1
DINAMICA DE FLUIDOS (HIDRODINAMICA)
Esta rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en movimiento; estas leyes son enormemente complejas, y aunque la hidrodinámica tiene una importancia práctica mayor que la hidrostática, sólo se tratarán en este artículo algunos conceptos básicos.
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo pueden expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es incompresible e ideal, es decir, si se pueden despreciar los efectos del rozamiento y la viscosidad. Sin embargo, como esto nunca es así para los fluidos reales en movimiento, los resultados sólo sirven para estimar el movimiento de flujos en los que los efectos de la viscosidad son pequeños.
a) Flujos incompresibles y sin rozamiento
1) Conservación de la masa
En un flujo estacionario1 e incompresible, sin fuentes ni sumideros se verifica la ecuación de continuidad o Ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos, que indica que la cantidad de líquido se mantiene constante y por lo tanto el caudal es siempre el mismo.
Caudal = A1.v1 = A2.v2 = constante. (El volumen se
mantiene constante porque el líquido es incompresible, aunque si la tubería se achica deberá ser más larga la sección)
Definición de volumen de líquido: A .l = A .v . t [Volumenlíquido] = [m³]
Definición de flujo de volumen o caudal: Φ =
t Volumenlíquido
= A .v [Φ] = [m ³/s]
1
Aunque la velocidad del fluido puede diferir de un punto a otro, cuando se toma un punto particular, la velocidad del fluido en ese punto permanece invariable, se mantiene constante a lo largo del tiempo.
2) Conservación de la energía
Un flujo estacionario2 e incompresible, sin fuentes ni sumideros cumple con el llamado teorema de Bernoulli, que afirma que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido.
El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminuye.
Ecuación de Bernoulli:
(Principio de conservación de la energía) para flujo ideal (sin fricción).
p1 + 2
2 1 v
+ δ.g.h1 = p2 + 2
2 2 v
+ δ.g.h2 = constante
p1/δ + v1 ²/2 + g.h1 = p2/δ + v2 ²/2 + g.h2
p/δ = presión por unidad de masa, equivale al trabajo por unidad de área y por unidad de masa.
g.h = energía potencial por unidad de masa.
v²/2 = energía cinética por unidad de masa.
Caso particular: Ecuación de Bernoulli para
flujo en reposo
: v1 = v2 = 0
p1 + δ.g.h1 = p2 + δ.g.h2
b) Viscosidad
Explicación de la viscosidad
Imaginemos un bloque sólido sometido a una fuerza tangencial (por ejemplo: una goma de borrar sobre la que se sitúa la palma de la mano que empuja en dirección paralela a la mesa.)
En el caso (a), el material sólido opone una resistencia a la fuerza aplicada, pero se deforma (b), tanto más cuanto menor sea su rigidez.
3 La viscosidad es característica de todos los fluidos, tanto líquidos como gases, si bien, en este último caso su efecto suele ser despreciable, por lo que están más cerca de ser fluidos ideales.
En los líquidos, el pequeño rozamiento existente entre capas adyacentes se denomina viscosidad. Es su pequeña magnitud la que le confiere al fluido sus peculiares características; así, por ejemplo, si arrastramos la superficie de un líquido con la palma de la mano como hacíamos con la goma de borrar, las capas inferiores no se moverán o lo harán mucho más lentamente que la superficie ya que son arrastradas por efecto de la pequeña resistencia tangencial, mientras que las capas superiores fluyen con facilidad. Igualmente si revolvemos con una cuchara un recipiente grande con agua en el que hemos depositado pequeños trozos de corcho, observaremos que al revolver en el centro también se mueve la periferia y al revolver en la periferia también dan vueltas los trocitos de corcho del centro; de nuevo, las capas cilíndricas de agua se mueven por efecto de la viscosidad, disminuyendo su velocidad a medida que nos alejamos de la cuchara.
La fuerza con la que una capa de fluido en movimiento arrastra consigo a las capas adyacentes de fluido determina su viscosidad, que se mide con un recipiente llamado viscosímetro que tiene un orificio de tamaño conocido en el fondo. La velocidad con la que el fluido sale por el orificio es una medida de su viscosidad.
La viscosidad aparece por el rozamiento interno entre las capas de fluido. A causa de la viscosidad, es necesario ejercer una fuerza para obligar a una capa de fluido a deslizar sobre otra.
En la figura, se representa un fluido comprendido entre una línea inferior fija y una línea superior móvil.
La capa de fluido en contacto con la línea móvil tiene la misma velocidad que ella, mientras que
la adyacente a la pared fija está en reposo. La velocidad de las distintas capas intermedias aumenta uniformemente entre ambas líneas tal como sugieren las flechas. Un flujo de este tipo se denomina laminar.
Como consecuencia de este movimiento, una porción de líquido que en un determinado instante tiene la forma ABCD, al cabo de un cierto tiempo se deformaría adquiriendo la forma ABC’D’.
Cabe señalar que la viscosidad sólo se manifiesta en fluidos en movimiento, ya que cuando el fluido está en reposo adopta una forma tal en la que no actúan las fuerzas tangenciales que no puede resistir. Por eso, cuando el líquido está en reposo la superficie del mismo permanece plana, es decir, perpendicular a la única fuerza que actúa en ese momento, la gravedad.
Fluido newtoniano
En un fluido newtoniano la fuerza de resistencia experimentada por una placa que se mueve a velocidad constante v0 por la
superficie de un fluido viene dada por:
donde:
, área de la placa en m2.
v0 en m/s
, altura del nivel de fluido o distancia entre la placa horizontal y el fondo del recipiente que contiene al fluido en m.
, coeficiente de viscosidad dinámica. Tendiendo en cuenta que la fuerza está en newtons (N), la unidad del coeficiente de viscosidad dinámica es N/(m2m.s) = Pa/m.s
Algo más sobre la viscosidad
La viscosidad de un fluido puede medirse por un parámetro dependiente de la temperatura llamado coeficiente de viscosidad o simplemente viscosidad:
Coeficiente de viscosidad dinámico, designado µ.
La unidad en el sistema internacional [µ] = [Pa·s] = [kg·/m·s]
Otra unidad es el poise. 1 poise = 1 [P] = 10-1 [Pa·s] = [10-1 kg·s-1·m-1] 1 poise
se define como la magnitud de la presión (medida en dinas por centímetro cuadrado de superficie) necesaria para mantener en situación de equilibrio una diferencia de velocidad de 1 cm por segundo entre capas separadas por 1 cm.
Coeficiente de viscosidad cinemático, designado como ν, y que resulta ser igual
al cociente entre el coeficiente de viscosidad dinámica y la densidad del fluido.
ν = μ/. (La unidades son [ν] = [m2/s] y stokes (St) o centistokes (cSt). 1 cSt = 1 mm2/s
Cambios de la viscosidad
Según la teoría molecular, cuando un fluido empieza a fluir bajo la influencia de la gravedad, las moléculas de las capas estacionarias del fluido deben cruzar una frontera o límite para entrar en la región de flujo. Una vez cruzado el límite, estas moléculas reciben energía de las que están en movimiento y comienzan a fluir. Debido a la energía transferida, las moléculas que ya estaban en movimiento reducen su velocidad. Al mismo tiempo, las moléculas de la capa de fluido en movimiento cruzan el límite en sentido
5 La viscosidad de la mayoría de los fluidos disminuye con la temperatura porque por la reducción de densidad hay menos moléculas por unidad de volumen que puedan frenar el deslizamiento entre capas. Esto, a su vez, afecta a la velocidad de las distintas capas. Sin embargo, algunas mezclas de líquidos, como salsas que contienen harina, almidón de maíz o tapioca, se vuelven más espesos cuando se calientan, por lo que se conocen como fluidos no newtonianos.
La tabla muestra la viscosidad (en pascal-segundos) de algunos materiales:
Material Viscosidad [µ] = [Pa·s] = [kg·/m·s]
Aceite de motor 30°C 0,25 Aceite para maquinaria pesada 15°C 0,66
Agua 0°C 0,0018
Agua 100°C 0,0003
Agua 20°C 0,0010
Glicerina -40°C 6700
Glicerina, 20°C 1,5
Glicerina, 30°C 0.63
Lava Basáltica 1000
Mármol. 1016
Miel 20°C...…………... 1,6
Sangre 37°C 0,0027
Los aceites de silicona, cambian muy poco su tendencia a fluir cuando cambia la temperatura, por lo que son muy útiles como lubricantes cuando una máquina está sometida a grandes cambios de temperatura.
c) Fluido ideal vs. Fluido viscoso
Fluido ideal:
Si el fluido es ideal (figura de la izquierda) saldría por la tubería con una velocidad de raíz cuadrada de 2gh ya que toda la energía potencial disponible (debido a la altura h) se transforma en energía cinética. Aplicando la ecuación de Bernoulli podemos fácilmente comprobar que la altura del líquido es cero cuando la velocidad es v.
Fluido viscoso:
En un fluido viscoso (figura de la derecha) el balance de energía es muy diferente. Al abrir el extremo del tubo, sale fluido con una velocidad bastante más pequeña. Los tubos marcan alturas decrecientes, informándonos de las pérdidas de energía por rozamiento viscoso. En la salida una parte de la energía potencial que tiene cualquier elemento de fluido al iniciar el movimiento se ha transformado en calor. El hecho de que los tubos marquen presiones sucesivamente decrecientes nos indica que la pérdida de energía en forma de calor es uniforme a lo largo del tubo
d) Flujos de la capa límite
Los flujos pueden separarse en dos regiones principales.
La región próxima a la superficie está formada por una delgada capa límite donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el modelo matemático.
Fuera de esta capa límite, se pueden despreciar los efectos de la viscosidad, y pueden emplearse las ecuaciones matemáticas más sencillas para flujos no viscosos.
La teoría de la capa límite ha hecho posible gran parte del desarrollo de las alas de los aviones modernos y del diseño de turbinas de gas y compresores.
e) Ley de Poiseuille
Se conoce como Resistencia a la circulación de un líquido, como hemos visto, al cociente
entre la diferencia de presión y el caudal R P Q
En función del coeficiente de viscosidad, se puede demostrar que la resistencia R a la circulación de un fluido para flujo estacionario en un tubo cilíndrico
de radio r es
R=8
L/
r
4Combinando esta ecuación con P=Pl-P2=Q.R, obtenemos la
ecuación para la caída de presión en una longitud L del tubo:
Q
r
L
P
8
47 experimentalmente por un médico, Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869), en sus investigaciones sobre el flujo en vasos sanguíneos, relaciona el caudal con la viscosidad, la caída de presión, el radio y la longitud del tubo. Obsérvese la dependencia con la inversa de r4 de la resistencia al flujo de fluido. Si se divide por la mitad el radio de la tubería, la caída de presión para un flujo y viscosidad dados se aumenta en un factor de 16; o bien se necesita una presión 16 veces mayor para impulsar el fluido a través del tubo con el mismo flujo de volumen. Por ello, si se reduce por alguna razón el diámetro de los vasos sanguíneos o arterias, sucede que disminuye grandemente el flujo de volumen de la sangre, o el corazón debe realizar un trabajo mucho mayor para mantener el mismo flujo de volumen. Para el agua que fluye por una manguera larga de jardín, la caída de presión es la que existe desde la fuente de agua hasta el extremo abierto de la misma a presión atmosférica. Del mismo modo, el flujo es proporcional a la cuarta potencia del radio. Si el radio se divide por la mitad, el flujo disminuye en un factor de 16.
La ley de Poiseuille se aplica sólo al flujo laminar (no turbulento) de un fluido de viscosidad constante que es independiente de la velocidad del fluido. La sangre es un fluido complejo formado por partículas sólidas de diferentes formas suspendidas en un líquido. Los glóbulos rojos de la sangre, por ejemplo, son cuerpos en forma de disco que están orientados al azar a velocidades bajas pero que se orientan (alinean) a velocidades altas para facilitar el flujo. Así pues, la viscosidad de la sangre disminuye cuando aumenta la velocidad de flujo, de forma que no es estrictamente válida la ley de Poiseuille. Sin embargo, dicha ley es una aproximación muy útil a la hora de obtener una comprensión cualitativa del flujo sanguíneo.
La potencia (aquí como energía consumida por unidad de tiempo) necesaria para mantener el flujo en un sistema viscoso, puede aproximarse teniendo en cuenta que la fuerza necesaria es F = P.A; la potencia W = F.v y el caudal Q = A.v. Como v=Q/A, sustituyendo queda que la potencia será W=P.Q.
Ejemplo
Una arteria grande de un perro tiene un radio interior de 4 x 10-3 m. El caudal de la sangre en la arteria es de 1 cm3 s-1 = 10-6 m3 s-1. Hallar (a) las velocidades media y máxima de la sangre; (b) la caída de presión en un fragmento de arteria de 0,1 m de longitud.
(a) La velocidad media es v Gasto Area
= Q
R
2 =
10 410
6
3
( )=1.9910
-2
m/s
La velocidad máxima se presenta en el centro de la artería y experimentalmente se encuentra que la velocidad media y máxima se
relacionan como v 1vmax
2 , así vmax = 2v = 3.98 10-2 m/s
(b) Para la sangre a 37 ºC = 2.084 10-3 Pa s. Así pues, la caída de presión se calcula a partir de
P=(8L/R4).Q
f) Flujos con movimiento laminar y turbulento
Los primeros experimentos cuidadosamente documentados del rozamiento en flujos de baja velocidad a través de tuberías fueron realizados independientemente por Poiseuille y por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen. El primer intento de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones matemáticas se debió a Navier e, independientemente, a Sir George Gabriel Stokes, quien perfeccionó las ecuaciones básicas para los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como ecuaciones de Navier-Stokes, y son tan complejas que sólo se pueden aplicar a flujos sencillos. Uno de ellos es el de un fluido real que circula a través de una tubería recta.
El teorema de Bernoulli no se puede aplicar aquí, porque parte de la energía mecánica total se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que provoca una caída de presión a lo largo de la tubería. Las ecuaciones sugieren que, dados una tubería y un fluido determinados, esta caída de presión debería ser proporcional a la velocidad de flujo. Los experimentos demostraron que esto sólo era cierto para velocidades bajas; para velocidades mayores, la caída de presión era más bien proporcional al cuadrado de la velocidad.
Este problema se resolvió cuando Reynolds demostró la existencia de dos tipos de flujo viscoso en tuberías. A velocidades bajas, las partículas del fluido siguen las líneas de corriente (flujo laminar), y los resultados experimentales coinciden con las predicciones analíticas. A velocidades más elevadas, surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo, o remolinos (flujo turbulento), en una forma que ni siquiera en la actualidad se puede predecir completamente.
Reynolds también determinó que la transición del flujo laminar al turbulento era función de un único parámetro, que desde entonces se conoce como número de Reynolds. Si el número de Reynolds (que carece de dimensiones y es el producto de la velocidad, la densidad del fluido y el diámetro de la tubería dividido entre la viscosidad del fluido) es menor de 2.000, el flujo a través de la tubería es siempre laminar; cuando los valores son mayores a 3000 el flujo es turbulento. El concepto de número de Reynolds es esencial para gran parte de la moderna mecánica de fluidos.
Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones calculadas, y su análisis depende de una combinación de datos experimentales y modelos matemáticos; gran parte de la investigación moderna en mecánica de fluidos está dedicada a una mejor formulación de la turbulencia. Puede observarse la transición del flujo laminar al turbulento y la complejidad del flujo turbulento cuando el humo de un cigarrillo asciende en aire muy tranquilo. Al principio, sube con un movimiento laminar a lo largo de líneas de corriente, pero al cabo de cierta distancia se hace inestable y se forma un sistema de remolinos entrelazados.
Ecuación de Bernoulli para flujo real (con fricción)
p
1/δ
+ v
1²/2 + g.h
1= p
2/δ
+ v
2²/2 + g.h
2+ H
0H0 = pérdida de energía por rozamiento desde 1 hasta 2.
9 cohesión entre las moléculas de la sustancia. La viscosidad en los líquidos disminuye con la temperatura, mientras que lo contrario sucede con los gases. Si un fluido no tuviera viscosidad fluiría por un tubo horizontal sin necesidad de aplicar ninguna fuerza. En un fluido real, sin embargo, para mantener un caudal de fluido estable debe mantenerse una diferencia de presiones entre los extremos de la tubería.
De esta manera, cuando el trabajo realizado contra estas fuerzas disipativas es comparable al trabajo total realizado sobre el fluido o al cambio de su energía mecánica, la ecuación de Bernoulli no puede utilizarse. La ecuación de Bernoulli es siempre válida para fluidos en reposo, ya que en este caso las fuerzas viscosas no tienen ningún efecto, pero para los fluidos en movimiento se ha de evaluar los efectos de dichas fuerzas. Por ejemplo, la ecuación de Bernoulli puede dar una descripción adecuada del flujo de la sangre en las arterias mayores de los mamíferos, pero no en los conductos sanguíneos más estrechos.
De acuerdo con la ecuación de Bernoulli, si un fluido “fluye” estacionariamente por una tubería horizontal estrecha y de sección transversal constante, la presión no cambia a lo largo de la tubería. En la práctica, como señalamos, se observa una caída de presión según nos desplazamos en la dirección del flujo: se requiere una diferencia de presión para conseguir la circulación de un fluido a través de un tubo horizontal.
Es necesaria esta diferencia de presión debido a la fuerza de arrastre o de frenado que ejerce el tubo sobre la capa de fluido en contacto con él y a la que ejerce cada capa de fluido sobre la adyacente que se está moviendo con distinta velocidad. Estas fuerzas de arrastre o de frenado se denominan fuerzas viscosas. Como resultado de su presencia, la velocidad del fluido tampoco es
constante a lo largo del diámetro de la tubería siendo mayor cerca de su centro y menor cerca de sus bordes, en donde el fluido entra en contacto con las paredes de la misma
Esta estructura de capas o flujo laminar
se presenta en los fluidos viscosos a baja velocidad, en este caso puede considerase la
velocidad media como la mitad de la velocidad máxima v 1vmax
2 . Cuando la velocidad del fluido aumenta suficientemente, el flujo cambia de carácter y se vuelve turbulento, apareciendo torbellinos o remolinos irregulares denominados en inglés eddys.
Sea P1 la presión en el punto 1 y P2 la presión en el punto 2 a distancia L (siguiendo la
dirección de la corriente) del anterior. La caída de presión P=P1-P2 es proporcional al
flujo de volumen: P = Pl-P2 = R.Q, en donde Q es el flujo de volumen, gasto o caudal, y la
constante de proporcionalidad R es la resistencia al flujo, que depende de la longitud L
del tubo, de su radio r y de la viscosidad del flujo. La resistencia al flujo se puede definir también como el cociente entre la caída de presión y el caudal (en unidades Pa.s/m3 o torr.s/cm3)
Ejemplo
Cuando la sangre fluye procedente de la aorta a través de las arterias principales, las arteriolas, los capilares y las venas hasta la aurícula derecha, la presión (manométrica) desciende desde 100 torr aproximadamente a cero. Si el flujo de volumen es de 0,8 litros/s, hallar la resistencia total del sistema circulatorio.
100 torr=13.3 kPa=1.33 104 N/m2.
Como 1litro=1000 cm3=10-3 m3, se tiene en virtud de la ecuación anterior P=Pl-P2=Q.R
Y entonces R = P/Q = 1.66107Ns/m2
Compilación y adaptación: Ebiana Marey (mayo, 2013)
Fuentes:
http://www.google.com.ar/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&ved=0CDkQFjAC &url=http%3A%2F%2Fwww.cienciamia.net%2Ffisica%2Fnotasfisica2%2F2.03%2520Visco
sidad.doc&ei=E0tTUYzJKYPu9AT-84Bo&usg=AFQjCNF5ZaZT-61RjqM6bfPeQZEtS7S97w&bvm=bv.44342787,d.eWU&cad=rja (marzo del 2013) http://www.fisicanet.com.ar/fisica/dinamica_fluidos/ap01_hidrodinamica.php (agosto, 2010)
https://es.wikipedia.org/wiki/Viscosidad (abril, 2013)
http://www.planetseed.com/es/posted_faq/49267 (abril, 2013)
