Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas Octubre 2007

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01) Tiempo y Distancia

0104) Consideraciones

Matemáticas

Desarrollado por el Profesor Rodrigo

Vergara Rojas

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A) Notación científica

En el quehacer científico es frecuente encontrarse con cantidades físicas cuyos valores numéricos son

• muy grandes, como por ejemplo la estimación de la edad de la Tierra en segundos: 160 000 000 000 000 000 (ciento sesenta mil billones)

• muy pequeñas, como por ejemplo el período de vibraciones nucleares, en segundos, que es 0,000000000000000000001 (un miltrillonésimo)

Esta forma extendida de escribir los números adolece de varias desventajas:

• Es una notación incómoda (resulta muchas veces exasperante escribir tantos ceros) • Genera dificultades de visualización (cuesta “imaginarse” lo que representa un número con

tantas cifras)

• Es difícil operar con ellos.

Por ello, los científicos idearon un tipo de notación especial que permitiera salvar estas incomodidades, facilitando el trabajo con estos números. Esta notación se denomina notación científica.

La notación científica consiste en escribir un número B en el formato N =f10α, es decir, como el producto de otros dos:

• f: Un número cualquiera (al menos en principio) • 10α: Una potencia de 10 conveniente.

En principio, existen infinitas maneras de escribir un mismo número usando notación científica. Por ejemplo, el número 300000 se puede expresar así:

= ⋅ = ⋅ = ⋅

=30000 101 30 104 0.03 107

300000

Con el fin de obtener una escritura uniforme, para efectos de este curso se establece el siguiente convenio: “Al escribir un número real usando potencia de 10 se elegirá un factor de valor absoluto entre 1 y 10 acompañado a la potencia de 10 correspondiente”, es decir:

10 f ;1 10 f N

adecuado exponente de

10 de potencia

10 y 1 entre

absoluto valor

de

numérico factor

REAL NUMERO

α

< ≤ ⋅

=

  

 

  

 

  

 

  

 

=

Para el ejemplo anterior, usando este convenio 300000 =3105

B) Prefijos y notación científica

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A partir de una unidad básica para cierta cantidad física, se pueden elegir unidades más grandes multiplicando la unidad básica por potencias de 10. En la siguiente tabla se aprecian las más importantes

Prefijo Valor Símbolo

exa... 1018 E...

peta... 1015 P...

tera... 1012 T...

giga... 109 G...

mega... 106 M...

Kilo... 103 k...

hecto... 102 h...

deca... 101 da...

Submúltiplos de Unidades de Medición.

A partir de una unidad básica para cierta cantidad física, se pueden elegir unidades más pequeñas dividiendo la unidad básica por potencias de 10. En la siguiente tabla se aprecian las más importantes

Prefijo Valor Símbolo

deci... 10-1 d...

centi... 10-2 c...

mili... 10-3 m...

micro... 10-6 µ...

nano... 10-9 n...

pico... 10-12 p...

femto... 10-15 f...

atto... 10-18 a...

Múltiplos de unidades métricos y Múltiplos de unidades informáticos

Los prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits. Son derivados, aunque diferentes, de los prefijos del SI como kilo, mega, giga y otros. No obstante, el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) como si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones. En la práctica, los prefijos binarios corresponden a números diferentes (aunque del mismo orden de magnitud) de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI). Los primeros son potencias con base 2, mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10.

Prefijo Símbolo Sistema Internacional

Kilo k 103 1000

=

Mega M 106 1000 000

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Giga G 109 1000 000 000

=

Tera T 1012 1000 000 000 000

=

Peta P 1015 1000 000 000 000 000

=

Exa E 1018 1000 000 000 000 000 000 =

Por ejemplo, los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI, por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad aproximada de 28 ·230 bytes, lo que serían 28 GB reales. Los ingenieros en telecomunicaciones también los usan: una conexión de 1 Mbps transfiere 106 bits por segundo

Con el fin de resolver este problema. En 1999 el comité técnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisión Electrotécnica Internacional (CEI) publicó la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2: Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2: Telecommunications and electronics (IEC 60027-2: Símbolos de letras para usarse en tecnología eléctrica - Parte 2: Telecomunicaciones y electrónica, en inglés); y en el 2005 la CEI publicó la tercera edición. Esta norma, publicada originalmente en 1998, introduce los prefijos kibi, mebi, gibi, tebi, pebi y exbi, nombres formados con la primera sílaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por "binario". La norma también estipula que los prefijos SI siempre tendrán los valores de potencias de 10 y nunca deberán ser usados como potencias de 2.

Prefijo Símbolo Prefijo Binario

Kibi ki 210 1024

=

Mebi Mi 220 1048 576

=

Gibi Gi 230 1073 741824

=

Tebi Ti 240 1099511627776

=

Pebi Pi 250 1125899906 842 624

=

Exbi Ei 260 1152 921504 606 846 976 =

C) Aproximaciones y Órdenes de Magnitud

Ya sea por el resultado de una medición, o por efectos de cálculo, una cantidad física puede ser comunicada mediante un número que

contenga más cifras (dígitos) que los requeridos en una situación particular. En esos casos, se efectúan aproximaciones numéricas.

Con el fin de tener un criterio común para aproximar números, adoptamos para el efecto un convenio: Para aproximar a k cifras un

número de n cifras (n > k), acordamos las siguientes reglas para la k-ésima cifra (la que ocupa el lugar número k contando de izquierda a derecha, como se aprecia en la figura 7)

(5)

a) Aumenta en una unidad si el número formado por las últimas n-k cifras es mayor que 5·10n-k-1

980,7

980,665 ≅ (4 cifras numéricas)

2 2

3,87·10

3,8672·10 ≅ (3 cifras numéricas)

b) No se modifica si el número formado por las últimas n-k cifras es menor que 5·10n-k-1

95,6

95,6251≅ (3 cifras numéricas)

2

2 2,93·10

2,9323·10 ≅ (3 cifras numéricas)

c) Aumenta si es impar y no se modifica si es par si el número formado por las últimas n-k cifras es igual a 5·10n-k-1

7,2

7,2500≅ (4 cifras numéricas)

8,4

8,35≅ (3 cifras numéricas)

Muchas veces sólo nos basta visualizar en forma inmediata la grandeza o pequeñez del número de medición. En esos casos, basta con aproximarlo a su potencia de 10 más cercana. Esta aproximación define el orden de magnitud del número.

El criterio para determinar orden de magnitud de un número escrito en notación científica es



<

=

+

5

f

,

10

5

f

,

10

f·10

N

1

α

α α

D) Estimaciones

En una granja lechera cuya producción era menor que la requerida, consultaron a un físico, a un ingeniero y a un psicólogo. A cada uno se le dio tiempo para inspeccionar los detalles de la operación antes de emitir un informe.

Primero llamaron al ingeniero, quién opinó: “Se debe disminuir el tamaño de los establos. Se podría mejorar la eficiencia si se apiñara más al ganado, con una asignación neta de 8,5 metros cuadrados por vaca. También se debería aumentar en 4 por ciento el diámetro de las mangueras ordeñadoras, para mejorar la velocidad de flujo promedio durante los períodos de producción de leche”.

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Finalmente, llamaron al físico. Pidió un pizarrón, luego dibujó en él un círculo. Y comenzó: “Supongamos que la vaca es una esfera…”

Lawrence Krauss, “Miedo a la Física: Una guía para perplejos”

Este chiste (no muy gracioso para los que no son físicos) ilustra un hecho clave en el quehacer científico. Para analizar fenómenos por lo general muy complejos, los físicos tienden a partir buscando modelos simplificados, que incluso pueden parecer tan burdos o absurdos como el de una esfera para modelar una vaca. Sin embargo, estos modelos permiten obtener conclusiones útiles, e incluso pueden bastar para dar solución satisfactoria a determinados problemas, en especial cuando no interesa obtener valores exactos, sino que el orden de magnitud. Por otra parte, si el modelo simplificado no basta, se le agregan detalles, aumentando su complejidad.

• Si bien sabemos (y lo veremos al final del curso) que la órbita de los planetas alrededor del sol tiene forma elíptica, donde el sol está en uno de los focos de la elipse y la velocidad del planeta es variable, para muchos efectos resulta útil el modelo simplificado de planeta girando en órbita circular con velocidad constante alrededor del sol.

• Cuando veamos lanzamiento vertical, usaremos un modelo simplificado que desprecia la resistencia del aire, el cual entrega resultados aceptables para lanzamientos en espacios reducidos (por ejemplo, dentro de una sala de clases). Sin embargo, para movimientos verticales al aire libre, el efecto de la resistencia del aire es demasiado importante como para ser despreciado, por lo que hay que considerarlo en el modelo, lo cual lo hace más complejo.

Considere la siguiente pregunta: ¿Cuántos dados cabrían en una sala de clases? La manera obvia de responder esta pregunta será conseguirse los dados necesarios y rellenar con ellos una sala. Sin embargo, ello resulta impracticable. Sin embargo, haciendo una serie de suposiciones razonables y haciendo cálculos simples, se puede dar una respuesta estimada y aproximada a esta pregunta, con la que se puede tener una idea de “cuán grande” es la cantidad de dados necesarios.

En la figura 8 se mustran los modelos aproximados para una sala de clases y un dado. De partida, podemos suponer

que una sala de clases estándar puede modelarse razonablemente con un paralelepípedo de, por ejemplo a = 10 [m] de longitud, b = 5 [m] de ancho y h = 3 [m] de altura. Por otra parte, un dado estándar puede modelarse razonablemente como un cubo de lado d = 1 [cm] = 10-2 [m].

a

b

h

d

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Así, podemos determinar el número de dados necesarios dividiendo el volumen de la sala por el volumen de un dado. El volumen de la sala sería:

[ ] [ ] [ ]

[ ]

3

sala a b h 10m 5m 3m 150m

V = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

El volumen del dado sería:

[ ]

(

-2

)

-6

[ ]

3 dado d 10 m 10 m

V = 3 = 3⋅=

Finalmente, dividiendo ambos volúmenes se obtiene el número aproximado de dados.

[ ]

[ ]

3 6 8 8

6 3 dado

sala

dados 150 10 1,5 10 10

m 10

m 150 V

V

N = = = ⋅ = ⋅ ≈

E) Criterios de aproximación “a mano”

Calculadoras y computadores nos permiten hacer complicados cálculos con facilidad. Sin embargo, las máquinas son incapaces de dar a los números algún significado. Eso es prerrogativa de los seres humanos. Sólo una persona puede decir si un resultado tiene sentido, o es absurdo. Por ejemplo, un error al introducir los números sólo puede ser detectado, si la persona sabe de antemano el orden de magnitud del resultado.

Uno de los objetivos de esta asignatura es que usted sea capaz de realizar, “a mano”, cálculos aproximados a un dígito, y calcular el orden de magnitud. No se usará calculadora en los controles y certámenes. Esta habilidad le permitirá hacer estimaciones rápidas.

• Suponga que usted desea evaluar “a mano”, la siguiente expresión:

2 2

15

2,34789 10 8,56782 10 6,145602 10

− −

⋅ − ⋅

Como se desea un resultado con un solo dígito, aproximamos los términos a 1 cifra significativa:

2 2

15

2 10 9 10 6 10

− −

⋅ − ⋅

¿Es necesario realizar la resta del numerador? Los dos términos tienen órdenes de magnitud 102 y

10–1, respectivamente: el segundo término puede ignorarse, o “despreciarse”, en comparación al

primero:

2 15

2 10 6 10−

⋅ ≈

El resto del cálculo es fácil de hacer a mano: 2 / 6 ≈ 0,3 (a 1 dígito) y la potencia de diez resultante es 1017. Nuestro resultado “a mano” es ≈ 0,3·1017:

16

3 10 ≈ ⋅

Resulta interesante comparar con el resultado obtenido usando una calculadora: = 3,819045259·1016 ≈ 4·1016.

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El valor numérico difiere sólo en una unidad, lo que es suficiente para nuestros propósitos.

• Suponga que usted debe evaluar la siguiente expresión:

[

]

(

)

[ ]

[

]

[

MeV

]

1,6 10

[

Joule/MeV

]

6 10

[

1/mol

]

10 200 1 , 0 mol / kg 235 , 0 s 3600 24 365 s / Joule 10 5 , 2 m 23 19 6 9 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = −

Como información, esta expresión aparece al calcular la masa de uranio-235 necesaria para operar una central nuclear de 2,5 gigawatt durante un año. Es conveniente tener una idea aproximada del resultado, especialmente de su orden de magnitud. Un procedimiento adecuado se sugiere en los siguientes pasos:

(

)

23 19 8 1 1 3 2 9 10 6 10 2 10 2 10 10 2 10 4 10 2 10 4 10 3 m ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ − − −

[

] [ ] [

]

[

MeV

] [

Joule/MeV

] [

1/mol

]

mol / kg s s / Joule ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Se han escrito todas las cantidades en notación científica, y aproximadas a una sola cifra significativa. La agrupación de las unidades permite revisar con facilidad si las unidades del resultado son las correctas.

(

)

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 1 6 2 1 2 2 4 2 4 3

m

(

)

[ ]

kg

10 10 10 10 10 10 10 10 10 23 19 8 1 1 3 2 9 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − −

El problema se ha reducido a operaciones sencillas y fáciles de hacer sin calculadora:

(

)

⋅ ⋅ / ⋅ / ⋅ ⋅ / ⋅ ⋅ / ⋅ ⋅ / ≈ 1 6 2 1 2 2 4 2 4 3

m

[ ]

kg 8 10

[ ]

kg

10 10 3 11 14 ⋅ ≈

El resultado obtenido en la pantalla de una calculadora típica con 10 dígitos, es: 9649,6875. La abundancia de dígitos le da a este resultado un impresionante aspecto de “exactitud”. La impresión es, sin embargo, ilusoria: el resultado real no tiene más cifras significativas que las que tienen los datos originales del problema. Un estudiante serio escribiría como resultado 9,6⋅103[kg]. Nuestro

resultado aproximado es bastante bueno. El orden de magnitud, 104 [kg], es correcto.

Antes de usar una calculadora es conveniente hacer un cálculo aproximado: es una forma de detectar si se han cometido errores con la calculadora.

• ¿Cómo haríamos el cálculo aproximado de una raíz cuadrada? Por ejemplo: ¿cuál es el lado de un cuadrado cuya área es 435279 [m2]?

Nuevamente comenzamos escribiendo el número en notación científica, pero esta vez cuidaremos que la potencia de 10 tenga exponente par (¿por qué?).

435279[m2] 43104 [m];

Para la aproximación no es necesario calcular detalladamente la raíz cuadrada de 43: sabemos que debe estar entre 6 y 7. Nuestro resultado aproximado es entonces:

≈ 6⋅102[m]

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• El cálculo de una raíz cúbica pareciera una tarea imposible de hacer a mano. Pero recuerde que sólo queremos un resultado con 1 dígito. Suponga que desea evaluar la siguiente expresión:

331567231983

Primero, escribimos el número expresado como un factor numérico por una potencia de 10, pero cuidando que el exponente de esta última sea múltiplo de 3 (para ésto, agrupamos los dígitos del factor numérico en grupos de a tres):

9 331'567 ' 231'983 = 31,567231983 103

La expresión se reduce a:

3 3 3

331,567231983 10 32 10

= ⋅ ≈ ⋅

Los cubos exactos más cercanos a 32 son: 33 = 27 y 43 = 64. Aproximada a 1 dígito, 3

32≈3, por lo que nuestro resultado es:

3

3 10 ≈ ⋅

El resultado con calculadora es 3,160425088·103 ≈ 3·103

F) Conversión de Unidades

El fracaso de la misión de la nave Mars Climate Orbiter, ocurrido en 1998, fue el episodio más catastrófico en la historia de las misiones a Marte de la NASA. Y la causa de este chasco fue ni más ni menos que un problema de conversión de unidades. Al diseñar la nave, la NASA entregó datos críticos de navegación en el sistema británico de unidades. Sin embargo, los ingenieros de Lockheed Martin, empresa que construyó la nave, no se percataron de esto, y los interpretaron como datos del sistema métrico, en vez de hacer la conversión de unidades correspondiente. A consecuencia de este error (impresentable y vergonzoso para ingenieros y especialistas de instituciones del nivel de la NASA y de la Lockheed Martin, y grave en ámbitos como la ingeniería espacial, donde la precisión es fundamental), la nave, cuyo costo fue de 117 millones de euros, se quemó en la atmósfera de Marte.

Figure

Figura 7) Convenio para aproximaciones

Figura 7)

Convenio para aproximaciones p.4
Figura 8) Modelos aproximados para una sala de clases y un dado

Figura 8)

Modelos aproximados para una sala de clases y un dado p.6

Referencias

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