Nivel II – ESPA 2º Cuatrimestre

CEA INFANTE

Murcia

MATEMÁTICAS

Nivel II – ESPA

Lecc. 7. FUNCIONES Y GRÁFICAS

1. Coordenadas cartesianas; 2. Gráficas; 3. Concepto de función. 4. Representación gráfica de rectas. 5. Recta que pasa por dos puntos 6. Resolución gráfica de sistemas; 7. Representación de Parábolas.

1. COORDENADAS CARTESIANAS

Ejes Cartesianos o de coordenadas son dos rectas perpendiculares, con un punto en común

 Eje horizontal: se llama eje X o eje de abscisas.

 Eje vertical: se llama eje Y o eje de ordenadas.

 Punto donde se cortan los dos ejes: se llama origen de coordenadas.

Coordenadas de un punto

Cualquier punto del plano queda determinado por sus coordenadas P(x, y) x: se mide sobre el eje x, se llama abscisa del punto.

y: se mide sobre el eje y, se llama ordenada del punto.

Ejemplo: P(3,2) :

El punto P tiene de abscisa 3 y de ordenada 2

1.1. Representa los siguientes puntos:

A (2, 3)

B (4, 3)

C (-3, 4)

D (-2, -4)

E (3, -4)

F (-2, -1)

1.2. Representa los siguientes puntos: O (0, 0)

B (0, 3)

C (-3, 0)

D (-2, 0)

E (3, 0)

F (0, -4)

1.3. Dibuja un cuadrado de lado 3 cuyo vértice inferior izquierdo está en (-1, -2). Escribe a continuación las coordenadas de sus cuatro vértices.

2. GRÁFICAS

Dado un conjunto de datos (temperaturas, pesos, etc….), asociados a otros datos (horas, edad, etc. ), podemos representarlos con sendos puntos, y unirlos mediante segmentos.

Obtenemos así una gráfica en la que observamos los datos, su variabilidad, tendencia etc.

Ejemplo 1:

En la siguiente gráfica se recogen las temperaturas de un paciente a lo largo de un día

a) ¿Que temperatura tenía a las 8 de la mañana? b) ¿A qué hora alcanzó la temperatura máxima? c) ¿A qué hora alcanzó la temperatura mínima?

Ejemplo 2:

En la siguiente gráfica se recogen horas trabajadas cada día, a lo largo de diez días

a) ¿Cuántas horas trabajó el día cuatro? b) ¿Qué día trabajó más horas?

3. CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una función y = f(x) es un criterio o fórmula que, dado un valor “x” le hace corresponder un único valor “y”: x ---> y

3.1. Completa las tablas de valores de las siguientes funciones:

a) y = 3x + 1

Completa los valores de y:

x y

-2 -1 0 1

b) y = x2 - 2

Completa los valores de y:

X y

-2 -1 0 1

c) y = 2x - 5

Completa los valores de y:

x y

-2 -1 0 1

d) y = 2x2 + 1

Completa los valores de y:

X y

-2 -1 0 1

3.2. Completa las tablas de valores de las siguientes funciones:

a) y = -2x - 1

Completa los valores de y:

x y

-2 -1 0 1

b) y = -x2 + x - 3

Completa los valores de y:

x y

-2 -1 0 1

c) y = -2x2 – 3x

Completa los valores de y:

x y

-2 -1 0 1

d) y = -x2 - x + 1

Completa los valores de y:

x y

-2 -1 0 1

Representación gráfica de una función

Es un problema extenso en el que solo nos iniciaremos con funciones sencillas. Para representarlas lo más básico es el cálculo de puntos:

a) Calculamos puntos de la función mediante una tabla de valores.

b) Representamos estos puntos y los unimos. Obtenemos así una aproximación de la gráfica.

Ejemplo: Representa gráficamente y = 3x + 1

a) Obtenemos puntos mediante una tabla de valores:

b) Representamos los puntos obtenidos y los unimos

Representación gráfica de y = 3x + 1

3.3. Representa gráficamente: y = x2 - 1

a) Obtenemos puntos mediante una tabla de valores:

4. RERESENTACIÓN GRÁFICA DE RECTAS

Contamos con una gran ventaja. Sabemos de antemano que para este tipo de funciones los puntos obtenidos están alineados, o sea, forman una línea recta.

Y como dos puntos determinan una recta, es suficiente con obtener dos puntos para realizar la representación de las funciones del tipo y = mx + n

4.1. Representa las siguientes rectas

1) y = 2x -3

2) y = - 2x + 5

3) y = 3x + 1

4) y = -x + 3

5) y = 2x + 1

6) y = -3x + 4

m = PENDIENTE

En la recta y = mx + n

m

m positiva, “recta hacia arriba” m negativa, “recta hacia abajo"

Cuánto más grande es m, más crece “y” para el mismo aumento de “x”, por lo que hay "más inclinación" de la recta.

n = CORTE DEL EJE Y

En la recta y = mx + n

n

Ejemplos:

y = -x + 3 (n=3)

corta al eje Y en y = 3

y = 3x + 1 (n=1)

4.2. Representa las siguientes rectas

1) y = 2x -3

2) y = -3x + 1

3) y = 2

5

3x

4) y =

3 1 2   x

5) y =

2

x

- 1

PARALELISMO.

Dada la recta y = mx + n, cualquier otra recta con la misma pendiente “m” será paralela.

Ejemplo:

4.3. Calcular las ecuaciones de las rectas paralelas a las siguientes rectas: a) Paralela a y = 2x + 1 que pasa por el punto A(2,3)

b) Paralela a y = x - 3 que pasa por el punto B(1, 5)

c) Paralela a y = 3x + 1 que pasa por el punto C(-2, -2)

d) Paralela a y = x + 7 que pasa por el punto D(-3, 5)

GEOGEBRA:

Si en Internet realizas la búsqueda “Geogebra online” llegarás a la página

5. RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

A partir de una recta hemos obtenido puntos (mediante la tabla de valores), que nos han servido para representarla.

Ahora vamos a hacerlo al revés: dados dos puntos calcularemos la ecuación de la recta que pasa por ellos, usando la fórmula:

   ) , ( ) , ( 1 1 1 0 0 0 y x P y x P 0 1 0 0 1 0

y

y

y

-y

x

x

x

-x







Ejemplo: Obtener la recta que pasa por A(-1, 3); B(3, -5)







-

5

-

3

3

-y

(-1)

3

(-1)

-x

_

_





3

-5

-3

-y

1

3

1

x

8

-3

-y

4

1

x



_

Quitamos ahora los denominadores, igualando el producto cruzado (producto de diagonales):

4(y - 3) = -8(x+1)

4y – 12 = -8x – 8

4y = -8x – 8 + 12

4y = -8x + 4

4

4

8x

-





y

y = -2x + 1

es la ecuación de la recta buscada

Recta y = -2x + 1

5.1. Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos….

a) A(1.2) y B(-1, 5).

b) A(3, -2) y B(2, 0).

c) A(0, 3) y B(3, 0).

d) A(-3, -4) y B(3, 1).

e) A(-2, -3) y B(0, 4).

5.2. Obtener la ecuación de la recta que tiene la siguiente gráfica:

(sugerencia: toma dos puntos por los que pase la recta, y aplica la fórmula anterior)

6. RESOLUCIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS

Se representan las rectas correspondientes a cada una de las ecuaciones del sistema. La solución del sistema será el punto de corte de las rectas.

Ejemplo:

6 2

1 5

= y x

= y x

  

 

Se despeja la y en las dos ecuaciones:

Primera ecuación: y = 5x - 1

Segunda ecuación: y = -2x + 6

Se representan esas dos rectas, y el punto de corte es la solución del sistema

Solución = punto de corte: x = 1

6.1 Resuelve gráficamente los sistemas de ecuaciones: a. 1 = y -2x = y + x 5 4    b. 1 2 12 -= y + x -= 2y + 3x    c. 4

2y =

7. REPRESENTACIÓN DE PARÁBOLAS

Al representar una función del tipo y = ax2 + bx + c tenemos una ventaja:

Sabemos de antemano que los puntos obtenidos formarán una parábola (curva con forma de “u”)

Orientación de la parábola:

Tendrá ramas hacía arriba si a es positivo, El valor mínimo se llama vértice.

Tendrá ramas hacia abajo si a es negativo. El valor máximo se llama vértice.

Vértice de la parábola:

Vértice V(x,y)

La abcisa “x” se obtiene con:

a b x

2



 La ordenada “y” se obtiene en la tabla de valores

Ejemplo 1. Representa y = x2 _{- 4x + 1}

    

  



1 4 1

c b

a

1) Orientación:

a positivo, ramas hacia arriba: 

2) Vértice:

2

2

4

2









a

b

x

3) Tabla:

*En el centro colocamos el vértice. *Añadimos dos valores anteriores y dos posteriores. Calculamos:

x y

A 0

B 1

Vértice 2

C 3

Ejemplo 2. Representa y = -x2 _{+ 2x + 1}          1 2 1 c b a 1) Orientación:

a negativo, ramas hacia abajo: 

2) Vértice:









a

b

x

2

*En el centro colocamos el vértice. *Añadimos dos valores anteriores y dos posteriores. Calculamos:

x y

A B Vértice

C D

Ejemplo 3. Representa y = x2 _{- 2}

         2 0 1 c b a 1) Orientación:

a=1, positivo, ramas hacia arriba: 

2) Vértice:   

a b x

2

3) Tabla:

*En el centro colocamos el vértice. *Añadimos dos valores anteriores y dos posteriores. Calculamos:

x y

A B Vértice

7.1. Representa las siguientes parábolas:

(a) y = x2 + 2x +1 (b) y = -x2 – 4x (c) y = -x2 (d) y = -x2 + 4 (e) y = x2 – 4x + 6 (f) y = -2x2

Lecc. 8. NÚMEROS REALES

1. Aproximaciones; 2. Error; 3. Notación científica; 4. Radicales; 5. Racionalización.

1. APROXIMACIONES

Cuando se aborda un problema, decidimos la precisión con que daremos las cifras:

Con un decimal (aprox. a decimas); Con dos (aprox. a centésimas). Con tres3 (aprox. milésimas)

Hay dos procedimientos para aproximar:

Truncar: es simplemente tachar las cifras sobrantes

Redondear: tachar y ajustar la última cifra no tachada, para minimizar el error.

Ejemplo: aproxima 2,38 a décimas

Si 2,38



Si 2,38



2,3 sería el truncamiento; 2,4 sería el redondeo

PROCEDIMIENTO PARA REDONDEAR:

Dividimos las terminaciones en dos grupos

Si la primera cifra suprimida es del primer grupo, mantenemos la última cifra.

Si la primera cifra suprimida es del segundo grupo, aumentamos en uno la última cifra.

Ejemplo: Redondea a décimas 2,35

Primera cifra a suprimir = 5



2,35



2,4

Ejemplo: Redondea a centésimas 8,457…

Primera cifra a suprimir = 7



8,457



8,46

1.1 Realiza los siguientes redondeos:

Número Redondeo a

décimas Número

Redondeo a centésimas

2,37 2,3781

3,65 3,654

9,83 9,835

6,254 6,2542

12,75 5,145

2. ERROR

Cuando suprimimos cifras nos apartamos del valor verdadero, o sea, introducimos un error.

Error absoluto = valor real- valor aproximado

Ejemplo: redondea 2,37 a décimas y calcula el error absoluto Valor real: 2,37; Valor aproximado: 2,4

Error absoluto = 2,37-2,4 = 0,03

El error relativo da más información, pues expresa el error como porcentaje del valor real

Error relativo =

real

valor

absoluto

error

x100

Ejemplo: redondea 2,37 a décimas y calcula el error relativo

Valor real: 2,37; Valor aproximado: 2,4

Error relativo = 0,0126

37 , 2

03 , 0 37

, 2

2,4 -2,37



 1,26%

Ejemplo: redondea a décimas 0.613 y calcula el error relativo

Valor real: 0,613; Valor aproximado: 0,6

Error relativo = 0,0212

613 , 0

013 , 0 613 , 0

0,6 -0,613



 = 2,12%

2.1 Ejercicios:

1. Redondea a centésimas 0,135 y calcula el error absoluto y relativo

2. Redondea a décimas 0,45 y calcula el error absoluto y relativo

3. Tomamos  3 como valor aproximado de 3,14..., Obtener el error absoluto y relativo.

4. Tomamos g = 10 como valor aproximado de g = 9,81.., Obtener el error absoluto y relativo

3. NOTACIÓN CIENTÍFICA

EXPONENTE NEGATIVO (repaso):

Recordamos que _{n n}

0 n

-a

1

a

a

a





n

-a

a



1

Múltiplos y submúltiplos de unidades usando exponente negativo:

metro (m)

Submúltiplos Múltiplos

Valor Símbolo Nombre Valor Símbolo Nombre

10−1 m dm decímetro 101 m dam decámetro 10−2 m cm centímetro 102 m hm hectómetro 10−3 m mm milímetro 103 m km kilometro

10−6 m µm micrómetro 106 m Mm megametro 10−9 m nm nanómetro 109 m Gm gigametro 10−12 m pm picometro 1012 m Tm terametro

NOTACIÓN CIENTÍFICA:

Se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños. Consiste en escribir los números en la forma:

a

·

10

1

a<10

.

Ejemplos:

Distancia media tierra/sol: 150 000 000 000 m = 1,5·1011 m

Masa de un electrón: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 9 g = 9,109·10–28 g

3.1. Escribe en notación científica:

a) 210 000 000 000

b) 2 500 000 000 000

c) 58 400 000 000

d) 0,000 000 372

e) 0,000 000 004

3.2. Ajusta a notación científica:

a) 210 • 106 = 2,10 • 108

b) 0,024 • 10-4 = 2,4 • 10-6

c) 345,2 • 105 = d) 21,54 • 106 =

e) 0,75 • 104 = f) 0,75 • 10-4 = g) 3210 • 109 = h) 54,21 • 107 =

3.3. Pasa de notación científica a notación decimal: a) 2,10 • 108

=

b) 2,4 • 10-6

=

c) 7,3 • 10-7 =

d) 3,741 • 107 = e) 9,34 • 10-5 = f) 4,92 • 105 =

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

Ejemplo. Multiplica 3,75·10-4 por 8,5· 107 y expresa el resultado en notación científica Solución: 3,75·10-4· 8,5· 107 = 31,875 · 103= 3,1875 · 104

Ejemplo. Multiplica 7,5 ·105 por 2,75 ·107 y expresa el resultado en notación científica Solución: 7,5·105· 2,75·107 = 20,625·1012 = 2,0625·1013

3.4. - Multiplica y expresa el resultado en notación científica

a) 9,25·10-2 · 3,2· 107 b) 7,5·10-3 · 9,2· 107 c) 5,75 ·105 · 6,05 ·10-9 =

SUMA DE NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

Ejemplo. Suma 4,5·105 + 1,27·103 + 5,3·104 y expresa el resultado en notación científica.

1º. Llevamos las cantidades a la potencia más elevada (en este caso a 5): 4,5·105 = 4,5·105

1,27·103 = 0,0127·105 5,3·104 = 0,53·105

2º. Sumamos:

4,5·105 + 0,0127·105 + 0,53·105 = (4,5 + 0,0127 + 0,53)·105 = 5,0427·105 3.5. Suma y expresa el resultado en notación científica

a) 1,8·104 + 1,43·107 + 2,53·103 = b) 2,7·109 + 1,1·106 + 2,62·108 = c) 1,4·10-7 + 2,93·10-4 + 2,53·10-6= d) 2,8·10-8 + 6,52·10-5 + 2,53·10-7 =

4. RADICALES

Propiedad fundamental:

b

a

b

a

·



.

_b

a

b

a



No se cumple para sumas o restas: a b ab

4.1. Calcula los resultados:

a) 2· 2 

b) 3· 3 

c) 4· 4 

d) 5· 5 

e) 6· 6 

f) 7· 7 

g) 8· 8 

h) 9· 9 

4.2. Calcula los resultados:

a)

18

·

2



b)

50

·

2



c)

9

·

4



d)

18

·

2



e) 2· 8

f)

18

·

8



g)

5

·

20



h)

32

·

2



Sol: a) 6; b) 10; c) 6; d) 6; e) 4; f) 12; g) 10; h) 8 .

4.3. Escribe bajo la forma a b :

a) 18 9·2  9· 23 2

b) 50 =

c) 72 =

d) 450 =

e) 27

f) 45

g) 75

h) 125

Sol: a) 3 2; b) 5 2; c) 6 2; d) 15 2; e) 3 3; f) 3 5; g) 5 3; h) 5 5;

4.4. Escribe bajo la forma a b y agrupa los resultados:

a) 5 272 753 3=

b) 2 5 1256 45=

c) 2 272 12 3=

d) 2 50 182 32=

Sol: a) 8 3; b) 11 5 c) 3; d) 5 2

5. RACIONALIZACIÓN

Racionalizar una fracción consiste en quitar del denominador las raíces, y conseguir que en su lugar haya un número entero.

Y… porque se hace esto, ¿qué más da?, el motivo es que con denominador entero, la fracción está preparada para operar con ella y posibles simplificaciones. Una fracción con raíces en el

denominador es poco manejable.

Ejemplo de racionalización:

2

2

5

2

·

2

2

·

5

2

5

5.1. Racionaliza:

a) 

3 2

b) 

5 3

c) 

7 2 d) 2 1 e) 3 3 2 2 f) 3 2 3 g) 12 3 4 h) 2 8 5

Soluc: a) 3

3 2

; b) 5

5 3

; c) ;

7 7 2 d) 2 2

; e) 9

6

2

; f) 6; g) 2; h) 10

5.2. Racionaliza:

a)



7

3

b)

8

7

5

2

c)

2

9

3

25

3

2

1

6

5

12

Soluc: a) 7

7 3

; b) 14

5

; c) ;

2 2 3 d) 3 3 5

; e) 12; f) ; 5

15 2

5.3. Realiza las siguientes operaciones, usando identidades notables:

a) (1 2)2

b) (3 5)2

c) ( 3 2)2

d) ( 7 2)2

e) (2 3)2 

f) (5 2)·(5 2)

Racionalización usando identidades notables Ejemplo 1:

23

)

2

5

(

3

2

25

)

2

5

(

3

)

2

5

)·(

2

5

(

)

2

5

(

3

2

5

3

_



















Hemos multiplicado numerador y denominador por el conjugado del denominador

Ejemplo 2:

5.4. Racionaliza:

a)  1 3 1 b)   3 3 2 c)   2 3 2 d)   3 1 5 e)   2 3 3

Soluc: a)

2 1 3 _{; b)}

3 3 3

; c) 7 ) 2 3 ( 2 

; d) 2 ) 3 1 ( 5  

Lecc. 9. PORCENTAJES. HOJA DE CÁLCULO

1. Porcentajes; 2. Aumentar un %; 3. Disminuir un %; 4. Hoja de cálculo

1. PORCENTAJES

Un porcentaje es una fracción:

r

r

Calculo de r% de una cantidad = 100

r

x cantidad

Ejemplo: 12% de 300 euros: 12% x 300 = 300 100

12

x = 0,12x300 = 36 Euros

Problema directo: dada una cantidad calcula un %

1.1. Calcula:

Cantidad % Resultado

300 12

100 12

300x = 300 x 0,12 = 36

900 15

1.200 16

800 5

100 5

800x = 800 x 0,05 = 40

1.500 8

650 4

Problema inverso: dado un % , calcula la cantidad original

1.2. Calcula:

% de una cantidad Cantidad original

El 12% de una cantidad es 36 36 : 0,12 = 300

El 15% de una cantidad es 675

El 20% de una cantidad es 16

El 5% de una cantidad es 800 800 : 0,05 = 16000

El 7% de una cantidad es 126

1.3.

a) El 18% de retención de IRPF de un sueldo le son 342 Euros. ¿Cuál es el sueldo?

b) Gasto 15% de la gasolina del depósito y quedan 42,5 l. ¿Cuál es la capacidad del depósito?.

1.4. Rellena los siguientes recuadros con los datos que faltan

1.5. Rellena los siguientes recuadros con los datos que faltan

2. AUMENTAR UN %

Problema directo: Dada una cantidad, aumentarla un % determinado

2.1. Calcula:

Cantidad % Cantidad aumentada

300 12 300 x 1,12 = 336

900 12

1.200 16

800 5 800 x 1,05 = 840

1.500 8

2.800 2

Problema inverso: Dada una cantidad aumentada en un %, calcular la cantidad original

2.2. Calcula:

Precio aumentado Precio original

Precio aumentado un 12% = 336 336 : 1,12 = 300

Precio aumentado un 15% = 690

Precio aumentado un 14% = 10 260

Precio aumentado un 5% = 840 840 : 1,05 = 800

Precio aumentado un 7% = 1 712

Precio aumentado un 8% = 5 400

2.3. Completa las tablas:

Precio base

Precio con IVA 21%

300 825

225

2.150 5.400

700

Precio base

Precio con IVA 18%

400 650

325

1.950 6.500

800

2.4. Rellena los siguientes recuadros con los datos que faltan

2.5.

a) Una factura de 1600 Euros sube un 2,5%, ¿Cuál es el nuevo importe?

Sol. 1640

b) El coste de la vida ha subido un 9% un año y un 6% en el año siguiente. ¿Qué porcentaje ha subido en total en esos 2 años?

(Sugerencia, parte de 100 como cantidad inicial en el primer año, y observa su evolución hasta el final del segundo año).

Sol: 15,54 %

3. DISMINUIR UN % (PRECIO REBAJADO)

Problema directo: Dada una cantidad, rebajarla un % determinado.

Lo que haremos es, en vez de calcular el % que nos rebajan, calcular el % que se debe pagar. Por ejemplo, si rebajan 12% hay que pagar 88%

3.1. Calcula:

Cantidad % Cantidad rebajada

300 12 300 x 0,88 = 264

900 15

1.200 16

800 5 800 x 0,95 = 760

1.500 8

Problema inverso: dada una cantidad rebajada en un %, calcular la cantidad original

3.2. Calcula:

Precio rebajado Precio original

Precio rebajado un 12% = 264 264: 0,88 = 300

Precio rebajado un 25% = 1200

Precio rebajado un 12% = 1 056

Precio rebajado un 5% = 760 760 : 0,95 = 800

Precio rebajado un 8% = 1 380

Precio rebajado un 9% = 2 184

3.3. Completa las tablas:

Precio Precio rebajado un 30%

300 180

280

420 500

175

Precio Precio rebajado un 15%

400 900

425

1.275 6.500

1105

3.4. Rellena los siguientes recuadros con los datos que faltan

3.5. Rellena los siguientes recuadros con los datos que faltan

3.6. Rellena los siguientes recuadros con los datos que faltan

3.7.

a) Un traje marcaba 150 euros. En rebajas el mismo traje cuesta 120 euros. a) ¿Qué rebaja han hecho (en %)?

b) Si la rebaja hubiera sido del 15% ¿cuál sería el precio? Sol: a) 20%; b) 127,5

b) El precio de dos artículos sin IVA es de 25 euros y 17,6 euros.

Averigua cuál es el precio si se aplica un IVA 16%. Sol: 29 euros; 20,42 euros

c) Si un precio ha subido de 400 a 500 Euros,

¿Cuál ha sido el aumento en %?. Sol: 25%

d) El precio de un balón después de un 5% de descuento es de 9 euros.

¿Cuál era el precio inicial?. Sol: 9,47 euros.

e) Por un objeto de 800 euros nos cobran 640 euros.

¿Qué tanto por ciento de descuento nos han hecho? Sol: 20%

3.8.

a) En un supermercado el precio de un litro de leche es de 90 cts., y en la segunda unidad hacen un 50% de descuento. Compro diez paquetes

a) ¿Cuánto debo pagar en total?

b) ¿Cuánto me cuesta en conjunto cada litro de leche? c) ¿Qué porcentaje de rebaja supone en el total del precio?

Sol. a) 6,75 euros; b) 0,675 cada litro; c) un 25%

b) En las elecciones en una empresa el porcentaje de abstención fue del 25%.

El número de votos emitidos fue de 240. ¿Cuántos trabajadores tiene la empresa?.

Sol: 320 trabajadores

c) Después de haber subido el precio un 40% un objeto cuesta ahora 301 euros. ¿Cuál era su precio inicial?

Sol: 215 euros

d) La cantidad de agua de un embalse ha aumentado en un 35% respecto a la que había la semana pasada. Ahora contiene 87,75 millones de litros.

¿Cuáles eran sus reservas la semana anterior?

4. HOJA DE CÁLCULO

El paquete OFFICE de Microsoft incluye varios programas: Word: procesador de textos

Acces: gestor de base de datos

Power Point: aplicación de presentaciones de diapositivas

Excel: hoja de cálculo, o sea, un programa con el que se pueden realizar cálculos automáticos de números que están en una tabla, y representaciones gráficas de los mismos.

El paquete OPENOFFICE (Software libre, de uso gratuito) incluye: Writer: procesador de textos

Base: base de datos

Impress: presentaciones de dipositivas

Calc: hoja de cálculo.

LIBREOFFICE es otro paquete de uso gratuito, análogo a OpenOffice

En un mismo ordenador pueden estar instalados OpenOffice o LibreOffice y Microsoft Office sin tener conflictos entre ellos.

4.1En una hoja de cálculo…

a) Copia los datos de la figura:

b) TOTALES EN COLUMNA C Clic en la celda C4

Introduce la fórmula =A4*B4

(para calcular cantidad * precio)

c) SUMA DE LOS TOTALES

Inserta en C9 la fórmula =SUMA(C4:C8) que sumará los datos de la columna C

Para ello es suficiente que sitúes el cursor en C9 y hagas clic en el botón Suma:

d) Sombrea las filas 3 y 9 para que quede finalmente así:

4.2. En una hoja de cálculo nueva

a) Copia los datos de la siguiente figura, y "tira" hasta llegar al domingo:

c) Introduce en B10 la función =SUMA(B3:B9)

y en B11 la función =PROMEDIO(B3:B9).

Puedes usar

Da a B10 y B11 formato número sin decimales. Quedará finalmente:

Gráfico

Selecciona el rango B3:B9, y haz clic en el botón “Gráfico” de la barra de herramientas. Selecciona alguno del tipo columnas.

Prueba las opciones hasta que te quede aproximadamente así:

4.3. En una hoja de cálculo nueva a) Copia los datos de la siguiente figura:

b) En C2 introduce la fórmula =B2*(1+F2)  = B2*(1+$F$2) En D2 introduce la fórmula = C2*(1+F2)  = C2*(1+$F$2)

(El signo $ se introduce para que al “tirar” de las fórmulas hacía abajo, F2 no se adapte.

Si tiras de las fórmulas sin añadir estos signos la referencia F2 se adapta a F3, F4… cuyo contenido es 0%, por lo que no habría aumentos)

La referencia F2 se llama "referencia relativa" La referencia $F$2 se llama "referencia absoluta"

Selecciona a la vez C2 y D2 y “tira” del tirador de relleno hacía abajo

Añade totales en fila 7, y da a las celdas formato número con dos decimales

4.4. Crea una hoja de cálculo nueva/ plantilla. Selecciona "Amortización de préstamos", y rellena con los datos de algún préstamo ficticio para ver cómo funciona:

Lecc. 10. ÁLGEBRA

1. Repaso de operaciones; 2. División Ruffini; 3. Descomposición factorial de un polinomio; 4. Simplificación de fracciones algebraicas.

1. REPASO DE OPERACIONES

1.1 Suma y resta.

a) 2x- 3x2 -2 - (x2+3x+4) = Sol.: -4x2-x-6

b) 5-3(x2+1) + x2 + 2x = Sol.: -2x2+2x+2

c) (3x2 - 5x + 12) + ( 4x2 – 2x + 1) = Sol: 7x2 -7x + 13 d) (6x2 - 5x + 2) - ( x3 - 3x2 - 12) = Sol: -x3 +9x2 -5x +14

1.2 Multiplicación

a) 2x7 · 4x5 Sol.: 8x12

b) 6x2 · 2x4 Sol.: 12x6

c) 5x9 · 4x Sol.: 20x10

d) (7x - 3) · (4x + 2) = Sol.: 28x2 +2x – 6

e) (x2 + x - 6) · (2x - 5) = Sol.: 2x3 -3x2 – 17x +30

1.3 División de monomios:

a) 10x5: 2x3 = Sol: 5x2

b) 8x2 : 4x2 = Sol: 2

c) 9x4 : 3x = Sol: 3x3

1.4 Factor común:

a) 3x3 + 6x2 = b) 2x3 + 4x2 + 8x =

c) x2-3x + 4x2 +12x = (agrupa antes de sacar factor común)

d) 6x3-3x2 + 12x = e) 12x3- 6x2 + 9x

DIVISIÓN EUCLÍDEA DE POLINOMIOS:

 Se ordenan los polinomios. (Se dejan los "huecos" en el dividendo si los hay)

 Se divide el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor. Con ello se obtiene el primer término del cociente

 Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto –con signo cambiado- debajo del dividendo, y se suma...

 Se continúa de esta manera hasta que el resto sea cero o no pueda ser dividido...

Ejemplos:

1.5 Divisiones Euclídeas:

a) (x5 + 2x3 − x − 8):(x2 − 2x + 1) =

2. DIVISIÓN POR RUFFINI:

A) Coeficientes de un polinomio:

Polinomio Coeficientes del polinomio

x3 + 2x -1 1 0 2 -1

x5- 2x3 + x2 -1 2x4- 3x2 + x-1 x3- 3x + 2 4x2 -1

B) División por Ruffini: solo para divisiones del tipo

P(x) : (x+a)

P(x) : (x- a)

EJEMPLO: (3x4 - 8x2 +5x -1) : ( x -2)

1) Escribimos los coeficientes del dividendo, y el opuesto del término independiente del divisor:

2) Se baja el primer coeficiente (3) y se multiplica por 2, y vas sumando y multiplicando dos...

Cociente:

3

x



6

x



4

x



13

2.1. Divide por Ruffini, obteniendo cociente y resto [no olvides los ceros en los huecos]:

a) x3- 3x + 2 : x-1 Sol. c(x) = x2+ x – 2; resto = 0

b) x5- 2x3 + x2 -1 : x-2 . Sol. c(x) = x4+2x3 + 2x2+ 5x +10; resto = 19 c) 2x4- 3x2 + x-1 : x+1 Sol. c(x) = 2x3 -2x2 – x + 2; resto = -3

d) 3x3 + 2x2 -3 : x+2 Sol. c(x) = 3x2 - 4x + 8; resto = -19

Paolo Ruffini (1765–1822)

Matemático y médico italiano. Estudió matemáticas, literatura, filosofía, medicina y biología en la Universidad de Módena. Se graduó en 1788, y llegó a ser rector en esa universidad.

Desde 1807 fue director de la escuela militar de Milán (durante la invasión de Napoleón)

3. DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES

A) Descomponer usando Ruffini

Descomponer: P(x) = x25x6

El término independiente es 6  sus divisores son: 1 ; 2 ; 3.

Seleccionamos uno de estos valores que de cero al final ...

Entonces: P(x) =



 



Descomponer: P(x) = 2x27x6

El término independiente es 6  sus divisores son: 1 ; 2 ; 3.

Seleccionamos uno de estos valores que de cero al final ...

Entonces: P(x) =



 



3.1. Factoriza los siguientes polinomios usando Ruffini:

1) x2 - x - 2 2) 3x2- 7x - 6 3) x2 - 9

4) 2x2-5x- 3 5) 3x2+ 10x + 7 6) 7x2 + 12x – 4

Sol: 1) (x+1).(x-2); 2) (3x + 2).(x-3); 3) (2x + 3).(2x - 3); 4) (2x+1)(x-3); 5) (3x+7).(x+1); 6) (7x-2).(x+2).

B) Descomponer resolviendo la ecuación

ax2 + bx + c también se puede descomponer como (x - s1)·(x - s2) = 0,

siendo s1 y s2 las soluciones de ax2 + bx + c = 0.

3.2. Factoriza los siguientes polinomios, realizando la ecuación:

1) x2 - x - 2 2) x2- 5x - 6

3) x2 - 9 4) x2 - 7x + 12

Sol: 1) (x+1).(x-2); 2) (x + 1).(x-6); 3) (x + 3).(x - 3); 4) (x-3)(x-4) .

C) Descomponer: “diferencia de cuadrados = suma x diferencia”

Recordamos a2 – b2 = (a+b)·(a-b)

3.3. Factoriza los siguientes polinomios usando diferencia de cuadrados:

a) 4x2 – 9 = b) x2 – 4 = c) x2 – 1 =

d) 4x2 – 25 = e) 16x2 – 16 = f) 9x2 – 49 =

Soluc.: (a) (2x+3).(2x-3); (b) (x+2).(x-2); (c) (x+1).(x-1); (d) (2x+5).(2x-5); (e) (4x+4).(4x-4); (f) (3x+7).(3x-7);

4. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Podemos simplificar cuando numerador y denominador están formados por producto de factores

Bien simplificado, se mantiene el valor.

La fracción vale 3 antes de simplificar y 3 después de simplificar

No podemos simplificar cuando hay sumas o restas en numerador o denominador

Mal simplificado, no se mantiene el valor.

La fracción vale 2 antes de simplificar y 3 después de simplificar

Para simplificar una fracción algebraica debes factorizar numerador y denominador. Para ello usa uno de estos recursos, en el siguiente orden:

(1º) Factor común

(2º) Diferencia de cuadrados = suma x diferencia (3º) Ruffini o resolver ecuación 2º grado

4.1 Simplifica: a) 1 1   x x2 b) 2) + (x 2 2) + (x x c) x 3 2x -x2 d) 2) + (x x 2) + (x x 3 2 e) 4 -x 2 -x 2 f) x 5x + x 2 2 g) x 3 2) -(x x 2 h) 1) + (x x 1) + (x x3

Sol: a) x-1; b) x/2; c) (x-2)/3; d) 3x; e) 1/(x+2); f) (x+5)/x; g) (x-2)/3x; h) x2

4.2 Simplifica:

a) 3 + x 9 + x 3 b) 1) + (x 2 2x + x 2 2 c) 2) -(x x x 2 -x3 2

d) 1) -(x x 1 + 2x -x2 e) 16 -x 4x -x 2 2 f) 6 -x -x 4 + 4x + x 2 2 g) 6 -x -x 9 -x 2 2 h) 2x + x 2x -x + x 2 2 3

Lecc. 11.- SEMEJANZA. TRIGONOMETRÍA

1. Semejanza; 2. Teorema de Thales; 3. Mapas y escalas; 4. Razones trigonométricas. 5. Resolución de triángulos rectángulos; 6. Relaciones fundamentales

1. SEMEJANZA

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma (una es como la otra “tras aplicarle zoom”).

Si dos figuras son semejantes, los lados correspondientes son proporcionales.

Si los siguientes triángulos son semejantes

Los lados correspondientes serán proporcionales:

) (

' '

' c k razóndesemejanza c

b b a

a

  

1.1. Ejercicios

a) Calcula las medidas que faltan en el segundo triángulo, y la razón de semejanza (la razón del mayor al menor).

b) Sabiendo que los siguientes rectángulos son semejantes, obtener el ancho del mayor

c) Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 12 cm. Se construye otro semejante cuyo lado menor mide 9 cm. Obtener los otros dos lados y la razón de semejanza (la razón del mayor al menor).

d) Una varilla de un metro proyecta una sombra de 60 cm. ¿Qué altura tiene un árbol que en ese mismo momento proyecta una sombra de 7,20 m?

Thales de Mileto

Nacido en Mileto, Grecia (actualmente Turquía), en el año 624 a.C. Filósofo y matemático. En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría y astronomía. Fue maestro de Pitágoras.

2. TEOREMA DE THALES

Si tres o más rectas paralelas Son cortadas por dos rectas transversales

Los segmentos determinados son proporcionales. Ejemplo:

 

x

9 4 6

6x = 36  x = 6 Sugerencia: busca en YouTube, “Les Luthiers, Teorema de Thales”

2.1. Ejercicios

a) Las rectas a, b y c son paralelas. Obtener la longitud x

3. MAPAS. ESCALAS

La escala indica la razón entre el mapa y la realidad.

Por ejemplo, 1:50 000 indica que por cada unidad en el mapa hay 50 000 en la realidad.

1 cm en el mapa = 50.000 cm en la realidad (50.000 cm = 500 m = 0,5 km)

3.1. Ejercicios

Escala 1: 50 000 Escala 1: 200 000

distancia en mapa cm

distancia real km

distancia en mapa cm

distancia real km

6 cm 3 cm

15 cm 7 cm

1 km 12 km

2,4 km 25 km

3.2. Ejercicios

a) En un mapa escala 1:50 000 la distancia que separa dos ciudades es de 8 cm. ¿A qué distancia real se encuentran ambas ciudades?

b) En un mapa de escala 1:200 000, ¿Cuál será la distancia entre dos ciudades A y B cuya distancia real es 360 km?

c) ¿Qué distancia real medida en kilómetros hay entre dos ciudades que están separadas por 4,5 cm en un mapa a escala 1:500.000?

4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Si consideramos

un ángulo agudo

de un triángulo rectángulo:

sen A =

hipotenusa

opuesto

cateto

cos A =

hipotenusa

adyacente

cateto

tan A =

adyacente

cateto

opuesto

cateto

Ejemplo:

sen A =

5

3

= 0,60

cos A =

5

4

= 0,8

tg A =

4

3

= 0,75

sen B =

5

4

= 0,80

cos B =

5

3

= 0,60

tg B =

3

4

= 1,33

4.1. Ejercicios:

a) Obtener las razones de los ángulos A y B:

RAZONES DE 45º

Se parte un cuadrado de lado 1, y calculamos la diagonal por Pitágoras Con esta figura calculamos las razones de 45º

Figura 1

RAZONES DE 30º y 60º

En un



Figura 2

Llegamos a los siguientes resultados, ya racionalizados:

30º 45º 60º

seno

coseno

5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS



Para resolver un



5.1. Resuelve los triángulos:

Conociendo dos lados:

Indicación: Calcula el lado que falta (Pitágoras), y el ángulo A a partir del arco tangente (calculadora)

5.2. Resuelve los triángulos:

Conociendo un lado y un ángulo Indicación: Calcula el lado C usando la tan A ...

5.3. Ejercicios:

b) Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura: (a) Calcula la altura del árbol. (b) ¿A qué distancia está Pablo del árbol?

c) Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura: Halla el valor de c y la longitud del cable (a+b).

d) Halla los valores de x, y, h en el siguiente triángulo:

e) Desde el suelo vemos el punto más alto de un edificio con un ángulo de 60º. Nos alejamos 6 metros en línea recta y este ángulo es de 50º. ¿Cuál es la altura del edificio?

6. RELACIONES FUNDAMENTALES

Para todo ángulo A se cumple:

1ª) sen2Acos2 A1 2ª) tan A =

A A sen

cos

6.1. En los siguientes ejercicios suponemos que A es un ángulo agudo de un



a) Sabiendo que sen A = 0,6 obtener cos A y tg A

b) Sabiendo que cos A = 0,4 obtener sen A y tg A

c) Sabiendo que

5 3



A

sen obtener cos A y tg A

d) Sabiendo que

2 1

cos A obtener sen A y tg A

e) Sabiendo que

4 1



A

sen obtener cos A y tg A

f) Sabiendo que

4 3

cos A obtener sen A y tg A

g) Sabiendo que sen A0,3 obtener cos A y tg A

h) Sabiendo que cosA0,8 obtener sen A y tg A

i) Simplifica las expresiones:

a) sen3AsenA.cos2 A

b) sen4Acos4 A

Lecc. 12. ESTADÍSTICA

1. Estadística; 2. Frecuencias. 3. Medidas estadísticas (Moda; Mediana; Moda); 4. Gráficos estadísticos (Diagrama de barras, Histograma, Diagrama de sectores)

1. ESTADÍSTICA

Estudio estadístico: es la organización y representación de una gran cantidad de datos.

Población: es el conjunto que se estudia.

Individuo: cada uno de los elementos de la población.

Muestra: parte de la población que se estudia con objeto de sacar conclusiones válidas para toda la población (ya que generalmente es imposible o antieconómico estudiar la población completa)

Variable Estadística:

Es la característica que queremos estudiar. Sus posibles valores se llaman modalidades.

Estos valores pueden ser palabras (ejemplo nacionalidades), números aislados (ejemplo número de hijos), o números continuos (ejemplo peso de personas)

El tipo de valor que puede adoptar da lugar a la siguiente clasificación:

Variable Estadística















modalidades son palabras

Cuantitativa

modalidades son números















Continua números agrupados en intervalos

Variable Cualitativa (modalidades son palabras)

Variable: Nacionalidad; Modalidades: Español, Francés, Inglés… Variable: Estado civil; Modalidades: Soltero, casado, viudo, separado.

Variable Discreta (modalidades son números sueltos) Variable: Nº hermanos; Modalidades: 0, 1, 2, 3, 4…

Variable Continua (modalidades son números en intervalos)

Variable: Altura; Modalidades: [1,50 a 1,60); [1,60 a 1,70); [1,70 a 1,80). Variable: Peso; Modalidades: [45 a 55); [55 a 65); [65 a 75); [75 a 85).

Nota, en los intervalos:

Corchete: incluye al valor;

2. FRECUENCIAS

Frecuencia absoluta (fi) es el número de veces que aparece una modalidad o valor (xi).

Las frecuencias se recogen en tablas. Frecuencia acumulada (Fi) es la suma de las primeras fi

TABLAS DE FRECUENCIAS

Para valores aislados o cualitativa Tabla de dos columnas:

1ª columna) modalidades (xi)

2ª columna) frecuencias (fi).

Para valores en intervalo: Tabla de tres columnas:

1ªcolumna) modalidades (intervalos) 2ª columna) valor central intervalo (xi)

3ª columna) frecuencias (fi).

Ejemplo:

Edades en un grupo deportivo de 40 personas....

Edad (xi) fi Fi

16 4 4

17 14 18

18 11 29

19 6 35

20 5 40

Total 40

Ejemplo:

Sueldos en una empresa de 30 trabajadores…

Intervalos Sueldo

(xi)

fi Fi

[600, 700) 650 3 3

[700, 800) 750 4 7

[800, 900) 850 9 16

[900, 1000) 950 8 24

[1000, 1100) 1050 6 30

Total 30

2.1.

Elabora una tabla de frecuencias para la variable: "Número de hijos". Colectivo estudiado: 40 familias.

Datos: Con 0 hijos: 4 familias; con 1 hijo: 6 familias; con 2 hijos: 10 familias; con 3 hijos: 12 familias; con 4 hijos: 8 familias.

2.2.

Elabora una tabla de frecuencias para la variable: "Edad al casarse".

Colectivo estudiado 100 varones de 24 a 40 años que contrajeron matrimonio en el año anterior. Datos:

3. MEDIDAS ESTADÍSTICAS

Son valores numéricos que resumen la información del total de datos. Son muy numerosas. Estudiaremos tres: Moda, Mediana y Media.

MODA

La Moda, Mo, es el valor más frecuente (el de más alta frecuencia) (Si hay dos valores empatados, los dos son moda)

Ejemplos

En la siguiente tabla aparecen las edades de un grupo de 40 personas:

Edad (xi) fi

16 6

17 14

18 11

19 6

20 3

Mo = 17 años

Es el valor correspondiente a la frecuencia más alta

En la siguiente tabla aparecen los sueldos de 30 trabajadores de una empresa:

Intervalos Sueldo (xi) fi

[600, 700) 650 3

[700, 800) 750 4

[800, 900) 850 9

[900, 1000) 950 8

[1000, 1100) 1050 6

Mo = 850 euros

Es el valor correspondiente a la frecuencia más alta

3.1. Obtener la Moda (Mo)

Mo = ……….

Nº de hijos (xi) fi

0 4

1 8

2 13

3 10

4 3

Total:

Mo = ……….

Altura xi fi

[40, 44) 6

[44, 48) 8

[48, 52) 10

[52, 56) 8

[56, 60) 7

MEDIANA

La Mediana, Me, es el el valor que queda en el centro, y “parte” en dos a la población.

OBTENCIÓN CON NÚMERO IMPAR DE DATOS:

En un examen tenemos 9 calificaciones: 1, 2, 2, 4, 5, 5, 6, 6, 9 Mediana Me = 5, pues es la nota que está en el centro.

OBTENCIÓN CON NÚMERO PAR DE DATOS:

En un examen tenemos 10 calificaciones: 1, 2, 2, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8 No hay una nota en el centro, sino una pareja. Me = (5+6)/2 = 5,5.

Ejemplo 1: Obtener la mediana:

Edad (xi) fi Fi

16 6 6

17 14 20

18 11 31

19 6 37

20 3 40

Total 40

De los 40 datos x1, x2, …, x39, x40

Los datos centrales son x20 y x21:

Me =  

2

21 20 x

x

5 , 17 2

18 17

 

Observa en la columna Fi que x20 tiene 17 años y

que x21 tiene 18 años

Ejemplo 2: Obtener la mediana:

Intervalos Sueldo (xi) fi Fi [600, 700) 650 3 3

[700, 800) 750 4 7

[800, 900) 850 9 16

[900, 1000) 950 8 24

[1000, 1100) 1050 6 30 Total 30

De los 30 datos x1, x2, …, x29, x30

Los datos centrales son x15 y x16:

Me =  

2

16 15 x

x

850 2

850

850 _

Observa en la columna Fi que x15 y x16 tienen

3.3. Obtener la Mediana (Me)

Nº de ventas (xi) fi Fi

0 4

1 8

2 13

3 10

Total:

Respuesta:

Clientes/día (xi) fi Fi

10 3

11 4

12 9

13 7

14 2

Total:

Respuesta:

3.4. Obtener la Mediana (Me)

Edad xi fi Fi

[24, 28) 4

[28, 32) 11

[32, 36) 15

[36, 40) 10

Total:

Respuesta:

Altura xi fi Fi

[40, 44) 6

[44, 48) 9

[48, 52) 10

[52, 56) 8

[56, 60) 7

Total:

MEDIA o PROMEDIO

En la tabla de frecuencias, añadimos la columna fi·xi

Ejemplo: Obtener la media de los datos expresados en la tabla.

Edad (xi) fi fi·xi

16 6 96

17 14 238

18 11 198

19 6 114

20 3 60

Total 40 706

x= 

datos de n datos los todos de Suma º n x f_{i i}



= 17,65

40

706_

años

Ejemplo: Obtener la media de los datos de la tabla.

Intervalos

sueldos xi fi fi·xi [600, 700) 650 3 1.950 [700, 800) 750 4 3.000 [800, 900) 850 9 7.650 [900, 1000) 950 8 7.600 [1000, 1100) 1050 6 6.300

Total 30 26.500

x= 

datos de n datos los todos de Suma º n x fi i



= 883,33

30

26500_

euros

Observaciones:

La media puede verse afectada por los valores extremos.

Por ejemplo, el cálculo del sueldo medio de una empresa puede verse distorsionado con el sueldo del director general. A veces se apartan los valores extremos para calcular la media (media acotada).

3.5. Obtener la Media (x)

Nº de hermanos (xi) fi

0 2

1 10

2 5

3 3

Total:

Respuesta:

Nº de clientes/día (xi) fi

10 3

11 8

12 7

13 2

Total:

Respuesta:

3.6. Obtener la Media (x)

Edad xi fi

[24, 28) 4

[28, 32) 9

[32, 36) 6

[36, 40) 5

Total:

Respuesta:

Altura xi fi

[40, 44) 4

[44, 48) 7

[48, 52) 6

[52, 56) 3

Total:

3.7. Ejercicios globales

a) En la siguiente tabla aparecen datos del “nº de

visitas al médico" en una residencia de ancianos. Obtener Media (x), Moda (Mo), Mediana (Me).

Nº de visitas (xi) fi fixi

0 4

1 8

2 13

3 10

Total:

b) En la siguiente tabla aparecen datos de “nº de

días de baja” de trabajadores de una empresa. Obtener Media (x), Moda (Mo), Mediana (Me).

Nº de días (xi) fi fixi

0 3

1 4

2 9

3 7

4 4

5 3

Total: .

c) En la tabla aparecen las edades de clientes de un gimnasio, de 24 a 40 años.

Obtener Media (x), Moda (Mo), Mediana (Me).

.

Edad xi fi fixi

[24, 28) 34 [28, 32) 21 [32, 36) 15 [36, 40) 10

Total:

d) En la tabla aparecen “alturas en cm” de 40 niños

de una guardería.

Obtener Media (x), Moda (Mo), Mediana (Me).

Altura (xi) xi fi fixi

[40, 44) 6 [44, 48) 9 [48, 52) 10 [52, 56) 8 [56, 60) 7

4. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

DIAGRAMA DE BARRAS

Se usa para valores aislados (variable discreta).

En el eje X se colocan los datos y en el eje Y las frecuencias. Sobre cada dato se coloca una barra de altura = frecuencia.

Datos:

xi fi

Melocotón 30

Plátano ₄₀

Pera 50

Naranja ₄₅

Manzana 55

4.1.

Realiza el diagrama de barras de los ejercicios 3.5

HISTOGRAMA

Se usa para valores en intervalos (variable continua).

En el eje X se colocan los intervalos y en el eje Y las frecuencias.

Sobre cada intervalo se coloca un rectángulo de superficie proporcional a la frecuencia del intervalo.

Equivale a:

(a) Si los intervalos son de igual amplitud: altura = frecuencia

Ejemplo intervalos igual amplitud:

Peso fi

[40, 44) 6

[44, 48) 9

[48, 52) 15

[52, 56) 12

[56, 60] 8

Ejemplo intervalos diferente amplitud:

Calificación fi

Insuficiente [0, 5) 10

Suficiente [5, 6) 8

Bien [6, 7) 11

Notable [7, 9) 8

Sobresaliente [9, 10] 3

8 7 6 5 4 3 2 1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4.2.

Realiza el histograma correspondiente a la siguiente tabla:

Realiza el histograma correspondiente a la siguiente tabla:

Calificación fi

Insuficiente [0, 5) 14 Suficiente [5, 6) 11 Bien [6, 7) 8 Notable [7, 9) 5 Sobresaliente [9, 10] 2

Edad fi

DIAGRAMA DE SECTORES

Se usa para variable cualitativa

Se divide un círculo en tantas porciones como clases existan, de modo que a cada clase le corresponde un arco de círculo proporcional a su frecuencia absoluta o relativa.

Ejemplo:

Diagrama de sectores correspondiente a los siguientes datos.

Partido A: 15 votos; Partido B: 30 votos; Partido C: 55 votos.

Elecciones

A; 15

B; 30 C; 55

A B C

4.3.

Los votos obtenidos por tres partidos son: partido A= 550; B= 250; C = 400. Dibuja un diagrama de sectores

4.4.

El país A ha obtenido 12 medallas, el B 18 medallas y el C 30 medallas. Dibuja diagrama de sectores.

4.5.

Lecc. 13. PROBABILIDAD

1. Probabilidad de Laplace; 2. Diagrama de Venn; 3. Diagramas de árbol

Vocabulario:

Experiencia determinista:

Cada vez que ponemos agua a presión normal a 100º C, esta entra en ebullición.

Se trata de una experiencia determinista, pues a las mismas condiciones obtienes el mismo resultado.

Experiencia aleatoria:

Si tiras un dado y obtienes un cinco, aunque vuelvas a tirar procurando que se den las mismas condiciones, tal vez no obtengas un cinco de nuevo.

Esta experiencia en la que no se puede predecir el resultado, se llama experiencia aleatoria. De este tipo de experiencias se ocupa la probabilidad.

Espacio muestral E:

Es el conjunto de resultados posibles de una experiencia aleatoria. Ejemplo. En el lanzamiento del dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suceso:

Es cada resultado o agrupación de resultados.

Ejemplos: Salir 5 = {5}; Salir par = {2, 4, 6}; Salir  3 = {3, 4, 5, 6}

Suceso seguro, está formado por todos los resultados posibles. O sea, es el espacio muestral completo

Ejemplo: al tirar un dado el suceso seguro es salir 1, o 2, o 3, o 4, o 5, o 6 S = E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suceso imposible, no tiene ningún elemento. Se denota con el signo: 

Ejemplo: al tirar un dado el suceso imposible es no salir 1, ni 2, ni 3, ni 4, ni 5, ni 6 S = 

Suceso contrario del suceso A, se realiza cuando no se realiza A. Se denota por

A

Contrario de salir par:

salir

par





1

,

3

,

5



salir

5





1

,

2

,

3

,

4

,

6



Sucesos compatibles, los que sí pueden darse simultáneamente Ejemplo: salir par y salir más de tres son sucesos compatibles

Sucesos incompatibles, si no pueden darse simultáneamente Ejemplo: salir par y salir impar son sucesos incompatibles

1. PROBABILIDAD DE LAPLACE

p =

_n

_de

_casos

_posibles

favorables

casos

de

n

º

º

(Fórmula intuitiva, no científica, válida en experimentos con resultados “igualmente probables”)

Ejemplo:

Experiencia: lanzamiento de un dado. Obtener la probabilidad de…

p(salir par) =

6 3

= 0,50 (50%)

p(salir  3) =

6 4

= 0,66 (66%)

1.1. Ejercicios:

Sugerencia: haz los ejercicios escribiendo el espacio muestral y contando los casos favorables:

a) Lanzamos dos monedas. Obtener la probabilidad de obtener (1) una cara y una cruz. (2) dos caras. (3) dos cruces

b) Lanzamos tres monedas. Obtener la probabilidad de obtener

(1) tres caras; (2) dos caras y una cruz. (3) una cara y dos cruces; (4) tres cruces

BARAJA ESPAÑOLA:

Cuatro palos (oros, copas, espadas, bastos)

Diez cartas en cada palo:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sota, caballo, rey.

“Figuras” = sotas, caballos y reyes

NO SIEMPRE ES VÁLIDA LA REGLA DE LAPLACE…

Ejemplo: me presento a un examen. Hay dos casos posibles, aprobar y suspender

Entonces: p(aprobar) = 2 1

= 0,50 (50%) … ¡MAL!

1.2. Ejercicios:

a) Extraemos una carta de la baraja, obtener la probabilidad de (1) sea copa; (2) sea caballo; (3) sea figura;

b) Tengo en la mano las doce figuras de la baraja. Extraigo una carta. Calcular las siguientes probabilidades:

(1) Que la carta extraída sea caballo; (2) Que la carta extraída sea oro

c) Extraemos una carta de la baraja, obtener la probabilidad de (1) sea caballo o rey; (2) sea copa o figura;

d) Extraemos una carta de la baraja, obtener la probabilidad de (1) sea caballo y copa; (2) sea copa y figura;

Las dos caras opuestas del dado de parchís suman siete

1.3. Ejercicios:

a) Lanzamos un dado, obtener la probabilidad de

(1) Sacar un cinco; (2) sacar cifra par; (3) sacar mayor o igual que cinco

b) Lanzamos dos dados. Calcular las siguientes probabilidades:

(1) Que la suma sea par; (2) Que la suma sea siete; (3) Que la suma sea superior a 9

c) Lanzamos dos dados. Calcular las siguientes probabilidades:

(1) Obtener algún cinco; (2) Que la suma sea siete; (3) Que la suma sea superior a 9

d) Lanzamos un dado y una moneda

2. DIAGRAMA DE VENN

Lo utilizamos para organizar datos referidos a sucesos no excluyentes.

Ejemplo:

En un grupo de alumnos:

10 han aprobado Inglés 15 han aprobado Lengua

3 han aprobado Lengua e Inglés 8 no han aprobado nada.

¿Cuántos alumnos tiene el grupo?

Observa en el diagrama de Venn como se organizan estos datos. Puede verse que el grupo tiene 7+3+12+8 = 30 alumnos

2.1. Ejercicios:

a) En un curso de 40 alumnos: 5 han aprobado Inglés y Lengua 15 han aprobado Inglés

20 han aprobado Lengua.

Calcula cuantos no han aprobado ninguna de las dos.

Sugerencia: rellena un diagrama con los datos, comenzando por la intersección

b) En un curso de 50 alumnos:

12 han aprobado Matemáticas y Lengua 30 han aprobado Matemáticas

4 no han aprobado ninguna.

¿Cuántos han aprobado Lengua?.

c) En un curso de 40 alumnos: 9 no han aprobado nada 20 han aprobado Inglés 25 han aprobado Lengua.

Calcula cuantos han aprobado las dos.

SUCESO AoB ; SUCESO AyB

Ocurrir A

o

y

)

(

)

(

)

(

)

(

A

B

P

A

P

B

P

A

B

P











Ejemplo: En una baraja:

Copa o Figura = 19 cartas

Contando directamente:

P(C o F) = 0,475

40 19_

= 47,5 %

Con la fórmula:

P(CF) = P(C) + P(F) – P(CF) = % 5 , 47 475 , 0 40 19 40

3 40 12 40

10_{    }

Copa y Figura = 3 cartas

P(C y F) = 0,075

40

3 _

= 7,5 %

2.2. Ejercicios:

a) A los 75 años:

La probabilidad de ser miope es P(M)=0,50 La probabilidad de tener cataratas es P(C)= 0,30 La probabilidad de las dos cosas es P(M y C) =0,15. ¿Cuál es la probabilidad de tener Miopia o tener Cataratas?

b) En un determinado curso:

2.3. Ejercicios:

a) En un grupo:

La probabilidad de ser mujer es P(M)=0,40

La probabilidad de fumar en el total del grupo es de un 20 por ciento: P(F)= 0,20

La probabilidad de las dos cosas es P(M y F) =0,15.

¿Cuál es la probabilidad de ser mujer no fumadora? ¿Cuál es la probabilidad de ser hombre no

fumador?

¿Cuál es la probabilidad de ser hombre o fumador?

b) En un determinado grupo, la probabilidad de que te guste la cerveza es de 0,65. La

probabilidad de que te guste el vino es de 0,30, y la de que te gusten las dos cosas es de 0,15. ¿Cuál es la probabilidad de que te guste la cerveza o el vino?

c) En un determinado grupo, hay 30 mujeres de las que 18 hacen deporte, y hay 20 hombres de los que 12 hacen deporte. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de ese grupo haga deporte?

d) En una facultad universitaria tenemos los siguientes datos:

Practica deporte

No practica

deporte Total

Varón 189 301 490

Mujer 165 335 500

Total 354 636 990

Calcula la probabilidad de que elegido un alumno al azar: a) Practique deporte.

b) Sea mujer y no practique deporte.

c) Practique deporte sabiendo que es mujer.

3. DIAGRAMAS DE ÁRBOL

Se usan cuando el problema se puede desglosar en disyuntivas.

O sea, en opciones incompatibles y que cubran todos los casos (sumen 1 = 100%)

Ejemplo 1:

Una urna contiene 4 bolas rojas y 2 verdes. Extraemos dos bolas consecutivamente. Calcula: (1º) Probabilidad de que ambas sean rojas; (2º) de que una sea roja y otra verde.

Se puede hacer con diagramas de árbol, ya que cada vez que extraes una bola tienes dos alternativas incompatibles: ser roja o verde, y entre las dos suman 100% ya que sucede una o sucede la otra

LA SITUACIÓN SE REFLEJA EN EL SIGUIENTE DIAGRAMA DE ÁRBOL:

Probabilidad ambas rojas:

P(RR) =

30 12 5 3 · 6 4 _

= 0,40 --> 40%

Probabilidad de verde y roja: P(RV) +P(VR) =

= 30 16 30 8 30 8 5 4 · 6 2 5 2 · 6 4   

 _{= 0,53 --> 53%}

Ejemplo 2:

En un curso de 50 alumnos: 12 han aprobado Matemáticas y Lengua; 30 han aprobado Matemáticas; 4 no han aprobado ninguna. ¿Cuántos han aprobado Lengua?

Este ejercicio NO se puede hacer con diagramas de árbol, ya que aprobar matemáticas, aprobar lengua NO son alternativas incompatibles. No sucede una cosa O la otra (puede suceder una cosa Y la otra, o sea, no son incompatibles)

3.1. Ejercicios:

a) En un examen de 20 preguntas me he estudiado 15. Me van a poner dos preguntas 1º) Cuál es la probabilidad de saber las dos

2º) Cuál es la probabilidad de no saber ninguna 3º) Cuál es la probabilidad de saber una si y otra no

b) De una baraja de 40 cartas se toman dos cartas. Calcula la probabilidad de que: 1º) Sean pareja de copas

2º) Sean pareja de caballos 3º) Sean una copa y una espada

c) En una urna hay 12 bolas blancas y 8 negras. Extraemos tres bolas. Calcula (primero suponiendo que las bolas se reponen, y segundo suponiendo que las bolas no se reponen):