• No se han encontrado resultados

matematicasbloque8

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2020

Share "matematicasbloque8"

Copied!
16
0
0

Texto completo

(1)

BL

OQUE

Competencias a desarrollar

OBJE

TO

S DE

APRENDIZAJE

DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE

8

Tiempo asignado: 10 horas

(2)

BL

OQUE

Competencias a desarrollar

OBJE

TO

S DE

APRENDIZAJE

DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE

• Describe la relación que existe

entre las funciones trigonomé

-tricas y las funciones circulares

seno y coseno.

• Argumenta la elección de una

de las dos formas senoidales

para modelar una situación o fe

-nómeno específico.

• Obtiene la amplitud y el perio

-do para graficar una función se

-noidal.

• Describe la relación entre perio

-do y frecuencia.

• Resuelve o formula problemas

de su entorno u otros ámbitos

que pueden representarse me

-diante funciones sinusoidales.

• Funciones trigonométricas:

- Seno.

- Coseno.

• Funciones circulares:

- Seno.

- Coseno.

- Formas senoidales.

• Representación gráfica de funcio

-nes trigonométricas.

• Características de las funciones

periódicas:

- Amplitud.

- Frecuencia.

- Periodo.

Construye e interpreta modelos matemáti -•

cos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y varia -cionales, para la comprensión y análisis de si -tuaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, •

aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos •

mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situacio -nes reales.

líticos, o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y Comunicación.

Analiza las relaciones entre dos o más variables •

de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

Cuantifica, representa y contrasta experimen -•

tal o matemáticamente las magnitudes del es -pacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

(3)

B8

En este bloque estudiaremos las funciones periódicas, las cuales tienen una gran aplicación en la física, analizaremos cómo transportarlas, hacia un lado y otro del plano, para modelar distintos tipos de problemas. También construi -remos la gráfica de la función senoidal por medio de sus tabulaciones y resol -veremos distintos problemas teóricos y prácticos.

Áreas de oportunidad (temario en donde se encontró la mayor cantidad de dificultades).

I. Contesta en tu libreta lo que se te indica.

1. ¿A qué se le llama función periódica?

2. ¿Cuál es la diferencia entre la función seno y coseno? 3. ¿Qué es frecuencia?

4. ¿ Qué es amplitud? 5. ¿ Qué es periodo?

6. Comprueba que sen2 x + cos2 x = 1.

7. Comprueba las siguientes identidades: a) sen(−A) = −senA

b) cos(−A) = −cosA

La Pirámide de Kukulcán se asienta sobre una plataforma rectangular de 55.5 metros de ancho y tiene una altura de 24 metros. Cada lado de la pirámide tie -ne una gran escalinata, 91 escalo-nes por lado y 1 más que conduce al templo superior, dando 365, uno por día del año. Balaustradas de piedra flanquean cada escalera, y en la base de la escalinata norte se asientan dos colosales ca -bezas de serpientes emplumadas, efigies del dios Kukulcán. Es en estas es -calinatas, y muy particularmente en sus pretiles o balaustradas, donde se proyectan durante el transcurso del día equinoccial, las sombras de las aristas de las plataformas o basamentos superpuestos, que integran el gran edificio, configurándose así la imagen del cuerpo de la serpiente-dios, que al paso de

INTRODUCCIÓN

Actividad introductoria

Proyéctate

(4)

Aplicas funciones periódicas

beza pétrea situada en la base inferior de la escalinata. La forma que presen -ta Kukulcán es de una función senoidal, y la dis-tancia entre la parte más al-ta del lomo y la parte más baja de esta deidad es de 60 cm y cada cresta se repite cada 50 cm. Determina una expresión senoidal que simule la bajada de Kukul -cán. Más aún, si la pirámide tiene una inclinación de 35°, diseña una ecuación senoidal que descienda con un ángulo de esa magnitud.

Las funciones seno y coseno son llamadas funciones periódicas, ya que cada determinado período o intervalo de espacio o tiempo se repiten; también son llamadas armónicas.

• Seno

Actividad

(5)

B8

I. Con ayuda de tu maestro, coloca tu calculadora científica en radianes:

Completa la siguiente tabla y construye la gráfica de la función y = senx, pun -to por pun-to:

X 0 π/8 π/4 3 π/4 π/2 5π/8 3π/4 7π/8 9π/8 5π/4 11π/8 6π/4 13π/8 7π/4 15π/8 2π

• Coseno

(6)

Aplicas funciones periódicas

Realiza la gráfica de la función y = cosx con ayuda de tu maestro:

X 0 π/8 π/4 3 π/4 π/2 5π/8 3π/4 7π/8 9π/8 5π/4 11π/8 6π/4 13π/8 7π/4 15π/8 2π

Como podrás observar, la similitud entre ambas gráficas es evidente, ambas tienen como dominio = {x ∈ R|−∞ < x <∞} y su rango = {y ∈ R| −1 ≤ y ≤ 1}, la diferencia que existe entre ellas es un “desfasamiento”, es decir, la función se -noidal intersecta al origen y la función coseno cuando x = 0 pasa por y = 1; esto significa que están desfasadas 90°, o mejor dicho: π

2

Características de las funciones periódicas:

y = sen(bx − c) + d

Veamos cómo afecta cada una de las diferentes constantes a la función seno.

(7)

B8

Tomemos un valor de a cualquiera, por ejemplo: a = 3.

NOTA. De aquí en adelante la función en color azul es la función y = senx y en rosa las funciones desplazadas.

Se observa que al parecer los puntos aumentan hacia arriba dos unidades.

Por lo tanto, si aumentamos el valor de a a, a = 5 podemos predecir que los puntos se van a alargar hacia arriba cuatro unidades respecto a y = senx

Efectivamente, se desplazó cuatro unidades hacia arriba respecto a la fun -ción y = senx; por consiguiente, el coeficiente “a” nos modificará la amplitud, la cual queda definida como:

(8)

Aplicas funciones periódicas

Amplitud = |a|

Retomando las tres funciones analizadas concluimos que:

La función y = senx tiene una amplitud de una unidad.

La función y = 3senx tiene una amplitud de tres unidades.

Finalmente, la función y = 5senx tiene una amplitud de cinco unidades.

Ahora, analicemos cómo cambia la gráfica de la función y = senx cuando va -riamos b, de tal manera que ahora probaremos con b = 3.

Al variar este elemento, observamos cómo las ondas se comprimen, y en un espacio menor se repiten más veces. Se observa que mientras una onda se ge -nera con y = senx, con y = sen5x se generan cinco ondas (una onda es la que está compuesta de una cresta y un valle). Al parecer el coeficiente de la varia -ble independiente modifica el número de ondas que se generan; ahora vea -mos si grafica-mos la función y = sen2x, el número de ondas que tendremos será de dos ondas por cada una que se

genera con y = senx.

Efectivamente, se observa que por cada ondulación de la función y = senx se for -man dos de la función y = sen2x.

(9)

B8

Periodo: las veces que se repiten las ondas en un intervalo igual a 2π, de otra manera podemos decir que el periodo es el tiempo que tarda en formarse una onda, un ciclo o una revolución completa, para estos casos es igual a:

T b

=2π

De igual manera ya estamos en condiciones de definir a la frecuencia:

Frecuencia es el recíproco del periodo o el número de ondas, ci -clos o revoluciones en la unidad de tiempo; matemáticamente se expresa:

f= b

Ahora veamos cómo se modifica con el cambio de c; para ello, reescribamos la ecuación original y = asen(bxc) + d

Factorizamos dentro del ángulo ab y obtenemos:

y asen b x c

b d

=  −

   



 +

Comencemos por agregarle tres unidades a la variable independiente:

De tal manera que y = senx queda modificada, y = sen(x − 3)

Es decir, nuestra función se desplazó tres unidades hacia la derecha.

Concluimos que si b

c es positivo, nuestra función se desplazará b

(10)

Aplicas funciones periódicas

Veamos cómo sería un desplazamiento hacia la izquierda:

Verificar el desplazamiento de la función y = sen(x + 3)

Factorizando nos queda y sen x= + =sen x− − 

  

 

 

 

 

( 3) 1 3

1 b

c = − 3

1, lo cual indica que nuestra gráfica se desplazará −3 unidades, o mejor

dicho tres unidades a la izquierda:

Efectivamente, se desplazó tres unidades a la izquierda.

El último elemento por modificar es d.

(11)

B8

La función se desplazó cuatro unidades hacia arriba.

Comprobemos que en realidad se presente, ahora busquemos desplazar la función y = senx, 2 unidades hacia abajo:

y = (senx) − 2

Efectivamente, la función y = senx se desplaza dos unidades hacia abajo.

Estos efectos también son válidos para la función y = cosx, de tal manera que también queda: y = a cos(bx − c) + d, o también y a b x c

b d =  −       + cos

I. Obtén los valores de a, b, c, d, bc, la frecuencia, el periodo y la amplitud de las siguientes funciones. Comprueba tus resultados graficando con ayuda de un software:

1. y = 4sen(2x − 1) + 3 2. f(x) = −3sen(6 − 5x) − 1

3. y = −senx(1 − x) 4. f x

( )

= sen x−   − 3 2 2 3 5 4 19 2

5. y= sen x

  

9 2

4

-π 6. f(x) = −8sen(x − 4) + 6

7. y=1

(

x+

)

2cos π 3 8. f(x) = −cosx

(12)

Aplicas funciones periódicas

II. ¿Qué elementos variarías para que la función y = cosx se superponga a la función y = senx, es decir, una quede encima de la otra?

Emplea funciones periódicas

Las funciones senoidales son utilizadas para modelar movimientos cíclicos en problemas en la física, la medicina, etc. Veamos algunos ejemplos.

Un péndulo simple es un cuerpo idealizado consistente en una masa puntual suspendida por una cuerda ligera e inextensible, la fuerza restauradora que -da defini-da por:

F = −mg sin x

en donde:

m = masa suspendida

g = es el valor de la gravedad, 9.8m/s2

x = es el ángulo de inclinación

Si la siguiente gráfica representa un péndulo, ¿cuál es la masa de la masa sus -pendida al final de la cuerda?

(13)

B8

Si eres observador, te darás cuenta que el valor de a, que es la amplitud de la onda senoidal, es igual al peso. Si sabemos que la amplitud de la onda es de −20; por consiguiente, podemos plantear la siguiente ecuación:

20 = m(9.8)

despejando la masa:

m

m kg

= − − =

20 9 8 2 04 . .

Nuestro péndulo tiene una masa de 2.04 kg.

Resuelve lo siguiente:

1. La función f x

( )

= 1 x

10sinπ representa el oleaje que hay en una playa del Japón, suponiendo que las olas se comportan bajo esta condición ma -temática, ¿cómo está el oleaje? Es decir, las olas ¿estarán muy grandes? ¿Cuál es el periodo de este oleaje? Si en un momento determinado surgiera un tsunami y se formaran olas de aproximadamente 30 m de altura y de hasta diez minutos entre cresta y cresta: ¿cómo quedaría modificada la función anterior?

2. El desplazamiento de un sistema masa resorte está dado por la ecuación:

x = Acos(wt + φ)

A = amplitud en metros

w = velocidad angular en rad/seg φ = es una constante

Según la siguiente gráfica ¿cuál es el valor de la velo -cidad angular?

(14)

Aplicas funciones periódicas

3. Un aparato de aire acondicionado es alimentado con corriente eléc -trica sinusoidal con un voltaje máximo V=220 2 volts, a una fre -cuencia de 60 Hertz, escribe una ecuación que exprese el voltaje (V) como una función respecto al tiempo (t), supón las condiciones ini -ciales V = 0 cuando t = 0.

4. En la ciudad de Perote, en el año de 2010, se registró una temperatura promedio de 15.8, oscilando la máxima temperatura entre 36° y 4.4 °C, esta última se registró en enero y diciembre; obtén un modelo sinusoi -dal y realiza la gráfica.

Verificando tus desempeños

El objetivo de esta autoevaluación es que verifiques en forma individual tus avances durante este bloque, detectando tus áreas de oportunidad. Por esta razón, encontrarás los desempeños que se esperan de ti, cada problema que implique una dificultad es un área de oportunidad en la que deberás centrar tu atención y tus estudios.

Con ayuda de tu maestro, escribe aquí tus áreas de oportunidad:

I. Contesta lo siguiente:

1. Describe la relación que existe entre las funciones trigonométricas y las seno y coseno.

2. ¿Que relación observas entre la función seno y la función coseno?

3. Argumenta la elección de una de las dos formas sinusoidales para mo -delar una situación o fenómeno específico.

II. Responde correctamente las siguientes preguntas.

(15)

B8

Obtiene la amplitud y el periodo para graficar una función senoidal.

2. Dada la función f(x) = 11sin(4x − 3) determina su amplitud y su periodo y realiza un bosquejo de su gráfica.

Describe la relación entre periodo y frecuencia.

3. ¿Podemos decir que periodo y frecuencia son lo mismo? Sí o no y ¿por qué?

Resuelve o formula problemas de su entorno u otros ámbitos que pueden re -presentarse mediante funciones sinusoidales.

(16)

Referencias

Documento similar

E Clamades andaua sienpre sobre el caua- 11o de madera, y en poco tienpo fue tan lexos, que el no sabia en donde estaña; pero el tomo muy gran esfuergo en si, y pensó yendo assi

Por su parte, de forma teórica y a partir de la volun- tad política favorable de los Estados miembros, la Comisión de Asuntos Exteriores, Seguridad y Política de Defensa del

Tras establecer un programa de trabajo (en el que se fijaban pre- visiones para las reuniones que se pretendían celebrar los posteriores 10 de julio —actual papel de los

En cuarto lugar, se establecen unos medios para la actuación de re- fuerzo de la Cohesión (conducción y coordinación de las políticas eco- nómicas nacionales, políticas y acciones

You may wish to take a note of your Organisation ID, which, in addition to the organisation name, can be used to search for an organisation you will need to affiliate with when you

Products Management Services (PMS) - Implementation of International Organization for Standardization (ISO) standards for the identification of medicinal products (IDMP) in

This section provides guidance with examples on encoding medicinal product packaging information, together with the relationship between Pack Size, Package Item (container)

(*) Conforme a lo establecido en el apartado 1.6 del Real Decreto 373/2020, de 18 de febrero de 2020, por el que se desarrolla la estructura orgánica básica del Ministerio de