Indice de un punto respecto de un camino cerrado

Indice de un punto

respecto de un

camino cerrado

5.1 INTRODUCCI ´ON

El n´umero de vueltas que da un camino cerrado alrededor de ciertos puntos (el ´ındice, the winding number de los textos en ingl´es) juega un papel insospechado en la teor´ıa de funciones de variable compleja, como se ir´a desvelando a lo largo del desarrollo de la misma; ello es debido a que tal n´umero puede expresarse como una integral, ligada con la variaci´on del logaritmo y, por ende, del argumento.

Tenemos aqu´ı un punto m´as en el que el an´alisis complejo presenta una fuerte componente geom´etrica, que va a hacer de los esquemas gr´aficos un elemento auxiliar muy ´util.

En la primera parte del cap´ıtulo definimos anal´ıticamente el concepto de ´ındice y probamos sus propiedades b´asicas. En la segunda parte, vemos que el ´ındice se corresponde efectivamente con el ‘n´umero de vueltas’, estudiando variaciones del argumento tras introducir los importantes conceptos de argumentos continuos y logaritmos continuos a lo largo de un camino, emparentados (pero no equiparables) con las determinaciones del argumento y del logaritmo.

Un excelente libro de referencia, con abundantes comentarios y figuras, es Palka, B. P.: An Introduction to Complex Function Theory. Springer, New York (1991); un enfoque muy geom´etrico se encuentra en Needham, T.: Visual Complex Analysis. Clarendon Press, Oxford (1997). A un nivel m´as elevado, Burckel, R. B.: An Introduction to Classical Complex Analysis,Vol. 1. Birkh¨auser, Basel (1979).

5.2 DEFINICI ´ON Y PRIMERAS PROPIEDADES

Definici´on. Sea γ un camino cerrado. Para z ∈/ sopγ,

Ind_γ(z) = 1 2πi

γ

dw w−z

se llama ´ındice de z respecto de γ.

Propiedades.

1. La funci´on Ind : C\sopγ −→ Ces anal´ıtica.

Es un caso particular del teorema de analiticidad de funciones definidas me-diante integrales.

2. Ind_γ(z) ∈ Z, ∀z ∈ C\sopγ.

En efecto, sea γ : [a,b] −→ C, a = t₀ < t₁ < . . . < t_n = b tal que la restricci´on deγ a cada [t_j−1,t_j] tenga derivada continua. Entonces,

Ind_γ(z) = 1 2πi

b

a

γ_(t)

γ (t)−z dt = 1 2πi

n

j=1 tj

tj−1

γ_(t)

γ (t)−z dt. (1)

Para cada j = 1,2, . . . ,n, definimos las funciones

gj : s ∈ [tj−1,tj] −→ gj(s) =

s

tj−1

γ_(t)

γ (t)−z dt ∈ C. Por el teorema fundamental del c´alculo, las gj son derivables, siendo

g_j(s) = γ

_(s)

γ (s)−z.

De aqu´ı,

d ds

egj(s)

γ (s)−z

= egj(s)

_g

j(s) γ (s)−z −

γ_(s)

(γ (s)−z)2

= 0,

por tanto,

egj(s)

γ (s)−z =Cte =

egj(tj−1)

γ (t_j−1)−z =

e0 γ (t_j−1)−z (la constante es, por ejemplo, el valor en s = tj−1). As´ı,

egj(tj) = γ (tj)−z

γ (tj−1)−z. (

2)

De la ecuaci´on (1), con las notaciones que hemos introducido, tenemos:

Ind_γ(z) = 1 2πi

n

j=1

Entonces, por (2),

e

n

j=1gj(tj) =

n

j=1

γ (tj)−z γ (t_j−1)−z =

γ (b)−z

γ (a)−z = 1,

pues el camino es cerrado. Por ´ultimo, esto implica que existe k ∈Z tal que n

j=1

gj(tj) = 2kπi ⇒ Indγ(z) = k ∈Z.

3. La funci´on Ind_γ es constante en cada componente conexa de C\sopγ. Esto es claro, por ser continua y tomar valores enteros.

4. Ind_γ = 0en la componente no acotada de C\ sopγ. En efecto, basta observar que

|Ind_γ(z)| ≤ 1

2π longγ ·_w∈supsopγ 1

|w−z|.

Como sopγ es acotado, podemos tomar z en la componente no acotada con m´odulo suficientemente grande para que |Ind_γ(z)| < 1. Como debe ser un entero, no queda otra posibilidad que Ind_γ(z) = 0.

Ejemplos. 1. Seaγ = ∂D(a;r)la circunferencia de centro a y radio r (orientada

positivamente). Entonces Ind_γ(z) = 1 si|z −a| <r , Ind_γ(z) =0 si |z −a| >r . En efecto: puesto que D(a;r) es conexo, para todo z ∈ D(a;r) ser´a

Ind_γ(z) = Ind_γ(a) = 1 2πi

2π

0

r i ei t

r ei t dt =1.

Por otra parte, {z ∈ C : |z −a| > r} es la componente no acotada de C \ sopγ, luego para estos z el ´ındice es 0.

2. De manera an´aloga, siγ es la circunferencia de centro a y radio r recorrida k veces en sentido positivo (k ∈ N), es decir,

γ : t ∈ [0,2π] → γ (t) = a +r ei kt ∈C,

se obtendr´ıa Ind_γ(z) = k si|z −a| < r , Ind_γ(z) = 0 si|z −a| > r . Y siγ es la circunferencia de centro a y radio r recorrida k veces en sentido negativo (k ∈ N), es decir,

γ

γ

γ

0

se obtendr´ıa Ind_γ(z) = −k cuando |z −a| < r , Ind_γ(z) = 0 cuando|z −a| >r . 3. El c´alculo directo del ´ındice se complica incluso en situaciones aparente-mente muy sencillas. Por ejemplo, seaγ “el cuadrado de v´ertices±1±i ”, es decir, la poligonal [1+i,−1+i ]∪[−1+i,−1−i ]∪[−1−i,1−i ]∪[1−i,1+i ].

Entonces

Ind_γ(0) = 1 2πi

γ

d z z

= 1

2πi

[1+i,−1+i ] d z

z +

[−1+i,−1−i ] d z

z +

[−1−i,1−i ] d z

z +

[1−i,1+i ] d z

z

= 1

2πi

[−1−i,1−i ]∪[1−i,1+i ]∪[1+i,−1+i ] d z

z + 1 2πi

[−1+i,−1−i ] d z

z

= 1

2πi

Log(−1+i)−Log(−1−i)

+ 1

2πi

Log_[0,2π)(−1−i)−Log_[0,2π)(−1+i)

= 1

2πi

3πi

4 −

−3πi

4

+ 1

2πi

5πi

4 −

3πi 4

= 1

puesto que Log z es una primitiva de 1/z en C\(−∞,0] (que contiene al soporte de [−1−i,1−i ]∪[1−i,1+i ]∪[1+i,−1+i ]) y Log_[0,2π)(z)lo es en C\[0,+∞), que contiene al soporte de [−1+i,−1−i ].

En este ejemplo concreto, es posible sustituir en el c´alculo el camino por otro m´as c´omodo, concretamente por la circunferencia unidad∂D(0;1). En efecto:

Seanγ₁ = [1,1+i ],γ₂ =[1+i,i ] yγ₃el primer cuadrante de la circunferencia orientado negativa-mente, como se indica en la figura. Puesto que 0 queda (“a ojo”) en la componente conexa no aco-tada del complementario del soporte del camino cerradoγ₁∪ γ₂ ∪γ₃, tendr´a ´ındice 0 respecto del mismo. Por tanto

1 2πi

γ1∪γ2∪γ3

d z

z = 0,

con lo cual

γ1∪γ2

d z z = −

γ3

d z z =

−γ3

d z z .

Repitiendo el proceso en los dem´as cuadrantes y sumando convenientemente, sin perder de vista las orientaciones, llegamos a

1 2πi

γ

d z z =

1 2πi

∂D(0;1)

Con “ayudas visuales” como ´esta podremos ir ampliando la complejidad de las situaciones con las que nos enfrentemos. No obstante, nos serviremos mejor todav´ıa de la intuici´on geom´etrica viendo que el ´ındice corresponde, como se˜nal´abamos en la introducci´on, al n´umero de vueltas (suma de vueltas positivas y negativas) que da el camino alrededor del punto. La manera m´as obvia de medir estas vueltas es seguir la variaci´on del ´angulo que va formando el segmento [z₀, γ (t)] con el segmento [z0, γ (a)] cuando t va recorriendo el intervalo [a,b] en el que est´a definida γ.

En C, hablar de ´angulos es hablar de argumentos, y los argumentos son la parte imaginaria de los logaritmos. Si repasamos los c´alculos efectuados anteriormente, se comienza a vislumbrar un enfoque del problema: la conveniencia de “empalmar adecuadamente logaritmos sobre trozos del camino” para poder calcular el ´ındice, que relacionaremos con los argumentos correspondientes. La formalizaci´on de estos procedimientos es el objeto de la secci´on siguiente.

5.3 INTERPRETACI ´ON GEOM ´ETRICA DEL ´INDICE

Comenzamos con las definiciones de los conceptos que recogen las ideas que acabamos de apuntar.

Definici´on. Sea γ : [a,b] −→ C un camino tal que γ (t) = 0, ∀t ∈ [a,b]. Diremos que:

1. f : [a,b] −→ Ces un logaritmo continuo a lo largo deγ, si f es continua en [a,b], y f(t) ∈logγ (t),∀t ∈ [a,b].

2. h : [a,b] −→ Res un argumento continuo a lo largo deγ, si h es continua en [a,b], y h(t) ∈argγ (t),∀t ∈ [a,b].

Estos conceptos son, a primera vista, muy parecidos a los ya tratados (deter-minaciones en regiones), pero existe una gran diferencia: aqu´ı, la variable es real, no atendemos prioritariamente al puntoγ (t)del soporte camino sino que ponemos ´enfasis en el “instante” t en el que el punto se alcanza. As´ı, puede suceder que sea γ (t1) = γ (t2) sin que f(t1) = f(t2) o h(t1) = h(t2), con las notaciones de la

definici´on.

Sin dificultad se prueba:

i) Si f₁, f₂ son dos logaritmos continuos a lo largo deγ, entonces

∃k ∈ Z f1(t) = f2(t)+2kπi, ∀t ∈ [a,b].

-2_x 0 2 4

-4 -2 0 2 4

y

iii) Si f es un logaritmo continuo a lo largo de γ, entonces h(t) = m f(t) es un argumento continuo a lo largo de γ.

iv) Si h es un argumento continuo a lo largo deγ, entonces f(t) = ln|γ (t)| +i h(t) es un logaritmo continuo a lo largo deγ.

Ejemplos.

1. Para cualquier camino γ tal que sopγ ∩(−∞,0] = ∅, Argγ (t)es un argu-mento continuo a lo largo de γ. (¿Por qu´e?)

2. Para cualquier camino γ tal que sopγ ∩[0,+∞) = ∅, Arg_[0,2π)γ (t) es un argumento continuo a lo largo de γ. (¿Por qu´e?)

3. Sean k ∈ Z, r > 0 y

γ : t ∈[0,2π] →γ (t) = r ei kt ∈C.

Entonces

h : t ∈ [0,2π] → h(t) =k t ∈C es un argumento continuo a lo largo deγ. (¿Por qu´e?)

4. Si se conocen argumentos continuos h₁y h₂de dos caminosγ₁ : [a,b] → C, γ2 : [a,b] → C, y se define mediante su producto un nuevo camino

γ : t ∈ [a,b] →γ (t) = γ1(t)γ2(t) ∈C,

entonces h1+h2 es un argumento continuo a lo largo deγ. (¿Por qu´e?)

Esta observaci´on es m´as ´util de lo que pudiera pensarse. Por ejemplo, sea

γ : t ∈[0,2π] →γ (t) =e3i t +3 e2i t ∈ C.

(en la figura se tiene su representaci´on gr´afica).

Como e3i t +3 e2i t = e2i t(3+ei t), h(t) = 2t +Arg(3+ei t)ser´a un argu-mento continuo a lo largo de γ (n´otese que e(3 + ei t) > 0 para todo t ∈ [0,2π]).

Teorema. Sea γ : [a,b] −→ Cun camino tal que 0∈/ sopγ. Entonces, existe f : [a,b] −→ Clogaritmo continuo a lo largo deγ. Adem´as, f es derivable donde lo seaγ.

Demostraci´on. Con las mismas notaciones que en la demostraci´on de la propiedad 2 del ´ındice, consideremos como entonces la partici´on a =t0 < t1 < . . . < tn = b y, para cada j = 1,2, . . . ,n,

g_j : s ∈ [t_j−1,t_j] −→ g_j(s) =

s

tj−1

γ_(t)

γ (t) dt ∈ C.

Nuevamente, cada g_j es derivable en [t_j−1,t_j] y egj(s) = γ (s)

γ (tj−1)

. Por tanto, en

cada trozo,

egj(s)+Logγ (tj−1) = γ (_s), _s ∈_[t

j−1,tj]

Llamemos f_j(s) = g_j(s)+Logγ (t_j−1)y tendremos que efj(s) = γ (_s)_{. Esto quiere}

decir que hemos demostrado el teorema por trozos. Ahora, tendremos que ajustar bien los empalmes, pero esto no es ninguna dificultad, pues, por ejemplo, en t1,

f₁(t₁) y f₂(t₁) son logaritmos de γ (t₁), luego se diferencian en un 2kπi , con k ∈ Z. Digamos que los saltos en los extremos de los intervalos son del tama˜no 2kπi , con determinados k ∈ Z. Entonces, al modificar las funciones sumando el correspondiente 2kπi , arreglamos la continuidad sin perder el hecho de ser logaritmos. En otras palabras, la soluci´on a nuestro problema ser´a la funci´on

f(t) =

        

f₁(t) (t₀ ≤ t ≤ t₁) f₂(t)+2k₁πi (t₁ ≤ t ≤ t₂) f₃(t)+2k₂πi (t₂ ≤ t ≤ t₃) . . . . . . . fn(t)+2kn−1πi (tn−1 ≤ t ≤ tn)

donde los k₁,k₂, . . . ,k_n−1 son los enteros adecuados para que f sea continua sin excepci´on en [a,b]. Es claro que

ef(t) = γ (t), ∀t ∈[a,b]

y f es derivable salvo en los puntos ti, es decir, donde lo es γ.

Corolario. Sea γ : [a,b] −→ Cun camino cerrado tal que 0 ∈/ sopγ. Sea h un argumento continuo cualquiera a lo largo de γ. Entonces

Ind_γ(0) = h(b)−h(a)

γ

_γ

_(t)

arg

γ

(t)

“1 vuelta”

La cantidad h(b)−h(a)se suele represen-tar por ARG

a≤t≤b γ (t), argγ o alguna no-taci´on similar, y se lee variaci´on de un ar-gumento continuo a lo largo del camino. Ind_γ(0)es as´ı la suma algebraica del n´ume-ro de veces que el argumento var´ıa en 2π. Gr´aficamente, pues, Ind_γ(0) corresponde al n ´umero de vueltas que da la curva alrededor del 0.

Demostraci´on. Usamos las mismas notaciones que en la demostraci´on del teorema, y sea h(t) = m f(t)(que es un argumento continuo). Tenemos

2πi Ind_γ(0) =

γ

dw w =

n

j=1 tj

tj−1

γ_(s)

γ (s)ds = n

j=1

(g_j(t_j)−g_j(t_j−1))

=

n

j=1

(f_j(t_j)− f_j(t_j−1)) = f(b)− f(a) = i(h(b)−h(a)).

Notemos para la ´ultima igualdad que f(b), f(a)son logaritmos del mismo n´umero γ (a) = γ (b), y por tanto, tienen la misma parte real. Por ´ultimo, esta variaci´on no depende del argumento continuo que tomemos, porque todos ellos se diferencian en una constante 2kπ.

Observaciones.

1. Quede claro una vez m´as que no se debe confundir ‘argumento continuo a lo largo de una curva’ (que siempre existe) con ‘argumento continuo sobre el soporte de la curva’ (que puede no existir). Por ejemplo, para la curva

γ : [0,2π] −→C γ (t) = ei t

no existe H : sopγ −→C continua tal que H(z) ∈ arg z, ∀z ∈ sopγ. Sin embargo, insistimos en que si para una curva γ existe H : sopγ −→ C continua, tal que H(z) ∈ arg z, ∀z ∈ sopγ, entonces H ◦γ es un argumento continuo a lo largo de la curva.

2. Para otro punto, distinto de 0, que no est´e en sopγ tenemos lo siguiente: Siγ : [a,b] −→ C, y z₀ ∈/ sopγ, trasladamos el camino mediante

z0

γ(t) γ

arg(γ(t)-z₀)

Indice 1

Indice 2

Indice 3 Indice 0

00

0

0

Entonces es claro que

Ind_γ(z0) = Indγ−z0(0)

= 1

2πarg(γ −z0),

es decir, el ´ındice respecto de γ del punto z0 es la variaci´on de un

argu-mento continuo a lo largo de la curva γ − z₀ y esto, geom´etricamente, sig-nifica el n ´umero de vueltas que da la curva γ alrededor del punto z₀. Por ejemplo, sobre esta idea, es f´acil para la curva dibujada a continuaci´on ver cu´al

es el ´ındice de cualquier punto del plano que no est´e sobre su soporte. Fi-jado un punto z₀ ∈/ sopγ, seguimos gr´aficamente la variaci´on del ´angulo que forma el radio vector que une z₀ con un punto que vaya recorriendo la curva, medida esta variaci´on res-pecto de la semirrecta de origen z0que pasa por el

punto inicial (y final) E . Por supuesto, el ´ındice se mantiene constante en cada componente conexa. 3. El ´ındice de caminos va a aparecer constantemente en el manejo de integrales.

La raz´on de fondo es la siguiente: dado un camino cerrado γ y a ∈/ sopγ,

γ(

z −a)nd z = 0, ∀n = −1, n ∈Z,

ya que las funciones(z−a)n tienen primitiva(z −a)n+1/(n+1)en C\ {a}, abierto que contiene a sopγ. S´olo queda saber que ocurre con n = −1, y de aqu´ı la noci´on de ´ındice.

As´ı por ejemplo, para integrar una funci´on racional sobre un camino cerrado,

γ

(P/Q irreducible), descomponiendo en fracciones simples s´olo har´a falta conocer los ´ındices respecto de γ de los ceros del denominador. En efecto: supongamos, para fijar ideas, que Q tiene una ra´ız doble z₁, una ra´ız simple z₂ y una ra´ız triple z₃, y que el grado de P es dos unidades mayor que el de

Q. Entonces

P(z)

Q(z) =az

2_{+bz +c+} A

(z −z1) +

A

(z −z1)2 +

B (z −z2)

+ C

(z −z₃) +

C

(z −z₃)2 +

C (z −z₃)3,

de donde

γ

P(z)

Q(z) d z = A

γ

d z

z −z₁ + B

γ

d z

z −z₂ +C

γ

d z z −z₃

(los t´erminos que no hemos escrito son todos nulos por el comentario previo), y as´ı

γ

P(z)

Q(z) d z =2πi

A Ind_γ(z₁)+ B Ind_γ(z₂)+C Ind_γ(z₃).

M´as adelante veremos una important´ısima generalizaci´on de este resultado, el teorema de los residuos.

4. La existencia de logaritmo y argumento continuo es cierta, m´as en general, para curvas, como se prueba sustituyendo en la demostraci´on anterior la construcci´on del logaritmo mediante integrales por una construcci´on directa (m´as delicada). Esto hace que se pueda extender la noci´on de ´ındice para curvas cerradas mediante la variaci´on de un argumento continuo. Las propiedades b´asicas que acabamos de obtener siguen siendo v´alidas en esta situaci´on m´as general. (Ver Burckel, loc. cit., Chap. IV.)

5. Curvas de Jordan e ´ındice. Recordemos que un espacio topol´ogico se de-nomina curva de Jordan si es homeomorfo a la circunferencia unidad T. El c´elebre teorema de la curva de Jordan establece:

sentido usual. Se demuestra (cf. Burckel, loc. cit., Th. 4.42, p´ag. 103) que para todos los puntos del interior de J el valor constante del ´ındice respecto deγ es 1 o−1. En el primer caso,se dice positivamente orientado, y negativamente orientado en el segundo.

Dada una curva cerrada simple, i.e., una aplicaci´on continua γ : [a,b] → C tal que γ (a) = γ (b) y γ|_[a,b) inyectiva, su soporte sopγ es una curva de Jordan. Para todos los puntos del interior de sopγ, el ´ındice respecto de γ es, pues, constantemente 1 o −1. En el primer caso,γ se dice positivamente orientada, y negativamente orientada en el segundo. Si G es el interior de sopγ, se pone a veces γ = ∂G cuando γ est´a positivamente orientada para indicar esta relaci´on.

5.4 EJEMPLOS Y EJERCICIOS Ejemplos.

1. En los caso m´as sencillos examinados antes (circunferencias, cuadrado) queda a la vista que An´alisis y Geometr´ıa encajan perfectamente.

2. Es interesante observar que si el soporte de un camino cerrado γ : [a,b] → C no corta al semieje real negativo (−∞,0], entonces Ind_γ(0) = 0, pues 0 est´a en la componente no acotada de C\ sopγ. Por la misma raz´on, Ind_γ(0) = 0 para todo camino que no corte a una curva cualquiera que una 0 con∞ en la esfera de Riemann.

3. Para el camino

γ : t ∈ [0,2π] → γ (t) = e3i t +3 e2i t ∈C,

el argumento continuo anteriormente obtenido muestra que Ind_γ(0) = 2, y el mismo valor tendr´a Ind_γ(a)para todos los a en la componente conexa de C\sopγ que contiene al origen. En la componente conexa no acotada sabemos que el ´ındice vale 0.

En la otra componente conexa acotada de C\sopγ, observamos gr´aficamente que el ´ındice vale 1. Puede justificarse anal´ıticamente, por ejemplo, hallando su valor en z =3; para ello escribimos

γ (t)−3 = ei t(e2i t +6i sen t)

y comprobamos que m(e2i t + 6i sen t) = 2 sen t(cos t + 3) s´olo se anula si sen t = 0, en cuyo caso e(e2i t + 6i sen t) = cos(2t) = 1. En consecuencia e2i t +6i sen t ∈/ (−∞,0] para ning´un t ∈[0,2π], y por tanto,

t +Arg(e2i t +6i sen t), t ∈[0,2π],

Ejercicio. Para valores “muy grandes” de R > 0 (luego precisaremos m´as), sea γ : t ∈[−R, R] → t3−(1+2i)t2−(3−7i)t +8−4i ∈ C.

Hallar la variaci´on de un argumento continuo a lo largo deγ.

Respuesta.

Para situar γ (t)seg´un los valores de t, estudiemos la variaci´on de signos de

x(t) := eγ (t) = t3−t2−3t +8,

y(t) := mγ (t) = −2t2+7t −4,

extendidas a todo t ∈R.

Como x(t) = 3t2−2t−3 se anula para t = 1−

√

10

3 < 0 y t

₌ 1+

√

10 3 > 0, mantendr´a su signo en los intervalos (−∞,t), (t,t), (t,+∞). Y puesto que limt→−∞x(t) = limt→+∞x(t) = +∞; x(t) > 1−(6/3)2 −(1+4) +8 = 0 y x(0) = −3 < 0, siendo 0 ∈ (t,t), podemos resumir esta informaci´on en el cuadro siguiente:

t → −∞ ∈ (−∞,t) = t ∈(t,0) =0 ∈ (0,t) =t ∈ (t,+∞) → +∞ x(t) → +∞ > 0 =0 < 0 = −3 < 0 = 0 > 0 → +∞

x(t) → −∞ =8 > 0 → +∞

del que se deduce que x(t) > 0, y por tanto existe un t0 ∈ (−∞,t) y uno s´olo

con x(t₀) = 0, mientras que x(t) ≥ x(t) > 0 para todo t ∈[0,+∞). Por otra parte y(t) = −2t2+7t −4 = −2(t−t₁)(t −t₂)con t₁ = 7−

√

17

4 ,

t₂ = 7+

√

17

4 , de modo que t0 <t

_{< 0 < t}

1 < t2 y, en consecuencia, obtenemos

la siguiente evoluci´on de signos para x(t), y(t), con la ubicaci´on de γ (t) = x(t)+i y(t):

t → −∞ ∈ (−∞,t₀) =t₀ ∈ (t₀,t₁) = t₁ ∈ (t₁,t₂) = t₂ ∈(t₂,+∞) → +∞

x(t) → −∞ <0 =0 > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 → +∞

y(t) → −∞ <0 <0 < 0 = 0 > 0 = 0 < 0 → −∞ γ (t) ∈C₃ ∈ −i P ∈ C₄ ∈P ∈ C₁ ∈ P ∈C₄

donde hemos puesto P = (0,+∞), C1 = {z ∈ C : e z > 0, m z > 0},

C₃ = {z ∈C : e z < 0, m z <0}, C₄ = {z ∈C : e z > 0, m z <0}.

Vemos as´ı que el soporte deγ no corta al semieje real negativo (−∞,0] (en particular, que 0 ∈/ sopγ), por lo que Argγ (t)es un argumento continuo a lo largo de γ, y, puesto que−R <t₀ < t₂ < R, podemos concluir que

ARG

−R≤t≤Rγ (t) = Argγ (R)−Argγ (−R)

= arc tg y(R) x(R) −

arc tg y(−R) x(−R) −π

= π +α(R),

donde

α(R) =arc tg y(R)

x(R) −arc tg

y(−R) x(−R),

que tiene l´ımite 0 cuando R → +∞ (este tipo de informaci´on nos ser´a ´util poste-riormente).

-20 -10 0 10 20 30

-40 -20 0 20

-4 -2 0 2 4 6

-10 -5 0 5 10

Gr´afica de γ (t) Gr´aficas de x(t)e y(t)

Ejercicio. Sea P(z) = zk +a1zk−1 + · · · + ak un polinomio de grado k ≥ 1, y para cada R > 0, sea

γR : t ∈[0, π] → γR(t) = P(R ei t) ∈ C.

Probar que lim

R→+∞0≤ARGt≤π γR(t) = kπ.

(Nos encontraremos m´as adelante en la necesidad de estudiar l´ımites de este tipo.)

Respuesta.

Notemos que

P(z) = zk g(z),

donde

lim

z→∞g(z) = zlim→∞

1+ a1

z + · · · + ak zk

0

1

Existir´a por tanto un R0 > 0 tal

que si |z| > R0 |g(z)−1| <1,

y, en particular, g(z) /∈ (−∞,0]. Toman-do, pues, R > R₀,

γR(t) = Rkei kt g(R ei t),

con g(R ei t) /∈ (−∞,0] para todo t ∈ [0, π], por lo cual

t ∈ [0, π] →kt +Arg g(R ei t) ∈R es un argumento continuo a lo largo deγR. En consecuencia

ARG

0≤t≤π γR(t) = kπ +Arg g(−R)−Arg g(R) si R > R₀. Pero entonces

lim

R→+∞0≤ARGt≤π γR(t) =kπ + R→+∞lim

Arg g(−R)−Arg g(R)

=kπ +Arg 1−Arg 1 = kπ.

5.5 AP ´ENDICE: SUPERFICIES DE RIEMANN

NOTA. Lo que a continuaci´on se expone es s´olo una descripci´on intuitiva, sin ninguna pretensi´on de rigor. Nos permitimos, por ello, algunas expresiones m´as desenfadadas que las habituales en un texto de Matem´aticas, que esperamos sirvan para un mejor entendimiento de las (profundas) ideas que se quieren reflejar.

Una y otra vez venimos chocando con los problemas que nos crea el hecho de que el logaritmo complejo es una funci´on multivaluada, que para cada complejo z no nulo nos obsequia con infinitos valores. Evidentemente, demasiados para poder actuar sobre ellos con las t´ecnicas habituales del An´alisis matem´atico.

logaritmo, de modo que podamos enfrentarnos a ´el trat´andolo como a una “funci´on verdadera”: cuando volvemos a un mismo punto con un valor distinto del loga-ritmo tras una variaci´on continua del mismo, podemos interpretar que este punto est´a situado en una copia del plano de partida, superpuesta al plano original pero distinta (“por eso” aparece un valor distinto del logaritmo). La cuesti´on entonces es c´omo pegar las infinitas copias necesarias, de manera que mantengan una estructura razonable.

Para lograrlo, Riemann imagin´o infinitas copias de C, llam´emosles [C,n] por ejemplo(n ∈Z), cortadas a lo largo del semieje real [0,+∞); partiendo de [C,0], le unimos [C,1] enganchando el borde inferior del corte de [C,0] con el borde superior del corte de [C,1]; luego seguimos el proceso uniendo [C,1] con [C,2] enganchando el borde inferior del corte de [C,1] con el borde superior del corte de [C,2], y as´ı sucesivamente. De forma similar se va uniendo [C,0] con [C,−1] (recordemos que [C,0] a´un tiene libre el borde superior), [C,−1] con [C,−2], etc.

Se obtiene as´ı un ‘objeto imposible’, una especie de h´elice infinita completa-mente aplastada, que se denomina la superficie de Riemann del logaritmo. Cada una de las copias de C es una hoja de la superficie, y es posible considerar el logaritmo como una funci´on genuina con dominio en su superficie de Riemann, que va adjudicando valores seg´un la hoja en la que est´e situado el punto (tal como el logaritmo continuo a lo largo de una curva va dando valores seg´un el par´ametro). La misma idea puede emplearse para adecentar otras funciones. El ejemplo m´as sencillo es la ra´ız cuadrada: una ra´ız cuadrada continua a lo largo de la cir-cunferencia unidad (definici´on obvia) que parta, por ejemplo, del valor 1 en 1, nos devolver´ıa a este punto tras completar la vuelta con el valor −1 (si continu´asemos girando, tras la siguiente vuelta recuperar´ıamos el valor 1). Ahora ser´ıa suficiente contar con dos copias [C,−1], [C,−2] de C, cortadas otra vez a lo largo del semieje real no negativo, pegadas uniendo el borde inferior del corte de [C,1] con el borde superior del corte de [C,2], y despu´es el borde inferior del corte de [C,2] con el borde superior del corte de [C,1], dej´andolo todo de una sola pieza.

La descripci´on del propio Riemann en su obra sobre funciones abelianas dice as´ı:

funci´on. Alrededor de un punto de ramificaci´on de la funci´on una hoja de la super-ficie contin´ua en otra, de manera que en el entorno de tal punto la supersuper-ficie puede mirarse como una superficie helicoidal con eje a trav´es del punto y perpendicular al plano(x, y), y pendiente infinitesimal. Cuando la funci´on retorna a su valor previo tras un n´umero de vueltas de z alrededor del punto de ramificaci´on (como, por ejemplo, con (z −a)m/n, cuando m, n son primos relativos, despu´es de n vueltas de z alrededor de a), entonces naturalmente hay que suponer que la hoja de m´as arriba baja a trav´es de las otras a unirse con la inferior.

La funci´on multivaluada tiene s´olo un valor para cada punto de esta superficie que representa su ramificaci´on, y por tanto puede ser vista como una funci´on completamente determinada sobre la superficie.”

Puede darse una definici´on satisfactoria de las superficies de Riemann de las “inversas multiformes” que nos han ido apareciendo, incluidas en la definici´on general de superficie de Riemann abstracta que introdujeron b´asicamente Weyl y Rad´o. T´ecnicamente, una superficie de Riemann es una variedad compleja conexa de dimensi´on 1 (por tanto, de dimensi´on real 2) dotada de una estructura anal´ıtica. Esto ´ultimo significa que si dos cartas (U, ϕ), (V, ψ) se cortan, los cambios de coordenadas ϕ ◦ψ−1 y ψ ◦ϕ−1 son funciones (complejas de variable compleja) anal´ıticas.