TEMA 1 – LOS NÚMEROS REALES
1.1 LOS NÚMEROS REALES.-LA RECTA REAL
Los NÚMEROS RACIONALES:
• Se caracterizan porque pueden expresarse:
− En forma de fracción, es decir, como cociente b a
de dos números enteros: a, y b ∈ Z con b ≠ 0
− En forma decimal: Con un número entero o bien con una expresión decimal finita o periódica. • El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.
PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL
Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división del numerador entre el denominador.
Ejemplos:
PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN
tenga decimales cifras
como tos
de seguido
coma n
exacto d
0 tan 1
sin º
. =
periodo el
tenga cifras como tos
por formado n
periódica no
parte su arquito y
coma n
puro periódico d
9 tan º
sin sin
º
o anteperiod el tenga cifras como tos de seguido periodo el tenga cifras como tos con n coma periódica no parte su arquito y coma n mixto p d 0 tan 9 tan º sin sin sin º . . = −
Los NÚMEROS IRRACIONALES: • Se caracterizan porque:
− No pueden expresarse en forma de fracción.
− Su expresión decimal tiene infinitas cifras y no es periódica. • El conjunto de todos los números irracionales se designa por I.
Ejemplos:
• Raíces no exactas de números enteros: 3 4 8 ; 5 ; 2
• Expresiones decimales infinitas no periódicas que presentan algún tipo de regularidad: 15’01001000100001…..; 0’1234567891011121314………
• Números importantes como: π =3'14159265...; e=2'718281...; 1'618... 2
5
1+ =
= Φ
Los NÚMEROS REALES:
Tanto los números racionales como los irracionales se llaman números reales.
Con los números reales podemos realizar las mismas operaciones que hacíamos con los números racionales: sumar, restar, multiplicar, dividir (salvo por el cero), y elevar a un exponente entero, y se siguen manteniendo las mismas propiedades (libro S.M. pág. 14, en el margen).
También podemos extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice par de números negativos) y el resultado sigue siendo un número real.
Para realizar estas operaciones se pueden utilizar aproximaciones tomando el número de cifras
decimales que se considere apropiado. El resultado será una aproximación del valor real y se cometerá un error cuya magnitud dependerá del número considerado de cifras decimales.
LA RECTA REAL
Los números reales se representan en la recta graduada:
Los que son racionales se pueden dibujar de forma exacta (usando regla y compás) • Representación de naturales, enteros o decimales exactos
Ejemplo: 2; 3,47
• Decimal periódico:
Pueden expresarse en forma de fracción y representar la fracción (Se divide cada unidad en tantas partes como indique el denominador y se toman tantas como tenga el numerador)
Ejemplo: 11/6 = 1 + 5/6 (Se divide igual pero la unidad entre el 1 y el 2)
Ejemplo: -11/6 = -1 – 5/6 (Se divide igual pero la unidad entre el –1 y el –2)
• Decimal no periódico: Irracionales
No obstante, en la recta numérica hay infinitos puntos no ocupados por números racionales. A cada uno de estos puntos le corresponde un número irracional:
Solo algunos números irracionales pueden ser representados sobre la recta graduada con
regla y compás:
los radicales cuadráticos
( 2, 3, 5, 6, ……). Se pueden representarconstruyendo triángulos rectángulos (Se utiliza el teorema de Pitágoras donde la hipotenusa es lo que queremos dibujar)
Ejemplo: 10
Ejemplos: Representa 5 ; 14; 18 ; 27
Si un número irracional viene dado por su expresión decimal, podemos representarlo, de forma aproximada:
Ejemplo: 3,470470047...
Podemos afinar tanto como queramos.
Los números reales pueden ser representados en la recta real, según los casos, de forma exacta, o bien
con tanta aproximación como queramos.
1.2 ORDENACIÓN DE NÚMEROS REALES. DESIGUALDADES.-
Si tenemos varios números reales representados sobre la recta, cuanto más pequeño sea el número real, más a la izquierda estará representado sobre la recta.
Entre varios números reales expresados en forma decimal, es menor el que tenga menor la
primera cifra distinta de mayor orden.
Ejemplo: Ordena de menor a mayor: 7'512) ;7'51234...;7'512;7'5112233...;7'5)
Entre dos números reales hay infinitos números reales (el valor media aritmética de los dos es real y está entre ambos).
1.3 INTERVALOS, SEMIRECTAS Y ENTORNOS.-
La relación de orden permite definir algunos subconjuntos muy utilizados de números reales que tienen una interpretación sencilla en la recta real:
Nota: Si queremos nombrar el conjunto de números reales formado por dos o más de estos intervalos,
se utiliza el signo ∪ (
unión
) entre ellos.ENTORNOS:
Se llama entorno de centro a y radio r y se designa E(a,r) al conjunto de puntos (a–r , a+r)
Se llama entorno reducido de centro a y radio ry se designa E*(a,r) al entorno E(a,r) menos el centro(a): E*(a,r) = (a – r, a + r) – {a}
1.4 – VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL
El valor absoluto de un número real, a, es la distancia (medida en unidades) desde el punto de la recta real que representa al número a hasta el que representa al 0.
Se calcula: con el propio número a, si es positivo, o su opuesto, -a, si a es negativo:
< −
≥ =
0 0 a si a
a si a a
(Es decir, sale siempre un número positivo).
El valor absoluto de un número coincide con el de su opuesto: a = −a
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE LA RECTA REAL
La distancia entre dos puntos “a” y “b” es su diferencia en valor absoluto: d(a,b)= b−a
Ejemplo: La distancia entre -2 y 5 es: 5−(−2) = 7 =7 unidades.
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO:
• a ≥0 para cualquier nº a. • a⋅b = a ⋅b
• a+b ≤ a + b (Propiedad triangular).
1.5 EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS REALES. VALORES
APROXIMADOS.ERRORES Y COTAS DEL ERROR.
APROXIMACIÓN DECIMAL
Aproximar un número real es sustituirlo por otro racional (ya sea entero o decimal exacto o fracción),
con valor muy próximo al suyo.
Se dice que la aproximación se hace por defecto cuando la sustitución es por un número menor que el
original, y por exceso cuando la sustitución se hace por un número mayor que él.
Las aproximaciones se hacen a un orden dado.
En cada aproximación coinciden todas sus cifras con las del número original hasta llegar a la cifra
correspondiente al orden establecido. Esta última cifra también coincide si la aproximación es por defecto, y es una unidad mayor que la del número original si la aproximación es por exceso
Ejemplo: Escribe una aproximación por defecto y otra por exceso de 3 hasta las milésimas:
... 7320508 '
1
3 = Por defecto: 1’732 Por exceso: 1’733
ERRORES
Al utilizar cualquier aproximación de un número real se comete un error, que será menor cuantas más cifras decimales tenga la aproximación.
Error absoluto = valor real−aproximación
Pero no es lo mismo cometer un error de 1 cm al medir la longitud de la clase que al medir la distancia del instituto al paseo; por eso tiene sentido definir:
Error relativo =
real valor
absoluto Error
Estos errores no se pueden calcular de forma exacta cuando el valor aproximado es de un número irracional (valor exacto desconocido).
Ejemplo: Calcula el error absoluto y relativo que se comete al tomar 1’17 como valor aproximado del
número 6 7
.
Solución: Error absoluto = − = − = − = − =
= 600 702 600 700 100 117 6 7 17 ' 1 6 7 100 117 17 ' 1 ón aproximaci real valor = = − = 300 1 600 2 3 00 ' 0 )
Error relativo = = = = = 350 1 2100 6 6 7 300 1 real valor absoluto Error % 28514 ' 0 285714 00 ' 0 ó REDONDEO
Para redondear un número a un cierto orden, se desprecian todas las cifras siguientes al orden indicado. -Si la primera cifra despreciada es inferior a 5 (0,1,2,3,ó 4), se toma como redondeo la
aproximación por defecto.
- Si la primera cifra despreciada es superior o igual a 5 (5,6,7,8,ó 9), se toma como redondeo la aproximación por exceso.
Ejemplo: El redondeo de 7 =2'64575131...a las centésimas es: 2’65
1.6 NOTACIÓN CIENTÍFICA
Sirve para expresar números muy grandes y muy pequeños.
Ejemplo: Los números siguientes están puestos en notación científica:
2,48 . 1014= 248.000.000.000.000 (14 cifras a partir de la coma)
7,561. 10-14= 0,00000000000007561 (14 cifras cero, incluido el de la parte entera)
Un número puesto en notación científica consta de dos factores:
• Un número decimal exacto cuya parte entera está formada por una única cifra distinta de 0. • Una potencia de 10
N = a , bcd... x 10 n
Si n es positivo, el número N es “grande” Si n es negativo, el número N es “pequeño”.
OPERACIONES CON NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
Para sumar y restar: hay que preparar los sumandos de modo que todos tengan la misma potencia de
base 10 y así poder sacarla factor común.
Ejemplo:
El producto, el cociente y la potencia son inmediatos:
