INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL
MAGNITUDES ESCALARES
Son aquellas cantidades que para considerarlas completamente determinadas, solo basta con conocer su magnitud, es decir, su medida teniendo en cuenta un patrón o medida conveniente.
La edad de Juan es el doble de la edad de Pedro. Si las dos edades suman 60 años, hallar ambas edades.
En el ejemplo se observa que lo que interesa es la edad de Pedro y Juan, y no si Juan es alto o Pedro es trigueño. El problema queda determinado cuando se hallan los años de edad que tiene cada uno. Hasta el momento se han estudiado principalmente las cantidades escalares, dedicándonos ahora al estudio de las cantidades vectoriales. CANTIDADES VECTORIALES
Ejemplos de magnitudes vectoriales: la fuerza, la presión, la velocidad, la aceleración, etc. Específicamente un vector en el plano se considera un segmento dirigido que tiene una longitud que es igual al valor de la magnitud, una dirección y un sentido. La dirección de un vector la determina el ángulo que el segmento forme con la horizontal del plano cartesiano, y el sentido lo indica la flecha.
OPERACIONES CON VECTORES
Al igual que con otros conjuntos de números, con las cantidades vectoriales se pueden desarrollar ciertas operaciones básicas. Veamos algunas de ellas:
Suma de vectores
Inicialmente dos vectores se consideran iguales si tienen el mismo valor (magnitud) y la misma dirección y sentido. Ahora, si los vectores tienen la misma dirección y sentido, el vector resultante R será la suma de las magnitudes o valores de los vectores. Si pose en la misma dirección, pero sentido contrario el valor del vector resultante R, para este caso será igual a la diferencia de las magnitudes o valores de los vectores. Se consideran vectores positivos los que están dirigidos hacia la derecha y hacia arriba, es decir, sobre los ejes de coordenadas positivos, y negativos los
Método gráfico
Hallar la suma entre los vectores A y B de la figura.
Observemos que para realizar la suma de los dos vectores basta colocar el vector A en su posición inicial, luego el principio del vector B se coloca en el extremo del vector A conservando la magnitud, la dirección y el sentido de los vectores. Para hallar el vector resultante, se une el principio del vector A con el extremo del vector B, denotando este nuevo vector con la letra R. Al realizar la suma entre dos vectores, forman un triángulo rectángulo por ser perpendiculares entre sí lo cual da lugar a que para hallar el valor de la resultante R se utilice el teorema de Pitágoras:
Estos conceptos son aplicables para sumar más de dos vectores.
Resta de vectores
Para hallar la diferencia entre dos vectores A - B, se suma al vector minuendo (primer vector), el vector opuesto del vector sustraendo (segundo vector), genéricamente sería:
A - B = A + (-B) Gráficamente:
Producto de un vector por un escalar
Multiplicar un vector por un escalar es duplicar, triplicar, etc., dicho vector, para lo cual se debe de tener en cuenta ciertas consideraciones: la forma genérica del producto de un vector por un escalar está dada por :
Representación analítica de vectores
Para realizar la representación analítica de vectores, se retoma el ejemplo:
Representación analítica de la suma de vectores
La representación analítica de la suma de dos o más vectores se desarrolla al utilizarlas componentes sobre los ejes de coordenadas x y z de cada uno de los vectores que se van a sumar.
Dado los vectores:
AB = (4, 5)
AC = (-4, 3)
AD = (6, -4)
Hallar la suma de los tres vectores y representar dicha suma gráficamente.
El vector AB (4, 5), significa que el vector AB tiene una componente sobre el eje x, igual a 4 unidades y sobre el eje y, igual a 5 unidades. El vector AC (-4, 3), significa que el vector AC tiene una componente sobre el eje x, igual a -4 unidades y sobre el eje y, igual a 3 unidades. El vector AD (6, -4), significa que el vector AB tiene una componente sobre el eje x, igual a 6 unidades y sobre el eje y, igual a -4 unidades. Si se halla la suma de las componentes en x, y la suma de las componentes en el eje y, se puede calcular el valor de la resultante al aplicar el teorema de Pitágoras.
Halla la componente de un vector de 12 cm en una dirección que forma un ángulo de 45°con la del vector.
Halle el ángulo que forman las direcciones de dos vectores cuyas magnitudes son 9 y 11 cm respectivamente. Si la dirección del vector resultante forma un ángulo de 50° con el segundo vector.
¿ Cuál es el valor del vector resultante?
Se tienen los vectores A1 = 7 cm, A2 = 6 cm y A3 = 5 cm; el ángulo entre los vectores A1 y A2 es de 50° y entre A2 y A3 de 75°.
Hallar el valor de la resultante.
Si A = (-5, -2) y B (7, -8),
Hallar a) A + B
b) l A l
Solución a los acertijos de la unidad anterior:
El pastor solución
En un primer viaje, cruza con la cabra dejando al zorro y al repollo (el zorro no come repollo por recomendación de su nutricionista). Deja a la cabra en la otra orilla y regresa solo. Toma el repollo y lo cruza (el zorro se queda solito y triste). Deja el repollo en la otra orilla y regresa con la cabra para que no se lo coma. Deja a la cabra sola y cruza con el zorro. Deja al zorro con el repollo, regresa solo, sube a la cabra y cruza en su último viaje triunfal.
El prisionero
solución
Debe preguntarle: ¿Qué me contestaría el otro guardián si yo le pregunto cuál es la puerta que me conduce a la salvación? supongamos que una de las puertas es roja y la otra es verde. Si me responde que el otro guardián me diría que vaya por la roja, entonces debo ir por la verde (y si me responde que el otro guardián me diría que vaya por la verde, entonces debo ir por la roja).
