Aplicaciones de las EDO de primer orden
Yoel E. Gutiérrez T.
UNEXPO - Puerto Ordaz
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Modelos matemáticos
La técnica de representación de nuestro mundo real en términos matemáticos se ha convertido en una herramienta invaluable para que los cientí…cos profundicen más en el conocimiento de la naturaleza y los ingenieros den respuestas a problemas técnicos. Este proceso de imitación de la realidad mediante el lenguaje de las matemáticas se conoce como modelación matemática.
Las leyes del universo están escritas en el lenguajes de las matemáticas. El álgebra es su…ciente para resolver muchos problemas estáticos, pero los fenómenos naturales más interesantes implican cambios y se describen sólo por medio de ecuaciones que relacionen las cantidades que cambian.
Puesto que la derivada dxdt = f0(t) de la función f es la razón a la cual la
can-tidad x = f(t) está cambiando con respecto a la variable independiente t, es na-tural que las ecuaciones diferenciales se usen con frecuencia para describir el universo cambiante.
El proceso crucial de la modelación matemática incluye lo siguiente:
1. Formulación de un problema del mundo real en términos matemáticos; esto es, la construcción de un modelo matemático.
2. Análisis o solución del problema matemático resultante.
3. Interpretación de los resultados matemáticos en el contexto original de la situación del mundo real; por ejemplo, responder la pregunta originalmente planteada.
realista y lo que es matemáticamente posible. Por consiguiente, el paso más crucial y delicado en el proceso es la construcción de un modelo que salve adecuadamente esta brecha entre el realismo y la factibilidad. Se deben encontrar caminos para simpli…car el modelo matemáticamente sin sacri…car las características esenciales de la situación del mundo real.
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Interés compuesto continuo
Si se depositan c Bs. en una banco que paga una tasa anual de interés del r%, compuesto anualmente, entonces trast años el capital acumulado será
P =c 1 + r 100n
nt
: (1)
Si se hace crecer n de modo que el interés se compone con frecuencia cada vez mayor, tendemos al caso límite en que el interés se compone continuamente. Para este caso, observemos que
l{m
n!1 1 +
r
100n
nt
= l{m
n!1 1 +
r
100n
100n r
r
100t
=e100r t;
luego
P =ce100r t: (2)
Describimos esta situación diciendo que la cantidad P crece exponencialmente, o que es un ejemplo de crecimiento exponencial. Para obtener el PVI que modela esta situación, derivamos (2), obteniendo
dP dt =c
r
100e r
100t= r
100P;
luego el PVI requerido es
dP dt =
r
100P; P(0) =c:
donde t se mide en años.
3
Crecimiento y decaimiento
crece en forma proporcional a la población total P(t), de ese país en cualquier mo-mento t. En otras palabras, mientras más personas hayan en el momento t, habrá más en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar
dP
dt =kP; (3)
donde k es una constante de proporcionalidad. A pesar de que este sencillo modelo no tiene en cuenta muchos factores (por ejemplo, inmigración y emigración) que pueden in‡uir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial (3) aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos.
El modelo (3) también se aplica al fenómeno de la desintegración radiactiva y a sistemas biológicos. En este modelo se puede notar que en el caso del crecimiento
k >0, y en el caso del decaimiento o desintegración k <0.
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Ley de Newton del enfriamiento
La ley del enfriamiento de Newton puede ser establecida en la forma siguiente: La tasa de cambio de la temperatura T(t) de un cuerpo con respecto al tiempo t es proporcional a la diferencia entreT y la temperaturaAdel medio ambiente. Esto es,
dT
dt = k(T A); (4)
donde k es una constante positiva. Nótese que si T > A, entonces dT
dt <0, de modo
que la temperatura es una función decreciente de t y el cuerpo se está enfriando. Pero, si T < A, entonces dTdt >0, y por tanto T está aumentando.
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Mezclas
Al mezclar dos ‡uidos, a veces se originan ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Por ejemplo, al mezclar dos soluciones salinas de distintas concentraciones se da pie a una ecuación diferencial de primer orden, que de…ne la cantidad de sal que contiene la mezcla. Sea A(t) la cantidad de sal en un tanque en cualquier momento
t, R1 la razón con que la sal entra al tanque, y R2 la razón con que la sal sale del
tanque.
En este caso, la rapidez con que cambia A(t) es la tasa neta:
dA dt =
tasa de entrada de la sustancia
tasa de salida
Para usar el modelo anterior, debemos determinar las razones con que la sal entra y sale del tanque. En estos problemas con frecuencia se tiene la razón con la que entra al tanque un ‡uido que contiene sal, junto con la concentración de sal en ese ‡uido. Por lo tanto, al multiplicar la razón de ‡ujo (volumen/tiempo) por la concentración (cantidad/volumen) se obtiene la razón de entrada (cantidad/tiempo).
En general, la razón de salida de la sal es más di…cil de determinar. Si nos dan el ‡ujo de salida en el tanque, para determinar la concentración de la sal en ese ‡ujo suponemos que ésta se mantiene uniforme en la mezcla. Entonces, podemos calcular la concentración de sal en la mezcla, dividiendo la cantidad de sal A(t) entre el volumen de la mezcla en el tanque en el instantet. Al multiplicar esta concentración por el ‡ujo de salida se obtiene la razón de salida de la sal.
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Circuitos en serie
Cuando un circuito en serie solo contiene un resistor y un inductor, la segunda ley de Kirchho¤ establece que las sumas de las caídas de voltaje a través del inductor (Ldidt)
y del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado, (E(t)), al circuito. En lo anterior se obtiene la ecuación diferencial lineal que describe la corriente i(t),
Ldi
dt +Ri=E(t); (6)
en queLyRson las constantes conocidas como inductancia y resistencia. La corriente
i(t) se llama, también, respuesta del sistema.
Consideremos un circuito en serie que contiene un resistor y un capacitor. La caída de voltaje a través de un capacitor de capacitancia C es q(tt), donde q es la carga del capacitor; por lo tanto, para el circuito RC en serie, la segunda ley de Kirchho¤ establece
Ri+ 1
Cq =E(t): (7)
Pero la corrienteiy la cargaq se relacionan mediantei= dqdt, así, la ecuación anterior se transforma en la ecuación diferencial lineal
Rdq dt +
1
Cq=E(t): (8)
Las unidades utilizadas en los circuitos eléctricos se muestran a continuación
Cantidad Representación literal Unidades
Fuente de voltaje E voltio (V) resistencia R ohn ( ) Inductancia L henrio (H) Capacitancia C faradio (F)
Carga q coulomb (C)
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Ejercicios
1. Un objeto de masa mrecibe una velocidad inicial hacia abajov0 y se le permite
caer bajo la in‡uencia de la gravedad. Si la fuerza gravitacional es constante y la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto, determinar la ecuación del movimiento del objeto.
2. Suponga que una cuenta de ahorros paga una tasa de interés anual al 5% com-puesto continuamente. Si un cliente abre una cuenta de ahorros con 3000Bs: y no realiza retiros, ¿cuánto dinero tendrá en la cuenta después de 2 años? ¿En qué momento la cuenta tendrá4000 Bs:?
3. Un cliente abrió una cuenta de ahorro con 1000 Bs., y le genera una tasa de interés anual de r% compuesta continuamente. Si después de 8 años, sin haber retirado dinero, la cuenta de ahorro llega a 3000 Bs., ¿cuál era el interés anual que generaba la cuenta?
4. Se sabe que la población de una cierta comunidad aumenta con una razón pro-porcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y cuadru-plicará?
5. En 1980, el Departamento de Recursos Naturales liberó cierta cantidad de ejem-plares de una especie de pez en un lago. En los años 1987 y 2010 la población de estos peces en el lago se estimo, respectivamente, en 3000 y 7000. Suponga que el crecimiento de estos peces es proporcional a la cantidad de peces que existe en cada tiempot y estime la cantidad de peces que el Departamento de Recursos Naturales liberó.
6. Un cultivo tiene una cantidad inicial N0 de bacterias. Cuando t = 1h, la
can-tidad medida de bacterias es 32N0. Si la razón de reproducción es proporcional
a la cantidad de bacterias presentes, calcular el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microorganismos. (Sol: 2;71h).
7. La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población en cualquier momento. Su población inicial es 500 y aumenta el 15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? (Sol: 760).
8. En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especímenes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?
momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente, calcule la cantidad que queda después de 2 horas.
10. Una población de una ciudad aumenta con un coe…ciente de variación que es proporcional al número de sus habitantes en cualquier instante t. Si la población de la ciudad era 30.000 en 1960 y 35.000 en 1970. (a) ¿Cuál era su población en 1980? (b) ¿En qué año la población será (o fue) de 50.000?
11. Se sabe que un cristal crece con una razón proporcional al tamaño del cristal en cualquier momento. Si el cristal crece 5% en un día. ¿Cuándo se puede esperar que el cristal tengal el doble de su tamaño? (Sol: 13;86 d{as):
12. Un termómetro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del aire es 5oF. Después de un minuto, el termómetro marca
55oF, y después de 5 marca 30oF. ¿Cuál es la temperatura del recinto interior?.
Suponga que se sigue la ley de Newton del enfriamiento.
13. Era el mediodía en un frío día de diciembre en Tampa: 16oC: El detective
Taylor llego a la escena del crimen para hallar al sargento sobre el cadáver. El sargento dijo que habían varios sospechosos. Si supieran el momento exacto de la muerte, podrían reducir la lista de sospechosos. El detective Taylor sacó un termómetro y midió la temperatura del cuerpo: 34;5oC: Luego salió a comer.
Al regresar, a la 1:00 PM. halló que la temperatura del cuerpo era de 33;7oC:
¿En que momento ocurrió el asesinato? Suponga que se sigue la ley de Newton del enfriamiento y que la temperatura normal del cuerpo es de 37oC:
14. Una taza de café caliente, inicialmente a 95 C; se enfría hasta 80 C en 5 minutos, al estar en un cuarto con temperatura ambiente de 21 C: Use sólo la Ley del enfriamiento de Newton y determine el momento en que la temperatura del café estará a unos agradables 50 C: (Sol: 15;61min:):
15. Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300oF. Después de 3 minutos,
200oF. ¿En cuánto tiempo se enfriará hasta la temperatura ambiente de 70oF? (Sol:N o tiene solucion f inita; porque limt !1T(t) = 70):
16. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es 70oF. y se
lleva al exterior, donde la temperatura es 10oF. Pasado 12 minuto el termómetro indica 50oF. ¿Cuál es la temperatura cuandot= 1 minuto? ¿Cuánto tiempo se
necesita para que el termómetro llegue a 15oF?(Sol: 36;67oF;3;060):
17. Un recipiente con agua hirviendo a100oC se retira de una estufa en el instante
t = 0 y se deja enfriar en la cocina. Después de 5 minutos, la temperatura del agua ha descendido a 80oC y otros 5 minutos después ha bajado a 65oC.
18. La temperatura de un objeto baja de 80 C a 60 C en 20 minutos, en un recinto con una temperatura ambiente de 20 C. Suponga que el cambio de temperatura en el objeto sigue la ley del enfriamiento de Newton y determine: (a) La temperatura del objeto en cada tiempo t; (b) El tiempo que tarda el objeto en bajar de 60 C a 40 C.
19. Un termómetro que marca 70 F se coloca en un horno precalentado a temper-atura constante. A través de una ventana de vidrio localizada en la puerta del horno, un observador registra que el termómetro marca 110 F después de 1=2
minuto y 145 F luego de un minuto. ¿Cuál es la temperatura del horno?
20. En 15 minutos la temperatura de un objeto sube a 20oC., cuando la temperatura ambiente es de 30o C. En 15 minutos más sube de 20 a 25o C. Suponiendo que
se cumple la ley del enfriamiento de Newton, ¿cuál era la temperatura inicial del objeto?
21. Una cerveza fría, inicialmente a 35 F; se calienta hasta 40 F en 3 minutos, estando en un cuarto con temperatura de 70 F:¿Qué tan caliente estará la cerveza si se deja ahí durante 20 minutos? (Sol: 57;38oC):
22. Un vino tinto se saca de la cava, donde estaba a 10 C y se deja respirar en un cuarto con temperatura de 23 C: Si se necesitan 10 minutos para que el vino llegue a los 15 C;¿en qué momento llegará la temperatura del vino a los 18 C? (Sol: 19:5 min:):
23. Un tanque tiene 500 gal. de agua pura y le entra salmuera con 2 lb. de sal por galon a un ‡ujo de 5 gal/min. el tanque está bien mezclado y sale de él solución a un ‡ujo de 10 gal/min. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque en cualquier momentot. ¿Cuándo se vacía el tanque?
24. En un gran tanque con 1000lit:de agua pura se comienza a verter una solución salina a una raón constante de 6 lit=min: La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sále a razón de 6 lit=min: Si la concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 0,1 kg=lit:, determine el momento en que la concentración de sal en el tanque llegará a 0,05 kg=lit:
25. Una solución salina entra a una razón constante de 8 Litros/minuto en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 100 lítros de solución salina en que se habían disuelto 12 Kg. de sal. La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque con la misma razón. Si la concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 1
20 Kg/litro, determine la cantidad de
26. Un tanque contiene 200 lts. de agua en que se han disuelto 30 gr. de sal y le entran 4 lits=min:de solución con 1 gr. de sal por litro; está bien mezclado, y de él sale líquido con el mismo ‡ujo. Calcule la cantidadA(t)de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier momentot. Sol:A(t) = 200 170e 50t :
27. Un tanque tiene 500 gal. de agua pura y le entra salmuera con 2 lb. de sal por galón a un ‡ujo de 5 gal=min: El tanque está bien mezclado, y sale de él el mismo ‡ujo de solución. Calcule la cantidadA(t) de libras de sal que hay en el tanque en cualquier momentot. Sol:A(t) = 1000 1000e 100t : :
28. Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 lb. de sal disuelta. Le entra salmuera con 12 lb. de sal por galón a un ‡ujo de 6 gal=min: El contenido del tanque está bien mezclado y del él sale un ‡ujo de 4 gal=min: de solución. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a los 30 minutos. (Sol: 64;38lb:):
29. Una solución salina entra a una razón constante de 4lit=min:en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 100 lit. de agua pura. La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale con un ‡ujo de 3 lit=min:
Si la concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 0,2 kg=lit:, determine la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t. ¿Cuál será la concentración de sal en el tanque cuando t= 2 min.?
Sol:A(t) = 15(100 +t) 2x107(100 +t) 3 :
30. Un tanque contiene 200 l. de agua pura y le entran 4 l=min. de solución con 1 g. de sal por litro; está bien mezclada, y de él sale líquido con el mismo ‡ujo. Calcule la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier momentot.
31. Un tanque tiene 50 galones de agua pura y le entra salmuera con 2 lb. de sal por galón a un ‡ujo de 5 gal=min. El tanque está bien mezclado, y salé de él solución a un ‡ujo de 10gal=min: Calcule la cantidadA(t) de libras de sal que hay en el tanque en cualquier momento t. ¿Cuándo se vacía el tanque?
32. Un depósito contiene inicialmente 400 litros de salmuera en los que hay 5 kilo-gramos de sal disuelta. Comienza a entrar agua pura en el tanque a razón de 20 litros por minuto. La mezcla se mantiene uniforme por agitación y ‡uye al exterior a razón de 8 litros por minuto. (a) Hallar la cantidad de sal en el tanque en cada tiempo t. (b) Si la capacidad del depósito es de 1000 litros, ¿cuál será la concentración en el momento en que rebose dicho depósito?
concentración es de 50 gramos por litro al cabo de 20 minutos. Hallar el valor dek.
34. Un tanque bien mezclado contiene 100 l. de agua con una concentración de sal de 101 Kg/l. Agua que contiene sal a una concentración de 25 Kg/l. entra a una tasa de 5 L/h. Una válvula abierta permite que el agua salga a 4 l/h. Determine la cantidad y concentración de sal en el tanque en cada tiempo
t: Sol :A(t) = 15(100 +t) (100+3x10t9)4; C(t) =
A(t) 100+t :
35. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 V. a un circuito en serie LR con 101 H. de inductancia y 50 de resistencia. Si i(0) = 0; halle la corriente cuando
t! 1:
36. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 V a un circuito en serie RC, en que la resistencia es 1000 y la capacitancia es 5:10 6 F. Determine la carga q(t)
del capacitor, si i(0) = 0;4 A. Halle la corrientei(t).
37. Un acumulador de 12 V se conecta a un circuito en serie LR, con una inductancia de 12 H y una resistencia de 10 :Determinar la corrientei, si la corriente inicial es cero. Sol:i(t) = 65 65e 20t :
38. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 v. a un circuito en serie LR con 0,1 h. de inductancia y 50 de resistencia. Determina la corriente i(t) , si i(0) = 0. Halle la corriente cuando t! 1.
39. Se aplica una fuerza electromotrizE(t) =E0sen(wt)a un circuito en serie LR
con 0,1 h. de inductancia y 50 de resistencia. Determina la corriente i (t), si
i(0) =i0. Halle la corriente cuando t! 1:
40. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 v. a un circuito en serie RC, en que la resistencia es 1000 y la capacitancia es 5x10 6 f.. Determina la carga q(t)
del capacitor, si i(0) = 0. Halle la carga cuandot ! 1.
41. Una unidad de voltaje decreciente E = 100e 5t se conecta en serie con una
resistencia de 10 y una capacitancia de 0,02 f: Asumiendo que q(0) = 0;
