 1.71.Siz,w∈_C, demuestre que

dc(z,w) =

2|w−z|

p

1+|z|2p

1+|w|2.